Как написать программу для решения уравнений на python

Квадратное уравнение в Python:

Квадратное уравнение образовано от латинского термина «quadrates», что означает «квадрат». Это специальный тип уравнения, имеющий форму:

ах²+bх+с=0

Здесь «x» неизвестное, которое вы должны найти, «a», «b», «c» задает числа, такие что «a» не равно 0. Если a = 0, то уравнение становится линейным, а не квадратным. В уравнении a, b и c называются коэффициентами.

Возьмем пример решения квадратного уравнения 8x² + 16x + 8 = 0.

См. этот пример:

 
# import complex math module 
import cmath 
a = float(input('Enter a: ')) 
b = float(input('Enter b: ')) 
c = float(input('Enter c: ')) 
 
# calculate the discriminant 
d =(b**2) -(4*a*c) 
 
# find two solutions 
sol1 =(-b-cmath.sqrt(d))/(2*a) 
sol2 =(-b+cmath.sqrt(d))/(2*a) 
print('The solution are {0} and {1}'.format(sol1,sol2))  

Выход:

Enter a: 8 
Enter b: 5 
Enter c: 9 
The solution are(-0.3125-1.0135796712641785j) and(-0.3125+1.0135796712641785j) 

Объяснение:

В первой строке мы импортировали модуль cmath и определили три переменные с именами a, b и c, которые получают ввод от пользователя. Затем вычисляем дискриминант по формуле. С помощью метода cmath.sqrt() мы вычислили два решения и распечатали результат.

Второй метод

Мы можем получить решение квадратного уравнения, используя прямую формулу. Давайте разберем следующий пример.

Вышеприведенная формула состоит из следующих случаев.

• Если b² < 4ac, то корни комплексные (не вещественные). Например – x² + x + 1, корни -0,5 + i1,73205 и +0,5 – i1,73205.
• Если b² == 4ac, то оба корня одинаковы. Например – x² + x + 1, корни равны -0,5 + i1,73205 и +0,5 – i1,73205.
• Если b² > 4ac, то корни действительны и различны. Например – х² – 7 х – 12, корни 3 и 4.

Пример:

 
# Python program to find roots of quadratic equation 
import math 
 
 
# function for finding roots 
def findRoots(a, b, c): 
 
    dis_form = b * b - 4 * a * c 
    sqrt_val = math.sqrt(abs(dis_form)) 
 
 
    if dis_form > 0: 
        print(" real and different roots ") 
        print((-b + sqrt_val) /(2 * a)) 
        print((-b - sqrt_val) /(2 * a)) 
 
    elif dis_form == 0: 
        print(" real and same roots") 
        print(-b /(2 * a)) 
 
 
    else: 
        print("Complex Roots") 
        print(- b /(2 * a), " + i", sqrt_val) 
        print(- b /(2 * a), " - i", sqrt_val) 
 
 
a = int(input('Enter a:')) 
b = int(input('Enter b:')) 
c = int(input('Enter c:')) 
 
# If a is 0, then incorrect equation 
if a == 0: 
    print("Input correct quadratic equation") 
 
else: 
    findRoots(a, b, c) 

Выход:

Enter a:7 
Enter b:5 
Enter c:2 
Complex Roots 
-0.35714285714285715  + i 5.5677643628300215 
-0.35714285714285715  - i 5.5677643628300215 

Объяснение:

В приведенном выше коде мы импортировали математический модуль и определили формулу для вычисления дискриминанта. Затем мы определили функцию findRoots, которая принимает три целых значения в качестве аргументов. Затем мы проверили корни с помощью оператора if-elif-else.

Библиотека Sympy: символьные вычисления в Python

Что такое SymPy ? Это библиотека символьной математики языка Python. Она является реальной альтернативой таким математическим пакетам как Mathematica или Maple и обладает очень простым и легко расширяемым кодом. SymPy написана исключительно на языке Python и не требует никаких сторонних библиотек.

