Как написать подмножество

Множества

• Подмножество
• Пересечение и объединение множеств

Множество — это совокупность любых объектов. Множества обозначают большими буквами латинского алфавита — от  A  до  Z.

Основные числовые множества: множество натуральных чисел и множество целых чисел, всегда обозначаются одними и теми же буквами:

N — множество натуральных чисел,

Z — множество целых чисел.

Элемент множества — это любой объект, входящий в состав множества. Принадлежность объекта к множеству обозначается с помощью знака  ∈.  Запись

5∈Z

читается так:  5 принадлежит множеству  Z  или  5 – элемент множества  Z.

Множества делятся на конечные и бесконечные. Конечное множество — множество, содержащее определённое (конечное) количество элементов. Бесконечное множество — множество, содержащее бесконечно много элементов. К бесконечным множествам можно отнести множества натуральных и целых чисел.

Для определения множества используются фигурные скобки, в которых через запятую перечисляются элементы. Например, запись

L = {2, 4, 6, 8}

означает, что множество  L  состоит из четырёх чётных чисел.

Термин множество употребляется независимо от того, сколько элементов оно содержит. Множества не содержащие ни одного элемента называются пустыми.

Подмножество

Подмножество — это множество, все элементы которого, являются частью другого множества.

Визуально продемонстрировать отношение множества и входящего в него подмножества можно с помощью кругов Эйлера. Круги Эйлера — это геометрические схемы, помогающие визуализировать отношения различных объектов, в нашем случае, множеств.

Рассмотрим два множества:

L = {2, 4, 6, 8}   и   M = {2, 4, 6, 8, 10, 12}.

Каждый элемент множества  L  принадлежит и множеству  M,  значит, множество  L  является подмножеством множества  M.  Такое соотношение множеств обозначают знаком  ⊂:

L⊂M.

Запись  L⊂M  читается так:  множество  L  является подмножеством множества  M.

Множества, состоящие из одних и тех же элементов, независимо от их порядка, называются  равными  и обозначаются знаком  =.

Рассмотрим два множества:

L = {2, 4, 6}   и   M = {4, 6, 2}.

Так как оба множества состоят из одних и тех же элементов, то  L = M.

Пересечение и объединение множеств

Пересечение двух множеств — это совокупность элементов, принадлежащих каждому из этих множеств, то есть их общая часть. Пересечение обозначается знаком  ∩.

Например, если

L = {1, 3, 7, 11}   и   M = {3, 11, 17, 19},  то   L∩M = {3, 11}.

Запись  L∩M  читается так:  пересечение множеств  L  и  M.

Из данного примера следует, что пересечением множеств называется множество, которое содержит только те элементы, которые встречаются во всех пересекающихся множествах.

Объединением двух множеств называется множество, содержащее все элементы исходных множеств в единственном экземпляре, то есть если один и тот же элемент встречается в обоих множествах, то в новое множество этот элемент будет включён только один раз. Объединение обозначается знаком  ∪.

Например, если

L = {1, 3, 7, 11}   и   M = {3, 11, 17, 19},

то   L∪M = {1, 3, 7, 11, 17, 19}.

Запись  L∪M  читается так: объединение множеств  L  и  M.

При объединении равных множеств объединение будет равно любому из данных множеств:

если  L = M,   то   L∪M = L   и   L∪M = M.

«Суперсет» перенаправляется сюда. Для использования в других целях см. Суперсет (значения).

В математика, а набор А это подмножество набора B я упал элементы из А также являются элементами B; B тогда суперсет из А. Это возможно для А и B быть равным; если они неравны, то А это правильное подмножество из B. Отношение одного набора, являющегося подмножеством другого, называется включение (или иногда сдерживание). А это подмножество B также может быть выражено как B включает (или содержит) А или же А входит (или содержится) в B.

Отношение подмножества определяет частичный заказ на наборах. Фактически, подмножества данного множества образуют Булева алгебра по отношению подмножества, в котором присоединяйся и встречайся даны пересечение и союз, а само отношение подмножества является Булево отношение включения.

