Как написать точку пересечения графиков - Правописание и грамматика

Координаты точки пересечения графиков функций

Как найти?

Чтобы найти координаты точки пересечения графиков функций нужно приравнять обе функции друг к другу, перенести в левую часть все члена, содержащие $ x $, а в правую остальные и найти корни, полученного уравнения.
Второй способ заключается в том, что нужно составить систему уравнений и решить её путём подстановки одной функции в другую
Третий способ подразумевает графическое построение функций и визуальное определение точки пересечения.

Случай двух линейных функций

Рассмотрим две линейные функции $ f(x) = k_1 x+m_1 $ и $ g(x) = k_2 x + m_2 $. Эти функции называются прямыми. Построить их достаточно легко, нужно взять любые два значения $ x_1 $ и $ x_2 $ и найти $ f(x_1) $ и $ (x_2) $. Затем повторить тоже самое и с функцией $ g(x) $. Далее визуально найти координату точки пересечения графиков функций.

Следует знать, что линейные функции имеют только одну точку пересечения и только тогда, когда $ k_1 neq k_2 $. Иначе, в случае $ k_1=k_2 $ функции параллельны друг другу, так как $ k $ — это коэффициент угла наклона. Если $ k_1 neq k_2 $, но $ m_1=m_2 $, тогда точкой пересечения будет $ M(0;m) $. Это правило желательно запомнить для ускоренного решения задач.

Пример 1

Пусть даны $ f(x) = 2x-5 $ и $ g(x)=x+3 $. Найти координаты точки пересечения графиков функций.

Решение

Как это сделать? Так как представлены две линейные функции, то первым делом смотрим на коэффициент угла наклона обеих функций $ k_1 = 2 $ и $ k_2 = 1 $. Замечаем, что $ k_1 neq k_2 $, поэтому существует одна точка пересечения. Найдём её с помощью уравнения $ f(x)=g(x) $:

$$ 2x-5 = x+3 $$

Переносим слагаемые с $ x $ в левую часть, а остальные в правую:

$$ 2x — x = 3+5 $$

$$ x = 8 $$

Получили $ x=8 $ абциссу точки пересечения графиков, а теперь найдём ординату. Для этого подставим $ x = 8 $ в любое из уравнений хоть в $ f(x) $, либо в $ g(x) $:

$$ f(8) = 2cdot 8 — 5 = 16 — 5 = 11 $$

Итак, $ M (8;11) $ — является точкой пересечения графиков двух линейных функций.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ M (8;11) $$

Пример 2

Дано $ f(x)=2x-1 $ и $ g(x) = 2x-4 $. Найти точки пересечения графиков функций.

Решение

Как найти? Опять же обращаем внимание на то, что угловые коэффициенты равны $ k_1 = k_2 = 2 $. Это означает, что линейные функции параллельны между собой, поэтому у них нет точек пересечения!

Ответы

Графики функций параллельны, нет точек пересечения.

Случай двух нелинейных функций

Пример 3

Найти координаты точки пересечения графиков функций: $ f(x)=x^2-2x+1 $ и $ g(x)=x^2+1 $

Решение

Как быть с двумя нелинейными функциями? Алгоритм простой: приравниваем уравнения друг к другу и находим корни:

$$ x^2-2x+1=x^2+1 $$

Разносим по разным сторонам уравнения члены с $ x $ и без него:

$$ x^2-2x-x^2=1-1 $$

$$ -2x=0 $$

$$ x=0 $$

Найдена абцисса искомой точки, но её недостаточно. Ещё нехватает ординаты $ y $. Подставляем $ x = 0 $ в любое из двух уравнений условия задачи. Например:

$$ f(0)=0^2-2cdot 0 + 1 = 1 $$

$ M (0;1) $ — точка пересечения графиков функций

Ответ

$$ M (0;1) $$

Источник

Ирина Алексеевна Антоненко

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

В практике и в учебниках наиболее распространены нижеперечисленные способы нахождения точки пересечения различных графиков функций.

Первый способ

Первый и самый простой – это воспользоваться тем, что в этой точке координаты будут равны и приравнять графики, а из того что получится можно найти $x$. Затем найденный $x$ подставить в любое из двух уравнений и найти координату игрек.

Пример 1

Найдём точку пересечения двух прямых $y=5x + 3$ и $y=x-2$, приравняв функции:

$5x = x- 2$;

$4x = -2$;

$x=-frac{1}{2}$

Теперь подставим полученный нами икс в любой график, например, выберем тот, что попроще — $y=x-2$:

$y=-frac{1}{2} – 2 = — 2frac12$.

Точка пересечения будет $(-frac{1}{2};- 2frac12)$.

Профориентация для студентов

Поможем определиться с профессией, окажем помощь в профессиональном самоопределении и трудоустройстве

Пройти профориентацию

Второй способ

Второй способ заключается в том, что составляется система из имеющихся уравнений, путём преобразований одну из координат делают явной, то есть, выражают через другую. После это выражение в приведённой форме подставляется в другое.

Пример 2

Узнайте, в каких точках пересекаются графики параболы $y=2x^2-2x-1$ и пересекающей её прямой $y=x+1$.

Решение:

Составим систему:

$begin{cases} y=2x^2-2x-1 \ y= x + 1 \ end{cases}$

Второе уравнение проще первого, поэтому подставим его вместо $y$:

$x+1 = 2x^2 – 2x-1$;

$2x^2 – 3x – 2 = 0$.

Вычислим, чему равен x, для этого найдём корни, превращающие равенство в верное, и запишем полученные ответы:

$x_1=2; x_2 = -frac{1}{2}$

Подставим наши результаты по оси абсцисс по очереди во второе уравнение системы:

$y_1= 2 + 1 = 3; y_2=1 — frac{1}{2} = frac{1}{2}$.

Точки пересечения будут $(2;3)$ и $(-frac{1}{2}; frac{1}{2})$.

Третий способ

«Как найти координаты точек пересечения графика функции: примеры решения» 👇

Перейдём к третьему способу — графическому, но имейте в виду, что результат, который он даёт, не является достаточно точным.

Для применения метода оба графика функций строятся в одном масштабе на одном чертеже, и затем выполняется визуальный поиск точки пересечения.

Данный способ хорош лишь в том случае, когда достаточно приблизительного результата, а также если нет каких-либо данных о закономерностях рассматриваемых зависимостей.

Пример 3

Найдите точку пересечения графиков на общем рисунке.

Рисунок 1. Точка пересечения двух функций. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Решение:

Тут всё просто: ищем точки пересечения пунктиров, опущенных с графиков с осями абсцисс и ординат и записываем по порядку. Здесь точка пересечения равна $(2;3)$.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Источник

Общие сведения

Функция — некоторое выражение, описывающее зависимость между двумя величинами. Следует отметить, что последних может быть несколько. Параметр, который не зависит от других элементов, называется аргументом, а зависимое тождество — значением функции.

Точка пересечения графиков означает, что у системы уравнений существует общее решение. Следует отметить, что для их нахождения можно воспользоваться графическим и аналитическим методом. Первый подразумевает построение графического представления выражения с переменной.

Чтобы найти пересечение графиков функций аналитическим способом, необходимо решить уравнение, корни которого являются искомыми точками. Для их нахождения специалисты рекомендуют получить базовые понятия о равенствах с переменными, а также о методах их решения.

Классификация уравнений

Уравнение — тождество, содержащее неизвестные величины (переменные), которые следует найти при помощи определенного алгоритма. Последний зависит от типа выражений. Тождества классифицируются на несколько типов:

Линейные.
Квадратные.
Кубические.
Биквадратные.

Линейными являются уравнения, содержащие единичную степень, т. е. 2t=4. Квадратные — тождества, у которых переменная возведена в квадрат. Они имеют следующий вид: Pt^2+St+U=0, где Р и S — коэффициенты при неизвестных, а U — свободный член.

Кубическое — уравнение вида Ot^3+Pt^2+St+U=0, где O, Р и S — коэффициенты при переменных, а U — константа. Последний вид — равенства, в которых при переменной присутствует четвертая степень (Nt^4+Ot^3+Pt^2+St+U=0).

