Касательная к параболе
Воскресенье, 3 ноября, 2019
Иногда в заданиях ЕГЭ и даже ОГЭ по математике, особенно в заданиях с параметром, возникают ситуации, когда нужно установить, при каком условии некоторая прямая касается параболы. Составить уравнение касательной к функции можно с помощью производной, и старшеклассникам обычно рассказывают в школе, как это делать. Но в случае с параболой можно обойтись без этих премудростей. Достаточно уметь решать квадратные уравнения, а этому учат уже в основой школе. В данной статье профессиональный репетитор по математике рассказывает о том, как получить уравнение касательной к параболе в некоторой точке без использования производной.
Уравнение касательной к параболе
Давайте изобразим координатную плоскость и нарисуем в ней параболу, которая проходит через начало координат. Так бывает, конечно, не всегда. Но эту проблему можно легко устранить. Достаточно просто перенести начало координат в вершину параболы, и мы получим нужную нам ситуацию. Поэтому целесообразно рассматривать именно случай, когда парабола проходит через начало координат. В этом случае уравнение такой параболы имеет вид 
:
Мы для определённости взяли положительный коэффициент 
, поэтому ветви данной параболы направлены вверх. Но на самом деле все дальнейшие рассуждения будут справедливы и для отрицательных .
Отметим некоторую точку A, которая принадлежит нашей параболе. Пусть она имеет координаты 
. Проведём касательную к параболе в этой точке. Касательная – это прямая. А в общем виде уравнение прямой записывается как 
. То есть ситуация получается следующая:
Ну и давайте зададимся целью найти неизвестные коэффициенты 
и 
через известные значения 
и . Так у нас и получится касательная к параболе, а точнее её уравнение в точке . Но давайте сразу договоримся, что делать мы это будем без помощи производной, чтобы этот материал был понятен не только старшеклассникам.
Итак, что же у нас есть? У нас есть парабола , причём 
. Иначе это была бы не парабола, а просто прямая линия, которая совпадает с осью OX. Также у нас есть касательная . Но важно то, что эта касательная и парабола имеют общую точку с координатами .
А это значит, что координаты этой точки должны удовлетворять и уравнению параболы, и уравнению касательной. Значит, если мы подставим координаты этой точки в уравнение параболы и в уравнение касательной, то мы должны при этом получить верные равенства. Итак, имеет место следующая система уравнений:
![[ begin{cases} y_0=ax_0^2 \ y_0 = kx_0 + b end{cases} ]](https://yourtutor.info/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-81c3b8b33bf77426c6a92221ff2a65ff_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Именно её нам и нужно решить. Но как это сделать? Ну, во-первых, обратим сразу внимание, что у этих уравнений одинаковые левые части. А значит, равны и правые. То есть получается вот такое уравнение:
![[ ax_0^2-kx_0-b = 0 ]](https://yourtutor.info/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b3c0c1a95efb648e10221dc18a473224_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Это квадратное уравнение, которое может иметь от нуля до двух решений, в зависимости от дискриминанта. Вот здесь и возникает самая главная идея! Поскольку прямая касается параболы (ведь это касательная к параболе), то у них есть только одна общая точка. А это означает, что данное уравнение должно иметь единственное решение. Ну а единственное решение оно имеет только в том случае, если дискриминант равен нулю. Осталось его посчитать:
(1) 
Ну а сам корень уравнения при нулевом дискриминанте равен:
(2) 
Ну а дальше подставляем выражение (2) в уравнение (1) и получаем следующее уравнение:
![[ 4a^2x_0^2+4ab = 0 ]](https://yourtutor.info/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d19d8afcfff01e0c5343668ab2564c73_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![[ ax_0^2+b=0 ]](https://yourtutor.info/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7c549e033c1bddaf1c9c1c29d73ef674_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
(3) 
Ну и получилось, что мы смогли выразить коэффициент и коэффициент через и (уравнения (2) и (3), соответственно), как и было нужно. Подставляя их в уравнение прямой, получаем искомое уравнение касательной к параболе:
Уравнение касательной к параболе в общем виде
В общем виде парабола задаётся формулой: 
. Как уже отмечалось выше, такую параболу можно всегда свести к параболе путём простого переноса начала системы координат в вершину исходной параболы. Но зададимся вопросом, как будет выглядеть уравнение касательной к такой параболе, если мы не будем осуществлять такой перенос.
Касательная к параболе — это прямая, поэтому в общем виде уравнение этой прямой записывается по аналогии с предыдущим пунктом: 
. Только здесь мы используем букву 
, поскольку буква уже занята:
И вновь мы ссылаемся на тот факт, что данная касательная и парабола будут иметь общую точку . Значит, координаты этой точки должны удовлетворять следующей системе уравнений:
![[ begin{cases} y_0 = ax_0^2+bx_0+c \ y_0 = kx_0+d end{cases} ]](https://yourtutor.info/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8176337792ada69638b8aeac2cbe1cf9_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
У записанных уравнений равны левые части, значит, равны и правые. То есть имеет место следующее квадратное уравнение:
![[ ax_0^2+bx_0+c = kx_0+d ]](https://yourtutor.info/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e124a6347a61188a98f463a194a56ff8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![[ ax_0^2+(b-k)x_0+c-d = 0 ]](https://yourtutor.info/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-582d047a71fe9aed3956ab972bbc52b3_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Ну и поскольку у касательной с параболой есть только одна общая точка, то последнее уравнение должно иметь единственное решение. Такое возможно только в том случае, если его дискриминант равен нулю. То есть имеет место равенство:
(4) 
При этом сам корень уравнения должен быть равен:
(5) 
Подставляем выражение (5) в выражение (4) и получаем:
![[ (b- 2ax_0-b)^2-4a(c-d) = 0 ]](https://yourtutor.info/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-887ef263ce1366f7b2443aaeeebdf868_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![[ 4a^2x_0^2 - 4a(c-d) = 0 ]](https://yourtutor.info/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4672cad9c6c85bbaa58651c5abd040eb_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![[ ax_0^2 - c + d = 0 ]](https://yourtutor.info/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-19a93a2738211bc56f974bc5ae78045f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
(6) 
Итак, мы получили искомые коэффициенты. Значит, уравнение касательной к параболе в общем виде будет выглядеть так:
При этом легко убедиться, что в частном случае при 
(то есть когда парабола проходит через начало координат) мы получаем то же самое уравнение, которое уже было нами получено в предыдущем пункте.
Материал подготовил репетитор по математике и физике в Москве, Сергей Валерьевич
-
Парабола, её форма, фокус и директриса.
Начать изучение
-
Свойства параболы.
Начать изучение
-
Уравнение касательной к параболе.
Начать изучение
Парабола, её форма, фокус и директриса.
Определение.
Параболой называется линия, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением
$$
y^{2}=2pxlabel{ref15}
$$
при условии (p > 0).
Из уравнения eqref{ref15} вытекает, что для всех точек параболы (x geq 0). Парабола проходит через начало канонической системы координат. Эта точка называется вершиной параболы.
Форма параболы известна из курса средней школы, где она встречается в качестве графика функции (y=ax^{2}). Отличие уравнений объясняется тем, что в канонической системе координат по сравнению с прежней оси координат поменялись местами, а коэффициенты связаны равенством (2p=a^{-1}).
Фокусом параболы называется точка (F) с координатами ((p/2, 0)) в канонической системе координат.
Директрисой параболы называется прямая с уравнением (x=-p/2) в канонической системе координат ((PQ) на рис. 8.11).
Свойства параболы.
Утверждение.
Расстояние от точки (M(x, y)), лежащей на параболе, до фокуса равно
$$
r=x+frac{p}{2}.label{ref16}
$$
Доказательство.
Вычислим квадрат расстояния от точки (M(x, y)) до фокуса по координатам этих точек: (r^{2}=(x-p/2)^{2}+y^{2}) и подставим сюда (y^{2}) из канонического уравнения параболы. Мы получаем
$$
r^{2}=left(x-frac{p}{2}right)^{2}+2px=left(x+frac{p}{2}right)^{2}.nonumber
$$
Отсюда в силу (x geq 0) следует равенство eqref{ref16}.
Заметим, что расстояние от точки (M) до директрисы также равно
$$
d=x+frac{p}{2}.nonumber
$$
Следовательно, мы можем сделать следующий вывод.
Утверждение.
Для того чтобы точка (M) лежала на параболе, необходимо и достаточно, чтобы она была одинаково удалена от фокуса и от директрисы этой параболы.
Доказательство.
Докажем достаточность. Пусть точка (M(x, y)) одинаково удалена от фокуса и от директрисы параболы:
$$
sqrt{left(x-frac{p}{2}right)^{2}+y^{2}}=x+frac{p}{2}.nonumber
$$
Возводя это уравнение в квадрат и приводя в нем подобные члены, мы получаем из него уравнение параболы eqref{ref15}. Это заканчивает доказательство.
Параболе приписывается эксцентриситет (varepsilon=1). В силу этого соглашения формула
$$
frac{r}{d}=varepsilonnonumber
$$
верна и для эллипса, и для гиперболы, и для параболы.
Уравнение касательной к параболе.
Выведем уравнение касательной к параболе в точке (M_{0}(x_{0}, y_{0})), лежащей на ней. Пусть (y_{0} neq 0). Через точку (M_{0}) проходит график функции (y=f(x)), целиком лежащий на параболе. (Это (y=sqrt{2px}) или же (y=-sqrt{2px}), смотря по знаку (y_{0}).) Для функции (f(x)) выполнено тождество ((f(x))^{2}=2px), дифференцируя которое имеем (2f(x)f'(x)=2p). Подставляя (x=x_{0}) и (f(x_{0})=y_{0}), находим (f'(x_{0})=p/y_{0}) Теперь мы можем написать уравнение касательной к параболе
$$
y-y_{0}=frac{p}{y_{0}}(x-x_{0}).nonumber
$$
Упростим его. Для этого раскроем скобки и вспомним, что (y_{0}^{2}=2px_{0}). Теперь уравнение касательной принимает окончательный вид
$$
yy_{0}=p(x+x_{0}).label{ref17}
$$
Заметим, что для вершины параболы, которую мы исключили, положив (y_{0} neq 0), уравнение eqref{ref17} превращается в уравнение (x=0), то есть в уравнение касательной в вершине. Поэтому уравнение eqref{ref17} справедливо для любой точки на параболе.
