Как между собой расположены плоскости проекций написать их названия

Содержание:

Положение плоскости в пространстве однозначно определяется положением трех ее точек. Следовательно, на эпюре плоскость может быть задана следующими способами:

1. проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой (рис.24);
2. проекциями прямой и точки вне этой прямой (рис.25);
3. проекциями двух параллельных прямых (рис.26);
4. проекциями двух пересекающихся прямых (рис.27).

Каждое из представленных на рис.24-27 заданий плоскости может быть преобразовано одно в другое. Например, проведя через точки

Помимо отмеченных случаев плоскость может быть задана на чертеже и проекциями любой плоской фигуры (треугольника, квадрата, круга и т.д.). Однако наиболее наглядным является изображение плоскости при помощи прямых, по которым она пересекает плоскости проекций (рис.28).

Прямые, по которым плоскость пересекается с плоскостями проекций, называют следами плоскости. В общем случае у плоскости будет три следа: горизонтальный , фронтальный и профильный . Индекс «0» в обозначении плоскости означает, что этот след образован в пересечении с «нулевой» плоскостью, как раньше называли плоскости проекций.

Точки на осях координат, в которых пересекаются следы плоскости — , и , называют точками схода следов. Три точки схода следов плоскости однозначно определяют положение плоскости в пространстве. Зная координаты точек схода следов (или длину отрезков , и , которые иногда называют параметрами плоскости), можно однозначно задать положение плоскости.

Следы плоскости сливаются со своими проекции на этой плоскости: , и . Учитывая, что на эпюре мы изображаем только проекции геометрических элементов, следы плоскости мы задаем проекциями следов: , и (рис.28). Каждый след плоскости проходит через две точки схода следов. Следовательно, любые два следа плоскости однозначно определяют ее положение в пространстве (исключение составляет осевая плоскость).

Плоскость, пересекающая все три плоскости проекций, называют плоскостью общего положения. Если плоскость перпендикулярна одной или двум плоскостям проекций, то ее называют плоскостью частного положения.
 

Плоскости, перпендикулярные одной плоскости проекций

Горизонтально-проецирующей называют плоскость, перпендикулярную плоскости (рис.29). Фронтальный и профильный следы такой плоскости будут параллельны оси .

Фронтально-проецирующей называют плоскость, перпендикулярную плоскости  (рис.30). Горизонтальный и профильный следы фронтально-проецирующей плоскости будут параллельны оси .

Фронтальная проекция любой точки, лежащей в этой плоскости (например, точки ), всегда расположена на фронтальном следе плоскости.

Профильно-проецирующей называют плоскость, перпендикулярную плоскости (рис.31). У такой плоскости фронтальный и горизонтальный следы будут параллельны оси .

Профильная проекция любой точки, лежащей в этой плоскости (например, точки ), всегда расположена на профильном следе плоскости.

Осевой называют плоскость, проходящую через ось проекций. Осевая плоскость будет всегда перпендикулярна одной из плоскостей проекций, поэтому ее можно рассматривать как частный случай горизонтально-, фронтально- или профильно-проецирующей плоскости. У осевой плоскости два следа совпадают с одной из осей проекций (на рис.32 — с осью ).

Для однозначного определения положения осевой плоскости необходимо знать положение всех трех ее следов или двух сливающихся следов и еще хотя бы одной точки, лежащей в этой плоскости.

Плоскости, перпендикулярные двум плоскостям проекций

Если плоскость перпендикулярна двум плоскостям проекций, то она параллельна третьей плоскости проекций. Для таких плоскостей встречается общее название — плоскости уровня.

 Ряд авторов считает, что это название относится только к горизонтальной плоскости.

Плоскость, параллельная плоскости называется горизонтальной плоскостью (рис.33). На эпюре ее фронтальный и профильный следы сливаются в одну линию, перпендикулярную оси . Фронтальные и профильные проекции точек, лежащих в горизонтальной плоскости (например, точки ), располагаются соответственно на фронтальном и профильном следах плоскости. Любой геометрический объект, лежащий в горизонтальной плоскости, проецируется на плоскость  в натуральную величину.

Аналогичным образом можно построить фронтальную и профильную плоскости, т.е. плоскости, параллельные соответственно фронтальной и профильной плоскостям проекций.

Отмеченные особенности проецирования плоскостей частного положения в дальнейшем изложении курса будут использованы для упрощения решения ряда метрических и позиционных задач.

Взаимное положение прямой и плоскости

Прямая может занимать относительно плоскости следующие положения:

1. лежать в плоскости;
2. быть параллельной плоскости;
3. пересекать плоскость (частный случай пересечения — прямая может быть перпендикулярна плоскости).

Прямая лежит в плоскости, если проходит через две точки, принадлежащие этой плоскости.

Пусть плоскость задана двумя пересекающимися прямыми и . Проводим в этой плоскости произвольную прямую . Для этого выбираем некоторую точку на прямой и точку на прямой и проводим прямую с проекциями и (рис.34). Эта прямая лежит в заданной плоскости, так как проходит через две точки (точки и ), лежащие в заданной плоскости.

Рассмотрим вариант, когда плоскость задана следами: прямая лежит в плоскости, если следы прямой лежат на одноименных следах плоскости (рис.35). Это же правило можно сформулировать и иначе: плоскость проходит через прямую, если ее следы проходят через одноименные следы прямой.

Если некоторая плоскость задана двумя пересекающимися прямыми, то для построения следов такой плоскости достаточно найти следы этих прямых и одноименные следы соединить прямыми линиями — эти прямые и будут искомыми следами плоскости. Аналогично могут быть построены следы плоскости, заданной двумя параллельными прямыми.

Поскольку случаи задания плоскости тремя точками, не лежащими на одной прямой, и прямой и точкой вне этой прямой всегда могут быть сведены к случаю задания плоскости двумя прямыми, то можно сказать, что для построения следов плоскости, заданной любым известным способом, необходимо построить следы двух любых прямых этой плоскости и через одноименные следы прямых провести искомые следы плоскости.

Пример 5. Построить три следа плоскости , заданной двумя пересекающимися прямыми  и (рис.36).