Равносильные тождества

При выполнении математических операций каждое выражение может быть заменено на эквивалентное, т. е. равносильное. Иными словами, равносильными называются уравнения, различные по составляющим их элементам, но имеющие одинаковые корни. Следует отметить, что ими являются также выражения, не имеющие решений. Математики выделяют три свойства: симметричность, транзитивность и разложение на множители.

Формулировка первого: когда I уравнение равносильно II, то значит, и II равносильно I. Суть транзитивности состоит в том, что если I равносильно II, а II — III, то значит I эквивалентно III. Второе свойство имеет такую формулировку: произведение двух элементов, содержащих переменные, равное нулевому значению, эквивалентно двум выражениям, которые можно приравнять к 0. Математическая запись утверждения имеет такой вид: R(t)*S(t)=0 {R(t)=0 и S(t)=0}.

Математические преобразования

Для решения уравнения необходимо выполнить некоторые математические преобразования. Они должны выполняться грамотно, поскольку любая ошибка приводит к образованию ложных корней. Допустимыми операциями являются следующие:

Правильное раскрытие скобок с учетом алгебраической операции и знаков.
Упрощение выражения (приведение подобных величин).
Перенос элементов в любые части равенства с противоположным знаком.
Возможность прибавлять или вычитать эквивалентные величины.
Деление и умножение на любые эквивалентные значения, не превращающие тождества в пустое множество.

Специалисты рекомендуют избегать операций, при которых сокращаются неизвестные величины. Следствием этого могут стать ложные корни. Кроме того, делитель не должен иметь значения, при которых его значение равно 0. Последнее условие следует всегда проверять, а при решении ни один корень уравнения не должен соответствовать значению переменной при нахождении окончательных корней.

Иными словами, в выражении (t+2)^2=0 для упрощения можно разделить обе части на (t+2) при условии, что t не равно -2, т. к. [(t+2)^2]/(t+2)=0/(t+2).

Однако при решении (t+2)=0 получается, что t=-2, а это недопустимо. Следовательно, вышеописанный метод не всегда подходит.

Разложение на множители

Для решения уравнений при выполнении математических преобразований могут потребоваться специальные формулы разложения на множители. Их еще называют тождествами сокращенного умножения. К ним относятся следующие:

Квадрат суммы и разности: (p+r)^2=p^2+2pr+r^2 и (p-r)^2=p^2-2pr+r^2 соответственно.
Разность квадратов: p^2-r^2=(p-r)(p+r).

В некоторых случаях можно воспользоваться сразу двумя соотношениями, т. е. выделить квадрат суммы, а затем из первого — разность квадратов. Выделение первого осуществляется группировкой посредством скобок в выражении, а затем введение положительного и отрицательного элементов, т. е. s^2+4s-5=s^2+4s+4-4-5=(s^2+4s+4)-4-5=(s+2)^2 -9. Для получения всех элементов формулы «p+r)^2=p^2+2pr+r^2» нужно прибавить, а затем отнять 4. При этом значение равенства не изменится, поскольку 4-4=0.

Следует отметить, что математические преобразования выражения (s+2)^2 -9 не заканчиваются, поскольку его можно представить в виде разности квадратов, т. е. (s+2-9)(s+2+9)=(s-7)(s+11). Кроме того, формулы сокращенного умножения рекомендуется применять при понижении степени.

Методики нахождения точек

Чтобы узнать, пересекаются ли графики функций, нужно приравнять соответствующие тождества, а затем решать уравнение. Однако при такой операции могут получиться различные равенства с неизвестными. В этом случае требуется обратить внимание на нижеописанные методики решения для каждого вида.

Первой и второй степени

Уравнение первой степени, или линейное, решается очень просто. Для этого необходимо перенести переменные величины в одну, а известные — в другую сторону. Методика решения имеет следующий вид:

Раскрыть скобки и привести подобные коэффициенты.
Выполнить перенос известных в одну, а неизвестных — в другую часть равенства.
Произвести необходимые математические преобразования.
Найти корень.

Сложнее решается квадратное уравнение. Существует несколько способов нахождения его корней:

Разложить на множители.
Выделить полный квадрат.
Найти дискриминант.
По теореме Виета.

Первый способ применяется довольно часто, поскольку с его помощью можно понижать степень при неизвестной величине. Второй подразумевает выделение квадрата по одной из формул сокращенного умножения. Чтобы воспользоваться одним из двух методов, необходимо знать соответствующие тождества (правила разложения на множители).

Однако не всегда можно быстро решить квадратное уравнение при помощи первых двух методов. Еще один вариант — нахождение корней через дискриминант (Д), т. е. дополнительный параметр, позволяющий сразу находить решения. Он находится по следующей формуле: Д=(-S)^2 -4PU.

Следует отметить, что при Д>0 переменная принимает два значения, которые превращают равенство в истину. Если Д=0, то корень только один. Когда Д<0, искомое тождество с неизвестными вообще не имеет решений. Определить значение корней возможно по таким соотношениям: t1=[-S-(Д)^(1/2)]/2P и t2=[-S+(Д)^(1/2)]/2P, где t1 и t2 — точки пересечения с осью абсцисс.

Если коэффициент при второй степени (P) эквивалентен 1, то дискриминант можно не высчитывать, а воспользоваться сокращенным вариантом решения — теоремой Виета. Суть ее заключается в подборе корней по таким формулам: t1+t2=-S и t1*t2=U. Иногда для реализации этой методики нужно сократить обе части на коэффициент Р. Алгоритм решения квадратных уравнений имеет следующий вид:

Выполнить при необходимости различные алгебраические преобразования (раскрыть скобки и привести подобные слагаемые).
Выбрать один из способов решения и реализовать его.
Проверить корни, подставив их в исходное выражение.

Следует отметить, что распространенная ошибка новичков — отсутствие проверки. В результате неправильных действий образуются ложные корни, а оценка на контрольной, зачете или экзамене существенно снижается.

Кубические и биквадратные

Решение тождеств кубического и биквадратного типов с неизвестными осуществляется двумя способами. К ним относятся:

Понижение степени (разложение на множители).
Замена переменной.

В первом случае необходимо выполнить преобразования, которые позволят применить одну из формул сокращенного умножения. Однако этот метод применяется довольно редко, поскольку математики отдают предпочтение второму способу. Для его реализации вводится дополнительная переменная, обладающая более низкой степенью и существенно упрощающая выражение. Алгоритм имеет такой вид:

Выполняются необходимые математические преобразования.
Выражается переменная через другую.
Решается квадратное или линейное уравнение.
Промежуточные корни, полученные в третьем пункте алгоритма, подставляются во второй.
Вычисляются искомые корни.
Осуществляется проверка.
Отсеиваются ложные решения, и записывается ответ.

Для проверки рекомендуется воспользоваться онлайн-приложениями, позволяющими вычислить корни, а также построить графики функций. Кроме того, для кубического многочлена Pt³+St²+Ut+V=0 существует еще одна методика нахождения корней. Она имеет следующий вид:

Уравнение требуется разделить на P.
Осуществить замену: t=m-(S/(3P)). При этом получается тождество вида m^3 +km+l=0.
Найти значение коэффициентов по формулам: k=[2S³-9PSU+27(P²)V] / (27P³) и l=[(3PU-S²)/(3P²)]. Подставить их во второй пункт и найти промежуточные корни, при помощи которых найти основные значения переменных.

Следует отметить, что важным пунктом методики является правильный выбор выражения замены, а затем верное выполнение математических преобразований.

Пример решения

Для закрепления знаний необходимо перейти к практическому решению заданий.Одной из простых задач является следующая: найдите координаты точки пересечения графиков линейных функций z=2t+7 и z=t-1. Решается задача по такому алгоритму:

Приравнять уравнения: 2t+7=t-1.
Перенести переменные влево, а константы — вправо: 2t-t=-1-7.
Привести подобные коэффициенты: t=-8.
Найти координаты второй составляющей: z=-8-1=-9.
Искомая точка пересечения: (-8;-9).

