Как называют операцию нахождения первообразной для данной функции напишите ответ

Или Первообразной для функции F(x) называется функция, производная которой равна данной.

Зад

ача интегрирования состоит в том, чтобы для заданной функции найти все ее первообразные. Важную роль в решении этой задачи играет признак постоянства функции:

Если

на некотором промежутке I, то функция F — постоянная на этом промежутке.

Все первообразные функции а можно записать с помощью одной формулы, которую называют общим видом первообразных для функции f.

Основное свойство первообразных:
Любая первообразная для функции f на промежутке I может быть записана в виде

F(x) + C,

где F(x) – одна из первообразных для функции f(х) на промежутке I, а С – произвольная постоянная.

В этом утверждении сформулированы два свойства первообразной
1) какое бы число ни подставить вместо С, получим первообразную для f на промежутке I;
2) какую бы первообразную Ф для f на промежутке I ни взять, можно подобрать такое число С, что для всех х из промежутка I будет выполнено равенство Ф(х) = F(x) + C.

Основная задача интегрирования: записать все первообразные для данной функции. Решить её — значит
представить первообразную в таком общем виде:  F(x)+C

Таблица первообразных некоторых функций

Графики первообразных
-это кривые, получаемые из одной из них путём параллельного переноса вдоль оси
ОУ

Примеры решения заданий

Пример 1.   Выяснить, является ли функция F (x) = х ³ – 3х + 1 первообразной для функции f(x) = 3(х ² – 1).

Решение: F'(x) = (х ³ – 3х + 1)′ = 3х ² – 3 = 3(х ² – 1) = f(x), т.е. F'(x) = f(x), следовательно, F(x) является первообразной для функции f(x).

Пример 2.  Найти все первообразные функции f(x):   f(x) = х ⁴ + 3х ² + 5

Решение: Используя таблицу и правила нахождения первообразных, получим:

Ответ:

04
Фев 2013

06 Задание (2022)ПРОИЗВОДНАЯ

Первообразная.

План урока:

Понятие первообразной

Бесконечное количество первообразных

Неопределенный интеграл

Таблица первообразных

Правила вычисления интегралов

Физический смысл неопределенного интеграла

Понятие первообразной

Ранее мы познакомились с важнейшим понятием математического анализа – производной. Она имеет большое практическое значение, в частности, с ее помощью можно определить скорость тела, если известен закон его передвижения. Например, если путь, пройденный автомобилем, можно вычислить с помощью функции S = t², то его скорость в любой момент времени может быть рассчитана по формуле

Однако на практике значительно чаще встречается прямо противоположная задача. Известно, как меняется скорость тела, и найти требуется путь, пройденный им. В таком случае необходимо по производной определить ту функцию, которая «подверглась» дифференцированию.

Задание. Известна производная функции у(х):

В этом примере мы выполнили операцию, обратную дифференцированию. В математическом анализе он называется интегрированием. Если интегрируют некоторую произвольную функцию f(х), то в итоге получают новую функцию, которую чаще всего обозначают как F(x). Её называют первообразной функции f(x).

Приведем несколько примеров первообразной:

Последний пример показывает, что иногда первообразная может и совпадать с исходной функцией.

Задание. Докажите, что функция

Первообразные встречаются и в ряде практических задач, особенно в тех, где рассматривается движение тел.

Задание. Автомобиль Buggati Veyron разгоняется от 0 до 40 м/с за 4 секунды. Какое расстояние проедет эта машина за эти 4 секунды, если разгон осуществляется равномерно?

Решение: Если за 4 секунды машина разгоняется до 30 м/с, то за одну секунду она увеличивает скорость на

Примечание – в будущем мы научимся более строго решать такие задачи, и «угадывать» подходящую первообразную не придётся.

Бесконечное количество первообразных

Рассмотрим функцию

Оказывается, что g₁ также является первообразной для у. То есть у одной функции у = 4х³ есть сразу две первообразных:g = x⁴и g = x⁴ + 1! Более того, можно доказать, что у любой функции есть бесконечное количество первообразных!

Действительно, рассмотрим сразу все функции

где С – некоторая константа, то есть параметр. В данном случае можно сказать, что мы рассматриваем не одну функцию, а семейство функций. Продифференцируем g:

Мы видим, что у всех функций из этого семейства, независимо от значения параметра С, производная одинакова. Здесь С может принимать любое действительное значение. Так как действительных чисел бесконечно много, то и количество функций, образующих семейство, также бесконечно. И все они являются первообразными для у = 4х³.

Данная особенность операции интегрирования может быть сформулирована в виде следующей теоремы:

Можно дать и графическую иллюстрацию этого правила. Построим произвольный график g = F(x). Далее построим ещё один график

Очевидно, что он может быть получен параллельным переносом первого графика на С единиц вверх:

Теперь в какой-нибудь точке х₀ проведем касательные к обоим графикам первообразных. Очевидно, что они будут иметь одинаковый угол наклона, так как по сути тоже могут быть получены параллельным переносом:

Если же углы наклона касательных совпадают, то и производные в этих точках также равны.

