Как написать уравнение асимптоты графика функции

Асимптоты кривой

Прямая линия называется асимптотой кривой y=f(x), если расстояние точки кривой до этой прямой стремится к нулю при стремлении точки к бесконечности.

Назначение сервиса. Данный сервис предназначен для нахождения асимптот к графику функции в онлайн режиме. Решение оформляется в формате Word.

  • Решение онлайн
  • Видеоинструкция
  • Оформление Word

Правила ввода функции

Примеры

≡ x^2/(x+2)

cos2(2x+π) ≡ (cos(2*x+pi))^2

≡ x+(x-1)^(2/3)

Классификация асимптот

  1. Вертикальные асимптоты.
  2. Горизонтальные асимптоты.
  3. Наклонные асимптоты.

Вертикальные асимптоты

Уравнение любой вертикальной прямой, то есть прямой, параллельной оси OY, имеет вид x=a.

Вертикальные асимптоты

Если прямая x=a является вертикальной асимптотой графика функции y=f(x), то очевидно, что хотя бы один из односторонних пределов или равен бесконечности (+∞ или -∞).

Все функции с бесконечными разрывами (разрывы второго рода) имеют вертикальные асимптоты.

Пример 1. Найти уравнение вертикальных асимптот графика функции .

Решение. Видим, что y→∞, если x→1, точнее , , то есть прямая x=1 является вертикальной асимптотой, причем двусторонней.

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты

Всякая горизонтальная прямая имеет уравнение y=A.

Если прямая y=A является горизонтальной асимптотой кривой y=f(x), то .

Пример 2. Найти горизонтальные асимптоты кривой .

Решение. Найдем , то есть y→0 при x→+∞ и при x→-∞, значит прямая y=0 – горизонтальная асимптота данной кривой.

Наклонные асимптоты

Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y=kx+b. По определению асимптоты или (1)

Разделим обе части этого равенства на x:
, откуда

(2)

Теперь из (1):

(3)

Для существования наклонных асимптот необходимо существование пределов (2) и (3). Если хотя бы один из них не существует, то наклонных асимптот нет. Пределы (2) и (3) нужно находить отдельно при x→+∞ и при x→-∞, так как пределы могут быть разными (функция имеет две разные асимптоты).

Пример 4. Найти наклонные асимптоты графика функции .

Решение. По формуле (2) найдем .

Теперь найдем . Получаем уравнение наклонной асимптоты y=x+1.

Пример 5. Найти асимптоты кривой y=(x-1)2(x+3).

Решение. Вертикальных и горизонтальных асимптот нет, так как y→∞ при x→∞. Ищем наклонные:

.

Таким образом, кривая асимптот не имеет.

Пример 6. Найти асимптоты кривой .

Решение. Поскольку y→∞ при x→0 и при x→4, то прямые x=0 и x=4 являются вертикальными асимптотами. Так как , то y=2 – горизонтальная асимптота. Выясним вопрос о существовании наклонных асимптот: , следовательно, кривая наклонных асимптот не имеет (искать “b” не имеет смысла, так как горизонтальные асимптоты уже найдены).

Пример 7. Построить все виды асимптот к функции

Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y = kx + b. По определению асимптоты:



Находим коэффициент k:



Находим коэффициент b:



Получаем уравнение наклонной асимптоты: y = -x

Найдем вертикальные асимптоты. Для этого определим точки разрыва:





Находим переделы в точке





— является вертикальной асимптотой.

Находим переделы в точке





— является вертикальной асимптотой.

Источник

Асимптоты графика функции

Часто задание на нахождение асимптот функции встречается в курсе математического анализа, в частности при решении задач на тему исследования функции. Для того, чтобы успешно ответить на вопрос: как найти асимптоты функции? необходимо уметь вычислять пределы, понимать что они собой представляют, знать основные методы решения пределов. Если всё это вы умеете на должном уровне, тогда найти асимптоты для вас не будет проблемой. Итак, что такое асимптота? Асимптота это линия, к которой бесконечно приближается ветвь графика функции. Чтобы было наглядно, посмотрите на изображения представленные ниже.

как найти асимптоты функции

Обратите внимание, что соприкосновения между асимптотой и графиками нет, и не должно быть. Асимптота бесконечно приближается к графику функции. Давайте рассмотрим какие виды асимптоты функции бывают и как их находить, но о последнем будет рассказано далее.

асимптоты функции

Из таблицы узнаем, что асимптоты у функции бывают трех видов: вертикальные, горизонтальные, наклонные. Каждую найти асимптоту функции нужно по своему. Для этого нужны лимиты. Сколько бывает асимптот всего у функции? Ответ: ни одной, одна, две, три… и бесконечно много. У каждой функции по разному.

Вертикальные асимптоты

Чтобы найти данный вид асимптот необходимо найти область определения заданной функции и отметить точки разрыва. В этих точках предел функции будет равен бесконечности, а это значит, что функция в этой точке бесконечно приближается к линии асимптоты.

Горизонтальные асимптоты

Необходимо устремить аргумент лимита функции к бесконечности. Если предел существует и равен числу, то горизонтальная асимптота будет найдена и равна $ y=y_0 $ как показано во втором столбце таблицы

Наклонные асимптоты

Наклонная асимптота представляется в виде $ y = kx+b $. Где $ k $ — это коэффициент наклона асимптоты. Сначала находится коэффициент $ k $, затем $ b $. Если какой либо из них равен $ infty $, тогда наклонной асимптоты нет. А если $ k = 0 $, то получаем горизонтальную асимптоту. Так что для экономии времени лучше сразу находить наклонную асимптоту, а горизонтальная проявится сама собой в случае её существования.

Примеры решений

Пример 1
Найти все асимптоты графика функции $$ f(x) = frac{5x}{3x+2} $$
Решение

Для начала решения найдем вертикальные асимптоты, но прежде найдем область определения функции $ f(x) $. По определению знаменатель не должен быть равен нулю. Поэтому имеем, $ 3x+2 neq 0; 3x neq -2; x neq -frac{2}{3} $. Получили точку разрыва $ x = -frac{2}{3} $. Вычислим в ней предел функции и убедимся окончательно, что вертикальная асимптота это $ x = -frac{2}{3} $.

$$ limlimits_{{x rightarrow -frac{2}{3}}} frac{5x}{3x+2} = (-frac{10}{infty}) = -infty $$.

