Как пишется число грэма цифрами - Правописание и грамматика

Какое на свете самое больше число, которое что–то означает? В этой статье я попытаюсь рассказать о цифровом монстре, называемом число Грэма,

Пишет sly2m.livejournal.com

Если долго всматриваться в бездну, можно неплохо провести время.
Инженер Механических Душ

Число Грэма на пальцах™

Как только ребенок (а это происходит где то года в три-четыре) понимает, что все числа делятся на три группы «один, два и много», он тут же пытается выяснить: насколько много бывает много, чем много отличается от очень много, и может ли оказаться так много, что больше не бывает. Наверняка вы играли с родителями в интересную (для того возраста) игру, кто назовет самое большее число, и если предок был не глупее пятиклассника, то он всегда выигрывал, на каждый «миллион» отвечая «два миллиона», а на «миллиард» — «два миллиарда» или «миллиард плюс один».

Уже к первому классу школы каждый знает — чисел бесконечное множество, они никогда не заканчиваются и самого большого числа не бывает. К любому миллиону триллионов миллиардов всегда можно сказать «плюс один» и остаться в выигрыше. А чуточку позже приходит (должно прийти!) понимание, что длинные строки цифр сами по себе ничего не значат. Все эти триллионы миллиардов только тогда имеют смысл, когда служат представлением какого — то количества предметов или же описывают некое явление. Выдумать длиннющее число, которое ничего из себя не представляет, кроме набора долго звучащих цифр, нет никакого труда, их итак бесконечное количество. Наука, в какой — то образной мере, занимается тем, что выискивает в этой необозримой бездне совершенно конкретные комбинации цифр, присовокупляя к некому физическому явлению, например скорости света, числу Авогадро или постоянной Планка.

И сразу же возникает вопрос, а какое на свете самое больше число, которое что–то означает? В этой статье я попытаюсь рассказать о цифровом монстре, называемом число Грэма, хотя строго говоря, науке известны числа и побольше. Число Грэма самое распиаренное, можно сказать «на слуху» у широкой публики, потому что оно довольно просто в объяснении и все же достаточно велико, чтобы вскружить голову. Вообще, тут необходимо объявить небольшой disclaimer (рус. предостережение). Пусть прозвучит как шутка, но я нифига не шучу. Говорю вполне серьезно — дотошное ковыряние в подобных математических глубинах в совокупности с безудержным расширением границ восприятия может оказать (и окажет) серьезное влияние на мироощущение, на позиционирование личности в обществе, и, в конечном итоге, на общее психологическое состояние ковыряющего, или, будем называть вещи своими именами — открывает дорогу к шизе. Не нужно чересчур внимательно вчитываться в нижеследующий текст, не стоит слишком ярко и живо представлять описываемые в нем вещи. И не говорите потом, что вас не предупреждали!

Пальцы:

Прежде чем переходить к числам–монстрам, потренируемся для начала на кошках. Напомню, что для описания больших чисел (не монстров, а просто больших чисел) удобно пользоваться научным или т.н. экспоненциальным способом записи.

Когда говорят, скажем, о количестве звезд во Вселенной (в Обозримой Вселенной), никакой идиот не лезет вычислять сколько их там в буквальном смысле с точностью до последней звезды. Считается, что примерно 10²¹ штук. И это оценка снизу. Значит общее количество звезд можно выразить числом, у которого после единицы стоит 21 ноль, т.е. «1 000 000 000 000 000 000 000».

Так выглядит небольшая часть из них (около 100 000) в шаровом скоплении Омега Центавра.

Естественно, когда речь идет о подобных масштабах, действительные цифры в числе существенного значения не играют, все ведь весьма условно и примерно. Может быть на самом деле число звезд во Вселенной «1 564 861 615 140 168 357 973», а может «9 384 684 643 798 468 483 745». А то и «3 333 333 333 333 333 333 333», почему нет, хотя маловероятно, конечно. В космологии, науке о свойствах Вселенной в целом, такими мелочами не морочатся. Главное представлять, что примерно это число состоит из 22 цифр, от чего удобней считать его единицей с 21 нулем, и записывать как 10²¹. Правило общее и весьма простое. Какая цифра или число стоят на месте степени (напечатаны мелким шрифтом сверху над 10), столько нолей после единицы будет в этом числе, если расписать его по–простецки, знаками подряд, а не по–научному. У некоторых чисел существуют «человеческие названия», например 10³ мы называем «тысяча», 10⁶ — «миллион», а 10⁹ — «миллиард», а у некоторых нет. Скажем у 10⁵⁹ нет общепринятого названия. А у 10²¹, кстати, есть — это «секстиллион».

Все, что идет до миллиона, практически любому человеку понятно интуитивно, ведь кто не хочет стать миллионером? Дальше у некоторых начинаются проблемы. Хотя миллиард (10⁹) тоже знают почти все. До миллиарда даже можно досчитать. Если только родившись, буквально в момент появления на свет начать считать раз в секунду «один, два, три, четыре…» и не спать, не пить, не есть, а только считать–считать–считать без устали днем и ночью, то когда стукнет 32 года можно досчитать до миллиарда, потому что 32 оборота Земли вокруг Солнца занимают примерно миллиард секунд.

7 миллиардов — количество людей на планете. Исходя из вышеизложенного, посчитать их всех по порядку в течение человеческой жизни совершенно невозможно, придется прожить больше двухсот лет.

100 миллиардов (10¹¹) — столько или около того людей жило на планете за всю ее историю. 100 миллиардов гамбургеров продал Макдональдс к 1998 году за 50 лет своего существования. 100 миллиардов звезд (ну, чуть больше) находится в нашей галактике Млечный Путь, и Солнце — одна из них. Такое же количество галактик содержится в обозримой Вселенной. 100 миллиардов нейронов находится в головном мозге человека. И столько же анаэробных бактерий проживают у каждого читающего эти строки в слепой кишке.

Триллион (10¹²) — число, которым редко пользуются. До триллиона досчитать невозможно, на это уйдет 32 тысячи лет. Триллион секунд назад люди жили в пещерах и охотились с копьями на мамонтов. Да, триллион секунд назад на Земле жили мамонты. В океанах планеты примерно триллион рыб. В соседней с нами галактике Андромеды около триллиона звезд. Человек состоит из 10 триллионов клеток. ВВП России в 2013м году составил 66 триллионов рублей (в рублях 2013го года). От Земли до Сатурна 100 триллионов сантиметров и столько же букв в целом было отпечатано во всех когда–либо опубликованных книгах.

Квадриллион (10¹⁵, миллион миллиардов) — столько всего муравьев на планете. Это слово нормальные люди вслух не произносят, ну, признайтесь, когда вы последний раз в разговоре слышали «квадриллион чего–то»?

Квинтиллион (10¹⁸, миллиард миллиардов) — столько существует возможных конфигураций при сборке кубика Рубика 3х3х3. Так же количество кубометров воды в мировом океане.

Секстиллион (10²¹) — это число нам уже встречалось. Количество звезд в Обозримой Вселенной. Количество песчинок всех пустынь Земли. Количество транзисторов во всех существующих электронных устройствах человечества, если Intel нам не врал.

10 секстиллионов (10²²) — количество молекул в грамме воды.

10²⁴ — масса Земли в килограммах.

10²⁶ — диаметр Обозримой Вселенной в метрах, но в метрах считать не очень удобно, общепринятые границы Обозримой Вселенной 93 миллиарда световых лет.

Размерами, большими чем Обозримая Вселенная, наука не оперирует. Мы знаем наверняка, что Обозримая Вселенная это не вся–вся–вся Вселенная. Это та часть, что мы, хотя бы теоретически, можем видеть и наблюдать. Или могли видеть в прошлом. Или сможем увидеть когда–нибудь в отдаленном будущем, оставаясь в рамках современной науки. От остальных частей Вселенной даже со скоростью света сигналы не смогут до нас добраться, от чего этих мест с нашей точки зрения как бы не существует. Насколько велика та большая Вселенная на самом деле никто не знает. Может быть в миллион раз больше, чем Обозримая. А может в миллиард. А может и вообще бесконечная. Говорю же, это уже не наука, а гадание на кофейной гуще. У ученых есть кое–какие догадки, но это больше фантазии, чем реальность.

Для визуализации космических масштабов полезно изучить эту картинку, раскрыв ее на весь экран.

Источник:

Однако даже в Обозримую Вселенную можно напихать гораздо больше чего–то другого, чем метры.

10⁵¹ атомов составляют планету Земля.

10⁸⁰ примерное количество элементарных частиц в Обозримой Вселенной.

10⁹⁰ примерное количество фотонов в Обозримой Вселенной. Их почти в 10 миллиардов раз больше, чем элементарных частиц, электронов и протонов.

10¹⁰⁰ — гугол. Это число ничего физически не значит, просто круглое и красивое. Компания, которая поставила себе целью индексировать гугол ссылок (шутка, конечно, это же больше, чем число элементарных частиц во Вселенной!) в 1998 году взяла себе название Google.

10¹²² протонов понадобится, чтобы набить Обозримую Вселенную под завязку, плотненько так, протончик к протончику, впритык.

10¹⁸⁵ планковских объемов занимает Обозримая Вселенная. Меньших величин, чем планковский объем (кубик размеров планковской длины 10⁻³⁵ метра) наша наука не знает. Наверняка, как и со Вселенной, там есть что–то еще более мелкое, но вменяемых формул для подобных мелочей ученые еще не придумали, одни сплошные спекуляции.

Получается, что 10¹⁸⁵ или около того — наибольшее число, которое в принципе может что–то значить в современной науке. В науке, которая может пощупать и измерить. Это то, что существует или могло бы существовать, если так случилось, что мы узнали о Вселенной все, что можно было узнать. Число состоит из 186 цифр, вот оно:

100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Наука здесь, конечно же, не заканчивается, но дальше уже идут вольные теории, догадки, а то и просто околонаучный чес и гон. Например, вы наверняка слышали про инфляционную теорию, согласно которой, возможно, наша Вселенная лишь часть более общей Мультивселенной, в которой этих вселенных как пузырей в океане шампанского.

Или слышали о теории струн, согласно которой может существовать около 10⁵⁰⁰ конфигураций колебаний струн, а значит такое же количество потенциальных вселенных, каждая со своими законами.

Упомяну лишь известный многим гуголплекс. Число у которого гугол цифр, десять в степени гугол или десять в степени десять в степени сто

10¹⁰ ⁰⁰⁰ ⁰⁰⁰ ⁰⁰⁰ ⁰⁰⁰ ⁰⁰⁰ ⁰⁰⁰ ⁰⁰⁰ ⁰⁰⁰ ⁰⁰⁰ ⁰⁰⁰ ⁰⁰⁰ ⁰⁰⁰ ⁰⁰⁰ ⁰⁰⁰ ⁰⁰⁰ ⁰⁰⁰ ⁰⁰⁰ ⁰⁰⁰ ⁰⁰⁰ ⁰⁰⁰ ⁰⁰⁰ ⁰⁰⁰ ⁰⁰⁰ ⁰⁰⁰ ⁰⁰⁰ ⁰⁰⁰ ⁰⁰⁰ ⁰⁰⁰ ⁰⁰⁰ ⁰⁰⁰ ⁰⁰⁰ ⁰⁰⁰ ⁰⁰⁰

Не буду записывать его цифрами. Гуголплекс не значит абсолютно ничего. Человек не может представить себе гуголплекс чего бы то ни было, это физически невозможно. Чтобы записать такое число понадобится вся Обозримая Вселенная, если писать «нано–ручкой» прямо по вакууму фактически в планковские ячейки космоса. Переведем всю материю на чернила и заполним Вселенную одними сплошными цифрами, тогда получим гуголплекс. Но математики (страшные люди!) гуголпрексом только разминаются, это нижайшая планка, с которой для них стартуют настоящие ништяки. И если вы думаете, что гуголплекс в степени гуголплекс это то, о чем пойдет речь, вы даже не представляете, НАСКОЛЬКО ошибаетесь.

За гуголплексом идут много интересных чисел, имеющих ту или иную роль в математических доказательствах, долго ли коротко, перейдем сразу к числу Грэма, названному так в честь (ну, естественно) математика Рональда Грэма. Сначала расскажу, что это такое и для чего нужно, после чего образно и на пальцах™ опишу, каково оно по величине, а затем уже напишу само число. Точнее попытаюсь объяснить, что же я написал.

Представьте себе куб, все вершины которого соединены линиями–отрезками двух цветов, красного или синего. Соединены и раскрашены в случайном порядке. Кое–кто уже догадался, что речь пойдет о разделе математики под названием комбинаторика.

Сможем ли мы исхитриться и так подобрать конфигурацию цветов (а их всего два — красный и синий), чтобы при раскраске этих отрезков у нас НЕ ВЫШЛО, что все отрезки одного цвета, соединяющие четыре вершины, лежат в одной плоскости? В данном случае, НЕ представляют из себя такую фигуру:

А что, если у нас больше измерений? Что, если мы возьмем не куб, а четырехмерный куб, т.е. тессеракт? Сможем ли мы провернуть тот же фокус, что и с трехмерным?

В пятимерном? И в пятимерном, там где куб называется пентерактом или пентакубом, тоже можно.
И в шестимерном.

А дальше уже сложности. Грэм не смог математически доказать, что у семимерного гиперкуба удастся провернуть такую операцию. И у восьмимерного и у девятимерного и так далее. Но данное «и так далее», оказалось, не уходит в бесконечность, а заканчивается неким очень большим числом, которое и назвали «числом Грэма».

То есть существует какая–то минимальная размерность гиперкуба, при котором условие нарушается, и уже невозможно избежать комбинации раскраски отрезков, что четыре точки одного цвета будут лежать в одной плоскости. И эта минимальная размерность точно больше шести и точно меньше числа Грэма, в этом и заключается математическое доказательство ученого.

А теперь определение того, что я выше расписал на несколько абзацев, сухим и скучным (зато емким) языком математики. Понимать не надо, но не привести его я не могу.

Рассмотрим n–мерный гиперкуб и соединим все пары вершин для получения полного графа с 2n вершинами. Раскрасим каждое ребро этого графа либо в красный, либо в синий цвет. При каком наименьшем значении n каждая такая раскраска обязательно содержит раскрашенный в один цвет полный подграф с четырьмя вершинами, все из которых лежат в одной плоскости?

С 70х годов прошло немало лет, были найдены математические задачи в которых проявляются числа и побольше грэмова, но это первое число–монстр так поразило современников, понимавших о каких масштабах идет речь, что в 1980м году его включили в книгу рекордов Гиннесса, как «самое большое число, когда–либо участвовавшее в строгом математическом доказательстве» на тот момент.

Давайте попытаемся разобраться, насколько оно велико. Самое большое число, могущее иметь какой–то физический смысл 10¹⁸⁵, а если всю Обозримую Вселенную заполнить кажущимся бесконечным набором мизерных циферок, получим что–то соизмеримое с гуголплексом.

Число действительно огромно, рвет мозг. Оно не совсем точно равно гуголплексу, и у него нет названия, потому буду называть его «дохулион». Только что придумал, почему бы и нет. Количество планковских ячеек в Обозримой Вселенной, и в каждой ячейке записана цифра. Число содержит 10¹⁸⁵ цифр, его можно изобразить как

Раскроем двери восприятия чуть пошире. Помните инфляционную теорию? Что наша Вселенная лишь одна из многих пузырьков Мультивселенной. А если представить дохулион таких пузырьков? Возьмем число, длиною со все сущее и представим себе Мультивселенную с подобным количеством вселенных, каждая из которых под завязку исписана цифрами — получим дохулион дохулионов. Представляете себе такое? Как плывешь в небытии скалярного поля, а кругом вселенные–вселенные и в них цифры–цифры–цифры… Надеюсь, подобный кошмар (хотя, почему кошмар?) не будет мучить (и почему мучить?) излишне впечатлительного читателя по ночам.

Для удобства назовем подобную операцию «флип». Такое несерьезное междометие, как будто взяли Вселенную и вывернули наизнанку, то она была внутри в цифрах, а теперь наоборот у нас снаружи столько вселенных, сколько было цифр, и каждая полным–полна коробочка, сама вся в цифрах. Как гранат чистишь, корочку так отгибаешь, изнутри выворачиваются зернышки, а в зернышках снова гранаты. Тоже на ходу придумалось, почему бы и нет, с дохулионом ведь прокатило.

К чему я клоню? Стоит ли тормозить? Давайте, хоба, и еще один флип! И вот у нас столько вселенных, сколько было цифр во вселенных, количество которых было равно дохулиону цифр, заполнявших нашу Вселенную. И сразу, не останавливаясь, еще раз флип. И четвертый, и пятый. Десятый, тысячный. Успеваете за мыслью, все еще представляете себе картину?

Не будем мелочиться, распускаем крылья воображения, разгоняемся по полной и флипаем флип флипов. Столько раз выворачиваем каждую вселенную наизнанку, сколько дохулионов вселенных было в предыдущем флипе, который флипал из позапрошлого, который… эээ… ну, вы следите? Где–то так. Пусть теперь наше число станет, предположим, «дохулиард».

дохулиард = флип флипов

Не останавливаемся и продолжаем флипать дохулионы дохулиардов до тех пор пока есть силы. Пока в глазах не темнеет, пока не захочется кричать. Тут каждый сам себе отважный Буратина, стоп–слово будет «брынза».

Так вот. Это все о чем? Огромные и бесконечные дохулионы флипов и дохулиарды вселенных полных цифр не идут ни в какое сравнение с числом Грэма. Даже не скребут по поверхности. Если число Грэма представить в виде палки, растянутой по традиции во всю Обозримую Вселенную, то, что мы тут с вами нафлипали окажется засечкой толщины… ну… как бы это так, помягче выразить… недостойной упоминания. Вот, смягчал, как мог.

Число g₁ равно «три, четыре стрелочки, три». Что это значит? Так выглядит способ записи, называемый стрелочная нотация Кнута.

Для подробностей и деталей можно почитать статью в Википедии, но там формулы, я коротенько перескажу ее простыми словами.

Одна стрелочка означает обыкновенное возведение в степень.

2↑2 = 2² = 4

3↑3 = 3³ = 27

4↑4 = 4⁴ = 256

10↑10 = 10¹⁰ = 10 000 000 000

Две стрелочки означают, что понятно, возведение в степень степени.