Документацию и исходный код этой библиотеки можно найти на ее официальной странице.

Первые шаги с SymPy

Используем SymPy как обычный калькулятор

В библиотеке SymPy есть три встроенных численных типа данных: Real , Rational и Integer . С Real и Integer все понятно, а класс Rational представляет рациональное число как пару чисел: числитель и знаменатель рациональной дроби. Таким образом, Rational(1, 2) представляет собой 1/2 , а, например, Rational(5, 2) — соответственно 5/2 .

Библиотека SymPy использует библиотеку mpmath , что позволяет производить вычисления с произвольной точностью. Таким образом, ряд констант (например, пи, e), которые в данной библиотеке рассматриваются как символы, могут быть вычислены с любой точностью.

Как можно заметить, функция evalf() дает на выходе число с плавающей точкой.

В SymPy есть также класс, представляющий такое понятие в математике, как бесконечность. Он обозначается следующим образом: oo .

Символы

В отличие от ряда других систем компьютерной алгебры, в SymPy можно в явном виде задавать символьные переменные. Это происходит следующим образом:

После их задания, с ними можно производить различные манипуляции.

С символами можно производить преобразования с использованием некоторых операторов языка Python. А именно, арифметических ( + , -` , «* , ** ) и логических ( & , | ,

Библиотека SymPy позволяет задавать форму вывода результатов на экран. Обычно мы используем формат такого вида:

Алгебраические преобразования

SymPy способна на сложные алгебраические преобразования. Здесь мы рассмотрим наиболее востребованные из них, а именно раскрытие скобок и упрощение выражений.

Раскрытие скобок

Чтобы раскрыть скобки в алгебраических выражениях, используйте следующий синтаксис:

При помощи ключевого слова можно добавить поддержку работы с комплексными переменными, а также раскрытие скобок в тригонометрических функциях.

Упрощение выражений

Если вы хотите привести выражение к более простому виду (возможно, сократить какие-то члены), то используйте функцию simplify .

Также надо сказать, что для определенных видов математических функций существуют альтернативные, более конкретные функции для упрощения выражений. Так, для упрощения степенных функций есть функция powsimp , для тригонометрических — trigsimp , а для логарифмических — logcombine , radsimp .

Вычисления

Вычисления пределов

Для вычисления пределов в SymPy предусмотрен очень простой синтаксис, а именно limit(function, variable, point) . Например, если вы хотите вычислить предел функции f(x) , где x -> 0 , то надо написать limit(f(x), x, 0) .

Также можно вычислять пределы, которые стремятся к бесконечности.

Дифференцирование

Для дифференцирования выражений в SymPy есть функция diff(func, var) . Ниже даны примеры ее работы.

Проверим результат последней функции при помощи определения производной через предел.

tan 2 (?)+1 Результат тот же.

Также при помощи этой же функции могут быть вычислены производные более высоких порядков. Синтаксис функции будет следующим: diff(func, var, n) . Ниже приведено несколько примеров.

Разложение в ряд

Для разложения выражения в ряд Тейлора используется следующий синтаксис: series(expr, var) .

Интегрирование

В SymPy реализована поддержка определенных и неопределенных интегралов при помощи функции integrate() . Интегрировать можно элементарные, трансцендентные и специальные функции. Интегрирование осуществляется с помощью расширенного алгоритма Риша-Нормана. Также используются различные эвристики и шаблоны. Вот примеры интегрирования элементарных функций:

Также несложно посчитать интеграл и от специальных функций. Возьмем, например, функцию Гаусса:

Результат вычисления можете посмотреть сами. Вот примеры вычисления определенных интегралов.

Также можно вычислять определенные интегралы с бесконечными пределами интегрирования (несобственные интегралы).

Решение уравнений

При помощи SymPy можно решать алгебраические уравнения с одной или несколькими переменными. Для этого используется функция solveset() .

Как можно заметить, первое выражение функции solveset() приравнивается к 0 и решается относительно х . Также возможно решать некоторые уравнения с трансцендентными функциями.

