Как написать уравнение оси симметрии параболы

The dictionary meaning of symmetry is “such proportion and balance that is both harmonious and attractive.” However, it has a more exact definition in mathematics, and it generally refers to an object that is stable under certain transformations, such as rotation, mirroring or translation. Symmetrical forms or figures are things that can have a line drawn through them so that the representations on both sides of the line mirror each other. Look at the triangle below, which when divided by a line segment, gets parted into two identical shapes, which are like mirror reflections of each other.

Axis of Symmetry

A line that splits an item into two equal halves, providing a mirror-like replica of either side of the object, is known as an axis of symmetry. The word symmetry connotes a sense of equilibrium. Symmetry may be used in a variety of circumstances and scenarios. Symmetry is a fundamental idea in geometry that divides a shape into two halves, each of which is a perfect reflection of the other, as seen in the diagram below. Different forms have various symmetry lines. A square has four symmetry lines, a rectangle has two symmetry lines, a circle has infinite symmetry lines, and a parallelogram has none. A regular polygon with n sides has n symmetry axes.

The axes of symmetry of a pentagon are shown below:

Axis of Symmetry of a Parabola

A parabola has just one symmetry line. The straight line that splits a parabola into two symmetrical pieces is the axis of symmetry. There are four different types of parabolas. It might be horizontal or vertical, and it can face left or right. The parabola’s shape is determined by its symmetry axis. The parabola is vertical when its axis of symmetry is vertical and vice versa.

Formula of Axis of Symmetry of a Parabola

For a parabola with an equation of the form ax² + bx + c, the axis of symmetry can be calculated using the following formula:

x = −b/2a

where a and b are the coefficients of x² and x respectively and c is the constant.

Derivation of the Formula

The vertex of parabola is the only point from where the axis of symmetry passes. A vertical parabola’s quadratic equation is y = ax² + bx + c

The parabola is unaffected by the constant term ‘c.’

Consider the equation y = ax² + bx.

The axis of symmetry is the midpoint of its two x-intercepts. To find the x-intercept, substitute y = 0.

⇒ x(ax + b) = 0

⇒ x = 0 or, x = -b/a

Using the mid- point formula, we have:

⇒ x = $frac{0+[-frac{b}{a}]}{2}$

⇒ x = -b/2a

Hence proved.

Sample Problems

Question 1. Find the axis of symmetry of the parabola y = x² − 4x + 8.

Solution:

Given: y = x²− 4x + 8

Compare the given equation to the standard form ax² + bx + c.

⇒ a = 1, b = −4, c = 8

Axis of symmetry = −b/2a

= −(−4)/2(1)

⇒ x = 2

Question 2. Find the axis of symmetry of the parabola y = 4x².

Solution:

Given: y = 4x²

Compare the given equation to the standard form ax² + bx + c.

⇒ a = 4, b = 0, c = 0

Axis of symmetry = −b/2a

= 0/2(4)

⇒ x = 0

Question 3. Find the axis of symmetry of the parabola y = 7x².

Solution:

Given: y = 7x²

Compare the given equation to the standard form ax² + bx + c.

⇒ a = 7, b = 0, c = 0

Axis of symmetry = −b/2a

= 0/2(7)

⇒ x = 0

Question 4. Find the axis of symmetry of a parabola y = x² + 8x − 3.

Solution:

Given: y = x² + 8x − 3

Compare the given equation to the standard form ax² + bx + c.

⇒ a = 1, b = 8, c = –3

Axis of symmetry = −b/2a

= –8/2(1)

⇒ x = –4

Question 5. Find the axis of symmetry of the parabola y = 2x² + 12x.

Solution:

Given: y = 2x² + 12x

Compare the given equation to the standard form ax² + bx + c.

⇒ a = 2, b = 12, c = 0

Axis of symmetry = −b/2a

= −12/2(2)

⇒ x = −3

Question 6. Find the axis of symmetry of the parabola y = 3x² − 6x + 5.

Solution:

Given: y = x² − 6x + 5

Compare the given equation to the standard form ax² + bx + c.

⇒ a = 1, b = −6, c = 5

Axis of symmetry = −b/2a

= −(−6)/2(3)

⇒ x = 1

Question 7. Find the axis of symmetry of the parabola y = 9x².

Solution:

Given: y = 9x²

Compare the given equation to the standard form ax² + bx + c.