Утверждение.
Касательная к параболе в точке (M_{0}) есть биссектриса угла, смежного с углом между отрезком, который соединяет (M_{0}) с фокусом, и лучом., выходящим из этой точки в направлении оси параболы (рис. 8.12).
Доказательство.
Рассмотрим касательную в точке (M_{0}(x_{0}, y_{0})). Из уравнения eqref{ref17} получаем ее направляющий вектор (boldsymbol{v}(y_{0}, p)). Значит, ((boldsymbol{v}, boldsymbol{e}_{1})=y_{0}) и (cos varphi_{1}=y_{0}/boldsymbol{v}). Вектор (overrightarrow{FM_{0}}) имеет компоненты (x_{0}=p/2) и (y_{0}), а потому
$$
(overrightarrow{FM_{0}}, boldsymbol{v})=x_{0}y_{0}-frac{p}{2}y_{0}+py_{0}=y_{0}(x_{0}+frac{p}{2}).nonumber
$$
Но (|overrightarrow{FM_{0}}|=x_{0}+p/2). Следовательно, (cos varphi_{2}=y_{0}/|boldsymbol{v}|). Утверждение доказано.
Заметим, что (|FN|=|FM_{0}|) (см. рис. 8.12).
Статья дает подробное разъяснение определений, геометрического смысла производной с графическими обозначениями. Будет рассмотрено уравнение касательной прямой с приведением примеров, найдено уравнения касательной к кривым 2 порядка.
Определения и понятия
Угол наклона прямой y=kx+b называется угол α, который отсчитывается от положительного направления оси ох к прямой y=kx+b в положительном направлении.
На рисунке направление ох обозначается при помощи зеленой стрелки и в виде зеленой дуги, а угол наклона при помощи красной дуги. Синяя линия относится к прямой.
Угловой коэффициент прямой y=kx+b называют числовым коэффициентом k.
Угловой коэффициент равняется тангенсу наклона прямой, иначе говоря k=tg α.
- Угол наклона прямой равняется 0 только при параллельности ох и угловом коэффициенте, равному нулю, потому как тангенс нуля равен 0. Значит, вид уравнения будет y=b.
- Если угол наклона прямой y=kx+b острый, тогда выполняются условия 0<α<π2 или 0°<α<90°. Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию tg α>0, причем имеется возрастание графика.
- Если α=π2, тогда расположение прямой перпендикулярно ох. Равенство задается при помощи равенства x=c со значением с, являющимся действительным числом.
- Если угол наклона прямой y=kx+b тупой, то соответствует условиям π2<α<π или 90°<α<180°, значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.
Секущей называют прямую, которая проходит через 2 точки функции f(x). Иначе говоря, секущая – это прямая, которая проводится через любые две точки графика заданной функции.
По рисунку видно, что АВ является секущей, а f(x) – черная кривая, α — красная дуга, означающая угол наклона секущей.
Когда угловой коэффициент прямой равняется тангенсу угла наклона, то видно, что тангенс из прямоугольного треугольника АВС можно найти по отношению противолежащего катета к прилежащему.
Получаем формулу для нахождения секущей вида:
k=tg α=BCAC=f(xB)-fxAxB-xA, где абсциссами точек А и В являются значения xA, xB, а f(xA), f(xB) — это значения функции в этих точках.
Очевидно, что угловой коэффициент секущей определен при помощи равенства k=f(xB)-f(xA)xB-xA или k=f(xA)-f(xB)xA-xB, причем уравнение необходимо записать как y=f(xB)-f(xA)xB-xA·x-xA+f(xA) или
y=f(xA)-f(xB)xA-xB·x-xB+f(xB).
Секущая делит график визуально на 3 части: слева от точки А, от А до В, справа от В. На располагаемом ниже рисунке видно, что имеются три секущие, которые считаются совпадающими, то есть задаются при помощи аналогичного уравнения.
По определению видно, что прямая и ее секущая в данном случае совпадают.
Секущая может множественно раз пересекать график заданной функции. Если имеется уравнение вида у=0 для секущей, тогда количество точек пересечения с синусоидой бесконечно.
Касательная к графику функции f(x) в точке x0; f(x0) называется прямая, проходящая через заданную точку x0; f(x0), с наличием отрезка, который имеет множество значений х, близких к x0.
Рассмотрим подробно на ниже приведенном примере. Тогда видно, что прямая, заданная функцией y=x+1, считается касательной к y=2x в точке с координатами (1; 2). Для наглядности, необходимо рассмотреть графики с приближенными к (1; 2) значениями. Функция y=2x обозначена черным цветом, синяя линия – касательная, красная точка – точка пересечения.
Очевидно, что y=2x сливается с прямой у=х+1.
Для определения касательной следует рассмотреть поведение касательной АВ при бесконечном приближении точки В к точке А. Для наглядности приведем рисунок.
Секущая АВ, обозначенная при помощи синей линии, стремится к положению самой касательной, а угол наклона секущей α начнет стремиться к углу наклона самой касательной αx.
Касательной к графику функции y=f(x) в точке А считается предельное положение секущей АВ при В стремящейся к А, то есть B→A.
Теперь перейдем к рассмотрению геометрического смысла производной функции в точке.
Геометрический смысл производной функции в точке
Перейдем к рассмотрению секущей АВ для функции f(x), где А и В с координатами x0, f(x0) и x0+∆x, f(x0+∆x), а ∆x обозначаем как приращение аргумента. Теперь функция примет вид ∆y=∆f(x)=f(x0+∆x)-f(∆x). Для наглядности приведем в пример рисунок.
Рассмотрим полученный прямоугольный треугольник АВС. Используем определение тангенса для решения, то есть получим отношение ∆y∆x=tg α. Из определения касательной следует, что lim∆x→0∆y∆x=tg αx. По правилу производной в точке имеем, что производную f(x) в точке x0 называют пределом отношений приращения функции к приращению аргумента, где ∆x→0, тогда обозначим как f(x0)=lim∆x→0∆y∆x.
Отсюда следует, что f'(x0)=lim∆x→0∆y∆x=tg αx=kx, где kx обозначают в качестве углового коэффициента касательной.
То есть получаем, что f’(x) может существовать в точке x0 причем как и касательная к заданному графику функции в точке касания равной x0, f0(x0), где значение углового коэффициента касательной в точке равняется производной в точке x0. Тогда получаем, что kx=f'(x0).
Геометрический смысл производной функции в точке в том, что дается понятие существования касательной к графику в этой же точке.
Уравнение касательной прямой
Чтобы записать уравнение любой прямой на плоскости, необходимо иметь угловой коэффициент с точкой, через которую она проходит. Его обозначение принимается как x0 при пересечении.
Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x0, f0(x0) принимает вид y=f'(x0)·x-x0+f(x0).
Имеется в виду, что конечным значением производной f'(x0) можно определить положение касательной, то есть вертикально при условии limx→x0+0f'(x)=∞ и limx→x0-0f'(x)=∞ или отсутствие вовсе при условии limx→x0+0f'(x)≠limx→x0-0f'(x).
Расположение касательной зависит от значения ее углового коэффициента kx=f'(x0). При параллельности к оси ох получаем, что kk=0, при параллельности к оу — kx=∞, причем вид уравнения касательной x=x0 возрастает при kx>0, убывает при kx<0.
Произвести составление уравнения касательной к графику функции y=ex+1+x33-6-33x-17-33 в точке с координатами (1; 3) с определением угла наклона.
Решение
По условию имеем, что функция определяется для всех действительных чисел. Получаем, что точка с координатами, заданными по условию, (1; 3) является точкой касания, тогда x0=-1, f(x0)=-3.
Необходимо найти производную в точке со значением -1. Получаем, что
y’=ex+1+x33-6-33x-17-33’==ex+1’+x33′-6-33x’-17-33’=ex+1+x2-6-33y'(x0)=y'(-1)=e-1+1+-12-6-33=33
Значение f’(x) в точке касания является угловым коэффициентом касательной, который равняется тангенсу наклона.
Тогда kx=tg αx=y'(x0)=33
Отсюда следует, что αx=arctg33=π6
Ответ: уравнение касательной приобретает вид
y=f'(x0)·x-x0+f(x0)y=33(x+1)-3y=33x-9-33
Для наглядности приведем пример в графической иллюстрации.
Черный цвет используется для графика исходной функции, синий цвет – изображение касательной, красная точка – точка касания. Рисунок, располагаемый справа, показывает в увеличенном виде.
Выяснить наличие существования касательной к графику заданной функции
y=3·x-15+1 в точке с координатами (1;1). Составить уравнение и определить угол наклона.
Решение
По условию имеем, что областью определения заданной функции считается множество всех действительных чисел.
Перейдем к нахождению производной
y’=3·x-15+1’=3·15·(x-1)15-1=35·1(x-1)45
Если x0=1, тогда f’(x) не определена, но пределы записываются как limx→1+035·1(x-1)45=35·1(+0)45=35·1+0=+∞ и limx→1-035·1(x-1)45=35·1(-0)45=35·1+0=+∞, что означает существование вертикальной касательной в точке (1;1).
Ответ: уравнение примет вид х=1, где угол наклона будет равен π2.
Для наглядности изобразим графически.
Найти точки графика функции y=115x+23-45×2-165x-265+3x+2, где
- Касательная не существует;
- Касательная располагается параллельно ох;
- Касательная параллельна прямой y=85x+4.