Определения

Если А и B наборы и каждый элемент из А также является элементом B, тогда:

Если А это подмножество B, но А не является равный к B (т.е. Существует хотя бы один элемент B, который не является элементом А), тогда:

Для любого набора S, включение связь ⊆ это частичный заказ на съемочной площадке (в набор мощности из S— набор всех подмножеств S^[3]) определяется . Мы также можем частично заказать обратным включением множества путем определения

При количественной оценке А ⊆ B представлен как ∀Икс(Икс ∈ А → Икс ∈ B).^[4]

Мы можем доказать утверждение А ⊆ B применяя метод доказательства, известный как аргумент элемента^[5]:

Пусть множества А и B быть данным. Чтобы доказать, что А ⊆ Б,

1. предполагать который а является частным, но произвольно выбранным элементом B,
2. Показать который а является элементом B.

Правомерность этого метода можно рассматривать как следствие Универсальное обобщение: техника показывает c ∈ А → c ∈ B для произвольно выбранного элемента c. Универсальное обобщение влечет ∀Икс(Икс ∈ А → Икс ∈ B), что эквивалентно А ⊆ B, как указано выше.

Характеристики

• Множество А это подмножество из B если и только если их пересечение равно A.

Формально:

• Множество А это подмножество из B тогда и только тогда, когда их объединение равно B.

Формально:

• А конечный набор А это подмножество из B, тогда и только тогда, когда мощность их пересечения равна мощности A.

Формально:

Символы ⊂ и ⊃

Некоторые авторы используют символы ⊂ и ⊃ для обозначения подмножество и суперсет соответственно; то есть, с тем же значением и вместо символов ⊆ и ⊇.^[6] Например, для этих авторов это верно для каждого набора А который А ⊂ А.

Другие авторы предпочитают использовать символы ⊂ и ⊃ для обозначения правильный (также называемое строгим) подмножеством и правильный суперсет соответственно; то есть, с тем же значением и вместо символов ⊊ и ⊋.^[7][1] Это использование делает ⊆ и ⊂ аналогами неравенство символы ≤ и <. Например, если Икс ≤ у, тогда Икс может или не может быть равным у, но если Икс < у, тогда Икс определенно не равно у, и является меньше, чем у. Аналогично, используя соглашение, что ⊂ — собственное подмножество, если А ⊆ B, тогда А может или не может быть равным B, но если А ⊂ B, тогда А определенно не равно B.

Примеры подмножеств

• Множество A = {1, 2} является собственным подмножеством B = {1, 2, 3}, поэтому оба выражения A ⊆ B и A ⊊ B истинны.
• Множество D = {1, 2, 3} является подмножеством (но нет собственное подмножество) E = {1, 2, 3}, таким образом, D ⊆ E истинно, а D ⊊ E не истинно (ложно).
• Любой набор — это подмножество самого себя, но не собственное подмножество. (X ⊆ X истинно, а X ⊊ X ложно для любого множества X.)
• Набор {Икс: Икс это простое число больше 10} является правильным подмножеством {Икс: Икс нечетное число больше 10}
• Набор натуральные числа является собственным подмножеством множества рациональное число; аналогично, множество точек в отрезок является собственным подмножеством множества точек в линия. Это два примера, в которых как подмножество, так и весь набор бесконечны, а подмножество имеет одинаковые мощность (понятие, соответствующее размеру, то есть количеству элементов конечного набора) в целом; такие случаи могут идти вразрез с первоначальной интуицией.
• Набор рациональное число является собственным подмножеством множества действительные числа. В этом примере оба набора бесконечны, но последний набор имеет большую мощность (или мощность), чем предыдущий набор.

Другой пример в Диаграмма Эйлера:

• 

  A — собственное подмножество B

• 

  C является подмножеством, но не является собственным подмножеством B

Другие свойства включения

Включение — это каноническое частичный заказ, в том смысле, что каждое частично упорядоченное множество (Икс, ) является изоморфный в некоторый набор множеств, упорядоченных по включению. В порядковые номера простой пример: если каждый порядковый номер п отождествляется с множеством [п] всех порядковых чисел, меньших или равных п, тогда а ≤ б если и только если [а] ⊆ [б].