Системы линейных уравнений

SymPy способна решать широкий класс полиномиальных уравнений. Также при помощи данной библиотеки можно решать и системы уравнений. При этом переменные, относительно которых должна быть разрешена система, передаются в виде кортежа во втором аргументе функции solve() , которая используется для таких задач.

Факторизация

Другим мощным методом исследования полиномиальных уравнений является факторизация многочленов (то есть представление многочлена в виде произведения многочленов меньших степеней). Для этого в SymPy предусмотрена функция factor() , которая способна производить факторизацию очень широкого класса полиномов.

Булевы уравнения

Также в SymPy реализована возможность решения булевых уравнений, что по сути означает проверку булевого выражения на истинность. Для этого используется функция satisfiable() .

Данный результат говорит нам о том, что выражение (x & y) будет истинным тогда и только тогда, когда x и y истинны. Если выражение не может быть истинным ни при каких значениях переменных, то функция вернет результат False .

Линейная алгебра

Матрицы

Матрицы в SymPy создаются как экземпляры класса Matrix :

В отличие от NumPy , мы можем использовать в матрицах символьные переменные:

И производить с ними разные манипуляции:

Дифференциальные уравнения

При помощи библиотеки SymPy можно решать некоторые обыкновенные дифференциальные уравнения. Для этого используется функция dsolve() . Для начала нам надо задать неопределенную функцию. Это можно сделать, передав параметр cls=Function в функцию symbols() .

Теперь f и g заданы как неопределенные функции. мы можем в этом убедиться, просто вызвав f(x) .

Теперь решим следующее дифференциальное уравнение:

Чтобы улучшить решаемость и помочь этой функции в поиске решения, можно передавать в нее определенные ключевые аргументы. Например, если мы видим, что это уравнение с разделяемыми переменными, то мы можем передать в функцию аргумент hint=’separable’ .

Английский для программистов

Наш телеграм канал с тестами по английскому языку для программистов. Английский это часть карьеры программиста. Поэтому полезно заняться им уже сейчас

Квадратное уравнение

Программа, позволяющая находить корни квадратного уравнения, – это один из примеров простых программ, которые можно написать на Python 3. Она хорошо подойдет для начинающих изучать этот язык программирования.

Постановка задачи

Уравнение, которое будем решать, выглядит следующим образом: a·x²+b·x+c=0. Пользователю предлагается ввести значения a, b и с в терминале. После этого программа посчитает дискриминант. На его основе найдем решения уравнения – значения x, для которых будет выполняться равенство.

Вот пример работы программы, которая будет написана.

Программа

Для решения квадратных уравнений на Python 3 напишем код, приведенный ниже. Разберем некоторые моменты, которые мы использовали в этой простой программе:

• print — эта функция выводит на экран информацию.
• input — выводит информацию и предлагает пользователю ввести данные.
• b**2 — это возведение в степень, в данном случае переменная b возводится в квадрат.
• str — эта функция приводит данные к строковому виду.
• if-elif-else — это условные операторы в языке Python. Исходя из значения discriminant мы определяем количество корней квадратного уравнения.
• discriminant ** 0.5 — с помощью такого способа извлекаем квадратный корень. В Python есть несколько способов извлечения корней, например, с помощью функции sqrt из библиотеки math. Про способы извлечения корней в Python описано в отдельной статье.

Запустим программу и введём нужные коэффициенты.

Все посчитано, найдены два корня, которые будут являться решением квадратного уравнения.

Дополнительно

Хотелось бы уделить внимание ещё одному моменту. Если дискриминант отрицательный, то действительных корней нет. Но будут комплексные корни. Если мы хотим их обрабатывать, то следует изменить конструкцию условных операторов следующим образом:

Тогда пример решения уравнения будет выглядеть следующим образом:

Как видим, получили два комплексных корня.