В связи с наличием у каждой функции бесконечного количества первообразных их часто записывают в общем виде. Например, пусть надо записать первообразную для

Однако 2х² – это лишь одна из бесконечного множества первообразных. Все вместе они образуют семейство, которое записывается так:

Неопределенный интеграл

Каждая математическая операция имеет какое-то особое обозначение. Например, чтобы показать, что мы дифференцируем некоторую функцию, мы ставим после неё штрих (и при необходимости берем в скобки):

Напомним, что операция нахождения первообразной называется интегрированием. Для ее обозначения используется особый знак – интеграл. Например, мы знаем, что первообразная для у = х² – это семейство функций вида

Рассмотрим элементы записанного нами равенства:

Исходная функция – это та самая функция, для которой необходимо найти первообразную, то есть интегрируемая функция. Справа от знака «равно» как раз записывается первообразная. Сразу после первообразной надо писать «+ С». Тем самым мы показываем, что у интегрируемой функции есть бесконечное количество первообразных.

После интегрируемой функции стоит так называемый дифференциал dх (читается как «дэ икс»). В данном случае он указывает, что именно буквой х мы обозначаем переменную в интегрируемой функции. Его значение мы разберем несколько позже. Пока что надо запомнить, что после интегрируемой функции необходимо писать «dx». В целом вся запись

читается так: «интеграл от два икс по дэ икс равен икс в квадрате плюс цэ».

В чем разница между первообразной и интегралом? Первообразная – это функция, при дифференцировании которой получается исходная функция. Интеграл же – это не функция, а целое семейство функций (или их множество), которое включает в себя сразу все первообразные интегрируемой функции.

Так как интегрирование – это действие, обратное дифференцированию, то мы можем проверить результат своих вычислений. Пусть мы записали, что

Получили подынтегральное выражение. Значит, мы всё сделали правильно.

Здесь важно заметить, что в математике существует сразу несколько видов интегралов, каждый из которых имеет разное определение. Здесь описан так называемый «неопределенный интеграл». Несложно догадаться, что существует ещё и «определенный интеграл», который мы рассмотрим на следующих уроках. Теперь можно дать следующее определение:

Задание. Найдите неопределенный интеграл

Решение. Вспомним таблицу производных элементарных функций. Производная синуса равна косинусу:

Заметим, что непосредственно из определения следует важное свойство неопределенного интеграла – производная интеграла равна его подынтегральному выражению:

Грубо говоря, операции интегрирования дифференцирования «сокращают» друг друга.

Задание. Вычислите производную:

Таблица первообразных

Как же вычислять интегралы? Проще всего начать с тех функций, которые уже есть в таблице производных. Напомним, как она выглядит:

Из определения первообразной следует, что для тех функций, которые указаны во втором столбце таблицы, одной из первообразных является соответствующая функция из первого столбца. То есть можно составить такую таблицу первообразных:

Обратите внимание на третью строку снизу. Здесь произошло небольшое изменение – вместо первообразной lnx мы записали ln |x|, то есть использовали модуль числа. Дело в том, что функция

определена при любом значении аргумента, кроме нуля. В то же время функция

не определена при отрицательных значениях х, так как под знаком логарифма не может стоять отрицательное число. Однако области определения интегрируемой функции и ее первообразной должны совпадать. Использование модуля обеспечивает выполнение этого условия.

Полученная нами таблица интегралов не совсем удобна. Предположим, нам надо проинтегрировать функцию

отличающуюся от интересующей нас функции лишь множителем перед х⁵.

Однако можно догадаться, что в качестве подходящей первообразной можно взять функцию

В связи с этим есть смысл немного подкорректировать таблицу первообразных таким образом, чтобы в первом столбце стояли стандартные функции без неудобных множителей. В результате таблица примет следующий вид:

Можно доказать, что каждое равенство в третьем столбце является справедливым. Возьмем, например, равенство

Получили подынтегральное выражение, а это значит, что равенство справедливо. Таким же образом можно доказать и все остальные равенства в таблице.

Задание. Вычислите неопределенный интеграл:

Решение. Этот интеграл присутствует в таблице (7-ая строка), а потому мы просто переписываем равенство из неё:

Задание. Найдите первообразную функции

Правила вычисления интегралов

Что делать в том случае, если надо вычислить интеграл, которого нет в таблице? Существует три несложных правила интегрирования, которые могут помочь в такой ситуации.

Докажем это правило. Для этого просто продифференцируем правую часть равенства:

Получили именно то выражение, которое стоит под знаком интеграла в левой части равенства. Это значит, что формула справедлива.

Рассмотрим пример использования этого правила. Пусть надо найти первообразную функции

Здесь мы представили исходный интеграл как сумму двух более простых интегралов, которые являются табличными

Обратите внимание, что мы не стали складывать константы интегрирования С как подобные слагаемые и писать 2С. Дело в том, что С – это некоторое произвольное число. Но если сложить два произвольных числа, то в итоге получится третье произвольное число, которое также будет обозначаться как С! Поэтому обычно константу С просто дописывают в самом конце решаемого примера.

Естественно, что правило сложения интегралов работает и в случае суммы не двух, а большего количества слагаемых.

Задание. Вычислите неопределенный интеграл

Возможна ситуация, когда мы не уверены в правильности полученного решения. В таком случае можно легко проверить себя, просто продифференцировав получившийся интеграл. В итоге мы должны получить исходную функцию (подынтегральное выражение):

Следующее правило позволяет выносить множитель из-под знака интеграла.

Для доказательства тождества снова продифференцируем его левую часть:

Получили как раз то выражение, которое стоит под интегралом справа. Следовательно, формула верна.