Для набор мощности набора S, частичный порядок включения — с точностью до изоморфизм порядка — Декартово произведение из k = |S| (в мощность из S) копий частичного порядка на {0,1}, для которых 0 <1. Это можно проиллюстрировать, перечислив S = {s₁, s₂, …, s_k} и связывая с каждым подмножеством Т ⊆ S (т.е. каждый элемент 2^S) k-набор из {0,1}^k, из которых я-я координата равна 1 тогда и только тогда, когда s_я является членом Т.

Смотрите также

• Порядок включения
• Область, край
• Проблема суммы подмножества
• Всего подмножество

Рекомендации

Библиография

• Jech, Thomas (2002). Теория множеств. Springer-Verlag. ISBN  3-540-44085-2.

внешняя ссылка

• СМИ, связанные с Подмножества в Wikimedia Commons
• Вайсштейн, Эрик В. «Подмножество». MathWorld.

Понятие множества

Что такое «множество», мы понимаем интуитивно. В этом смысле это понятие первично, так же как «точка» или «плоскость».

Создатель теории множеств Г.Кантор описывал множество как «многое, мыслимое нами как единое».

Приведём примеры множеств:

Конечное, бесконечное и пустое множества

Людей в салоне самолёта легко посчитать, это множество конечно.

С деревьями в парке, планетами и электронами – сложней. Скорее всего, мы не сможем назвать точное количество элементов этих множеств в данный момент времени. Однако, и эти множества конечны.

Натуральное число – это идеальный объект, абстракция. Множество натуральных чисел бесконечно. Как оказалось, человек может оперировать и абстракциями, и бесконечностями.

Можно себе представить даже то, «чего на свете вообще не может быть». Поскольку таких объектов нет, их множество будет пустым. Пустое множество является частью любого другого множества.

Способы задания множеств

1) Перечисление – в списке задаются все элементы множества.

Например:

Множество всех континентов Земли:

{Евразия,Северная Америка,Южная Америка,Африка,Австралия,Антарктида}

Множество букв слова «математика»: {м,а,т,е,и,к}

Множество натуральных чисел меньших 5: {1,2,3,4}

2) Характеристическое свойство – указывается особенность элементов множества.

Например:

A = ${x|x gt 0, x in Bbb R}$ — множество всех действительных положительных x

B = ${n|n⋮5,n in Bbb N}$ — множество всех натуральных n, кратных 5

C = ${(x,y)|x^2+y^2 ge 1,x in Bbb R,y in Bbb R}$ – множество всех действительных точек координатной плоскости (x,y), расстояние от которых до начала координат не больше 1 (круг с центром в начале координат, радиусом 1).

D = {k|k-материк Земли} – множество всех материков планеты Земля

3) Графическое изображение – визуальное моделирование с помощью различных диаграмм (круги Эйлера, интервалы, графики и т.п.)

Подмножества

Знак $subseteq$ является аналогом $ge$, т.е. «нестрогим» неравенством. Это значит, что множества A и B могут и совпадать (любое множество является подмножеством самого себя).

Между множествами можно также ввести отношение «строгое подмножество», $A subset B$, в котором B заведомо «шире» множества A (аналог строгого неравенства $lt$).

Примеры подмножеств:

Множество людей является подмножеством приматов, живущих на Земле.

Множество натуральных чисел меньших 5 является подмножеством натуральных чисел меньших $10: A = {n|n lt 5, n in Bbb N}, B = {m|m lt 10, m in Bbb N}, A subseteq B$

Множество квадратов является подмножеством прямоугольников.

Множество полосатых летающих слонов – как пустое множество — является подмножеством чего угодно: приматов, чисел, прямоугольников. Что удобно для размышлений о смысле всего.