Этот простой код написанный на Python 3 можно для обучения программированию немного усложнить:

• Предлагать запрос в конце программы «Решить ещё одно уравнение (y/n): ». И если пользователь введет «y», то заново запросить коэффициенты. Это нужно делать в цикле. Подробнее о циклах в Python можно прочитать здесь.
• Сделать проверку корректности ввода. Ведь пользователь вместо числа может ввести какую-нибудь строку, которая не будет корректно обработана. Про проверку на число описано в отдельной статье.

Найти корни квадратного уравнения

Квадратное уравнение имеет вид

При его решении сначала вычисляют дискриминант по формуле

Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня; если D = 0, то 1 корень; и если D

Примеры выполнения кода:

Обратим внимание, что для данной программы коэффициент a не должен быть равен нулю. Иначе в первой ветке условного оператора будет происходить попытка деления на 0.

Если a = 0 , то квадратное уравнение превращается в линейное, которое решается иным способом. Оно всегда имеет один корень.

Рассмотрим пример создания графического интерфейса (GUI) на Python. В качестве «жертвы» напишем простенькую программу — решатель квадратных уравнений. Наше задание мы разобъем на несколько частей.

Часть первая: функция решения квадратного уравнения.

Напомним, что квадратным является уравнение вида:

 ax² + bx + c = 0

Есть несколько способов решить квадратное уравнение, мы выберем решение через дискриминант.

Формула дискриминанта:

D = b² — 4ac.

Используя эту формулу мы можем вывести решение. Если дискриминант больше или равен нулю, то корни уравнения высчитываются по формуле:

x_1,2 = (-b ± √D) ÷ (2a)

Если же дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет решений.

Превратим данные формулы в код:

def solver(a,b,c):
    """ Решает квадратное уравнение и выводит отформатированный ответ """
    # находим дискриминант
    D = b*b - 4*a*c
    if D >= 0:
        x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
        x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
        text = "The discriminant is: %s n X1 is: %s n X2 is: %s n" % (D, x1, x2)        
    else:
        text = "The discriminant is: %s n This equation has no solutions" % D 
    return text

Чтобы все работало не забудьте импортировать функцию sqrt из модуля math.

from math import sqrt

Поскольку мы будем выводить результат в специально созданном виджете — мы сразу же вставляем полученный ответ в отформатированную строку и возвращаем ее.

Теперь пора переходить к созданию графической оболочки для нашего приложения.

Часть вторая: создаем GUI для программы

Для простоты будем создавать GUI встроенными средствами Python, поэтому импортируем все из библиотеки Tkinter:

from Tkinter import *

В Python версии 3.х название модуля следует писать с маленькой буквы — tkinter.

Далее создаем само окно и размещаем на нем необходимые виджеты:

# родительский элемент
root = Tk()
# устанавливаем название окна
root.title("Quadratic calculator")
# устанавливаем минимальный размер окна 
root.minsize(325,230)
# выключаем возможность изменять окно
root.resizable(width=False, height=False)

# создаем рабочую область
frame = Frame(root)
frame.grid()

# поле для ввода первого аргумента уравнения (a)
a = Entry(frame, width=3)
a.grid(row=1,column=1,padx=(10,0))

# текст после первого аргумента
a_lab = Label(frame, text="x**2+").grid(row=1,column=2)

# поле для ввода второго аргумента уравнения (b)
b = Entry(frame, width=3)
b.grid(row=1,column=3)
# текст после второго аргумента
b_lab = Label(frame, text="x+").grid(row=1, column=4)

# поле для ввода третьего аргумента уравнения (с)
c = Entry(frame, width=3)
c.grid(row=1, column=5)
# текст после третьего аргумента
c_lab = Label(frame, text="= 0").grid(row=1, column=6)

# кнопка решить
but = Button(frame, text="Solve").grid(row=1, column=7, padx=(10,0))

# место для вывода решения уравнения
output = Text(frame, bg="lightblue", font="Arial 12", width=35, height=10)
output.grid(row=2, columnspan=8)

# запускаем главное окно
root.mainloop()

Если вы в точности повторили указанный код, то после запуска скрипта у вас получится примерно следующее окно:

Отлично, программа работает. Осталось объяснить Python как связать эти две части.

