Как написать распределение относительных частот

Написать распределение относительных частот.

Решение. Найдем
относительные частоты, для чего разделим
частоты на объем выборки:

,

,

.

Напишем
распределение относительных частот:

х_i	2	6	12
W_i	0,15	0,5	0,35.

Контроль:
0,15 + 0,5 + 0,35 = 1.

Эмпирической
функцией распределения
(функцией
распределения выборки)
называют функцию,
определяющую для каждого значения х
относительную частоту события X
< х

,
(5.28)

где
– число вариант, меньших х,

–объем выборки.

Таким образом,
для того чтобы найти, например,,
надо число вариант, меньших ,
разделить на объем выборки

.
(5.29)

В отличие от
эмпирической функции распределения
выборки интегральную функцию
распределения генеральной совокупности
называют теоретической
функцией распределения.
Различие между эмпирической и теоретической
функциями состоит в том, что теоретическая
функция
определяет вероятность события X
< х,
а эмпирическая
– определяет относительную частоту
этого же события. Согласно теореме
Бернулли, относительная частота события
Х <
х,
т.е.
стремится по вероятности к вероятности

этого события. Другими словами, числа

и
мало отличаются друг от друга. Отсюда
следует целесообразность использования
эмпирической функции распределения
выборки для приближенного представления
теоретической (интегральной) функции
распределения генеральной совокупности.

Из определения
функции
вытекают следующие ее свойства:

значения
эмпирической функции принадлежат
отрезку [0,1];
–неубывающая
функция;
если x₁
– наименьшая варианта, то
= 0 при х

x₁;
если x_k
– наибольшая варианта, то
= 1 при х
> х_k.

Итак, эмпирическая
функция распределения выборки служит
для оценки теоретической функции
распределения генеральной совокупности.

Пример. Построить
эмпирическую функцию по данному
распределению выборки:

Варианты хi 2 6 10 частоты ni 12 18 30.

Решение. Найдем
объем выборки: 12 + 18 + 30 = 60. Наименьшая
варианта равна 2, следовательно,

= 0
при
х <
2.

Значение Х
< 6, а
именно: x₁= 2
наблюдалось 12 раз, следовательно,

при
2 < x

6.

Значения Х
< 10, а
именно: x₁= 2 и
x₂= 6
наблюдались 12 + 18 = 30 раз, следовательно,

при 6 <
x

10.

Так как х
= 10
– наибольшая варианта, то

= 1
при
х > 10.

Искомая эмпирическая
функция

График этой
функции изображен на рис. 5.5.

Рис. 5.5.

5.4.4 Полигон и гистограмма

В целях наглядности
строят различные графики статистического
распределения и, в частности, полигон
и гистограмму.

Полигоном
частот
называют ломаную, отрезки которой
соединяют точки (x₁,
n₁),
(x₂,
n₂),
…, (x_k,
n_k).
Для построения полигона частот на оси
абсцисс откладывают варианты х_i,
а на оси ординат – соответствующие им
частоты n_i.
Точки (x_i,
n_i)
соединяют отрезками прямых и получают
полигон частот.

Полигоном
относительных частот
называют ломаную, отрезки которой
соединяют точки (x₁,
W₁),
(x₂,
W₂),…,
(x_k,
W_k).
Для построения полигона относительных
частот на оси абсцисс откладывают
варианты x_i,
a на оси ординат соответствующие им
относительные частоты W_i.

Точки (x_i,
W_i)
соединяют отрезками прямых и получают
полигон относительных частот (рис. 5.6).

Рис. 5.6.

В ряде случаев,
в частности, в случае непрерывного
признака, целесообразно строить
гистограмму, для чего интервал, в котором
заключены все наблюдаемые значения
признака, разбивают на несколько
частичных интервалов длиною h
и находят для каждого частичного
интервала n_i,т.е.
сумму частот вариант, попавших в i-й
интервал.