Теперь найдем горизонтальные асимптоты, но прежде рассчитаем коэффициенты $ k $ и $ b $.

$$ k = limlimits_{x rightarrow infty} frac{f(x)}{x} =limlimits_{x rightarrow infty} frac{5}{3x+2}=frac{5}{infty}=0 $$

Так как $ k = 0 $, то мы уже понимаем то, что наклонных асимптот нет, а есть горизонтальные. Найдем теперь коэффициент $ b $.

$$ b = limlimits_{x rightarrow infty} [f(x)-kx] = limlimits_{x rightarrow infty} frac{5x}{3x+2} = frac{infty}{infty} =frac{5}{3} $$

Подставляем найденные коэффициенты в формулу $ y = kx + b $, получаем, что $ y = frac{5}{3} $ — горизонтальная асимптота.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Ответ
$$ y = frac{5}{3} $$
Пример 2
Найти все асимптоты графика функции $ f(x) = frac{1}{1-x} $
Решение

Найдем область определения данного примера, чтобы определить вертикальные асимптоты. $ 1-x neq 0; x neq 1; $. Точка разрыва $ x = 1 $, а это значит что это и есть вертикальная асимптота. Найдем для доказательства предположения предел в этой точке. $$ limlimits_{x rightarrow 1} frac{1}{1-x} = frac{1}{0} = infty $$

Приступим к поиску наклонных асимптот.

$$ k = limlimits_{x rightarrow infty}frac{f(x)}{x}=limlimits_{x rightarrow infty}frac{1}{x(1-x)} = frac{1}{infty}=0 $$

$$ b =limlimits_{x rightarrow infty}[f(x)-kx]=limlimits_{x rightarrow infty}frac{1}{1-x} = frac{1}{infty}=0 $$

Итого, $ y=0 $ — горизонтальная асимптота.
Ответ
$$ y=0 $$
Пример 3
Найти все асимптоты графика функции $ f(x) = frac{x^3}{3x^2+5} $
Решение

Замечаем, что знаменатель не обращается в ноль при любом значении икса. А это значит, что нет точек разрыва и следовательно нет вертикальных асимптот. Остается найти горизонтальные асимптоты.

$$ k = limlimits_{x rightarrow infty} frac{f(x)}{x} =limlimits_{x rightarrow infty}frac{x^2}{3x^2+5} =limlimits_{x rightarrow infty} frac{2x}{6x} = frac{1}{3} $$

Так как $ k $ конечное число, не равное $ 0 $ или бесконечности, то существует наклонная асимптота. Вычислим недостающее число $ b $.

$$ b =limlimits_{x rightarrow infty} [f(x)-kx] =limlimits_{x rightarrow infty} [frac{x^3}{3x^2+5}-frac{x}{3}] =limlimits_{x rightarrow infty} -frac{5x}{3(3x^2+5)}= $$ $$ = -frac{5}{3}limlimits_{x rightarrow infty} frac{x}{3x^2+5} =-frac{5}{3}limlimits_{x rightarrow infty} frac{1}{6x} =-frac{5}{3}frac{1}{infty} = 0 $$

$ y =frac{1}{3}x $ — наклонная асимптота к функции с углом наклона одна третья.
Ответ
$$ y =frac{1}{3}x $$
Пример 4
Найти асимптоты $ f(x) = xe^{-x} $
Решение

Нет точек разрыва, а это значит, нет вертикальных асимптот.

$$ k=limlimits_{x rightarrow infty} frac{1}{e^x} = frac{1}{infty} = 0 $$

$$ b=limlimits_{x rightarrow infty} frac{x}{e^x} =limlimits_{x rightarrow infty} frac{1}{e^x} = frac{1}{infty} = 0 $$

$ y = 0 $ — горизонтальная асимптота
Ответ
$$ y = 0 $$

Если в задачах даются элементарные функции, то заранее известно сколько и есть ли асимптоты. Например, у параболы, кубической параболы, синусоиды вообще нет никаких. У графиков функций таких как логарифмическая или экспоненциальная есть по одной. А у функций тангенса и котангенса бесчисленное множество асимптот, но арктангенс и арккатангенс имеет по две штуки.

Во всех приведенных примерах пределы вычислялись с помощью правило Лопиталя, которое очень ускоряет процесс вычисления и создает меньше ошибок.

Источник

Асимптоты графика функций: их виды, примеры решений

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

Понятие асимптоты

Если предварительно построить асимптоты кривой, то многих случаях построение графика функции облегчается.

Судьба асимптоты полна трагизма. Представьте себе, каково это: всю жизнь двигаться по прямой к заветной цели, подойти к ней максимально близко, но так и не достигнуть её. Например, стремиться соединить свой жизненный путь с путём желанного человека, в какой-то момент приблизиться к нему почти вплотную, но даже не коснуться его. Или стремиться заработать миллиард, но до достижения этой цели и записи в книгу рекордов Гиннеса для своего случая не достаёт сотых долей цента. И тому подобное. Так и с асимптотой: она постоянно стремится достигнуть кривой графика функции, приближается к нему на минимальное возможное расстояние, но так и не касается его.

Определение 1. Асимптотами называются такие прямые, к которым сколь угодно близко приближается график функции, когда переменная стремится к плюс бесконечности или к минус бесконечности.

Определение 2. Прямая называется асимптотой графика функции, если расстояние от переменной точки М графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки М от начала координат по какой-либо ветви графика функции.

Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.

Вертикальные асимптоты

Первое, что нужно узнать о вертикальных асимптотах: они параллельны оси Oy .

Определение. Прямая x = a является вертикальной асимптотой графика функции, если точка x = a является точкой разрыва второго рода для этой функции.

Из определения следует, что прямая x = a является вертикальной асимптотой графика функции f(x) , если выполняется хотя бы одно из условий:

Из сказанного следует, что вертикальные асимптоты графика функции можно искать не только в точках разрыва, но и на границах области определения. График функции, непрерывной на всей числовой прямой, вертикальных асимптот не имеет.

Пример 1. График функции y=lnx имеет вертикальную асимптоту x = 0 (т.е. совпадающую с осью Oy ) на границе области определения, так как предел функции при стремлении икса к нулю справа равен минус бесконечности:

Найти асимптоты графика функции самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 2. Найти асимптоты графика функции .

Пример 3. Найти асимптоты графика функции

Пример 4. Найти асимптоты график функции .

Горизонтальные асимптоты

Первое, что нужно узнать о горизонтальных асимптотах: они параллельны оси Ox .

Если (предел функции при стремлении аргумента к плюс или минус бесконечности равен некоторому значению b), то y = b – горизонтальная асимптота кривой y = f(x ) (правая при иксе, стремящимся к плюс бесконечности, левая при иксе, стремящимся к минус бесконечности, и двусторонняя, если пределы при стремлении икса к плюс или минус бесконечности равны).

Пример 5. График функции

при a > 1 имеет левую горизонтальную асимпототу y = 0 (т.е. совпадающую с осью Ox ), так как предел функции при стремлении «икса» к минус бесконечности равен нулю:

Правой горизонтальной асимптоты у кривой нет, поскольку предел функции при стремлении «икса» к плюс бесконечности равен бесконечности:

Наклонные асимптоты

Вертикальные и горизонтальные асимптоты, которые мы рассмотрели выше, параллельны осям координат, поэтому для их построения нам требовалось лишь определённое число — точка на оси абсцисс или ординат, через которую проходит асимптота. Для наклонной асимптоты необходимо больше — угловой коэффициент k, который показывает угол наклона прямой, и свободный член b, который показывает, насколько прямая находится выше или ниже начала координат. Не успевшие забыть аналитическую геометрию, а из неё — уравнения прямой, заметят, что для наклонной асимптоты находят уравнение прямой с угловым коэффициентом. Существование наклонной асимптоты определяется следующей теоремой, на основании которой и находят названные только что коэффициенты.

