Как написать сторона квадрата

Морфемный разбор слова:

Однокоренные слова к слову:

Как найти сторону квадрата?

Ответ или решение 2

Нам нужно ответить на вопрос как найти сторону квадрата? Мы должны рассмотреть как минимум два возможных случая: 1) как найти сторону квадрата зная его периметр; 2) как найти сторону квадрата зная его площадь.

Отвечать на вопрос задачи будем по следующему плану

Как найти сторону квадрата зная его периметр

Квадратом в математике называется геометрическая фигура имеющая одинаковые углы (равные 90 градусам) и одинаковые стороны.

То есть, все стороны квадрата равны между собой.

Давайте вспомним как найти периметр квадрата.

Периметром в математике называется сумма длин всех сторон фигуры, периметр которой нужно найти.

С помощью формулы периметр квадрата можно записать так:

Если нам будет известен периметр прямоугольника, то сторону можно будет найти по формуле:

Иначе говоря, периметр нужно разделить на количество сторон (их у квадрата четыре).

Как найти сторону квадрата зная его площадь

Существует несколько формул для нахождения площади квадрата, но нам нужно вспомнить формулу площади через сторону.

Итак, зная площадь квадрата мы легко можем найти его сторону по формуле:

Иначе говоря, чтобы найти сторону квадрата нужно извлечь квадратный корень из значения площади.

У квадрата все стороны равны. Для того, чтоб найти сторону квадрата необходимо понимать, какие еще величины известны:

1) Если известна площадь квадрата, необходимо вычислить квадратный корень из площади;

2) Если известен периметр квадрата, необходимо периметр разделить на четыре.

Источник

Квадрат. Онлайн калькулятор

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти сторону, периметр, диагональ квадрата, радиус вписанной в квадрат окружности, радиус описанной вокруг квадрата окружности и т.д.. Для нахождения незвестных элементов, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Определение 1. Квадрат − это четырехугольник, у которого все углы равны и все стороны равны (Рис.1):

Можно дать и другие определение квадрата.

Определение 2. Квадрат − это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Определение 3. Квадрат − это ромб, у которого все углы прямые (или равны).

Свойства квадрата

Изложеннные свойства изображены на рисунках ниже:

Диагональ квадрата

Определение 4. Диагональю квадрата называется отрезок, соединяющий несмежные вершины квадрата.

На рисунке 2 изображен диагональ d, который является отрезком, соединяющим несмежные вершины A и C. У квадрата две диагонали.

Для вычисления длины диагонали воспользуемся теоремой Пифагора:

Из равенства (1) найдем d:

Пример 1. Сторона квадрата равна a=53. Найти диагональ квадрата.

Решение. Для нахождения диагонали квадрата воспользуемся формулой (2). Подставляя a=53 в (2), получим:

Ответ:

Окружность, вписанная в квадрат

Определение 5. Окружность называется вписанной в квадрат, если все стороны касаются этого квадрата (Рис.3):

Формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата

Из рисунка 3 видно, что диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата. Следовательно, формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата имеет вид:

Пример 2. Сторона квадрата равна a=21. Найти радиус вписанной окружности.

Решение. Для нахождения радиуса списанной окружности воспользуемся формулой (3). Подставляя a=21 в (3), получим:

Ответ:

Формула вычисления сторон квадрата через радиус вписанной окружности

Из формулы (3) найдем a. Получим формулу вычисления стороны квадрата через радиус вписанной окружности:

Пример 3. Радиус вписанной в квадрат окружности равен r=12. Найти сторону квадрата.

Решение. Для нахождения стороны квадраиа воспользуемся формулой (4). Подставляя r=12 в (4), получим:

Ответ:

Окружность, описанная около квадрата

Определение 6. Окружность называется описанной около квадрата, если все вершины квадрата находятся на этой окружности (Рис.4):

Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата

Выведем формулу вычисления радиуса окружности, описанной около квадрата через сторону квадрата.

Обозначим через a сторону квадрата, а через R − радиус описанной около квадрата окружности. Проведем диагональ BD (Рис.4). Треугольник ABD является прямоугольным треугольником. Тогда из теоремы Пифагора имеем:

Из формулы (5) найдем R:

или, умножая числитель и знаменатель на , получим:

Пример 4. Сторона квадрата равна a=4.5. Найти радиус окружности, описанной вокруг квадрата.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной вокруг квадрата воспользуемся формулой (7). Подставляя a=4.5 в (7), получим:

Ответ:

Формула стороны квадрата через радиус описанной около квадрата окружности

Выведем формулу вычисления стороны квадрата, через радиус описанной около квадрата окружности.