Рассмотрим несколько простейших примеров использования этого метода интегрирования неопределенных интегралов:

Естественно, что правила 1 и 2 можно комбинировать друг с другом, решая более сложные примеры.

Задание. Вычислите неопределенный интеграл от квадратичной функции

Первые два правила достаточно просты и напоминают аналогичные правила дифференцирования. А вот третий метод вычисления неопределенного интеграла более сложный.

Проиллюстрируем его на примере. Пусть надо найти первообразную для функции

Но в нашем случае под знаком косинуса стоит не х, а выражение 5х + 7, являющееся линейной функцией. Поэтому, согласно правилу, мы должны написать впервообразной не sinx, а sin (5x + 7), то есть изменить аргумент. Также надо добавить перед синусом «поправочный множитель», равный 1/k, то есть в нашем случае 1/5:

Проверим себя. Продифференцируем получившуюся первообразную. При этом мы используем правило дифференцирования сложной функции:

Получили ту самую функцию, которую и надо было проинтегрировать.

Приведем ещё несколько примеров использования правила 3:

Напомним, что при изучении производной мы познакомились также с правилами дифференцирования произведения, дроби и сложной функции. Используя их, мы могли найти производную для почти любой функции, которую только могли записать. С решением неопределенных интегралов ситуация значительно сложнее. С помощью приведенных трех правил не получится вычислить такие интегралы, как

Более того, в записанной нами таблице интегралов отсутствует ряд элементарных функций, поэтому мы не сможем даже проинтегрировать такую простую функцию, как

Дело в том, что задача интегрирования является значительно более сложной, чем задача дифференцирования. Отметим три момента. Во-первых, в нашей школьной таблице интегралов, содержащей всего 11 формул, указаны лишь самые простые элементарные функции. Существуют справочники, где в качестве табличных указаны интегралы десятков, а то и сотен функций. Во-вторых, есть и более сложные правила интегрирования, которые изучаются уже в институте. В-третьих, существуют такие элементарные функции, первообразную которых в принципе невозможно записать, используя элементарные функции (синус, косинус, логарифм и т.п.). В связи с этим приходится вводить в рассмотрение новые специальные функции, а также использовать приближенные методы вычислений.

Физический смысл неопределенного интеграла

Напомним физический смысл производной – если известен закон движения материальной точки, то есть некоторая функция S(t), то производная этого закона будет выражать скорость тела в момент времени t:

Отсюда прямо вытекает физический смысл первообразной. Если известен закон изменения скорости v(t), то его первообразная будет являться законом движения S(t). Точнее говоря, законом движения будет являться только одна из первообразных, так как их существует бесконечно много.

Задача. Скорость тела в произвольный момент времени t может быть вычислена по закону

Найдите закон движения материальной точки S(t). Известно, что в начальный момент времени тело находилось в точке с координатой 1,5, то есть S(0) = 1,5.

Решение. Нам надо просто проинтегрировать функцию v(t):

Интеграл вычислен, но это ещё не закон движения, ведь в нем присутствует константа интегрирования. Как от неё избавиться? Надо использовать условие, согласно которому S(0) = 1,5. В общем виде закон движения имеет вид

Мы нашли конкретное значение константы интегрирования. С учетом этого закон движения (1) примет вид:

Ранее вы ознакомились с операцией дифференцирования: нахождения производной по данной функции. Не менее важна и обратная ей операция — интегрирование: нахождение функции по её производной.

Пусть дано функцию такую, что в каждой точке х некоторого промежутка . В этом случае функцию f(x) называют производной функции F(x), a — первообразной для f(x).

Функция F(x) называется первообразной функции на промежутке , если для каждого значения х из этого промежутка F'(x) = f(x).

Например, на всей числовой оси (т. е. на R] функция F(x) = является первообразной для f(x) = 2х, ибо = 2х; F(x) = sin х есть первообразной для f(x) = cos х, ибо (sin х)’ = cos х.

Функция F(x) является первообразной для например на [1; 5]. Но не на R, поскольку F'(O) не существует, и не на , поскольку это не промежуток.

Одна ли функция является первообразной для Нет. Ведь и и и т. д. Каким бы ни было число С (произвольная постоянная), функция — первообразная для, ибо ( )‘

Существуют ли другие функции, отличные от , первообразные для ? Нет.

Теорема. (Основное свойство первообразных.) Каждая первообразная для функции ) имеет вид F(x) + С, где — одна из этих первообразных, а С — произвольная постоянная.

Доказательство 1. Пусть—одна из первообразных для функции на промежутке , т. е. для каждого :.

По правилу нахождения производной суммы

Этим доказано» что какая бы ни была постоянная С, если — первообразная для , то и — первообразная для

Пусть и — две любые первообразные для функции

на промежутке, т. е. и для каждого . Тогда

Как видим, функция такая, что в каждой точке её производная равна 0.

Такое свойство имеет только определённая на функция, которая ни возрастает, ни убывает на этом промежутке. Ведь если бы на некоторой части промежутка эта функция возрастала или убывала, то там её производная была бы соответственно положительная или отрицательная. (Подробнее обоснование этого факта даётся в строгих курсах математического анализа.) Итак, , где С — постоянная, т. е. .

Этим доказано, что если — одна из первообразных для функции , то каждая из функций также её первообразная и других первообразных для ) не существует. Геометрически это означает, что графики любых двух первообразных для функции такие, что их можно совместить параллельным переносом вдоль оси ординат (рис. 102).