Гистограммой
частот
называют ступенчатую фигуру, состоящую
из прямоугольников, основаниями которых
служат частичные интервалы длиною h,
а высоты равны отношению
(плотность частоты).
Для
построения гистограммы частот на оси
абсцисс откладывают частичные интервалы,
а над ними проводят отрезки, параллельные
оси абсцисс на расстоянии
.
Площадь
i-гo
частичного прямоугольника равна

сумме частот вариант i-го
интервала; следовательно, площадь
гистограммы частот равна сумме всех
частот, т.е. объему выборки.

Гистограммой
относительных частот
называют ступенчатую фигуру, состоящую
из прямоугольников, основаниями которых
служат частичные интервалы длиною h,
а высоты равны отношению
(плотность относительной частоты).
Для
построения гистограммы относительных
частот на оси абсцисс откладывают
частичные интервалы, а над ними проводят
отрезки, параллельные оси абсцисс на
расстоянии
(рис. 5.7). Площадьi-го
частичного прямоугольника равна
– относительной частоте вариант,
попавших вi-й
интервал. Следовательно, площадь
гистограммы относительных частот равна
сумме всех относительных частот, т.е.
единице.

Рис. 5.7.

Источник

Что такое относительное частотное распределение?

17 авг. 2022 г.
читать 2 мин

Распределение частоты описывает, как часто разные значения встречаются в наборе данных.

Например, предположим, что мы собираем простую случайную выборку из 400 домохозяйств в городе и записываем количество домашних животных в каждом домохозяйстве. В следующей таблице показаны результаты:

В этой таблице представлено частотное распределение.

Связанное распределение известно как распределение относительной частоты , которое показывает относительную частоту каждого значения в наборе данных в процентах от всех частот.

Например, в предыдущей таблице мы видели, что всего было 400 домохозяйств. Чтобы найти относительную частоту каждого значения в распределении, мы просто делим каждую отдельную частоту на 400:

Обратите внимание, что распределения относительной частоты обладают следующими свойствами:

Каждая отдельная относительная частота находится в диапазоне от 0% до 100%.
Сумма всех отдельных относительных частот составляет 100%.

Если эти условия не выполняются, то относительное частотное распределение недействительно.

Почему относительные частотные распределения полезны

Распределения относительной частоты полезны, потому что они позволяют нам понять, насколько распространено значение в наборе данных по отношению ко всем другим значениям.

В предыдущем примере мы видели, что у 150 домохозяйств было только одно домашнее животное. Но это число само по себе не особенно полезно.

Напротив, полезнее знать, что 37,5% всех домохозяйств в выборке имели только одно домашнее животное. Это помогает нам понять, что чуть более чем в 1 из 3 домохозяйств было только одно домашнее животное, что дает нам некоторое представление о том, насколько «обычно» иметь только одного домашнего животного.

Визуализация относительного частотного распределения

Самый распространенный способ визуализировать распределение относительной частоты — создать гистограмму относительной частоты , которая отображает отдельные значения данных по оси x графика и использует столбцы для представления относительной частоты каждого класса по оси y.

Например, вот как будет выглядеть гистограмма относительной частоты для данных из нашего предыдущего примера:

По оси X отображается количество домашних животных в домашнем хозяйстве, а по оси Y — относительная частота домашних хозяйств, в которых есть такое количество домашних животных.

Эта гистограмма помогает нам визуализировать распределение относительных частот.

Дополнительные ресурсы

Калькулятор относительной частоты
Как рассчитать относительную частоту в Excel
Как рассчитать относительную частоту в Python
Как создать гистограмму относительной частоты в R

Источник

Гистограмма относительных частот

Содержание:

Что такое полигон относительных частот
Построение полигона частот
Гистограмма относительных частот, описание
Площадь прямоугольников гистограммы
Примеры решения задач

Что такое полигон относительных частот

Схематическое изображение статистического ряда распределения может быть представлено полигоном и гистограммой частот. Также выделяют понятия полигон относительных частот и гистограмма относительных частот

Определение

Полигон относительных частот – это ломаная, состоящая из отрезков, соединяющих точки с координатами (x_i, ω_i).