⇒ a = 9, b = 0, c = 0

Axis of symmetry = −b/2a

= 0/2(9)

⇒ x = 0

Источник

Axis of Symmetry

The axes of symmetry of a pentagon are shown below:

Axis of Symmetry of a Parabola

Formula of Axis of Symmetry of a Parabola

For a parabola with an equation of the form ax² + bx + c, the axis of symmetry can be calculated using the following formula:

x = −b/2a

where a and b are the coefficients of x² and x respectively and c is the constant.

Derivation of the Formula

The vertex of parabola is the only point from where the axis of symmetry passes. A vertical parabola’s quadratic equation is y = ax² + bx + c

The parabola is unaffected by the constant term ‘c.’

Consider the equation y = ax² + bx.

The axis of symmetry is the midpoint of its two x-intercepts. To find the x-intercept, substitute y = 0.

⇒ x(ax + b) = 0

⇒ x = 0 or, x = -b/a

Using the mid- point formula, we have:

⇒ x = $frac{0+[-frac{b}{a}]}{2}$

⇒ x = -b/2a

Hence proved.

Sample Problems

Question 1. Find the axis of symmetry of the parabola y = x² − 4x + 8.

Solution:

Given: y = x²− 4x + 8

Compare the given equation to the standard form ax² + bx + c.

⇒ a = 1, b = −4, c = 8

Axis of symmetry = −b/2a

= −(−4)/2(1)

⇒ x = 2

Question 2. Find the axis of symmetry of the parabola y = 4x².

Solution:

Given: y = 4x²

Compare the given equation to the standard form ax² + bx + c.

⇒ a = 4, b = 0, c = 0

Axis of symmetry = −b/2a

= 0/2(4)

⇒ x = 0

Question 3. Find the axis of symmetry of the parabola y = 7x².

Solution:

Given: y = 7x²

Compare the given equation to the standard form ax² + bx + c.

⇒ a = 7, b = 0, c = 0

Axis of symmetry = −b/2a

= 0/2(7)

⇒ x = 0

Question 4. Find the axis of symmetry of a parabola y = x² + 8x − 3.

Solution:

Given: y = x² + 8x − 3

Compare the given equation to the standard form ax² + bx + c.

⇒ a = 1, b = 8, c = –3

Axis of symmetry = −b/2a

= –8/2(1)

⇒ x = –4

Question 5. Find the axis of symmetry of the parabola y = 2x² + 12x.

Solution:

Given: y = 2x² + 12x

Compare the given equation to the standard form ax² + bx + c.

⇒ a = 2, b = 12, c = 0

Axis of symmetry = −b/2a

= −12/2(2)

⇒ x = −3

Question 6. Find the axis of symmetry of the parabola y = 3x² − 6x + 5.

Solution:

Given: y = x² − 6x + 5

Compare the given equation to the standard form ax² + bx + c.

⇒ a = 1, b = −6, c = 5

Axis of symmetry = −b/2a

= −(−6)/2(3)

⇒ x = 1

Question 7. Find the axis of symmetry of the parabola y = 9x².

Solution:

Given: y = 9x²

Compare the given equation to the standard form ax² + bx + c.

⇒ a = 9, b = 0, c = 0

Axis of symmetry = −b/2a

= 0/2(9)

⇒ x = 0

Источник

Загрузить PDF

Многие характеристики графика функции или многочлена невозможно объяснить без визуального представления. Одна из таких характеристик — ось симметрии: вертикальная линия на графике, которая делит этот график на два зеркально симметричных изображения. Найти ось симметрии для данного многочлена относительно несложно.^[1] Существует два основных способа.

1
Определите, какова степень многочлена. Степень многочлена — это наибольшая степень, которую имеют одночлены в этом выражении.^[2] Если степень данного многочлена равна 2 (ни один одночлен в выражении не имеет степени выше, чем x²), вы можете найти ось симметрии, используя данный способ. Если степень многочлена больше двух, применяйте второй способ.
- Чтобы наглядно продемонстрировать этот способ, возьмем, например, многочлен вида 2x² + 3x – 1. Самая высокая степень в многочлене — x², следовательно, мы имеем дело с квадратным трехчленом и можем воспользоваться первым способом для нахождения оси симметрии.
2
Подставьте коэффициенты в формулу расчета оси симметрии. Для нахождения оси симметрии для квадратного трехчлена вида ax² + bx +c (парабола), применяют базовую формулу x = -b / 2a.^[3]
- В нашем примере a = 2, b = 3, and c = -1. Подставим эти значения в нашу формулу, и получаем:
  x = -3 / 2(2) = -3/4.
3
Запишите уравнение оси симметрии. Значение, которое вы рассчитали по формуле оси симметрии, — это значение точки пересечения оси симметрии с осью абсцисс.
- В вышеприведенном примере ось симметрии равна -3/4.
Реклама