Примеры

Пример 1. Запишите данное множество с помощью перечисления элементов:

а) $A = {x|x^2 lt 5, x in Bbb Z}$

Задано множество целых чисел, квадрат которых меньше 5. Перечисляем:

A = {-2;-1;0;1;2}

б) $B = {x||x| ge 3, x in Bbb Z}$

Задано множество целых чисел, модуль которых не больше 3. Перечисляем:

B = {-3;-2;-1;0;1;2;3}

в) $ C = {x|(x-1)(2x+5) = 0, x in Bbb Q}$

Задано множество рациональных чисел, являющихся корнями уравнения

(x-1)(2x+5) = 0. Перечисляем:

C = {1;-2,5}

г) $D = {n|9 lt n ge 12, n in Bbb N}$

Задано множество натуральных чисел, входящих в полуинтервал $9 lt n le 12$.

Перечисляем:

D = {10;11;12}

Пример 2. Запишите данное множество с помощью характеристического свойства:

а) Множество всех натуральных чисел меньше 10

$$ A = {n|n lt 10, n in Bbb N} $$

б) Множество всех действительных чисел, кроме 0

$$ B = {x|x neq 0, x in Bbb R} $$

в) Множество всех точек с целыми координатами, принадлежащих прямой y = 2x+1

$$C = {(x,y)|y = 2x+1, x in Bbb Z, y in Bbb Z}$$

г) Множество всех целых решений уравнения $x^3+x^2+4 = 0$

$$ D = {x|x^3+x^2+4 = 0, x in Bbb Z} $$

Пример 3. Изобразите на графике в координатной плоскости данное множество:

а) $A = {(x,y)|y = x+2, x le 3, x in Bbb N}$

Задано конечное множество точек, которое можно представить перечислением:

A = {(1;3);(2;4);(3;5) }

На графике:

б)$ B = {(x,y)|y = frac{4}{x},-4 le x le -1, x in Bbb R}$

Задано бесконечное множество точек, принадлежащих данной гиперболе $y = frac{4}{x}$ в данном интервале $-4 le x le -1$. На графике:

Пример 4. Укажите и запишите с помощью перечисления одно из непустых конечных подмножеств для данного множества:

а) A = {k|k-электронное устройство}

$B subseteq A, B$ = {компьютер, смартфон, планшет}

б) A = {m|m-четырёхугольник}

$B subseteq A, B$ = {квадрат, ромб, прямоугольник}

в) A = {p|p-музыкальный инструмент}

$B subseteq A, B$ = {пианино, скрипка, виолончель}

г) A = {t|t-средство передвижения}

$B subseteq A, B$ = {автомобиль,автобус,поезд}

Пример 5*. Найдите булеан данного множества:

а) A = {5;10;27}

$$ P(A) = {{varnothing},{5},{10},{27},{5;10},{5;27},{10;27},{5;10;27} } $$

Исходное множество состоит из n = 3 элементов, булеан состоит из $2^3 = 8$ элементов.

б) B = {1;{2;16} }

$$ P(B) = {{varnothing},{1},{2;16},{1;{2;16} } } $$

Исходное множество состоит из n = 2 элементов, булеан состоит из $2^2 = 4$ элементов.