Теорема. Для того, чтобы кривая y = f(x) имела асимптоту y = kx + b , необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы k и b рассматриваемой функции при стремлении переменной x к плюс бесконечности и минус бесконечности:

(1)

(2)

Найденные таким образом числа k и b и являются коэффициентами наклонной асимптоты.

В первом случае (при стремлении икса к плюс бесконечности) получается правая наклонная асимптота, во втором (при стремлении икса к минус бесконечности) – левая. Правая наклонная асимптота изображена на рис. снизу.

При нахождении уравнения наклонной асимптоты необходимо учитывать стремление икса и к плюс бесконечности, и к минус бесконечности. У некоторых функций, например, у дробно-рациональных, эти пределы совпадают, однако у многих функций эти пределы различны а также может существовать только один из них.

При совпадении пределов при иксе, стремящемся к плюс бесконечности и к минус бесконечности прямая y = kx + b является двусторонней асимптотой кривой.

Если хотя бы один из пределов, определяющих асимптоту y = kx + b , не существует, то график функции не имеет наклонной асимптоты (но может иметь вертикальную).

Нетрудно видеть, что горизонтальная асимптота y = b является частным случаем наклонной y = kx + b при k = 0 .

Поэтому если в каком-либо направлении кривая имеет горизонтальную асимптоту, то в этом направлении нет наклонной, и наоборот.

Пример 6. Найти асимптоты графика функции

Решение. Функция определена на всей числовой прямой, кроме x = 0 , т.е.

Поэтому в точке разрыва x = 0 кривая может иметь вертикальную асимптоту. Действительно, предел функции при стремлении икса к нулю слева равен плюс бесконечности:

Следовательно, x = 0 – вертикальная асимптота графика данной функции.

Горизонтальной асимптоты график данной функции не имеет, так как предел функции при стремлении икса к плюс бесконечности равен плюс бесконечности:

Выясним наличие наклонной асимптоты:

Получили конечные пределы k = 2 и b = 0 . Прямая y = 2x является двусторонней наклонной асимптотой графика данной функции (рис. внутри примера).

Пример 7. Найти асимптоты графика функции

Решение. Функция имеет одну точку разрыва x = −1 . Вычислим односторонние пределы и определим вид разрыва:

,

.

Заключение: x = −1 — точка разрыва второго рода, поэтому прямая x = −1 является вертикальной асимптотой графика данной функции.

Ищем наклонные асимптоты. Так как данная функция — дробно-рациональная, пределы при и при будут совпадать. Таким образом, находим коэффициенты для подстановки в уравнение прямой — наклонной асимптоты:

Подставляя найденные коэффициенты в уравнение прямой с угловым коэффициентом, получаем уравнение наклонной асимптоты:

На рисунке график функции обозначен бордовым цветом, а асимптоты — чёрным.

Пример 8. Найти асимптоты графика функции

.

Решение. Так как данная функция непрерывна, её график не имеет вертикальных асимптот. Ищем наклонные асимптоты:

.

Таким образом, график данной функции имеет асимптоту y = 0 при и не имеет асиптоты при .

Пример 9. Найти асимптоты графика функции

.

Решение. Сначала ищем вертикальные асимптоты. Для этого найдём область определения функции. Функция определена, когда выполняется неравенство и при этом . Знак переменной x совпадает со знаком . Поэтому рассмотрим эквивалентное неравенство . Из этого получаем область определения функции: . Вертикальная асимптота может быть только на границе области определения функции. Но x = 0 не может быть вертикальной асимптотой, так как функция определена при x = 0 .

Рассмотрим правосторонний предел при (левосторонний предел не существует):

.

Точка x = 2 — точка разрыва второго рода, поэтому прямая x = 2 — вертикальная асимптота графика данной функции.

Ищем наклонные асимптоты:

Итак, y = x + 1 — наклонная асимптота графика данной функции при . Ищем наклонную асимптоту при :

Итак, y = −x − 1 — наклонная асимптота при .

Пример 10. Найти асимптоты графика функции

Решение. Функция имеет область определения . Так как вертикальная асимптота графика этой функции может быть только на границе области определения, найдём односторонние пределы функции при :

,

.

Оба предела нашли, используя первый замечательный предел. Заключение: x = 0 — точка устранимого разрыва, поэтому у графика функции нет вертикальных асимптот.

Ищем наклонные асимптоты:

Таким образом, при наклонной асимптотой графика данной функции является прямая y = x . Но при найденные пределы не изменяются. Поэтому при наклонной асимптотой графика данной функции также является y = x .

Пример 11. Найти асимптоты графика функции

.

Решение. Сначала найдём вертикальные асимптоты. Для этого найдём точки разрыва функции и их виды. Знаменатель не может быть равным нулю, поэтому должно соблюдаться условие . Функция имеет две точки разрыва: , . Чтобы установить вид разрыва, найдём односторонние пределы:

Так как все пределы равны бесконечности, обе точки разрыва — второго рода. Поэтому график данной функции имеет две вертикальные асимптоты: x = 2 и x = −2 .

Ищем наклонные асимптоты. Так как данная функция является дробно-рациональной, пределы при и при совпадают. Поэтому, определяя коэффициенты прямой, ищем просто пределы:

Подставляем найденные коэффициенты в уравнение прямой с угловым коэффициентом, получаем уравнение наклонной асимптоты y = 2x . Таким образом, график данной функции имеет три асимптоты: x = 2 , x = −2 и y = 2x .

Найти асимптоты графика функции самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 12. Найти асимптоты графика функции .

Пример 13. Найти асимптоты графика функции .

Асимптоты графика функции

Вы будете перенаправлены на Автор24

Достаточно часто на практике приходится иметь дело с функциями, которые определены не на всей числовой прямой, либо принимают не любые значения из множества действительных чисел.

В таких случаях при построении графиков функций получаем, что график функции не является непрерывной линией, а имеет некоторые разрывы. В результате чего становится целесообразным ввести понятие «асимптота».

Асимптота — это такая прямая, к которой график заданной функции приближается сколько угодно близко, но не пересекает ее.

Среди асимптот выделяют следующие виды:

  • вертикальная асимптота (параллельна оси ОY);
  • горизонтальная асимптота (параллельна оси ОХ);
  • наклонная асимптота (расположена под углом к осям координат).

Отметим, что асимптоты на графике функции изображаются пунктирной линией.

Вертикальная асимптота — это прямая, определяемая уравнением $x=a$, для которой выполняются условия $mathop<lim >limits_ f(x)=infty $ или $mathop<lim >limits_ f(x)=infty $.