1. Строим проекции горизонтальных следов прямых и (рис.37): . Фронтальные проекции горизонтальных следов лежат на пересечении фронтальных проекций прямых с осью :

Горизонтальные проекции горизонтальных следов лежат на пересечении линий проекционной связи, проведенных из точек и , с соответствующей горизонтальной проекцией прямой:

2. Строим проекции фронтальных следов прямых и : . Горизонтальные проекции фронтальных следов лежат в точке пересечения горизонтальных проекций прямых с осью :

Фронтальные проекции фронтальных следов лежат на пересечении фронтальных проекций прямых с линиями проекционной связи, проведенными из точек  и :

3.    Через одноименные проекции следов проводим соответствующие следы плоскости (рис.38). Горизонтальный след плоскости проводим через горизонтальные проекции горизонтальных следов и . Фронтальный след  проводим через фронтальные проекции фронтальных следов и .

4.    В пересечении горизонтального  и фронтального следов  с осью отмечаем точку схода следов и проверяем правильность построений: .

5.    В пересечении горизонтального  и фронтального  следов с осями проекций и отмечаем точки схода следов соответственно и .

6.    Точку схода следов с оси переносим на соответствующее по знаку направление оси , где отмечаем точку . Через точки схода следов и строим профильный след .

• Заказать чертежи

Прямые частного положения в плоскости

В каждой плоскости можно провести бесчисленное множество прямых линий частного положения. Рассмотрим некоторые прямые, лежащие в плоскости и занимающие относительно плоскостей проекций частные положения.

Горизонталь плоскости — это прямая, лежащая в плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций . Она обладает всеми свойствами горизонтальной прямой: ее фронтальная проекция параллельна оси , а на горизонтальную плоскость проекций она проецируется в истинную величину.

Построим любую горизонталь плоскости, заданной треугольником (рис.39). Фронтальную проекцию горизонтали получаем, построив (расстояние от оси выберем произвольно). Строим горизонтальные проекции точек и  , и через и проводим горизонтальную проекцию горизонтали.

Если плоскость задана следами (рис.40), то горизонтальная проекция горизонтали параллельна горизонтальному следу плоскости.

Следует отметить одну интересную особенность горизонтальных проекций горизонталей плоскости: все они параллельны между собой и, поскольку они параллельны горизонтальному следу этой плоскости, положение любой из них определяет направление горизонтального следа плоскости.

Фронталь плоскости — это прямая, лежащая в плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций. Горизонтальная проекция фронтали параллельна оси , а фронтальная проекция — ее истинная величина.

Пример построения фронтали плоскости, заданной треугольником , дан на рис.41 (построение выполнено аналогично построению горизонтали на рис.39).

В плоскости, заданной следами, фронтальная проекция фронтали параллельна фронтальному следу плоскости (рис.42).

Линия наибольшего ската — это прямая, лежащая в плоскости и перпендикулярная горизонталям этой плоскости. На рис.43 построена прямая , являющаяся линией наибольшего ската плоскости . Прямой угол между линией наибольшего ската плоскости и любой горизонталью этой плоскости проецируется на плоскость без искажения (на основании правил проецирования плоских углов). Следовательно, горизонтальная проекция линии наибольшего ската перпендикулярна горизонтальной проекции любой горизонтали или горизонтальному следу плоскости.

Из всех прямых, принадлежащих плоскости, линия наибольшего ската имеет самый большой угол наклона к горизонтальной плоскости проекций, который называется углом падения данной плоскости. В горно-геологической практике угол падения -это одна из важнейших характеристик изображаемого объекта (земной поверхности, пласта полезного ископаемого и т.п.).

Пример 6. Через точку  построить линию наибольшего ската плоскости, заданной треугольником  (рис.44).

1.    Строим произвольную горизонталь плоскости треугольника .

2.    Прямая является линией наибольшего ската плоскости треугольника , так как .

Рассмотренные нами прямые частного положения, лежащие в плоскости, главным образом горизонтали и фронтали, весьма часто применяют в различных построениях в качестве вспомогательных прямых.

Прямая, параллельная плоскости

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости. Построим через точку прямую, параллельную плоскости треугольника (рис.45). Сразу отметим, что задача имеет бесчисленное множество решений, так как через данную точку можно провести неограниченное количество прямых, параллельных данной плоскости. Через точку проведена прямая, параллельная стороне треугольника . Горизонтальная проекция этой прямой параллельна , а фронтальная — . Эта прямая параллельна плоскости треугольника , так как она параллельна прямой, лежащей в плоскости треугольника .

Пример 7. Через точку провести прямую, параллельную плоскости (рис.46).

1.    Проведем в плоскости любую прямую, например прямую (рис.47). Затем через точку параллельно проведем прямую . Эта прямая будет параллельна плоскости , так как она параллельна прямой , лежащей в этой плоскости.

2.    Эту же задачу, можно решить другим способом, проведя через точку прямую частного положения, например, горизонтальную прямую (рис.48). Горизонтальная проекция горизонтальной прямой проходит через проекцию и параллельна следу , а ее фронтальная проекция проходит через параллельно оси .

Точка в плоскости

Точка лежит в плоскости, если она лежит на прямой, принадлежащей этой плоскости. Для того, чтобы в некоторой плоскости построить произвольную точку, зачастую необходимо предварительно построить некоторую прямую, принадлежащую заданной плоскости, а на прямой — точку.

Пример 8. Построить недостающую проекцию точки , лежащей в заданной плоскости (плоскость задана двумя пересекающимися прямыми и , а точка — только ее фронтальной проекцией (рис.49).

1. Через точку проводим произвольную прямую , принадлежащую заданной плоскости: .
2. Строим горизонтальные проекции точек и : .
3. Через и проводим горизонтальную проекцию прямой .
4. В пересечении линии проекционной связи, проведенной из , и линии находим горизонтальную проекцию точки .

Если плоскость задана следами, то недостающая проекция точки, принадлежащей заданной плоскости, может быть найдена при помощи горизонтали (рис.50, а) или фронтали (рис.50, б) плоскости.

Пример 9. По заданной фронтальной проекции треугольника , принадлежащей плоскости , построить его горизонтальную проекцию (рис.51).

