Как написать расстояние от точки до плоскости

Данная статья рассказывает об определении расстояния от точки до плоскости. произведем разбор методом координат, который позволит находить расстояние от заданной точки трехмерного пространства. Для закрепления рассмотрим примеры нескольких задач.

Расстояние от точки до плоскости – определение

Расстояние от точки до плоскости  находится посредством известного расстояния от точки до точки, где одна из них заданная, а другая – проекция на заданную плоскость.

Когда в пространстве задается точка М1 с плоскостью χ, то через точку можно провести перпендикулярную плоскости прямую. Н1 является общей точкой их пересечения. Отсюда получаем, что отрезок М1Н1 – это перпендикуляр, который провели из точки М1 к плоскости χ, где точка Н1 – основание перпендикуляра.

Расстоянием от точки до плоскости называют расстояние от заданной точки к основанию перпендикуляра, который провели из заданной точки к заданной плоскости.

Определение может быть записано разными формулировками.

Расстоянием от точки до плоскости называют длину перпендикуляра, который провели из заданной точки к заданной плоскости.

Расстояние от точки М1 к плоскости χ определяется так: расстояние от точки М1 до плоскости χ будет являться наименьшим от заданной точки до любой точки плоскости. Если точка Н2 располагается в плоскости χ и не равна точке Н2, тогда получаем прямоугольный треугольник вида М2H1H2 , который является прямоугольным, где имеется катет М2H1, М2H2 – гипотенуза. Значит, отсюда следует, что M1H1<M1H2. Тогда отрезок М2H1 считается наклонной, которая проводится из точки М1 до плоскости χ. Мы имеем, что перпендикуляр, проведенный из заданной точки к плоскости, меньше наклонной, которую проводят из точки к заданной плоскости. Рассмотрим этот случай на рисунке, приведенном ниже.

Расстояние от точки до плоскости – теория, примеры, решения

Существует ряд геометрических задач, решения которых должны содержать расстояние от точки до плоскости. Способы выявления этого могут быть разными. Для разрешения применяют теорему Пифагора или подобия треугольников. Когда по условию необходимо рассчитать расстояние от точки до плоскости, заданные в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, решают методом координат. Данный пункт рассматривает этот метод.

По условию задачи имеем, что задана точка трехмерного пространства с координатами M1(x1, y1, z1) с плоскостью χ, необходимо определить расстояние от М1 к плоскости χ. Для решения применяется несколько способов решения.

Первый способ

Данный способ основывается на нахождении расстояния от точки до плоскости при помощи координат точки Н1, которые являются основанием перпендикуляра из точки М1 к плоскости χ. Далее необходимо вычислить расстояние между М1 и Н1.

Для решения задачи вторым способом применяют нормальное уравнение заданной плоскости.

Второй способ

По условию имеем, что Н1 является основанием перпендикуляра, который опустили из точки М1 на плоскость χ.  Тогда определяем координаты (x2, y2, z2) точки Н1. Искомое расстояние от М1 к плоскости χ находится  по формуле M1H1=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2, где M1(x1, y1, z1) и H1(x2, y2, z2). Для решения необходимо узнать координаты точки Н1.

Имеем, что Н1 является точкой пересечения плоскости χ с прямой a, которая проходит через точку М1, расположенную перпендикулярно плоскости χ. Отсюда следует, что необходимо составление уравнения прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной плоскости. Именно тогда сможем определить координаты точки Н1. Необходимо  произвести вычисление координат точки пересечения прямой и плоскости.

Алгоритм нахождения расстояния от точки с координатами M1(x1, y1, z1) к плоскости χ:

Третий способ

В заданной прямоугольной системе координат Охуz имеется плоскость χ, тогда получаем нормальное уравнение плоскости вида cos α· x+cos β·y+cos γ·z-p=0. Отсюда получаем, что расстояние M1H1 с точкой M1(x1, y1, z1) , проведенной на плоскость χ, вычисляемое по формуле M1H1=cos α· x+cos β·y+cos γ·z-p. Эта формула справедлива, так как это установлено благодаря теореме.