Вертикальная асимптота может быть только в точках разрыва функции $y=f(x)$, т.е. в тех точках, где данная функция неопределенна.

Найти вертикальную асимптоту графика данной функции: $y=frac<5> $.

Следовательно, прямая $x=2$ является вертикальной асимптотой (см. рис.).

Горизонтальная асимптота — это прямая, определяемая уравнением $y=b$, для которой выполняются условия $mathop<lim >limits_ f(x)=b$.

Готовые работы на аналогичную тему

Найти горизонтальную асимптоту графика данной функции: $y=5^ $.

Следовательно, прямая $y=0$ является горизонтальной асимптотой (см. рис.).

График функции может иметь только правую либо только левую горизонтальную асимптоту.

Наклонная асимптота — это прямая, определяемая уравнением $y=kx+b$, для которой выполняется условие $mathop<lim >limits_ [f(x)-kx+b]=0$.

Условия существования наклонной асимптоты определяются следующей теоремой.

Если функция $y=f(x)$ имеет конечные пределы $mathop<lim >limits_ frac =k;mathop<lim >limits_ [f(x)-kx]=b$, то данная функция имеет наклонную асимптоту, заданную уравнением $y=kx+b$ при $xto infty $.

Частным случаем наклонной асимптоты при $k=0$ является горизонтальная асимптота.

Наклонная асимптота может быть левой (график приближается справа), правой (график приближается слева) или двусторонней (график приближается с обоих сторон).

Найти наклонную асимптоту графика данной функции: $y=frac > $.

Следовательно, прямая $y=x+2$ является наклонной асимптотой (см. рис.). В данном случае имеем двустороннюю наклонную асимптоту.

Найти наклонную асимптоту графика данной функции: $y=frac > $.

Следовательно, график данной функции не имеет наклонной асимптоты.

График функции может иметь одновременно несколько асимптот, например, вертикальную и наклонную.

Найти асимптоты графика данной функции: $y=frac <3x^<2>> $.

Область определения функции: $D_ = < xin R|xne 1>$.

Следовательно, прямая $x=1$ является вертикальной асимптотой (см. рис.).

Следовательно, прямая $y=3x+3$ является наклонной асимптотой (см. рис.). В данном случае имеем двустороннюю наклонную асимптоту.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 17 02 2022

Асимптоты

п.1. Понятие асимптоты

Различают вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.
Например:

п.2. Вертикальная асимптота

Таким образом, практически каждой точке разрыва 2-го рода (см. §40 данного справочника) соответствует вертикальная асимптота.
Вертикальных асимптот может быть сколько угодно, в том числе, бесконечное множество (например, как у тангенса – см. §6 данного справочника).

Например:
Исследуем непрерывность функции (y=frac<1><(x-1)(x+3)>)
ОДЗ: (xne left<-3;1right>)
(left\notin D) — точки не входят в ОДЗ, подозрительные на разрыв.
Исследуем (x_0=-3). Найдем односторонние пределы: begin lim_frac<1><(x-1)(x+3)>=frac<1><(-3-0-1)(-3-0+3)>=frac<1><-4cdot(-0)>=+infty\ lim_frac<1><(x-1)(x+3)>=frac<1><(-3+0-1)(-3+0+3)>=frac<1><-4cdot(+0)>=-infty end Односторонние пределы не равны и бесконечны.
Точка (x_0=-3) — точка разрыва 2-го рода.
Исследуем (x_1=1). Найдем односторонние пределы: begin lim_frac<1><(x-1)(x+3)>=frac<1><(1-0-1)(1-0+3)>=frac<1><-0cdot 4>=-infty\ lim_frac<1><(x-1)(x+3)>=frac<1><(1+0-1)(1+0+3)>=frac<1><+0cdot 4>=+infty end Односторонние пределы не равны и бесконечны.
Точка (x_1=1) — точка разрыва 2-го рода.
Вывод: у функции (y=frac<1><(x-1)(x+3)>) две точки разрыва 2-го рода (left\), соответственно – две вертикальные асимптоты с уравнениями (x=-3) и (x=1).

п.3. Горизонтальная асимптота

Число горизонтальных асимптот не может быть больше двух.

Например:
Исследуем наличие горизонтальных асимптот у функции (y=frac<1><(x-1)(x+3)>)
Ищем предел функции на минус бесконечности: begin lim_frac<1><(x-1)(x+3)>=frac<1><(-infty)(-infty)>=+0 end На минус бесконечности функция имеет конечный предел (b=0) и стремится к нему сверху (о чем свидетельствует символическая запись +0).
Ищем предел функции на плюс бесконечности: begin lim_frac<1><(x-1)(x+3)>=frac<1><(+infty)(+infty)>=+0 end На плюс бесконечности функция имеет тот же конечный предел (b=0) и также стремится к нему сверху.
Вывод: у функции (y=frac<1><(x-1)(x+3)>) одна горизонтальная асимптота (y=0). На плюс и минус бесконечности функция стремится к асимптоте сверху.

Итоговый график асимптотического поведения функции (y=frac<1><(x-1)(x+3)>):

п.4. Наклонная асимптота

Число наклонных асимптот не может быть больше двух.

Чтобы построить график асимптотического поведения, заметим, что у функции (y=frac), очевидно, есть вертикальная асимптота x=1. При этом: begin lim_frac=-infty, lim_frac=+infty end

График асимптотического поведения функции (y=frac):

п.5. Алгоритм исследования асимптотического поведения функции

На входе: функция (y=f(x))
Шаг 1. Поиск вертикальных асимптот
Исследовать функцию на непрерывность. Если обнаружены точки разрыва 2-го рода, у которых хотя бы один односторонний предел существует и бесконечен, сопоставить каждой такой точке вертикальную асимптоту. Если таких точек не обнаружено, вертикальных асимптот нет.
Шаг 2. Поиск горизонтальных асимптот
Найти пределы функции на плюс и минус бесконечности. Каждому конечному пределу сопоставить горизонтальную асимптоту. Если оба предела конечны и равны, у функции одна горизонтальная асимптота. Если оба предела бесконечны, горизонтальных асимптот нет.
Шаг 3. Поиск наклонных асимптот
Найти пределы отношения функции к аргументу на плюс и минус бесконечности.
Каждому конечному пределу k сопоставить наклонную асимптоту, найти b. Если только один предел конечен, у функции одна наклонная асимптота. Если оба значения k конечны и равны, и оба значения b равны, у функции одна наклонная асимптота. Если оба предела для k бесконечны, наклонных асимптот нет .
На выходе: множество всех асимптот данной функции.