1. Через точки , и проводим в плоскости  прямые частного положения, например горизонтали плоскости (рис.52). Фронтальные проекции этих прямых проводим через точки , , параллельно оси . Отмечаем проекции фронтальных следов горизонталей (фронтальные проекции — точки , ,  — лежат на следе  , а горизонтальные проекции -точки , , — на оси ). Проводим горизонтальные проекции горизонталей параллельно следу через точки соответственно , , .
2. Находим горизонтальные проекции точек , , — точки , , — в пересечении линий проекционной связи, проведенных из , и , с соответствующей горизонтальной проекцией горизонтали плоскости. Соединив , , , получим горизонтальную проекцию треугольника .

Главная → Справочник → Статьи → Блог → Форум

В
системе плоскостей проекций плоскость
может занимать различное положение:

—
плоскость не перпендикулярна ни к одной
из плоскостей проекций;

—
плоскость перпендикулярна лишь к одной
из них;

—
плоскость перпендикулярна к двум
плоскостям проекций.

Плоскость,
не перпендикулярную ни к одной из
плоскостей проекций (т.е. произвольно
наклоненную), называют плоскостью
общего положения
(рисунок 32).

Плоскость
общего положения пересекает каждую из
осей x,
y,
z.
Следы плоскости общего положения никогда
не перпендикулярны к этим осям. Плоскость
,
пересекающая горизонтальную плоскость
проекций по прямой линии, обозначается
— h_o,
фронтальную плоскость – по прямой f_o

и профильную плоскость – по прямой p_o.
Прямая h_o
называется
горизонтальным
следом
плоскости
,
f_o

— фронтальным
следом плоскости
,
p_o

— профильным
следом плоскости
.
Каждая пара следов сходится в точке,
которая называется точкой
схода следов плоскости,
и
располагается на оси, которая обозначается
X_,
Y_,
Z_.
В этих точках плоскость пересекает оси
координат.

Рисунок
32

Плоские
фигуры, лежащие в плоскости общего
положения, проецируются на плоскости
проекций с искажением. В качестве примера
покажем на эпюре Монжа, как определяются
следы плоскости. Следы плоскости
(рисунок 33) проходят через следы А₁М₁,
N₂
прямых,
принадлежащих плоскости (АВС).

Для
нахождения следов плоскости необходимо
предварительно определить следы двух
прямых этой плоскости. Горизонтальный
след плоскости пройдет через точку А₁
(след прямых АВ и АС) и через точку М₁
(след прямой ВС). Точка Х_
пересечения
следов (точка схода следов) лежит на оси
Х. Фронтальный след плоскости пройдет
через точку схода и через след N₂
прямой ВС. Если точка схода следов
находится за пределами чертежа, для
проведения фронтального следа плоскости
необходимо определение фронтального
следа еще одной прямой, принадлежащей
плоскости, например АВ. Если точка Х_
бесконечно удалена, то следы плоскости
расположатся параллельно оси проекций.

Рисунок
33

Кроме
рассмотренного случая (рисунок 32),
плоскость по отношению к плоскостям
проекций может занимать частные
положения. Плоскости частного положения
подразделяются на плоскости проецирующие
и плоскости уровня.
Рассмотрим эти частные случаи.

Плоскость,
перпендикулярная одной из плоскостей
проекций, называется проецирующей.
Возможны три случая частного положения.

1.
Плоскость перпендикулярная горизонтальной
плоскости проекций (₁)
называется горизонтально-проецирующей
плоскостью
(

₁).
На рисунке 34 дан пример изображения
горизонтально-проецирующей плоскости,
рисунок 34, а – наглядное изображение,
рисунок 34, б – чертеж в системе ₁,
₂
с указанием следов f_o
и h_o,
рисунок
34,
в
— плоскость задана проекциями треугольника.
Фронтальный след плоскости 
–
f_o

как
линия пересечения

а)
б)
в)

Рисунок
34

плоскости

и ₂
перпендикулярен к плоскости ₁
и к оси Х, горизонтальный след h_o
расположен
произвольно. Угол ^
служит линейным углом двугранного между
плоскостью 
и пл. ₂

и проецируется на плоскость ₁
без
искажения своей величины: ₁

.

Если
в горизонтально-проецирующей плоскости
расположена точка, например, точка А,
то ее горизонтальная проекция А₁
должна быть на горизонтальном следе
плоскости (h_o).
Это относится и к любой системе точек,
расположенных в горизонтально-проецирующей
плоскости. Горизонтальный след плоскости
h_o


₁

можно рассматривать как горизонтальную
проекцию плоскости.

2.
Плоскость, перпендикулярная фронтальной
плоскости проекций (₂),
называется фронтально-проецирующей
плоскостью
(

₂).
На рисунке 35 горизонтальный след
фронтально-проецирующей плоскости h_o,
перпендикулярен к оси Х, а фронтальный
ее след f_o

расположен произвольно. Если в
фронтально-проецирующей плоскости
расположена точка (А), то ее фронтальная
проекция А₂
должна быть на фронтальном следе
плоскости
f_o.
Это относится и к любой системе точек.
След f_o


₂

можно рассматривать как фронтальную
проекцию пл..
Угол ^,
образованный
плоскостями

и ₁,
проецируется на плоскость ₂
без искажения своей величины: ₂

.

Рисунок
35

3.
Плоскость, перпендикулярная профильной
плоскости проекций (₃),
называется профильно-проецирующей
плоскостью
(

₃).
На рисунке 36 горизонтальный (h_o)
и фронтальный (f_o)
следы этой плоскости параллельны оси
Х. Профильная проекция ₃
любой точки, принадлежащей этой плоскости,
совпадает с профильным следом p_o
,
т.е. профильная проекция любой фигуры,
лежащей в этой плоскости, есть прямая.

Рисунок
36

Плоскость,
перпендикулярная к одной из плоскостей
проекций, может, в частности, проходить
через ось проекций. Такую плоскость
дополнительно называют осевой
плоскостью.
Рассмотрим, например, осевую
профильно-проецирующую плоскость 
(рисунок 37).

Плоскость

проходит через ось Х и перпендикулярна
к пл. ₃,
то следы плоскости f_
и
h_o
совпадают
с осью и поэтому не определяют положение
плоскости. Чтобы положение плоскости
определялось, необходимо, кроме ее
следов, задать в ней какую-либо точку.
В частном случае эта плоскость может
быть плоскостью биссектора. Тогда взятая
в ней точка (К) будет равноудалена от
плоскостей проекций (₁
и ₂).