Если задана точка M1(x1, y1, z1) в трехмерном пространстве, имеющая нормальное уравнение плоскости χ вида cos α· x+cos β·y+cos γ·z-p=0, тогда вычисление расстояния от точки до плоскости M1H1 производится из формулы M1H1=cos α· x+cos β·y+cos γ·z-p, так как x=x1, y=y1, z=z1.

Отсюда получаем, что расстояние от точки M1(x1, y1, z1) к плоскости χ вычисляется при помощи подстановки в левую часть нормального уравнения плоскости cos α· x+cos β·y+cos γ·z-p=0 вместо х, у, z координаты x1, y1 и z1 ,относящиеся к точке М1, взяв абсолютную величину полученного значения.

Рассмотрим примеры нахождения расстояния от точки с координатами до заданной плоскости.

Когда плоскость χ задается одним из способов раздела способы задания плоскости, тогда нужно для начала получить уравнение плоскости χ и вычислять искомое расстояние при помощи любого метода.

Нахождение расстояния от заданной точки на плоскости или к плоскости, которым они параллельны, удобнее, применив формулу M1H1=cos α·x1+cos β·y1+cos γ·z1-p. Отсюда получим, что нормальные уравнения плоскостей получают в несколько действий.

Расстояние от точки до плоскости

Определение.

Расстояние от точки до плоскости — равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.

Формула для вычисления расстояния от точки до плоскости

Если задано уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0, то расстояние от точки M(M_x, M_y, M_z) до плоскости можно найти, используя следующую формулу:

d =	|A·Mx + B·My + C·Mz + D|
√A2 + B2 + C2

Примеры задач на вычисление расстояния от точки до плоскости

Пример 1.

Найти расстояние между плоскостью 2x + 4y — 4z — 6 = 0 и точкой M(0, 3, 6).

Решение. Подставим в формулу коэффициенты плоскости и координаты точки

d =

|2·0 + 4·3 + (-4)·6 — 6|√4 + 16 + 16

=

|0 + 12 — 24 — 6|√36

=

|-18|6

= 3

Ответ: расстояние от точки до плоскости равно 3.

Поиск расстояния от точки до плоскости — частая задача, возникающая при решении различных задач аналитической геометрии, например, к этой задаче можно свести нахождение расстояния между двумя скрещивающимися прямыми или между прямой и параллельной ей плоскостью.

Рассмотрим плоскость $β$ и точку $M_0$ с координатами $(x_0;y_0; z_0)$, не принадлежащую плоскости $β$.

Английский язык для начинающих

Не откладывай мечты — начни говорить под руководством опытного преподавателя

Узнать подробнее

Ниже рассмотрено как найти расстояние от точки до плоскости координатным методом.

Вывод формулы для координатного метода поиска расстояния от точки до плоскости в пространстве

Перпендикуляр из точки $M_0$, пересекающийся с плоскостью $β$ в точке $M_1$ с координатами $(x_1;y_1; z_1)$, лежит на прямой, направляющим вектором которой является нормальный вектор плоскости $β$. При этом длина единичного вектора $n$ равна единице. Соответственно этому, расстояние от $β$ до точки $M_0$ составит:

$ρ= |vec{n} cdot vec{M_1M_0}|left(1right)$, где $vec{M_1M_0}$ — нормальный вектор плоскости $β$, а $vec{n}$ — единичный нормальный вектор рассматриваемой плоскости.

В случае, когда уравнение плоскости задано в общем виде $Ax+ By + Cz + D=0$, координаты нормального вектора плоскости представляют собой коэффициенты уравнения ${A;B;C}$, а единичный нормальный вектор в этом случае имеет координаты, вычисляемые по следующему уравнению:

$vec{n}= frac{{A;B;C}}{sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}left(2right)$.

Теперь можно найти координаты нормального вектора $vec{M_1M_0}$:

«Расстояние от точки до плоскости» 👇

$vec{M_0M_1}= {x_0 – x_1;y_0-y_1;z_0-z_1}left(3right)$.