Решение
Необходимо обратить внимание на область определения. По условию имеем, что функция определена на множестве всех действительных чисел. Раскрываем модуль и решаем систему с промежутками x∈-∞; 2 и [-2; +∞). Получаем, что
y=-115×3+18×2+105x+176, x∈-∞; -2115×3-6×2+9x+12, x∈[-2; +∞)
Необходимо продифференцировать функцию. Имеем, что
y’=-115×3+18×2+105x+176′, x∈-∞; -2115×3-6×2+9x+12′, x∈[-2; +∞)⇔y’=-15(x2+12x+35), x∈-∞; -215×2-4x+3, x∈[-2; +∞)
Когда х=-2, тогда производная не существует, потому что односторонние пределы не равны в этой точке:
limx→-2-0y'(x)=limx→-2-0-15(x2+12x+35=-15(-2)2+12(-2)+35=-3limx→-2+0y'(x)=limx→-2+015(x2-4x+3)=15-22-4-2+3=3
Вычисляем значение функции в точке х=-2, где получаем, что
- y(-2)=115-2+23-45(-2)2-165(-2)-265+3-2+2=-2, то есть касательная в точке (-2;-2) не будет существовать.
- Касательная параллельна ох, когда угловой коэффициент равняется нулю. Тогда kx=tg αx=f'(x0). То есть необходимо найти значения таких х, когда производная функции обращает ее в ноль. То есть значения f’(x) и будут являться точками касания, где касательная является параллельной ох.
Когда x∈-∞; -2, тогда -15(x2+12x+35)=0, а при x∈(-2; +∞) получаем 15(x2-4x+3)=0.
Решим:
-15(x2+12x+35)=0D=122-4·35=144-140=4×1=-12+42=-5∈-∞; -2×2=-12-42=-7∈-∞; -2 15(x2-4x+3)=0D=42-4·3=4×3=4-42=1∈-2; +∞x4=4+42=3∈-2; +∞
Вычисляем соответствующие значения функции
y1=y-5=115-5+23-45-52-165-5-265+3-5+2=85y2=y(-7)=115-7+23-45(-7)2-165-7-265+3-7+2=43y3=y(1)=1151+23-45·12-165·1-265+31+2=85y4=y(3)=1153+23-45·32-165·3-265+33+2=43
Отсюда -5; 85, -4; 43, 1; 85, 3; 43 считаются искомыми точками графика функции.
Рассмотрим графическое изображение решения.
Черная линия – график функции, красные точки – точки касания.
- Когда прямые располагаются параллельно, то угловые коэффициенты равны. Тогда необходимо заняться поиском точек графика функции, где угловой коэффициент будет равняться значению 85 . Для этого нужно решить уравнение вида y'(x)=85. Тогда, если x∈-∞; -2, получаем, что -15(x2+12x+35)=85, а если x∈(-2; +∞), тогда 15(x2-4x+3)=85.
Первое уравнение не имеет корней, так как дискриминант меньше нуля. Запишем, что
-15×2+12x+35=85×2+12x+43=0D=122-4·43=-28<0
Другое уравнение имеет два действительных корня, тогда
15(x2-4x+3)=85×2-4x-5=0D=42-4·(-5)=36×1=4-362=-1∈-2; +∞x2=4+362=5∈-2; +∞
Перейдем к нахождению значений функции. Получаем, что
y1=y(-1)=115-1+23-45(-1)2-165(-1)-265+3-1+2=415y2=y(5)=1155+23-45·52-165·5-265+35+2=83
Точки со значениями -1; 415, 5; 83 являются точками, в которых касательные параллельны прямой y=85x+4.
Ответ: черная линия – график функции, красная линия – график y=85x+4, синяя линия – касательные в точках -1; 415, 5; 83.
Возможно существование бесконечного количества касательных для заданных функций.
Написать уравнения всех имеющихся касательных функции y=3cos32x-π4-13, которые располагаются перпендикулярно прямой y=-2x+12.
Решение
Для составления уравнения касательной необходимо найти коэффициент и координаты точки касания, исходя из условия перпендикулярности прямых. Определение звучит так: произведение угловых коэффициентов, которые перпендикулярны прямым, равняется -1, то есть записывается как kx·k⊥=-1. Из условия имеем, что угловой коэффициент располагается перпендикулярно прямой и равняется k⊥=-2, тогда kx=-1k⊥=-1-2=12.
Теперь необходимо найти координаты точек касания. Нужно найти х, после чего его значение для заданной функции. Отметим, что из геометрического смысла производной в точке
x0 получаем, что kx=y'(x0). Из данного равенства найдем значения х для точек касания.
Получаем, что
y'(x0)=3cos32x0-π4-13’=3·-sin32x0-π4·32×0-π4’==-3·sin32x0-π4·32=-92·sin32x0-π4⇒kx=y'(x0)⇔-92·sin32x0-π4=12⇒sin32x0-π4=-19
Это тригонометрическое уравнение будет использовано для вычисления ординат точек касания.
32×0-π4=arcsin-19+2πk или 32×0-π4=π-arcsin-19+2πk
32×0-π4=-arcsin19+2πk или 32×0-π4=π+arcsin19+2πk
x0=23π4-arcsin19+2πk или x0=235π4+arcsin19+2πk, k∈Z
Z- множество целых чисел.
Найдены х точек касания. Теперь необходимо перейти к поиску значений у:
y0=3cos32x0-π4-13
y0=3·1-sin232x0-π4-13 или y0=3·-1-sin232x0-π4-13
y0=3·1—192-13 или y0=3·-1—192-13
y0=45-13 или y0=-45+13
Отсюда получаем, что 23π4-arcsin19+2πk; 45-13, 235π4+arcsin19+2πk; -45+13 являются точками касания.
Ответ: необходимы уравнения запишутся как
y=12x-23π4-arcsin19+2πk+45-13,y=12x-235π4+arcsin19+2πk-45+13, k∈Z
Для наглядного изображения рассмотрим функцию и касательную на координатной прямой.
Рисунок показывает, что расположение функции идет на промежутке [-10;10], где черная прямя – график функции, синие линии – касательные, которые располагаются перпендикулярно заданной прямой вида y=-2x+12. Красные точки – это точки касания.
Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе
Канонические уравнения кривых 2 порядка не являются однозначными функциями. Уравнения касательных для них составляются по известным схемам.
Касательная к окружности
Для задания окружности с центром в точке xcenter; ycenter и радиусом R применяется формула x-xcenter2+y-ycenter2=R2.
Данное равенство может быть записано как объединение двух функций:
y=R2-x-xcenter2+ycentery=-R2-x-xcenter2+ycenter
Первая функция располагается вверху, а вторая внизу, как показано на рисунке.
Для составления уравнения окружности в точке x0; y0, которая располагается в верхней или нижней полуокружности, следует найти уравнение графика функции вида y=R2-x-xcenter2+ycenter или y=-R2-x-xcenter2+ycenter в указанной точке.
Когда в точках xcenter; ycenter+R и xcenter; ycenter-R касательные могут быть заданы уравнениями y=ycenter+R и y=ycenter-R, а в точках xcenter+R; ycenter и
xcenter-R; ycenter будут являться параллельными оу, тогда получим уравнения вида x=xcenter+R и x=xcenter-R.
Касательная к эллипсу
Когда эллипс имеет центр в точке xcenter; ycenter с полуосями a и b, тогда он может быть задан при помощи уравнения x-xcenter2a2+y-ycenter2b2=1.
Эллипс и окружность могут быть обозначаться при помощи объединения двух функций, а именно: верхнего и нижнего полуэллипса. Тогда получаем, что
y=ba·a2-(x-xcenter)2+ycentery=-ba·a2-(x-xcenter)2+ycenter
Если касательные располагаются на вершинах эллипса, тогда они параллельны ох или оу. Ниже для наглядности рассмотрим рисунок.
Написать уравнение касательной к эллипсу x-324+y-5225=1 в точках со значениями x равного х=2.
Решение
Необходимо найти точки касания, которые соответствуют значению х=2. Производим подстановку в имеющееся уравнение эллипса и получаем, что
x-324x=2+y-5225=114+y-5225=1⇒y-52=34·25⇒y=±532+5
Тогда 2; 532+5 и 2; -532+5 являются точками касания, которые принадлежат верхнему и нижнему полуэллипсу.
Перейдем к нахождению и разрешению уравнения эллипса относительно y. Получим, что
x-324+y-5225=1y-5225=1-x-324(y-5)2=25·1-x-324y-5=±5·1-x-324y=5±524-x-32
Очевидно, что верхний полуэллипс задается с помощью функции вида y=5+524-x-32, а нижний y=5-524-x-32.
Применим стандартный алгоритм для того, чтобы составить уравнение касательной к графику функции в точке. Запишем, что уравнение для первой касательной в точке 2; 532+5 будет иметь вид
y’=5+524-x-32’=52·124-(x-3)2·4-(x-3)2’==-52·x-34-(x-3)2⇒y'(x0)=y'(2)=-52·2-34-(2-3)2=523⇒y=y'(x0)·x-x0+y0⇔y=523(x-2)+532+5
Получаем, что уравнение второй касательной со значением в точке
2; -532+5 принимает вид
y’=5-524-(x-3)2’=-52·124-(x-3)2·4-(x-3)2’==52·x-34-(x-3)2⇒y'(x0)=y'(2)=52·2-34-(2-3)2=-523⇒y=y'(x0)·x-x0+y0⇔y=-523(x-2)-532+5
Графически касательные обозначаются так:
Касательная к гиперболе
Когда гипербола имеет центр в точке xcenter; ycenter и вершины xcenter+α; ycenter и xcenter-α; ycenter, имеет место задание неравенства x-xcenter2α2-y-ycenter2b2=1, если с вершинами xcenter; ycenter+b и xcenter; ycenter-b, тогда задается при помощи неравенства x-xcenter2α2-y-ycenter2b2=-1.
Гипербола может быть представлена в виде двух объединенных функций вида
y=ba·(x-xcenter)2-a2+ycentery=-ba·(x-xcenter)2-a2+ycenter или y=ba·(x-xcenter)2+a2+ycentery=-ba·(x-xcenter)2+a2+ycenter
В первом случае имеем, что касательные параллельны оу, а во втором параллельны ох.
Отсюда следует, что для того, чтобы найти уравнение касательной к гиперболе, необходимо выяснить, какой функции принадлежит точка касания. Чтобы определить это, необходимо произвести подстановку в уравнения и проверить их на тождественность.
Составить уравнение касательной к гиперболе x-324-y+329=1 в точке 7; -33-3.
