Эллипсом
называется геометрическое место точек
плоскости, координаты которых удовлетворяют
уравнению
(9.7)
где
(9.8)
Уравнение (9.7)
называется
каноническим
уравнением эллипса.
Параметры эллипса
Точки F1(–c,
0) и F2(c,
0), где
называютсяфокусами
эллипса,
при этом величина 2c
определяет междуфокусное
расстояние.
Точки А1(–а,
0), А2(а,
0), В1(0,
–b),
B2(0,
b)
называются вершинами
эллипса
(рис. 9.2), при этом А1А2
= 2а
образует большую ось эллипса, а В1В2
– малую,
– центр эллипса.
Основные параметры
эллипса, характеризующие его форму:
ε
= с/a
– эксцентриситет
эллипса;
–фокальные
радиусы эллипса
(точка М
принадлежит эллипсу), причем r1
= a
+ εx,
r2
= a
– εx;
–директрисы
эллипса.
Рис. 9.2
Для эллипса
справедливо:
директрисы не пересекают границу и
внутреннюю область эллипса, а также
обладают свойством
Эксцентриситет
эллипса выражает его меру «сжатости».
Если b
> a
> 0, то
эллипс задается уравнением (9.7), для
которого вместо условия (9.8) выполняется
условие
.
(9.9)
Тогда 2а
– малая ось, 2b
– большая ось, 
– фокусы (рис. 9.3). При этомr1
+ r2
= 2b,
ε
= c/b,
директрисы определяются уравнениями:
Рис. 9.3
При
условии
имеем (в виде частного случая эллипса)окружность
радиуса R
= a.
При этом с
= 0, а значит, ε = 0.
Точки эллипса
обладают характеристическим
свойством:
сумма расстояний от каждой из них до
фокусов есть величина постоянная, равная
2а
(рис. 9.2).
Для параметрического
задания эллипса
(формула (9.7)) в случаях выполнения условий
(9.8) и (9.9) в качестве параметра t
может быть взята величина угла между
радиус-вектором точки, лежащей на
эллипсе, и положительным направлением
оси Ox:
где
Если центр эллипса
с полуосями
находится в точке
то его уравнение имеет вид:
(9.10)
Пример 1.
Привести уравнение эллипса x2
+ 4y2
= 16 к каноническому виду и определить
его параметры. Изобразить эллипс.
Решение.
Разделим уравнение x2 + 4y2 = 16
на 16, после чего получим:
По виду полученного
уравнения заключаем, что это каноническое
уравнение эллипса (формула (9.7)), где а
= 4 – большая полуось, b
= 2 – малая полуось. Значит, вершинами
эллипса являются точки A1(–4, 0),
A2(4, 0),
B1(0, –2),
B2(0, 2).
Так как
– половина междуфокусного расстояния,
то точки
являются фокусами эллипса. Вычислим
эксцентриситет:
Директрисы D1,
D2
описываются уравнениями:
Изображаем эллипс
(рис. 9.4).
Рис. 9.4
Пример 2.
Определить параметры эллипса
Решение.
Сравним данное уравнение с каноническим
уравнением эллипса
со смещенным центром. Находим центр
эллипсаС:
Большая полуось
малая полуось
прямые
– главные оси. Половина междуфокусного
расстояния
а значит, фокусы
Эксцентриситет
ДиректрисыD1
и D2
могут быть описаны с помощью уравнений:
(рис. 9.5).
Рис. 9.5
Пример 3.
Определить, какая кривая задается
уравнением, изобразить ее:
1) x2
+ y2
+ 4x
– 2y
+ 4 = 0; 2) x2
+ y2
+ 4x
– 2y
+ 6 = 0;
3) x2
+ 4y2
– 2x
+ 16y
+ 1 = 0; 4) x2
+ 4y2
– 2x
+ 16y
+ 17 = 0;
5)
Решение.