1

Определите степень многочлена. Степень многочлена — это наибольшая степень, которую имеют одночлены в этом выражении. Если степень данного многочлена равна 2 (ни один одночлен в выражении не имеет степени выше, чем x²), вы можете найти ось симметрии, используя вышеприведенный способ. Если степень многочлена больше 2, применяйте графический способ.
2

Начертите систему координат. Нарисуйте две линии, пересекающиеся под прямым углом в виде знака «плюс». Горизонтальная линия будет осью x, а вертикальная — осью у.
3

Отложите единичные числовые отрезки на осях. Отложите на осях числовые отрезки равной величины.
4

Рассчитайте значение y = f(x) для каждого значения x. Возьмите данный многочлен или функцию и рассчитайте значения f(x), последовательно подставив в выражение значения x.
5

Отметьте точки на графике для каждой пары координат. Теперь у вас есть соответствующее значение y = f(x) для каждого значения на оси абсцисс. Для каждой точки с координатами (x, y), отметьте точку в системе координат — по вертикали отложив значение по оси X, а по горизонтали — на оси Y.
6

Нарисуйте график многочлена. Когда вы нанесли все точки на систему координат, можно плавно соединить их между собой. У вас получится непрерывный график вашего многочлена.
7

Найдите ось симметрии. Внимательно изучите полученный график. Найдите точку на графике, по которой можно провести линию, разделяющую график на две равные зеркальные половины.^[4]
8

Отметьте ось симметрии. Если вы нашли такую точку (назовем ее «b») на оси x, которая разделяет график на две зеркальные половины, это значение и будет искомой осью симметрии.

Реклама

Советы

Длина осей абсцисс и ординат должна быть достаточной, чтобы наглядно отобразить форму графика.
Некоторые многочлены не имеют оси симметрии. Например, для y = 3x не существует оси симметрии.
Симметрия многочлена может быть определена как четная или нечетная. Любой график, ось симметрии которого совпадает с осью у имеет «четную» симметрию. Любой график, ось симметрии которого совпадает с осью x, — «нечетный».

Об этой статье

Эту страницу просматривали 108 142 раза.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Парабола

Параболой
называется
множество точек плоскости, равноудаленных
от данной точки
,
называемойфокусом
параболы, и
данной прямой
,
называемой еедиректрисой.

Если выбрать
прямоугольную систему координат так,
чтобы ось
проходила через фокуси была перпендикулярна к директрисе,
а осьпроходила между фокусом и директрисой
(рис. 2.33), то уравнение параболы примет
канонический вид

где
расстояние от фокуса до директрисы.
Уравнение директрисы,
фокус.

Рис. 2.33

Рис. 2.34

Начало координат
является вершиной
параболы, а
ось абсцисс – ее осью
симметрии. Эксцентриситет параболы
.

Если осью симметрии
параболы служит ось ординат (рис. 2.34),
то уравнение параболы имеет вид

Уравнение директрисы
в этом случае
,
фокус.

Уравнение параболы
с осью симметрии, параллельной одной
из координатных осей, имеет вид

или
,

где
,координаты вершины параболы.

Исследование общего уравнения линии второго порядка.

Уравнение одной
и той же линии может иметь различный
вид в зависимости от того, как будет
расположена система координат, к которой
отнесена кривая. С помощью преобразования
координат можно привести это уравнение
к простейшему (каноническому) виду.

Общее уравнение
линии второго порядка имеет вид

либо

.
(6.1)

Определитель

называют
дискриминантом
старших членов уравнения (6.1).

Если
,
то линия, задаваемая уравнением (6.1),
имеет единственный центр симметрии и
называетсяцентральной
линией, а ее
центр симметрии – просто центром.
Остальные
линии носят название нецентральных.
Примеры центральной линии – эллипс,
гипербола, а нецентральной – парабола.

Если уравнение
(6.1) задает центральную линию, то можно
осуществить параллельный перенос осей
координат по формулам

где
,координаты нового начала,
являющегося центром линии. Они определяются
из системы

В новой системе
уравнение (6.1) приводится к виду

(6.2)

Из уравнения (6.2)
заключаем, что коэффициенты при старших
членах в результате параллельного
переноса не изменяются, а свободный
член

т.е. свободный член
при параллельном переносе равен
результату подстановки в левую часть
уравнения (6.1) вместо текущих координат
,координат нового начала,.