Рисунок
37

Таким
образом, из вышерассмотренного следует,
что у проецирующей плоскости на
комплексном чертеже одна проекция есть
прямая, на которой располагается проекции
всех точек, линий и фигур, лежащих в этой
плоскости. Это вырожденная в прямую
линию проекция плоскости вполне
определяет положение плоскости
относительно основных плоскостей
проекций. Проецирующая плоскость на
комплексном чертеже может быть задана
только своей “вырожденной“ проекцией.

Плоскости
перпендикулярны к двум плоскостям
проекциям (параллельны третьей плоскости
проекций), также возможны три частных
положения. Плоскость, параллельная
одной из плоскостей проекций, называется
плоскостью
уровня.

1.Плоскость
перпендикулярная плоскостям ₂
и ₃,
т.е. параллельная ₁
(рисунок
38), называется горизонтальной
плоскостью уровня.

Фронтальный
ее след f_
параллелен
оси Х; горизонтального следа такая
плоскость не имеет, так как с плоскостью
₁
она
не пересекается.

След
(f_

₂)
можно рассматривать как фронтальную
проекцию плоскости. Горизонтальная
плоскость задается только фронтальным
следом, который параллелен оси Х (рисунок
38, б). Любая фигура, расположенная в
горизонтальной плоскости, проецируется
на горизонтальную плоскость проекций
в натуральную величину: А₁В₁С₁

АВС (рисунок 38, в).

Рисунок
38

1. 2.    
   Плоскость
   перпендикулярная плоскостям ₁
   и ₃,
   т.е. параллельная

плоскости
₂
(рисунок 39), называется фронтальной
плоскостью уровня.

Горизонтальный
ее след h_
параллелен
оси Х; фронтального следа ее фронтальная
плоскость не имеет, так как с плоскостью
₂
она не пресекается. След (h_

)
можно рассматривать как проекцию этой
плоскости на плоскость ₁
(рисунок
39, б). Любая фигура, расположенная во
фронтальной плоскости, проецируется
на фронтальную плоскость проекций в
натуральную величину: А₂В₂С₂

АВС (рисунок 39, в).

Рисунок
39

3.
Плоскость, перпендикулярная плоскостям
₁
и ₂,
т.е. параллельная плоскости ₃
(рисунок 40), называется профильной
плоскостью уровня.

Следы
плоскости f_
и

h_

перпендикулярны
к оси Х, пересекая ее в точке Х_.
Профильная
плоскость сочетает в себе свойства
фронтально — и горизонтально — проецирующей
плоскостей.

Рисунок
40

К
примечательным свойствам плоскостей
уровня относят следующее: если какая-либо
фигура расположена в плоскости уровня,
то она проецируется без искажения своего
истинного вида на ту плоскость проекций,
которой параллельна плоскость уровня.

Вопросы
для самопроверки

1. 1.    
   Какими
   элементами пространства можно задать
   плоскости?

2.
Как относительно плоскостей проекций
может быть расположена плоскость?

1. 3.    
   Дайте
   определение плоскости общего положения.

4.
Как располагается в системе основных
плоскостей проекций плоскость общего
положения?

5.
Какие плоскости называются проецирующими?

1. 6.    
   Какие
   плоскости называются плоскостями
   уровня?

2. 7.    
   Укажите
   особенности проецирующих плоскостей.

8.
Где располагается горизонтальная
проекция любой системы точек, расположенной
в горизонтально-проецирующей плоскости
или фронтальной плоскости?

9.
Где располагается фронтальная проекция
любой системы точек, расположенной в
горизонтальной или фронтально-проецирующей
плоскости?

10.
Перечислите все проецирующие и все
плоскости уровня.

11.
Что называется следом плоскости?

5
Взаимное положение точки, прямой линии
и плоскости

К
числу основных задач, решаемых на
плоскости, относят:

—
проведение любой прямой в плоскости;

—
построение в плоскости некоторой точки;

—
построение недостающей проекции точки;

—
проверка принадлежности точки плоскости.

Решение
этих задач основывается на следующих
положениях геометрии:

—
прямая принадлежит плоскости, если она
проходит через две точки, принадлежащие
данной плоскости;

—
прямая принадлежит плоскости, если она
проходит через точку, принадлежащую
данной плоскости и параллельна прямой,
находящейся в этой плоскости или
параллельна ей.

При
этом используется условие, что если
точка принадлежит плоскости, то ее
проекции лежат на одноименных проекциях
прямой, принадлежащей плоскости.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

3.1. Способы задания плоскости на ортогональных чертежах

Положение плоскости в пространстве определяется:

• тремя точками, не лежащими на одной прямой;
• прямой и точкой, взятой вне прямой;
• двумя пересекающимися прямыми;
• двумя параллельными прямыми;
• плоской фигурой.

В соответствии с этим на эпюре плоскость может быть задана:

• проекциями трёх точек, не лежащих на одной прямой (Рисунок 3.1,а);
• проекциями точки и прямой (Рисунок 3.1,б);
• проекциями двух пересекающихся прямых (Рисунок 3.1,в);
• проекциями двух параллельных прямых (Рисунок 3.1,г);
• плоской фигурой (Рисунок 3.1,д);
• следами плоскости;
• линией наибольшего ската плоскости.

Рисунок 3.1 – Способы задания плоскостей

Плоскость общего положения – это плоскость, которая не параллельна и не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций.

Следом плоскости называется прямая, полученная в результате пересечения заданной плоскости с одной из плоскостей проекций.

Плоскость общего положения может иметь три следа: горизонтальный – απ₁, фронтальный – απ₂ и профильный – απ₃, которые она образует при пересечении с известными плоскостями проекций: горизонтальной π₁, фронтальной π₂ и профильной π₃ (Рисунок 3.2).

Рисунок 3.2 – Следы плоскости общего положения

3.2. Плоскости частного положения

Плоскость частного положения – плоскость, перпендикулярная или параллельная плоскости проекций.

Плоскость, перпендикулярная плоскости проекций, называется проецирующей и на эту плоскость проекций она будет проецироваться в виде прямой линии.

Свойство проецирующей плоскости: все точки, линии, плоские фигуры, принадлежащие проецирующей плоскости, имеют проекции на наклонном следе плоскости (Рисунок 3.3).