Из формулы (1) выразим a через R:

Пример 5. Радиус описанной вокруг квадрата окружности равен Найти сторону квадрата.

Решение. Для нахождения стороны квадрата воспользуемся формулой (8). Подставляя в (8), получим:

Ответ:

Периметр квадрата

Периметр квадрата − это сумма всех его сторон. Обозначается периметр латинской буквой P.

Поскольку стороны квадрата равны, то периметр квадрата вычисляется формулой:

где − сторона квадрата.

Пример 6. Сторона квадрата равен . Найти периметр квадрата.

Решение. Для нахождения периметра квадрата воспользуемся формулой (9). Подставляя в (9), получим:

Ответ:

Признаки квадрата

Признак 1. Если в четырехугольнике все стороны равны и один из углов четырехугольника прямой, то этот четырехугольник является квадратом.

Доказательство. По условию, в четырехугольнике противоположные стороны равны, то этот четырехугольник праллелограмм (признак 2 статьи Параллелограмм). В параллелограмме противоположные углы равны. Следовательно напротив прямого угла находится прямой угол. Тогда сумма остальных двух углов равна: 360°-90°-90°=180°, но поскольку они также являются противоположными углами, то они также равны и каждый из них равен 90°. Получили, что все углы четырехугольника прямые и, по определению 1, этот четырехугольник является квадратом.

Признак 2. Если в четырехугольнике диагонали равны, перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник является квадратом (Рис.5).

Доказательство. Пусть в четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O и пусть

Так как AD и BC перпендикулярны, то

Из (10) и (11) следует, что треугольники OAB, OBD, ODC, OCA равны (по двум сторонам и углу между ними (см. статью на странице Треугольники. Признаки равенства треугольников)). Тогда

Эти реугольники также равнобедренные. Тогда

Равенства (12) и (14) показывают, что четырехугольник ABCD является квадратом (определение 1).

Источник

Все формулы стороны квадрата

1. Формула стороны квадрата через диагональ

Формула стороны квадрата, ( a ):

2. Формула стороны квадрата через радиус вписанной окружности

Формула стороны квадрата, ( a ):

3. Формула стороны квадрата через радиус описанной окружности

Формула стороны квадрата, ( a ):

4. Формула стороны квадрата через площадь и периметр

Формула стороны квадрата, ( a ):

5. Формула стороны квадрата через линию выходящую из угла на середину стороны квадрата

Формула стороны квадрата, ( a ):

Источник

Квадрат. Периметр и площадь квадрата.

Рассмотрим фигуру она называеться квадрат.

Стороны AB, BC, CD, DA другое название они имеют ребра; углы A, B, C, D; второе название вершины, зеленим цветом обозначаются диагонали AD, BC. Диагонали в квадрате равны и точкой пересечения делятся пополам.

Периметр P=4•a, Площадь S=a·а

Свойства квадрата

1. Длины сторон квадрата равны.

2. Все углы квадрата прямые.

3. Противолежащие стороны квадрата параллельны друг другу AB∥CD,BC∥AD

4. Сумма всех углов квадрата равна 360 градусов ∠ABC+∠BCD+∠CDA+∠DAB=360​∘​​

5. Величина угла между диагональю и стороной равна 45 градусов ∠BAC=∠BCA=∠CAD=∠ACD=45​∘​​

6. Диагонали квадрата — тождественны, перпендикулярны и разделяются точкой пересечения пополам.

7. Каждая из диагоналей делит квадрат на два равнобедренных прямоугольных треугольника.

8. Обе диагонали делят квадрат на 4 равнобедренных прямоугольных треугольника.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Источник

Сторона квадрата

Свойства

Квадрат является правильным четырехугольников, у которого все стороны и величины всех углов равны. Это значительно упрощает вычисления, входящие в состав задачи. Диагонали, проведенные в квадрате, также равны друг другу и пересекаются под тем же углом, что и со сторонами: m(

Диагональ квадрата делит его на два конгруэнтных прямоугольных треугольника, в которых по теореме Пифагора можно вычислить сторону или диагональ квадрата. a^2+a^2=d^2 2a^2=d^2 d=√2 a

Периметр квадрата является суммой всех его сторон, а так как они одинаковы, то его можно представить в виде произведения стороны квадрата на 4. P=4a