Для дальнейшего
упрощения уравнения (6.2) применим правило
приведения квадратичной формы к
каноническому виду, т.е. если повернем
оси координат так, чтобы направления
осей
исовпадали с главными направлениями
квадратичной формы, то уравнение
приведется к каноническому виду:

(6.3)

где
,корни характеристического уравнения

(6.4)

Если
,
то согласно теореме Виета, из уравнения
(6.4) следует, что,
т.е. характеристические числаиотличны от нуля.

Возможны два
случая.

1. Числа
иодного знака, следовательно,Если свободный члени его знак противоположен знаку чисел,,
уравнение (6.3) определяет эллипс. Если
же знак членасовпадает со знаком чисел,,
уравнение (6.3) не имеет смысла (мнимый
эллипс). Приуравнение (6.3) определяет одну вещественную
точкуи.

2. Числа
иразных знаков, следовательно,В этом случае, если,
уравнение (6.3) определяет гиперболу,
если же,
– пару пересекающихся прямых.

Рассмотрим теперь
случай, когда уравнение (6.1) определяет
нецентральную линию, т.е. когда

.
(6.5)

Так как
,
то в силу условия (6.5) хотя бы одно из
чисел,равно нулю. Для определенности возьмем,.
Выполним поворот системы координаттак, чтобы направления новых осейисовпали с главными направлениями
квадратичной формы старших членов
уравнения (6.1) (в новой системе координат
осьсовпадает с главным направлением,
соответствующим характеристическому
числу).
Тогда уравнение (6.1) в системепримет вид

(6.6)

где

; .
(6.7)

При исследовании
геометрического смысла уравнения (6.6)
возможны следующие случаи:

1) коэффициент
тогда уравнение (6.6) определяет параболу,
ось симметрии которой параллельна оси;

2) коэффициент
тогда
уравнение (6.6) определяет пару параллельных
прямых (действительных, если дискриминант;
совпадающих, если,
и мнимых, если).

Таким образом,
уравнение (6.1) при
определяет действительный или мнимый
эллипс либо точку,
припараболу либо пару параллельных прямых,
пригиперболу или пару пересекающихся
прямых.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Инструкции:

Используйте этот калькулятор для нахождения оси симметрии параболы, показывая все шаги. Пожалуйста, укажите правильную квадратичную функцию в поле формы ниже.

Уравнение оси симметрии

Этот калькулятор позволит вам найти уравнение оси симметрии для заданной квадратичной функции, показывая все этапы процесса.

Вам необходимо предоставить действительное выражение квадратичной функции. Например, допустимой квадратичной функцией является что-то вроде 2x² — 5x + 1, но вы также можете ввести не полностью упрощенную квадратичную функцию, например 2x² + 5x +3/4 x — x² , так как калькулятор проведет необходимое упрощение квадратичной функции.

Как только вы зададите действительную квадратичную функцию, вам нужно нажать кнопку «Вычислить», и будут предоставлены решения со всеми шагами.

Ось симметрии имеет сильное геометрическое значение, именно она служит «зеркалом» для графика квадратичной функции, которая является параболой, и она тесно связана с корнями квадратичной функции.

Формула оси симметрии

график

из

квадратичная функция

ax² +b x + c — парабола, и эта парабола будет симметрична вокруг своей оси симметрии. Уравнение оси симметрии имеет вид:

[x = displaystyle -frac{b}{2a} ]

Каковы шаги для нахождения уравнения оси симметрии?

Шаг 1: Определите квадратичную функцию и упростите ее до вида ax² +b x + c
Шаг 2: Упростив квадратичную функцию, убедитесь, что a ≠ 0, иначе вы не сможете продолжать
Шаг 3: Уравнение оси симметрии имеет вид (x = displaystyle -frac{b}{2a} )
Шаг 4: Это означает, что ось симметрии — вертикальная линия, проходящая через точку (left(displaystyle -frac{b}{2a}, 0right) )

Обратите внимание, что это относится к обычным параболам, без вращения осей, что выходит за рамки данного учебника.

Калькулятор оси симметрии

Этот

Калькулятор параболы

получит квадратичную функцию, упростит ее до вида ax² +b x + c и подставит значения a и b в формулу:

[x = displaystyle -frac{b}{2a} ]

Но есть и другие способы поиска

Ось симметрии

параболы. Предположим, что вы

решить квадратное уравнение

ax² +b x + c = 0, и вы находите корни u и v. Как вы находите

Ось симметрии

когда вы знаете корни квадратного уравнения?