Решение
Необходимо преобразовать запись решения нахождения гиперболы при помощи 2 функций. Получим, что
x-324-y+329=1⇒y+329=x-324-1⇒y+32=9·x-324-1⇒y+3=32·x-32-4 или y+3=-32·x-32-4⇒y=32·x-32-4-3y=-32·x-32-4-3
Необходимо выявить, к какой функции принадлежит заданная точка с координатами 7; -33-3.
Очевидно, что для проверки первой функции необходимо y(7)=32·(7-3)2-4-3=33-3≠-33-3, тогда точка графику не принадлежит, так как равенство не выполняется.
Для второй функции имеем, что y(7)=-32·(7-3)2-4-3=-33-3≠-33-3, значит, точка принадлежит заданному графику. Отсюда следует найти угловой коэффициент.
Получаем, что
y’=-32·(x-3)2-4-3’=-32·x-3(x-3)2-4⇒kx=y'(x0)=-32·x0-3×0-32-4×0=7=-32·7-37-32-4=-3
Ответ: уравнение касательной можно представить как
y=-3·x-7-33-3=-3·x+43-3
Наглядно изображается так:
Касательная к параболе
Чтобы составить уравнение касательной к параболе y=ax2+bx+c в точке x0, y(x0), необходимо использовать стандартный алгоритм, тогда уравнение примет вид y=y'(x0)·x-x0+y(x0). Такая касательная в вершине параллельна ох.
Следует задать параболу x=ay2+by+c как объединение двух функций. Поэтому нужно разрешить уравнение относительно у. Получаем, что
x=ay2+by+c⇔ay2+by+c-x=0D=b2-4a(c-x)y=-b+b2-4a(c-x)2ay=-b-b2-4a(c-x)2a
Графически изобразим как:
Для выяснения принадлежности точки x0, y(x0) функции, нежно действовать по стандартному алгоритму. Такая касательная будет параллельна оу относительно параболы.
Написать уравнение касательной к графику x-2y2-5y+3, когда имеем угол наклона касательной 150°.
Решение
Начинаем решение с представления параболы в качестве двух функций. Получим, что
-2y2-5y+3-x=0D=(-5)2-4·(-2)·(3-x)=49-8xy=5+49-8x-4y=5-49-8x-4
Значение углового коэффициента равняется значению производной в точке x0 этой функции и равняется тангенсу угла наклона.
Получаем:
kx=y'(x0)=tg αx=tg 150°=-13
Отсюда определим значение х для точек касания.
Первая функция запишется как
y’=5+49-8x-4’=149-8x⇒y'(x0)=149-8×0=-13⇔49-8×0=-3
Очевидно, что действительных корней нет, так как получили отрицательное значение. Делаем вывод, что касательной с углом 150° для такой функции не существует.
Вторая функция запишется как
y’=5-49-8x-4’=-149-8x⇒y'(x0)=-149-8×0=-13⇔49-8×0=-3×0=234⇒y(x0)=5-49-8·234-4=-5+34
Имеем, что точки касания — 234; -5+34.
Ответ: уравнение касательной принимает вид
y=-13·x-234+-5+34
Графически изобразим это таким образом:
п.1. Уравнение касательной
Рассмотрим кривую (y=f(x)).
Выберем на ней точку A с координатами ((x_0,y_0)), проведем касательную AB в этой точке.
Как было показано в §42 данного справочника, угловой коэффициент касательной равен производной от функции f в точке (x_0): $$ k=f'(x_0) $$ Уравнение прямой AB, проведенной через две точки: ((y_B-y_A)=k(x_B-x_A)).
Для (A(x_0,y_0), B(x,y)) получаем: begin{gather*} (y-y_0)=k(x-x_0)\ y=k(x-x_0)+y_0\ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) end{gather*}
Уравнение касательной к кривой (y=f(x)) в точке (x_0) имеет вид: $$ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) $$ при условии, что производная (f'(x_0)=aneinfty) — существует и конечна.
Чтобы записать уравнение касательной с угловым коэффициентом в виде (y=kx+b), нужно раскрыть скобки и привести подобные: $$ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)=underbrace{f'(x_0)}_{=k}x+underbrace{f(x_0)-f'(x_0)cdot x_0}_{=b} $$
Уравнение касательной с угловым коэффициентом: begin{gather*} y=kx+b\ k=f'(x_0), b=f(x_0)-f'(x_0)cdot x_0 end{gather*}
п.2. Алгоритм построения касательной
На входе: уравнение кривой (y=f(x)), абсцисса точки касания (x_0).
Шаг 1. Найти значение функции в точке касания (f(x_0))
Шаг 2. Найти общее уравнение производной (f’ (x))
Шаг 3. Найти значение производной в точке касания (f'(x_0 ))
Шаг 4. Записать уравнение касательной (y=f’ (x_0)(x-x_0)+f(x_0)), привести его к виду (y=kx+b)
На выходе: уравнение касательной в виде (y=kx+b)
Например:
 |
Пусть (f(x)=x^2+3). Найдем касательную к этой параболе в точке (x_0=1). (f(x_0)=1^2+3=4 ) |
п.3. Вертикальная касательная
В случае, если производная (f'(x_0)=pminfty) — существует, но бесконечна, в точке (x_0) проходит вертикальная касательная (x=x_0).
Внимание!
Не путайте вертикальные касательные с вертикальными асимптотами.
Вертикальная асимптота проходит через точку разрыва 2-го рода (x_0notin D), в которой функция не определена и производная не существует. График функции приближается к асимптоте на бесконечности, но у них никогда не бывает общих точек.
А вертикальная касательная проходит через точку (x_0in D), входящую в область определения. График функции и касательная имеют одну общую точку ((x_0,y_0)).
Вертикальные касательные характерны для радикалов вида (y=sqrt[n]{x}).
Например:
 |
Пусть (f(x)=sqrt[5]{x-1}+1). Найдем касательную к этой кривой в точке (x_0=1). (f(x_0)=sqrt[5]{1-1}+1=1) |
п.4. Примеры
Пример 1. Для функции (f(x)=2x^2+4x)
a) напишите уравнения касательных, проведенных к графику функции в точках его пересечения с осью OX.
 |
Находим точки пересечения, решаем уравнение: $$ 2x^2+4x=0Rightarrow 2x(x+2)=0Rightarrow left[ begin{array}{l} x=0\ x=-2 end{array} right. $$ Две точки на оси: (0;0) и (-2;0). Касательная в точке (x_0=0): begin{gather*} f(x_0)=0, f'(x)=4x+4\ f'(x_0)=4cdot 0+4=4\ y=4(x-0)+0=4x end{gather*} Касательная в точке (x_0=-2): begin{gather*} f(x_0)=0, f'(x)=4x+4\ f'(x_0)=4cdot (-2)+4=-4\ y=-4(x+2)+0=-4x-8 end{gather*} |
б) Найдите, в какой точке касательная образует с положительным направлением оси OX угол 45°. Напишите уравнение этой касательной.
 |
Общее уравнение касательной: (f'(x)=4x+4) По условию (f'(x_0)=tgalpha=tg45^circ=1) Решаем уравнение: $$ 4x_0+4=1Rightarrow 4x_0=-3Rightarrow x_0=-frac34 $$ Точка касания (x_0=-frac34) begin{gather*} f(x_0)=2cdotleft(-frac34right)^2+4cdotleft(-frac34right)=frac98-3=-frac{15}{8} end{gather*} Уравнение касательной: begin{gather*} y=1cdotleft(x+frac34right)-frac{15}{8}=x-frac98 end{gather*} |
в) найдите, в какой точке касательная будет параллельна прямой (2x+y-6=0). Напишите уравнение этой касательной.
 |
Найдем угловой коэффициент заданной прямой: (y=-2x+6Rightarrow k=-2). Касательная должна быть параллельной, значит, её угловой коэффициент тоже (k=-2). Получаем уравнение: begin{gather*} f'(x_0)=-2\ 4x_0+4=-2Rightarrow 4x_0=-6Rightarrow x_0=-frac32 end{gather*} Точка касания (x_0=-frac32) begin{gather*} f(x_0)=2cdotleft(-frac32right)^2+4cdotleft(-frac32right)=\ =frac92-6=-frac32 end{gather*} Уравнение касательной: begin{gather*} y=-2cdotleft(x+frac32right)-frac32=-2x-frac92 end{gather*} Или, в каноническом виде: begin{gather*} 2x+y+frac92=0 end{gather*} |
г) в какой точке функции можно провести горизонтальную касательную? Напишите уравнение этой касательной.
 |
У горизонтальной прямой (k=0). Получаем уравнение: (f'(x_0)=0). begin{gather*} 4x_0+4=0Rightarrow 4x_0=-4Rightarrow x_0=-1 end{gather*} Точка касания (x_0=-1) begin{gather*} f(x_0)=2cdot(-1)^2+4cdot(-1)=-2 end{gather*} Уравнение касательной: begin{gather*} y=0cdot(x+1)-2=-2 end{gather*} |
Ответ: а) (y=4x) и (y=-4x-8); б) (y=x-frac98); в) (2x+y+frac92=0); г) (y=-2)
Пример 2. Напишите уравнение касательной к графику функции в заданной точке:
a) ( f(x)=frac5x+frac x5, x_0=4 ) begin{gather*} f(x_0)=frac54+frac45=frac{25+16}{20}=frac{41}{20}\ f'(x)=left(frac5xright)’+left(frac x5right)’=-frac{5}{x^2}+frac15=frac{-25+x^2}{5x^2}=frac{x^2-25}{5x^2}\ f'(x_0)=frac{4^2-25}{5cdot 4^2}=-frac{9}{80} end{gather*} Уравнение касательной: $$ y=-frac{9}{80}(x-4)+frac{41}{20}=-frac{9}{80}x+frac{9}{20}+frac{41}{20}=-frac{9}{80}x+2,5 $$
б) ( f(x)=frac{x^2+5}{3-x}, x_0=2 ) begin{gather*} f(x_0)=frac{2^2+5}{3-2}=frac91=9\ f'(x)=frac{(x^2+5)'(3-x)-(x^2+5)(3-x)’}{(3-x)^2}=frac{2x(3-x)+(x^2+5)}{(3-x)^2}=\ =frac{6x-2x^2+x^2+5}{(3-x)^2}=frac{-x^2+6x+5}{(3-x)^2}\ f'(x_0)=frac{-2^2+6cdot 2+5}{(3-2)^2}=13 end{gather*} Уравнение касательной: $$ y=13(x-2)+9=13x-26+9=13x-17 $$
Пример 3*. Найдите точку, в которой касательная к графику функции (f(x)=frac{x^2+2}{x+3}-x) перпендикулярна прямой (y=11x+3). Напишите уравнение этой касательной.