Короче говоря, «число стрелочка стрелочка другое число» показывает, какая высота степеней (математики говорят «башня») выстраивается из первого числа. Например 5↑↑8 означает башню из восьми пятерок и настолько велико, что не может быть рассчитано ни на каком суперкомпьютере, даже на всех компьютерах планеты одновременно.

Переходим к трем стрелочкам. Если двойная стрелочка показывала высоту башни степеней, то тройная, казалось бы, укажет «высоту башни высоты башни»? Какой–там! В случае тройки мы имеем высоту башни высоты башни высоты башни (в математике такого понятия нет, я решил назвать его «безбашней»). Как–то так:

То есть 3↑↑↑3 образует безбашню из троек, высотой в 7 триллионов штук. Что такое 7 триллионов троек, поставленные друг на друга и именуемые «безбашней»? Если вы внимательно читали этот текст и не уснули в самом начале, вероятно помните, что от Земли до Сатурна 100 триллионов сантиметров. Тройка, показанная на экране двенадцатым шрифтом, вот эта — 3 — высотой миллиметров пять. Значит безбашня из троек протянется от вашего экрана… ну, не до Сатурна, конечно. Даже до Солнца не дотянется, всего четверть астрономической единицы, примерно как от Земли до Марса в хорошую погоду. Обращаю внимание (не спать!), что безбашня это не число длиной от Земли до Марса, это башня степеней такой высоты. Мы помним, что пять троек в этой башне покрывают гуголплекс, вычисление первого дециметра троек сжигает все предохранители компьютеров планеты, а остальные миллионы километров степеней уже как бы и ни к чему, они просто в открытую насмехаются над читателем, считать их бесполезно.

Теперь понятно, что 3↑↑↑4 = 3↑↑3↑↑3↑↑3 = 3↑↑3↑↑7 625 597 484 987 = 3↑↑безбашня, (не 3 в степени безбашни, а «три стрелочка стрелочка безбашня»(!)), она же безбашня безбашни не влезет ни по длине ни по высоте в Обозримую Вселенную, и даже не поместится в предполагаемую Мультивселенную.

На 3↑↑↑5 = 3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3 заканчиваются слова, а на 3↑↑↑6 = 3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3 кончаются междометия, но можете потренироваться, коль есть интерес.

Переходим к четырем стрелочкам. Как вы уже догадались, тут безбашня на безбашне сидит, безбашней погоняет, и хоть с башней, что без башни — все равно. Просто молча приведу картинку, раскрывающую схему вычисления четырех стрелочек, когда каждое следующее число башни степеней определяет высоту башни степеней, определяющую высоту башни степеней, определяющую высоту башни степеней… и так до самозабвения.

Вот, что такое g₁, вот что такое 3↑↑↑↑3.

Передохнули? Теперь от g₁ с новыми силами возвращаемся к штурму числа Грэма. Заметили, как нарастает эскалация от стрелочки к стрелочке?

3↑3 = 27

3↑↑3 = 7 625 597 484 987

3↑↑↑3 = башня, высотой от Земли до Марса.

3↑↑↑↑3 = число, которое невозможно ни представить ни описать.

А вообразите какой цифровой кошмар творится, когда стрелок окажется пять? Когда их шесть? Можете представить число, когда стрелок будет сто? Если можете, позвольте предложить вашему вниманию число g₂, в котором количество этих стрелок оказывается равно g₁. Помните, что такое g₁, да?

Не буду скрывать, есть еще g₃, в котором содержится g₂ стрелок. Кстати, все еще понятно, что g₃, это не g₂ «в степени» g₂, а количество безбашен, определяющих высоту безбашен, определяющих высоту… и так по всей цепочке вниз до тепловой смерти Вселенной? Здесь можно начинать плакать.

Почему плакать? Потому что совершенно верно. Есть еще число g₄, в котором содержится g₃ стрелочек между тройками. Есть так же g₅, есть g₆ и g₇ и g₁₇ и g₄₃…

Короче их 64 штуки этих g. Каждое предыдущее численно равно количеству стрелок в следующем. Последнее g₆₄ и есть число Грэма, с которого все так вроде бы невинно начиналось. Это число размерностей гиперкуба, которого точно будет достаточно, чтобы правильно раскрасить отрезки красным и синим цветами. Может и меньше, это, так сказать, верхняя граница. Его записывают следующим образом:

Все, теперь можно расслабиться по–честному. Нет больше необходимости ничего представлять и рассчитывать. Если вы дочитали до этого места, уже как бы все должно встать на свои места. Или не встать. Или не на свои.

Да, опытный читатель с прокачанными предохранителями, не нужно упреков, вы абсолютно правы. Число Грэма — надуманная и высосанная из пальца фигня. Все эти безразмерные гиперкубы и абстрактные плоскости, дьявол их раздери, кому они нужны? Где килограммы, где электроны, где то, что можно измерить? Что за пустые разглагольствования ни о чем? Соглашусь. Можно сказать, что сегодняшний пост на пальцах™ максимально, на сколько это было возможно, далек от реальной науки, почти весь целиком парит в каких–то заумных математических фантазиях, в то время как ученым не хватает денег на приборы, не решена мировая энергетическая проблема, а у кого–то все еще туалет во дворе. А у кого и в поле.

Но знаете, есть такая теория, тоже весьма эфемерная и философская, может слышали — все, что человек мог себе представить или вообразить обязательно когда–нибудь воплотится. Потому что развитие цивилизации определяется по тому, насколько она смогла воплотить в реальность фантазии прошлого.

Истории человеческой цивилизации 10 000 лет. Задумайтесь, человечеству всего 10 000 лет! Хотя отдельному человеку в виде прямоходящей обезьяны без хвоста дают 4 миллиона. Все эти 4 миллиона лет спустившаяся с деревьев обезьяна училась держать палку и добывать огонь. Только десять тысяч лет назад появилось какое–то первое подобие общества, человек вышел из пещер и начал строить дома и деревни. Герой того времени (уже довольно цивилизованный по современным меркам) не мог посчитать дальше сотни тысяч (а просто нечего было считать больше такого количества), не имел понятия о среднем арифметическом и не знал суммы квадратов катетов. Этого великого открытия нужно было дожидаться много веков, не одну тысячу лет. 4000 лет назад человек был уверен, что молнии в небе происходят лично от Зевса, 2000 лет назад считал, что можно развести руками воды моря, стоит только заручиться поддержкой влиятельной особы, тогда как родственные узы дадут возможность ходить по воде. 500 лет назад человек доказал, что Земля круглая, 400 — что вертится вокруг Солнца, 200 лет назад узнал о свойствах пара приводить в движение мертвый металл, а около 100 лет назад был уверен, что полеты на аппаратах тяжелее воздуха невозможны. 70 лет назад человечество догадалось, как расщепить атом, 60 лет назад вышло в космос, а еще через 15 открыло для себя число Грэма. 20 лет назад мы увидели самую далекую, одну из самых первых сформировавшихся после Большого Взрыва галактик и тогда же примерно запустили общемировую информационную сеть, выведя цивилизацию на следующий качественный уровень развития. Десять лет назад к этой сети подключилась половина населения планеты.

Никто не знает, что ждет нас в будущем. У человеческой цивилизации есть тысячи способов закончиться: ядерные войны, экологические катастрофы, смертоносные пандемии, астероид какой может прилететь, динозавры не дадут соврать. Развитие человечества может остановиться само собой, вдруг есть такой закон, что по достижению определенного уровня развитие просто прекращается и все. Или прилетят представители межгалактического союза и остановят это развитие силой.

Но есть все–таки, и не маленький, шанс, что развитие человечества продолжится без остановки. Пусть даже не такое головокружительно быстрое, как в последние 100 лет, главное, что движение вперед, главное, что поступательное.

У природы есть один незыблемый закон, известный нам с самой давней древности. Как бы ни было, что бы ни случилось, что бы мы себе ни думали, но время никуда не денется, оно пройдет. Хотим мы этого или не хотим, с нами или без — пройдут и тысяча и 10 тысяч лет.

200 лет назад ковер–самолет (обычный самолет), волшебное зеркало (скайп видео) или тридевятое царство (поверхность планеты Марс) казались несбыточной сказкой, 2000 лет назад полагались только богам, 20 000 лет такого вообще представить не могли, способностей воображения не хватало. Вы можете сказать, что будет доступно человеку через 200 лет? Через 2000, через 20000 лет?

Выживет ли человечество, будет ли это вообще человечество с приставкой «чело–», а может к тому времени и этап Искусственного Интеллекта закончится, порождая какие–то эфирные энергетические субстанции особой категории осознанности? Может да, может нет.

А если пройдет миллион лет? А ведь он пройдет, куда денется. Число Грэма, и вообще все, о чем человек способен задуматься, представить, вытащить из небытия и сделать пусть не осязаемой, но хотя бы имеющей какой–то смысл сущностью — обязательно рано или поздно воплотится. Просто потому, что сегодня у нас хватило сил развиться до способности осознания подобного.

Сегодня, завтра, когда будет возможность — запрокиньте голову в ночное небо. Помните этот момент ощущения собственной ничтожности? Чувствуете, какой человек крошечный? Пылинка, атом по сравнению с безбрежной Вселенной, которая звезд полна, коим числа нет, ну, и бездна, соответственно, тоже не маленькая.

В следующий раз попробуйте ощутить, какая Вселенная песчинка по сравнению с тем, что происходит в голове. Какая пучина открывается, какие неизмеримые концепции рождаются, какие миры строятся, как Вселенная флипается наизнанку одним только движением мысли, как и насколько живая, разумная материя отличается от мертвой и неразумной.

Я верю, что через какое–то время человек дотянется до числа Грэма, дотронется до него рукой, или что у него к тому времени будет вместо руки. Это не обоснованная, научно доказанная мысль, это действительно всего лишь надежда, то, что меня вдохновляет. Не Вера с большой буквы, не религиозный экстаз, не учение и не духовная практика. Это то, чего я жду от человечества. В чем стремлюсь, в меру сил, помочь. Хоть и продолжаю из осторожности причислять себя к агностикам.

Источник

Число Грэма

Что такое Число Грэма

Число Грэма — это чрезвычайно большое конечное число и считается самым большим числом в мире, которое было использовано в математическом доказательстве (например, в теории Рамсея).

Используя стрелочные обозначения Кнута (стрелкой вверх), число Грэма G можно записать так:

Стрелочные обозначения Кнута используются в записи очень больших чисел.

Так, например:

3↑↑4 значит 3↑(3↑(3↑3)) или ;

3↑4 значит 3×(3×(3×3)).

Что такое G64 и g1?

Ещё Число Грэма обозначают G64.

g1 = 3↑↑↑↑3

И g1 — это первый из 64 слоёв нужных для того, чтобы получить это число (на картинке сверху находятся остальные).

G1 можно немного упростить:

g1 = 3↑↑↑↑3 = 3↑↑↑3↑↑↑3 = 3↑↑↑ (3↑↑3↑↑3)

Количество стрелок g2 считается в g1. Далее процесс продолжается, до 64-го, последнего.

G = g64 — это последний слой, в нём g63 стрелок между тройками (как показано на картинке).

Однако только первый уровень G1 уже настолько велик, что считается, что его невозможно записать.

Что такое число гугол? И гуголплекс?

Гугол — это число равно 10¹ºº (десять в сотой степени) — это единица и сто нулей.

Гуголплекс — это 10^гугол (10 в степени «гугол») — это или .

Что такое число Райо?

Число Райо выглядит так: .

Считается, что эту функцию невозможно вычислить. Имеется в виду, что ни один современный компьютер не может её вычислить.

Узнайте также, что такое Экспонента и Логарифм.

Источник

From Wikipedia, the free encyclopedia

This article is about the very large number named after Ronald Graham. For the investing term named after Benjamin Graham, see Graham number.

Graham’s number is an immense number that arose as an upper bound on the answer of a problem in the mathematical field of Ramsey theory. It is much larger than many other large numbers such as Skewes’s number and Moser’s number, both of which are in turn much larger than a googolplex. As with these, it is so large that the observable universe is far too small to contain an ordinary digital representation of Graham’s number, assuming that each digit occupies one Planck volume, possibly the smallest measurable space. But even the number of digits in this digital representation of Graham’s number would itself be a number so large that its digital representation cannot be represented in the observable universe. Nor even can the number of digits of that number—and so forth, for a number of times far exceeding the total number of Planck volumes in the observable universe. Thus Graham’s number cannot be expressed even by physical universe-scale power towers of the form $a^{{b^{{c^{{cdot ^{{cdot ^{{cdot }}}}}}}}}}$ .

However, Graham’s number can be explicitly given by computable recursive formulas using Knuth’s up-arrow notation or equivalent, as was done by Ronald Graham, the number’s namesake. As there is a recursive formula to define it, it is much smaller than typical busy beaver numbers. Though too large to be computed in full, the sequence of digits of Graham’s number can be computed explicitly via simple algorithms; the last 13 digits are …7262464195387. With Knuth’s up-arrow notation, Graham’s number is ${displaystyle g_{64}}$ , where

${displaystyle g_{n}=left{{begin{matrix}3uparrow uparrow uparrow uparrow 3,&n=1\3uparrow ^{g_{n-1}}3,&ngeq 2,nin mathbb {N} end{matrix}}right.}$

Graham’s number was used by Graham in conversations with popular science writer Martin Gardner as a simplified explanation of the upper bounds of the problem he was working on. In 1977, Gardner described the number in Scientific American, introducing it to the general public. At the time of its introduction, it was the largest specific positive integer ever to have been used in a published mathematical proof. The number was described in the 1980 Guinness Book of World Records, adding to its popular interest. Other specific integers (such as TREE(3)) known to be far larger than Graham’s number have since appeared in many serious mathematical proofs, for example in connection with Harvey Friedman’s various finite forms of Kruskal’s theorem. Additionally, smaller upper bounds on the Ramsey theory problem from which Graham’s number derived have since been proven to be valid.

Context[edit]

Example of a 2-colored 3-dimensional cube containing one single-coloured 4-vertex coplanar complete subgraph. The subgraph is shown below the cube. Note that this cube would contain no such subgraph if, for example, the bottom edge in the present subgraph were replaced by a blue edge – thus proving by counterexample that N* > 3.

Graham’s number is connected to the following problem in Ramsey theory:

Connect each pair of geometric vertices of an n-dimensional hypercube to obtain a complete graph on 2ⁿ vertices. Colour each of the edges of this graph either red or blue. What is the smallest value of n for which every such colouring contains at least one single-coloured complete subgraph on four coplanar vertices?

In 1971, Graham and Rothschild proved the Graham–Rothschild theorem on the Ramsey theory of parameter words, a special case of which shows that this problem has a solution N*. They bounded the value of N* by 6 ≤ N* ≤ N, with N being a large but explicitly defined number

${displaystyle F^{7}(12)=F(F(F(F(F(F(F(12))))))),}$

where ${displaystyle F(n)=2uparrow ^{n}3}$ in Knuth’s up-arrow notation; the number is between 4 → 2 → 8 → 2 and 2 → 3 → 9 → 2 in Conway chained arrow notation.^[1] This was reduced in 2014 via upper bounds on the Hales–Jewett number to

{displaystyle N'=2uparrow uparrow 2uparrow uparrow (3+2uparrow uparrow 8),}

which contains three tetrations.^[2] In 2019 this was further improved to:^[3]

{displaystyle N''=(2uparrow uparrow 5138)cdot ((2uparrow uparrow 5140)uparrow uparrow (2cdot 2uparrow uparrow 5137))ll 2uparrow uparrow (2uparrow uparrow 5138)}

The lower bound of 6 was later improved to 11 by Geoffrey Exoo in 2003,^[4] and to 13 by Jerome Barkley in 2008.^[5] Thus, the best known bounds for N* are 13 ≤ N* ≤ N».

Graham’s number, G, is much larger than N: ${displaystyle f^{64}(4)}$ , where ${displaystyle f(n)=3uparrow ^{n}3}$ . This weaker upper bound for the problem, attributed to an unpublished work of Graham, was eventually published and named by Martin Gardner in Scientific American in November 1977.^[6]

Publication[edit]

The number gained a degree of popular attention when Martin Gardner described it in the «Mathematical Games» section of Scientific American in November 1977, writing that Graham had recently established, in an unpublished proof, «a bound so vast that it holds the record for the largest number ever used in a serious mathematical proof.» The 1980 Guinness Book of World Records repeated Gardner’s claim, adding to the popular interest in this number. According to physicist John Baez, Graham invented the quantity now known as Graham’s number in conversation with Gardner. While Graham was trying to explain a result in Ramsey theory which he had derived with his collaborator Bruce Lee Rothschild, Graham found that the said quantity was easier to explain than the actual number appearing in the proof. Because the number which Graham described to Gardner is larger than the number in the paper itself, both are valid upper bounds for the solution to the problem studied by Graham and Rothschild.^[7]

Definition[edit]

Using Knuth’s up-arrow notation, Graham’s number G (as defined in Gardner’s Scientific American article) is

${displaystyle left.{begin{matrix}G&=&3underbrace {uparrow uparrow cdots cdots cdots cdots cdots uparrow } 3\&&3underbrace {uparrow uparrow cdots cdots cdots cdots uparrow } 3\&&underbrace {qquad quad vdots qquad quad } \&&3underbrace {uparrow uparrow cdots cdots uparrow } 3\&&3uparrow uparrow uparrow uparrow 3end{matrix}}right}{text{64 layers}}}$

where the number of arrows in each layer is specified by the value of the next layer below it; that is,

${displaystyle G=g_{64},}$

where ${displaystyle g_{1}=3uparrow uparrow uparrow uparrow 3,}$ ${displaystyle g_{n}=3uparrow ^{g_{n-1}}3,}$

and where a superscript on an up-arrow indicates how many arrows there are. In other words, G is calculated in 64 steps: the first step is to calculate g₁ with four up-arrows between 3s; the second step is to calculate g₂ with g₁ up-arrows between 3s; the third step is to calculate g₃ with g₂ up-arrows between 3s; and so on, until finally calculating G = g₆₄ with g₆₃ up-arrows between 3s.