В четвертом пункте нужно подставить координату по оси абсцисс в любое из уравнений для получения второй составляющей, необходимой для точки. Следует отметить, что в этой задаче нет необходимости проводить математические преобразования. Однако существуют и более сложные задания, в которых необходимо решать квадратные уравнения, а также раскрывать скобки.

Таким образом, для определения точки пересечения графиков необходимо уметь находить корни уравнения, а также выполнять алгебраические преобразования.

Источник

Как найти координаты точек пересечения графика функции: примеры решения

Вы будете перенаправлены на Автор24

Первый способ

Найдём точку пересечения двух прямых $y=5x + 3$ и $y=x-2$, приравняв функции:

Теперь подставим полученный нами икс в любой график, например, выберем тот, что попроще — $y=x-2$:

$y=-frac<1> <2>– 2 = — 2frac12$.

Точка пересечения будет $(-frac<1><2>;- 2frac12)$.

Второй способ

Узнайте, в каких точках пересекаются графики параболы $y=2x^2-2x-1$ и пересекающей её прямой $y=x+1$.

Решение:

Второе уравнение проще первого, поэтому подставим его вместо $y$:

Вычислим, чему равен x, для этого найдём корни, превращающие равенство в верное, и запишем полученные ответы:

Подставим наши результаты по оси абсцисс по очереди во второе уравнение системы:

$y_1= 2 + 1 = 3; y_2=1 — frac<1> <2>= frac<1><2>$.

Точки пересечения будут $(2;3)$ и $(-frac<1><2>; frac<1><2>)$.

Третий способ

Готовые работы на аналогичную тему

Найдите точку пересечения графиков на общем рисунке.

Рисунок 1. Точка пересечения двух функций. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Решение:

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 07 05 2021

Как найти точки пересечения графиков функций — алгоритмы и примеры правила и методики

Общие сведения

Классификация уравнений

Линейными являются уравнения, содержащие единичную степень, т. е. 2t=4. Квадратные — тождества, у которых переменная возведена в квадрат. Они имеют следующий вид: Pt^2+St+U=0, где Р и S — коэффициенты при неизвестных, а U — свободный член.

Равносильные тождества

Математические преобразования

Правильное раскрытие скобок с учетом алгебраической операции и знаков.
Упрощение выражения (приведение подобных величин).
Перенос элементов в любые части равенства с противоположным знаком.
Возможность прибавлять или вычитать эквивалентные величины.
Деление и умножение на любые эквивалентные значения, не превращающие тождества в пустое множество.

Иными словами, в выражении (t+2)^2=0 для упрощения можно разделить обе части на (t+2) при условии, что t не равно -2, т. к. [(t+2)^2]/(t+2)=0/(t+2).

Разложение на множители

Квадрат суммы и разности: (p+r)^2=p^2+2pr+r^2 и (p-r)^2=p^2-2pr+r^2 соответственно.
Разность квадратов: p^2-r^2=(p-r)(p+r).

Методики нахождения точек

Первой и второй степени

Раскрыть скобки и привести подобные коэффициенты.
Выполнить перенос известных в одну, а неизвестных — в другую часть равенства.
Произвести необходимые математические преобразования.
Найти корень.

Сложнее решается квадратное уравнение. Существует несколько способов нахождения его корней:

Разложить на множители.
Выделить полный квадрат.
Найти дискриминант.
По теореме Виета.

Однако не всегда можно быстро решить квадратное уравнение при помощи первых двух методов. Еще один вариант — нахождение корней через дискриминант (Д), т. е. дополнительный параметр, позволяющий сразу находить решения. Он находится по следующей формуле: Д=(-S)^2 -4PU.

Следует отметить, что при Д>0 переменная принимает два значения, которые превращают равенство в истину. Если Д=0, то корень только один. Когда Д 3 +St 2 +Ut+V=0 существует еще одна методика нахождения корней. Она имеет следующий вид:

Уравнение требуется разделить на P.
Осуществить замену: t=m-(S/(3P)). При этом получается тождество вида m^3 +km+l=0.
Найти значение коэффициентов по формулам: k=[2S 3 -9PSU+27(P 2 )V] / (27P 3 ) и l=[(3PU-S 2 )/(3P 2 )]. Подставить их во второй пункт и найти промежуточные корни, при помощи которых найти основные значения переменных.

Пример решения

Приравнять уравнения: 2t+7=t-1.
Перенести переменные влево, а константы — вправо: 2t-t=-1-7.
Привести подобные коэффициенты: t=-8.
Найти координаты второй составляющей: z=-8-1=-9.
Искомая точка пересечения: (-8;-9).

График линейной функции, его свойства и формулы

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие функции

Функция — это зависимость «y» от «x», где «x» является переменной или аргументом функции, а «y» — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

Табличный способ — помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
Графический способ — наглядно.
Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
Словесный способ.

График функции — это объединение всех точек, когда вместо «x» можно подставить произвольные значения и найти координаты этих точек.

Понятие линейной функции

Линейная функция — это функция вида y = kx + b, где х — независимая переменная, k, b — некоторые числа. При этом k — угловой коэффициент, b — свободный коэффициент.

Геометрический смысл коэффициента b — длина отрезка, который отсекает прямая по оси OY, считая от начала координат.

Геометрический смысл коэффициента k — угол наклона прямой к положительному направлению оси OX, считается против часовой стрелки.

Если известно конкретное значение х, можно вычислить соответствующее значение у.

Нам дана функция: у = 0,5х — 2. Значит:

если х = 0, то у = -2;
если х = 2, то у = -1;
если х = 4, то у = 0;
и т. д.

Для удобства результаты можно оформлять в виде таблицы:

Графиком линейной функции является прямая линия. Для его построения достаточно двух точек, координаты которых удовлетворяют уравнению функции.

Угловой коэффициент отвечает за угол наклона прямой, свободный коэффициент — за точку пересечения графика с осью ординат.

Буквенные множители «k» и «b» — это числовые коэффициенты функции. На их месте могут стоять любые числа: положительные, отрицательные или дроби.

Давайте потренируемся и определим для каждой функций, чему равны числовые коэффициенты «k» и «b».

Функция	Коэффициент «k»	Коэффициент «b»
y = 2x + 8	k = 2	b = 8
y = −x + 3	k = −1	b = 3
y = 1/8x − 1	k = 1/8	b = −1
y = 0,2x	k = 0,2	b = 0

Может показаться, что в функции «y = 0,2x» нет числового коэффициента «b», но это не так. В данном случае он равен нулю. Чтобы не поддаваться сомнениям, нужно запомнить: в каждой функции типа «y = kx + b» есть коэффициенты «k» и «b».

Еще не устали? Изучать математику веселее с опытным преподавателем на курсах по математике в Skysmart!

Свойства линейной функции

Область определения функции — множество всех действительных чисел.
Множеством значений функции является множество всех действительных чисел.
График линейной функции — прямая. Для построения прямой достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b.
Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b:
b ≠ 0, k = 0, значит y = b — четная;
b = 0, k ≠ 0, значит y = kx — нечетная;
b ≠ 0, k ≠ 0, значит y = kx + b — функция общего вида;
b = 0, k = 0, значит y = 0 — как четная, так и нечетная функция.
Свойством периодичности линейная функция не обладает, потому что ее спектр непрерывен.
График функции пересекает оси координат:
ось абсцисс ОХ — в точке (-b/k, 0);
ось ординат OY — в точке (0; b).
x=-b/k — является нулем функции.
Если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х.
Если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в нуль ни при каких значениях переменной х.
Функция монотонно возрастает на области определения при k > 0 и монотонно убывает при k 0: функция принимает отрицательные значения на промежутке (-∞, — b /_k) и положительные значения на промежутке (- b /_k, +∞)
При k b /_k, +∞) и положительные значения на промежутке (-∞, — b /_k).
Коэффициент k характеризует угол, который образует прямая с положительным направлением Ох. Поэтому k называют угловым коэффициентом.
Если k > 0, то этот угол острый, если k

Построение линейной функции

В геометрии есть аксиома: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Исходя из этой аксиомы следует: чтобы построить график функции вида «у = kx + b», достаточно найти всего две точки. А для этого нужно определить два значения х, подставить их в уравнение функции и вычислить соответствующие значения y.