п.6. Примеры

Пример 1. Исследовать асимптотическое поведение функции и построить схематический график:
a) ( y=frac<4x> )
1) Вертикальные асимптоты
Точки, подозрительные на разрыв: (x=pm 1)
Односторонние пределы в точке (x=-1) begin lim_frac<4x><(x+1)(x-1)>=frac<4(-1-0)><(-1-0+1)(-1-0-1)>=frac<-4><-0cdot(-2)>=-infty\ lim_frac<4x><(x+1)(x-1)>=frac<4(-1+0)><(-1+0+1)(-1+0-1)>=frac<-4><+0cdot(-2)>=+infty end Точка (x=-1) — точка разрыва 2-го рода
Односторонние пределы в точке (x=1) begin lim_frac<4x><(x+1)(x-1)>=frac<4(1-0)><(1-0+1)(1-0-1)>=frac<4><2cdot(-0)>=-infty\ lim_frac<4x><(x+1)(x-1)>=frac<4(1+0)><(1+0+1)(1+0-1)>=frac<4><2cdot(+0)>=+infty end Точка (x=1) — точка разрыва 2-го рода
Функция имеет две вертикальные асимптоты (x=pm 1)

График асимптотического поведения функции (y=frac<4x>)

2) Горизонтальные асимптоты
Пределы функции на бесконечности: begin b_1=lim_e^<frac<1>>=e^0=1\ b_2=lim_e^<frac<1>>=e^0=1\ b=b_1=b_2=1 end Функция имеет одну горизонтальную асимптоту (y=1). Функция стремится к этой асимптоте на минус и плюс бесконечности.

График асимптотического поведения функции (y=e^<frac<1>>)

в) ( y=frac )
Заметим, что ( frac=frac<(x+1)(x-1)>=frac<(x^2)(x+1)><(x+1)(x-1)>=frac ) $$ y=fracLeftrightarrow begin y=frac\ xne -1 end $$ График исходной функции совпадает с графиком функции (y=frac), из которого необходимо выколоть точку c абсциссой (x=-1).

3) Наклонные асимптоты
Ищем угловые коэффициенты: begin k_1=lim_frac=left[frac<infty><infty>right]=lim_fracright)>=frac<1+0><1-0>=1\ k_2=lim_frac=left[frac<infty><infty>right]=lim_fracright)>=frac<1+0><1-0>=1\ k=k_1=k_2=1 end У функции есть одна наклонная асимптота с (k=1).
Ищем свободный член: begin b=lim_(y-kx)= lim_left(frac-2right)= lim_frac= lim_frac=left[frac<infty><infty>right]=\ =lim_frac=frac<1+0><1-0>=1 end Функция имеет одну наклонную асимптоту (y=x+1).
График асимптотического поведения функции (y=frac)

2) Горизонтальные асимптоты
Пределы функции на бесконечности: begin b_1=lim_xe^<frac<1><2-x>>=-inftycdot e^0=-infty\ b_2=lim_xe^<frac<1><2-x>>=+inftycdot e^0=+infty end Оба предела бесконечны.
Функция не имеет горизонтальных асимптот.

График асимптотического поведения функции (y=xe^<frac<1><2-x>>)

источники:

http://spravochnick.ru/matematika/obschiy_plan_issledovaniya_funkciy_i_postroeniya_grafikov/asimptoty_grafika_funkcii/

http://reshator.com/sprav/algebra/10-11-klass/asimptoty/

Источник

Содержание:

  1. Асимптоты графика функции
  2. Асимптоты и функция
  3. Схема исследования графика функции

Асимптоты графика функции

При исследовании функций часто бывает, что их графики сколь угодно близко приближаются к той или иной прямой. С такими линиями вы встречались при изучении гиперболы.

Определение 1. Прямую линию называют асимптотой графика функции y = f (x), если расстояние точки M графика от этой прямой стремится к нулю при удалении точки M в бесконечность.

Асимптоты бывают вертикальными, наклонными и горизонтальными. Вертикальные асимптоты существуют тогда, когда функция имеет разрывы второго рода.

Определение 2. Если в точке Асимптоты графика функции хоть один из односторонних пределов Асимптоты графика функции   или Асимптоты графика функции   то  прямая Асимптоты графика функции является вертикальной асимптотой.

Например, для функции  Асимптоты графика функции
Асимптоты графика функции    и   Асимптоты графика функции

Итак, x = 0 — вертикальная асимптота (рис. 17).

Асимптоты графика функции

Рис. 17.

Определение 3. Если существует конечный пределАсимптоты графика функции  то прямая y = b называется горизонтальной асимптотой.

Поскольку для функции Асимптоты графика функцииимеем Асимптоты графика функции  то прямая y = 0 —горизонтальная асимптота.

Уравнение наклонной асимптоты ищут в виде прямой с угловым коэффициентом y = kx + b. Расстояние точки M (x, y) графика функции y = f (x) примерно можно выразить через разность ординат при одном и том же значении x:  d = f (x) – (kx + b).

По определению асимптоты d → 0 при Асимптоты графика функции, то есть
Асимптоты графика функции                                                            (4.9)

Разделив это равенство на x, имеем:
Асимптоты графика функции

Поскольку Асимптоты графика функции    то     Асимптоты графика функции                 (4.10)

Если предел (4.10) не существует, то наклонной асимптоты не будет.
Если k — конечное число, то из (4.9) найдем:
Асимптоты графика функции

Таким образом, получим уравнение наклонной асимптоты y = kx + b. При k = 0 имеем уравнение горизонтальной асимптоты y = b.

Пример. Найти асимптоты графика функции   Асимптоты графика функции

Решение. Область определения функции (Асимптоты графика функции ; 0) Асимптоты графика функции (0; Асимптоты графика функции ).
Асимптоты графика функции
Асимптоты графика функции

Итак, x = 0 — вертикальная асимптота.

Находим наклонные асимптоты y = kx + b

Асимптоты графика функции

Асимптоты графика функции Асимптоты графика функции

Следовательно, y = x + 2 — наклонная асимптота (рис. 18).

Асимптоты графика функции

Рис. 18.

Горизонтальных асимптот нет, поскольку
Асимптоты графика функции

Асимптоты и функция

Определение 1.

Говорят, что прямая Асимптоты графика функции является вертикальной асимптотой графика функции Асимптоты графика функции если хотя бы один из пределов Асимптоты графика функции равен Асимптоты графика функции

Пример 1:

График функции Асимптоты графика функции имеет вертикальную асимптоту

Асимптоты графика функции Асимптоты графика функции ибо Асимптоты графика функции (рис. 11.10).

Пусть, далее, функция Асимптоты графика функции определена для сколь угодно больших значений аргумента (ради определенности будем рассматривать сколь угодно большие значения положительного знака).

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Определение 2.

Говорят, что прямая Асимптоты графика функции

является наклонной асимптотой графика Асимптоты графика функции если функция Асимптоты графика функции представима в виде Асимптоты графика функции наклонной где Асимптоты графика функции

Теорема 19. Для того чтобы график функции Асимптоты графика функции имел при Асимптоты графика функции наклонную асимптоту (11.58), необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела

Асимптоты графика функции  

Доказательство.

1. Необходимость.