— общий вид первообразных для функции .

Каждая первообразная рассматривается на некотором промежутке. Если же для краткости его не указывают, то имеют в виду промежуток максимально возможной длины. В частности, если функция ) определена на и промежуток не указано, то речь идет о её первообразной также на .

Операцию нахождения производной данной функции называют дифференцированием. Обратная ей операция — нахождение первообразной — называется интегрированием.

Используя формулы дифференцирования (с. 218), составим таблицу первообразных. Советуем запомнить её.

Обосновать эту таблицу можно дифференцированием функции из её второй строки. Пользуясь таблицей, можно сразу писать, что, например, для функции первообразной есть и т.д.

Множество всех первообразных функции часто называют неопределённым интегралом этой функции и обозначают символом (читают: интеграл эф от икс де икс).

Выражение «проинтегрировать функцию» обозначает то же, что и «найти первообразную для функции » .

То есть, если — первообразная для функции , а —произвольное число, то .

Слово интеграл в переводе с латинского языка означает целый. Почему его так назвали, вы поймёте, когда ознакомитесь с определённым интегралом (см. с. 241).Неопределённым его называют потому, что он при заданной функции и данном значении имеет не одно числовое значение, а бесконечно много.

Таблицу первообразных, с помощью символа неопредёлен-ного интеграла можно записать так:

Примеры с решением

Пример №1

Докажите, что функция является первообразной для функции .

Доказательство..

Имеем . Итак, по определению, функция — первообразная для функции

Пример №2

Найдите первообразную для функции : а) ; б) ;

Решение:

Воспользуемся таблицей первообразных.

а) Первообразной для функции есть функция .

Для функции , поэтому .

б) Первообразной для функции есть функция

Для функции поэтому .

Пример №3

Найдите для функции такую первообразную, чтобы её график проходил через точку Р (2; 5).

Решение:

Пользуясь таблицей, найдём общий вид первообразных: Поскольку график искомой первообразной проходит через точку Р (2; 5), то , отсюда С = 3.

Следовательно, .

Ответ..

Пример №4

Проинтегрируйте функцию .

Решение:

Нахождение первообразных

Выведем несколько правил, подобных правилам дифференцирования, которые облегчают нахождение первообразных.

I. Если и — первообразные для функций ) и, то — первообразная для функции .

Действительно, если и . то

. Если — первообразная для функции , a — произвольное число, то — первообразная для функции .

Ведь .

Если —первообразная для функции , a ,b — произвольные числа , то — первообразная для функции .

»

Ведь

Пример №5

Найдите первообразную для функции:

а) ; б) ; в) .

Решение:

а) Для функций и первообразными являются соответственно и .

Поэтому для суммы данных функций общий вид первообразных

б) По правилу II: .

в) Одной из первообразных для функции ,согласно правилу III, является функция . Общий вид первообразных для данной функции

К нахождению первообразных сводятся прежде всего задачи, обратные тем, которые решаются с помощью производной. Рассмотрим пример..

Если известен закон прямолинейного движения тела ,то для нахождения его скорости в момент t нужно найти производную: . Здесь дан закон движения и требуется найти его скорость. Для механики не менее важно уметь решать обратную задачу: по заданной в каждый момент скорости определять закон движения.

Задача №1.

Точка движется прямолинейно с переменной скоростью . За перые 4 с она прошла 80 м. Найдите закон движения точки.

Решение:

Искомый закон движения выражается такой функцией, что . Здесь s(t) — первообразная для функции . Общий вид всех таких первообразных . Поскольку за 4 с точка прошла 80м, то 80 = 5-16 + С, отсюда С = 0.

Ответ. Искомый закон движения точки , где t — время в секундах, — расстояние в метрах.

Примеры других применений первообразной рассмотрим в следующих параграфах.

С помощью неопределённого интеграла правила интегрирования записываются так:

Пример №6

Найдите одну из первообразных для функции:

а); б).

Решение:

а) Для функции одной из первообразных есть функция . Учитывая то, что первообразной для функции есть функция , запишем искомую первообразную: ;

б) преобразуем сначала формулу, задающую функцию:

Тогда .

Пример №7

Тело движется прямолинейно с ускорением .

Определите скорость данного движения как функцию от времени f, если в момент t = 0 она равнялась 3 м/с.

Решение:

Ускорение — производная скорости. Поэтому если — искомая скорость, то . Следовательно,) — первообразная для функции , поэтому . Поскольку , то .

Ответ. .

Первообразная и площадь криволинейной трапеции

Пусть на координатной плоскости задан график непрерывной функции , принимающей на промежутке [а; Ь) только неотрицательные значения. Фигуру, ограниченную таким графиком, осью абсцисс и прямыми х = а и х = Ь, называют криволинейной трапецией.

Криволинейную трапецию называют также под графиком функции на [а; Ь].

Несколько криволинейных трапеций изображено на (рис. 105).

Каждая криволинейная трапеция имеет определённую площадь (это доказано в строгих курсах математического анализа). Эти площади можно находить с помощью первообразных.

Теорема. Площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции ) на промежутке [а; Ь], равна , где — первообразная для функции на [а; b].

Доказательство. Рассмотрим произвольную криволинейную трапецию, образованную графиком функции на (риc. 106). Пусть х — произвольная точка отрезка , а S(x) — площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции на . Понятно, что — функция от х. Докажем, что для каждого .