1) Приведем уравнение к каноническому
виду методом выделения полного квадрата
двучлена:
x2
+ y2
+ 4x
– 2y
+ 4 = 0;
(x2
+ 4x)
+ (y2
– 2y)
+ 4 = 0;
(x2
+ 4x
+ 4) – 4 + (y2
– 2y
+ 1) – 1 + 4 = 0;
(x
+ 2)2
+ (y
– 1)2
= 1.
Таким образом,
уравнение может быть приведено к виду
(x
+ 2)2
+ (y
– 1)2
= 1.
Это уравнение
окружности с центром в точке (–2, 1) и
радиусом R = 1
(рис. 9.6).
Рис. 9.6
2)
Выделяем полные квадраты двучленов в
левой части уравнения и получаем:
(x
+ 2)2
+ (y
– 1)2
= –1.
Это уравнение не
имеет смысла на множестве действительных
чисел, так как левая часть неотрицательна
при любых действительных значениях
переменных x
и y,
а правая – отрицательна. Поэтому говорят,
что это уравнение «мнимой окружности»
или оно задает пустое множество точек
плоскости.
3) Выделяем полные
квадраты:
x2
+ 4y2
– 2x
+ 16y
+ 1 = 0;
(x2
– 2x
+ 1) – 1 + 4(y2
+ 4y
+ 4) – 16 + 1 = 0;
(x
– 1)2
+ 4(y
+ 2)2
– 16 = 0;
(x
– 1)2
+ 4(y
+ 2)2
= 16.
Значит, уравнение
имеет вид:
или
Полученное
уравнение, а следовательно, и исходное
задают эллипс. Центр эллипса находится
в точке О1(1,
–2), главные оси задаются уравнениями
y
= –2, x
= 1, причем большая полуось а
= 4, малая полуось b
= 2 (рис. 9.7).
Рис. 9.7
4) После выделения
полных квадратов имеем:
(x
– 1)2
+ 4(y
+ 2)2
– 17 + 17 = 0 или (x
– 1)2
+ 4(y
+ 2)2
= 0.
Полученное уравнение
задает единственную точку плоскости с
координатами (1, –2).
5) Приведем уравнение
к каноническому виду:
Очевидно, оно
задает эллипс, центр которого находится
в точке
главные оси задаются уравнениями
причем большая полуось
малая полуось
(рис. 9.8).
Рис. 9.8
Пример 4.
Записать уравнение касательной к
окружности радиуса 2 с центром в
правом фокусе эллипса x2
+ 4y2
= 4 в точке пересечения с осью ординат.
Решение.
Уравнение эллипса приведем к каноническому
виду (9.7):
Значит,
и правый фокус –
Поэтому, искомое уравнение окружности
радиуса 2 имеет вид (рис. 9.9):
Окружность
пересекает ось ординат в точках,
координаты которых определяются из
системы уравнений:
Получаем:
Пусть это точки N
(0; –1) и М
(0; 1). Значит, можно построить две
касательные, обозначим их Т1
и Т2.
По известному свойству касательная
перпендикулярна радиусу, проведенному
в точку касания.
Пусть
Тогда
уравнение касательнойТ1
примет вид:
значит,
илиТ1:
Тогда уравнение
касательной Т2
примет вид:
значит,
илиТ2:
Рис. 9.9
Пример 5.
Записать уравнение окружности, проходящей
через точку М(1,
–2) и точки пересечения прямой x
– 7y
+ 10 = 0 с окружностью x2
+ y2
– 2x
+ 4y
– 20 = 0.
Решение.
Найдем точки пересечения прямой x
– 7y
+ 10 = 0 с окружностью x2
+ y2
– 2x
+ 4y
– 20 = 0, решив систему уравнений:
Выразим х
из первого уравнения системы:
x
= 7y
– 10.
Затем подставим
во второе:
(7y
– 10)2
+ y2
– 2(7y
– 10) + 4y
– 20 = 0.
Оно равносильно
уравнению
y2
– 3y
+ 2 = 0.