Рисунок 3.3 – Фронтально-проецирующая плоскость, которой принадлежат: точки А, В, С; линии АС, АВ, ВС; плоскость треугольника АВС

Фронтально-проецирующая плоскость – плоскость, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, а).

Горизонтально-проецирующая плоскость – плоскость, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, б).

Профильно-проецирующая плоскость – плоскость, перпендикулярная профильной плоскости проекций.

Плоскости, параллельные плоскостям проекций, называются плоскостями уровня или дважды проецирующими плоскостями.

Фронтальная плоскость уровня – плоскость, параллельная фронтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, в).

Горизонтальная плоскость уровня – плоскость, параллельная горизонтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, г).

Профильная плоскость уровня – плоскость, параллельная профильной плоскости проекций (Рисунок 3.4, д).

Рисунок 3.4 – Эпюры плоскостей частного положения

3.3. Точка и прямая в плоскости. Принадлежность точки и прямой плоскости

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости (Рисунок 3.5). Прямая принадлежит плоскости, если она имеет с плоскостью хотя бы две общие точки (Рисунок 3.6).

Рисунок 3.5 – Принадлежность точки плоскости

α = m // n D ∈ n ⇒ D ∈ α

Рисунок 3.6 – Принадлежность прямой плоскости

left.begin{array}{l}alpha=mparallel n,\Dinalpha\Cinalpha\end{array}right} Longrightarrow CDinalpha

Упражнение

Дана плоскость, заданная четырехугольником (Рисунок 3.7, а). Необходимо достроить горизонтальную проекцию вершины С.

Рисунок 3.7 – Решение задачи

Решение:

1. ABCD – плоский четырехугольник, задающий плоскость.
2. Проведём в нём диагонали AC и BD (Рисунок 3.7, б), которые являются пересекающимися прямыми, также задающими ту же плоскость.
3. Согласно признаку пересекающихся прямых, построим фронтальную проекцию точки пересечения этих прямых — K: A₂C₂ ∩ B₂D₂=K₂.
4. Восстановим линию проекционной связи до пересечения с горизонтальной проекцией прямой BD: на проекции диагонали B₁D₁ строим К₁.
5. Через А₁К₁ проводим проекцию диагонали А₁С₁.
6. Точку С₁ получаем, посредством линии проекционной связи до пересечения её с горизонтальной проекцией продолженной диагонали А₁К₁.

3.4. Главные линии плоскости

В плоскости можно построить бесконечное множество прямых, но есть особые прямые, лежащие в плоскости, называемые главными линиями плоскости (Рисунок 3.8 – 3.11).

Прямой уровня или параллелью плоскости называется прямая, лежащая в данной плоскости и параллельная одной из плоскостей проекций.

Горизонталь или горизонтальная прямая уровня h (первая параллель) – это прямая, лежащая в данной плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций (π₁) (Рисунок 3.8, а; 3.9).

Фронталь или фронтальная прямая уровня f (вторая параллель) – это прямая лежащая в данной плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций (π₂) (Рисунок 3.8, б; 3.10).

Профильная прямая уровня p (третья параллель) – это прямая лежащая в данной плоскости и параллельная профильной плоскости проекций (π₃) (Рисунок 3.8, в; 3.11).

Рисунок 3.8 а – Горизонтальная прямая уровня в плоскости, заданной треугольником

Рисунок 3.8 б – Фронтальная прямая уровня в плоскости, заданной треугольником

Рисунок 3.8 в – Профильная прямая уровня в плоскости, заданной треугольником

Рисунок 3.9 – Горизонтальная прямая уровня в плоскости, заданной следами

Рисунок 3.10 – Фронтальная  прямая уровня в плоскости, заданной следами

Рисунок 3.11 – Профильная  прямая уровня в плоскости, заданной следами

3.5. Взаимное положение прямой и плоскости

Прямая по отношению к заданной плоскости может быть параллельной и может с ней иметь общую точку, то есть пересекаться.

3.5.1. Параллельность прямой плоскости

Признак параллельности прямой плоскости: прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, принадлежащей этой плоскости (Рисунок 3.12).

alpha=mcap n\left.begin{array}{l}a_2parallel m_2\a_1parallel m_1\end{array}right} Rightarrow aparallelalpha

Рисунок 3.12 – Параллельность прямой плоскости

3.5.2. Пересечение прямой с плоскостью

Для построения точки пересечения прямой с плоскостью общего положения (Рисунок 3.13), необходимо:

1. Заключить прямую а во вспомогательную плоскость β (в качестве вспомогательной плоскости следует выбирать плоскости частного положения);
2. Найти линию пересечения вспомогательной плоскости β с заданной плоскостью α;
3. Найти точку пересечения заданной прямой а с линией пересечения плоскостей MN.

Рисунок 3.13 – Построение точки встречи прямой с плоскостью

Упражнение

Заданы: прямая АВ общего положения, плоскость σ⊥π₁. (Рисунок 3.14). Построить точку пересечения прямой АВ с плоскостью σ.

Решение:

1. 1. Точка К должна принадлежать прямой АВ ⇒ К₁∈А₁В и заданной плоскости σ ⇒ К₁∈σ, следовательно, К₁ находится в точке пересечения проекций А₁В₁ и σ₁;
   2. Плоскость σ – горизонтально-проецирующая, следовательно, горизонтальной проекцией плоскости σ является прямая σ₁ (горизонтальный след плоскости);
   3. Фронтальную проекцию точки К находим посредством линии проекционной связи: К₂∈А₂В₂.

Рисунок 3.14 – Пересечение прямой общего положения с плоскостью частного положения

Упражнение

Заданы:  плоскость σ = ΔАВС – общего положения, прямая EF (Рисунок 3.15).

Требуется построить точку пересечения прямой EF с плоскостью σ.

Рисунок 3.15 – Пересечение прямой с плоскостью

Решение:

1. Заключим прямую EF во вспомогательную плоскость, в качестве которой воспользуемся горизонтально-проецирующей плоскостью α (Рисунок 3.15, а);
2. Если α⊥π₁, то на плоскость проекций π₁ плоскость α проецируется в прямую (горизонтальный след плоскости απ₁ или α₁), совпадающую с E₁F₁;
3. Найдём прямую пересечения (1-2) проецирующей плоскости α с плоскостью σ (решение подобной задачи будет рассмотрено ниже);
4. Прямая (1-2) и заданная прямая EF лежат в одной плоскости α и пересекаются в точке K.