Equivalently,

${displaystyle G=f^{64}(4),{text{ where }}f(n)=3uparrow ^{n}3,}$

and the superscript on f indicates an iteration of the function, e.g., ${displaystyle f^{4}(n)=f(f(f(f(n))))}$ . Expressed in terms of the family of hyperoperations ${displaystyle {text{H}}_{0},{text{H}}_{1},{text{H}}_{2},cdots }$ , the function f is the particular sequence ${displaystyle f(n)={text{H}}_{n+2}(3,3)}$ , which is a version of the rapidly growing Ackermann function A(n, n). (In fact, for all n.) The function f can also be expressed in Conway chained arrow notation as , and this notation also provides the following bounds on G:

Magnitude[edit]

To convey the difficulty of appreciating the enormous size of Graham’s number, it may be helpful to express—in terms of exponentiation alone—just the first term (g₁) of the rapidly growing 64-term sequence. First, in terms of tetration () alone:

${displaystyle g_{1}=3uparrow uparrow uparrow uparrow 3=3uparrow uparrow uparrow (3uparrow uparrow uparrow 3)=3uparrow uparrow (3uparrow uparrow (3uparrow uparrow dots (3uparrow uparrow 3)dots ))}$

where the number of 3s in the expression on the right is

Now each tetration () operation reduces to a power tower ( uparrow ) according to the definition

${displaystyle 3uparrow uparrow X=3uparrow (3uparrow (3uparrow dots (3uparrow 3)dots ))=3^{3^{cdot ^{cdot ^{cdot ^{3}}}}}}$

where there are X 3s.

Thus,

${displaystyle g_{1}=3uparrow uparrow (3uparrow uparrow (3uparrow uparrow dots (3uparrow uparrow 3)dots ))quad {text{where the number of 3s is}}quad 3uparrow uparrow (3uparrow uparrow 3)}$

becomes, solely in terms of repeated «exponentiation towers»,

${displaystyle g_{1}=underbrace {left.{begin{matrix}3^{3^{cdot ^{cdot ^{cdot ^{cdot ^{3}}}}}}end{matrix}}right}left.{begin{matrix}3^{3^{cdot ^{cdot ^{cdot ^{3}}}}}end{matrix}}right}dots left.{begin{matrix}3^{3^{3}}end{matrix}}right}3} _{left.{begin{matrix}3^{3^{cdot ^{cdot ^{cdot ^{3}}}}}end{matrix}}right}left.{begin{matrix}3^{3^{3}}end{matrix}}right}3}}$

and where the number of 3s in each tower, starting from the leftmost tower, is specified by the value of the next tower to the right.

In other words, g₁ is computed by first calculating the number of towers, (where the number of 3s is ), and then computing the n^th tower in the following sequence:

      1st tower:  3
     
      2nd tower:  3↑3↑3 (number of 3s is 3) = 7625597484987
     
      3rd tower:  3↑3↑3↑3↑...↑3 (number of 3s is 7625597484987) = …
     
      ⋮
     
 g₁ = n^th tower:  3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑...↑3 (number of 3s is given by the n-1^th tower)

where the number of 3s in each successive tower is given by the tower just before it. Note that the result of calculating the third tower is the value of n, the number of towers for g₁.

The magnitude of this first term, g₁, is so large that it is practically incomprehensible, even though the above display is relatively easy to comprehend. Even n, the mere number of towers in this formula for g₁, is far greater than the number of Planck volumes (roughly 10¹⁸⁵ of them) into which one can imagine subdividing the observable universe. And after this first term, still another 63 terms remain in the rapidly growing g sequence before Graham’s number G = g₆₄ is reached. To illustrate just how fast this sequence grows, while g₁ is equal to with only four up arrows, the number of up arrows in g₂ is this incomprehensibly large number g₁.

Rightmost decimal digits[edit]

Graham’s number is a «power tower» of the form 3↑↑n (with a very large value of n), so its rightmost decimal digits must satisfy certain properties common to all such towers. One of these properties is that all such towers of height greater than d (say), have the same sequence of d rightmost decimal digits. This is a special case of a more general property: The d rightmost decimal digits of all such towers of height greater than d+2, are independent of the topmost «3» in the tower; i.e., the topmost «3» can be changed to any other non-negative integer without affecting the d rightmost digits.

The following table illustrates, for a few values of d, how this happens. For a given height of tower and number of digits d, the full range of d-digit numbers (10^d of them) does not occur; instead, a certain smaller subset of values repeats itself in a cycle. The length of the cycle and some of the values (in parentheses) are shown in each cell of this table:

Number of different possible values of 3↑3↑…3↑x when all but the rightmost d decimal digits are ignored

Number of digits (d)	3↑x	3↑3↑x	3↑3↑3↑x	3↑3↑3↑3↑x	3↑3↑3↑3↑3↑x
1	4 (1,3,9,7)	2 (3,7)	1 (7)
2	20 (01,03,…,87,…,67)	4 (03,27,83,87)	2 (27,87)	1 (87)
3	100 (001,003,…,387,…,667)	20 (003,027,…387,…,587)	4 (027,987,227,387)	2 (987,387)	1 (387)

The particular rightmost d digits that are ultimately shared by all sufficiently tall towers of 3s are in bold text, and can be seen developing as the tower height increases. For any fixed number of digits d (row in the table), the number of values possible for 33↑…3↑x mod 10^d, as x ranges over all nonnegative integers, is seen to decrease steadily as the height increases, until eventually reducing the «possibility set» to a single number (colored cells) when the height exceeds d+2.

A simple algorithm^[8] for computing these digits may be described as follows: let x = 3, then iterate, d times, the assignment x = 3^x mod 10^d. Except for omitting any leading 0s, the final value assigned to x (as a base-ten numeral) is then composed of the d rightmost decimal digits of 3↑↑n, for all n > d. (If the final value of x has fewer than d digits, then the required number of leading 0s must be added.)

Let k be the numerousness of these stable digits, which satisfy the congruence relation G(mod 10^k)≡[G^G](mod 10^k).

k=t-1, where G(t):=3↑↑t.^[9] It follows that, g₆₃ ≪ k ≪ g₆₄.

The algorithm above produces the following 500 rightmost decimal digits of Graham’s number (OEIS: A133613):

...02425950695064738395657479136519351798334535362521
   43003540126026771622672160419810652263169355188780
   38814483140652526168785095552646051071172000997092
   91249544378887496062882911725063001303622934916080
   25459461494578871427832350829242102091825896753560
   43086993801689249889268099510169055919951195027887
   17830837018340236474548882222161573228010132974509
   27344594504343300901096928025352751833289884461508
   94042482650181938515625357963996189939679054966380
   03222348723967018485186439059104575627262464195387

${displaystyle left.{begin{matrix}g_{n}&=&3underbrace {uparrow uparrow cdots cdots cdots cdots cdots uparrow } 3\&&3underbrace {uparrow uparrow cdots cdots cdots cdots uparrow } 3\&&underbrace {qquad quad vdots qquad quad } \&&3underbrace {uparrow uparrow cdots cdots uparrow } 3\&&3uparrow uparrow uparrow uparrow 3end{matrix}}right}n mathrm {layers} =...02425950695064738395657479136519351798334535362521430035401260267716226721604198106522631693551887803881448314065252616878509555264605107117200099709291249544378887496062882911725063001303622934916080254594614945788714278323508292421020918258967535604308699380168924988926809951016905591995119502788717830837018340236474548882222161573228010132974509273445945043433009010969280253527518332898844615089404248265018193851562535796399618993967905496638003222348723967018485186439059104575627262464195387}$

References[edit]

^ «Graham’s number records». Iteror.org. Archived from the original on 2013-10-19. Retrieved 2014-04-09.
^ Lavrov, Mikhail; Lee, Mitchell; Mackey, John (2014). «Improved upper and lower bounds on a geometric Ramsey problem». European Journal of Combinatorics. 42: 135–144. doi:10.1016/j.ejc.2014.06.003.
^ Lipka, Eryk (2019). «Further improving of upper bound on a geometric Ramsey problem». arXiv:1905.05617 [math.CO].
^ Exoo, Geoffrey (2003). «A Euclidean Ramsey Problem». Discrete & Computational Geometry. 29 (2): 223–227. doi:10.1007/s00454-002-0780-5. Exoo refers to the Graham & Rothschild upper bound N by the term «Graham’s number». This is not the «Graham’s number» G published by Martin Gardner.
^ Barkley, Jerome (2008). «Improved lower bound on an Euclidean Ramsey problem». arXiv:0811.1055 [math.CO].
^ Martin Gardner (1977) «In which joining sets of points leads into diverse (and diverting) paths» Archived 2013-10-19 at the Wayback Machine. Scientific American, November 1977
^ John Baez (2013). «A while back I told you about Graham’s number…» Archived from the original on 2013-11-13. Retrieved 2013-01-11.
^ «The Math Forum @ Drexel («Last Eight Digits of Z»)». Mathforum.org. Retrieved 2014-04-09.
^ Ripà, Marco (2011). La strana coda della serie n^n^…^n (in Italian). UNI Service. ISBN 978-88-6178-789-6.

Bibliography[edit]

Gardner, Martin (November 1977). «Mathematical Games» (PDF). Scientific American. 237 (5): 18–28. Bibcode:1977SciAm.237e..18G. doi:10.1038/scientificamerican1177-18.; reprinted (revised) in Gardner (2001), cited below.
Gardner, Martin (1989). Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers. Washington, D.C.: Mathematical Association of America. ISBN 978-0-88385-521-8.
Gardner, Martin (2001). The Colossal Book of Mathematics: Classic Puzzles, Paradoxes, and Problems. New York, NY: Norton. ISBN 978-0-393-02023-6.
Graham, R. L.; Rothschild, B. L. (1971). «Ramsey’s Theorem for n-Parameter Sets» (PDF). Transactions of the American Mathematical Society. 159: 257–292. doi:10.2307/1996010. JSTOR 1996010. The explicit formula for N appears on p. 290. This is not the «Graham’s number» G published by Martin Gardner.
Graham, R. L.; Rothschild, B. L. (1978). «Ramsey Theory». In Rota, G-C (ed.). Studies in Combinatorics (MAA Studies in Mathematics). Vol. 17. Mathematical Association of America. pp. 80–99. ISBN 978-0-88385-117-3. On p. 90, in stating «the best available estimate» for the solution, the explicit formula for N is repeated from the 1971 paper.

External links[edit]

OEIS sequence A133613 (Graham’s number)
Sbiis Saibian’s article on Graham’s number
«A Ramsey Problem on Hypercubes» by Geoff Exoo
Mathworld article on Graham’s number
How to calculate Graham’s number
Conceptualizing Graham’s number
Some Ramsey results for the n-cube prepublication mentions Graham’s number
Padilla, Tony; Parker, Matt. «Graham’s Number». Numberphile. Brady Haran. Archived from the original on 2014-05-27. Retrieved 2013-04-08.
Archived at Ghostarchive and the Wayback Machine: Ron Graham. «What is Graham’s Number? (feat Ron Graham)» (video). Numberphile. Brady Haran.
Archived at Ghostarchive and the Wayback Machine: Ron Graham. «How Big is Graham’s Number? (feat Ron Graham)» (video). Numberphile. Brady Haran.
The last 16 million digits of Graham’s number by the Darkside communication group

Источник

From Wikipedia, the free encyclopedia

This article is about the very large number named after Ronald Graham. For the investing term named after Benjamin Graham, see Graham number.

${displaystyle g_{n}=left{{begin{matrix}3uparrow uparrow uparrow uparrow 3,&n=1\3uparrow ^{g_{n-1}}3,&ngeq 2,nin mathbb {N} end{matrix}}right.}$

Context[edit]

Graham’s number is connected to the following problem in Ramsey theory:

Connect each pair of geometric vertices of an n-dimensional hypercube to obtain a complete graph on 2ⁿ vertices. Colour each of the edges of this graph either red or blue. What is the smallest value of n for which every such colouring contains at least one single-coloured complete subgraph on four coplanar vertices?

${displaystyle F^{7}(12)=F(F(F(F(F(F(F(12))))))),}$

which contains three tetrations.^[2] In 2019 this was further improved to:^[3]

The lower bound of 6 was later improved to 11 by Geoffrey Exoo in 2003,^[4] and to 13 by Jerome Barkley in 2008.^[5] Thus, the best known bounds for N* are 13 ≤ N* ≤ N».

Publication[edit]

Definition[edit]

Using Knuth’s up-arrow notation, Graham’s number G (as defined in Gardner’s Scientific American article) is

where the number of arrows in each layer is specified by the value of the next layer below it; that is,

${displaystyle G=g_{64},}$

where ${displaystyle g_{1}=3uparrow uparrow uparrow uparrow 3,}$ ${displaystyle g_{n}=3uparrow ^{g_{n-1}}3,}$

Equivalently,

${displaystyle G=f^{64}(4),{text{ where }}f(n)=3uparrow ^{n}3,}$

Magnitude[edit]

${displaystyle g_{1}=3uparrow uparrow uparrow uparrow 3=3uparrow uparrow uparrow (3uparrow uparrow uparrow 3)=3uparrow uparrow (3uparrow uparrow (3uparrow uparrow dots (3uparrow uparrow 3)dots ))}$

where the number of 3s in the expression on the right is

Now each tetration () operation reduces to a power tower ( uparrow ) according to the definition

${displaystyle 3uparrow uparrow X=3uparrow (3uparrow (3uparrow dots (3uparrow 3)dots ))=3^{3^{cdot ^{cdot ^{cdot ^{3}}}}}}$

where there are X 3s.

Thus,

${displaystyle g_{1}=3uparrow uparrow (3uparrow uparrow (3uparrow uparrow dots (3uparrow uparrow 3)dots ))quad {text{where the number of 3s is}}quad 3uparrow uparrow (3uparrow uparrow 3)}$

becomes, solely in terms of repeated «exponentiation towers»,

and where the number of 3s in each tower, starting from the leftmost tower, is specified by the value of the next tower to the right.

In other words, g₁ is computed by first calculating the number of towers, (where the number of 3s is ), and then computing the n^th tower in the following sequence:

      1st tower:  3
     
      2nd tower:  3↑3↑3 (number of 3s is 3) = 7625597484987
     
      3rd tower:  3↑3↑3↑3↑...↑3 (number of 3s is 7625597484987) = …
     
      ⋮
     
 g₁ = n^th tower:  3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑...↑3 (number of 3s is given by the n-1^th tower)

where the number of 3s in each successive tower is given by the tower just before it. Note that the result of calculating the third tower is the value of n, the number of towers for g₁.

Rightmost decimal digits[edit]

Number of different possible values of 3↑3↑…3↑x when all but the rightmost d decimal digits are ignored

Number of digits (d)	3↑x	3↑3↑x	3↑3↑3↑x	3↑3↑3↑3↑x	3↑3↑3↑3↑3↑x
1	4 (1,3,9,7)	2 (3,7)	1 (7)
2	20 (01,03,…,87,…,67)	4 (03,27,83,87)	2 (27,87)	1 (87)
3	100 (001,003,…,387,…,667)	20 (003,027,…387,…,587)	4 (027,987,227,387)	2 (987,387)	1 (387)

Let k be the numerousness of these stable digits, which satisfy the congruence relation G(mod 10^k)≡[G^G](mod 10^k).

k=t-1, where G(t):=3↑↑t.^[9] It follows that, g₆₃ ≪ k ≪ g₆₄.

The algorithm above produces the following 500 rightmost decimal digits of Graham’s number (OEIS: A133613):

...02425950695064738395657479136519351798334535362521
   43003540126026771622672160419810652263169355188780
   38814483140652526168785095552646051071172000997092
   91249544378887496062882911725063001303622934916080
   25459461494578871427832350829242102091825896753560
   43086993801689249889268099510169055919951195027887
   17830837018340236474548882222161573228010132974509
   27344594504343300901096928025352751833289884461508
   94042482650181938515625357963996189939679054966380
   03222348723967018485186439059104575627262464195387

References[edit]

^ «Graham’s number records». Iteror.org. Archived from the original on 2013-10-19. Retrieved 2014-04-09.
^ Lavrov, Mikhail; Lee, Mitchell; Mackey, John (2014). «Improved upper and lower bounds on a geometric Ramsey problem». European Journal of Combinatorics. 42: 135–144. doi:10.1016/j.ejc.2014.06.003.
^ Lipka, Eryk (2019). «Further improving of upper bound on a geometric Ramsey problem». arXiv:1905.05617 [math.CO].
^ Exoo, Geoffrey (2003). «A Euclidean Ramsey Problem». Discrete & Computational Geometry. 29 (2): 223–227. doi:10.1007/s00454-002-0780-5. Exoo refers to the Graham & Rothschild upper bound N by the term «Graham’s number». This is not the «Graham’s number» G published by Martin Gardner.
^ Barkley, Jerome (2008). «Improved lower bound on an Euclidean Ramsey problem». arXiv:0811.1055 [math.CO].
^ Martin Gardner (1977) «In which joining sets of points leads into diverse (and diverting) paths» Archived 2013-10-19 at the Wayback Machine. Scientific American, November 1977
^ John Baez (2013). «A while back I told you about Graham’s number…» Archived from the original on 2013-11-13. Retrieved 2013-01-11.
^ «The Math Forum @ Drexel («Last Eight Digits of Z»)». Mathforum.org. Retrieved 2014-04-09.
^ Ripà, Marco (2011). La strana coda della serie n^n^…^n (in Italian). UNI Service. ISBN 978-88-6178-789-6.

Bibliography[edit]

Gardner, Martin (November 1977). «Mathematical Games» (PDF). Scientific American. 237 (5): 18–28. Bibcode:1977SciAm.237e..18G. doi:10.1038/scientificamerican1177-18.; reprinted (revised) in Gardner (2001), cited below.
Gardner, Martin (1989). Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers. Washington, D.C.: Mathematical Association of America. ISBN 978-0-88385-521-8.
Gardner, Martin (2001). The Colossal Book of Mathematics: Classic Puzzles, Paradoxes, and Problems. New York, NY: Norton. ISBN 978-0-393-02023-6.
Graham, R. L.; Rothschild, B. L. (1971). «Ramsey’s Theorem for n-Parameter Sets» (PDF). Transactions of the American Mathematical Society. 159: 257–292. doi:10.2307/1996010. JSTOR 1996010. The explicit formula for N appears on p. 290. This is not the «Graham’s number» G published by Martin Gardner.
Graham, R. L.; Rothschild, B. L. (1978). «Ramsey Theory». In Rota, G-C (ed.). Studies in Combinatorics (MAA Studies in Mathematics). Vol. 17. Mathematical Association of America. pp. 80–99. ISBN 978-0-88385-117-3. On p. 90, in stating «the best available estimate» for the solution, the explicit formula for N is repeated from the 1971 paper.