Угловой коэффициент данной прямой (k_1=11).
Угловой коэффициент перпендикулярной прямой (k_2=-frac{1}{k_1}=-frac{1}{11}) begin{gather*} f'(x)=left(frac{x^2+2}{x+3}right)’-x’=frac{2x(x+3)-(x^2+2)cdot 1}{(x+3)^2}-1=frac{2x^2+6x-x^2-2-(x+3)^2}{(x+3)^2}=\ =frac{x^2+6x-2-x^2-6x-9}{(x+3)^2}=- frac{11}{(x+3)^2} end{gather*} В точке касания: begin{gather*} f'(x_0)=k_2Rightarrow=-frac{11}{(x+3)^2}=-frac{1}{11}Rightarrow (x+3)^2=121Rightarrow (x+3)^2-11^2=0Rightarrow\ Rightarrow (x+14)(x+8)=0Rightarrow left[ begin{array}{l} x=-14\ x=8 end{array} right. end{gather*} 
Уравнение касательной при (x_0=-14) begin{gather*} f(x_0)=frac{(-14)^2+2}{-14+3}+14=frac{198}{-11}+14=-18+14=-4\ y=-frac{1}{11}(x+14)-4=-frac{x+58}{11} end{gather*} Уравнение касательной при (x_0=8) begin{gather*} f(x_0)=frac{8^2+2}{8+3}-8=frac{66}{11}-8=-2\ y=-frac{1}{11}(x-8)-2=-frac{x+14}{11} end{gather*}
Ответ: точка касания (-14;-4), уравнение (y=-frac{x+58}{11})
и точка касания (8;-2), уравнение (-frac{x+14}{11})
Пример 4*. Найдите уравнения общих касательных к параболам (y=x^2-5x+6) и (y=x^2+x+1). Укажите точки касания.
Найдем производные функций: begin{gather*} f_1′(x)=2x-5, f_2′(x)=2x+1 end{gather*} Пусть a – абсцисса точки касания для первой параболы, b — для второй.
Запишем уравнения касательных (g_1(x)) и (g_2(x)) через эти переменные. begin{gather*} g_1(x)=f_1′(a)(x-a)+f_1(a)=(2a-5)(x-a)+a^2-5a+6=\ =(2a-5)x-2a^2+5a+a^2-5a+6=(2a-5)x+(6-a^2)\ \ g_2(x)=f_2′(b)(x-b)+f_2(b)=(2b+1)(x-b)+b^2+b+1=\ =(2b+1)x-2b^2-b+b^2+b+1=(2b+1)x+(1-b^2) end{gather*} Для общей касательной должны быть равны угловые коэффициенты и свободные члены. Получаем систему уравнений: begin{gather*} begin{cases} 2a-5=2b+1\ 6-a^2=1-b^2 end{cases} Rightarrow begin{cases} 2(a-b)=6\ a^2-b^2=5 end{cases} Rightarrow begin{cases} a-b=3\ (a-b)(a+b)=5 end{cases} Rightarrow begin{cases} a-b=3\ a+b=frac53 end{cases} Rightarrow \ Rightarrow begin{cases} 2a=3+frac53\ 2b=frac53-3 end{cases} Rightarrow begin{cases} a=frac73\ b=-frac23 end{cases} end{gather*} Находим угловой коэффициент и свободный член из любого из двух уравнений касательных: $$ k=2a-5=2cdotfrac73-5=-frac13, b=6-a^2=6-frac{49}{9}=frac59 $$ Уравнение общей касательной: $$ y=-frac x3+frac59 $$ 
Точки касания: begin{gather*} a=frac73, f_1(a)=left(frac73right)^2-5cdotfrac73+6=frac{49}{9}-frac{35}{3}+6=frac{49-105+54}{9}=-frac29\ b=-frac23, f_2(b)=left(-frac23right)^2-frac23+1=frac49-frac23+1frac{4-6+9}{9}=frac79 end{gather*}
Ответ: касательная (y=-frac x3+frac59); точки касания (left(frac73;-frac29right)) и (left(-frac23;frac79right))
Пример 5*. Докажите, что кривая (y=x^4+3x^2+2x) не пересекается с прямой (y=2x-1), и найдите расстояние между их ближайшими точками.
Решим уравнение: (x^4+3x^2+2x=2x-1) begin{gather*} x^4+3x^2+1=0Rightarrow D=3^2-4=5Rightarrow x^2=frac{-3pmsqrt{5}}{2} end{gather*} Оба корня отрицательные, а квадрат не может быть отрицательным числом.
Значит, (xinvarnothing) — решений нет, кривая и прямая не пересекаются.
Что и требовалось доказать.
Чтобы найти расстояние, необходимо построить касательную к кривой с тем же угловым коэффициентом (k=2), то и y данной прямой. Тогда искомым расстоянием будет расстояние от точки касания до прямой (y=2x-1).
Строим уравнение касательной. По условию: (f'(x)=4x^3+6x+2=2) begin{gather*} 4x^3+6x=0Rightarrow 2x(2x^2+3)=0Rightarrow left[ begin{array}{l} x=0\ 2x^2+3=0 end{array} right. Rightarrow left[ begin{array}{l} x=0\ x^2=-frac32 end{array} right. Rightarrow left[ begin{array}{l} x=0\ xinvarnothing end{array} right. Rightarrow x=0 end{gather*} Точка касания (x_0=0, y_0=0^4+3cdot 0^2+2cdot 0=0).
Уравнение касательной: (y=2(x-0)+0=2x)
 |
Ищем расстояние между двумя параллельными прямыми: (y=2x) и (y=2x-1). Перпендикуляр из точки (0;0) на прямую (y=2x-1) имеет угловой коэффициент (k=-frac12), его уравнение: (y=-frac12 x+b). Т.к. точка (0;0) принадлежит этому перпендикуляру, он проходит через начало координат и (b=0). |
Уравнение перпендикуляра: (y=-frac x2).
Находим точку пересечения прямой (y=2x-1) и перпендикуляра (y=-frac x2): begin{gather*} 2x-1=-frac x2Rightarrow 2,5x=1Rightarrow x=0,4; y=-frac{0,4}{2}=-0,2 end{gather*} Точка пересечения A(0,4;-0,2).
Находим расстояние (OA=sqrt{0,4^2+(-0,2)^2}=0,2sqrt{2^2+1^2}=frac{sqrt{5}}{5})
Ответ: (frac{sqrt{5}}{5})
Уравнение касательной к графику функции
П. Романов, Т. Романова,г. Магнитогорск,
Челябинская обл.
Уравнение
касательной к графику функции
Статья опубликована при поддержке Гостиничного комплекса «ИТАКА+». Останавливаясь в городе судостроителей Северодвинске, вы не столкнетесь с проблемой поиска временного жилья. Тут, на сайте гостиничного комплекса «ИТАКА+» http://itakaplus.ru, вы сможете легко и быстро снять квартиру в городе, на любой срок, с посуточной оплатой.
На современном этапе развития
образования в качестве одной из основных его
задач выступает формирование творчески мыслящей
личности. Способность же к творчеству у учащихся
может быть развита лишь при условии
систематического привлечения их к основам
исследовательской деятельности. Фундаментом для
применения учащимися своих творческих сил,
способностей и дарований являются
сформированные полноценные знания и умения. В
связи с этим проблема формирования системы
базовых знаний и умений по каждой теме школьного
курса математики имеет немаловажное значение.
При этом полноценные умения должны являться
дидактической целью не отдельных задач, а
тщательно продуманной их системы. В самом
широком смысле под системой понимается
совокупность взаимосвязанных взаимодействующих
элементов, обладающая целостностью и устойчивой
структурой.
Рассмотрим методику обучения
учащихся составлению уравнения касательной к
графику функции. По существу, все задачи на
отыскание уравнения касательной сводятся к
необходимости отбора из множества (пучка,
семейства) прямых тех из них, которые
удовлетворяют определенному требованию
– являются касательными к графику некоторой
функции. При этом множество прямых, из которого
осуществляется отбор, может быть задано двумя
способами:
а) точкой, лежащей на
плоскости xOy (центральный пучок прямых);
б) угловым коэффициентом (параллельный пучок
прямых).
В связи с этим при изучении
темы «Касательная к графику функции» с целью
вычленения элементов системы нами были выделены
два типа задач:
1) задачи на касательную,
заданную точкой, через которую она проходит;
2) задачи на касательную, заданную ее угловым
коэффициентом.
Обучение решению задач на
касательную осуществлялось при помощи
алгоритма, предложенного А.Г. Мордковичем [2].
Его принципиальное отличие от уже известных
заключается в том, что абсцисса точки касания
обозначается буквой a (вместо x0), в связи с чем
уравнение касательной приобретает вид
y = f(a) + f ‘(a)(x – a)
(сравните с y = f(x0) + f ‘(x0)(x
– x0)). Этот методический прием, на наш
взгляд, позволяет учащимся быстрее и легче
осознать, где в общем уравнении касательной
записаны координаты текущей точки, а где
– точки касания.
Алгоритм
составления уравнения касательной к графику
функции y = f(x)
1. Обозначить буквой a
абсциссу точки касания.
2. Найти f(a).
3. Найти f ‘(x) и f ‘(a).
4. Подставить найденные числа a, f(a), f ‘(a) в
общее уравнение касательной y = f(a) = f ‘(a)(x – a).
Этот алгоритм может быть
составлен на основе самостоятельного выделения
учащимися операций и последовательности их
выполнения.