Используя формулы
корней квадратного уравнения, найдем
y1
= 1, y2
= 2, откуда x1
= –3, x2
= 4.
Итак, имеем три
точки, лежащие на окружности: M(1,
–2), M1(4,
2) и M2(–3,
1). Пусть О1(x0,
y0)
– центр окружности. Тогда
гдеR
– радиус окружности.
Найдем координаты
векторов:
Значит,
что равносильно
системе
Упрощаем ее:
Решая последнюю
систему, получаем ответ:
Таким образом,
центр окружности находится в точке
(0,5; 1,5), ее радиус
Тогда каноническое
уравнение искомой окружности имеет
вид:
Задания
Соседние файлы в папке Часть 2
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Определение эллипсa
Определение.
Эллипс — это замкнутая плоская кривая, сумма расстояний от каждой точки которой до двух точек F1 и F2 равна постоянной величине. Точки F1 и F2 называют фокусами эллипса.
F1M1 + F2M1 = F1M2 + F2M2 = A1A2 = const
Элементы эллипсa
F1 и F2 — фокусы эллипсa
Оси эллипсa.
А1А2 = 2a — большая ось эллипса (проходит через фокусы эллипса)
B1B2 = 2b — малая ось эллипса (перпендикулярна большей оси эллипса и проходит через ее центр)
a — большая полуось эллипса
b — малая полуось эллипса
O — центр эллипса (точка пересечения большей и малой осей эллипса)
Вершины эллипсa A1, A2, B1, B2 — точки пересечения эллипсa с малой и большой осями эллипсa
Диаметр эллипсa — отрезок, соединяющий две точки эллипса и проходящий через его центр.
Фокальное расстояние c — половина длины отрезка, соединяющего фокусы эллипсa.
Эксцентриситет эллипсa e характеризует его растяженность и определяется отношением фокального расстояния c к большой полуоси a. Для эллипсa эксцентриситет всегда будет 0 < e < 1, для круга e = 0, для параболы e = 1, для гиперболы e > 1.
Фокальные радиусы эллипсa r1, r2 — расстояния от точки на эллипсе до фокусов.
Радиус эллипсa R — отрезок, соединяющий центр эллипсa О с точкой на эллипсе.
| R = | ab | = | b |
| √a2sin2φ + b2cos2φ | √1 — e2cos2φ |
где e — эксцентриситет эллипсa, φ — угол между радиусом и большой осью A1A2.
Фокальный параметр эллипсa p — отрезок который выходит из фокуса эллипсa и перпендикулярный большой полуоси:
Коэффициент сжатия эллипсa (эллиптичность) k — отношение длины малой полуоси к большой полуоси. Так как малая полуось эллипсa всегда меньше большей, то k < 1, для круга k = 1:
k = √1 — e2
где e — эксцентриситет.
Сжатие эллипсa (1 — k ) — величина, которая равная разности между единицей и эллиптичностью:
Директрисы эллипсa — две прямые перпендикулярные фокальной оси эллипса, и пересекающие ее на расстоянии
ae
от центра эллипса. Расстояние от фокуса до директрисы равно
pe
.
Основные свойства эллипсa
1. Угол между касательной к эллипсу и фокальным радиусом r1 равен углу между касательной и фокальным радиусом r2 (Рис. 2, точка М3).
2. Уравнение касательной к эллипсу в точке М с координатами (xM, yM):
3. Если эллипс пересекается двумя параллельными прямыми, то отрезок, соединяющий середины отрезков образовавшихся при пересечении прямых и эллипса, всегда будет проходить через центр эллипсa. (Это свойство дает возможность построением с помощью циркуля и линейки получить центр эллипса.)
4. Эволютой эллипсa есть астероида, что растянута вдоль короткой оси.