Дадим переменной х приращение , тогда функция получит приращение (pиc. 107). Это — площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции на промежутке , она приближённо равна площади прямоугольника с основанием , и высотой f(t), где t — некоторое число из промежутка . Поскольку функция f(x) непрерывна, такое число t обязательно найдётся.

Следовательно, откуда .

Если , то и , ибо функция непрерывна. Поэтому если , то , т. е. .

Как видим, функция S(x) — первообразная для на [а; Ь]. Поэтому если F(x) — какая-либо другая первообразная для ) на [a; b], то S(x) = F(x) + С, где С — постоянная. Чтобы определить С, учтём, что S(a) 0, ибо при х — а криволинейная трапеция, образованная графиком функции f(x) на [a; х], вырождается в отрезок; его площадь равна 0. Имеем: 0 = F(a) + С, отсюда С = -F(a). Следовательно,= F(х) — F(a). Если в это равенство подставим значение х = Ь, то получим площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции f(x) на [а; Ь]:

Значение выражения F(b) — F(a) вычисляют часто, поэтому для удобства его записывают ещё и так:..Итак, формула (1) приобретает вид:

Задача №2.

Найдите площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции на промежутке [1; 3].

Решение:

На (рис) 108 изображена фигура, площадь которой нужно найти. Для функции первообразной есть . Следовательно, искомая площадь

Задача №3.

Найдите площадь фигуры, ограниченной одной аркой синусоиды и осью абсцисс (риc. 109).

Решение:

Надо найти площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции на промежутке . Для функции первообразной есть функция . Следовательно, искомая площадь= 1 — (-1) — 2 (кв. ед.).

Пользуясь термином «криволинейная трапеция следует иметь в виду, что «криволинейная трапеция» не всегда является трапецией (риc. 109) и не всегда она криволинейная(риc. 105, б). А вообще она — не геометрическая фигура в научном понимании. Любое движение отображает каждую фигуру на равную ей фигуру такого же вида. А если «криволинейную трапецию *, например, изображенную на (рис 108), повернуть на 90°, она отображается на фигуру, которая не является криволинейной трапецией. Поэтому вместо «криволинейная трапеция» говорят и пишут «подграфик функции».

Задача №4.

Найдите площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции у = х на [0; 2].

Решение:

Данная криволинейная трапеция — прямоугольный треугольник с катетами 2 и 2 (риc. 110). Его площадь (кв. ед.).

Ответ. 2кв. ед.

Задача №5.

Найдите площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции у -3 на [1,2].

Заданная криволинейная трапеция — прямоугольник с измерениями 1 и 3 (риc. 111). Его площадь (кв. ед.).

Ответ. 3 кв. ед.

Задача №6.

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции и осью абсцисс.

Решение:

Найдем абсциссы точек пересечения графика данной функции с осью Ох. В этих точках ордината функции равна нулю:, отсюда , (риc. 112). Значит, надо найти площадь криволинейной трапеции, образованной

графиком функции на [-2; 2].Одна из первообразных для данной функции .Поэтому искомая площадь кв,ед.

Ответ. кв.ед.

Определённый интеграл

Рассмотрим другой подход к определению площади криволинейной трапеции.

Пусть дана криволинейная трапеция, образованная графиком функции f(x) на [a;b] (рис. 117). Разобьём отрезок [а; Ь] точками на n равных отрезков:

Построим на первом из этих отрезков прямоугольник высотой , на втором — прямоугольник высотой ,…, на n—м — прямоугольник высотой . В результате получим ступенчатый многоугольник, составленный из n прямоугольников. Пусть основание каждого из построенных прямоугольников равно ; тогда площадь всего ступенчатого многоугольника

Суммы такого вида называют интегральными суммами функции f(x) на [а; Ь]. Полученную интегральную сумму можно считать приближённым значением площади S криволинейной трапеции, образованной графиком функции f(x) на [а; Ь]. При этом если то (риc. 118). Пишут: .

He только задача о нахождении площади криволинейной трапеции, но и много других важных прикладных задач приводят к вычислению пределов подобных интегральных сумм. Поэтому для такого понятия введено специальное название и обозначение.

Предел интегральной суммы функции f(x) на отрезке [а; Ь], если , называют определённым интегралом функции f(x) от а до Ь.

Его обозначают символом (читают: интеграл от а до b эф от икс де икс). Здесь числа а и b пределы интегрирования, — знак интеграла, f(x) — подинтегральная функция, х —переменная интегрирования.

Следовательно, площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции f(x) на [а; Ь], равна , т. е.. Как доказано в предыдущем пункте, эта площадь равна , где — первообразная для функции f(x). Поэтому

Это — формула Ньютона—Лейбница, основная формула математического анализа. Она даёт возможность решать много разных интересных и содержательных задач — абстрактных и прикладных, в частности — и очень важных. Решали такие задачи сотни математиков еще задолго до создания математического анализа. Но для каждой задачи раньше они находили отдельный оригинальный способ решения. Найдя и обосновав формулу Ньютона—Лейбница, учёные получили общий и очень эффективный способ решения таких задач. Не случайно открытие формулы Ньютона—Лейбница специалисты считают самым важным открытием XVII века.Рационализировать вычисления определённых интегралов часто помогает такое их с в о й с т в о:

Справедливость этой формулы вытекает из следующих преобразований:

Задача №7.