Также выразим коэффициент $D$, используя координаты точки, лежащей в плоскости $β$:

$D= Ax_1+By_1+Cz_1$

Координаты единичного нормального вектора из равенства $(2)$ можно подставить в уравнение плоскости $β$, тогда мы имеем:

$ρ= frac{|A(x_0 -x_1) + B(y_0-y_1)+C(z_0-z_1)|}{sqrt{A^2+B^2+C^2}}= frac{|Ax_0+ By_0 + Cz_0-(Ax_1+By_1+Cz_1)|}{sqrt{A^2+B^2+C^2}} = frac{Ax_0+ By_0 + Cz_0 + D}{sqrt{A^2+B^2+C^2}}left(4right)$

Равенство $(4)$ является формулой для нахождения расстояния от точки до плоскости в пространстве.

Общий алгоритм для нахождения расстояния от точки $M_0$ до плоскости

1. Если уравнение плоскости задано не в общей форме, для начала необходимо привести его к общей.
2. После этого необходимо выразить из общего уравнения плоскости нормальный вектор данной плоскости через точку $M_0$ и точку, принадлежащую заданной плоскости, для этого нужно воспользоваться равенством $(3)$.
3. Следующий этап — поиск координат единичного нормального вектора плоскости по формуле $(2)$.
4. Наконец, можно приступить к поиску расстояния от точки до плоскости, это осуществляется с помощью вычисления скалярного произведения векторов $vec{n}$ и $vec{M_1M_0}$.

Расстояние от точки до плоскости

Чтобы найти расстояние между точкой и плоскостью, нужно построить между ними перпендикуляр, длина которого и будет ему равна. Существует несколько методов построения перпендикуляра между точкой и плоскостью.

ПОСТРОЕНИЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРА ИЗ ТОЧКИ НА ПЛОСКОСТЬ

Самый простой способ – просто провести искомый перпендикуляр. Сложность этого метода в том, что не всегда очевидно, куда именно упадет перпендикуляр. Если это перпендикуляр к плоскости, то по признаку перпендикулярности он должен быть перпендикулярен любой прямой на этой плоскости.

Значит этот перпендикуляр упадет так, что мы сможем доказать его перпендикулярность к плоскости. Точка пересечения перпендикуляра и плоскости будет единственной возможной.

Из точки (M), не лежащей в плоскости α, проведем перпендикуляр (text{MH}):

Этот метод стоит применять тогда, когда мы знаем, чему равны две стороны получившегося прямоугольного треугольника (text{MHA}), чтобы иметь возможность найти длину перпендикуляра (text{MH} )как третью сторону треугольника.

ПОСТРОЕНИЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРА ИЗ ТОЧКИ НА ПРЯМОЙ К ПЛОСКОСТИ

Если с построением перпендикуляра из точки возникают трудности, можно использовать этот способ.

Вместо того, чтобы сразу проводить перпендикуляр из точки M, можно провести через неё прямую (a), так, что (a parallel alpha). Таким образом каждая точка на этой прямой будет находиться на равном расстоянии от плоскости, что и точка М. Так мы сможем выбрать более удобную точку, проведя перпендикуляр из которой будет легко доказать, что это действительно перпендикуляр к плоскости.

Снова перпендикулярность прямой к плоскости будет доказываться через признак перпендикулярности.

Например, в данном случае прямая, проведенная через точку K будет падать в точку H – точку пересечения прямых на плоскости, так, что KH перпендикулярна каждой из этих прямых:

ПОСТРОЕНИЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРА ИЗ ТОЧКИ ПЛОСКОСТИ К ПЛОСКОСТИ

Аналогично можно построить через точку (M) плоскость β так, что (beta parallel alpha). Тогда любая другая точка на этой плоскости буде находится от плоскости (alpha) на том же расстоянии, что и точка (M). Так можно выбрать любую другую удобную точку, например точку (А), и найти расстояние от неё до плоскости (alpha).