Построение полигона частот

Алгоритм составления полигона относительных частот: на оси OX отмечают варианты x_i, на оси OY откладывают значения ω_i. Затем точки с координатами (x_i, ω_i) соединяют прямыми отрезками. Ломаная, образованная в результате, является полигоном относительных частот.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Пример

Полигон частот для ряда распределения:

x_i: 1,5; 3,5; 5,5; 7,5.

ω_i: 0,1; 0,2; 0,4; 0,3.

График

Гистограмма относительных частот, описание

Определение

Гистограмма относительных частот – это фигура ступенчатого вида, в составе которой имеются прямоугольники. Основанием этих прямоугольников являются частичные интервалы длиною h, а высотами служит плотность относительной частоты – величина, определяемая с помощью отношения ω_i/h.

Строить гистограмму следует, соблюдая следующий порядок. На оси абсцисс указывают частичные интервалы. Над ними на расстоянии, равном плотности относительной частоты (ω_i/h), отмечают отрезки, параллельные оси OX.

Пример

Интервалы, x_i: 2–5, 5–8, 8–11, 11–14, 14–17, 17–20.

Частота вариант, n_i: 15, 35, 64, 55, 21, 10 (всего 200).

Относительные частоты, ω_i: 0,075; 0,175; 0,320; 0,275; 0,105; 0,050 (всего 1,000).

Гистограмма данного ряда распределения имеет вид:

График 2

Площадь прямоугольников гистограммы

Площадь одного прямоугольника, входящего в состав гистограммы относительных частот, равна относительной частоте вариант и вычисляется по формуле:

(hfrac{omega_i}h=omega_i)

Для вычисления площади всей гистограммы необходимо сложить площади всех прямоугольников, составляющих ступенчатую фигуру. Следовательно, искомая величина будет равна единице.

Примеры решения задач

Задача 1

Постройте полигон относительных частот для следующего вариационного ряда:

x_i: 2, 7, 8, 15, 16, 17.

n_i: 15, 35, 64, 55, 21, 10.

Решение

Для начала необходимо вычислить относительные частоты:

x_i: 2, 7, 8, 15, 16, 17.

n_i: 15, 35, 64, 55, 21, 10 (итого 200).

ω_i: 0,075; 0,175; 0,320; 0,275; 0,105; 0,050 (итого 1,000).

Построим искомую ломаную:

График 3

Задача 2

Построить гистограмму относительных частот распределения, имея следующие данные:

Частичный интервал при длине h, равной 3: 2–5, 5–8, 8–11, 11–14.

n_i: 9, 10, 25, 6.

Решение

Сначала определим относительные частоты. Для этого установим объем выборочной совокупности n:

n=Σn_i=50.

Затем найдем ω_i:

ω₁= 9/50=0,18

ω₂= 10/50=0,2

ω₃= 25/50=0,5

ω₄= 6/50=0,12

Далее вычислим ω_i/h, то есть плотность частоты:

0,18/3=0,06

0,2/3=0.07

0,5/3=0,16

0,12/3=0,04

Образуются следующие данные:

Частичный интервал: 2–5, 5–8, 8–11, 11–14.

Сумма относительных частот: 0,18; 0,2; 0,5; 0,12.

Плотность частоты: 0,06; 0,07; 0,16; 0,04.

График 4

Источник

Построение полигона, гистограммы, кумуляты, огивы

Для наглядности строят различные графики статистического
распределения, и, в частности, полигон и гистограмму.

Полигон
Гистограмма
Кумулята и огива

Полигон

Полигоном частот называют
ломаную, отрезки которой соединяют точки

. Для построения полигона частот на оси
абсцисс откладывают варианты

, а на оси ординат – соответствующие им
частоты

. Такие точки

соединяют
отрезками прямых и получают полигон частот.

Полигоном относительных
частот называют ломаную, отрезки которой соединяют
точки

. Для построения полигона относительных
частот на оси абсцисс откладывают варианты

, а на оси ординат – соответствующие им
относительные частоты (частости)

. Такие точки

соединяют
отрезками прямых и получают полигон частот.