External links[edit]

OEIS sequence A133613 (Graham’s number)
Sbiis Saibian’s article on Graham’s number
«A Ramsey Problem on Hypercubes» by Geoff Exoo
Mathworld article on Graham’s number
How to calculate Graham’s number
Conceptualizing Graham’s number
Some Ramsey results for the n-cube prepublication mentions Graham’s number
Padilla, Tony; Parker, Matt. «Graham’s Number». Numberphile. Brady Haran. Archived from the original on 2014-05-27. Retrieved 2013-04-08.
Archived at Ghostarchive and the Wayback Machine: Ron Graham. «What is Graham’s Number? (feat Ron Graham)» (video). Numberphile. Brady Haran.
Archived at Ghostarchive and the Wayback Machine: Ron Graham. «How Big is Graham’s Number? (feat Ron Graham)» (video). Numberphile. Brady Haran.
The last 16 million digits of Graham’s number by the Darkside communication group

Источник

Что такое Число Грэма

Используя стрелочные обозначения Кнута (стрелкой вверх), число Грэма G можно записать так:

Стрелочные обозначения Кнута используются в записи очень больших чисел.

Так, например:

3↑↑4 значит 3↑(3↑(3↑3)) или ;

3↑4 значит 3×(3×(3×3)).

Что такое G64 и g1?

Ещё Число Грэма обозначают G64.

g1 = 3↑↑↑↑3

G1 можно немного упростить:

g1 = 3↑↑↑↑3 = 3↑↑↑3↑↑↑3 = 3↑↑↑ (3↑↑3↑↑3)

Количество стрелок g2 считается в g1. Далее процесс продолжается, до 64-го, последнего.

G = g64 — это последний слой, в нём g63 стрелок между тройками (как показано на картинке).

Однако только первый уровень G1 уже настолько велик, что считается, что его невозможно записать.

Что такое число гугол? И гуголплекс?

Гугол — это число равно 10¹ºº (десять в сотой степени) — это единица и сто нулей.

Гуголплекс — это 10^гугол (10 в степени «гугол») — это или .

Что такое число Райо?

Число Райо выглядит так: .

Узнайте также, что такое Экспонента и Логарифм.

Ах, русский наш язык. Он несметно богат. Ошибки риск велик, и значит, пишем наугад. Или учим правила, если хотим быть грамотными людьми.

Со временем правила забываются, однако правописание настолько крепко внедряется в мозг учащегося, что он автоматически начинает писать верно. Хотя ошибки бывают даже у самых грамотных людей. К примеру, как правильно: цифра или цыфра? Можете обосновать, почему именно так? Давайте вместе вспоминать правила правописания.

Что правило нам расскажет?

Вспоминаем, как пишутся буквы «и», «ы» после согласной «ц».

А правило нам говорит, что гласная «И» пишется в корнях слов:

Цистит.
Цинга.
Циркуль.

В словах с окончанием «ция»:

Корпорация.
Революция.
Авиация.

Буква «ы» пишется в случае, если у нас есть суффикс «ын»:

Сестрицын.
Синицын.

В окончании существительных во множественном числе:

Курицы.
Улицы.
Пепельницы.

А еще у нас есть слова-исключения, в их корнях всегда будет писаться буква «ы»:

Цыган, цыкнуть, цыц, цыпленок, цыпочки.

Возвращаясь к тому, как же правильно, писать — цыфра или цифра? Давайте хорошенько подумаем. Это слово входит в число слов-исключений? Нет. Оно стоит во множественном числе? Тоже нет. Это суффикс, оканчивающийся на «цын»? И этот вариант отпадает.

Значит что остается? Правописание гласной «и». Она, как мы выяснили, пишется в корнях слова. В нужном нам слове корень «цифр». Пишем цифра или цыфра? Разумеется, первый вариант, согласно правилам русского языка.

В помощь учащимся

Мы выяснили, как же правильно писать нужное слово. Цифра, и никак иначе. Обосновали это правилами русского языка. Теперь поговорим о морфемном составе слова, составим с ним предложения.

Итак, как мы помним, морфемный состав — это состав слова.

Цифр — корень.
А — окончание.
Цифр — основа слова.

Как напишем, кстати: цифра или цыфра? Вроде уже выяснили, и пришли к выводу, что первый вариант.

Какие предложения можно составить с заданным словом? Даем волю фантазии:

Что это была за дама! Высокая, худая и востроносая, она напоминала цифру, известную нам как единица.
Цифры, отраженные в годовом отчете, не соответствуют действительности.
Математика — царица наук. Дружба с цифрами поможет покорить ее.
Цифровые вычисления в нынешнем мире прогрессируют.
Согласно цифрам статистики, средняя зарплата в Москве составляет 200 тысяч.

Резюмируем

Целью статьи был рассказ о том, как пишется: цифра или цыфра? И обоснование написания с точки зрения русского языка. С задачей успешно справились. Выделим основные аспекты:

Буква «и» пишется после согласной «ц» в корнях слова и в окончаниях слова «ция»: цифра, авиация.
Гласную «ы» мы напишем в окончаниях существительных (во множественном числе), в суффиксах «ын» и в корнях слов-исключений: улицы, синицын, цыган.

Заключение

Теперь читатель знает, как пишется правильно: цифра или цыфра. Знает, каким образом обосновывается написание данного слова.

Почему-то многие ученики боятся учить правила. Это кажется нудным и скучным занятием. На самом деле на одно правило уйдет двадцать минут. А польза от него постоянная. Когда школьник вырастет, станет взрослым человеком, он забудет правила. Но информация по правописанию настолько закрепится в памяти, что написать то или иное слово не составит труда. Слова у тех, кто знал правила русского языка, пишутся грамотно на рефлекторном уровне.

Речь в ней шла о числах-гигантах, имеющих хоть какой-то физический смысл. И заканчивается она упоминанием числа Грэма. Того числа, которое будет точкой отсчета сегодняшней статьи. Чтобы представить себе масштабы бедствия я настоятельно рекомендую предварительно прочитать , в которое объясняется о числе Грэма на пальцах TM — там автор очень красочно и последовательно рассказывает о границах восприятия, в которые мы себя зажимаем, когда говорим о больших числах.

Внимание, дисклеймер!

Я не являюсь профессиональным математиком. Поэтому ошибки в специальной терминологии практически неизбежны, учитывая полное отсутствие материалов на русском языке. Более того, я даже не уверен, что те слова, которые я использую для перевода с английского, вообще используются русскоязычными математиками. С другой стороны, я попытался всё это понять и объяснить языком, доступным для обычных читателей. Любые замечания просьба отписывать в личку — будем улучшать текст вместе.

Для начала, чтобы предотвратить возможные комментарии в стиле «а нафига оно надо, это ведь всё равно не имеет ровным счетом никакого практического смысла» — ответ в

знаменитой картинке:

Вы думаете, что Бауэрс на этом остановился? Как бы не так. Ну вот что, ЧТО еще можно придумать в записи массивов? А можно обратить внимание, что там есть запятые… Которые пусть обозначают элементы одномерного массива. А если поставить между числами (1), то это переход на следующую строку, (2) — переход на следующую плоскость.
Квадрат из троек («дутритри») записывается как {3,3,3(1)3,3,3(1)3,3,3}.
Куб из троек («диментри») — {3,3,3(1)3,3,3(1)3,3,3(2)3,3,3(1)3,3,3(1)3,3,3(2)3,3,3(1)3,3,3(1)3,3,3}.

Вот так незатейливо мы перешли от плоскостных массивов к объемным (и заметьте, это всего лишь запись некого числа, которая из-за своих масштабов потребовала выйти из плоскости просто в своем написании!). Разумеется, дальше мы вводим новые обозначения для четырехмерных, пятимерных «объектов» (простите, называть эти монструозные контрукции числами уже сложно). Например, & означает «массив из»: {10,100,2} & 10. То есть {10,100,2}-массив десяток, или же 10100-массив десяток. Ну то есть нужно 100 раз возвести десять в десятую степень, построить решетку с таким количеством ячеек (причем она будет находиться в стозмерении, то есть измерении измерений измерений… измерений (слово повторено сто раз)), затем заполнить все ячейки десятками — и только тогда можно приниматься решать этот массив.

Вот как можно нарисовать число трилатри {3,3,2}&3:

Думаете хотя бы на этом всё? Неа. Обозначим «легион» прямым слэшем (/). В массиве {a,b,c,…/2} двойка находится во втором легионе. Сначала мы должны решить первый легион (слева от косой черты), а затем взять такое количество элементов в цепочке «массив из… массив из… массив из…», которое получилось при решении: {3,3 / 2} = 3 & 3 & 3 = {3,3,3} & 3. А вот если взять {3,3,3 / 3} = {3 & 3 & 3 / 2}. На этот раз тритри — это не количество элементов в массиве, а количество элементов в цепочке 3 & 3 &… & 3 & 3.
Еще одно расширение Бауэрс сделал добавив символ @ ([email protected] обозначает «легионный массив размера a из b») и обратный слэш (лу
гион). Ну тут уже всё понятно: {a,b 2} = a @ a @ a… a @ a @ a (где а повторяется b раз).

Понятно, что процесс придумывания новых наименований
для каких-то операций не может быть бесконечным (за легионами и лугионами идут лагионы, лэгионы и лигионы, но очевидно, что это ничто, учитывая наш размах), поэтому Бауэрс сделал проще — определил L как прогрессию из легионов, лугионов, лагионов, лэгионов и лигионов: L1, L2, L3… И далее число опередляется индексами.
Например для «вычисления» (смешно, конечно, говорить о вычислениях на таких масштабах) {L100,10} 10,10 нужно взять сотый член в прогрессии «легионы, лугионы, лагионы…» и составить из него массив в 10 измерениях. Затем нужно убирать по одному члену, каждый раз добавляя цепочку из «10 % 10 %… %10» (где % — L100-гионный массив из на то количество десяток, которое получилось на предыдущем этапе. И только после того, как все сотые члены (а также L99, L98 и иже с ними, вплоть до и /) закончатся, мы сможем, собственно, начать решать первый массив в сумасшедшей прогрессии массивов.

Кстати, для 340 больших чисел Бауэрс ввел собственные наименования, многие из которых по своей безумности полностью соответствуют алгоритмам расчета. Встречайте, МЕАМЕАМЕАЛОККАПУВА УМПА: {{L100,10} 10,10 & L,10} 10,10 .

Примечание для нердов:
Разумеется, Бауэрс определил строгий набор правил совершения операций над массивами.
Определения:
— первый запись в массиве называется «базой» (base) — b;
— вторая запись в массиве называется «начальной» (prime) — p;
— первая неединичная запись после начальной называется «пилотом» («pilot»);
— запись массива, которая следует сразу за пилотом называется «вторым пилотом». Она не существует, если пилот является первой записью в своем ряду;
— структура — это часть массива, которая состоит из групп меньшей размерности. Это может быть запись (Х 0), ряд (Х 1), плоскость (Х 2), область (Х 3) и т.д., не говоря уже о структурах большей размерности (Х 5 , Х 6 и т.д.) и тетрационных структурах, например, X3. Можно также продолжить пентационными, гексационными и т.п. структурами.
— «предыдущей записью» (previous entry) называется запись, которая образуется перед пилотом, но в том же ряду, что и остальные предыдущие записи. «Предыдущим рядом» называется ряд, который появляется перед пилотным рядом, но в той же плоскости, что и все остальные предыдущие ряды и т.д.
— «начальный блок» (prime block) структуры S вычисляется заменой всех вхождений Х на p. Например, если S = Х 3 , то начальным блоком будет p 3 или куб со стороной длины p. Начальным блоком Х х -структуры будет p p , p-гиперкуб с длиной стороны p.
— «самолёт» включает в себя пилота, все предыдущие записи, а также начальный блок всех предыдущих структур;
— «пассажиры» — это записи в самолете, которые не являются пилотом или вторым пилотом;
— значение массива записывается как v(A)
, где А — это массив.
Правила вычисления:
1. Если p = 1, v(A) = b
2. Если нет пилота, то v(A) = b p
3. Если первое и второе не применяется, то:
— пилот уменьшается на 1;
— второй пилот принимает значение оригинального массива с начальным значением, уменьшенным на 1;
— каждый пассажир становится b;
— остальная часть массива не изменяется
Все примеры, описанные выше, подчиняются этим незатейливым правилам.

Как уже говорилось выше, BEAF по своей мощи значительно превосходит цепочки Конвея, не говоря уже о нотации Кнута… Интересно, что дальше?

А дальше мы вступаем на поле скорее философии, нежели собственно математики. Все описанные выше нотации представляют собой вычислимые функции
или функции, которые могут быть реализованы на машине Тьюринга.

Во второй части мы рассмотрим невычислимые функции
: задачу усердных бобров, сигма-функцию Радо Σ(n), число Райо, BIG FOOT и другие, а также рассмотрим быстрорастущую иерархию, чтобы понять, есть ли предел этому математическому безумию.

Использованные материалы:
1. Главный сайт по гугологии:

Чтобы хоть как-то представить себе масштаб числа, разберём его запись поподробнее.

1
. Итак, в математике существует понятие «гипероператор» для определения уровня арифметических действий. Так, сложение — это гипероператор первого уровня, а гипероператор второго уровня — умножение, которое суть повторяющееся сложение. То есть множитель — это число, которое говорит нам, сколько раз надо сложить умножаемую величину. Например: 3 · 3 = 3 + 3 + 3 = 9. Следующий гипероператор — возведение в степень, x
n
= х
^n
, что по сути является повторяющимся умножением. Пример: 3 3 = 3 · 3 · 3 = 27. Запись 3 3 в нотации Кнута будет выглядеть как 33.
Здесь для ясности следует сказать, что первая цифра в выражении 33 — это значение, с которым мы и производим действие, а количество стрелочек между цифрами — это арифметическое действие; в данном случае одна стрелочка означает возведение в степень. Вторая цифра означает то, в какую степень надо возвести первую цифру (сколько раз перемножить на себя).
Соответственно, выражение 74 означает семь в четвёртой степени. Иначе говоря, 7 нужно умножить на 7 четыре раза.

2
. Гипероператор четвёртого уровня — тетрация, повторяющееся возведение в степень. В записи Кнута — две стрелки между цифрами. Пример: 33 = 3 3 = 3 3 3 = 3 27 = 7 625 597 484 987. То есть вторая цифра при наличии двух стрелок означает, что столько раз нужно возвести в степень самого себя первое число
. Другими словами, показывает нам высоту степенной башни из первой цифры. Например, запись 58 означает башню из восьми пятёрок, нагромождённых друг на друга, как кубики.

Тем, чей мозг совсем заплыл жиром или занят лишь мыслями о том, как найти тян , вкачать своего эльфа или избавиться от прыщей , следует запомнить, что в тетрации выражения высчитываются сверху вниз
, или справа налево
. Проще говоря, 3 3 3 равняется нихуя не 27 3 , а как раз-таки 3 27
. Теперь ты видишь, мой маленький мохнатый друг, что тетрация — уже довольно мощный способ записи, позволяющий коротеньким выражением записывать числа в 100500 раз бо́льшие, чем само 100500. Но это ещё не всё, ибо она является недостаточно мощным гипероператором для вычисления числа Грэма.

3
. Идём дальше: гипероператор пятого уровня — пентация (повторяющаяся тетрация). Три стрелочки между цифрами. Вот здесь-то и начинается пиздец, от которого люди, не являющиеся профессиональными математиками, плюют на всю эту лабуду и больше не пытаются её понять. Но ведь ты не такой, как они ? Если ты подумал, что пентация числа 3 раскладывается на 3 в степени 7 625 597 484 987, то ты ошибаешься. Ты даже не представляешь, НАСКОЛЬКО ошибаешься. Ибо 3 в степени 7 625 597 484 987 — это всего лишь 34.
А пентация — это 33 = 3(33) = 3(7 625 597 484 987) = 33…(количество возведений в степень — 7 625 597 484 987 раз
)…3. То есть, степенная башня из троек получается высотой в более чем семь с половиной триллионов этажей! Иначе говоря, вторая цифра при наличии трёх стрелочек означает, какой высоты будет башня тетраций первой цифры
. Для большей наглядности: 34 можно записать как 3 3 3 3, либо 3 (3 (3 3)). И здесь главное — понять, что эта башня из тетраций не есть башня из степеней, тут эскалация намного стремительнее. 34 = 3 3 3 3 = 7 625 597 484 987 3 3.
Понял, наконец, сука?! 34 равняется 3 в тетрации числа, которое получается в результате вычисления степенной башни из цифры 3 высотой в 7 625 597 484 987 этажей. Соответственно, если 34 записать как степенную башню из троек, то количество этажей в этой башне будет равняться числу, которое получится при вычислении степенной башни высотой в 7 625 597 484 987 этажей. Представил? Не представил, конечно, такие величины с наскоку не осмыслить.

Если ты всё-таки начал потихоньку не понимать, что за херня здесь происходит, то заново перечитай пункт 2.

4
. И последний нужный нам гипероператор — гексация. Как вы уже догадались, четыре стрелочки между тройками. Это, соответственно, повторяющаяся пентация. Вторая цифра при наличии четырёх стрелочек означает, какой высоты будет уже «пентационная» башня
. 33 = 3(33) = 333…33, где количество тетраций — результат вычисления пентации 33. Если опять ничего не понял, то заново прочитай пункты 3 и 2.
Если мы переместимся в самый конец этой немыслимой цепочки тетраций и начнём её вычислять, то уже вторая с конца тройка будет в тетрации равна 7 625 597 484 987. А результатом тетрации третьей тройки с конца будет число, полученное пентацией тройки в предыдущем пункте. А перед нами — ещё гуголплексы и гуголплексы повторяющихся тетраций цифры 3. Тут уже бесполезно что-то пытаться осмыслить, как-то охватить результат… И тут вы, возможно, спросите: «Неужели это число Грэма? Надо же, насколько громадное!» Но нет, это не число Грэма. Это была только математическая присказка, и она ничтожно, неизмеримо мала по сравнению с числом Грэма.