Пусть график функции Асимптоты графика функции имеет при Асимптоты графика функции асимптоту (11.58), т. е. для Асимптоты графика функции справедливо представление (11.59). ТогдаАсимптоты графика функции

2. Достаточность.

Пусть существуют пределы (11.60). Тогда второй из этих пределов дает право утверждать, что разность Асимптоты графика функции является

Асимптоты графика функции

бесконечно малой при Асимптоты графика функции Обозначив эту бесконечно малую через Асимптоты графика функции получим для Асимптоты графика функции представления (11.59). Теорема доказана.

Замечание. Аналогично определяется наклонная асимптота и доказывается теорема 19 и для случая Асимптоты графика функции

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пример 2:

График функции Асимптоты графика функции Асимптоты графика функции имеет наклонную асимптоту Асимптоты графика функции и при Асимптоты графика функции и при Асимптоты графика функции и, кроме того, имеет вертикальную асимптоту Асимптоты графика функции(рис. 11.11). Действительно,

Асимптоты графика функции

Схема исследования графика функции

В этом параграфе мы изложим схему, по которой целесообразно исследовать график функции, и приведем пример, иллюстрирующий эту схему.

Итак, целесообразно провести следующие исследования:

  1. Уточнить область задания функции.
  2. Выяснить вопрос о существовании асимптот (вертикальных и наклонных).
  3. Найти области возрастания и убывания функции и точки экстремума.
  4. Найти области сохранения направления выпуклости и точки перегиба.
  5. Найти точки пересечения графика функции с осью Ох.

По полученным данным легко строится эскиз графика функции.

В качестве примера построим график функции

Асимптоты графика функции

Будем следовать изложенной выше схеме:

1. Поскольку функция (11.61) представляет собой рациональную дробь, то она определена и непрерывна всюду на бесконечной прямой, кроме точки х = 0, в которой обращается в нуль ее знаменатель.

2. Выясним вопрос о существовании асимптот. Очевидно, что

Асимптоты графика функции

поэтому график функции имеет вертикальную асимптоту х = 0. Далее, из существования пределов Асимптоты графика функции вытекает, что и при Асимптоты графика функции и при Асимптоты графика функции график функции имеет наклонную асимптоту Асимптоты графика функции 3. Для нахождения областей возрастания и убывания функции (11.61) вычислим ее первую производную

Асимптоты графика функции Имея в виду, кроме того, что сама функция и первая производная не существуют при Асимптоты графика функции, мы получим следующие области сохранения знака Асимптоты графика функции; Асимптоты графика функции

Из приведенной таблицы очевидно, что функция имеет следующие точки экстремума:

  1. максимум при х = -3, причем Асимптоты графика функции
  2. максимум при х= 1, причем Асимптоты графика функции
  3. минимум при х = 2, причем Асимптоты графика функции

Для нахождения областей сохранения направления выпуклости вычислим вторую производную Асимптоты графика функции

Имея в виду, что сама функция и ее производные не существуют в точке Асимптоты графика функции, мы получим следующие области сохранения знака Асимптоты графика функции:

Асимптоты графика функции Из приведенной таблицы очевидно, что график функции имеет перегиб в точке Асимптоты графика функции Легко подсчитать, что Асимптоты графика функции

Асимптоты графика функции Остается найти точки пересечения графика с осью Асимптоты графика функции Эти точки соответствуют вещественным корням уравнения

Асимптоты графика функции

Легко видеть, что Асимптоты графика функции Поскольку квадратный трехчлен Асимптоты графика функции имеет комплексные корни, то рассматриваемое уравнение имеет только один вещественный корень Асимптоты графика функции так что граф

ик функции пересекает ось Асимптоты графика функции в точке (1/2, 0). По полученным данным строим эскиз графика рассматриваемой функции (рис. 11.12). Асимптоты графика функции.

Прямая линия называется асимптотой графика функции Асимптоты графика функции, если расстояние от точки А/, лежащей на графике, до этой прямой стремится к нулю при движении точки по графику в бесконечность.

Существует три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.

Прямая Асимптоты графика функции называется вертикальной асимптотой графика функции Асимптоты графика функции, если хотя бы одно из предельных значений Асимптоты графика функции или Асимптоты графика функции равно Асимптоты графика функции

Прямая Асимптоты графика функции называется горизонтальной асимптотой графика функции Асимптоты графика функции

Прямая Асимптоты графика функции называется наклонной асимптотой графика функцииАсимптоты графика функции если функцию Асимптоты графика функции можно представить в виде Асимптоты графика функции при Асимптоты графика функции

Теорема 7. Для того чтобы график функции Асимптоты графика функции имел при Асимптоты графика функции наклонную асимптоту Асимптоты графика функции необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела:

Асимптоты графика функции

Пример 3:

Найти асимптоты графика функции Асимптоты графика функции

Решение:

Точка Асимптоты графика функции — точка разрыва второго рода данной функции, причем Асимптоты графика функции

Асимптоты графика функции — вертикальная асимптота. Так как Асимптоты графика функции то

график функции наклонных асимптот не имеет.

Находим горизонтальную асимптоту: Асимптоты графика функции Таким образом, график данной функции имеет вертикальную асимптоту х=3 и горизонтальную асимптоту Асимптоты графика функции

Пример 4:

Найти асимптоты графика функции Асимптоты графика функции Асимптоты графика функции

Решение:

Так как функция непрерывна на всей числовой прямой, то вертикальных асимптот нет. Нет и горизонтальных асимптот, так как Асимптоты графика функции Будем искать наклонные асимптоты. Пределы при Асимптоты графика функции будут различными, поэтому надо рассмотреть отдельно два случая.

Находим правую асимптоту (при Асимптоты графика функции):

Асимптоты графика функции Находим левую асимптоту (при Асимптоты графика функции):

Асимптоты графика функции Таким образом, получаем, что график функции ные наклонные асимптоты: Асимптоты графика функции при Асимптоты графика функции

Асимптоты графика функции

Асимптоты графика функции

Лекции:

  • Разложение в ряд маклорена
  • Частные производные второго порядка
  • Тройной интеграл
  • Равномерное распределение
  • Признак Даламбера: пример решения
  • Тригонометрические неравенства
  • Найти неопределенный интеграл: примеры решения
  • Векторы и операции с ними
  • Таблица истинности логических выражений
  • Элементы векторной алгебры
Источник

Асимптотой  линии называют прямую, к которой неограниченно приближается данная линия, когда ее точка неограниченно удаляется от начала координат.

Виды асимптот:

1) вертикальные
 – параллельные оси LaTeX formula: Oy;

2)  наклонные
– пересекающие ось LaTeX formula: Oy;

3)  горизонтальные
– параллельные оси LaTeX formula: Ox.

Например, график функции LaTeX formula: y=arctg x  имеет две горизонтальные асимптоты LaTeX formula: y=pm 0,5pi  (рис. 5.11) , а график функции LaTeX formula: y=frac{x^{2}+1}{x}  – вертикальную асимптоту LaTeX formula: x=0  и наклонную асимптоту LaTeX formula: y=x  (рис. 5.12).