Часть третья: объединяем все воедино

Задача перед нами стоит следующая — написать функцию, которая будет брать числа из полей для ввода, передавать их функции решения квадратного уравнения и выводить результат в поле для вывода. Конечно, все это можно реализовать в одной функции, но лучше разделить на несколько:

Функция вставки информации:

def inserter(value):
    """ Inserts specified value into text widget """
    output.delete("0.0","end")
    output.insert("0.0",value) 

Функция inserter предельно проста: очищает поле для ввода и вставляет туда переданный ей аргумент value.

Напишем функцию обработки введенной информации. Назовем ее handler:

def handler():
    """ Get the content of entries and passes result to the output area """
    try:
        # make sure that we entered correct values
        a_val = float(a.get())
        b_val = float(b.get())
        c_val = float(c.get())
        inserter(solver(a_val, b_val, c_val))
    except ValueError:
        inserter("Make sure you entered 3 numbers")

В зависимости от данных введенных в поля для ввода передает функции inserter либо результат решения уравнения, либо сообщение о неверно введенных данных.

Чтобы все работало, следует изменить строку создания виджета Button следующим образом:

but = Button(frame, text="Solve", command=handler).grid(row=1, column=7, padx=(10,0))

Теперь можно спокойно пользоваться нашей программой:

Часть четвертая: необязательная

Можно добавить немного удобства для нашей программы. Проблема в том, что каждый раз вводя новые значения нам приходится удалять старые, что не очень комфортно. Напишем функцию, которая будет очищать поле для ввода после клика по нему.

def clear(event):
    """ Clears entry form """
    caller = event.widget
    caller.delete("0", "end")

Таким образом мы очищаем виджет, вызвавший данную функцию. Чтобы все работало, добавьте следующие строки после создания виджетов, но до размещения. Например, после строки a = Entry(… , но до строки a.grid(…

a.bind("<FocusIn>", clear)
b.bind("<FocusIn>", clear)
c.bind("<FocusIn>", clear)

Готово. Программа работает, Вы великолепны!

Исходный код калькулятора квадратных уравнений с GUI на GitHub

Перейти к содержанию

from math import sqrt

a = float(input('a = '))
b = float(input('b = '))
c = float(input('c = '))

from math import sqrt

a = float(input('a = '))
b = float(input('b = '))
c = float(input('c = '))

d = b**2 - 4 * a * c

x1, x2 = frac{-bpmsqrt{D}}{2a}

from math import sqrt

a = float(input('a = '))
b = float(input('b = '))
c = float(input('c = '))

d = b**2 - 4 * a * c

if d > 0:
    x1 = (-b + sqrt(d) / (2 * a))
    x2 = (-b - sqrt(d) / (2 * a))
    print(f'x1 = {x1:.2f}; x2 = {x2:.2f}')

from math import sqrt

a = float(input('a = '))
b = float(input('b = '))
c = float(input('c = '))

d = b**2 - 4 * a * c

if d > 0:
    x1 = (-b + sqrt(d) / (2 * a))
    x2 = (-b - sqrt(d) / (2 * a))
    print(f'x1 = {x1:.2f}; x2 = {x2:.2f}')
elif d == 0:
    x1 = -b / (2 * a)
    print(f'x1 = {x1:.2f}')

from math import sqrt

a = float(input('a = '))
b = float(input('b = '))
c = float(input('c = '))

d = b**2 - 4 * a * c

if d > 0:
    x1 = (-b + sqrt(d) / (2 * a))
    x2 = (-b - sqrt(d) / (2 * a))
    print(f'x1 = {x1:.2f}; x2 = {x2:.2f}')
elif d == 0:
    x1 = -b / (2 * a)
    print(f'x1 = {x1:.2f}')
else:
    print('Нет корней')