Например, чтобы построить график функции y = 1 /₃x + 2, можно взять х = 0 и х = 3, тогда ординаты этих точек будут равны у = 2 и у = 3. Получим точки А (0; 2) и В (3; 3). Соединим их и получим такой график:

В уравнении функции y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:

если k > 0, то график наклонен вправо;
если k 0, то график функции y = kx + b получается из y = kx со сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY;
если b 1 /₂x + 3, y = x + 3.

Проанализируем рисунок. Все графики наклонены вправо, потому что во всех функциях коэффициент k больше нуля. Причем, чем больше значение k, тем круче идет прямая.

В каждой функции b = 3, поэтому все графики пересекают ось OY в точке (0; 3).

Теперь рассмотрим графики функций y = -2x + 3, y = — 1 /₂x + 3, y = -x + 3.

В этот раз во всех функциях коэффициент k меньше нуля, и графики функций наклонены влево. Чем больше k, тем круче идет прямая.

Коэффициент b равен трем, и графики также пересекают ось OY в точке (0; 3).

Рассмотрим графики функций y = 2x + 3, y = 2x, y = 2x — 2.

Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты k равны. Получили три параллельные прямые.

При этом коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:

график функции y = 2x + 3 (b = 3) пересекает ось OY в точке (0; 3);
график функции y = 2x (b = 0) пересекает ось OY в точке начала координат (0; 0);
график функции y = 2x — 2 (b = -2) пересекает ось OY в точке (0; -2).

Прямые будут параллельными тогда, когда у них совпадают угловые коэффициенты.

Подытожим. Если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем представить, как выглядит график функции y = kx + b.

Если k 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc1049363f94987951092.png» style=»height: 600px;»>

Если k > 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0 и b > 0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc104b2640e6151326286.png» style=»height: 600px;»>

Точки пересечения графика функции y = kx + b с осями координат:

С осью ОY. Абсцисса любой точки, которая принадлежит оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY, нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Тогда получим y = b.
Координаты точки пересечения с осью OY: (0; b).
С осью ОХ. Ордината любой точки, которая принадлежит оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ, нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. И получим 0 = kx + b. Значит x = — b /_k.
Координаты точки пересечения с осью OX: (- b /_k; 0)

Решение задач на линейную функцию

Чтобы решать задачи и строить графики линейных функций, нужно рассуждать и использовать свойства и правила выше. Давайте потренируемся!

Пример 1. Построить график функции y = kx + b, если известно, что он проходит через точку А (-3; 2) и параллелен прямой y = -4x.

В уравнении функции y = kx + b два неизвестных параметра: k и b. Поэтому в тексте задачи нужно найти два условия, которые характеризуют график функции.
Из того, что график функции y = kx + b параллелен прямой y = -4x, следует, что k = -4. То есть уравнение функции имеет вид y = -4x + b.
Осталось найти b. Известно, что график функции y = -4x + b проходит через точку А (-3; 2). Подставим координаты точки в уравнение функции и мы получим верное равенство:
2 = -4(-3) + b
b = -10
Таким образом, нам надо построить график функции y = -4x — 10
Мы уже знаем точку А (-3; 2), возьмем точку B (0; -10).
Поставим эти точки в координатной плоскости и соединим прямой:

Пример 2. Написать уравнение прямой, которая проходит через точки A (1; 1); B (2; 4).

Если прямая проходит через точки с заданными координатами, значит координаты точек удовлетворяют уравнению прямой y = kx + b.
Следовательно, если координаты точек подставить в уравнение прямой, то получим верное равенство.
Подставим координаты каждой точки в уравнение y = kx + b и получим систему линейных уравнений.
Вычтем из второго уравнения системы первое, и получим k = 3.
Подставим значение k в первое уравнение системы, и получим b = -2.

источники:

http://nauka.club/matematika/algebra/ochki-peresecheniya-grafikov.html

http://skysmart.ru/articles/mathematic/grafik-linejnoj-funkcii

Источник

Точки пересечения графика ⚠️ функций: как найти координаты, способы решения. Как рассчитать самостоятельно☑️, примеры вычислений

Советы

В случае более сложного уравнения постарайтесь обособить члены с переменной «у» на одной стороне уравнения.
В некоторых странах в уравнении y = kx + b переменные k и b обозначаются по-другому.[1] Это не меняет значения линейной функции.
Вычисляя угловой коэффициент, вычитайте координаты «х» и координаты «у» в любом порядке, но если какая-то точка считается первой, то и ее координаты должны считаться первыми.[2] Например, даны координаты двух точек: (1,12) и (3, 7). Угловой коэффициент вычисляется двумя способами:

Источник: http://ru.wikihow.com/%D0%BD%D0%B0%D0%B9%D1%82%D0%B8-%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA%D1%83-%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%81%D0%B5%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F-%D1%81-%D0%BE%D1%81%D1%8C%D1%8E-Y

Понятие функции

Табличный способ — помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
Графический способ — наглядно.
Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
Словесный способ.

Источник: http://skysmart.ru/articles/mathematic/grafik-linejnoj-funkcii

Примеры нахождения точек пересечения функции с осями

ПРИМЕР 1

Задание

Найти точки пересечения следующих квадратичных функций с осями координат:

$[1) y=2x^{2} -3x+2; 2) y=-3x^{2} +2x+1]$

Решение

1) При нахождении точки пересечения с

положим

, тогда

$[yleft(0right)=2cdot 0^{2} -3cdot 0+2=2]$

и получаем точку . При нахождении точки пересечения с , положим y=0 . Приходим к следующему квадратному уравнению

$[2x^{2} -3x+2=0,]$

где . Найдем корни этого уравнения, для этого вычислим дискриминант по формуле $D=b^{2} -4ac$ , получим

$[D=left(-3right)^{2} -4cdot 2cdot 2=9-16=-7]$

Дискриминант D<0 , следовательно, данное уравнение не имеет решений, а функция $y=2x^{2} -3x+2$ не пересекает ось абсцисс.

2) Найдем точки пересечения функции $y=-3x^{2} +2x+1$ с осью ординат. В этом случае x=0 , тогда

$[yleft(0right)=-3cdot 0^{2} +2cdot 0+1=1]$

Получили точку — точку пересечения $y=-3x^{2} +2x+1$ с ось .

Найдем точку пересечения заданной функции с осью абсцисс, в этом случае y=0 и приходим к уравнению

$[-3x^{2} +2x+1=0]$

Это квадратное уравнение . Вычислим дискриминант

$[D=b^{2} -4ac=2^{2} -4cdot left(-3right)cdot 1=4+12=16]$

Дискриминант положительный, поэтому исходное квадратное уравнение имеет два различных корня, которые вычисляются по формуле $x_{1,2} =frac{-bpm sqrt{D} }{2a}$ :

$[x_{1} =frac{-2+sqrt{16} }{2cdot left(-3right)} =frac{-2+4}{-6} =-frac{1}{3} , x_{2} =frac{-2-sqrt{16} }{2cdot left(-3right)} =frac{-2-4}{-6} =1]$

Таким образом, функция $y=-3x^{2} +2x+1$ имеет две точки пересечения с осью абсцисс: $left(-frac{1}{3} ,, 0right); left(1,, 0right)$ .

Ответ

1) функция $y=2x^{2} -3x+2$

пересекает ось

в точке

и не пересекает ось

;

2) функция $y=-3x^{2} +2x+1$ пересекает ось ординат в точке и ось абсцисс в точках $left(-frac{1}{3} ,, 0right); left(1,, 0right)$ .

Источник: http://ru.solverbook.com/spravochnik/issledovanie-funkcii-i-postroenie-ee-grafika/tochki-peresecheniya-funkcii-s-osyami/

Точки пересечения графиков функций

В алгебре и начале анализа можно встретить множество задач на поиск точек пересечения графиков функций с помощью их построения или другими методами. Благодаря определенному алгоритму действий, найти ответ достаточно просто. В большинстве случаев решение заключается в определении корней различного вида уравнений.