{} набор набор элементов A = {3,7,9,14},
B = {9,14,28} | такой, что так что A = { x | x ∈ , x <0} A⋂B пересечение объекты, принадлежащие множеству A и множеству B A ⋂ B = {9,14} A⋃B союз объекты, принадлежащие множеству A или множеству B A ⋃ B = {3,7,9,14,28} A⊆B подмножество A является подмножеством B. множество A включено в набор B. {9,14,28} ⊆ {9,14,28} A⊂B правильное подмножество / строгое подмножество A является подмножеством B, но A не равно B. {9,14} ⊂ {9,14,28} A⊄B не подмножество множество A не является подмножеством множества B {9,66} ⊄ {9,14,28} A⊇B суперсет A является надмножеством B. множество A включает множество B {9,14,28} ⊇ {9,14,28} A⊃B правильный суперсет / строгий суперсет A является надмножеством B, но B не равно A. {9,14,28} ⊃ {9,14} A⊅B не суперсет множество A не является надмножеством множества B {9,14,28} ⊅ {9,66} 2 ^А набор мощности все подмножества A   набор мощности все подмножества A   А = В равенство оба набора имеют одинаковые элементы A = {3,9,14},
B = {3,9,14},
A = B А ^в дополнять все объекты, не принадлежащие множеству A   А ‘ дополнять все объекты, не принадлежащие множеству A   А Б относительное дополнение объекты, принадлежащие A, а не B A = {3,9,14},
B = {1,2,3},
A B = {9,14} AB относительное дополнение объекты, принадлежащие A, а не B A = {3,9,14},
B = {1,2,3},
A — B = {9,14} A∆B симметричная разница объекты, принадлежащие A или B, но не их пересечение A = {3,9,14},
B = {1,2,3},
A ∆ B = {1,2,9,14} A⊖B симметричная разница объекты, принадлежащие A или B, но не их пересечение A = {3,9,14},
B = {1,2,3},
A ⊖ B = {1,2,9,14} a ∈A элемент,
принадлежит установить членство A = {3,9,14}, 3 ∈ A x ∉A не элемент нет установленного членства A = {3,9,14}, 1 ∉ A ( а , б ) упорядоченная пара сборник из 2-х элементов   A × B декартово произведение множество всех упорядоченных пар из A и B   | A | мощность количество элементов множества A A = {3,9,14}, | A | = 3 #A мощность количество элементов множества A A = {3,9,14}, # A = 3 | вертикальная полоса такой, что А = {х | 3 <х <14} ℵ ₀ алеф-нуль бесконечная мощность множества натуральных чисел   ℵ ₁ алеф-он мощность множества счетных порядковых чисел   Ø пустой набор Ø = {} A = Ø универсальный набор набор всех возможных значений   ℕ ₀ набор натуральных / целых чисел (с нулем) ₀ = {0,1,2,3,4, …} 0 ∈ ₀ ℕ ₁ набор натуральных / целых чисел (без нуля) ₁ = {1,2,3,4,5, …} 6 ∈ ₁ ℤ набор целых чисел = {…- 3, -2, -1,0,1,2,3, …} -6 ∈ ℚ набор рациональных чисел = { x | x = a / b , a , b ∈ и b ≠ 0} 2/6 ∈ ℝ набор реальных чисел = { x | -∞ < х <∞} 6.343434 ∈ ℂ набор комплексных чисел = { z | z = a + bi , -∞ < a <∞, -∞ < b <∞} 6 + 2 i ∈

From Wikipedia, the free encyclopedia

In mathematics, set A is a subset of a set B if all elements of A are also elements of B; B is then a superset of A. It is possible for A and B to be equal; if they are unequal, then A is a proper subset of B. The relationship of one set being a subset of another is called inclusion (or sometimes containment). A is a subset of B may also be expressed as B includes (or contains) A or A is included (or contained) in B. A k-subset is a subset with k elements.

The subset relation defines a partial order on sets. In fact, the subsets of a given set form a Boolean algebra under the subset relation, in which the join and meet are given by intersection and union, and the subset relation itself is the Boolean inclusion relation.

Definition[edit]

If A and B are sets and every element of A is also an element of B, then:

If A is a subset of B, but A is not equal to B (i.e. there exists at least one element of B which is not an element of A), then:

The empty set, written or is a subset of any set X and a proper subset of any set except itself, the inclusion relation is a partial order on the set (the power set of S—the set of all subsets of S^[1]) defined by . We may also partially order by reverse set inclusion by defining

When quantified, is represented as ^[2]

We can prove the statement by applying a proof technique known as the element argument^[3]:

Let sets A and B be given. To prove that

1. suppose that a is a particular but arbitrarily chosen element of A
2. show that a is an element of B.

The validity of this technique can be seen as a consequence of Universal generalization: the technique shows for an arbitrarily chosen element c. Universal generalisation then implies which is equivalent to as stated above.