5. Если вписать эллипс с фокусами F1 и F2 у треугольник ∆ ABC, то будет выполнятся следующее соотношение:
| 1 = | F1A ∙ F2A | + | F1B ∙ F2B | + | F1C ∙ F2C |
| CA ∙ AB | AB ∙ BC | BC ∙ CA |
Уравнение эллипсa
Каноническое уравнение эллипсa:
Уравнение описывает эллипс в декартовой системе координат. Если центр эллипсa О в начале системы координат, а большая ось лежит на абсциссе, то эллипсa описывается уравнением:
Если центр эллипсa О смещен в точку с координатами (xo, yo), то уравнение:
| 1 = | (x — xo)2 | + | (y — yo)2 |
| a2 | b2 |
Параметрическое уравнение эллипсa:
| { | x = a cos α | де 0 ≤ α < 2π |
| y = b sin α |
Радиус круга вписанного в эллипс
Круг, вписан в эллипс касается только двух вершин эллипсa B1 и B2. Соответственно, радиус вписанного круга r будет равен длине малой полуоси эллипсa OB1:
r = b
Радиус круга описанного вокруг эллипсa
Круг, описан вокруг эллипсa касается только двух вершин эллипсa A1 и A2. Соответственно, радиус описанного круга R будет равен длине большой полуоси эллипсa OA1:
R = a
Площадь эллипсa
Формула определение площади эллипсa:
S = πab
Площадь сегмента эллипсa
Формула площади сегмента, что находится по левую сторону от хорды с координатами (x, y) и (x, -y):
| S = | πab | — | b | ( | x | √ | a2 — x2 + a2 ∙ arcsin | x | ) |
| 2 | a | a |
Периметр эллипсa
Найти точную формулу периметра эллипсa L очень тяжело. Ниже приведена формула приблизительной длины периметра. Максимальная погрешность этой формулы ~0,63 %:
| L ≈ 4 | πab + (a — b)2 |
| a + b |
Длина дуги эллипсa
Формулы определения длины дуги эллипсa:
1. Параметрическая формула определения длины дуги эллипсa через большую a и малую b полуоси:
| t2 | ||
| l = | ∫ | √a2sin2t + b2cos2t dt |
| t1 |
2. Параметрическая формула определения длины дуги эллипсa через большую полуось a и эксцентриситет e:
| t2 | ||
| l = | ∫ | √1 — e2cos2t dt, e < 1 |
| t1 |
-
Определение эллипса.
Начать изучение
-
Фокусы, эксценриситет и директрисы эллипса.
Начать изучение
-
Уравнение касательной к эллипсу.
Начать изучение
Определение эллипса.
Напомним, что мы назвали эллипсом линию, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением
$$
frac{x^{2}}{a^{2}}+frac{y^{2}}{b^{2}}=1label{ref1}
$$
при условии (a geq b > 0).
Из уравнения eqref{ref1} следует, что для всех точек эллипса (|x| leq a) и (|y| leq b). Значит, эллипс лежит в прямоугольнике со сторонами (2a) и (2b).
Точки пересечения эллипса с осями канонической системы координат, имеющие координаты ((a, 0)), ((-a, 0)), ((0, b)) и ((0, -b)), называются вершинами эллипса. Числа (a) и (b) называются соответственно большой и малой полуосями эллипса.
В каноническое уравнение входят только квадраты координат. Поэтому, если координаты ((x, y)) какой-либо точки /(M) ему удовлетворяют, то ему удовлетворяют и координаты ((-x, y)), ((x, -y)) и ((-x, -y)) точек (M_{1}), (M_{2}) и (M_{3}) (рис. 8.1). Следовательно, справедливо следующее утверждение.
Утверждение 1.
Оси канонической системы координат являются осями симметрии эллипса, а начало канонической системы — его центром симметрии.