1.  Уравнение вертикальной асимптоты
графика функции LaTeX formula: y=f(x) имеет вид LaTeX formula: x=a , при условии, что выполняется хотя бы одно из условий:LaTeX formula: lim_{xrightarrow a-0}f(x)=infty  , LaTeX formula: lim_{xrightarrow a+0}f(x)=infty  .

2.  Уравнение наклонной асимптоты   графика функции LaTeX formula: y=f(x)  имеет вид LaTeX formula: y=kx+b , где 

LaTeX formula: k=lim_{xrightarrow infty }frac{f(x)}{x}, (5.28)

LaTeX formula: b=lim_{xrightarrow infty }(f(x)-kx)  . (5.29)

Пример 1.
Найдите асимптоты функции LaTeX formula: f(x)=frac{x^{2}+2}{x}.

Решение
. 1. Найдем область определения функции:

LaTeX formula: D(f)=R/xneq 0.

2. Найдем вертикальную асимптоту графика функции. Так как точка LaTeX formula: 0 является точкой разрыва функции, то прямая LaTeX formula: x=0является вертикальной асимптотой ее графика. Действительно 

LaTeX formula: lim_{xrightarrow 0}frac{x^{2}+2}{x}=infty.

3. Уравнение наклонной асимптоты графика функции будем искать в виде  LaTeX formula: y=kx+b. По формулам 5.28 и 5.29 найдем LaTeX formula: k и LaTeX formula: b: 

LaTeX formula: k=lim_{xrightarrow infty }frac{x^{2}+2}{x^{2}}=lim_{xrightarrow infty }frac{1+frac{2}{x^{2}}}{1}=frac{1+0}{1}=1;

LaTeX formula: b=lim_{xrightarrow infty }left ( frac{x^{2}-2}{x}-x right )=lim_{xrightarrow infty }frac{x^{2}+2-x^{2}}{x}=lim_{xrightarrow infty }frac{2}{x}=0.

Наклонная асимптота:  LaTeX formula: y=x.

Ответ: LaTeX formula: x=0 , LaTeX formula: y=x .

     Если LaTeX formula: k=0 , то получим
горизонтальную асимптоту  LaTeX formula: y=b
.

Источник
Автор статьи

Александр Мельник

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Достаточно часто на практике приходится иметь дело с функциями, которые определены не на всей числовой прямой, либо принимают не любые значения из множества действительных чисел.

В таких случаях при построении графиков функций получаем, что график функции не является непрерывной линией, а имеет некоторые разрывы. В результате чего становится целесообразным ввести понятие «асимптота».

Определение 1

Асимптота — это такая прямая, к которой график заданной функции приближается сколько угодно близко, но не пересекает ее.

Среди асимптот выделяют следующие виды:

  • вертикальная асимптота (параллельна оси ОY);
  • горизонтальная асимптота (параллельна оси ОХ);
  • наклонная асимптота (расположена под углом к осям координат).

Отметим, что асимптоты на графике функции изображаются пунктирной линией.

Получи второе высшее онлайн

Обучение психологии, маркетингу, нутрициологии и работе в сфере кино

Выбрать программу

Определение 2

Вертикальная асимптота — это прямая, определяемая уравнением $x=a$, для которой выполняются условия $mathop{lim }limits_{xto apm 0} f(x)=infty $ или $mathop{lim }limits_{xto a} f(x)=infty $.

Примечание 1

Вертикальная асимптота может быть только в точках разрыва функции $y=f(x)$, т.е. в тех точках, где данная функция неопределенна.

Пример 1

Найти вертикальную асимптоту графика данной функции: $y=frac{5}{x-2} $.

Решение:

Область определения функции: $D_{y} ={ xin R|xne 2} $.

[mathop{lim }limits_{xto 2} frac{5}{x-2} =frac{5}{0} =infty ]

Следовательно, прямая $x=2$ является вертикальной асимптотой (см. рис.).

Рисунок 1.

Определение 3

Горизонтальная асимптота — это прямая, определяемая уравнением $y=b$, для которой выполняются условия $mathop{lim }limits_{xto pm infty } f(x)=b$.

«Асимптоты графика функции» 👇

Пример 2

Найти горизонтальную асимптоту графика данной функции: $y=5^{x} $.

Решение:

[mathop{lim }limits_{xto -infty } 5^{x} =0;mathop{lim }limits_{xto +infty } 5^{x} =infty ]

Следовательно, прямая $y=0$ является горизонтальной асимптотой (см. рис.).

Рисунок 2.

Примечание 2

График функции может иметь только правую либо только левую горизонтальную асимптоту.

Определение 4

Наклонная асимптота — это прямая, определяемая уравнением $y=kx+b$, для которой выполняется условие $mathop{lim }limits_{xto infty } [f(x)-kx+b]=0$.

Условия существования наклонной асимптоты определяются следующей теоремой.

Теорема 1

Если функция $y=f(x)$ имеет конечные пределы $mathop{lim }limits_{xto infty } frac{f(x)}{x} =k;mathop{lim }limits_{xto infty } [f(x)-kx]=b$, то данная функция имеет наклонную асимптоту, заданную уравнением $y=kx+b$ при $xto infty $.

Примечание 3

Частным случаем наклонной асимптоты при $k=0$ является горизонтальная асимптота.

Примечание 4

Наклонная асимптота может быть левой (график приближается справа), правой (график приближается слева) или двусторонней (график приближается с обоих сторон).

Пример 3

Найти наклонную асимптоту графика данной функции: $y=frac{x^{2} }{x-2} $.

Решение:

[k=mathop{lim }limits_{xto infty } frac{f(x)}{x} =mathop{lim }limits_{xto infty } frac{x^{2} }{x(x-2)} =mathop{lim }limits_{xto infty } frac{x^{2} }{x^{2} -2x} =mathop{lim }limits_{xto infty } frac{1}{1-2/x} =frac{1}{1-0} =1;] [begin{array}{l} {b=mathop{lim }limits_{xto infty } [f(x)-kx]=mathop{lim }limits_{xto infty } left[frac{x^{2} }{x-2} -xright]=mathop{lim }limits_{xto infty } frac{x^{2} -x(x-2)}{x-2} =mathop{lim }limits_{xto infty } frac{x^{2} -x^{2} +2x}{x-2} =mathop{lim }limits_{xto infty } frac{2x}{x-2} =} \ {=mathop{lim }limits_{xto infty } frac{2}{1-2/x} =frac{2}{1-0} =2} end{array}]

Следовательно, прямая $y=x+2$ является наклонной асимптотой (см. рис.). В данном случае имеем двустороннюю наклонную асимптоту.

Рисунок 3.

Пример 4

Найти наклонную асимптоту графика данной функции: $y=frac{x^{4} }{x-2} $.