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций и

Решение:

Построим графики данных функций (рис. 119). Надо найти площадь закрашенной фигуры. Она равна разности площадей фигур ОВАК и ОВАР. Границы интегрирования — абсциссы точек О и А, в которых пересекаются графики функций, т. е. значения х удовлетворяющие системе уравнений и . Из системы получим уравнение корни которого и

Следовательно, искомая площадь

Ответ. кв. ед.

Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:

Предмет высшая математика

Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:

Содержание:

Первообразная и интеграл

Ранее вы ознакомились с операцией дифференцирования: нахождения производной по данной функции. Не менее важна и обратная ей операция — интегрирование: нахождение функции по её производной.

Пусть дано функцию 

 Функция  называется первообразной для функции  на  промежутке если для каждого значения  из этого промежутка 

Например, на всей числовой оси (т. е. на  функция  является первообразной для  есть первообразной для 

Функция  является первообразной для  например на  Но не на  поскольку.  не существует, и не на  поскольку это не промежуток.

Одна ли функция  является первообразной для  Нет. Ведь и  и т. д. Каким бы ни было число  (произвольная постоянная), функция  — первообразная для 

Существуют ли другие функции, отличные от  первообразные для  Нет.

Теорема. (Основное свойство первообразных.) Каждая первообразная для функции  имеет вид  где  — одна из этих первообразных, а  — произвольная постоянная.

Доказательство 1. Пусть  — одна из первообразных для функции  на промежутке  т. е. для каждого 

По правилу нахождения производной суммы

Этим доказано, что какая бы ни была постоянная  если  — первообразная для  то и  — первообразная для 

2. Пусть  — две любые первообразные для функции  на промежутке  т. е.  и  для каждого  Тогда  

Как видим, функция  такая, что в каждой точке  eё производная равна 0. Такое свойство имеет только определённая на  функция, которая ни возрастает, ни убывает на этом промежутке. Ведь если бы на некоторой части промежутка  эта функция возрастала или убывала, то там её производная была бы соответственно положительная или отрицательная. (Подробнее обоснование этого факта даётся в строгих курсах математического анализа.) Итак,  где  — постоянная, т. е. 

Этим доказано, что если  — одна из первообразных для функции  то каждая из функций  также её первообразная и других первообразных для  не существует. Геометрически это означает, что графики любых двух первообразных для функции  такие, что их можно совместить параллельным переносом вдоль оси ординат (рис. 102).

 — общий вид первообразных для функции 

Каждая первообразная рассматривается на некотором промежутке. Если же для краткости его не указывают, то имеют в виду промежуток максимально возможной длины. В частности, если функция  определена на  и промежуток не указано, то речь идет о её первообразной  также на 

Операцию нахождения производной данной функции называют дифференцированием. Обратная ей операция — нахождение первообразной — называется интегрированием.

Используя формулы дифференцирования (с. 218), составим таблицу первообразных. Советуем запомнить её.

Обосновать эту таблицу можно дифференцированием функции из её второй строки. Пользуясь таблицей, можно сразу писать, что, например, для функции  первообразной есть  и т. д.

 Множество всех первообразных функции  часто называют неопределённым интегралом этой функции и обозначают символом (читают: интеграл эф от икс де икс).

Выражение «проинтегрировать функцию  обозначает то же, что и «найти первообразную для функции 

То есть, если  — первообразная для функции  — произвольное число, то 

Слово интеграл в переводе с латинского языка означает целый. Почему его так назвали, вы поймёте, когда ознакомитесь с определённым интегралом (см. с. 241).Неопределённым его называют потому, что он при заданной функции и данном значении  имеет не одно числовое значение, а бесконечно много.

Таблицу первообразных, с помощью символа неопредёленного интеграла можно записать так:

Пример №577

Докажите, что функция  является первообразной для функции 

Доказательство:

  Имеем:  Итак, по определению, функция  —первообразная для функции 

Пример №578

Найдите первообразную для функции: 

Решение:

Воспользуемся таблицей первообразных.

а) Первообразной для функции  есть функция 

Для функции  поэтому 

б) Первообразной для функции  есть функция 

Для функции  поэтому 

Пример №579

Найдите для функции  такую первообразную, чтобы её график проходил через точку 

Решение:

Пользуясь таблицей, найдём общий вид первообразных:  Поскольку график искомой первообразной проходит через точку  отсюда  Следовательно, 

Ответ. 

Пример №580

Проинтегрируйте функцию 

Решение:

 

Нахождение первообразных

Выведем несколько правил, подобных правилам дифференцирования, которые облегчают нахождение первообразных.

I.    Если  — первообразные для функций  то  — первообразная для функции 

Действительно, если  то

II.    Если  — первообразная для функции  — произвольное число, то  — первообразная для функции 

Ведь 

III.    Если  —первообразная для функции  — произвольные числа  — первообразная для функции 

Ведь 

Пример №581

Найдите первообразную для функции: 

Решение:

а) Для функций  первообразными являются соответственно  Поэтому для суммы данных функций общий вид первообразных

б) По правилу 

в) Одной из первообразных для функции  согласно правилу III, является функция  Общий вид первообразных для данной функции

К нахождению первообразных сводятся прежде всего задачи, обратные тем, которые решаются с помощью производной. Рассмотрим пример.