НАХОЖДЕНИЕ ДЛИНЫ ПЕРПЕНДИКУЛЯРА ЧЕРЕЗ ОБЪЕМ

Если в задаче возникают трудности с построением перпендикуляра каким-либо способом выше, то можно решить задачу алгебраически. Самый простой способ найти длину перпендикуляра – представить его как высоту геометрического тела. Тогда, зная его объем, можно будет выразить высоту, а значит найти расстояние от точки до плоскости.

Например:

Дана пирамида (text{SABC}). Отрезок (text{SA}) перпендикулярен плоскости (text{ABC}). Выразите длину от точки (A) до плоскости (text{SBC}).

В данной задаче мы не можем построить перпендикуляр ни от точки, ни от прямой, ни от плоскости, т. к. не знаем, куда этот перпендикуляр упадет. Решим задачу через объем пирамиды.

1. Если (text{AS}) перпендикулярна плоскости (text{ABC}), то можем использовать этот отрезок как высоту пирамиды и представить её объем так:

(V_{text{SABC}} = frac{1}{3}S_{text{ABC}} bullet SA)

1. С другой стороны, можем представить (text{AH })как высоту пирамиды (text{ASBC}) с вершиной (A):

(V_{text{ASBC}} = frac{1}{3}S_{text{SBC}} bullet AH)

1. Таким образом можем приравнять два объема, т. к. по сути мы выразили два одинаковых объема по-разному:

(V_{text{SABC}} = V_{text{ASBC}})

(frac{1}{3}S_{text{ABC}} bullet SA = frac{1}{3}S_{text{SBC}} bullet AH)

(AH = frac{S_{text{ABC}} bullet SA}{S_{text{SBC}}})

Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости.

Пусть
существует плоскость
.
Проведем нормальчерез начало координат О. Пусть заданы– углы, образованные нормальюс осями координат..
Пусть–
длина отрезка нормалидо пересечения с плоскостью. Считая
известными направляющие косинусы
нормали,
выведем уравнение плоскости.

Пусть
)
– произвольная точка плоскости. Вектор
единичной нормали имеет координаты.
Найдем проекцию вектора
на нормаль.

.

Поскольку
точка М
принадлежит плоскости, то

.

(8)

Это
и есть уравнение заданной плоскости,
называющееся нормальным.

Расстояние от точки до плоскости

Пусть
дана плоскость
,М*– точка пространства,d
– её расстояние
от плоскости.

Определение.
Отклонением
точки М*
от плоскости называется
число (+d),
если M*
лежит по ту сторону от плоскости, куда
указывает положительное направление
нормали
,
и число (-d),
если точка расположена по другую сторону
плоскости:

.

Теорема.
Пусть
плоскость
с единичной нормальюзадана нормальным уравнением:

.

Пусть
М*– точка пространства Отклонение т.M*
от плоскости задаётся выражением

. (9)

Доказательство.
Проекцию т.
*
на нормаль обозначимQ.
Отклонение точки М*
от плоскости равно

.

;

;

(9)

Правило.
Чтобы найти отклонение
т. M*
от плоскости, нужно в нормальное уравнение
плоскости подставить координаты т. M*.
Расстояние от точки до плоскости равно
.

Приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду

Пусть
одна и та же плоскость задана двумя
уравнениями:

—
общее уравнение,

—
нормальное уравнение.

Поскольку оба
уравнения задают одну плоскость, их
коэффициенты пропорциональны:

.

Первые три равенства
возведем в квадрат и сложим:

.

Отсюда
найдем
– нормирующий множитель:

. (10)

Умножив
общее уравнение плоскости на нормирующий
множитель, получим нормальное уравнение
плоскости:

.

Примеры задач на тему «Плоскость».

Пример
1. Составить
уравнение плоскости
,
проходящей через заданную точку(2,1,-1)
и параллельной плоскости.