Решение:

[k=mathop{lim }limits_{xto infty } frac{f(x)}{x} =mathop{lim }limits_{xto infty } frac{x^{4} }{x(x-2)} =mathop{lim }limits_{xto infty } frac{x^{4} }{x^{2} -2x} =mathop{lim }limits_{xto infty } frac{1}{1/x^{2} -2/x^{3} } =frac{1}{0-0} =infty ]

Следовательно, график данной функции не имеет наклонной асимптоты.

Примечание 5

График функции может иметь одновременно несколько асимптот, например, вертикальную и наклонную.

Пример 5

Найти асимптоты графика данной функции: $y=frac{3x^{2} }{x-1} $.

Решение:

Область определения функции: $D_{y} ={ xin R|xne 1} $.

[mathop{lim }limits_{xto 1} frac{3x^{2} }{x-1} =infty ]

Следовательно, прямая $x=1$ является вертикальной асимптотой (см. рис.).

[k=mathop{lim }limits_{xto infty } frac{f(x)}{x} =mathop{lim }limits_{xto infty } frac{3x^{2} }{x(x-1)} =mathop{lim }limits_{xto infty } frac{3x^{2} }{x^{2} -x} =mathop{lim }limits_{xto infty } frac{3}{1-1/x} =frac{3}{1-0} =3;] [begin{array}{l} {b=mathop{lim }limits_{xto infty } [f(x)-kx]=mathop{lim }limits_{xto infty } left[frac{3x^{2} }{x-1} -3xright]=mathop{lim }limits_{xto infty } frac{3x^{2} -3x(x-1)}{x-1} =mathop{lim }limits_{xto infty } frac{3x^{2} -3x^{2} +3x}{x-1} =mathop{lim }limits_{xto infty } frac{3x}{x-1} =} \ {=mathop{lim }limits_{xto infty } frac{3}{1-1/x} =frac{3}{1-0} =3} end{array}]

Следовательно, прямая $y=3x+3$ является наклонной асимптотой (см. рис.). В данном случае имеем двустороннюю наклонную асимптоту.

Рисунок 4.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Источник

Построение графика
функции значительно облегчается, если
знать его асимптоты.

Определение.

Асимптотой
кривой называется прямая, расстояние
до которой от точки, лежащей на кривой,
стремится к нулю при неограниченном
удалении от начала координат этой точки
по кривой (рис.5.10).

Асимптоты бывают
вертикальные (параллельные оси Оу),
горизонтальные (параллельные оси Ох)
и наклонные.

Рис. 5.10

Вертикальные асимптоты

Определение.

Прямая
называетсявертикальной
асимптотой графика
функции
,
если выполнено одно из условий:

или
(рис.5.11)

Рис. 5.11

Вертикальные
асимптоты, уравнение которых х=x0
, следует
искать в точках, где функция терпит
разрыв второго рода, или на концах ее
области определения, если концы не равны
.
Если таких точек нет, то нет и вертикальных
асимптот.

Например, для
кривой
,
вертикальной асимптотой будет прямая,
так как,.
Вертикальной асимптотой графика функцииявляется прямая(осьОу),
поскольку

.

Горизонтальные асимптоты

Определение.

Если при
()
функцияимеет конечный предел, равный числуb:

,

то прямая
есть горизонтальная асимптота графика
функции.

Например, для
функции
имеем

,
.

Соответственно,
прямая
− горизонтальная асимптота для правой
ветви графика функции,
а прямая− для левой ветви.

В том случае, если

,

график функции не
имеет горизонтальных асимптот, но может
иметь наклонные.

Наклонные асимптоты

Определение.

Прямая
называетсянаклонной
асимптотой
графика функции
при(),
если выполняется равенство

.

Наличие наклонной
асимптоты устанавливают с помощью
следующей теоремы.

Теорема.

Для того, чтобы
график функции
имел при()
наклонную асимптоту,
необходимо и достаточно, чтобы существовали
конечные пределы

и
.

Если хотя бы один
из этих пределов не существует или равен
бесконечности, то кривая
наклонной асимптоты не имеет.

Замечания.

1. При отыскании
асимптот следует отдельно рассматривать
случаи
и.

2. Если

и
,

то график функции
имеет горизонтальную асимптоту.

3. Если

и
,

то прямая
(осьОх)
является горизонтальной асимптотой
графика функции
.

Из замечаний
следует, что горизонтальную асимптоту
можно рассматривать как частный случай
наклонной асимптоты при
.
Поэтому при отыскании асимптот графика
функции рассматривают лишь два случая:

1) вертикальные
асимптоты,

2) наклонные
асимптоты.

Пример

Найти асимптоты
графика функции
.

.

1)
− точка разрыва второго рода:

,
.

Прямая
− вертикальная асимптота.

2)
,

,

.

Прямая
− горизонтальная асимптота. Наклонной
асимптоты нет.

5.6. Общая схема исследования функции и построение графика

В предыдущих
параграфах было показано, как с помощью
производных двух первых порядков
изучаются общие свойства функции.
Пользуясь результатами этого изучения,
можно составить представление о характере
функции и, в частности, построить ее
график.

Исследование
функции
целесообразно проводить по следующей
схеме.

  1. Найти область
    определения функции.

  2. Исследовать
    функцию на четность и нечетность.

  3. Исследовать
    функцию на периодичность.

  4. Найти точки
    пересечения графика функции с осями
    координат.

  5. Найти интервалы
    знакопостоянства функции (интервалы,
    на которых
    или).

  6. Найти асимптоты
    графика функции.

  7. Найти интервалы
    монотонности и точки экстремума функции.

  8. Найти интервалы
    выпуклости и вогнутости и точки перегиба
    графика функции.

  9. Построить график
    функции.

Пример

Исследовать функцию
и построить ее график.

  1. Область определения
    функции
    .

  2. Функция нечетная:
    .
    График функции симметричен относительно
    начала координат

  3. Функция
    непериодическая.

  4. Точки пересечения
    с осями координат:

С осью Оу:
,
точка.

С осью Ох:
,,,.

  1. Точки
    ,иразбивают осьОх
    на четыре интервала.

при
;

при
;

при
;

при
.

  1. Так как функция
    является непрерывной, то ее график не
    имеет вертикальных асимптот.

.

Наклонной и
горизонтальной асимптот нет.

  1. ,

,
,− критические точки.

для
«↑»,

для
«↓»,

для
«↑».

Сведем данные в
таблицу.

х

-1

1

+

0

−

0

+

↑

(возрастает)

mах

2

↓

(убывает)

min

-2

↑

(возрастает)

,
;

точка
− максимум;

точка
− минимум.

  1. ,
    ,,.

при
«»;

при
«».

х

0

−

0

+

(выпуклый)

0

(точка перегиба)

(вогнутый)

Точка
− точка перегиба.

  1. График функции
    (рис.5.12)

Рис. 5.12

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как написать уннв
  • Как написать уникальный текст для сайта
  • Как написать уникальный отзыв
  • Как написать уникальный контент
  • Как написать уникальную статью для сайта