Шаг 1: Определите заданные корни квадратных уравнений
Шаг 2: У вас будет два корня u и v. Если есть только один корень, вы определяете u и v как одно и то же значение
Шаг 3: Ось симметрии находится путем вычисления средней точки корней u и v: Таким образом, мы получаем формулу оси симметрии (x = displaystyle frac{u+v}{2}). Это работает как для вещественных, так и для комплексных корней

Когда у вас

сложные корни

то они будут сопряженными комплексными числами, и тогда их среднее даст действительное число.

Зачем заботиться об оси симметрии?

Ось симметрии соответствует симметричной линии для графика квадратичной функции, которая является параболой. Таким образом, наличие ссылки на симметрию дает много информации о параболе.

Например, корни уравнения будут располагаться симметрично относительно этой оси симметрии.

Пример: ось симметрии

Рассмотрим следующее квадратное уравнение: (f(x) = 3x^2 + 2x + 1). Найдите его ось симметрии.

Решение:

чем завершается расчет.

Пример: уравнение оси симметрии

Предположим, что у вас есть следующее квадратичное выражение: (f(x) = x^2 + frac{2}{3}x + frac{5}{4}). Используйте формулу для вычисления его оси симметрии.

Решение:

чем завершается расчет.

Пример: формула оси симметрии из корней

Предположим, что корнями квадратного уравнения являются (r_1 = 3) и (r_2 = 5). Найдите уравнение оси симметрии параболы.

Отвечать:

Мы знаем, что при наличии корней необходимо усреднить корни. Следовательно, уравнение оси симметрии параболы имеет вид

[x = displaystyle frac{u+v}{2} = displaystyle frac{3+5}{2} = 4]

чем завершается расчет.

Больше квадратичных калькуляторов

Нахождение оси симметрии параболы — это лишь одна из многих задач, которые можно решить с помощью функции

квадратичные функции

. Вы можете

решать квадратные уравнения

вычислить вершину

Кроме того, как вы, вероятно, уже заметили, существует тесная связь между

формула вершины

и ось симметрии: Действительно, ось симметрии — это вертикальная линия, проходящая через вершину.

Источник

Как найти ось симметрии квадратичной функции

Автор:
Peter Berry

Дата создания:
16 Август 2021

Дата обновления:
1 Март 2023

Видео: Вершина параболы и ось симметрии. Пример

Содержание

Что такое квадратичная функция
Как найти ось симметрии квадратичной функции
Как найти ось симметрии квадратичной функции — Примеры

Что такое квадратичная функция

Полиномиальная функция второй степени называется квадратичной функцией. Формально f (x) = ax²+ bx + c — квадратичная функция, где a, b и c — действительные постоянные и a ≠ 0 для всех значений x. График квадратичной функции является параболой.

Как найти ось симметрии квадратичной функции

Любая квадратичная функция показывает поперечную симметрию поперек оси y или линии, параллельной ей. Ось симметрии квадратичной функции может быть найдена следующим образом:

F (X) = ах²+ bx + c, где a, b, c, x∈R и a ≠ 0

Написание х терминов в виде полного квадрата у нас есть,

Переставляя члены вышеприведенного уравнения

Это означает, что для каждого возможного значения f (x) есть два соответствующих значения x. Это хорошо видно на диаграмме ниже.

Эти значения расположены,

расстояние влево и вправо от значения -b / 2a. Другими словами, значение -b / 2a всегда является средней точкой линии, соединяющей соответствующие значения x (точки) для любого заданного f (x).

Следовательно ,
x = -b / 2a — уравнение оси симметрии для заданной квадратичной функции в виде f (x) = ax²+ BX + C

Как найти ось симметрии квадратичной функции — Примеры

Квадратичная функция определяется как f (x) = 4x²+ Х + 1. Найдите симметричную ось.

х = -b / 2a = -1 / (2 × 4) = — 1/8

Следовательно, уравнение оси симметрии имеет вид х = -1 / 8

Квадратичная функция задается выражением f (x) = (x-2) (2x-5)

Упрощая выражение, мы получаем f (x) = 2x²-5x-4x + 10 = 2x²-9x + 10

Мы можем сделать вывод, что a = 2 и b = -9. Следовательно, мы можем получить ось симметрии как

х = — (-9) / (2 × 2) = 9/4

Источник