Решение.
Нормаль к плоскости
:.
Поскольку плоскости параллельны, то
нормальявляется и нормалью к искомой плоскости.
Используя уравнение плоскости, проходящей
через заданную точку (3), получим для
плоскостиуравнение:

Ответ:

Пример
2. Основанием
перпендикуляра, опущенного из начала
координат на плоскость
,
является точка.
Найти уравнение плоскости.

Решение.
Вектор
является нормалью к плоскости.
ТочкаМ₀
принадлежит плоскости. Можно воспользоваться
уравнением плоскости, проходящей через
заданную точку (3):

Ответ:

Пример
3. Построить
плоскость
,
проходящую через точкии перпендикулярную
плоскости
:.

Следовательно,
чтобы некоторая точка М
(x, y,
z)
принадлежала плоскости
,
необходимо, чтобы три векторабыли
компланарны:

=0.

Осталось
раскрыть определитель и привести
полученное выражение к виду общего
уравнения (1).

Пример
4. Плоскость
задана
общим уравнением:

.

Найти
отклонение точки
от заданной плоскости.

Решение.
Приведем уравнение плоскости к нормальному
виду.

,

.

Подставим
в полученное нормальное уравнение
координаты точки М*.

.

Ответ:
.

Пример
5. Пересекает
ли плоскость
отрезок.

Решение.
Чтобы отрезок АВ
пересекал плоскость, отклонения
иот плоскостидолжны иметь разные знаки:

.

Пример
6. Пересечение
трех плоскостей в одной точке.

.

Система
имеет единственное решение, следовательно,
три плоскости имеют одну общую точку.

Пример
7. Нахождение
биссектрис двугранного угла, образованного
двумя заданными плоскостями.

Пусть
и— отклонение некоторой точкиот первой и второй плоскостей.

На одной из
биссектральных плоскостей (отвечающей
тому углу, в котором лежит начало
координат) эти отклонения равны по
модулю и знаку, а на другой – равны по
модулю и противоположны по знаку.

1. 

— это уравнение
первой биссектральной плоскости.

1. 

— это уравнение
второй биссектральной плоскости.

Пример
8. Определение
местоположения двух данных точек
иотносительно двугранных углов,
образованных данными плоскостями.

Пусть
.
Определить: в одном, в смежных или в
вертикальных углах находятся точкии.

1. Находим
   и,и— это отклонения точекА
   и В от
   плоскостей
   и.

а).
Если
илежат по одну сторону оти от,
то они лежат в одном двугранном углу.

б).
Если
илежат по одну сторону оти по разные от,
то они лежат в смежных углах.

в).
Если
илежат по разные стороны оти,
то они лежат в вертикальных углах.

Системы
координат 3

Линии
на плоскости 8

Линии
первого порядка. Прямые на плоскости. 10

Угол
между прямыми 12

Общее
уравнение прямой 13

Неполное
уравнение первой степени 14

Уравнение
прямой “в отрезках” 14

Совместное
исследование уравнений двух прямых 15

Нормаль
к прямой 15

Угол
между двумя прямыми 16

Каноническое
уравнение прямой 16

Параметрические
уравнения прямой 17

Нормальное
(нормированное) уравнение прямой 18

Расстояние
от точки до прямой 19

Уравнение
пучка прямых 20

Примеры
задач на тему «прямая на плоскости» 22

Векторное
произведение векторов 24

Свойства
векторного произведения 24

Геометрические
свойства 24

Алгебраические
свойства 25

Выражение
векторного произведения через координаты
сомножителей 26

Смешанное
произведение трёх векторов 28

Геометрический
смысл смешанного произведения 28

Выражение
смешанного произведения через координаты
векторов 29

Примеры
решения задач по теме: «Векторная
алгебра». 30

Поверхности
в пространстве 33

Плоскость 33

Неполные
уравнения плоскости 35

Уравнение
плоскости в «отрезках» 35

Угол
между плоскостями 36

Уравнение
плоскости, проходящей через три точки,
не принадлежащие одной прямой 37