The set of all subsets of is called its powerset, and is denoted by . The set of all -subsets of is denoted by , in analogue with the notation for binomial coefficients, which count the number of -subsets of an -element set. In set theory, the notation is also common, especially when is a transfinite cardinal number.

Properties[edit]

• A set A is a subset of B if and only if their intersection is equal to A.

Formally:

• A set A is a subset of B if and only if their union is equal to B.

Formally:

• A finite set A is a subset of B, if and only if the cardinality of their intersection is equal to the cardinality of A.

Formally:

⊂ and ⊃ symbols[edit]

Some authors use the symbols and to indicate subset and superset respectively; that is, with the same meaning as and instead of the symbols and ^[4] For example, for these authors, it is true of every set A that

Other authors prefer to use the symbols and to indicate proper (also called strict) subset and proper superset respectively; that is, with the same meaning as and instead of the symbols and ^[5] This usage makes and analogous to the inequality symbols and For example, if then x may or may not equal y, but if then x definitely does not equal y, and is less than y. Similarly, using the convention that is proper subset, if then A may or may not equal B, but if then A definitely does not equal B.

Examples of subsets[edit]

• The set A = {1, 2} is a proper subset of B = {1, 2, 3}, thus both expressions and are true.
• The set D = {1, 2, 3} is a subset (but not a proper subset) of E = {1, 2, 3}, thus is true, and is not true (false).
• Any set is a subset of itself, but not a proper subset. ( is true, and is false for any set X.)
• The set {x: x is a prime number greater than 10} is a proper subset of {x: x is an odd number greater than 10}
• The set of natural numbers is a proper subset of the set of rational numbers; likewise, the set of points in a line segment is a proper subset of the set of points in a line. These are two examples in which both the subset and the whole set are infinite, and the subset has the same cardinality (the concept that corresponds to size, that is, the number of elements, of a finite set) as the whole; such cases can run counter to one’s initial intuition.
• The set of rational numbers is a proper subset of the set of real numbers. In this example, both sets are infinite, but the latter set has a larger cardinality (or power) than the former set.

Another example in an Euler diagram:

• 

  A is a proper subset of B.

• 

  C is a subset but not a proper subset of B.

Other properties of inclusion[edit]

Inclusion is the canonical partial order, in the sense that every partially ordered set is isomorphic to some collection of sets ordered by inclusion. The ordinal numbers are a simple example: if each ordinal n is identified with the set of all ordinals less than or equal to n, then if and only if

For the power set of a set S, the inclusion partial order is—up to an order isomorphism—the Cartesian product of (the cardinality of S) copies of the partial order on for which This can be illustrated by enumerating , and associating with each subset (i.e., each element of ) the k-tuple from of which the ith coordinate is 1 if and only if is a member of T.

See also[edit]

• Convex subset
• Inclusion order
• Region
• Subset sum problem
• Subsumptive containment
• Total subset

References[edit]

Bibliography[edit]

• Jech, Thomas (2002). Set Theory. Springer-Verlag. ISBN 3-540-44085-2.

External links[edit]

• Media related to Subsets at Wikimedia Commons
• Weisstein, Eric W. «Subset». MathWorld.

From Wikipedia, the free encyclopedia

In mathematics, set A is a subset of a set B if all elements of A are also elements of B; B is then a superset of A. It is possible for A and B to be equal; if they are unequal, then A is a proper subset of B. The relationship of one set being a subset of another is called inclusion (or sometimes containment). A is a subset of B may also be expressed as B includes (or contains) A or A is included (or contained) in B. A k-subset is a subset with k elements.

The subset relation defines a partial order on sets. In fact, the subsets of a given set form a Boolean algebra under the subset relation, in which the join and meet are given by intersection and union, and the subset relation itself is the Boolean inclusion relation.