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь — свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Пример 1

Построить полигон частот и
полигон относительных частот (частостей):

Решение

Вычислим относительные
частоты (частости):

Полигон частот

Полигон относительных частот

В случае интервального ряда для
построения полигона в качестве

берутся середины интервалов.

Гистограмма

В случае интервального
статистического распределения целесообразно построить гистограмму.

Гистограммой частот
называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых
служат частичные интервалы длиною

, а высоты (в случае равных интервалов) должны
быть пропорциональны частотам. При построении гистограммы с неравными
интервалами по оси ординат наносят не частоты, а плотность частоты

. Это необходимо сделать для устранения
влияния величины интервала на распределение и иметь возможность сравнивать
частоты.

В случае построения
гистограммы относительных частот (гистограммы частостей)
высоты в случае равных интегралов должны быть пропорциональны относительной
частоте

, а в случае неравных интервалов высота
равна плотности относительной частоты

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Пример 2

Построить гистограмму
частот и относительных частот (частостей)

Гистограмма частот

Гистограмма относительных частот

Пример 3

Построить гистограмму
частот (случай неравных интервалов).

Решение

Вычислим плотности
частоты:

Гистограмма частот

Кроме этой задачи на другой странице сайта есть

пример построения полигона и гистограммы на одном графике для интервального вариационного ряда

Кумулята и огива

При помощи кумуляты (кривой сумм) изображается ряд накопленных частот.
Накопленные частоты определяются путём последовательного суммирования частот по
группам и показывают, сколько единиц совокупности имеют значения признака не больше,
чем рассматриваемое значение. При построении кумуляты
интервального вариационного ряда по оси абсцисс откладываются варианты ряда, а
по оси ординат накопленные частоты, которые наносят на поле в виде
перпендикуляров к оси абсцисс в верхних границах интервалов. Затем эти
перпендикуляры соединяют и получают ломаную линию, т.е. кумуляту.

Если при графическом
изображении вариационного ряда в виде кумуляты оси
поменять местами, то получим огиву. То есть огива строится аналогично кумуляте с той
лишь разницей, что накопленные частоты помещают на оси абсцисс, а значения
признака — на оси ординат.

Пример 4

Построить кумулятивную
кривую:

Решение

Вычислим накопленные
частоты:

Кумулятивная кривая

Источник

Ирина Алексеевна Антоненко

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Полигон частот

Пусть нам дан ряд распределения, записанный с помощью таблицы:

Рисунок 1.

Определение 1

Полигон частот — ломанная, которая соединяет точки $(x_m,n_m)$ ($m=1,2,dots ,m)$.

То есть, для построения полигона частот необходимо на оси абсцисс откладывают значения вариант, а по оси ординат соответствующие частоты. Полученные точки соединяют ломанной:

Рисунок 2. Полигон частот.

Помимо обычной частоты существует еще понятие относительной частоты.

Онлайн-репетитор для вашего ребенка

Подтянем знания школьной программы, подготовим к ЕГЭ и ОГЭ по индивидуальному плану

Выбрать программу

Получаем следующую таблицу распределения относительных частот:

Рисунок 3.

Определение 2

Полигон относительных частот — ломанная, которая соединяет точки $(x_m,W_m)$ ($m=1,2,dots ,m)$.

То есть, для построения полигона частот необходимо на оси абсцисс откладывают значения вариант, а по оси ординат соответствующие относительные частоты. Полученные точки соединяют ломанной:

Рисунок 4. Полигон относительных частот.

Гистограмма частот

Помимо понятия полинома для непрерывных значений существует понятие гистограммы.

Определение 3

Гистограмма частот — ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников с основанием — частичными интервалами длины $h$ и высотами $frac{n_i}{h}$:

Рисунок 5. Гистограмма частот.