График функции (y = f(x)) является множеством точек ((x; y)), координаты которых связаны соотношением (y = f(x).)

Равенство (y = f(x)) называют уравнением данного графика. Таким образом, график функции представляет собой множество точек (x; y), где x — является аргументом, а y — определяется как значение функции, соответствующее данному аргументу.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

В том случае, когда графики пересекаются в какой-то точке, можно сделать вывод о существовании общего решения системы уравнений. Определить координаты точки можно с помощью графического или аналитического метода. В первом случае требуется построить график уравнения с переменной. Аналитический метод поиска координат точек, в которых графики функций пересекаются, подразумевает решение уравнения, а найденные корни и являются искомыми точками.

Источник: http://wiki.fenix.help/matematika/koordinaty-tochek-peresecheniya-grafikov-funkcij

Михаил Александров

Рейтинг: 2831 414

Добрый день. Меня заинтересовал ваш ответ “” на вопрос http://www.liveexpert.ru/topic/view/4306092-zapishite-uravnenie-kasatelnoj-k-grafiku-dannoj-funkcii-v-tochke-ego-peresecheniya-s-osyu-ordinat. Можно с вами обсудить этот ответ?

Источник: http://liveexpert.ru/topic/view/4306092-zapishite-uravnenie-kasatelnoj-k-grafiku-dannoj-funkcii-v-tochke-ego-peresecheniya-s-osyu-ordinat

Первый способ

Пример 1

Найдём точку пересечения двух прямых $y=5x + 3$ и $y=x-2$, приравняв функции:

$5x = x- 2$;

$4x = -2$;

$x=-frac{1}{2}$

Теперь подставим полученный нами икс в любой график, например, выберем тот, что попроще — $y=x-2$:

$y=-frac{1}{2} – 2 = – 2frac12$.

Точка пересечения будет $(-frac{1}{2};- 2frac12)$.

Источник: http://spravochnick.ru/matematika/kak_nayti_koordinaty_tochek_peresecheniya_grafika_funkcii_primery_resheniya/

Ваш комментарий к вопросу:

Отображаемое имя (по желанию):

Напишите мне, если после меня будет добавлен комментарий:Напишите мне, если после меня добавят комментарий

Конфиденциальность: Ваш электронный адрес будет использоваться только для отправки уведомлений.

Анти-спам проверка:

Чтобы избежать проверки в будущем, пожалуйста

войдите

или

зарегистрируйтесь

Источник: http://s-otvet.ru/17948954/4x-y-16-3x-y

Шаги

Точка пересечения двух прямых

Запишите уравнение каждой прямой, обособив переменную «у» на левой стороне уравнения. Другие члены уравнения должны размещаться на правой стороне уравнения. Возможно, данное вам уравнение вместо «у» будет содержать переменную f(x) или g(x); в этом случае обособьте такую переменную. Для обособления переменной выполните соответствующие математические операции на обеих сторонах уравнения.

Если уравнения прямых вам не даны, на основе известной вам информации.
Пример. Даны прямые, описываемые уравнениями и y − 12 = − 2 x {displaystyle y-12=-2x}. Чтобы во втором уравнении обособить «у», прибавьте к обеим сторонам уравнения число 12:

Вы ищете точку пересечения обеих прямых, то есть точку, координаты (х,у) которой удовлетворяют обоим уравнениям. Так как на левой стороне каждого уравнения находится переменная «у», то выражения, расположенные с правой стороны каждого уравнения, можно приравнять. Запишите новое уравнение.

Пример. Так как y = x + 3 {displaystyle y=x+3} и y = 12 − 2 x {displaystyle y=12-2x}, то можно записать такое равенство: .

Найдите значение переменной «х». Новое уравнение содержит только одну переменную «х». Для нахождения «х» обособьте эту переменную на левой стороне уравнения, выполнив соответствующие математические операции на обеих сторонах уравнения. Вы должны получить уравнение вида х = __ (если вы не можете это сделать, этого раздела).

Пример. x + 3 = 12 − 2 x {displaystyle x+3=12-2x}
Прибавьте 2 x {displaystyle 2x} к каждой стороне уравнения:
3 x + 3 = 12 {displaystyle 3x+3=12}
Вычтите 3 из каждой стороны уравнения:
3 x = 9 {displaystyle 3x=9}
Разделите каждую сторону уравнения на 3:
x = 3 {displaystyle x=3}.

Используйте найденное значение переменной «х» для вычисления значения переменной «у». Для этого подставьте найденное значение «х» в уравнение (любое) прямой.

Пример. x = 3 {displaystyle x=3} и y = x + 3 {displaystyle y=x+3}
y = 3 + 3 {displaystyle y=3+3}
y = 6 {displaystyle y=6}

Проверьте ответ. Для этого подставьте значение «х» в другое уравнение прямой и найдите значение «у». Если вы получите разные значение «у», проверьте правильность ваших вычислений.

Пример: x = 3 {displaystyle x=3} и y = 12 − 2 x {displaystyle y=12-2x}
y = 12 − 2 (3) {displaystyle y=12-2(3)}
y = 12 − 6 {displaystyle y=12-6}
y = 6 {displaystyle y=6}
Вы получили такое же значение «у», поэтому в ваших вычислениях ошибок нет.

Запишите координаты (х,у). Вычислив значения «х» и «у», вы нашли координаты точки пересечения двух прямых. Запишите координаты точки пересечения в виде (х,у).

Пример. x = 3 {displaystyle x=3} и y = 6 {displaystyle y=6}
Таким образом, две прямые пересекаются в точке с координатами (3,6).

Вычисления в особых случаях. В некоторых случаях значение переменной «х» найти нельзя. Но это не значит, что вы допустили ошибку. Особый случай имеет место при выполнении одного из следующих условий:

Если две прямые параллельны, они не пересекаются. При этом переменная «х» просто сократится, а ваше уравнение превратится в бессмысленное равенство (например, 0 = 1 {displaystyle 0=1}). В этом случае в ответе запишите, что прямые не пересекаются или решения нет.
Если оба уравнения описывают одну прямую, то точек пересечения будет бесконечное множество. При этом переменная «х» просто сократится, а ваше уравнение превратится в строгое равенство (например, 3 = 3 {displaystyle 3=3}). В этом случае в ответе запишите, что две прямые совпадают.