Внешний вид эллипса проще всего описать сравнением с окружностью радиуса (a) с центром в центре эллипса: (x^{2}+y^{2}=a^{2}). При каждом (x) таком, что (|x| < a), найдутся две точки эллипса с ординатами (pm b sqrt{1-x^{2}/a^{2}}) и две точки окружности с ординатами (pm a sqrt{1-x^{2}/a^{2}}). Пусть точке эллипса соответствует точка окружности с ординатой того же знака. Тогда отношение ординат соответствующих точек равно (b/a). Итак, эллипс получается из окружности таким сжатием ее к оси абсцисс, при котором ординаты всех точек уменьшаются в одном и том же отношении (b/a) (рис. 8.2).
Фокусы, эксценриситет и директрисы эллипса.
У эллипса есть две замечательные точки, которые называются его фокусами.
Определение.
Пусть по определению
$$
c^{2}=a^{2}-b^{2}label{ref2}
$$
и (c geq 0).
Фокусами называются точки (F_{1}) и (F_{2}) с координатами ((c, 0)) и ((-c, 0)) в канонической системе координат (рис. 8.3).
Для окружности (c=0), и оба фокуса совпадают с центром. Ниже мы будем предполагать, что эллипс не является окружностью.
Определение.
Отношение
$$
varepsilon=frac{c}{a}label{ref3}
$$
называется эксцентриситетом эллипса.
Отметим, что (varepsilon < 1).
Утверждение 2.
Расстояние от произвольной точки (M(x, y)), лежащей на эллипсе, до каждого из фокусов (рис. 8.3) является линейной функцией от ее абсциссы (x):
$$
r_{1}=|F_{1}M|=a-varepsilon x, r_{2}=|F_{2}M|=a+varepsilon x.label{ref4}
$$
Доказательство.
Очевидно, что (r_{1}^{2}=(x-c)^{2}+y^{2}). Подставим сюда выражение для (y^{2}), найденное из уравнения эллипса. Мы получим
$$
r_{1}^{2}=x^{2}-2cx+c^{2}+b^{2}-frac{b^{2}x^{2}}{a^{2}}.nonumber
$$
Учитывая равенство eqref{ref2}, это можно преобразовать к виду
$$
r_{1}^{2}=a^{2}-2cx+frac{c^{2}x^{2}}{a^{2}}=(a-varepsilon x)^{2}.nonumber
$$
Так как (x leq a) и (varepsilon < 1), отсюда следует, что справедливо первое из равенств eqref{ref4}: (r_{1}=a-varepsilon x). Второе равенство доказывается аналогично.
Утверждение 3.
Для того чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы сумма ее расстояний до фокусов равнялась большой оси эллипса (2a).
Доказательство.
Необходимость. Если мы сложим равенства eqref{ref4} почленно, то увидим, что
$$
r_{1}+r_{2}=2a.label{ref5}
$$
Достаточность. Пусть для точки (M(x, y)) выполнено условие eqref{ref5}, то есть
$$
sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=2a-sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}.nonumber
$$
Возведем обе части равенства в квадрат и приведем подобные члены:
$$
xc+a^{2}=asqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}.label{ref6}
$$
Это равенство также возведем в квадрат и приведем подобные члены, используя соотношение eqref{ref2}. Мы придем к (b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}), равносильному уравнению эллипса eqref{ref1}.
С эллипсом связаны две замечательные прямые, называемые его директрисами. Их уравнения в канонической системе координат (рис. 8.4)
$$
x=frac{a}{varepsilon},\ x=-frac{a}{varepsilon}.label{ref7}
$$
Директрису и фокус, которые лежат по одну сторону от центра, будем считать соответствующими друг другу.
Утверждение 4.
Для того чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение ее расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету эллипса (varepsilon).
Доказательство.
Докажем это предложение для фокуса (F_{2}(-c, 0)). Пусть (M(x, y)) — произвольная точка эллипса. Расстояние от (M) до директрисы с уравнением (x=-a/varepsilon) по формуле (9) §3 гл. II равно
$$
d_{2}=|x+frac{a}{varepsilon}|=frac{1}{varepsilon}(varepsilon x+a).nonumber
$$
Из формулы eqref{ref4} мы видим теперь, что (r_{2}/d_{2}=varepsilon).