«Полигон частот и гистограмма частот» 👇

Заметим, что площадь одного такого прямоугольника $frac{n_ih}{h}=n_i$. Следовательно, площадь всей фигуры равна $sum{n_i}=n$, то есть равна объему выборки.

Определение 4

Гистограмма относительных частот — ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников с основанием — частичными интервалами длины $h$ и высотами $frac{W_i}{h}$:

Рисунок 6. Гистограмма относительных частот.

Заметим, что площадь одного такого прямоугольника $frac{W_ih}{h}=W_i$. Следовательно, площадь всей фигуры равна $sum{W_i}=W=1$.

Примеры задачи на построение полигона и гистограммы

Пример 1

Пусть распределение частот имеет вид:

Рисунок 7.

Построить полигон относительных частот.

Решение.

Построим сначала ряд распределения относительных частот по формуле $W_i=frac{n_i}{n}$

Рисунок 8.

Получим следующий полигон относительных частот.

Рисунок 9.

Пример 2

Дан ряд непрерывного распределения частот:

Рисунок 10.

Решение.

Очевидно, что данном случае длина частичного интервала $h=2.$ Найдем высоты прямоугольников каждой точки разбиения.

При $x=1$: $frac{3}{2}=1,5$.

При $x=3$: $frac{5}{2}=2,5.$

При $x=6$: $frac{7}{2}=3,5.$

При $x=9$: $frac{9}{2}=4,5.$

Получаем следующую гистограмму частот:

Рисунок 11.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Источник

Поможем решить контрольную, написать реферат, курсовую и диплом от 800р
Узнать стоимость

Статистическое распределение выборки

Содержание:

Примеры использования формул и таблиц для решения практических задач
Статистический интервальный ряд распределения

Предположим случай, когда из генеральной совокупности извлекается некоторая выборка, при этом каждому значению соответствует некоторый параметр, означающий количество раз, когда появлялось данное значение. Здесь $x_1$ было зафиксировано $n_1$ раз, $x_2$ было обнаружено $n_2$$x_k$ выявлено $n_k$. При этом

$sum_{i=1}^{k}n_i=n$

Где n — объём рассматриваемой выборки.

Определение 1

Используется следующая терминология: $x_k$ носят наименование вариантов, а последовательность таких вариантов, зафиксированный по возрастанию именуется вариационным рядом. Количество наблюдений каждого из вариантов носят название частот. При этом частное частот и выборки называют относительными частотами.

Определение 2

Статистическое распределение —это название всего набора вариантов и частот, которые с ними соотносятся. Чаще всего задаётся с помощью специальной таблицы, где представлены частоты, а также интервалы им соответствующие.

$x_1$	$x_2$	…	$x_k$
$n_1$	$n_2$	…	$n_k$
$frac{n_1}{n}$	$frac{n_2}{n}$		$frac{n_k}{n}$

Здесь в первой строке представлены варианты, во второй частоты, в третьеq взяты относительные частоты.

Для определения размера интервала используется следующее выражение:

$d=frac{x_{max}- x_{min}}{1+3,332cdot lg n}$

Здесь $x_{max}$, $x_{min}$ наибольшее и наименьшее значения ряда вариантов, а n характеризуем объём выборки.

Примеры использования формул и таблиц для решения практических задач

Пример 1

В ходе проведения измерений в однородных группах, были определены следующие значения выборки: 71, 72, 74, 70, 70, 72, 71, 74, 71, 72, 71, 73, 72, 72, 72, 74, 72, 73, 72, 74. Необходимо использовать данные значения, что определить ряд распределения частот и ряд распределения относительных частот.

Решение.

1) Составим статистический ряд распределения частот:

xi	70	71	72	73	74
ni	2	4	8	2	4

2) Рассчитаем суммарный размер выборки: n=2+4+8+2+4=20. Определим относительные частоты, для этого используем формулы: ni/n=wi: wi=2/20=0.1; w2=4/20=0.2; w3=0.4; w4=4/20=0.1; w5=2/20=0.2. Теперь зафиксируем в таблице распределение относительных частот:

xi	70	71	72	73	74
wi	0.1	0.2	0.4	0.1	0.2

Контрольная сумма должна равняться единице: 0,1+0,2+0,4+0,1+0,2=1.