Definition[edit]

If A and B are sets and every element of A is also an element of B, then:

If A is a subset of B, but A is not equal to B (i.e. there exists at least one element of B which is not an element of A), then:

The empty set, written or is a subset of any set X and a proper subset of any set except itself, the inclusion relation is a partial order on the set (the power set of S—the set of all subsets of S^[1]) defined by . We may also partially order by reverse set inclusion by defining

When quantified, is represented as ^[2]

We can prove the statement by applying a proof technique known as the element argument^[3]:

Let sets A and B be given. To prove that

1. suppose that a is a particular but arbitrarily chosen element of A
2. show that a is an element of B.

The validity of this technique can be seen as a consequence of Universal generalization: the technique shows for an arbitrarily chosen element c. Universal generalisation then implies which is equivalent to as stated above.

The set of all subsets of is called its powerset, and is denoted by . The set of all -subsets of is denoted by , in analogue with the notation for binomial coefficients, which count the number of -subsets of an -element set. In set theory, the notation is also common, especially when is a transfinite cardinal number.

Properties[edit]

• A set A is a subset of B if and only if their intersection is equal to A.

Formally:

• A set A is a subset of B if and only if their union is equal to B.

Formally:

• A finite set A is a subset of B, if and only if the cardinality of their intersection is equal to the cardinality of A.

Formally:

⊂ and ⊃ symbols[edit]

Some authors use the symbols and to indicate subset and superset respectively; that is, with the same meaning as and instead of the symbols and ^[4] For example, for these authors, it is true of every set A that

Other authors prefer to use the symbols and to indicate proper (also called strict) subset and proper superset respectively; that is, with the same meaning as and instead of the symbols and ^[5] This usage makes and analogous to the inequality symbols and For example, if then x may or may not equal y, but if then x definitely does not equal y, and is less than y. Similarly, using the convention that is proper subset, if then A may or may not equal B, but if then A definitely does not equal B.

Examples of subsets[edit]

• The set A = {1, 2} is a proper subset of B = {1, 2, 3}, thus both expressions and are true.
• The set D = {1, 2, 3} is a subset (but not a proper subset) of E = {1, 2, 3}, thus is true, and is not true (false).
• Any set is a subset of itself, but not a proper subset. ( is true, and is false for any set X.)
• The set {x: x is a prime number greater than 10} is a proper subset of {x: x is an odd number greater than 10}
• The set of natural numbers is a proper subset of the set of rational numbers; likewise, the set of points in a line segment is a proper subset of the set of points in a line. These are two examples in which both the subset and the whole set are infinite, and the subset has the same cardinality (the concept that corresponds to size, that is, the number of elements, of a finite set) as the whole; such cases can run counter to one’s initial intuition.
• The set of rational numbers is a proper subset of the set of real numbers. In this example, both sets are infinite, but the latter set has a larger cardinality (or power) than the former set.

Another example in an Euler diagram:

• 

  A is a proper subset of B.

• 

  C is a subset but not a proper subset of B.

Other properties of inclusion[edit]

Inclusion is the canonical partial order, in the sense that every partially ordered set is isomorphic to some collection of sets ordered by inclusion. The ordinal numbers are a simple example: if each ordinal n is identified with the set of all ordinals less than or equal to n, then if and only if

For the power set of a set S, the inclusion partial order is—up to an order isomorphism—the Cartesian product of (the cardinality of S) copies of the partial order on for which This can be illustrated by enumerating , and associating with each subset (i.e., each element of ) the k-tuple from of which the ith coordinate is 1 if and only if is a member of T.

See also[edit]

• Convex subset
• Inclusion order
• Region
• Subset sum problem
• Subsumptive containment
• Total subset

References[edit]

Bibliography[edit]

• Jech, Thomas (2002). Set Theory. Springer-Verlag. ISBN 3-540-44085-2.

External links[edit]

• Media related to Subsets at Wikimedia Commons
• Weisstein, Eric W. «Subset». MathWorld.

• До 7 класса: Алгоритмика, Кодланд, Реботика.
• 8-11 класс: Умскул, Годограф, Знанио.
• Английский: Инглекс, Puzzle, Novakid.
• Взрослым: Skillbox, Нетология, Geekbrains, Яндекс, Otus, SkillFactory.