Алгоритм решения задачи (Рисунок 3.15, б): Через EF проведем вспомогательную плоскость α:

1. left.begin{array}{l}alpha perp pi_1\alphain EF\end{array}right} Longrightarrow alpha_1in E_1F_1
2. alphacapsigma=(1-2)left.begin{array}{l}|alpha_1cap A_1C_1=1_1longrightarrow 1_2\|alpha_1cap A_1B_1=2_1longrightarrow 2_2\end{array}right.
3. (1_2-2_2)cap E_2F_2=K_2\left.begin{array}{l}Kin EF\Kin (1-2)Rightarrow Kinsigma\end{array}right}Longrightarrow K=EFcap (sigma =triangle ABC)

3.6. Определение видимости методом конкурирующих точек

При оценке положения данной прямой, необходимо определить – точка какого участка прямой расположена ближе (дальше) к нам, как к наблюдателям, при взгляде на плоскость проекций π₁ или π₂.
Точки, которые принадлежат разным объектам, а на одной из плоскостей проекций их проекции совпадают (то есть, две точки проецируются в одну), называются конкурирующими на этой плоскости проекций.
Необходимо отдельно определить видимость на каждой плоскости проекций.
Видимость на π₂ (рис. 3.15)
Выберем точки, конкурирующие на π₂ – точки 3 и 4. Пусть точка 3∈ВС∈σ, точка 4∈EF.
Чтобы определить видимость точек на плоскости проекций π₂ надо определить расположение этих точек на горизонтальной плоскости проекций при взгляде на π₂.
Направление взгляда на π₂ показано стрелкой.
По горизонтальным проекциям точек 3 и 4, при взгляде на π₂, видно, что точка 4₁ располагается ближе к наблюдателю, чем 3₁.
4₁∈E₁F₁ ⇒ 4∈EF ⇒ на π₂ будет видима точка 4, лежащая на прямой EF, следовательно, прямая EF на участке рассматриваемых конкурирующих точек расположена перед плоскостью σ и будет видима до точки K – точки пересечения прямой с плоскостью σ.
Видимость на π₁.
Для определения видимости выберем точки, конкурирующие на π₁ – точки 2 и 5.
Чтобы определить видимость точек на плоскости проекций π₁ надо определить расположение этих точек на фронтальной плоскости проекций при взгляде на π₁.
Направление взгляда на π₁ показано стрелкой.
По фронтальным проекциям точек 2 и 5, при взгляде на π₁, видно, что точка 2₂ располагается ближе к наблюдателю, чем 5₂.
2₂∈А₂В₂ ⇒ 2∈АВ ⇒ на π₁ будет видима точка 2, лежащая на прямой АВ, следовательно, прямая EF на участке рассматриваемых конкурирующих точек расположена под плоскостью σ и будет невидима до точки K – точки пересечения прямой с плоскостью σ.
Видимой из двух конкурирующих точек будет та, у которой координата «Z» или(и)  «Y» больше.

3.7. Перпендикулярность прямой плоскости

Признак перпендикулярности прямой плоскости: прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости.

Рисунок 3.16 – Задание прямой, перпендикулярной плоскости

Теорема. Если прямая перпендикулярна плоскости, то на эпюре: горизонтальная проекции прямой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали плоскости, а фронтальная проекция прямой перпендикулярна фронтальной проекции фронтали (Рисунок 3.16, б)

Теорема доказывается через теорему о проецировании прямого угла в частном случае.

Если плоскость задана следами, то проекции прямой перпендикулярной плоскости перпендикулярны соответствующим следам плоскости (Рисунок 3.16, а).

Пусть прямая p перпендикулярна плоскости σ=ΔАВС  и проходит через точку K.

1. Построим горизонталь и фронталь в плоскости σ=ΔАВС  : σ=ΔАВС : A-1∈σ; A-1//π₁; С-2∈σ; С-2//π₂.
2. Восстановим из точки K перпендикуляр к заданной плоскости: p₁⊥h₁ и p₂⊥f₂, или p₁⊥απ₁ и p₂⊥απ_2.

3.8. Взаимное положение двух плоскостей

3.8.1. Параллельность плоскостей

Две плоскости могут быть параллельными и пересекающимися между собой.

Признак параллельности двух плоскостей: две плоскости взаимно параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

Упражнение

Задана плоскость общего положения α=ΔАВС и точка F∉α (Рисунок 3.17).

Через точку F провести плоскость β, параллельную плоскости α.

Рисунок 3.17 – Построение плоскости, параллельной заданной

Решение: В качестве пересекающихся прямых плоскости α возьмем, например, стороны треугольника АВ и ВС.

1. Через точку F проводим прямую m, параллельную, например, АВ.
2. Через точку F, или же через любую точку, принадлежащую m,  проводим прямую n, параллельную, например, ВС, причём m∩n=F.
3. β = m∩n и β//α по определению.

3.8.2. Пересечение плоскостей

Результатом пересечения 2-х плоскостей является прямая. Любая прямая на плоскости или в пространстве может быть однозначно задана двумя точками. Поэтому для того, чтобы построить линию пересечения двух плоскостей, следует найти две точки, общие для обеих плоскостей, после чего соединить их.

Рассмотрим примеры пересечения двух плоскостей при различных способах их задания: следами; тремя точками, не лежащими на одной прямой; параллельными прямыми; пересекающимися прямыми и др.

Упражнение

Две плоскости α и β заданы следами (Рисунок 3.18). Построить линию пересечения плоскостей.

Рисунок 3.18 – Пересечение плоскостей общего положения, заданных следами

Порядок построения линии пересечения плоскостей:

1. Найти точку пересечения горизонтальных следов — это точка М (её проекции М₁  и М₂, при этом М₁=М, т.к. М – точка частного положения, принадлежащая плоскости π₁).
2. Найти точку пересечения фронтальных следов — это точка N (её проекции N₁ и N₂, при этом N₂=N, т.к. N – точка частного положения, принадлежащая плоскости π₂).
3. Построить линию пересечения плоскостей, соединив одноименные проекции полученных точек: М₁N₁ и М₂N₂.

МN – линия пересечения плоскостей.