Если известен закон прямолинейного движения тела  то для нахождения его скорости в момент  нужно найти производную:  Здесь дан закон движения и требуется найти его скорость. Для механики не менее важно уметь решать обратную задачу: по заданной в каждый момент скорости определять закон движения.

Пример №582

Точка движется прямолинейно с переменной скоростью  За первые 4 с она прошла 80 м. Найдите закон движения точки.

Решение:

Искомый закон движения выражается такой функцией  Здесь  — первообразная для функции  Общий вид всех таких первообразных  Поскольку за 4 с точка прошла 80 м, то  отсюда 

Ответ. Искомый закон движения точки  где  — время в секундах,  — расстояние в метрах.

Примеры других применений первообразной рассмотрим в следующих параграфах.

С помощью неопределённого интеграла правила интегрирования записываются так:

 — первообразная для 

Пример №583

Найдите одну из первообразных для функции:

Решение:

а) Для функции  одной из первообразных есть функция Учитывая то, что первообразной для функции  есть функция  запишем искомую первообразную: 

б) преобразуем сначала формулу, задающую функцию:

 Тогда 

Пример №584

Тело движется прямолинейно с ускорением  Определите скорость данного движения как функцию от времени  если в момент  она равнялась

Решение:

Ускорение — производная скорости. Поэтому если  — искомая скорость, то  Следовательно,  — первообразная для функции  поэтому  Поскольку 

Ответ. 

Первообразная и площадь криволинейной трапеции

Пусть на координатной плоскости задан график непрерывной функции  принимающей на промежутке  только неотрицательные значения. Фигуру, ограниченную таким графиком, осью абсцисс и прямыми  называют криволинейной трапеции.

Криволинейную трапецию называют также подграфиком функции 

Несколько криволинейных трапеций изображено на рисунке 105.

Каждая криволинейная трапеция имеет определённую площадь (это доказано в строгих курсах математического анализа). Эти площади можно находить с помощью первообразных.

Теорема. Площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции  на промежутке  равна  где  — первообразная для функции 

Доказательство. Рассмотрим произвольную криволинейную трапецию, образованную графиком функции  (рис. 106). Пусть  — произвольная точка отрезка  — площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции  Понятно, что  — функция от  Докажем, что  для каждого 

Дадим переменной  приращение тогда функция  получит приращение  (рис. 107). Это — площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции  на промежутке  она приближённо равна площади прямоугольника с основанием  и высотой  где  — некоторое число из промежутка  Поскольку функция  непрерывна, такое число  обязательно найдётся.

Следовательно,  откуда — 

Если  ибо функция  непрерывна. Поэтому если 

Как видим, функция  — первообразная для  Поэтому если — какая-либо другая первообразная для  на  где  — постоянная. Чтобы определить  учтём, что  ибо при криволинейная трапеция, образованная графиком функции вырождается в отрезок; его площадь равна 0. Имеем:  отсюда  Следовательно,  Если в это равенство подставим значение  то получим площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции  на 

Значение выражения  вычисляют часто, поэтому для удобства его записывают ещё и так: 

Итак, формула (1) приобретает вид:

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример №585

Найдите площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции  на промежутке 

Решение:

На рисунке 108 изображена фигура, площадь которой нужно найти. Для функции  первообразной есть  Следовательно, искомая площадь 

Пример №586

Найдите площадь фигуры, ограниченной одной аркой синусоиды и осью абсцисс (рис. 109).

Решение:

Надо найти площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции  на промежутке  Для функции первообразной есть функция  Следовательно, искомая площадь  (кв. ед.).

Пользуясь термином «криволинейная трапеция», следует иметь в виду, что «криволинейная трапеция» не всегда является трапецией (рис. 109) и не всегда она криволинейная (рис. 105, б). А вообще она — не геометрическая фигура в научном понимании. Любое движение отображает каждую фигуру на равную ей фигуру такого же вида. А если «криволинейную трапецию», например, изображенную на рисунке 108, повернуть на 90°, она отображается на фигуру, которая не является криволинейной трапецией. Поэтому вместо «криволинейная трапеция» говорят и пишут «подграфик функции».

Пример №587

Найдите площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции 

Решение:

Данная криволинейная трапеция — прямоугольный треугольник с катетами 2 и 2 (рис. 110). Его площадь  (кв. ед.).

Ответ. 2 кв. ед.

Пример №588

Найдите площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции 

Решение:

Заданная криволинейная трапеция — прямоугольник с измерениями 1 и 3 (рис. 111). Его площадь  (кв. ед.).

Пример №589

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции  и осью абсцисс.

Решение:

Найдем абсциссы точек пересечения графика данной функции с осью  В этих точках ордината функции равна нулю:  отсюда  (рис. 112). Значит, надо найти площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции  на  Одна из первообразных для данной функции  Поэтому искомая площадь

 (кв.ед.)

Ответ.  кв. ед.

Поговорим мы сегодня именно об этой прекрасной даме: узнаем, что такое первообразная, как она связана с интегралами и производными, и что самое важное, как её рассчитать без особого труда.

Дифференцирование и интегрирование

Если проанализировать все математические действия, то большинству из них будет соответствовать какое-то обратное:

• сложение обратно вычитанию,

• умножение — делению,

• возведение в степень — извлечению арифметического корня.

С производной то же самое: мы можем продифференцировать функцию, а можем произвести обратный процесс — интегрирование.

Дифференциация — операция взятия полной или частной производной функции.