Стало быть, гексация — это всего лишь добавление к пентации одной ссаной стрелочки, но результат оказывается больше в невообразимое количество порядков. А теперь, собственно, вычисление числа Грэма. Цифра три в примерах была использована не просто так, ибо число Грэма по сути и есть перемноженные тройки. Итак, назовём результат нашей гексации (33) G1. Это будет первый шаг вычислений. Только первый. А следующий шаг ускоряет прогрессию так, что добавление одной, десяти, МИЛЛИОНА стрелок между цифрами — топтание на месте. Шаг второй — вычисление G2. Теперь мы берём результат нашей гексации тройки и пишем выражение, где число стрелочек сверхстепени будет равно этому результату. G2 = 3…(количество стрелочек сверхстепени — G1)…3. Интересно, как называется гипероператор ТАКОГО уровня?..

Запись не то что результата, но даже этого гипероператора уже невозможна без сокращения. А число, получившееся при его вычислении (если, конечно, его возможно было бы вычислить), заполнило бы своими цифрами и Вселенную, и параллельные миры, и подпространство, и всяческий другой астрал. И не забываем, что в G1 количество стрелочек было равно четырём — и это уже число, недоступное для вычисления и записи обычным способом! А в G2 это число — только количество сверхстепеней. Вот так-то. Прогрессия невероятно стремительная. И это только начало. Следующим шагом идёт вычисление числа G3, где количество стрелочек сверхстепени будет равно G2! Подобным образом после этого следует ещё 62 шага вычислений, где результат каждого шага будет лишь количеством стрелок сверхстепени следующего шага, и число Грэма есть G64!

Ваистену, матан иногда штырит похлеще любых наркотиков.

Был старик, застенчивый как мальчик,
Неуклюжий, робкий патриарх…
Кто за честь природы фехтовальщик?
Ну, конечно, пламенный Ламарк.
Осип Мандельштам

В дополнение к описанию числа Грэма и множества других интересных чисел предлагаю обсудить еще пару чисел. Сейчас спешно расшифровывают геном человека. На мой взгляд от этого будет мало толку, как от любых экспериментальных данных, к которым нет хоть какой-нибудь теории (непонятно а что собственно меряют-то) Но по крайней мере стало известно, что человеческий геном состоит из 3.1 миллиарда оснований (всякие тимин с гуанином и прочими урацилами)Каждое живое существо с точки зрения теории эволюции Дарвина считается тестом на выживаемость данной комбинации оснований, и главное столкновение религии с Дарвиновской теорией происходит, когда Дарвиновская теория, или вернее ее современная интерпретация, заявляет, что этот перебор происходит случайным образом. Вне этого заявления никакого противоречия эволюционной теории и картины, описанной например в иудео-христианском Генезисе нет, что бы там не утверждали креационисты.

Например если предположить, что у самого первого живого существа в самом первом ДНК была запрограммирована вся эволюция от этого самого первого существа до современного человека, то эта картина, которую можно считать современной интерпретацией эволюции Ламарка, ну ничем не отличается от Генезиса, а самое первое живое существо в этом мысленном эксперименте следует называть не Адамом Бродского, а архетипом Ламарка. Просто слова «Бог сотворил» из Генезиса в данном контексте означает Бог записал в программу архетипа Ламарка. Кстати и эту программу и сам способ програмирования придумал тоже Он.

Допустим, что комбинация пар оснований этого самого первого живого существа единственная, тогда мы можем оценить снизу темп эволюции Дарвина. Начнем с того, что недавно было найдено самое маленькое живое существо (вирусы по идее еще меньше, но их нельзя считать полноценно живыми существами, так как им для воспроизводства нужен чужой клеточный механизм — всякие митохондрии и т.д. и т.п.) Представим, что вся вселенная (10 в степени 26 метров) доверху заполнена этими живыми существами размеров 0,009 кубических микрона которые непрерывно тестируют комбинации ДНК, причем у каждового свое уникальное тестовое задание исключающее дублирование тестирования ДНК разными живыми существами, а если появляется что то удачное, то об этом мгновенно узнают все живые существа вселенной и меняют свое тестовое задание, так что все комбинации на основе неудачного теста выбраковываются из последующего тестирование. Назовем числом Дарвина общее количество геномов, которые таким образом надо протестировать, а если умножить число Дарвина на минимальное время жизни тестирующего существа — Планковское время которое вляется минимальным квантом времени, — и разделить на общее количество таких существ, то можно определить некое характерное время такой эволюции, которое я предлагаю называть временем Дарвина. А если разделить время Дарвина на максимальный возраст нашей вселенной то можно получить число, которое я предлагаю назвать числом Уильяма из Оккама, так как он был первым, кто доказал, что научными методами нельзя доказать наличие Бога, но нельзя доказать и его отсутствие. Действительно число Оккама показывает в рамках теории Дарвина максимальное количество входов в Дарвиновскую эволюцию в нашей Вселенной, то есть отделяет те комбинации ДНК, которые могут быть геномом живого существа, от тех, которые заведомо фатальны. То есть это число показывает разницу между жизнью и смертью в нашей Вселенной.

Естественно отношение числа Оккама к числу Грэма я предлагаю назвать числом Бродского, а всю эту процедуру я предлагаю назвать парадоксом Бродского.

Originally posted by lyubimica_mira

at Число Грэма на пальцах™

Оригинал взят у sly2m

в Число Грэма на пальцах™

эпиграф

Если долго всматриваться в бездну,
можно неплохо провести время.

Инженер Механических Душ

Как только ребенок (а это происходит где–то года в три–четыре) понимает, что все числа делятся на три группы «один, два и много», он тут же пытается выяснить: насколько много бывает много
, чем много
отличается от очень много
, и может ли оказаться так много, что больше не бывает
. Наверняка вы играли с родителями в интересную (для того возраста) игру, кто назовет самое большее число, и если предок был не глупее пятиклассника
, то он всегда выигрывал, на каждый «миллион» отвечая «два миллиона», а на «миллиард» — «два миллиарда» или «миллиард плюс один».

Уже к первому классу школы каждый знает — чисел бесконечное множество, они никогда не заканчиваются и самого большого числа не бывает. К любому миллиону триллионов миллиардов
всегда можно сказать «плюс один» и остаться в выигрыше. А чуточку позже приходит (должно прийти!) понимание, что длинные строки цифр сами по себе ничего не значат. Все эти триллионы миллиардов
только тогда имеют смысл, когда служат представлением какого–то количества предметов или же описывают некое явление. Выдумать длиннющее число, которое ничего из себя не представляет, кроме набора долгозвучащих цифр, нет никакого труда, их итак бесконечное количество
. Наука, в какой–то образной мере, занимается тем, что выискивает в этой необозримой бездне совершенно конкретные комбинации цифр, присовокупляя к некому физическому явлению, например скорости света, числу Авогадро или постоянной Планка.

И сразу же возникает вопрос, а какое на свете самое больше число, которое что–то означает? В этой статье я попытаюсь рассказать о цифровом монстре, называемом число Грэма
, хотя строго говоря, науке известны числа и побольше. Число Грэма самое распиаренное, можно сказать «на слуху» у широкой публики, потому что оно довольно просто в объяснении и все же достаточно велико, чтобы вскружить голову. Вообще, тут необходимо объявить небольшой disclaimer (рус. предостережение
). Пусть прозвучит как шутка, но я нифига не шучу. Говорю вполне серьезно — дотошное ковыряние в подобных математических глубинах в совокупности с безудержным расширением границ восприятия может оказать (и окажет) серьезное влияние на мироощущение, на позиционирование личности в обществе, и, в конечном итоге, на общее психологическое состояние
ковыряющего, или, будем называть вещи своими именами — открывает дорогу к шизе. Не нужно чересчур внимательно вчитываться в нижеследующий текст, не стоит слишком ярко и живо представлять описываемые в нем вещи. И не говорите потом, что вас не предупреждали!
Пальцы:
Прежде чем переходить к числам–монстрам, потренируемся для начала на кошках
. Напомню, что для описания больших чисел (не монстров, а просто больших чисел) удобно пользоваться научным или т.н. экспоненциальным
способом записи.

Когда говорят, скажем, о количестве звезд во Вселенной (в Обозримой Вселенной), никакой идиот не лезет вычислять сколько их там в буквальном смысле с точностью до последней звезды. Считается, что примерно 10 21 штук. И это оценка снизу. Значит общее количество звезд можно выразить числом, у которого после единицы стоит 21 ноль, т.е. «1 000 000 000 000 000 000 000».

Так выглядит небольшая часть из них (около 100 000) в шаровом скоплении Омега Центавра.

Естественно, когда речь идет о подобных масштабах, действительные цифры в числе существенного значения не играют, все ведь весьма условно и примерно. Может быть на самом деле
число звезд во Вселенной «1 564 861 615 140 168 357 973», а может «9 384 684 643 798 468 483 745». А то и «3 333 333 333 333 333 333 333», почему нет, хотя маловероятно, конечно. В космологии, науке о свойствах Вселенной в целом, такими мелочами не морочатся. Главное представлять, что примерно
это число состоит из 22 цифр, от чего удобней считать его единицей с 21 нулем, и записывать как 10 21 . Правило общее и весьма простое. Какая цифра или число стоят на месте степени (напечатаны мелким шрифтом сверху над 10 вот тут), столько нолей после единицы будет в этом числе, если расписать его по–простецки, знаками подряд, а не по–научному. У некоторых чисел существуют «человеческие названия», например 10 3 мы называем «тысяча», 10 6 — «миллион», а 10 9 — «миллиард», а у некоторых нет. Скажем у 10 59 нет общепринятого названия. А у 10 21 , кстати, есть — это «секстиллион».

Все, что идет до миллиона, практически любому человеку понятно интуитивно, ведь кто не хочет стать миллионером
? Дальше у некоторых начинаются проблемы. Хотя миллиард (10 9) тоже знают почти все. До миллиарда даже можно досчитать. Если только родившись, буквально в момент появления на свет начать считать раз в секунду «один, два, три, четыре…» и не спать, не пить, не есть, а только считать–считать–считать без устали днем и ночью, то когда стукнет 32 года можно досчитать до миллиарда, потому что 32 оборота Земли вокруг Солнца занимают примерно миллиард секунд.

7 миллиардов — количество людей планете. Исходя из вышеизложенного, посчитать их всех по порядку в течении человеческой жизни совершенно невозможно, придется прожить больше двухсот лет.

Триллион (10 12) — число, которым редко пользуются. До триллиона досчитать невозможно, на это уйдет 32 тысячи лет. Триллион секунд назад люди жили в пещерах и охотились с копьями на мамонтов. Да, триллион секунд назад на Земле жили мамонты. В океанах планеты примерно триллион рыб. В соседней с нами галактике Андромеды около триллиона звезд. Человек состоит из 10 триллионов клеток. ВВП России в 2013м году составил 66 триллионов рублей (в рублях 2013го года). От Земли до Сатурна 100 триллионов сантиметров и столько же букв в целом было отпечатано во всех когда–либо опубликованных книгах.
Квадриллион (10 15 , миллион миллиардов) — столько всего муравьев на планете. Это слово нормальные люди вслух не произносят, ну, признайтесь, когда вы последний раз в разговоре слышали «квадриллион чего–то»?
Квинтиллион (10 18 , миллиард миллиардов) — столько существует возможных конфигураций при сборке кубика Рубика 3х3х3. Так же количество кубометров воды в мировом океане.
Секстиллион (10 21) — это число нам уже встречалось. Количество звезд в Обозримой Вселенной. Количество песчинок всех пустынь Земли. Количество транзисторов во всех существующих электронных устройствах человечества, если Intel нам не врал .
10 секстиллионов (10 22) — количество молекул в грамме воды.
10 24 — масса Земли в килограммах.
10 26 — диаметр Обозримой Вселенной в метрах, но в метрах считать не очень удобно, общепринятые границы Обозримой Вселенной 93 миллиарда световых лет .

Размерами, большими чем Обозримая Вселенная, наука не оперирует. Мы знаем наверняка, что Обозримая Вселенная это не вся–вся–вся Вселенная. Это та часть, что мы, хотя бы теоретически, можем видеть и наблюдать. Или могли видеть в прошлом. Или сможем увидеть когда–нибудь в отдаленном будущем, оставаясь в рамках современной науки. От остальных частей Вселенной даже со скоростью света сигналы не смогут до нас добраться, от чего этих мест с нашей точки зрения как бы не существует. Насколько велика та большая Вселенная на самом деле
никто не знает. Может быть в миллион раз больше, чем Обозримая. А может в миллиард. А может и вообще бесконечная. Говорю же, это уже не наука, а гадание на кофейной гуще. У ученых есть кое–какие догадки, но это больше фантазии, чем реальность.
Для визуализации космических масштабов полезно изучить эту картинку, раскрыв ее на весь экран .

Однако даже в Обозримую Вселенную можно напихать гораздо больше чего–то другого, чем метры.
10 51 атомов составляют планету Земля.
10 80 примерное количество элементарных частиц в Обозримой Вселенной.
10 90 примерное количество фотонов в Обозримой Вселенной. Их почти в 10 миллиардов раз больше, чем элементарных частиц, электронов и протонов.
10 100 — гугол. Это число ничего физически не значит, просто круглое и красивое. Компания, которая поставила себе целью индексировать гугол ссылок (шутка, конечно, это же больше, чем число элементарных частиц во Вселенной!) в 1998м году взяла себе название Google.
10 122 протонов понадобится, чтобы набить Обозримую Вселенную под завязку, плотненько так, протончик к протончику, впритык.
10 185 планковских объемов занимает Обозримая Вселенная. Меньших величин, чем планковский объем (кубик размеров планковской длины 10 –35 метра) наша наука не знает. Наверняка, как и со Вселенной, там есть что–то еще более мелкое, но вменяемых формул для подобных мелочей ученые еще не придумали, одни сплошные спекуляции.

Получается, что 10 185 или около того — наибольшее число, которое в принципе может что–то значить в современной науке. В науке, которая может пощупать и измерить. Это то, что существует или могло бы существовать, если так случилось, что мы узнали о Вселенной все, что можно было узнать. Число состоит из 186 цифр, вот оно:
100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Чем дальше в лес, тем меньше теоретической физики и вообще науки остается в набирающих объемы числах, и за колонками нулей начинает проглядывать все более чистая, ничем не замутненная царица наук. Математика это ведь не физика, тут ограничений нет и стыдиться нечего, гуляй душа, пиши нули в формулах хоть до упаду.
Упомяну лишь известный многим гуголплекс
. Число у которого гугол цифр, десять в степени гугол (10 гугол), или десять в степени десять в степени сто (10 10 100).
10 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Не буду записывать его цифрами. Гуголплекс не значит абсолютно ничего. Человек не может представить себе гуголплекс чего бы то ни было, это физически невозможно. Чтобы записать такое число понадобится вся Обозримая Вселенная, если писать «нано–ручкой» прямо по вакууму фактически в планковские ячейки космоса. Переведем всю материю на чернила и заполним Вселенную одними сплошными цифрами, тогда получим гуголплекс. Но математики (страшные люди!) гуголпрексом только разминаются, это нижайшая планка, с которой для них стартуют настоящие ничтяки. И если вы думаете, что гуголплекс в степени гуголплекс это то, о чем пойдет речь, вы даже не представляете, НАСКОЛЬКО ошибаетесь.

За гуголплексом идут много интересных чисел, имеющих ту или иную роль в математических доказательствах, долго ли коротко, перейдем сразу к числу Грэма, названному так в честь (ну, естественно) математика Рональда Грэма. Сначала расскажу, что это такое и для чего нужно, после чего образно и на пальцах™
опишу, каково оно по величине, а затем уже напишу само число. Точнее попытаюсь объяснить, что же я написал.

Число Грэма появилось в работе, посвященной решению одной из задач в теории Рамсея, причем «рамсея» тут не деепричастие несовершенного вида, а фамилия другого математика, Франка Рамсея. Задача конечно же довольно надуманная с обывательской точки зрения, хоть и не сильно замороченная, даже легко понятная.
Представьте себе куб, все вершины которого соединены линиями–отрезками двух цветов, красного или синего. Соединены и раскрашены в случайном порядке. Кое–кто уже догадался, что речь пойдет о разделе математики под названием комбинаторика .

Можете сами покумекать, покрутить куб в воображении перед глазами, сделать подобное не так уж и сложно. Цвета два, вершин (углов) у куба 8, значит отрезков их соединяющих — 28. Можно так подобрать конфигурацию раскраски, что мы нигде не получим вышеуказанной фигуры, во всех возможных плоскостях будут разноцветные линии.
А что, если у нас больше измерений? Что, если мы возьмем не куб, а четырехмерный куб, т.е. тессеракт ? Сможем ли мы провернуть тот же фокус, что и с трехмерным?

А теперь определение того, что я выше расписал на несколько абзацев, сухим и скучным (зато емким) языком математики. Понимать не надо, но не привести его я не могу.
Рассмотрим n–мерный гиперкуб и соединим все пары вершин для получения полного графа с 2 n вершинами. Раскрасим каждое ребро этого графа либо в красный, либо в синий цвет. При каком наименьшем значении n каждая такая раскраска обязательно содержит раскрашенный в один цвет полный подграф с четырьмя вершинами, все из которых лежат в одной плоскости?

В 1971м году Грэм доказал, что указанная проблема имеет решение, и что это решение (количество размерности) лежит между числом 6 и неким большим числом, которое позже (не самим автором) было названо в его честь. В 2008м году доказательство улучшили, нижнюю границу подняли, теперь искомое количество размерностей лежит уже между числом 13 и числом Грэма. Математики не спят, работа идет, прицел сужается.
С 70х годов прошло немало лет, были найдены математические задачи в которых проявляются числа и побольше грэмова, но это первое число–монстр так поразило современников, понимавших о каких масштабах идет речь, что в 1980м году его включили в книгу рекордов Гиннесса, как «самое большое число, когда–либо участвовавшее в строгом математическом доказательстве» на тот момент.

Давайте попытаемся разобраться, насколько оно велико. Самое большое число, могущее иметь какой–то физический смысл 10 185 , а если всю Обозримую Вселенную заполнить кажущимся бесконечным набором мизерных циферок, получим что–то соизмеримое с гуголплексом
.