Практика показала, что
последовательное решение каждой из ключевых
задач при помощи алгоритма позволяет
формировать умения написания уравнения
касательной к графику функции поэтапно, а шаги
алгоритма служат опорными пунктами действий.
Данный подход соответствует теории поэтапного
формирования умственных действий, разработанной
П.Я. Гальпериным и Н.Ф. Талызиной [3].
В первом типе задач были
выделены две ключевые задачи:
- касательная проходит через
точку, лежащую на кривой (задача 1); - касательная проходит через
точку, не лежащую на кривой (задача 2).
Задача 1. Составьте уравнение
касательной к графику функции 
в точке M(3; – 2).
Решение. Точка M(3; – 2)
является точкой касания, так как 
1. a = 3 – абсцисса точки
касания.
2. f(3) = – 2.
3. f ‘(x) = x2 – 4, f ‘(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – уравнение
касательной.
Задача 2. Напишите уравнения
всех касательных к графику функции y = – x2
– 4x + 2, проходящих через точку M(– 3; 6).
Решение. Точка M(– 3; 6) не
является точкой касания, так как f(– 3) 6 (рис. 2).
1. a – абсцисса точки
касания.
2. f(a) = – a2 – 4a + 2.
3. f ‘(x) = – 2x – 4, f ‘(a) = – 2a – 4.
4. y = – a2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a)
– уравнение касательной.
Касательная проходит через
точку M(– 3; 6), следовательно, ее координаты
удовлетворяют уравнению касательной.
6 = – a2 – 4a + 2 – 2(a +
2)(– 3 – a),
a2 + 6a + 8 = 0 ^ a1 = – 4, a2 = – 2.
Если a = – 4, то уравнение
касательной имеет вид y = 4x + 18.
Если a = – 2, то уравнение
касательной имеет вид y = 6.
Во втором типе ключевыми
задачами будут следующие:
- касательная параллельна
некоторой прямой (задача 3); - касательная проходит под
некоторым углом к данной прямой (задача 4).
Задача 3. Напишите уравнения
всех касательных к графику функции y = x3 – 3x2
+ 3, параллельных прямой y = 9x + 1.
Решение.
1. a – абсцисса точки
касания.
2. f(a) = a3 – 3a2 + 3.
3. f ‘(x) = 3x2 – 6x, f ‘(a) = 3a2 – 6a.
Но, с другой стороны, f ‘(a) = 9
(условие параллельности). Значит, надо решить
уравнение 3a2 – 6a = 9. Его корни a = – 1, a = 3
(рис. 3).
4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f ‘(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);
y = 9x + 8 – уравнение
касательной;
1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f ‘(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);
y = 9x – 24 – уравнение
касательной.
Задача 4. Напишите уравнение
касательной к графику функции y = 0,5x2 – 3x + 1,
проходящей под углом 45° к прямой y = 0 (рис. 4).
Решение. Из условия f ‘(a) =
tg 45° найдем a: a – 3 = 1 ^ a = 4.
1. a = 4 – абсцисса точки
касания.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f ‘(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).
y = x – 7 – уравнение
касательной.
Несложно показать, что
решение любой другой задачи сводится к решению
одной или нескольких ключевых задач. Рассмотрим
в качестве примера следующие две задачи.
1. Напишите уравнения
касательных к параболе y = 2x2 – 5x – 2, если
касательные пересекаются под прямым углом и одна
из них касается параболы в точке с абсциссой 3
(рис. 5).
Решение. Поскольку дана
абсцисса точки касания, то первая часть решения
сводится к ключевой задаче 1.
1. a = 3 – абсцисса точки
касания одной из сторон прямого угла.
2. f(3) = 1.
3. f ‘(x) = 4x – 5, f ‘(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – уравнение первой
касательной.
Пусть a – угол наклона первой
касательной. Так как касательные
перпендикулярны, то 
– угол наклона второй касательной. Из
уравнения y = 7x – 20 первой касательной имеем tg a = 7. Найдем
Это значит, что угловой
коэффициент второй касательной равен 
.
Дальнейшее решение сводится к
ключевой задаче 3.
Пусть B(c; f(c)) есть точка
касания второй прямой, тогда
1.
– абсцисса второй точки касания.
2.
3.
4.
– уравнение
второй касательной.
– абсцисса второй точки касания.
– уравнениеПримечание. Угловой
коэффициент касательной может быть найден проще,
если учащимся известно соотношение
коэффициентов перпендикулярных прямых k1•k2
= – 1.
2. Напишите уравнения всех
общих касательных к графикам функций
Решение. Задача сводится к
отысканию абсцисс точек касания общих
касательных, то есть к решению ключевой задачи 1 в
общем виде, составлению системы уравнений и
последующему ее решению (рис. 6).
1. Пусть a – абсцисса
точки касания, лежащей на графике функции y = x2
+ x + 1.
2. f(a) = a2 + a + 1.
3. f ‘(a) = 2a + 1.
4. y = a2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a2.
1. Пусть c – абсцисса
точки касания, лежащей на графике функции
2.
3. f ‘(c) = c.
4.
Так как касательные общие, то
Итак, y = x + 1 и y = – 3x – 3
– общие касательные.
Основная цель рассмотренных
задач – подготовить учащихся к
самостоятельному распознаванию типа ключевой
задачи при решении более сложных задач,
требующих определенных исследовательских
умений (умения анализировать, сравнивать,
обобщать, выдвигать гипотезу и т. д.). К числу
таких задач можно отнести любую задачу, в которую
ключевая задача входит как составляющая.
Рассмотрим в качестве примера задачу (обратную
задаче 1) на нахождение функции по семейству ее
касательных.
3. При каких b и c прямые y = x и
y = – 2x являются касательными к графику функции
y = x2 + bx + c?
Решение.
Пусть t – абсцисса точки
касания прямой y = x с параболой y = x2 + bx + c; p
– абсцисса точки касания прямой y = – 2x с
параболой y = x2 + bx + c. Тогда уравнение
касательной y = x примет вид y = (2t + b)x + c – t2, а
уравнение касательной y = – 2x примет вид y = (2p +
b)x + c – p2.
Составим и решим систему
уравнений
Ответ: 
Задачи для
самостоятельного решения
1. Напишите уравнения
касательных, проведенных к графику функции y = 2x2
– 4x + 3 в точках пересечения графика с прямой y = x +
3.
Ответ: y = – 4x + 3, y = 6x – 9,5.
2. При каких значениях a
касательная, проведенная к графику функции y = x2
– ax в точке графика с абсциссой x0 = 1,
проходит через точку M(2; 3)?
Ответ: a = 0,5.
3. При каких значениях p
прямая y = px – 5 касается кривой y = 3x2 – 4x – 2?
Ответ: p1 = – 10, p2
= 2.
4. Найдите все общие точки
графика функции y = 3x – x3 и касательной,
проведенной к этому графику через точку P(0; 16).
Ответ: A(2; – 2), B(– 4; 52).
5. Найдите кратчайшее
расстояние между параболой y = x2 + 6x + 10 и
прямой 
Ответ: 
6. На кривой y = x2 – x + 1
найдите точку, в которой касательная к графику
параллельна прямой y – 3x + 1 = 0.
Ответ: M(2; 3).
7. Напишите уравнение
касательной к графику функции y = x2 + 2x –
| 4x |, которая касается его в двух точках.
Сделайте чертеж.
Ответ: y = 2x – 4.
8. Докажите, что прямая y = 2x
– 1 не пересекает кривую y = x4 + 3x2 + 2x.
Найдите расстояние между их ближайшими точками.
Ответ: 
9. На параболе y = x2
взяты две точки с абсциссами x1 = 1, x2 = 3.
Через эти точки проведена секущая. В какой точке
параболы касательная к ней будет параллельна
проведенной секущей? Напишите уравнения секущей
и касательной.
Ответ: y = 4x – 3 – уравнение
секущей; y = 4x – 4 – уравнение касательной.
10. Найдите угол q между касательными
к графику функции y = x3 – 4x2 + 3x + 1,
проведенными в точках с абсциссами 0 и 1.
Ответ: q = 45°.
11. В каких точках
касательная к графику функции 
образует с осью Ox угол в 135°?
Ответ: A(0; – 1), B(4; 3).
12. В точке A(1; 
к кривой 
проведена
касательная. Найдите длину отрезка касательной,
заключенного между осями координат.
Ответ: 
13. Напишите уравнение всех
общих касательных к графикам функций y = x2 –
x + 1 и y = 2x2 – x + 0,5.
Ответ: y = – 3x и y = x.
14. Найдите расстояние между
касательными к графику функции 
параллельными оси абсцисс.
Ответ: 
15. Определите, под какими
углами парабола y = x2 + 2x – 8 пересекает ось
абсцисс.
Ответ: q1 = arctg 6, q2 = arctg (– 6).
16. На графике функции 
найдите все
точки, касательная в каждой из которых к этому
графику пересекает положительные полуоси
координат, отсекая от них равные отрезки.
Ответ: A(– 3; 11).
17. Прямая y = 2x + 7 и парабола y
= x2 – 1 пересекаются в точках M и N. Найдите
точку K пересечения прямых, касающихся параболы в
точках M и N.
Ответ: K(1; – 9).
18. При каких значениях b
прямая y = 9x + b является касательной к графику
функции y = x3 – 3x + 15?
Ответ: – 1; 31.
19. При каких значениях k
прямая y = kx – 10 имеет только одну общую точку с
графиком функции y = 2x2 + 3x – 2? Для найденных
значений k определите координаты точки.
Ответ: k1 = – 5, A(– 2;
0); k2 = 11, B(2; 12).
20. При каких значениях b
касательная, проведенная к графику функции y = bx3
– 2x2 – 4 в точке с абсциссой x0 = 2,
проходит через точку M(1; 8)?
Ответ: b = – 3.
21. Парабола с вершиной на
оси Ox касается прямой, проходящей через точки A(1;
2) и B(2; 4), в точке B. Найдите уравнение параболы.
Ответ: 
22. При каком значении
коэффициента k парабола y = x2 + kx + 1 касается
оси Ox?
Ответ: k = д 2.
23. Найдите углы между
прямой y = x + 2 и кривой y = 2x2 + 4x – 3.