Задачи с квадратичными функциями

Определение квадратичной функции. В квадратичной функции одна или несколько переменных имеют вторую степень (но не выше), например, x 2 {displaystyle x^{2}} или y 2 {displaystyle y^{2}}. Графиками квадратичных функций являются кривые, которые могут не пересекаться или пересекаться в одной или двух точках. В этом разделе мы расскажем вам, как найти точку или точки пересечения квадратичных кривых.
Перепишите каждое уравнение, обособив переменную «у» на левой стороне уравнения. Другие члены уравнения должны размещаться на правой стороне уравнения.
- Пример. Найдите точку (точки) пересечения графиков x 2 + 2 x − y = − 1 {displaystyle x^{2}+2x-y=-1} и
- Обособьте переменную «у» на левой стороне уравнения:
- и y = x + 7 {displaystyle y=x+7}.
- В этом примере вам дана одна квадратичная функция и одна линейная функция. Помните, что если вам даны две квадратичные функции, вычисления аналогичны шагам, изложенным далее.
Приравняйте выражения, расположенные с правой стороны каждого уравнения. Так как на левой стороне каждого уравнения находится переменная «у», то выражения, расположенные с правой стороны каждого уравнения, можно приравнять.
- Пример. y = x 2 + 2 x + 1 {displaystyle y=x^{2}+2x+1} и y = x + 7 {displaystyle y=x+7}
Перенесите все члены полученного уравнения на его левую сторону, а на правой стороне запишите 0. Для этого выполните базовые математические операции. Это позволит вам решить полученное уравнение.
- Пример. x 2 + 2 x + 1 = x + 7 {displaystyle x^{2}+2x+1=x+7}
- Вычтите «x» из обеих сторон уравнения:
- x 2 + x + 1 = 7 {displaystyle x^{2}+x+1=7}
- Вычтите 7 из обеих сторон уравнения:
Решите квадратное уравнение. Перенеся все члены уравнения на его левую сторону, вы получили квадратное уравнение. Его можно решить тремя способами: при помощи специальной формулы, и .
- Пример. x 2 + x − 6 = 0 {displaystyle x^{2}+x-6=0}
- При разложении уравнения на множители вы получите два двучлена, при перемножении которых получается исходное уравнение. В нашем примере первый член x 2 {displaystyle x^{2}} можно разложить на х*х. Сделайте следующую запись: (x)(x) = 0
- В нашем примере свободный член -6 можно разложить на следующие множители: − 6 ∗ 1 {displaystyle -6*1}, − 3 ∗ 2 {displaystyle -3*2}, − 2 ∗ 3 {displaystyle -2*3}, − 1 ∗ 6 {displaystyle -1*6}.
- В нашем примере второй член – это х (или 1x). Сложите каждую пару множителей свободного члена (в нашем примере -6), пока не получите 1. В нашем примере подходящей парой множителей свободного члена являются числа -2 и 3 ( − 2 ∗ 3 = − 6 {displaystyle -2*3=-6}), так как − 2 + 3 = 1 {displaystyle -2+3=1}.
- Заполните пробелы найденной парой чисел: .
Не забудьте про вторую точку пересечения двух графиков. Если вы решаете задачу быстро и не очень внимательно, вы можете забыть про вторую точку пересечения. Вот как найти координаты «х» двух точек пересечения:
- Пример (разложение на множители). Если в уравнении (x − 2) (x + 3) = 0 {displaystyle (x-2)(x+3)=0} одно из выражений в скобках будет равно 0, то все уравнение будет равно 0. Поэтому можно записать так: x − 2 = 0 {displaystyle x-2=0} → x = 2 {displaystyle x=2} и x + 3 = 0 {displaystyle x+3=0} → x = − 3 {displaystyle x=-3} (то есть вы нашли два корня уравнения).
- Пример (использование формулы или дополнение до полного квадрата). При использовании одного из этих методов в процессе решения появится квадратный корень. Например, уравнение из нашего примера примет вид x = (− 1 + 25) / 2 {displaystyle x=(-1+{sqrt {25}})/2}. Помните, что при извлечении квадратного корня вы получите два решения. В нашем случае: 25 = 5 ∗ 5 {displaystyle {sqrt {25}}=5*5}, и 25 = (− 5) ∗ (− 5) {displaystyle {sqrt {25}}=(-5)*(-5)}. Поэтому запишите два уравнения и найдите два значения «х».
Графики пересекаются в одной точке или вообще не пересекаются. Такие ситуации имеют место при соблюдении следующих условий:
- Если графики пересекаются в одной точке, то квадратное уравнение раскладывается на одинаковые множители, например, (х-1) (х-1) = 0, а в формуле появляется квадратный корень из 0 ( 0 {displaystyle {sqrt {0}}}). В этом случае уравнение имеет только одно решение.
- Если графики вообще не пересекаются, то уравнение на множители не раскладывается, а в формуле появляется квадратный корень из отрицательного числа (например, − 2 {displaystyle {sqrt {-2}}}). В этом случае в ответе напишите, что решения нет.

При решении некоторых геометрических задач методом координат приходится находить координаты точки пересечения прямых. Наиболее часто приходится искать координаты точки пересечения двух прямых на плоскости, однако иногда возникает необходимость в определении координат точки пересечения двух прямых в пространстве. В этой статье мы как раз разберемся с нахождением координат точки, в которой пересекаются две прямые.

Навигация по странице.

Источник: http://kerchtt.ru/vychislit-koordinaty-tochek-peresecheniya-funkcii-onlain-naiti-tochku-peresecheniya/

Об этой статье

Эту страницу просматривали 37 264 раза.

Источник

Точки пересечения графиков функций

График функции (y = f(x)) является множеством точек ((x; y)), координаты которых связаны соотношением (y = f(x).)

Как найти координаты, примеры решения

Существует несколько способов решения подобных задач:

Поиск точек пересечения графиков функций заключается в приравнивании обеих функций друг к другу. При этом все члены с х переносят в левую сторону, а оставшиеся – в правую. Затем остается найти корни уравнения, которое получилось после преобразований.
Второй метод состоит в записи системы уравнения для ее последующего решения с помощью подстановки одной функции в другую.
Третий способ подразумевает построение графиков функций, чтобы определить точки их пересечения визуально.

В качестве примера можно рассмотреть две линейные функции:

(f(x) = k_1 x+m_1)

(g(x) = k_2 x + m_2)

Данные функции являются прямыми. Их можно графически изобразить, если принять какие-либо два значения (x_1) и (x_2) и найти (f(x_1)) и ((x_2)). Далее действия необходимо повторить с функцией (g(x)). Затем достаточно легко определить визуально координаты точки пересечения рассматриваемых функций.

Важно отметить, что для линейных функций характерна лишь одна точка пересечения только в том случае, когда (k_1 neq k_2). В противном случае (k_1=k_2), а функции будут параллельными друг другу, в связи с тем, что k является коэффициентом угла наклона. При( k_1 neq k_2) и (m_1=m_2) точка пересечения будет соответствовать (M(0;m)). Данная закономерность упрощает решение многих подобных задач.

Задача № 1

Имеются функции: (f(x) = 2x-5)

(g(x)=x+3)

Требуется определить координаты точки, в которой пересекаются графики рассматриваемых функций.

Решение

В первую очередь стоит отметить, что функции являются линейными. Важно обратить внимание на коэффициент угла наклона рассматриваемых функций:

(k_1 = 2)

(k_2 = 1)

Заметим, что:

(k_1 neq k_2)

По этой причине имеется лишь одна точка пересечения графиков функций. Определить ее можно путем решения уравнения:

(f(x)=g(x))

(2x-5 = x+3)

Необходимо перенести члены с x в левую часть, а остальные — в правую:

(2x — x = 3+5)

(x =

В результате удалось найти x=8, что соответствует абсциссе точки пересечения графиков. Требуется определить ординату y с помощью подстановки x = 8 в любое из уравнений – в (f(x)), либо в (g(x)):

(f(8) = 2cdot 8 — 5 = 16 — 5 = 11)

Таким образом, M (8;11) – представляет собой точку, в которой пересекаются графики пары линейных функций.

Ответ: M (8;11)

Задача № 2

Записаны две функции: (f(x)=2x-1)

(g(x) = 2x-4.)

Необходимо определить точки, в которых графики рассматриваемых функций пересекаются.

Решение

Угловые коэффициенты:

(k_1 = k_2 = 2)

Таким образом, линейные функции параллельны между собой, что объясняет отсутствие точек пересечения их графиков.

Ответ: графики функций параллельны, точки пересечения отсутствуют.

Задача № 3

Требуется определить координаты точки, в которой пересекаются графики следующих функций: (f(x)=x^2-2x+1)

(g(x)=x^2+1)

Решение

В данном случае функции являются нелинейными. Поэтому алгоритм решения задачи будет несколько отличаться от предыдущих примеров. В первую очередь следует приравнять уравнения:

(x^2-2x+1=x^2+1)

Далее необходимо разнести в разные стороны уравнения члены с x и без него:

(x^2-2x-x^2=1-1)

(-2x=0)

(x=0)

Таким образом, будет определена абсцисса искомой точки. Затем необходимо найти ординату у. Для этого нужно подставить (x = 0) в какое-либо из двух начальных уравнений. К примеру:

(f(0)=0^2-2cdot 0 + 1 = 1)

M (0;1) является точкой, в которой пересекаются графики функций.

Ответ: M (0;1)

Приравнивание функций друг к другу и нахождение корней

Выяснить, имеют ли точки пересечения графики функций, можно путем сравнения соответствующих тождеств и решения уравнения. Однако при этом допускается получение различных равенств с неизвестными. Тогда целесообразно воспользоваться специальными методиками.