Число действительно огромно, рвет мозг. Оно не совсем точно равно гуголплексу, и у него нет названия, потому буду называть его «дохулион
«. Только что придумал, почему бы и нет. Количество планковских ячеек в Обозримой Вселенной, и в каждой ячейке записана цифра. Число содержит 10 185 цифр, его можно изобразить как 10 10 185 .
дохулион = 10 10 185
Раскроем двери восприятия чуть пошире. Помните инфляционную теорию ? Что наша Вселенная лишь одна из многих пузырьков Мультивселенной. А если представить дохулион
таких пузырьков? Возьмем число, длиною со все сущее и представим себе Мультивселенную с подобным количеством вселенных, каждая из которых под завязку исписана цифрами — получим дохулион дохулионов
. Представляете себе такое? Как плывешь в небытии скалярного поля, а кругом вселенные–вселенные и в них цифры–цифры–цифры… Надеюсь, подобный кошмар (хотя, почему кошмар?) не будет мучить (и почему мучить?) излишне впечатлительного читателя по ночам.

Для удобства назовем подобную операцию «флип
«. Такое несерьезное междометие, как будто взяли Вселенную и вывернули наизнанку, то она была внутри в цифрах, а теперь наоборот у нас снаружи столько вселенных, сколько было цифр, и каждая полным–полна коробочка, сама вся в цифрах. Как гранат чистишь, корочку так отгибаешь, изнутри выворачиваются зернышки, а в зернышках снова гранаты. Тоже на ходу придумалось, почему бы и нет, с дохулионом
ведь прокатило.
К чему я клоню? Стоит ли тормозить? Давайте, хоба, и еще один флип
! И вот у нас столько вселенных, сколько было цифр во вселенных, количество которых было равно дохулиону цифр, заполнявших нашу Вселенную. И сразу, не останавливаясь, еще раз флип. И четвертый, и пятый. Десятый, тысячный. Успеваете за мыслью, все еще представляете себе картину?

Не будем мелочиться, распускаем крылья воображения, разгоняемся по полной и флипаем флип флипов
. Столько раз выворачиваем каждую вселенную наизнанку, сколько дохулионов вселенных было в предыдущем флипе, который флипал из позапрошлого, который… эээ… ну, вы следите? Где–то так. Пусть теперь наше число станет, предположим, «дохулиард
«.
дохулиард = флип флипов
Не останавливаемся и продолжаем флипать дохулионы дохулиардов до тех пор пока есть силы. Пока в глазах не темнеет, пока не захочется кричать. Тут каждый сам себе отважный Буратина, стоп–слово будет «брынза».
Так вот. Это все о чем? Огромные и бесконечные дохулионы флипов и дохулиарды вселенных полных цифр не идут ни в какое сравнение с числом Грэма. Даже не скребут по поверхности. Если число Грэма представить в виде палки, растянутой по традиции во всю Обозримую Вселенную, то, что мы тут с вами нафлипали
окажется засечкой толщины… ну… как бы это так, помягче выразить… недостойной упоминания
. Вот, смягчал, как мог.

Теперь давайте немного отвлечемся, передохнем. Мы читали, мы считали, наши глазоньки устали. Забудем про число Грэма, до него еще ползти и ползти, расфокусируем взгляд, расслабимся, помедитируем на гораздо меньшее, прямо–таки миниатюрнейшее число, которое назовем g 1 , и запишем всего шестью знаками:
g 1 = 33
Число g 1 равно «три, четыре стрелочки, три». Что это значит? Так выглядит способ записи, называемый стрелочная нотация Кнута .
Для подробностей и деталей можно почитать статью в Википедии, но там формулы, я коротенько перескажу ее простыми словами. Одна стрелочка означает обыкновенное возведение в степень.
22 = 2 2 = 4
33 = 3 3 = 27
44 = 4 4 = 256
1010 = 10 10 = 10 000 000 000

Две стрелочки означают, что понятно, возведение в степень степени.
23 = 222 = 2 2 2 = 2 4 = 16
33 = 333 = 3 3 3 = 3 27 = 7 625 597 484 987 (больше 7 триллионов)
34 = 3333 = 3 3 3 3 = 3 7 625 597 484 987 = число, в котором около 3 триллионов цифр

Короче говоря, «число стрелочка стрелочка другое число» показывает, какая высота степеней (математики говорят «башня
«) выстраивается из первого числа. Например 58 означает башню из восьми пятерок и настолько велико, что не может быть рассчитано ни на каком суперкомпьютере, даже на всех компьютерах планеты одновременно.
5 5 5 5 5 5 5 5
Переходим к трем стрелочкам. Если двойная стрелочка показывала высоту башни степеней, то тройная, казалось бы, укажет «высоту башни высоты башни»? Какой–там! В случае тройки мы имеем высоту башни высоты башни высоты башни (в математике такого понятия нет, я решил назвать его «безбашней
«). Как–то так:

То есть 33 образует безбашню из троек, высотой в 7 триллионов штук. Что такое 7 триллионов троек, поставленные друг на друга и именуемые «безбашней»? Если вы внимательно читали этот текст и не уснули в самом начале, вероятно помните, что от Земли до Сатурна 100 триллионов сантиметров. Тройка, показанная на экране двенадцатым шрифтом, вот эта — 3 — высотой миллиметров пять. Значит безбашня из троек протянется от вашего экрана… ну, не до Сатурна, конечно. Даже до Солнца не дотянется, всего четверть астрономической единицы, примерно как от Земли до Марса в хорошую погоду. Обращаю внимание (не спать!), что безбашня это не число длиной от Земли до Марса, это башня степеней такой высоты
. Мы помним, что пять троек в этой башне покрывают гуголплекс, вычисление первого дециметра троек сжигает все предохранители компьютеров планеты, а остальные миллионы километров степеней уже как бы и ни к чему, они просто в открытую насмехаются над читателем, считать их бесполезно.

Теперь понятно, что 34 = 3333 = 337 625 597 484 987 = 3безбашня, (не 3 в степени безбашни, а «три стрелочка стрелочка безбашня»(!)), она же безбашня безбашни
не влезет ни по длине ни по высоте в Обозримую Вселенную, и даже не поместится в предполагаемую Мультивселенную.
На 35 = 33333 заканчиваются слова, а на 36 = 333333 кончаются междометия, но можете потренироваться, коль есть интерес.

А вообразите какой цифровой кошмар творится, когда стрелок окажется пять? Когда их шесть? Можете представить число, когда стрелок будет сто? Если можете, позвольте предложить вашему вниманию число g 2 , в котором количество этих стрелок оказывается равно g 1 . Помните, что такое g 1 , да?

Почему плакать? Потому что совершенно верно. Есть еще число g 4 , в котором содержится g 3 стрелочек между тройками. Есть так же g 5 , есть g 6 и g 7 и g 17 и g 43 …
Короче их 64 штуки этих g. Каждое предыдущее численно равно количеству стрелок в следующем. Последнее g 64 и есть число Грэма, с которого все так вроде бы невинно начиналось. Это число размерностей гиперкуба, которого точно будет достаточно, чтобы правильно раскрасить отрезки красным и синим цветами. Может и меньше, это, так сказать, верхняя граница. Его записывают следующим образом:
а расписывают так:

Никто не знает, что ждет нас в будущем. У человеческой цивилизации есть тысячи способов закончиться: ядерные войны, экологические катастрофы, смертоносные пандемии, астероид какой может прилететь, динозавры не дадут соврать. Но у природы есть один незыблимый закон, известный нам с самой давней древности. Как бы ни было, что бы ни случилось, что бы мы себе ни думали, но время никуда не денется, оно пройдет. Хотим мы этого или не хотим, с нами или без — пройдут и тысяча и 10 тысяч лет.

Наибольших чисел, которые как бы можно записать в десятичной нотации. Да, нам потребуется нанокарандаш и вся Вселенная, но, теоретически хотя бы можно представить, как бы мы его записывали. Но на этом счёт не заканчивается, и за гуголплексами, гугоплексами в степени гуголплекс и факториалами всего этого добра, живут такие чудища, которые невозможно ни представить, ни понять. При этом, эти чудища являются решениями вполне себе определённых задач и имеют практический смысл.

Вводная

На определённом этапе у нас закончатся возможности для записи чисел. Сначала мы будем использовать десятичную нотацию, потом сложение и мультипликацию, потом записывать числа в виде степеней, потом в виде степенных башен. Но для чисел, о которых пойдёт речь далее нам уже не хватит Вселенной (и мультивселенной тоже), чтобы записать степенную башню так, если бы размер каждой цифры был планковским!

Итак, друзья мои, начнём:
Вот сложение: a + b = a + 1 + 1 + …, и так b раз;
Вот умножение: a × b = a + a + a + …, и так b раз;
Вот степень: a b = a × a × a × …, и так b раз;

Функция пока прирастает довольно вяло, а дальше мы можем использовать только степенные башни: b a = a a a a … , а после этого средства записи чисел, о которых имеет представление большинство, заканчиваются. Поэтому для записи истинно неимоверных чисел используется другая нотация — стрелочная , за авторством Дональда Кнута.

Стрелочная нотация Кнута

a b = a b = a × a × a × …, и так b раз — это понятно;

A b = a (a b), то есть a (a (… b раз… a)), — это степенная башня. Пока всё хорошо, но нужен пример, для того, чтобы понимать порядки:
3 2 = 3 3 = 27;
3 3 = 3 3 3 = 3 27 = 7 625 597 484 987;
3 4 = 3 3 3 3 = 3 7 625 597 484 987 (стандарный калькулятор уже выдаёт ошибку);
3 5 = 3 3 3 3 3 = 3 3 7 625 597 484 987

Смотрите, функция растёт очень быстро, при изменении одного из аргументов «всего лишь на единичку», мы уже вышли за гуголплекс, но это только начало.

a b = a (a (… b раз… a)), то есть,
3 3 = 3 (3 3) = 3 7 625 597 484 987 = 3 3 …7 625 597 484 987 раз… 3 . Для понимания масштаба трагедии: эта степенная башня из троек высотой до Марса. Подчёркиваю красным: не число длиной до Марса, а высота башни степеней до Марса. Понять и представить сколько это в штуках невозможно. Можно лишь расслабиться и получать удовольствие, но я с долей садизма напомню, что 3 5 уделывает гуголплекс, а 3 9 вообще не может быть рассчитано, на совокупной мощности всех земных компьютеров.

Высота степенной башни 3 3

3 4 — эта хрень относится уже к наглым издевательствам над здравым смыслом. Если раньше можно было ещё хоть как-нибудь пытаться представить, как выглядела бы степенная башня из троек до Марса и сделать вид, что такое число можно осознать, то тут — всё. Нескольких Вселенных уже будет недостаточно, чтобы организовать башню высотой из 7 625 597 484 987 башен до Марса. Но, всё же, пока мы ещё оперируем хоть какими-то категориями. Дальше они заканчиваются, потому что…

От g 1 до числа Грэма

a b. или a (a (… b раз… a)). Осознавать, представлять и описывать какое-нибудь 3 3 (а это и есть число g1) нет смысла. Сравнить это просто не с чём. Аналогии становятся неуместными, и можно только изобретать эпитеты.

А дальше, как несложно догадаться будет a b или a 5 b и так далее. При этом важно помнить, что каждая новая стрелочка добавит взрывной рост не самого числа, а описания высоты степенной башни, которая используется для записи этого числа. Поэтому откинемся на спинку кресла и продолжим.

Итак, число g 1 — это 3 3. А g 2 — это ни хрена не 3 3, а 3 g 1 3. Бабах! То есть вся вот эта вот дичь нужна была лишь для того, чтобы показать количество стрелок в числе g 2 . Но дальше-то будет g 3 = 3 g 2 3 и, чтобы немного отдохнуть от этих монстров, нужно бы сделать небольшое отступление и рассказать, зачем все эти «жэ» нужны. Нужно бы, но, так называемой проблемы Грэма, я не понимаю: вернее, я не понимаю, на кой чёрт это могло понадобиться, но попробую описать.

Есть куб, все вершины которого соединены отрезками красного или синего цвета. Цвета отрезков нужно подобрать так, чтобы не получилось,
что 4 вершины, лежащие в одной плоскости, соединены отрезками одного цвета (см. картинку ниже, нижняя фигура — это то, чего в результате комбинирования цветов отрезков получиться не должно
).

Куб, иллюстрирующий «проблему Грэма»

Для обычного 3-мерного куба задача решается, если и не в уме, то на бумаге геометрическим построением. Для 4-мерного куба уже нужно применить комбинаторику. Для 5-мерного и 6-мерного тоже. И так далее до 13-мерного куба: это нижняя граница измерений куба для которой доказано, что подобную комбинацию цветов отрезков соединяющих вершины подобрать можно, хотя сам Грэм запоролся уже на 7-мерном. А как быть с верхней границей? Грэм в своё доказал, что задача разрешима между 6 и неким большим числом. То есть в этом диапазоне измерений куба обязательно найдётся такой, где покрасить отрезки так, чтобы условие задачи выполнилось, будет невозможно. То самое «некое большое число» и было названо числом Грэма. И значение его G = g 64 = 3 g 63 3.

Подробная запись числа Грэма

Занавес! Хотя, а вдруг можно больше? Нет, не в смысле, G + 1 или G G G, а так чтобы число можно было бы реально для чего-нибудь применить? И такие числа есть. Причём, они уделывают G так же, как в своё время какое-то ссаное g 1 уделало гуголплекс в самом начале вычислений.

Число Райо

Вообще, сразу стоит отметить, что даже число Грэма — это хрень, высосанная из двадцать первого пальца. Кому и зачем это в здравом уме может понадобиться я, честно говоря, не очень представляю. И даже не представляю, возможно ли теоретически, чтобы когда-то и кому-то это могло понадобиться в здравом уме. Но всё же, оно знаковое. Это первое самое большое число, появившееся при доказательстве чего-либо, а дальше просто пошла математическая гонка, кто напишет наиболее быстрорастущую функцию. Ты мне G!, а я тебе G G. А ещё кто-то родит какой-нибудь G 1 = G G G и уже дальше будет оперировать им. Грубо, конечно, но что-то подобное имело место, и если изначальное число Грэма имело какой-то практический смысл, то вся последующая байда стала именно гонкой роста функций, нивелировавшей величие числа, которое даже в начале вычислений уже невозможно представить или понять.

Собственно, вся проблема осталась только в способах записи. От степенных башен был переход к нотации Кнута, которая позволила хотя бы описать число Грэма. Потом случились цепочки Конвея, массивные и матричные нотации и вот это вот всё, что позволяет описать сколь угодно большое число, когда для предыдущего способа записи вставала проблема количества условных стрелочек. Не буду их тут описывать, во всяком случае сейчас. Всё-таки, напоминаю, что серия статей о больших числах носит информационно-развлекательный характер, и не хочется превращать её во всякое.

Какая-то многомерно-матричная жесть

В итоге, вся эта дичь дошла до числа Райо. Это уже чистая философия, полученная на каком-то математическом конкурсе на запись самого большого числа на ограниченном пространстве доски, без использования бесконечности и всяких фокусов типа «самое большое число плюс один». В итоге, получилось, что число Райо — это самое маленькое число, большее, чем любое конечное число, определённое на языке теории множеств, с использованием гугол символов или меньше. Если вы поняли хоть что-то о порядке этого числа, вернее, нижней границы чисел Райо, то вы либо профессиональный математик, и не очень понятно, зачем вы дочитали до этого места, либо, как и я, врёте о том, что хоть что-то поняли.

А вот теперь держитесь, хорошего вам настроения и всего доброго. В следующей серии мы выйдем за пределы бесконечности, а там будет всё ещё добрее и веселее, хотя и несколько проще для понимания, чем то же число Райо. Или нет.

Пишет sly2m.livejournal.com

Источник:

Если долго всматриваться в бездну, можно неплохо провести время.
Инженер Механических Душ

Число Грэма на пальцах™

Так выглядит небольшая часть из них (около 100 000) в шаровом скоплении Омега Центавра.

10 секстиллионов (10²²) — количество молекул в грамме воды.

10²⁴ — масса Земли в килограммах.

Для визуализации космических масштабов полезно изучить эту картинку, раскрыв ее на весь экран.

Однако даже в Обозримую Вселенную можно напихать гораздо больше чего–то другого, чем метры.

10⁵¹ атомов составляют планету Земля.

10⁸⁰ примерное количество элементарных частиц в Обозримой Вселенной.

В пятимерном? И в пятимерном, там где куб называется пентерактом или пентакубом, тоже можно.
И в шестимерном.

Дохулиард = флип флипов

Одна стрелочка означает обыкновенное возведение в степень.

44 = 4⁴ = 256

1010 = 10¹⁰ = 10 000 000 000

Две стрелочки означают, что понятно, возведение в степень степени.

Короче говоря, «число стрелочка стрелочка другое число» показывает, какая высота степеней (математики говорят «башня») выстраивается из первого числа. Например 58 означает башню из восьми пятерок и настолько велико, что не может быть рассчитано ни на каком суперкомпьютере, даже на всех компьютерах планеты одновременно.

То есть 33 образует безбашню из троек, высотой в 7 триллионов штук. Что такое 7 триллионов троек, поставленные друг на друга и именуемые «безбашней»? Если вы внимательно читали этот текст и не уснули в самом начале, вероятно помните, что от Земли до Сатурна 100 триллионов сантиметров. Тройка, показанная на экране двенадцатым шрифтом, вот эта — 3 — высотой миллиметров пять. Значит безбашня из троек протянется от вашего экрана… ну, не до Сатурна, конечно. Даже до Солнца не дотянется, всего четверть астрономической единицы, примерно как от Земли до Марса в хорошую погоду. Обращаю внимание (не спать!), что безбашня это не число длиной от Земли до Марса, это башня степеней такой высоты. Мы помним, что пять троек в этой башне покрывают гуголплекс, вычисление первого дециметра троек сжигает все предохранители компьютеров планеты, а остальные миллионы километров степеней уже как бы и ни к чему, они просто в открытую насмехаются над читателем, считать их бесполезно.

На 35 = 33333 заканчиваются слова, а на 36 = 333333 кончаются междометия, но можете потренироваться, коль есть интерес.

Вот, что такое g₁, вот что такое 33.

33 = 7 625 597 484 987

33 = башня, высотой от Земли до Марса.

33 = число, которое невозможно ни представить ни описать.

а расписывают так.