Ответ: 
24. Определите, под какими
углами пересекаются графики функций y = 2x2 +
3x – 3 и y = x2 + 2x + 3.
Ответ: 
25. При каком значении k угол
между кривыми y = x2 + 2x + k и y = x2 + 4x + 4
будет равен 45°?
Ответ: k = – 3.
26. Найдите все значения x0,
при каждом из которых касательные к графикам
функции y = 5cos 3x + 2 и y = 3cos 5x в точках в
абсциссой x0 параллельны.
Ответ: 
27. Под каким углом видна
окружность x2 + y2 = 16 из точки (8; 0)?
Ответ: 
28. Найдите геометрическое
место точек, из которых парабола y = x2 видна
под прямым углом?
Ответ: прямая 
29. Найдите расстояние между
касательными к графику функции 
образующими с
положительным направлением оси Ox угол 45°.
Ответ: 
30. Найдите геометрическое
место вершин всех парабол вида y = x2 + ax + b,
касающихся прямой y = 4x – 1.
Ответ: прямая y = 4x + 3.
Литература
1. Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я.,
Чинкина М.В. Алгебра и начала анализа: 3600 задач
для школьников и поступающих в вузы. – М., Дрофа,
1999.
2. Мордкович А. Семинар четвертый для молодых
учителей. Тема «Приложения производной». – М.,
«Математика», № 21/94.
3. Формирование знаний и умений на основе
теории поэтапного усвоения умственных действий.
/ Под ред. П.Я. Гальперина, Н.Ф. Талызиной.
– М., МГУ, 1968.
Парабола
Парабола, её форма, фокус и директриса.
Параболой называется линия, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением
$$
y^<2>=2pxlabel
$$
при условии (p > 0).
Из уравнения eqref вытекает, что для всех точек параболы (x geq 0). Парабола проходит через начало канонической системы координат. Эта точка называется вершиной параболы.
Форма параболы известна из курса средней школы, где она встречается в качестве графика функции (y=ax^<2>). Отличие уравнений объясняется тем, что в канонической системе координат по сравнению с прежней оси координат поменялись местами, а коэффициенты связаны равенством (2p=a^<-1>).
Фокусом параболы называется точка (F) с координатами ((p/2, 0)) в канонической системе координат.
Директрисой параболы называется прямая с уравнением (x=-p/2) в канонической системе координат ((PQ) на рис. 8.11).
Рис. 8.11. Парабола.
Свойства параболы.
Расстояние от точки (M(x, y)), лежащей на параболе, до фокуса равно
$$
r=x+frac
<2>.label
$$
Вычислим квадрат расстояния от точки (M(x, y)) до фокуса по координатам этих точек: (r^<2>=(x-p/2)^<2>+y^<2>) и подставим сюда (y^<2>) из канонического уравнения параболы. Мы получаем
$$
r^<2>=left(x-frac
<2>right)^<2>+2px=left(x+frac
<2>right)^<2>.nonumber
$$
Отсюда в силу (x geq 0) следует равенство eqref.
Заметим, что расстояние от точки (M) до директрисы также равно
$$
d=x+frac
<2>.nonumber
$$
Следовательно, мы можем сделать следующий вывод.
Для того чтобы точка (M) лежала на параболе, необходимо и достаточно, чтобы она была одинаково удалена от фокуса и от директрисы этой параболы.
Докажем достаточность. Пусть точка (M(x, y)) одинаково удалена от фокуса и от директрисы параболы:
$$
sqrt<left(x-frac
<2>right)^<2>+y^<2>>=x+frac
<2>.nonumber
$$
Возводя это уравнение в квадрат и приводя в нем подобные члены, мы получаем из него уравнение параболы eqref. Это заканчивает доказательство.
Параболе приписывается эксцентриситет (varepsilon=1). В силу этого соглашения формула
$$
frac=varepsilonnonumber
$$
верна и для эллипса, и для гиперболы, и для параболы.
Уравнение касательной к параболе.
Выведем уравнение касательной к параболе в точке (M_<0>(x_<0>, y_<0>)), лежащей на ней. Пусть (y_ <0>neq 0). Через точку (M_<0>) проходит график функции (y=f(x)), целиком лежащий на параболе. (Это (y=sqrt<2px>) или же (y=-sqrt<2px>), смотря по знаку (y_<0>).) Для функции (f(x)) выполнено тождество ((f(x))^<2>=2px), дифференцируя которое имеем (2f(x)f'(x)=2p). Подставляя (x=x_<0>) и (f(x_<0>)=y_<0>), находим (f'(x_<0>)=p/y_<0>) Теперь мы можем написать уравнение касательной к параболе
$$
y-y_<0>=frac
>(x-x_<0>).nonumber
$$
Упростим его. Для этого раскроем скобки и вспомним, что (y_<0>^<2>=2px_<0>). Теперь уравнение касательной принимает окончательный вид
$$
yy_<0>=p(x+x_<0>).label
$$
Заметим, что для вершины параболы, которую мы исключили, положив (y_ <0>neq 0), уравнение eqref превращается в уравнение (x=0), то есть в уравнение касательной в вершине. Поэтому уравнение eqref справедливо для любой точки на параболе.
Касательная к параболе в точке (M_<0>) есть биссектриса угла, смежного с углом между отрезком, который соединяет (M_<0>) с фокусом, и лучом., выходящим из этой точки в направлении оси параболы (рис. 8.12).
Рассмотрим касательную в точке (M_<0>(x_<0>, y_<0>)). Из уравнения eqref получаем ее направляющий вектор (boldsymbol(y_<0>, p)). Значит, ((boldsymbol, boldsymbol_<1>)=y_<0>) и (cos varphi_<1>=y_<0>/boldsymbol). Вектор (overrightarrow>) имеет компоненты (x_<0>=p/2) и (y_<0>), а потому
$$
(overrightarrow>, boldsymbol)=x_<0>y_<0>-frac
<2>y_<0>+py_<0>=y_<0>(x_<0>+frac
<2>).nonumber
$$
Но (|overrightarrow>|=x_<0>+p/2). Следовательно, (cos varphi_<2>=y_<0>/|boldsymbol|). Утверждение доказано.
Заметим, что (|FN|=|FM_<0>|) (см. рис. 8.12).
Касательная к графику функции в точке. Уравнение касательной. Геометрический смысл производной
Время чтения: 30 минут
Касательная к графикам функции в точке
Угол наклона прямой линии [y=k x+b] — это угол [a], который берет свой отсчет от положительного направления оси координат ox по направлению к прямой. Угол наклона может иметь значение как со знаком плюс, так и со знаком минус.
Рисунок 1. График прямой и угол наклона относительно оси Ox.
На расположенном рис.1 показана прямая и угол наклона относительно оси.
Для каждого угла наклона характерен угловой коэффициент прямой.
Угловой коэффициент — это числовой коэффициент прямой вида [boldsymbol]. В уравнение он обозначается буквой k.
Угловой коэффициент равен значению тангенса наклона заданной прямой линии: [k=operatorname alpha].
Основные значения угла наклона прямой
- Угол наклона прямой линии будет иметь нулевое значение, только в случае, когда параллельна ось Ox, и значение углового коэффициента равняется нулю. Потому что [operatorname 0=0]. Следовательно уравнение прямой будет записываться следующим образом: [y=b].
- В случае, когда угол наклона будет острым, то должно выполняться два следующих условия: [0 0]. При этом будет наблюдаться возрастание графика функции на протяжении всей координатной прямой.
- При условии, что угол [alpha=frac<pi><2>], из этого следует, что прямая будет располагаться относительно оси Ox в перпендикулярном положении. Условие задается следующим равенством [x=c]. Где с — это простое действительное число.
- Если угол наклона прямой, является тупым, то будет применяться следующее условие: [frac<pi><2>
Рисунок 2. Секущая прямая на графике функции.
Рисунок 2. Секущая прямая на графике функции.На графике показана секущая, которая обозначена красным цветом и точками А и В.
Если угловой коэффициент прямой линии равен тангенсу угла наклона, то используя прямоугольный треугольник можно найти значение тангенса. Сделать это можно вычислением по правилу: тангенс равен отношению противолежащего катета к прилежащему.
Чтобы определить значение секущий, нужно использовать следующую формулу:
Значение секущий определяется, используя следующее неравенство:
Уравнение записывается следующим образом:
Касательная к графику функции — это прямая, которая проходит через определенную заданную точку, которая в свою очередь имеет отрезок с множеством числовых значений x.
Пример:
Прямая задана следующей функцией: [y=x+1]. Данная функция считается касательной к графику [y=2 sqrt] с координатными точками (1;2).
Рассмотрим графики со значениями (1;2). Функция обозначается черным цветом, а касательная линия соответственно синим цветом.
Рисунок 3. Графики касательной линии.
Чтобы определить касательную к функции, нужно исследовать поведение касательной АВ. При этом должно быть бесконечное приближение точки В к точке А.
Значение производной функции в точке и ее геометрический смысл
Для заданной функции [f(chi)] рассмотрим секущую АВ. Точки А и В заданы следующими значениями: [left(chi_<0>, fleft(chi_<0>right)right)] и [left(chi_<0>+Delta chi ,left(chi_<0>+Delta chiright)right.].
[Delta chi] — это показатель приращения значения аргумента.
Подставив все значения в исходную функцию получим следующий вид:
[Delta y=Delta f(chi)=fleft(chi_<0>+Delta chiright)-f(Delta chi)].
Для более лучшего восприятия решения, построим график.
Рисунок 4. График секущей относительно координатных осей
Из графика видно, что образуется прямоугольный треугольник ABC. Составим соотношение [frac<Delta y><Delta x>=operatorname alpha], для этого необходимо применить основное определение тригонометрической функции, а именно тангенса.
Исходя из основного определения касательной, запишем следующее выражение:
Используя правило производной, имеем следующее:
- производная [f(x)] в точке [x_<0>] — является пределом отношения приращения функции к аргументу.
- [Delta_ <chi>rightarrow 0 text < и >fleft(x_<0>right)=lim _ <Delta x rightarrow 0>frac<Delta y><Delta x>].