Площадь квадрата вычисляется возведением его стороны во вторую степень. S=a^2

Радиус вписанной в квадрат окружности исходит из центра квадрата, который по совместительству является точкой пересечения диагоналей, и опускается под прямым углом на сторону. Из рисунка видно, что радиус вписанной окружности параллелен другой стороне квадрата и составляет ровно половину от ее длины. Таким образом, радиус вписанной окружности будет равен стороне квадрата, деленной на два. (рис. 69.2) r=a/2

Радиус описанной окружности исходит из центра квадрата – точки пересечения диагоналей, и опускается в угол квадрата, тем самым составляя половину диагонали квадрата. Преобразуя эту формулу для стороны получим следующее выражение. (рис. 69.3) R=d/2=(√2 a)/2=a/√2

Источник

• Если b = 0, то квадратное уравнение принимает вид ax 2 + 0x+c=0 и оно равносильно ax 2 + c = 0.
• Если c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax 2 + bx + 0 = 0, иначе его можно написать как ax 2 + bx = 0.
• Если b = 0 и c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax 2 = 0.

Такие уравнения отличны от полного квадратного тем, что их левые части не содержат либо слагаемого с неизвестной переменной, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название — неполные квадратные уравнения.

Решение неполных квадратных уравнений

Как мы уже знаем, есть три вида неполных квадратных уравнений:

• ax 2 = 0, ему отвечают коэффициенты b = 0 и c = 0;
• ax 2 + c = 0, при b = 0;
• ax 2 + bx = 0, при c = 0.

Давайте рассмотрим по шагам, как решать неполные квадратные уравнения по видам.

Как решить уравнение ax 2 = 0

Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax 2 = 0.

Уравнение ax 2 = 0 равносильно x 2 = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения x 2 = 0 является нуль, так как 0 2 = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax 2 = 0 имеет единственный корень x = 0.

Пример 1. Решить −6x 2 = 0.

1. Замечаем, что данному уравнению равносильно x 2 = 0, значит исходное уравнение имеет единственный корень — нуль.
2. По шагам решение выглядит так:

Как решить уравнение ax 2 + с = 0

Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax 2 + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы давно знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный.

Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. Ну есть одно и то же, только с другими цифрами.

Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax 2 + c = 0:

• перенесем c в правую часть: ax 2 = — c,
• разделим обе части на a: x 2 = — c/а.

Ну все, теперь мы готовы к выводам о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений a и c, выражение — c/а может быть отрицательным или положительным. Разберем конкретные случаи.

Если — c/а 2 = — c/а не имеет корней. Все потому, что квадрат любого числа всегда равен неотрицательному числу. Из этого следует, что при — c/а 0, то корни уравнения x 2 = — c/а будут другими. Например, можно использовать правило квадратного корня и тогда корень уравнения равен числу √- c/а, так как (√- c/а) 2 = — c/а. Кроме того, корнем уравнения может стать -√- c/а, так как (-√- c/а) 2 = — c/а. Ура, больше у этого уравнения нет корней.

Неполное квадратное уравнение ax 2 + c = 0 равносильно уравнению х 2 = -c/a, которое:

• не имеет корней при — c/а 0.

Пример 1. Найти решение уравнения 8x 2 + 5 = 0.

Перенесем свободный член в правую часть:

Разделим обе части на 8:

Ответ: уравнение 8x 2 + 5 = 0 не имеет корней.

Как решить уравнение ax 2 + bx = 0

Осталось разобрать третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0.

Неполное квадратное уравнение ax 2 + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Как разложить квадратное уравнение:

Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения — вынесем за скобки общий множитель x.

Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее — линейное, его корень x = −b/a.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax 2 + bx = 0 имеет два корня:

Пример 1. Решить уравнение 0,5x 2 + 0,125x = 0

Ответ: х = 0 и х = 0,25.

Как разложить квадратное уравнение

С помощью теоремы Виета можно получить формулу разложения квадратного трехчлена на множители. Выглядит она так:

Формула разложения квадратного трехчлена

Если x₁ и x₂ — корни квадратного трехчлена ax 2 + bx + c, то справедливо равенство ax 2 + bx + c = a (x − x₁) (x − x₂).

Дискриминант: формула корней квадратного уравнения

Чтобы найти результат квадратного уравнения, придумали формулу корней. Выглядит она так:

где D = b 2 − 4ac — дискриминант квадратного уравнения.