Интегрирование — процесс поиска интеграла; восстановление функции по её производной.

Нахождение производной от функции обозначается знаком ′. Так, если исходная функция — y, то её производная будет обозначаться y′.

Чтобы взять производную от функции, мы воспользуемся таблицей производных и правилами дифференцирования.

Правила дифференцирования

(c ⋅ f)′ = c ⋅ f′

(u + v)′ = u′ + v′

(u — v)′ = u′ — v′

(u ⋅ v)′ = u′v + v′u

(u/v)’ = (u’v — v’u)/v²

u, v, f — это функции, а c — константа (любое число).

У интегрирования тоже есть своё обозначение — ∫. То есть если мы хотим взять интеграл от функции f(x), мы запишем это так: ∫f(x) dx.

Внимательные заметили в записи интегрирования непривычное для нас «dx». Что это такое? Зачем добавлять эти буквы в выражение для интеграла? Сейчас во всём разберёмся!

Дифференциал

Разберём буквы dx по отдельности:

• d — это дифференциал,

• х — функция, по которой будет произведено дифференцирование.

Так, если мы дифференцируем функции y, f, m, то их дифференциалы запишем соответственно как dy, df, dm.

Дифференциал в математике (от лат. differentia — разность, различие) — линейная часть приращения функции.

То есть это понятие родственно производной — но для чего его записывать рядом с интегралом?

Для понимания важности дифференциала в записи рассмотрим рисунок:

Геометрический смысл интеграла — это площадь фигуры под кривой функции. Если поместить график в декартову систему координат OХY, то эту площадь можно рассчитать относительно и оси ОХ, и оси ОУ, и именно дифференциал вносит ясность в выбор.

Понятие дифференциала в математике очень важное, глубокое, имеет множество нюансов использования, но сейчас нам важно понимать две вещи:

• дифференциал показывает, какую конкретно функцию мы будем интегрировать;

• его обязательно нужно записывать рядом с интегралом!

Что такое первообразная?

Пришло время познакомиться с её величеством первообразной! Начнём с определения.

Первообразная для функции f(x) — это такая функция F(x), производная которой равна f(x). То есть выполняется равенство F'(x) = f(x).

Пример 1: мы знаем, что ускорение является производной от скорости. Тогда по нему можно найти скорость, восстановив функцию и найдя его первообразную.

Пример 2: производная функции –sin(x). Посмотрим внимательно в таблицу производных: cos'(x) = –sin(x). Тогда первообразная функции sin(x) будет равна –cos(x) + С с учётом постоянной величины.

Константа

Зачем добавлять константу к первообразной?

Представьте, что нам необходимо найти производную функций:

−cos(x) + 3,
−cos(x) + 5,
−cos(x) − 6.

Тогда производная будет равна sin(x) для всех трёх вариантов, так как производная любого числа равна нулю:

(−cos(x) + 3)’ = sin (x),
(−cos(x) + 5)’ = sin (x),
(−cos(x) − 6)’ = sin (x).

Выходит, что получить исходную функцию в первозданном виде невозможно, но учесть дополнительное слагаемое в виде числа нам нужно. Именно поэтому в первообразной добавляют константу «+ С». Выражение, которое имеет общий вид F(x) + С, называется множеством первообразных функции.

Отсюда вытекает свойство первообразной: любые две первообразные одной и той же функции отличаются друг от друга не более чем на постоянную величину C.

Правила нахождения первообразной

Нахождение первообразной функции технически связано с поиском неопределённого интеграла функции.

Неопределённый интеграл — это интеграл, для которого не задан промежуток интегрирования.

Важный момент: если продифференцировать можно любую функцию, то найти первообразную функции можно не всегда.

Об этом говорит достаточное условие интегрируемости: если на некотором промежутке функция непрерывна, то она интегрируема на нём.

Каким образом можно найти первообразную функцию? Всё просто! Как и в случае с производной, мы можем воспользоваться готовой таблицей первообразных и свойствами неопределённого интеграла!

13. «Высокий» логарифм:

14. «Длинный» логарифм:

Свойства неопределённого интеграла

Свойства неопределённого интеграла можно назвать правилами интегрирования — основываясь на них, мы сможем находить первообразную сложных функций, сводя их к лёгким.

1. Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению:

2. Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

3. Константу можно вынести из-под знака интеграла: то есть, если

   , то

   .

4. Неопределённый интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов:

Примеры решения заданий

Задание 1

Найди первообразную функции

1. Записываем неопределённый интеграл:

2. Применяем свойство неопределённого интеграла об алгебраической сумме функций:

3. Выносим константы за знак интеграла:

4. Проводим интегрирование согласно таблице первообразных:

Задание 2

Вычисли неопределенный интеграл

1. Раскрываем скобку по формуле квадрата суммы и вносим х в скобку:

2. Воспользуемся свойством неопределенного интеграла об алгебраической сумме функций, выносим константы за знак интеграла и находим первообразную:

Интегрирование и нахождение первообразной — одна из самых сложных, но одновременно интересных тем алгебры. Иногда задания похожи на головоломку: необходимо выбрать верный способ решения, учесть все нюансы, выполнить верные вычисления. Научиться выполнять такие задания можно на уроках онлайн-курса математики в школе Skysmart: там вы не только подготовитесь к экзаменам, но и научитесь находить нестандартные решения, мыслить логически и строить самые неопровержимые доказательства.