Когда уравнение относится к первой степени или является линейным, решение получить достаточно просто. Метод заключается в переносе переменных величин в одну часть уравнения, а известных – в другую. Алгоритм действий:

раскрытие скобок, приведение подобных коэффициентов;
перенос членов с неизвестными в одну сторону, а с известными – в другую;
математические преобразования;
определение корня.

Квадратные уравнения решают с помощью одного из способов:

разложение на множители;
выделение полного квадрата;
поиск дискриминанта;
теорема Виета.

В первом случае представляется возможным понизить степень при неизвестной величине. Второй метод заключается в выделении квадрата по одной из формул сокращенного умножения. Каждая из этих методик реализуема при наличии знаний соответствующих тождеств, в том числе правил разложения на множители.

Третий способ состоит в поиске корней через дискриминант (Д), который является дополнительным параметром, позволяющим сразу решить задачу. Дискриминант определяется с помощью формулы:

((-S)^2-4PU)

В том случае, когда Д>0, переменная может иметь пару значений, которые превращают равенство в справедливое тождество. Если Д=0, то корень является единственным. Когда Д<0, искомое тождество с неизвестными не имеет решений.

Квадратные уравнения решают таким образом:

выполнение необходимых алгебраических преобразований, в том числе раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых;
выбор наиболее оптимального способа решения и его реализация;
проверка корней с помощью их подстановки в начальное выражение.

Примечание

Распространенной ошибкой является пренебрежение проверкой результатов решения. Некорректные действия могут привести к образованию ложных корней.

Существует несколько методик решения тождеств кубического и биквадратного типов:

понижение степени, то есть разложение на множители;
замена переменной.

Первый вариант решения подразумевает выполнение преобразований для последующего применения одной из формул сокращенного умножения. Такой способ применяют нечасто. Второй способ состоит в том, что при решении необходимо ввести переменную с более низкой степенью, которая упрощает выражение. Порядок действий при этом следующий:

выполнение математических преобразований;
выражение переменной через другую;
решение квадратного или линейного уравнения;
подстановка промежуточных корней, которые получилось найти на третьем шаге, во второй;
вычисление искомых корней;
проверка;
исключение ложных решений;
запись ответа.

Путем составления системы уравнений

Данный метод определения точек пересечения графиков функций предполагает запись системы уравнения. К примеру:

К примеру

Источник: static-interneturok.cdnvideo.ru

Решение системы уравнений представляет собой пару чисел (х, у), являющуюся одновременно решением для первого и второго уравнения системы. Решить систему уравнений – значит, отыскать все ее решения, либо установить их отсутствие.

Порядок действий при решении системы уравнений можно рассмотреть на примере:

Порядок действий при решении системы уравнений можно рассмотреть на примере

Источник: static-interneturok.cdnvideo.ru

Решение будет иметь следующий вид:

Решение будет иметь следующий вид

Источник: static-interneturok.cdnvideo.ru

Данные уравнения являются линейными, поэтому график каждого из них представляет собой прямую. График первого уравнения проходит через точки (0; 1) и (-1; 0). График второго уравнения проходит через точки (0; -1) и (-1; 0). Прямые пересекаются в точке (-1; 0), это и является решением системы уравнений.

Прямые пересекаются в точке

Источник: static-interneturok.cdnvideo.ru

Решение системы представляет сбой единственную пару чисел:

Источник: static-interneturok.cdnvideo.ru

Если подставить данные числа в любое из уравнений, то получится справедливое равенство. Таким образом, имеется единственное решение линейной системы. Можно записать отчет: (-1;0).

В процессе решения линейной системы можно столкнуться с разными ситуациями:

система обладает единственным решением, прямые пересекаются;
решения системы отсутствуют. прямые параллельны;
система обладает бесчисленным множеством решений, прямые совпадают.

При рассмотрении частного случая системы p(x; y) и q(x; y) являются линейными выражениями от x и y.

В задачах нередко требуется решить нелинейную систему уравнений. К примеру, необходимо решить следующую систему:

К примеру, необходимо решить следующую систему

Источник: static-interneturok.cdnvideo.ru

Решение имеет следующий вид:

Решение имеет следующий вид

Источник: static-interneturok.cdnvideo.ru

График первого уравнения будет иметь вид прямой, а второго – являться окружностью. Можно построить первый график по точкам:

Можно построить первый график по точкам

Источник: static-interneturok.cdnvideo.ru

Центр окружности в точке О(0; 0), радиус равен 1.

Графики пересекаются в точке А(0; 1) и в точке В(-1; 0).

Ответ: (0; 1); (-1; 0).

Можно решить систему графическим способом:

Можно решить систему графическим способом

Источник: static-interneturok.cdnvideo.ru

В первую очередь необходимо построить график первого уравнения, который будет представлять собой окружность с центром в точке О (0; 0) и радиусом 2. График второго уравнения является параболой, которая смещена относительно начала координат на 2 вверх, то есть ее вершина – точка (0; 2).

График второго уравнения является параболой

Источник: static-interneturok.cdnvideo.ru

Графики обладают одной общей точкой А(0; 2). Данная точка является решением системы. Если подставить два числа в уравнение, можно проверить корректность ответа и записать его. Ответ: (0; 2).

В качестве еще одного примера можно решить следующую систему:

В качестве еще одного примера можно решить следующую систему

Источник: static-interneturok.cdnvideo.ru

Первым шагом является построение графика первого уравнения, который будет представлять собой окружность с центром в точке О (0; 0) и радиусом 1.

Первым шагом является построение графика первого уравнения

Источник: static-interneturok.cdnvideo.ru

Далее необходимо построить график функции:

Далее необходимо построить график функции

Источник: static-interneturok.cdnvideo.ru

График будет являться ломанной:

График будет являться ломанной

Источник: static-interneturok.cdnvideo.ru

Далее следует сместить ее на 1 вниз по оси oy. В результате получится график функции:

В результате получится график функции

Источник: static-interneturok.cdnvideo.ru

При помещении обоих графиков в одну систему координат получится следующая ситуация:

При помещении обоих графиков в одну систему координат получится следующая ситуация

Источник: static-interneturok.cdnvideo.ru

Таким образом, получились три точки пересечения: А(1; 0), т. В(-1; 0), т. С(0; -1)

Нахождение через графическое построений функций

Любой определенный график задают с помощью соответствующей функции. Найти точки, в которых пересекаются графики, можно путем решения уравнения, имеющего вид:

(f1(x)=f2(x))

Решение данного уравнения будет являться искомой точкой.

Решение данного уравнения будет являться искомой точкой

Источник: st03.kakprosto.ru

Построить график можно с помощью бумаги и ручки. В процессе необходимо обратить внимание на то, что количество точек пересечения пары графиков определяется видом функции. Линейные функции обладают лишь одной точкой пересечения, линейная и квадратная – двумя, квадратные – двумя, либо четырьмя.

В общем случае двух линейных функций можно предположить, что:

(y1=k1x+b1)

(y2=k2x+b2)

Для поиска точки пересечения графиков необходимо решить уравнение:

(y1=y2 или k1x+b1=k2x+b2)

После преобразований получится, что:

(k1x-k2x=b2-b1.)

Далее нужно выразить x:

(x=(b2-b1)/(k1-k2).)

При известной координате точки по оси абсцисс следует определить координату по оси ординат. Таким образом, можно найти координаты точки пересечения графиков:

(((b2-b1)/(k1-k2); k1(b2-b1)/(k1-k2)+b2))

График функции y = f (х) представляет собой множество точек плоскости, координаты (х, у) которых соответствуют выражению y = f(x). График функции наглядно иллюстрирует поведение и свойства функции. Для построения графика определяют несколько значений довода х и для них рассчитывают соответствующие значения функции y=f(x). Для больше точного и наглядного построения графика следует обнаружить его точки пересечения с осями координат.