Эта запись означает:

Чтобы легко применять эту формулу, нужно понять, как она получилась. Давайте разбираться.

Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней

Теперь мы знаем, что при решении квадратных уравнения можно использовать универсальную формулу корней — это помогает находить комплексные корни.

В 8 классе на алгебре можно встретить задачу по поиску действительных корней квадратного уравнения. Для этого важно перед использованием формул найти дискриминант и убедиться, что он неотрицательный, и только после этого вычислять значения корней. Если дискриминант отрицательный, значит уравнение не имеет действительных корней.

Алгоритм решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0:

• вычислить его значение дискриминанта по формуле D = b 2 −4ac;
• если дискриминант отрицательный, зафиксировать, что действительных корней нет;
• если дискриминант равен нулю, вычислить единственный корень уравнения по формуле х = −b/2a;
• если дискриминант положительный, найти два действительных корня квадратного уравнения по формуле корней

Чтобы запомнить алгоритм решения квадратных уравнений и с легкостью его использовать, давайте тренироваться!

Примеры решения квадратных уравнений

Как решать квадратные уравнения мы уже знаем, осталось закрепить знания на практике.

Пример 1. Решить уравнение −4x 2 + 28x — 49 = 0.

1. Найдем дискриминант: D = 28 2 — 4(-4)(-49) = 784 — 784 = 0
2. Так как дискриминант равен нулю, значит это квадратное уравнение имеет единственный корень
3. Найдем корень

Ответ: единственный корень 3,5.

Пример 2. Решить уравнение 54 — 6x 2 = 0.

Произведем равносильные преобразования. Умножим обе части на −1

Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую

Ответ: два корня 3 и — 3.

Пример 3. Решить уравнение x 2 — х = 0.

Преобразуем уравнение так, чтобы появились множители

Ответ: два корня 0 и 1.

Пример 4. Решить уравнение x 2 — 10 = 39.

Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую

Ответ: два корня 7 и −7.

Пример 5. Решить уравнение 3x 2 — 4x+94 = 0.

Найдем дискриминант по формуле

D = (-4) 2 — 4 * 3 * 94 = 16 — 1128 = −1112

Ответ: корней нет.

В школьной программе за 8 класс нет обязательного требования искать комплексные корни, но такой подход может ускорить ход решения. Если дискриминант отрицательный — сразу пишем ответ, что действительных корней нет и не мучаемся.

Формула корней для четных вторых коэффициентов

Рассмотрим частный случай. Формула решения корней квадратного уравнения , где D = b 2 — 4ac, помогает получить еще одну формулу, более компактную, при помощи которой можно решать квадратные уравнения с четным коэффициентом при x. Рассмотрим, как появилась эта формула.

Например, нам нужно решить квадратное уравнение ax 2 + 2nx + c = 0. Сначала найдем его корни по известной нам формуле. Вычислим дискриминант D = (2n) 2 — 4ac = 4n 2 — 4ac = 4(n 2 — ac) и подставим в формулу корней:

2 + 2nx + c = 0″ height=»705″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc11a460e2f8354381151.png» width=»588″>

Для удобства вычислений обозначим выражение n 2 -ac как D₁. Тогда формула корней квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2·n примет вид:

где D₁ = n 2 — ac.

Самые внимательные уже заметили, что D = 4D₁, или D₁= D/4. Проще говоря, D₁ — это четверть дискриминанта. И получается, что знак D1 является индикатором наличия или отсутствия корней квадратного уравнения.

Сформулируем правило. Чтобы найти решение квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2n, нужно:

• вычислить D₁= n 2 — ac;
• если D₁ 0, значит можно найти два действительных корня по формуле

Формула Виета

Если в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так:

Сумма корней x 2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену.

Если дано x 2 + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства:

Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам.

Рассмотрим теорему Виета на примере: x 2 + 4x + 3 = 0.

Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре:

Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит:

Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x 2 + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:
2 + 4x + 3 = 0″ height=»215″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/E_X403ETh_88EANRWdQN03KRT8yxP2HO4HoCrxj__c8G0DqmNJ1KDRqtLH5Z1p7DtHm-rNMDB2tEs41D7RHpEV5mojDTMMRPuIkcW33jVNDoOe0ylzXdHATLSGzW4NakMkH2zkLE» width=»393″>

Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное.
2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/VzGPXO9B0ZYrr9v0DpJfXwuzeZtjYnDxE_ma76PUC8o7jVWwa8kZjTJhq2Lof0TiJXAp_ny3yRwI_OyRzeucv9xUZ63yoozGPP4xd4OxvElVT7Pt-d6xL5w17e_mQNs5qZJQiwfG» width=»125″>

Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется:
2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh4.googleusercontent.com/Cq-LCFmY3YGNSan1VF3l3CqIeojoJYAvGAiTBWnzyoZu_xJFrF5NfQ3xCe59apJklw6uYbmQ4lAkBTeC-TJmEGicN3rgGtsezhuqdNiOWjZT39NziOB5uOmQr3cr9-5fNnepdZDo» width=»112″>

Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения:

Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Вот она:

Обратная теорема Виета

Если числа x₁ и x₂ таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа и есть корни x 2 + bx + c = 0.

Обычно вся суть обратных теорем в том самом выводе, которое дает первая теорема. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x₁ и x₂ равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это и есть утверждение.

Пример 1. Решить при помощи теоремы Виета: x 2 − 6x + 8 = 0.

Для начала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма будет равна 6, так как второй коэффициент равен −6. А произведение корней равно 8.

2 − 6x + 8 = 0″ height=»59″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc101ce2e346034751939.png» width=»117″>

Когда у нас есть эти два равенства, можно подобрать подходящие корни, которые будут удовлетворять обоим равенствам системы.

Чтобы проще подобрать корни, нужно их перемножить. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x₁ и x₂ надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству тоже.

Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x₁ + x₂ = 6. А значения 4 и 2 подходят обоим равенствам:

Значит числа 4 и 2 — корни уравнения x 2 − 6x + 8 = 0. p>

Упрощаем вид квадратных уравнений

Если мы ходили в школу всегда одной тропинкой, а потом вдруг обнаружили путь короче — это значит теперь у нас есть выбор: упростить себе задачу и сократить время на дорогу или прогуляться по привычному маршруту.

Так же и при вычислении корней квадратного уравнения. Ведь проще посчитать уравнение 11x 2 — 4 x — 6 = 0, чем 1100x 2 — 400x — 600 = 0.

Часто упрощение вида квадратного уравнения можно получить через умножение или деление обеих частей на некоторое число. Например, в предыдущем абзаце мы упростили уравнение 1100x 2 — 400x — 600 = 0, просто разделив обе части на 100.

Такое преобразование возможно, когда коэффициенты не являются взаимно простыми числами. Тогда принято делить обе части уравнения на наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов.

Покажем, как это работает на примере 12x 2 — 42x + 48 = 0. Найдем наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов: НОД (12, 42, 48) = 6. Разделим обе части исходного квадратного уравнения на 6, и придем к равносильному уравнению 2x 2 — 7x + 8 = 0. Вот так просто.

А умножение обеих частей квадратного уравнения отлично помогает избавиться от дробных коэффициентов. Умножать в данном случае лучше на наименьшее общее кратное знаменателей его коэффициентов. Например, если обе части квадратного уравнения

умножить на НОК (6, 3, 1) = 6, то оно примет более простой вид x 2 + 4x — 18 = 0.

Также для удобства вычислений можно избавиться от минуса при старшем коэффициенте квадратного уравнения — для этого умножим или разделим обе части на −1. Например, удобно от квадратного уравнения −2x 2 — 3x + 7 = 0 перейти к решению 2x 2 + 3x — 7 = 0.

Связь между корнями и коэффициентами

Мы уже запомнили, что формула корней квадратного уравнения выражает корни уравнения через его коэффициенты:

Из этой формулы, можно получить другие зависимости между корнями и коэффициентами.

Например, можно применить формулы из теоремы Виета:

Для приведенного квадратного уравнения сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней — свободному члену. Например, по виду уравнения 3x 2 — 7x + 22 = 0 можно сразу сказать, что сумма его корней равна 7/3, а произведение корней равно 22/3.

Можно активно использовать уже записанные формулы и с их помощью получить ряд других связей между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Таким образом можно выразить сумму квадратов корней квадратного уравнения через его коэффициенты:

Квадрат – это четырёхугольная плоская геометрическая фигура с равными сторонами. Квадрат считается
прямоугольником, так как все его внутренние углы по 90°. Диагонали правильного четырёхугольника
равны между собой, пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. А также они
являются биссектрисами внутренних углов (отрезок делит прямой угол на два одинаковых угла по 45°).