Самая большая математическая константа
Трудно представить Бесконечность правильно, не представив в начале действительно большие числа. Я говорю не о крохотных числах, мало отличающихся от нуля, таких, как число атомов во Вселенной или число лет, которые потребуются обезьянке, чтобы полностью скопировать творения Шекспира. Я предлагаю вам рассмотреть, каково было, в районе 1977 года, самое большое число, когда-либо использованное в серьёзном математическом доказательстве. Это доказательство, выполненное Рональдом Грахамом, даёт верхнюю границу ответов на определённый вопрос теории Рамзея. Для того, чтобы понять доказательство, нужно ввести новое понятие из работы Дональда Кнута «исследование конечных чисел». Это понятие обычно обозначается маленькой стрелочкой, указывающей вверх, которую мы здесь обозначим как ^

3^3 = 3 * 3 * 3 = 27. Это число достаточно мало, чтобы его себе представить.

3^^3 = 3^(3^3) = 3^27 = 7,625,597,484,987. Больше, чем 27, но достаточно мало, чтобы я мог его напечатать. Никто не может представить себе семь триллионов, но мы легко можем понять это число, которое по порядку примерно соответствует объёму ВВП.

3^^^3 = 3^^(3^^3) = 3^(3^(3^(3^…^(3^3)…))). Промежуток «…» состоит из 7,625,597,484,987 троек. Другими словами, 3^^^3 или стрелка (3, 3, 3) представляет собой экспоненциальную башню троек высотой в 7,625,597,484,987 уровней. Это число находится за пределами человеческих представлений, но процедура его создания может быть визуализирована. Возьмём x=1. Присвойте х значение 3^x. Повторите это семь триллионов раз. Хотя самые ранние стадии этого числа слишком велики, чтобы содержаться в целой вселенной, сама экспоненциальная башня, записанная в виде «3^3^3^3…^3» достаточно мала, чтобы содержаться в современном суперкомпьютере.

3^^^^3 = 3^^^(3^^^3) = 3^^(3^^(3^^…^^(3^^3)…)). Теперь и число, и процедура по его созданию находятся за пределами человеческой способности к представлению, хотя процедура может быть понята. Возьмите x=1. Присвойте х значение экспоненциальной башни длиной в x. Повторите это 3^^^3раз, что равно экспоненциальной башне в семь триллионов троек.

И в результате, говоря словами Мартина Гарднера, «3^^^^3 непредставимо больше, чем 3^^^3, но оно всё ещё мало, так как большинство конечных чисел больше».

И затем число Грэхема. Пусть х равно 3^^^^3, тому непредставимо большому числу, которое описано выше. Затем присвойте x значение 3^^^^^^^(x arrow)^^^^^^^3. Снова проделайте то же самое только вместо х подставьте (3^^^^^^^(x arrow)^^^^^^^3) Повторите это 63 раза или 64 раза с учётом начальной последовательности 3^^^^3.

Число Грэхема находится далеко за пределами моей способности к пониманию. Я могу его описать, но я не могу его правильно воспринять. (Возможно, Грэхем может его воспринять, поскольку он написал математическое доказательство, использующее его). Это число гораздо больше, чем концепция большинства людей о бесконечности. Я знаю, что оно было больше, чем моё представление.

Реальным ответом на проблему Рамзея, которая породила это число в качестве верхней границы – было, вероятно, число 6.

P.s Кроме суеверного ужаса у меня это число породило маленькую шуточку: Онотоле Вассерман легко возводит число Грэхема в квадрат за пару секунд.

эпиграф

Если долго всматриваться в бездну,
можно неплохо провести время.

Инженер Механических Душ

Прежде чем переходить к числам–монстрам, потренируемся для начала на кошках
. Напомню, что для описания больших чисел (не монстров, а просто больших чисел) удобно пользоваться научным или т.н. экспоненциальным
способом записи.

Когда говорят, скажем, о количестве звезд во Вселенной (в Обозримой Вселенной), никакой идиот не лезет вычислять сколько их там в буквальном смысле с точностью до последней звезды. Считается, что примерно 10 21 штук. И это оценка снизу. Значит общее количество звезд можно выразить числом, у которого после единицы стоит 21 ноль, т.е. «1 000 000 000 000 000 000 000».

Так выглядит небольшая часть из них (около 100 000) в шаровом скоплении Омега Центавра.

Квадриллион (10 15 , миллион миллиардов) — столько всего муравьев на планете. Это слово нормальные люди вслух не произносят, ну, признайтесь, когда вы последний раз в разговоре слышали «квадриллион чего–то»?

Квинтиллион (10 18 , миллиард миллиардов) — столько существует возможных конфигураций при сборке кубика Рубика 3х3х3. Так же количество кубометров воды в мировом океане.

Секстиллион (10 21) — это число нам уже встречалось. Количество звезд в Обозримой Вселенной. Количество песчинок всех пустынь Земли. Количество транзисторов во всех существующих электронных устройствах человечества, если Intel нам не врал .

10 секстиллионов (10 22) — количество молекул в грамме воды.

10 24 — масса Земли в килограммах.

10 26 — диаметр Обозримой Вселенной в метрах, но в метрах считать не очень удобно, общепринятые границы Обозримой Вселенной 93 миллиарда световых лет .

Размерами, большими чем Обозримая Вселенная, наука не оперирует. Мы знаем наверняка, что Обозримая Вселенная это не вся–вся–вся Вселенная. Это та часть, что мы, хотя бы теоретически, можем видеть и наблюдать. Или могли видеть в прошлом. Или сможем увидеть когда–нибудь в отдаленном будущем, оставаясь в рамках современной науки. От остальных частей Вселенной даже со скоростью света сигналы не смогут до нас добраться, от чего этих мест с нашей точки зрения как бы не существует. Насколько велика та большая Вселенная на самом деле
никто не знает. Может быть в миллион раз больше, чем Обозримая. А может в миллиард. А может и вообще бесконечная. Говорю же, это уже не наука, а гадание на кофейной гуще. У ученых есть кое–какие догадки, но это больше фантазии, чем реальность.

Для визуализации космических масштабов полезно изучить эту картинку, раскрыв ее на весь экран .

Однако даже в Обозримую Вселенную можно напихать гораздо больше чего–то другого, чем метры.

10 51 атомов составляют планету Земля.

10 80 примерное количество элементарных частиц в Обозримой Вселенной.

10 90 примерное количество фотонов в Обозримой Вселенной. Их почти в 10 миллиардов раз больше, чем элементарных частиц, электронов и протонов.

10 100 — гугол. Это число ничего физически не значит, просто круглое и красивое. Компания, которая поставила себе целью индексировать гугол ссылок (шутка, конечно, это же больше, чем число элементарных частиц во Вселенной!) в 1998м году взяла себе название Google.

10 122 протонов понадобится, чтобы набить Обозримую Вселенную под завязку, плотненько так, протончик к протончику, впритык.

10 185 планковских объемов занимает Обозримая Вселенная. Меньших величин, чем планковский объем (кубик размеров планковской длины 10 –35 метра) наша наука не знает. Наверняка, как и со Вселенной, там есть что–то еще более мелкое, но вменяемых формул для подобных мелочей ученые еще не придумали, одни сплошные спекуляции.

Упомяну лишь известный многим гуголплекс
. Число у которого гугол цифр, десять в степени гугол (10 гугол), или десять в степени десять в степени сто (10 10 100).

10 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Не буду записывать его цифрами. Гуголплекс не значит абсолютно ничего. Человек не может представить себе гуголплекс чего бы то ни было, это физически невозможно. Чтобы записать такое число понадобится вся Обозримая Вселенная, если писать «нано–ручкой» прямо по вакууму фактически в планковские ячейки космоса. Переведем всю материю на чернила и заполним Вселенную одними сплошными цифрами, тогда получим гуголплекс. Но математики (страшные люди!) гуголпрексом только разминаются, это нижайшая планка, с которой для них стартуют настоящие ничтяки. И если вы думаете, что гуголплекс в степени гуголплекс это то, о чем пойдет речь, вы даже не представляете, НАСКОЛЬКО ошибаетесь.

За гуголплексом идут много интересных чисел, имеющих ту или иную роль в математических доказательствах, долго ли коротко, перейдем сразу к числу Грэма, названному так в честь (ну, естественно) математика Рональда Грэма. Сначала расскажу, что это такое и для чего нужно, после чего образно и на пальцах™
опишу, каково оно по величине, а затем уже напишу само число. Точнее попытаюсь объяснить, что же я написал.

А что, если у нас больше измерений? Что, если мы возьмем не куб, а четырехмерный куб, т.е. тессеракт ? Сможем ли мы провернуть тот же фокус, что и с трехмерным?

В пятимерном? И в пятимерном, там где куб называется пентерактом или пентакубом, тоже можно.
И в шестимерном.

То есть существует какая–то минимальная размерность
гиперкуба, при котором условие нарушается, и уже невозможно избежать комбинации раскраски отрезков, что четыре точки одного цвета будут лежать в одной плоскости. И эта минимальная размерность точно больше шести и точно меньше числа Грэма, в этом и заключается математическое доказательство ученого.

Рассмотрим n–мерный гиперкуб и соединим все пары вершин для получения полного графа с 2 n вершинами. Раскрасим каждое ребро этого графа либо в красный, либо в синий цвет. При каком наименьшем значении n каждая такая раскраска обязательно содержит раскрашенный в один цвет полный подграф с четырьмя вершинами, все из которых лежат в одной плоскости?

дохулион = 10 10 185

Раскроем двери восприятия чуть пошире. Помните ? Что наша Вселенная лишь одна из многих пузырьков Мультивселенной. А если представить дохулион
таких пузырьков? Возьмем число, длиною со все сущее и представим себе Мультивселенную с подобным количеством вселенных, каждая из которых под завязку исписана цифрами — получим дохулион дохулионов
. Представляете себе такое? Как плывешь в небытии скалярного поля, а кругом вселенные–вселенные и в них цифры–цифры–цифры… Надеюсь, подобный кошмар (хотя, почему кошмар?) не будет мучить (и почему мучить?) излишне впечатлительного читателя по ночам.

К чему я клоню? Стоит ли тормозить? Давайте, хоба, и еще один флип
! И вот у нас столько вселенных, сколько было цифр во вселенных, количество которых было равно дохулиону цифр, заполнявших нашу Вселенную. И сразу, не останавливаясь, еще раз флип. И четвертый, и пятый. Десятый, тысячный. Успеваете за мыслью, все еще представляете себе картину?

дохулиард = флип флипов

Так вот. Это все о чем? Огромные и бесконечные дохулионы флипов и дохулиарды вселенных полных цифр не идут ни в какое сравнение с числом Грэма. Даже не скребут по поверхности. Если число Грэма представить в виде палки, растянутой по традиции во всю Обозримую Вселенную, то, что мы тут с вами нафлипали
окажется засечкой толщины… ну… как бы это так, помягче выразить… недостойной упоминания
. Вот, смягчал, как мог.

Число g 1 равно «три, четыре стрелочки, три». Что это значит? Так выглядит способ записи, называемый стрелочная нотация Кнута .

Одна стрелочка означает обыкновенное возведение в степень.

1010 = 10 10 = 10 000 000 000

Две стрелочки означают, что понятно, возведение в степень степени.

23 = 222 = 2 2 2 = 2 4 = 16

33 = 333 = 3 3 3 = 3 27 = 7 625 597 484 987 (больше 7 триллионов)

34 = 3333 = 3 3 3 3 = 3 7 625 597 484 987 = число, в котором около 3 триллионов цифр

35 = 33333 = 3 3 3 3 3 = 3 3 7 625 597 484 987 = 3 в степени числа, в котором 3 триллиона цифр — гуголплекс уже сосет

5 5 5 5 5 5 5 5

На 35 = 33333 заканчиваются слова, а на 36 = 333333 кончаются междометия, но можете потренироваться, коль есть интерес.

Вот, что такое g 1 , вот что такое 33.

Передохнули? Теперь от g 1 с новыми силами возвращаемся к штурму числа Грэма. Заметили, как нарастает эскалация от стрелочки к стрелочке?

33 = 7 625 597 484 987

33 = башня, высотой от Земли до Марса.

33 = число, которое невозможно ни представить ни описать.

А вообразите какой цифровой кошмар творится, когда стрелок окажется пять? Когда их шесть? Можете представить число, когда стрелок будет сто? Если можете, позвольте предложить вашему вниманию число g 2 , в котором количество этих стрелок оказывается равно g 1 . Помните, что такое g 1 , да?

Не буду скрывать, есть еще g 3 , в котором содержится g 2 стрелок. Кстати, все еще понятно, что g 3 , это не g 2 «в степени» g 2 , а количество безбашен, определяющих высоту безбашен, определяющих высоту… и так по всей цепочке вниз до тепловой смерти Вселенной? Здесь можно начинать плакать.

Почему плакать? Потому что совершенно верно. Есть еще число g 4 , в котором содержится g 3 стрелочек между тройками. Есть так же g 5 , есть g 6 и g 7 и g 17 и g 43 …

Короче их 64 штуки этих g. Каждое предыдущее численно равно количеству стрелок в следующем. Последнее g 64 и есть число Грэма, с которого все так вроде бы невинно начиналось. Это число размерностей гиперкуба, которого точно будет достаточно, чтобы правильно раскрасить отрезки красным и синим цветами. Может и меньше, это, так сказать, верхняя граница. Его записывают следующим образом:

А расписывают так:

Да, опытный читатель с прокачанными предохранителями, не нужно упреков, вы абсолютно правы. Число Грэма — надуманная и высосанная из пальца фигня
. Все эти безразмерные гиперкубы и абстрактные плоскости, дьявол их раздери, кому они нужны? Где килограммы, где электроны, где то, что можно измерить? Что за пустые разглагольствования ни о чем? Соглашусь. Можно сказать, что сегодняшний пост на пальцах™
максимально, на сколько это было возможно, далек от реальной науки, почти весь целиком парит в каких–то заумных математических фантазиях, в то время как ученым не хватает денег на приборы, не решена мировая энергетическая проблема, а у кого–то все еще туалет во дворе. А у кого и в поле.

200 лет назад ковер–самолет (обычный самолет), волшебное зеркало (скайп–видео) или тридевятое царство (поверхность планеты Марс) казались несбыточной сказкой, 2000 лет назад полагались только богам, 20 000 лет такого вообще представить не могли, способностей воображения не хватало. Вы можете сказать, что будет доступно человеку через 200 лет? Через 2000, через 20000 лет?

А если пройдет миллион лет? А ведь он пройдет, куда денется. Число Грэма, и вообще все, о чем человек способен задуматься, представить, вытащить из небытия и сделать пусть не осязаемой, но хотя бы имеющей какой–то смысл сущностью — обязательно рано или поздно воплотится. Просто потому, что сегодня у нас хватило сил развиться до способности осознания подобного
.

эпиграф

Если долго всматриваться в бездну,
можно неплохо провести время.
Инженер Механических Душ

Как только ребенок (а это происходит где-то года в три-четыре) понимает, что все числа делятся на три группы «один, два и много», он тут же пытается выяснить: насколько много бывает много, чем много отличается от очень много, и может ли оказаться так много, что больше не бывает. Наверняка вы играли с родителями в интересную (для того возраста) игру, кто назовет самое большее число, и если предок был не глупее пятиклассника, то он всегда выигрывал, на каждый «миллион» отвечая «два миллиона», а на «миллиард» — «два миллиарда» или «миллиард плюс один».

Уже к первому классу школы каждый знает — чисел бесконечное множество, они никогда не заканчиваются и самого большого числа не бывает. К любому миллиону триллионов миллиардов всегда можно сказать «плюс один» и остаться в выигрыше. А чуточку позже приходит (должно прийти!) понимание, что длинные строки цифр сами по себе ничего не значат. Все эти триллионы миллиардов только тогда имеют смысл, когда служат представлением какого-то количества предметов или же описывают некое явление. Выдумать длиннющее число, которое ничего из себя не представляет, кроме набора долгозвучащих цифр, нет никакого труда, их итак бесконечное количество. Наука, в какой-то образной мере, занимается тем, что выискивает в этой необозримой бездне совершенно конкретные комбинации цифр, присовокупляя к некому физическому явлению, например скорости света, числу Авогадро или постоянной Планка.

И сразу же возникает вопрос, а какое на свете самое больше число, которое что-то означает? В этой статье я попытаюсь рассказать о цифровом монстре, называемом число Грэма, хотя строго говоря, науке известны числа и побольше. Число Грэма самое распиаренное, можно сказать «на слуху» у широкой публики, потому что оно довольно просто в объяснении и все же достаточно велико, чтобы вскружить голову. Вообще, тут необходимо объявить небольшой disclaimer (рус. предостережение). Пусть прозвучит как шутка, но я нифига не шучу. Говорю вполне серьезно — дотошное ковыряние в подобных математических глубинах в совокупности с безудержным расширением границ восприятия может оказать (и окажет) серьезное влияние на мироощущение, на позиционирование личности в обществе, и, в конечном итоге, на общее психологическое состояние ковыряющего, или, будем называть вещи своими именами — открывает дорогу к шизе. Не нужно чересчур внимательно вчитываться в нижеследующий текст, не стоит слишком ярко и живо представлять описываемые в нем вещи. И не говорите потом, что вас не предупреждали!

Пальцы:

Прежде чем переходить к числам-монстрам, потренируемся для начала на кошках. Напомню, что для описания больших чисел (не монстров, а просто больших чисел) удобно пользоваться научным или т.н. экспоненциальным способом записи.

Когда говорят, скажем, о количестве звезд во Вселенной (в Обозримой Вселенной), никакой идиот не лезет вычислять сколько их там в буквальном смысле с точностью до последней звезды. Считается, что примерно 10 21 штук. И это оценка снизу. Значит общее количество звезд можно выразить числом, у которого после единицы стоит 21 ноль, т.е. «1 000 000 000 000 000 000 000».

Так выглядит небольшая часть из них (около 100 000) в шаровом скоплении Омега Центавра.

Естественно, когда речь идет о подобных масштабах, действительные цифры в числе существенного значения не играют, все ведь весьма условно и примерно. Может быть на самом деле число звезд во Вселенной «1 564 861 615 140 168 357 973», а может «9 384 684 643 798 468 483 745». А то и «3 333 333 333 333 333 333 333», почему нет, хотя маловероятно, конечно. В космологии, науке о свойствах Вселенной в целом, такими мелочами не морочатся. Главное представлять, что примерно это число состоит из 22 цифр, от чего удобней считать его единицей с 21 нулем, и записывать как 10 21 . Правило общее и весьма простое. Какая цифра или число стоят на месте степени (напечатаны мелким шрифтом сверху над 10 вот тут), столько нолей после единицы будет в этом числе, если расписать его по-простецки, знаками подряд, а не по-научному. У некоторых чисел существуют «человеческие названия», например 10 3 мы называем «тысяча», 10 6 — «миллион», а 10 9 — «миллиард», а у некоторых нет. Скажем у 10 59 нет общепринятого названия. А у 10 21 , кстати, есть — это «секстиллион».