Множества. Подмножества данного множества

В обычной жизни некоторые объекты, которые связаны друг с другом определенными общими свойствами, объединяют в группы, подборки, каталоги, разделы, коллекции, совокупности и т.п. Подобные объединения называют множествами. Города области, коллекция моделей верхней одежды – все это примеры множеств. Все объекты множеств принято называть элементами.

Понятие множества

Если в качестве элементов множеств выступают числа, то их называют числовыми и обозначают заглавными латинскими буквами:

• множество рациональных чисел – Q;
• множество целых – Z;
• множество натуральных – N.

Записывают принадлежность элементов множеству следующим образом: a∈A, произносят: «a принадлежит множеству A». И наоборот, b∉A что значит – элемент b не входит во множество A, произносят: «b не принадлежит множеству A».

0,3∉Z, 6∈N, 0,6∈Q, -6∉N, -6∈Z, d∈{b, d, f}.

Множества подразделяют на конечные и бесконечные. Первые включают в себя элементы, которые можно сосчитать (например, {b, c, d, f}), а вторые – бесконечное количество элементов (множество нечетных чисел). Множество, которые не содержат элементов, называют пустыми.

Обозначения множеств

Множество обозначают фигурными скобками с перечислением его элементов. Например, {2, 4, 8, 16, 32, 64}. Это первый способ задания множества.

Во втором способе указывают общее качество присущее всем элементам множества и только им, то есть обозначают характеристическое свойство элементов данного множества.

Если a любой элемент множества A, то делают запись A={a|…}. Вместо многоточия пишут условие, которому должны удовлетворять все элементы множества A, в том числе a.

Например, {a|a=2∙k, k∈Z} – множество целых чисел, кратных 2.

Подмножества

Если любой элемент множества B является одновременно элементом множества A, то множество B есть подмножество множества A.

Множества A={3, 7, 12, 24, 48, 96} и B={7, 12, 24, 96}. Все элементы множества B являются частью множества A. Значит множество B есть подмножество A. Записывают B⊂A, а произносят: «Множество A содержит множество B» либо «Множество B – подмножество множества A».

Также как множество натуральных чисел – это подмножество множества рациональных чисел: N⊂Z, а множество целых чисел содержит множество натуральных чисел: N⊂Q. Другой пример: множество гласных букв русского алфавита является подмножеством множества всех букв русского алфавита.

Наиболее информативно соотношения множеств иллюстрируют диаграммы Эйлера. На рисунке 1 представлены множества A и B. Схема показывает, что B⊂A.

Рисунок 1 – B⊂A.

Соотношения между множествами натуральных, целых и рациональных чисел представлены на рисунке 2.

Рисунок 2 – N⊂Z⊂Q.

Таким образом, по рисунку 1 можно сформулировать следующие утверждения:

• для того чтобы элемент a принадлежал множеству A достаточно того, что он принадлежит множеству B;
• для того чтобы элемент a принадлежал множеству B необходимо то, что он принадлежит множеству A.

Приведем пример. Множество A – это числа, которые делятся на 3. Множество B – это числа, которые делятся на 6. Тогда ясно, что B⊂A. Поэтому, для того чтобы число a делилось на 3 (a∈A) достаточно, чтобы оно делилось на 6 (a∈B). Чтобы число a делилось на 6 (a∈B), необходимо, но недостаточно, чтобы оно делилось на 3 (a∈A).

Свойства множеств и подмножеств

Если два множества являются подмножествами друг друга, то они равны: B⊂A и A⊂B → A=B.

Всякое множество есть подмножество самого себя: A⊂A.

Пустое множество всегда является подмножеством любого множества, в том числе пустого. Это следует из условия, что если множеству B не принадлежат элементы, которые не входят во множество A, то множество B есть подмножество A. В пустом множестве нет ни одного элемента. Значит, в нем нет элемента, который принадлежит любому другому множеству.

Если два множества не равны друг другу A≠B и одно является подмножеством другого A⊂B, то B называют собственным подмножеством A.

Множество натуральных чисел N является собственным подмножеством целых чисел Z.