Знание и применение этих свойств позволяют быстро решать задачи по геометрии. Ромб с равными
диагоналями, ромб с двумя соседними прямыми углами, параллелограмм с одинаковыми диагоналями,
пересекающимися под прямым углом, все эти фигуры являются правильными четырёхугольниками.

Через радиус вписанной окружности

Длина стороны равна двум радиусам (диаметру) вписанной окружности:

a=2*R

где R — радиус.

Радиус – это расстояние от центра окружности до любой ее точки. Диаметр — отрезок, соединяющий
две любые точки окружности и проходящий через центр. Радиус составляет 1/2 диаметра. Все стороны
правильного четырёхугольника являются касательными прямыми к вписанной окружности. Радиус всегда
перпендикулярен касательной. Вписанная окружность делит точкой касания стороны квадрата на две
равные части. Зная величину диагонали, одинаковую длину стороны и диаметра легко можно объяснить
благодаря теореме Пифагора: «в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов
катетов». В данном случае если построить отрезки, соединяющие противоположные вершины правильного
четырёхугольника, образуется равнобедренный прямоугольный треугольник, где половина стороны квадрата
и радиус являются катетами, а половина диагонали — гипотенузой.

Формула вычисления через площадь

Для того чтобы определить длину стороны, зная только площадь, нужно извлечь квадратный корень из
известного значения:

a=√S

где S — площадь.

Это самый простой способ. Площадь плоской четырёхугольной геометрической фигуры – это числовое
значение, которое характеризует размер плоскости, ограниченной четырьмя сторонами. Для нахождения
площади прямоугольника необходимо умножить длину на ширину, для площади прямоугольника с равными
сторонами – возвести длину в квадрат.

Также есть и другие способы для нахождения площади правильной
четырёхугольной фигуры: через радиус вписанной или описанной окружности, периметр, через длину
отрезка, проведенного из вершины к середине противоположной стороны. Если площадь неизвестна, но
есть данные о диагонали, можно легко найти воспользоваться доступной величиной — возвести
длину отрезка в квадрат и разделить на два S=d²/2.

Этот метод также
опирается на теорему Пифагора. Поделив сумму квадратов катетов на два, можно найти площадь. Однако в
этом случае значение не понадобится для нахождения стороны, можно быстро вычислить длину катета при
помощи следующей формулы.

Вычисление через диагональ

Если в задаче изначально известна длина диагонали, можно значительно сократить маршрут поиска нужной
величины. На основе этого правила сторона вычисляется по формуле:

a=d/√2

где d — диагональ.

Через радиус описанной окружности

Известно, что диаметр описанной окружности равен диагонали, так как он совпадает с отрезком,
соединяющим вершины двух противоположных углов, а эти вершины являются точками окружности. Формула
для вычисления:

a = √2 * R

где R — радиус.

Благодаря радиусу можно найти длину диагонали, которая делит фигуру на 2 прямоугольных равнобедренных
треугольника и при помощи теоремы Пифагора найти нужную величину.

Диагональ представляет собой линию, которая соединяет две вершины противоположных углов, тем самым
разделяя правильный четырёхугольник на два равнобедренных прямоугольных треугольника. Найти значение
таким способом не сложнее, чем через площадь. Главное, знать теорему Пифагора и уметь ею
пользоваться, это самый быстрый вариант. В задачах с прямоугольными фигурами теорема часто служит
выходом из сложной ситуации.

Все вычислительные способы связаны между собой. Запомнить нужные формулы несложно. Достаточно
применять их на практике каждый день, частое использование одних и тех же алгоритмов приведет к
автоматическому запоминаю правил. Не стоит заучивать формулы, необходимо больше рассуждать
логически. Такой подход позволит решать задачи более сложного уровня и легче воспринимать любую
информацию. Самым действенным методом для запоминания является практика. Отработка нескольких
идентичных задач на определенное правило поможет закрепить результат на долгий срок.

• Квадрат  — это четырехугольник у которого все стороны равны AB = BC = CD = DA. 
• Противоположные стороны квадрата параллельны, а смежные — перпендикулярны.
• Все квадраты отличаются между собой только длиной стороны.

Как найти длину стороны квадрата?

Сторона квадрата может быть легко найдена с помощью нашего онлайн калькулятора. Так же Вы можете воспользоваться формулами ниже для самостоятельного расчета.

	a =
	a = √S
	a = 2r
	a = R√2
	a =