С целью определить точку пересечения графика функции с осью y, нужно определить значение функции при х=0, то есть обнаружить f(0). В качестве примера можно рассмотреть график линейной функции, изображенной на рисунке:

В качестве примера можно рассмотреть график линейной функции

Источник: st03.kakprosto.ru

В данном случае при х=0 ((y=a*0+b)) функция равна b. Таким образом, график пересекает ось ординат (ось Y) в точке (0,b). Когда пересекается ось абсцисс (ось Х) функция равна 0, то есть (y=f(x)=0). Для того чтобы определить х, следует решить уравнение (f(x)=0). В случае линейной функции получаем уравнение (ax+b=0), откуда и находим (x=-b/a). В результате можно сделать вывод, что ось Х пересекается в точке ((-b/a,0).)

При наличии квадратичной зависимости y от х, уравнение (f(x)=0) обладает двумя корнями. Таким образом, ось абсцисс пересекается два раза. В случае периодической зависимости y от х, например, (y=sin(x)), график функции обладает бесконечным количеством точек пересечения с осью Х. Проверить корректность расчета координат точек, в которых пересекаются графики функций, можно с помощью подстановки найденных значений х в выражение f(x). Значение выражения при любом из вычисленных х должно быть равно 0.

Источник

Координаты точки пересечения графиков функций

Переносим слагаемые с $ x $ в левую часть, а остальные в правую:

$$ f(8) = 2cdot 8 — 5 = 16 — 5 = 11 $$

Итак, $ M (8;11) $ — является точкой пересечения графиков двух линейных функций.

Случай двух нелинейных функций

Разносим по разным сторонам уравнения члены с $ x $ и без него:

Точки пересечения графика функции с осью

Данный калькулятор предназначен для определения точек пересечения графика функции с осями координат.
В точке пересечения функции с осью Ox координата y всегда равна нулю, а в точке пересечения с осью Oy координата x=0.
Для того чтобы найти точки пересечения графика функции с осью ординат (Oy), необходимо подставить в уравнения функции x=0 , тем самым, найти y. Аналогично, чтобы найти точки пересечения графика функции с осью абсцисс (Ox), необходимо подставить в уравнение функции y=0 и найти x.

Нахождение координат точек пересечения функции с осями используется для анализа функции и построения ее графика.
Для того чтобы получить ответ, введите функцию в ячейку. Основные примеры ввода функций для данного калькулятора указаны ниже.
Для получения полного хода решения нажимаем в ответе Step-by-step.

: x^a

Точки пересечения графика функции с осями координат

График функции (y = f(x)) является множеством точек ((x; y)) , координаты которых связаны соотношением (y = f(x).)

Как найти координаты, примеры решения

Существует несколько способов решения подобных задач:

Поиск точек пересечения графиков функций заключается в приравнивании обеих функций друг к другу. При этом все члены с х переносят в левую сторону, а оставшиеся – в правую. Затем остается найти корни уравнения, которое получилось после преобразований.
Второй метод состоит в записи системы уравнения для ее последующего решения с помощью подстановки одной функции в другую.
Третий способ подразумевает построение графиков функций, чтобы определить точки их пересечения визуально.

В качестве примера можно рассмотреть две линейные функции:

Данные функции являются прямыми. Их можно графически изобразить, если принять какие-либо два значения (x_1) и (x_2) и найти (f(x_1)) и ((x_2)) . Далее действия необходимо повторить с функцией (g(x)) . Затем достаточно легко определить визуально координаты точки пересечения рассматриваемых функций.

Важно отметить, что для линейных функций характерна лишь одна точка пересечения только в том случае, когда (k_1 neq k_2) . В противном случае (k_1=k_2) , а функции будут параллельными друг другу, в связи с тем, что k является коэффициентом угла наклона. При ( k_1 neq k_2) и (m_1=m_2) точка пересечения будет соответствовать (M(0;m)) . Данная закономерность упрощает решение многих подобных задач.

Имеются функции: (f(x) = 2x-5)

Требуется определить координаты точки, в которой пересекаются графики рассматриваемых функций.

Необходимо перенести члены с x в левую часть, а остальные — в правую:

(f(8) = 2cdot 8 — 5 = 16 — 5 = 11)

Таким образом, M (8;11) – представляет собой точку, в которой пересекаются графики пары линейных функций.

Записаны две функции: (f(x)=2x-1)

Необходимо определить точки, в которых графики рассматриваемых функций пересекаются.

Ответ: графики функций параллельны, точки пересечения отсутствуют.

Требуется определить координаты точки, в которой пересекаются графики следующих функций: (f(x)=x^2-2x+1)

Далее необходимо разнести в разные стороны уравнения члены с x и без него:

(f(0)=0^2-2cdot 0 + 1 = 1)

M (0;1) является точкой, в которой пересекаются графики функций.

Приравнивание функций друг к другу и нахождение корней

раскрытие скобок, приведение подобных коэффициентов;
перенос членов с неизвестными в одну сторону, а с известными – в другую;
математические преобразования;
определение корня.

Квадратные уравнения решают с помощью одного из способов:

разложение на множители;
выделение полного квадрата;
поиск дискриминанта;
теорема Виета.

Квадратные уравнения решают таким образом:

выполнение необходимых алгебраических преобразований, в том числе раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых;
выбор наиболее оптимального способа решения и его реализация;
проверка корней с помощью их подстановки в начальное выражение.

Существует несколько методик решения тождеств кубического и биквадратного типов:

понижение степени, то есть разложение на множители;
замена переменной.

выполнение математических преобразований;
выражение переменной через другую;
решение квадратного или линейного уравнения;
подстановка промежуточных корней, которые получилось найти на третьем шаге, во второй;
вычисление искомых корней;
проверка;
исключение ложных решений;
запись ответа.

Путем составления системы уравнений

Порядок действий при решении системы уравнений можно рассмотреть на примере:

Решение будет иметь следующий вид:

Решение системы представляет сбой единственную пару чисел:

В процессе решения линейной системы можно столкнуться с разными ситуациями:

система обладает единственным решением, прямые пересекаются;
решения системы отсутствуют. прямые параллельны;
система обладает бесчисленным множеством решений, прямые совпадают.

При рассмотрении частного случая системы p(x; y) и q(x; y) являются линейными выражениями от x и y.

Решение имеет следующий вид:

Центр окружности в точке О(0; 0), радиус равен 1.

Графики пересекаются в точке А(0; 1) и в точке В(-1; 0).

Можно решить систему графическим способом:

В качестве еще одного примера можно решить следующую систему:

Далее необходимо построить график функции:

График будет являться ломанной:

Далее следует сместить ее на 1 вниз по оси oy. В результате получится график функции:

При помещении обоих графиков в одну систему координат получится следующая ситуация:

Таким образом, получились три точки пересечения: А(1; 0), т. В(-1; 0), т. С(0; -1)

Нахождение через графическое построений функций

Решение данного уравнения будет являться искомой точкой.

В общем случае двух линейных функций можно предположить, что:

Для поиска точки пересечения графиков необходимо решить уравнение:

(y1=y2 или k1x+b1=k2x+b2)

После преобразований получится, что:

Далее нужно выразить x:

В данном случае при х=0 ((y=a*0+b)) функция равна b. Таким образом, график пересекает ось ординат (ось Y) в точке (0,b). Когда пересекается ось абсцисс (ось Х) функция равна 0, то есть (y=f(x)=0) . Для того чтобы определить х, следует решить уравнение (f(x)=0) . В случае линейной функции получаем уравнение (ax+b=0) , откуда и находим (x=-b/a) . В результате можно сделать вывод, что ось Х пересекается в точке ((-b/a,0).)

При наличии квадратичной зависимости y от х, уравнение (f(x)=0) обладает двумя корнями. Таким образом, ось абсцисс пересекается два раза. В случае периодической зависимости y от х, например, (y=sin(x)) , график функции обладает бесконечным количеством точек пересечения с осью Х. Проверить корректность расчета координат точек, в которых пересекаются графики функций, можно с помощью подстановки найденных значений х в выражение f(x). Значение выражения при любом из вычисленных х должно быть равно 0.

Источник