Упражнение

Задана плоскость σ = ΔАВС, плоскость α – горизонтально- проецирующая (α⊥π₁) ⇒α₁ – горизонтальный след плоскости (Рисунок 3.19). Построить линию пересечения этих плоскостей.

Решение:
Так как плоскость α пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС, то точки пересечения K и L этих сторон с плоскостью α являются общими для обеих заданных плоскостей, что позволит, соединив их, найти искомую линию пересечения.
Точки могут быть найдены как точки пересечения прямых с проецирующей плоскостью: находим горизонтальные проекции точек K и L, то есть K₁ и L₁ , на пересечении горизонтального следа (α₁) заданной плоскости α с горизонтальными проекциями сторон ΔАВС: А₁В₁ и A₁C₁. После чего посредством линий проекционной связи находим фронтальные проекции этих точек K₂ и L₂ на фронтальных проекциях прямых АВ и АС. Соединим одноимённые проекции: K₁ и L₁; K₂ и L₂. Линия пересечения заданных плоскостей построена.

Алгоритм решения задачи:

left.begin{array}{l}ABcapsigma=K\ACcapsigma=L\end{array}right} left.begin{array}{l}Rightarrow A_1B_1capsigma_1=K_1 rightarrow K_2\Rightarrow A_1C_1cap sigma_1=L_1 rightarrow L_2\end{array}right.

KL – линия пересечения ΔАВС и σ (α∩σ = KL).

Рисунок 3.19 – Пересечение плоскостей общего и частного положения

Упражнение

Заданы плоскости α  = m//n и плоскость σ = ΔАВС (Рисунок 3.20). Построить линию пересечения заданных плоскостей. Решение:

1. Чтобы найти точки, общие для обеих заданных плоскостей и задающие линию пересечения плоскостей α и β, необходимо воспользоваться вспомогательными плоскостями частного положения.
2. В качестве таких плоскостей выберем две вспомогательные плоскости частного положения, например: σ // τ; σ⊥π₂; τ⊥π₂.
3. Вновь введённые плоскости пересекаются с каждой из заданных плоскостей α и β по прямым, параллельным друг другу, так как σ // τ:

— результатом пересечения плоскостей α, σ и τ являются прямые (4-5) и (6-7); — результатом пересечения плоскостей β, σ и τ являются прямые (3-2) и (1-8).

1. Прямые  (4-5) и (3-2) лежат в плоскости σ; точка их пересечения М одновременно лежит в плоскостях σ и β, то есть на прямой пересечения этих плоскостей;
2. Аналогично находим точку N, общую для плоскостей  σ и β.
3. Соединив точки M и N, построим прямую пересечения плоскостей σ и β.

Рисунок 3.20 – Пересечение двух плоскостей общего положения (общий случай)

Алгоритм решения задачи:

left.begin{array}{l}alphacapsigma=(4-5)\betacapsigma=(3-2)\end{array}right}\left.begin{array}{l}alphacaptau=(6-7)\betacaptau=(1-8)\end{array}right}left.begin{array}{l}(4_1-5_1)cap(3_1-2_1)=M_1rightarrow M_2\(6_1-7_1)cap(1_1-8_1)=N_1rightarrow N_2\end{array}right}rightarrow\left.begin{array}{l}M_1N_1\M_2N_2\end{array}right}Rightarrowalphacapbeta=MN

Упражнение

Заданы плоскости α = ΔАВС и β = a//b. Построить линию пересечения заданных плоскостей (Рисунок 3.21).

Рисунок 3.21 Решение задачи на пересечение плоскостей

Решение: Воспользуемся вспомогательными секущими плоскостями частного положения. Введём их так, чтобы сократить количество построений. Например, введём плоскость σ⊥π₂, заключив прямую a во вспомогательную плоскость σ (σ∈a). Плоскость σ пересекает плоскость α по прямой (1-2), а σ∩β=а. Следовательно (1-2)∩а=K. Точка К принадлежит обеим плоскостям α и β. Следовательно, точка K, является одной из искомых точек, через которые проходит прямая пересечения заданных плоскостей α и β. Для нахождения второй точки, принадлежащей прямой пересечения α и β, заключим прямую b во вспомогательную плоскость τ⊥π₂ (τ∈b). Соединив точки K и L, получим прямую пересечения плоскостей α и β.

3.8.3. Взаимно перпендикулярные плоскости

Плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой.

Упражнение

Задана плоскость σ⊥π₂ и прямая общего положения – DE (Рисунок 3.22)

Требуется построить через DE плоскость τ⊥σ.

Решение.

Проведём перпендикуляр CD к плоскости  σ – C₂D₂⊥σ₂ (на основании теоремы о проецировании прямого угла).

Рисунок 3.22 – Построение плоскости, перпендикулярной к заданной плоскости

По теореме о проецировании прямого угла C₁D₁ должна быть параллельна оси проекций. Пересекающиеся прямые CD∩DE задают плоскость τ. Итак, τ⊥σ. Аналогичные рассуждения, в случае плоскости общего положения.

Упражнение

Задана плоскость α = ΔАВС и точка K вне плоскости α. Требуется построить плоскость β⊥α, проходящую через точку K. Алгоритм решения (Рисунок 3.23):

1. Построим горизонталь h и фронталь f в заданной плоскости α = ΔАВС;
2. Через точку K проведём перпендикуляр b к плоскости α (по теореме о перпендикуляре к плоскости: если прямая перпендикулярна плоскости, то её проекции перпендикулярны к наклонным проекциям горизонтали и фронтали, лежащих в плоскости: b₂⊥f₂; b₁⊥h₁;
3. Задаём плоскость β любым способом, например, β = a∩b, таким образом, плоскость, перпендикулярная к заданной, построена: α⊥β.

Рисунок 3.23 – Построение плоскости, перпендикулярной к заданной ΔАВС

3.9. Задачи для самостоятельного решения

1. Задана плоскость  α = m//n (Рисунок 3.24). Известно, что K∈α.

Постройте фронтальную проекцию точки К.

Рисунок 3.24

2. Постройте следы прямой, заданной отрезком CB, и определите квадранты, через которые она проходит (Рисунок 3.25).

Рисунок 3.25

3. Постройте проекции квадрата, принадлежащего плоскости α⊥π₂, если его диагональ MN //π₂ (Рисунок 3.26).