Обратно, пусть для какой-то точки плоскости (r_{2}/d_{2}=varepsilon), то есть
$$
sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}=varepsilon left(x+frac{a}{varepsilon}right).nonumber
$$
Так как (varepsilon=c/a), это равенство легко приводится к виду eqref{ref6}, из которого, как мы знаем, следует уравнение эллипса.
Уравнение касательной к эллипсу.
Выведем уравнение касательной к эллипсу, заданному каноническим уравнением. Пусть (M_{0}(x_{0}, y_{0})) — точка на эллипсе и (y_{0} neq 0). Через (M_{0}) проходит график некоторой функции (y=f(x)), который целиком лежит на эллипсе. (Для (y_{0} > 0) это график (f_{1}(x)=bsqrt{1-x^{2}/a^{2}}), для (y_{0} < 0) — график (f_{2}(x)=-bsqrt{1-x^{2}/a^{2}}). Не уточняя знака (y_{0}), обозначим подходящую функцию (f(x)).) Для нее выполнено тождество
$$
frac{x^{2}}{a^{2}}+frac{(f(x))^{2}}{b^{2}}=1.nonumber
$$
Дифференцируем его по (x):
$$
frac{2x}{a^{2}}+frac{2ff’}{b^{2}}=0.nonumber
$$
Подставляя (x=x_{0}) и (f(x_{0}=y_{0})), находим производную от (f) в точке (x_{0}), равную угловому коэффициенту касательной:
$$
f'(x_{0})=frac{b^{2}}{a^{2}} frac{x_{0}}{y_{0}}.nonumber
$$
Теперь мы можем написать уравнение касательной:
$$
y-y_{0}=-frac{b^{2}}{a^{2}} frac{x_{0}}{y_{0}}(x-x_{0}).nonumber
$$
Упрощая это уравнение, учтем, что (b^{2}x_{0}^{2}+a^{2}y_{0}^{2}=a^{2}b^{2}), так как (M_{0}) лежит на эллипсе. Результату можно придать вид
$$
frac{xx_{0}}{a^{2}}+frac{yy_{0}}{b^{2}}=1.label{ref8}
$$
При выводе уравнения eqref{ref8} мы исключили вершины эллипса ((a, 0)) и ((-a, 0)), положив (y_{0} neq 0). Для этих точек оно превращается, соответственно, в уравнения (x=a) и (x=-a). Эти уравнения определяют касательные в вершинах. Проверить это можно, заметив, что в вершинах ж как функция от у достигает экстремума. Предоставим читателю проделать это подробно и показать тем самым, что уравнение eqref{ref8} определяет касательную для любой точки (M_{0}(x_{0}, y_{0})) на эллипсе.
Утверждение 5.
Касательная к эллипсу в точке (M_{0}(x_{0}, y_{0})) есть биссектриса угла, смежного с углом между отрезками, соединяющими эту точку с фокусами.
Доказательство.
Нам надо сравнить углы (varphi_{1}) и (varphi_{2}), составленные векторами (overrightarrow{F_{1}M_{0}}) и (overrightarrow{F_{2}M_{0}}) с вектором (boldsymbol{n}), перпендикулярным касательной (рис. 8.5). Из уравнения eqref{ref8} находим, что (boldsymbol{n}(x_{0}/a^{2}, y_{0}/b^{2})), и потому
$$
(overrightarrow{F_{1}M_{0}}, boldsymbol{n})=frac{x_{0}}{a^{2}}(x_{0}-c)+frac{y_{0}}{b^{2}}y_{0}=1-frac{x_{0}c}{a^{2}}=frac{a-varepsilon x_{0}}{a}.nonumber
$$
Используя eqref{ref4}, мы получаем отсюда, что (cos varphi_{1}=1/(a|boldsymbol{n}|)). Аналогично находим (cos varphi_{2}=1/(a|boldsymbol{n}|)). Утверждение доказано.