Полигон частот

Название «полигоном частот» применяют для обозначения ломаной линии, каждый отрезок, которой соединяют точки $(х_1,n_1),(х_2,n_2),…,(х_k,n_k)$. Для построения на графике полигона частот по оси абсцисс отмечают варианты $х_2$, при этом на оси ординат отсчитывают– соответствующие частоты $n_i$. Когда полученные точки $(х_i,n_i)$ соединяются с помощью отрезков, то автоматически получают полигон частот.

Статистический интервальный ряд распределения.

Статистическим дискретным рядом (или эмпирической функцией распределения) обычно пользуются, если число различающихся вариант в полученной выборке не слишком большое. Также применение возможно, когда дискретность имеет важное значение для экспериментатора. В тех случаях, когда важный для задачи признак генеральной совокупности Х распределяется непрерывным образом, либо его дискретность нет возможности учесть, то варианты предпочтительнее всего группировать, чтобы получить интервалы.

Статистическое распределение допустимо задавать в том числе в качестве последовательности интервалов и частот, соответствующих этим интервалам. При это за частоту какого-либо интервала принимается сумма всех частот, вошедших в данный интервал.

Особенно следует отметить ,что $h_i-h_{i-1}=h$ при всех i, т.е. группировка проводится с равным шагом h. Также в вопросе группировки можно ориентироваться на ряд полученных опытным путём рекомендацийу, касающихся таких параметров, как а, k и $h_i$:

1. $Rраз_{мах}=X_{max}-X_{min}$

2. $h=R/k$; k-число групп

3.$ kgeq 1+3.321lgn$ (формула Стерджеса)

4. $a=x_{min}, b=x_{max}$

5.$ h=a+h_i, i=0,1…k$

Определённую в ходе решения задачи группировку удобнее всего скомпоновать и перевести в вид специальной таблицы, которая также может именоваться — «статистический интервальный ряд распределения»:

Интервалы группировки	[h0;h1)	[h1;h2)	…	[hk-2;hk-1)	[hk-1;hk)
Частоты	n1	n2	…	nk-1	nk

Таблицу подобного вида можно сделать, поменяв частоты $n_i$ на относительные частоты:

Интервалы группировки	[h0;h1)	[h1;h2)	…	[hk-2;hk-1)	[hk-1;hk)
Отн. частоты	w1	w2	…	wk-1	wk

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример 2

На склад пришла крупная партия деталей. Из них методом случайного отбора взято 50 экземпляров. Рассматривая изделия по одному, особенно интересующему признаку — размеру, определённому с точностью до 1 см, получим следующий вариационный ряд: 22, 47, 26, 26, 30, 28, 28, 31, 31, 31, 32, 32, 33, 33, 33, 33, 34, 34, 34, 34, 34, 35, 35, 36, 36, 36, 36, 36, 37, 37, 37, 37, 37, 37, 38, 38, 40, 40, 40, 40, 40, 41, 41, 43, 44, 44, 45, 45, 47, 50. Требуется произвести расчёт и определить статистический интервальный ряд распределения.

Решение

Найдём параметры выборки используя сведения из условия задачи.

$k geq1+3,321cdot lg50=1+3.32lg(5cdot10)=1+3.32(lg5+lg10)=6.6$

Получили a=22, k=7, h=(50-22)/7=4, hi=22+4i, i=0,1,…,7.

Интервалы группировки	22-26	26-30	30-34	34-38	38-42	42-46	46-50
Частоты	1	4	10	18	9	5	3
Отн. частоты	0.02	0.08	0.2	0.36	0.18	0.1	0.06

Десятичные логарифмы от 1 до 10

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
lnn≈	0	0.3	0.48	0.6	0.7	0.78	0.85	0.9	0.95	1

Не получается написать работу самому?

Доверь это кандидату наук!

Источник