Рисунок 3.26

4. Построить прямоугольник ABCD с большей стороной ВС на прямой m, исходя из условия, что отношение его сторон равно 2 (Рисунок 3.27).

Рисунок 3.27

5. Задана плоскость α=a//b (Рисунок 3.28). Построить плоскость β параллельную плоскости α и удаленную от нее на расстоянии 20 мм.

Рисунок 3.28

6. Задана плоскость α=∆АВС и точка D вне плоскости. Построить через точку D плоскость β⊥α и β⊥π₁.

7. Задана плоскость α=∆АВС и точка D вне плоскости. Построить через точку D прямую DE//α и DE//π₁.

Плоскость – это поверхность, которая полностью содержит каждую прямую, соединяющую ее точки. Из этого определения можно сделать вывод, что две плоскости по отношению относительно друг к другу могут быть параллельными или пересекающимися по прямой.

Обозначения плоскостей на чертеже по ГОСТу

Правила обозначения плоскостей приведены в ГОСТ 2.308-2011 ЕСКД, в котором содержатся требования к указанию на чертежах допусков формы и расположения поверхностей. Согласно общим правилам инженерной графики и геометрии на листах плоскость обозначается строчной буквой греческого алфавита, которая изображается на самой плоскости либо рядом с ней. Проекционные плоскости обозначаются как П1, П2 и т.д.

Способы задания плоскости на чертеже

Существует шесть вариантов построения:

• используя 3 точки, которые не расположены на одной прямой;
• используя проекцию прямой линии, а также точки, не относящейся к этой линии и не лежащей на ней;
• используя проекции двух прямых, которые параллельны друг относительно друга;
• используя проекции двух прямых, которые пересекаются;
• используя проекции плоской фигуры;
• используя следы.

Горизонтальные плоскости на чертеже

Название плоскости зависит от расположения относительно плоскостей проекций. Рассматривается одно из трех возможных положений, в первом случае плоскость может располагаться под углом ко всем плоскостям (П1, П2 и П3), во втором может быть перпендикулярной П1, П2 или П3, в последнем случае она может быть параллельной П1, П2 или П3.

Если плоскость относится к первому случаю, то ее называют плоскостью общей проекции, в отличие от плоскости частного положения, которая относится ко второму и третьему положению. Плоскости уровня располагаются параллельно плоскостям П1, П2 и П3 и могут быть горизонтальными, фронтальными и профильными. В силу параллельности следу плоскости будут параллельны соответствующим осям координат.

Прямые, перпендикулярные плоскости на чертеже

Если две прямые, которые лежат в одной плоскости, образуют четыре прямых угла, то они называются перпендикулярными. Перпендикулярной плоскости будет прямая, которая перпендикулярная ко всем прямым, относящимся к плоскости. Исходя из расположения прямой можно сделать вывод, что если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она будет перпендикулярна и самой плоскости.

Секущая плоскость на чертеже

Секущая плоскость используется на чертежах практически в любой отрасли, она позволяет представить, как выглядит предмет в сечении. Согласно правилам, сама секущая плоскость на чертеже не показывается, если она совпадает с плоскостью симметрии, разрез и вид не разделены другими изображениями и выполняется разрез, расположенный в проекционной связи с видом. В остальных случаях положение секущей плоскости обозначают разомкнутой линией, при этом длина штриха составляет 8-10 мм.

С помощью секущей плоскости можно выполнить продольный, поперечный, горизонтальный разрез и разрез под углом.

Чертеж плоскости общего положения

При выполнении чертежа необходимо помнить, что эта плоскость проходит так, чтобы не быть перпендикулярной и параллельной ни одной из плоскостей проекций. Она расположена под углом к плоскостям, поэтому на комплексном чертеже плоскости мы увидим ее на каждой проекции.

На листе чертежа плоскость задается с помощью трех точек либо прямой и точки или через две пересекающиеся прямые.

Признаки параллельных плоскостей на чертеже

Параллельность обозначают с помощью условного знака ‖, который может относиться как к прямым, так и к плоскостям. При отображении параллельных плоскостей на чертеже их показывают как два равных параллелограмма, смещенных друг относительно друга, каждая плоскость имеет наименование, например, α‖β.

Основной признак параллельности рассматриваемых плоскостей состоит в том, что две пересекающиеся прямые в одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым в другой плоскости.

Как обозначается секущая плоскость на чертеже

Чтобы обозначит секущую плоскость используют линию сечения. Места сечения обозначаются, так как их местоположение необходимо учитывать при построении разрезов. С помощью стрелки изображают направление взгляда, а утолщенная линия однозначно задает условное место рассечения детали или элемента.

Замена плоскостей на чертеже

Метод замены плоскостей на чертеже используется для решения ряда задач начертательной геометрии. Суть метода состоит в том, что одна плоскость, которая была задана, заменяется на дополнительную, расположенную таким образом, чтобы были упрощены условия решения, при этом положение фигур, их центров и отверстий остается прежним. Замена может осуществляться как для одной, так и для двух плоскостей.

Плоскости проекций на чертеже

Плоскости проекций позволяют получить полное представление о предмете. Отмечается, что одна или две плоскости проекции могут иметь недостаточно информации, так как не все характерные черты и отклонения будут указаны на них.

Плоскости проекций находятся перпендикулярно друг другу, и за счет их перпендикулярности можно добиться полного восприятия и изображения проекций предмета с разных ракурсов, которые не требуют пояснения. Три плоскости изображаются так, что они образуют трехгранный угол. Плоскости проекций могут обозначаться как П1, П2 и П3 или как V -вертикальная, H – горизонтальная и W- профильная.

Ответы на вопросы

Как обозначить преобразование плоскости при замене?

Новая плоскость имеет название, отличающееся от заменяемой плоскости, к примеру, если заменяется плоскость V, то новая плоскость будет иметь название V1.

Как указывают на рисунках пересекающиеся плоскости?

Чтобы показать, что плоскости не параллельны друг другу, обозначают линию пересечения, две пересекающиеся плоскости образуют две пары равных двухгранных углов.

Как задать направление на проецирующих лучах?

С помощью проецирования выполняется построение чертежа на плоскости, поэтому при проецировании лучи идут перпендикулярно плоскости проекции.