Нормальное
уравнение плоскости. Расстояние от
точки до плоскости. 38

Расстояние
от точки до плоскости 39

Приведение
общего уравнения плоскости к нормальному
виду 40

Примеры
задач на тему «Плоскость». 40

Линии
в пространстве. Прямая в пространстве 46

Канонические
уравнения прямой в пространстве 47

Параметрические
уравнения прямой 48

Уравнения
прямой, проходящей через две заданные
точки 48

Угол
между двумя прямыми в пространстве 49

Угол
между прямой и плоскостью 49

Условие
принадлежности двух прямых одной
плоскости 50

Некоторые
задачи на построение прямых и плоскостей 50

Примеры
решения задач по теме «Аналитическая
геометрия» 55

Кривые
второго порядка 59

Пример
приведения общего уравнения линии
второго порядка к каноническому виду 59

Эллипс 62

Вывод
уравнения эллипса 62

Гипербола 64

Парабола 65

Примеры
решения задач на тему «Кривые второго
порядка». 66

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

В данной публикации мы рассмотрим, что такое расстояние от точки до плоскости, и по какой формуле оно считается. Также разберем пример решения задачи по этой теме.

• Расчет расстояния от точки до плоскости

• Пример задачи

Расчет расстояния от точки до плоскости

Для нахождения расстояния от произвольной точки для какой-либо плоскости, нужно от нее опустить перпендикуляр на эту плоскость.

Длина перпендикуляра (d) – это и есть требуемое расстояние.

Формула для расчета

Расстояние в трехмерном пространстве от точки O с координатами (O_x, O_y, O_z) до прямой, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, считается так:

Пример задачи

Допустим, у нас есть плоскость 3x – 4y + 2z – 5 = 0. Найдем расстояние от нее до точки O (2, 0, -6).

Решение:

Подставив в формулу выше известные нам значения получаем:

В общем уравнении плоскости нор-мируем (т. е. сделаем единичным) нормальный вектор плоскости . Для этого умножим уравнение на множитель , а знак «+» или «-» выберем так, чтобы параметр был неотрицательным. Заметим, что теперь нормальный вектор имеет координаты

,

Которые есть его направляющие косинусы . В результате имеем уравнение

, (3)

Которое называется Нормальным уравнением плоскости. Это название происходит от того, что нормальный вектор плоскости имеет длину равную единице (как мы знаем, длина нормального вектора плоскости не отражается на уравнении).

Для выяснения смысла параметра перепишем уравнение (3) в векторном виде: . Откуда . В частности, если векторы и коллинеарные и однонаправлены, то и есть расстояние от начала координат до плоскости.

Теорема. Расстояние D от произвольной точки до данной плоскости равно

, (4)

Или

. (5)

Доказательство. Перепишем (5) в виде .

Заметим, что есть расстояние от плоскости (содержащей точку ) до начала координат, а — расстояние от плоскости до начала координат (Рис.). Поэтому есть искомое расстояние.

Правило. Чтобы найти расстояние от произвольной точки до данной плоскости необходимо подставить в левую часть уравнения плоскости (3) координаты точки .

Расстояние от точки до плоскости можно найти как высоту параллелепипеда, построенного на векторах , где точка — произвольная заданная точка плоскости, а векторы есть произвольные заданные векторы плоскости (Рис.). Для этого следует разделить объем параллелепипеда на площадь его основания. В векторном виде объем параллелепипеда

Равен модулю смешанного произведения приведенных к общему началу векторов , а площадь основания равна модулю векторного произведения :

Заметим, что из этой формулы следует (4), если :

Пример 1. Написать уравнение плоскости , проходящей через точку параллельно плоскости и вычислить расстояние между плоскостями.

Решение. Из условия следует коллинеарность нормальных векторов и , следовательно, . Отсюда получим искомое уравнение плоскости

Расстояние между плоскостями найдем как расстояние от точки плоскости до плоскости :

Пример 2. Написать уравнение плоскостей, делящих пополам двухгранные углы, образованные плоскостями

и .

Решение. Запишем искомые уравнения из условия равенства расстояния от произвольной точки искомых плоскостей до плоскостей и :

< Предыдущая		Следующая >