[k_] — это угловой коэффициент касательной функции.
Из данной функции можно сделать следующий вывод:
- функция [f(x)] может находится в точке со значением [x_<0>]
- функция может быть касательной к графику в некой точке касания, где угловой коэффициент равняется производной.
Понятие уравнения касательной прямой
Чтобы составить уравнение прямой, нужно знать угловой коэффициент с заданной точкой. Это точка, через которую проходит прямая. При пересечении угловой коэффициент записывается как значение [x_<0>].
Уравнение касательной записывается следующим образом:
График функции [y=f(x)].
Расположение касательной прямой непосредственно зависит от значения углового коэффициента. Если прямая параллельна оси Ox, то значение коэффициента равно нулевому значению. При параллельном расположении относительно оси Oy, коэффициент угловой принимает значение бесконечности. При это уравнение касательной записывается как: [x=x_<0>].Также угловой коэффициент будет возрастать при значении больше нуля, а если коэффициент меньше нуля, то функция соответственно будет убывать.
Нужно составить уравнение касательной к графику функции.
Порядок решения: Из условия задачи следует, что функция может быть определенной для всех действительных значений. Точка, которая задана с координатами (1;3) будет являться точкой касания, следовательно , [x_<0>=-1, fleft(x_<0>right)=-3].
Для точки со значение равным -1, нужно определить производную. Для этого составим уравнение:
Показатель [f^<prime>(x)] в точке, которая является касательной, будет равен угловому коэффициенту.
Угловой коэффициент равен наклону тангенса. Отсюда следует, что:
Подведем итоги, и запишем ответ:
По условию задачи нужно определить касательную к графику функции [y=3 cdot sqrt[5]+1]. Точки координат равны (1;1). Также нужно составить уравнение и определить значение угла наклона. Согласно условию задачи, область определения функции — это простые действительные числа. Определим значение производной.
При условии, что [x_<0>=1] тогда функция будет не определенной, но пределы ее можно записать как:
Это значит, что вертикальная касательная в точке существует.
Ответ: после всех проведенных вычислений уравнение приобретает вид x=1, где угол наклона будет равен [frac<pi><2>].
Уравнение касательной
Вы будете перенаправлены на Автор24
Вспомним определение секущей для лучшего понимания что такое касательная.
Секущей называют прямую, пересекающую график кривой в двух точках одновременно.
Касательной прямой к графику кривой называют прямую, проходящую через некую точку кривой и совпадающую с ней в этой точке так, что это прямая лишь касается кривой.
Другое и более ёмкое определение касательной дал Лейбниц.
Лейбниц касательной называл прямую, проведённую через пару точек на рассматриваемой кривой, не совпадающих между собой, но находящихся бесконечно близко друг к другу. Из определения Лейбница видно, что касательная является частным случаем секущей.
Геометрический смысл производной в точке и касательной
Рассмотрим определение касательной подробнее.
Рисунок 1. Касательная и секущая к графику. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Пусть дана некая кривая $L$, а на ней выбрана произвольная точка $M$. Возьмём ещё одну точку $P$, расположенную также на этой кривой и проведём через точки $M$ и $P$ секущую. Теперь поставим точку $P$ ещё ближе к точке $M$ и проведём новую секущую.
Проделаем так ещё несколько раз, каждый раз получая новую секущую, как бы поворачивающуюся вокруг точки $M$.
В момент, когда очередная точка $P$ находится бесконечно близко к точке $M$, секущая как бы достигает своего предельного положения, в котором по сути она лишь касается графика.
Готовые работы на аналогичную тему
Это положение называется касательной к графику кривой $L$ в точке $M$.
Уравнение касательной через производную
Теперь узнаем, как найти уравнение касательной.
Рассмотрим некую функцию $y(x)$ и выберем на ней точку $M$ с координатами $(a; y(a))$.
Сделаем приращение к аргументу $x$ в этой точке, равное $Δx$ и рассмотрим точку $P$ на графике функции с абсциссой, равной $x=x+Δx$. Значение функции в этой точке будет равно $y(a+ Δx)$. Проведём через точки $M$ и $P$ секущую.
Как мы помним из курса математики, угловой коэффициент равен тангенсу угла прямой с осью абсцисс. Это значит, что угловой коэффициент рассматриваемой нами секущей равен приращению функции $y$ к приращению функции $x$:
Теперь рассмотрим приращение $Δx$ как бесконечно малую величину. В этом случае точка $P$ с координатами $(a; y(a)+ Δy)$ будет приближаться к точке $M$, стремясь к ней. Следовательно, угловой коэффициент нашей секущей, которая в данном случае является касательной, равен пределу:
Воспользуемся формулой $(1)$ для секущей:
Данный предел также носит название производной функции $y=f(x)$ в точке $x$ и обозначается как $y’(x)$.
Геометрический смысл производной состоит в том, что при условии возможности проведения касательной в точке $x$ к графику исследуемой кривой, такой, что эта касательная не параллельна оси $OX$, значение производной является угловым коэффициентом проведённой касательной в этой точке.
Иначе данное утверждение можно записать как
То есть, при составлении уравнения касательной через производную, производная функции является угловым коэффициентом.
Заметим на всякий случай, что сама функция $y=f(x)$ и её производная $y’(x)$ — две разные функции, равные между собой в точке $x$.
Таким образом, в общем виде уравнение касательной будет иметь вид:
где $f(x_0)$ — значение функции в точке $x_0$, а $f’(x_0)$ — её производная.
Уравнение касательной для параболы
Рисунок 2. Уравнение касательной к графику параболической функции. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Рассмотрим получение уравнения касательной к графику функции на параболе $y=ax^2$ в точке $M$ c координатами $(x; y)$.
Придадим этой точке приращение по оси $OX$, равное $Δx$, приращение по оси $y$ тогда составит $y+Δy=a(x+ Δx)^2$. Точку с координатами $(x+ Δx; y+Δy)$ назовём $P$.
Теперь чтобы определить тангенс угла секущей $MP$с осью абсцисс, рассмотрим прямоугольный треугольник $triangle MNP$. В нём катет $MN$ равен $Δx$, а второй катет $Δy$ — это приращение ординаты, равное $Δy=a(2x cdot Δx + Δx^2)$.
Выразим используя эти данные тангенс угла $φ$.
$mathrmφ=frac<Δy><Δx>=2ax + a cdot Δx$
Теперь для получения углового коэффициента рассмотрим это отношение при бесконечно малой величине $Δx$. Как известно, в этом случае мы имеем дело с пределом:
Благодаря такому соотношению становится легко построить касательную к параболе (рис. 2, б).
Для этого достаточно рассмотреть треугольник $triangle MPT$, так как отрезок $TP$ будет равен:
То есть, для того чтобы получить касательную, необходимо соединить середину отрезка $OP$ с точкой $M$.
Расположение касательной в зависимости от значения её углового коэффициента
Рассмотрим несколько различных случаев значения углового коэффициента для касательной.
Если её угловой коэффициент, то есть, тангенс, равен нулю, то касательная расположена параллельно оси $OX$, а сама прямая принимает вид $y=b$.
Если тангенс положительный, то касательная образует острый угол с осью абсцисс, что значит, что вместе с ростом $x$ растёт и $y$.
В случае если тангенс отрицательный, прямая образует тупой угол с горизонтальной осью, а это значит, что с увеличением значения икса происходит уменьшение значения игрека.
Есть ещё один случай расположения касательной — параллельно оси $OY$, в этом случае её уравнение описывается как $x=c$, где $c$ — некая константа.
Другим числом, определяющим положение касательной, является число $b$, являющееся свободным членом в уравнении прямой $y=kx+b$. Число $b$ характеризует значение функции $y(x)$ в точке её пересечения с осью ординат, иначе говоря, оно есть не что иное, как значение уравнения касательной к графику функции в точке $x=0$.
Составить уравнение касательной в точке $x=3$ для графика функции $y(x)=2x^2+3x-6$.
Сначала найдём значение функции в точке $x=3$:
$y=2 cdot 3^2 +3 cdot 3 – 6 = 21$
Теперь определим значение производной для исследуемой функции:
Теперь получим значение углового коэффициента, для этого подставим $x=3$ в производную:
$y’(x)=4 cdot 3 + 3 = 15$
Подставим это значение в формулу для касательной $(2)$:
$y=15x-24$ — уравнение касательной получено.
Получи деньги за свои студенческие работы
Курсовые, рефераты или другие работы
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 14 03 2021
источники:
http://www.napishem.ru/spravochnik/matematika/kasatelnaya-k-grafiku-funktsii-v-tochke-uravnenie-kasatelnoj-geometricheskij-smysl-proizvodnoj.html
http://spravochnick.ru/matematika/uravnenie_kasatelnoy/
4.3.109.
Найти уравнение касательной к параболе
y2=
4x,
проведённой из точки А(-2;-1).
Уравнение прямой
будем искать в виде
y
=kx+b.
(3.29)
Так как точка А
принадлежит искомой касательной ,
подставляя её тождество
-1=-2k+b.
(3.30)
Далее,
прямая (3.29) и парабола y2=4x
имеют единственную общую точку
(касаются). Следовательно система
уравнений
Имеет
единственное решение. Решение её
относительно x
и y
. Это можно сделать различными способами,
например, возвести правую и левую части
первого уравнения в квадрат и подставить
в левую часть полученного равенства
вместо y2
его выражение из второго уравнения.
Получим k2x2+2kbx+b2=4x.
Это – квадратное уравнение, имеющее
единственное решение в случае, когда
дискриминант равен нулю. Таким образом,
=
(kb-2)2
— k2b2=0
или 4kb=4,
b=
.
(3.31)
Теперь
для параметров k
и b
прямой (3.29) имеем два условия: (3.30) и
(3.31). Следовательно, искомые значения
параметров находятся как решения системы
из этих условий:
Подстановка
вместо b
в первое уравнение его выражения из
второго , получим -2k2+k+1=0
, откуда находим ,что k1=1,
k2=-
. Система имеет два решения :
,
и 
Следовательно,
две прямые удовлетворяют условиям
задачи. Их уравнения: y=x+1
и y=-
-2.