Все, что идет до миллиона, практически любому человеку понятно интуитивно, ведь кто не хочет стать миллионером? Дальше у некоторых начинаются проблемы. Хотя миллиард (10 9) тоже знают почти все. До миллиарда даже можно досчитать. Если только родившись, буквально в момент появления на свет начать считать раз в секунду «один, два, три, четыре…» и не спать, не пить, не есть, а только считать-считать-считать без устали днем и ночью, то когда стукнет 32 года можно досчитать до миллиарда, потому что 32 оборота Земли вокруг Солнца занимают примерно миллиард секунд.

100 миллиардов (10 11) — столько или около того людей жило на планете за всю ее историю. 100 миллиардов гамбургеров продал Макдональдс к 1998му году за 50 лет своего существования. 100 миллиардов звезд (ну, чуть больше) находится в нашей галактике Млечный Путь, и Солнце — одна из них. Такое же количество галактик содержится в обозримой Вселенной. 100 миллиардов нейронов находится в головном мозге человека. И столько же анаэробных бактерий проживают у каждого читающего эти строки в слепой кишке.
Триллион (10 12) — число, которым редко пользуются. До триллиона досчитать невозможно, на это уйдет 32 тысячи лет. Триллион секунд назад люди жили в пещерах и охотились с копьями на мамонтов. Да, триллион секунд назад на Земле жили мамонты. В океанах планеты примерно триллион рыб. В соседней с нами галактике Андромеды около триллиона звезд. Человек состоит из 10 триллионов клеток. ВВП России в 2013м году составил 66 триллионов рублей (в рублях 2013го года). От Земли до Сатурна 100 триллионов сантиметров и столько же букв в целом было отпечатано во всех когда-либо опубликованных книгах.

Квинтиллион (10 18 , миллиард миллиардов) — столько существует возможных конфигураций при сборке кубика Рубика 3х3х3. Так же количество кубометров воды в мировом океане.
Секстиллион (10 21) — это число нам уже встречалось. Количество звезд в Обозримой Вселенной. Количество песчинок всех пустынь Земли. Количество транзисторов во всех существующих электронных устройствах человечества, если Intel нам не врал.

10 секстиллионов (10 22) — количество молекул в грамме воды.

10 24 — масса Земли в килограммах.

10 26 — диаметр Обозримой Вселенной в метрах, но в метрах считать не очень удобно, общепринятые границы Обозримой Вселенной 93 миллиарда световых лет.
Размерами, большими чем Обозримая Вселенная, наука не оперирует. Мы знаем наверняка, что Обозримая Вселенная это не вся-вся-вся Вселенная. Это та часть, что мы, хотя бы теоретически, можем видеть и наблюдать. Или могли видеть в прошлом. Или сможем увидеть когда-нибудь в отдаленном будущем, оставаясь в рамках современной науки. От остальных частей Вселенной даже со скоростью света сигналы не смогут до нас добраться, от чего этих мест с нашей точки зрения как бы не существует. Насколько велика та большая Вселенная на самом деле никто не знает. Может быть в миллион раз больше, чем Обозримая. А может в миллиард. А может и вообще бесконечная. Говорю же, это уже не наука, а гадание на кофейной гуще. У ученых есть кое-какие догадки, но это больше фантазии, чем реальность.

Для визуализации космических масштабов полезно изучить эту картинку, раскрыв ее на весь экран .

Однако даже в Обозримую Вселенную можно напихать гораздо больше чего-то другого, чем метры.

10 51 атомов составляют планету Земля.

10 80 примерное количество элементарных частиц в Обозримой Вселенной.

10 90 примерное количество фотонов в Обозримой Вселенной. Их почти в 10 миллиардов раз больше, чем элементарных частиц, электронов и протонов.
10 100 — гугол. Это число ничего физически не значит, просто круглое и красивое. Компания, которая поставила себе целью индексировать гугол ссылок (шутка, конечно, это же больше, чем число элементарных частиц во Вселенной!) в 1998м году взяла себе название Google.

10 185 планковских объемов занимает Обозримая Вселенная. Меньших величин, чем планковский объем (кубик размеров планковской длины 10 -35 метра) наша наука не знает. Наверняка, как и со Вселенной, там есть что-то еще более мелкое, но вменяемых формул для подобных мелочей ученые еще не придумали, одни сплошные спекуляции.

Получается, что 10 185 или около того — наибольшее число, которое в принципе может что-то значить в современной науке. В науке, которая может пощупать и измерить. Это то, что существует или могло бы существовать, если так случилось, что мы узнали о Вселенной все, что можно было узнать. Число состоит из 186 цифр, вот оно:

Или слышали о теории струн, согласно которой может существовать около 10 500 конфигураций колебаний струн, а значит такое же количество потенциальных вселенных, каждая со своими законами.
Чем дальше в лес, тем меньше теоретической физики и вообще науки остается в набирающих объемы числах, и за колонками нулей начинает проглядывать все более чистая, ничем не замутненная царица наук. Математика это ведь не физика, тут ограничений нет и стыдиться нечего, гуляй душа, пиши нули в формулах хоть до упаду.
Упомяну лишь известный многим гуголплекс. Число у которого гугол цифр, десять в степени гугол (10 гугол), или десять в степени десять в степени сто (10 10 100 (редактор не позволяет сделать еще одну итерацию степени, придеться картинкой, или буду ставить слэш (/)

.
10 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
Не буду записывать его цифрами. Гуголплекс не значит абсолютно ничего. Человек не может представить себе гуголплекс чего бы то ни было, это физически невозможно. Чтобы записать такое число понадобится вся Обозримая Вселенная, если писать «нано-ручкой» прямо по вакууму фактически в планковские ячейки космоса. Переведем всю материю на чернила и заполним Вселенную одними сплошными цифрами, тогда получим гуголплекс. Но математики (страшные люди!) гуголпрексом только разминаются, это нижайшая планка, с которой для них стартуют настоящие ничтяки. И если вы думаете, что гуголплекс в степени гуголплекс это то, о чем пойдет речь, вы даже не представляете, НАСКОЛЬКО ошибаетесь.
За гуголплексом идут много интересных чисел, имеющих ту или иную роль в математических доказательствах, долго ли коротко, перейдем сразу к числу Грэма, названному так в честь (ну, естественно) математика Рональда Грэма. Сначала расскажу, что это такое и для чего нужно, после чего образно и на пальцах™ опишу, каково оно по величине, а затем уже напишу само число. Точнее попытаюсь объяснить, что же я написал.
Число Грэма появилось в работе, посвященной решению одной из задач в теории Рамсея, причем «рамсея» тут не деепричастие несовершенного вида, а фамилия другого математика, Франка Рамсея. Задача конечно же довольно надуманная с обывательской точки зрения, хоть и не сильно замороченная, даже легко понятная.
Представьте себе куб, все вершины которого соединены линиями-отрезками двух цветов, красного или синего. Соединены и раскрашены в случайном порядке. Кое-кто уже догадался, что речь пойдет о разделе математики под названием комбинаторика .
6

Даже не стану объяснять, что такое четырехмерный куб, все знают? У четырехмерного куба 16 вершин. И не нужно пыжить мозг и пытаться представить четырехмерный куб. Это же чистая математика. Посмотрел на количество измерений, подставил в формулу, получил количество вершин, ребер, граней и так далее. Итак у четырехмерного куба 16 вершин и 120 отрезков их соединяющих. Количество комбинаций раскраски в четырехмерном случае гораздо больше, чем в трехмерном, но и тут не сильно сложно посчитать, разделить, сократить и тому подобное. Короче выяснить, что в четырехмерном пространстве тоже можно так исхитриться с раскраской отрезков у гиперкуба, что все линии одного цвета, соединяющие 4 вершины, не будут лежать в одной плоскости.
В пятимерном? И в пятимерном, там где куб называется пентерактом или пентакубом, тоже можно.
И в шестимерном.
А дальше уже сложности. Грэм не смог математически доказать, что у семимерного гиперкуба удастся провернуть такую операцию. И у восьмимерного и у девятимерного и так далее. Но данное «и так далее», оказалось, не уходит в бесконечность, а заканчивается неким очень большим числом, которое и назвали «числом Грэма».
То есть существует какая-то минимальная размерность гиперкуба, при котором условие нарушается, и уже невозможно избежать комбинации раскраски отрезков, что четыре точки одного цвета будут лежать в одной плоскости. И эта минимальная размерность точно больше шести и точно меньше числа Грэма, в этом и заключается математическое доказательство ученого.
А теперь определение того, что я выше расписал на несколько абзацев, сухим и скучным (зато емким) языком математики. Понимать не надо, но не привести его я не могу.
Рассмотрим n-мерный гиперкуб и соединим все пары вершин для получения полного графа с 2 n вершинами. Раскрасим каждое ребро этого графа либо в красный, либо в синий цвет. При каком наименьшем значении n каждая такая раскраска обязательно содержит раскрашенный в один цвет полный подграф с четырьмя вершинами, все из которых лежат в одной плоскости?

В 1971м году Грэм доказал, что указанная проблема имеет решение, и что это решение (количество размерности) лежит между числом 6 и неким большим числом, которое позже (не самим автором) было названо в его честь. В 2008м году доказательство улучшили, нижнюю границу подняли, теперь искомое количество размерностей лежит уже между числом 13 и числом Грэма. Математики не спят, работа идет, прицел сужается.
С 70х годов прошло немало лет, были найдены математические задачи в которых проявляются числа и побольше грэмова, но это первое число-монстр так поразило современников, понимавших о каких масштабах идет речь, что в 1980м году его включили в книгу рекордов Гиннесса, как «самое большое число, когда-либо участвовавшее в строгом математическом доказательстве» на тот момент.
Давайте попытаемся разобраться, насколько оно велико. Самое большое число, могущее иметь какой-то физический смысл 10 185 , а если всю Обозримую Вселенную заполнить кажущимся бесконечным набором мизерных циферок, получим что-то соизмеримое с гуголплексом
.
9

Представляете себе эту громаду? Вперед, назад, вверх, вниз, насколько хватает глаз и насколько хватает телескопа Хаббл, и даже насколько не хватает, до самых далеких галактик и заглядывая за них — цифры, цифры, цифры размером много меньше протона. Существовать такая Вселенная, конечно, долго не сможет, тут же в черную дыру схлопнется. Припоминаете, сколько информации можно теоретически уместить во Вселенную? Я ведь рассказывал.
Число действительно огромно, рвет мозг. Оно не совсем точно равно гуголплексу, и у него нет названия, потому буду называть его » дохулион «. Только что придумал, почему бы и нет. Количество планковских ячеек в Обозримой Вселенной, и в каждой ячейке записана цифра. Число содержит 10 185 цифр, его можно изобразить как 10 10 185 .
дохулион = 10 10 185
Раскроем двери восприятия чуть пошире. Помните инфляционную теорию? Что наша Вселенная лишь одна из многих пузырьков Мультивселенной. А если представить дохулион таких пузырьков? Возьмем число, длиною со все сущее и представим себе Мультивселенную с подобным количеством вселенных, каждая из которых под завязку исписана цифрами — получим дохулион дохулионов. Представляете себе такое? Как плывешь в небытии скалярного поля, а кругом вселенные-вселенные и в них цифры-цифры-цифры… Надеюсь, подобный кошмар (хотя, почему кошмар?) не будет мучить (и почему мучить?) излишне впечатлительного читателя по ночам.
Для удобства назовем подобную операцию » флип «. Такое несерьезное междометие, как будто взяли Вселенную и вывернули наизнанку, то она была внутри в цифрах, а теперь наоборот у нас снаружи столько вселенных, сколько было цифр, и каждая полным-полна коробочка, сама вся в цифрах. Как гранат чистишь, корочку так отгибаешь, изнутри выворачиваются зернышки, а в зернышках снова гранаты. Тоже на ходу придумалось, почему бы и нет, с дохулионом ведь прокатило.
К чему я клоню? Стоит ли тормозить? Давайте, хоба, и еще один флип! И вот у нас столько вселенных, сколько было цифр во вселенных, количество которых было равно дохулиону цифр, заполнявших нашу Вселенную. И сразу, не останавливаясь, еще раз флип. И четвертый, и пятый. Десятый, тысячный. Успеваете за мыслью, все еще представляете себе картину?
Не будем мелочиться, распускаем крылья воображения, разгоняемся по полной и флипаем флип флипов. Столько раз выворачиваем каждую вселенную наизнанку, сколько дохулионов вселенных было в предыдущем флипе, который флипал из позапрошлого, который… эээ… ну, вы следите? Где-то так. Пусть теперь наше число станет, предположим, » дохулиард «.
дохулиард = флип флипов
Не останавливаемся и продолжаем флипать дохулионы дохулиардов до тех пор пока есть силы. Пока в глазах не темнеет, пока не захочется кричать. Тут каждый сам себе отважный Буратина, стоп-слово будет «брынза».
Так вот. Это все о чем? Огромные и бесконечные дохулионы флипов и дохулиарды вселенных полных цифр не идут ни в какое сравнение с числом Грэма. Даже не скребут по поверхности. Если число Грэма представить в виде палки, растянутой по традиции во всю Обозримую Вселенную, то, что мы тут с вами нафлипали окажется засечкой толщины… ну… как бы это так, помягче выразить… недостойной упоминания. Вот, смягчал, как мог.
Теперь давайте немного отвлечемся, передохнем. Мы читали, мы считали, наши глазоньки устали. Забудем про число Грэма, до него еще ползти и ползти, расфокусируем взгляд, расслабимся, помедитируем на гораздо меньшее, прямо-таки миниатюрнейшее число, которое назовем g 1 , и запишем всего шестью знаками:
g 1 = 33
Число g 1 равно «три, четыре стрелочки, три». Что это значит? Так выглядит способ записи, называемый стрелочная нотация Кнута.
Для подробностей и деталей можно почитать статью в Википедии, но там формулы, я коротенько перескажу ее простыми словами.
Одна стрелочка означает обыкновенное возведение в степень.
22 = 2 2 = 4
33 = 3 3 = 27
44 = 4 4 = 256
1010 = 10 10 = 10 000 000 000
Две стрелочки означают, что понятно, возведение в степень степени.
23 = 222 = 2 2/ 2 = 2 4 = 16
33 = 333 = 3 3/ 3 = 3 27 = 7 625 597 484 987 (больше 7 триллионов)
34 = 3333 = 3 3/ 3/ 3 = 3 7 625 597 484 987 = число, в котором около 3 триллионов цифр
35 = 33333 = 3 3/ 3/ 3/ 3 = 3 3/ 7 625 597 484 987 = 3 в степени числа, в котором 3 триллиона цифр — гуголплекс уже сосет
Короче говоря, «число стрелочка стрелочка другое число» показывает, какая высота степеней (математики говорят «башня
«) выстраивается из первого числа. Например 58 означает башню из восьми пятерок и настолько велико, что не может быть рассчитано ни на каком суперкомпьютере, даже на всех компьютерах планеты одновременно.
Короче говоря, «число стрелочка стрелочка другое число» показывает, какая высота степеней (математики говорят » башня «) выстраивается из первого числа. Например 58 означает башню из восьми пятерок и настолько велико, что не может быть рассчитано ни на каком суперкомпьютере, даже на всех компьютерах планеты одновременно.

Переходим к трем стрелочкам. Если двойная стрелочка показывала высоту башни степеней, то тройная, казалось бы, укажет «высоту башни высоты башни»? Какой-там! В случае тройки мы имеем высоту башни высоты башни высоты башни (в математике такого понятия нет, я решил назвать его » безбашней «). Как-то так: 11

Теперь понятно, что 34 = 3333 = 337 625 597 484 987 = 3безбашня, (не 3 в степени безбашни, а «три стрелочка стрелочка безбашня»(!)), она же безбашня безбашни не влезет ни по длине ни по высоте в Обозримую Вселенную, и даже не поместится в предполагаемую Мультивселенную.
На 35 = 33333 заканчиваются слова, а на 36 = 333333 кончаются междометия, но можете потренироваться, коль есть интерес.
Переходим к четырем стрелочкам. Как вы уже догадались, тут безбашня на безбашне сидит, безбашней погоняет, и хоть с башней, что без башни — все равно. Просто молча приведу картинку, раскрывающую схему вычисления четырех стрелочек, когда каждое следующее число башни степеней определяет высоту башни степеней, определяющую высоту башни степеней, определяющую высоту башни степеней… и так до самозабвения.

Рассчитывать его бесполезно, да и не получится. Количество степеней здесь не поддается осмысленному учету. Это число невозможно представить, его невозможно описать. Никакие аналогии на пальцах™ неприменимы, число просто не с чем сравнивать. Можно говорить, что оно огромно, что грандиозно, что монументально и заглядывает за горизонт событий. То есть придать ему какие-то словесные эпитеты. Но визуализация, даже вольная и образная — невозможна. Если с тремя стрелочками еще хоть что-то удавалось сказать, нарисовать безбашню от Земли до Марса, как-то с чем-то сопоставить, то тут аналогий быть просто не может. Попробуйте вообразить себе тонкую башню из троек от Земли до Марса, рядом еще одну почти такую же и еще одну, и еще… Бескрайнее поле башень уходит вдаль, в бесконечность, башни повсюду, башни везде. И, что самое обидное, эти башни даже отношения к числу не имеют, они лишь определяют высоту других башен, которые нужно построить, чтобы получить высоту башень, чтобы получить высоту башень… чтобы через невообразимое количество времени и итераций получить само число.
Вот, что такое g 1 , вот что такое 33.
Передохнули? Теперь от g 1 с новыми силами возвращаемся к штурму числа Грэма. Заметили, как нарастает эскалация от стрелочки к стрелочке?
33 = 27
33 = 7 625 597 484 987
33 = башня, высотой от Земли до Марса.
33 = число, которое невозможно ни представить ни описать.
А вообразите какой цифровой кошмар творится, когда стрелок окажется пять? Когда их шесть? Можете представить число, когда стрелок будет сто? Если можете, позвольте предложить вашему вниманию число g 2 , в котором количество этих стрелок оказывается равно g 1 . Помните, что такое g 1 , да?

Все, что было написано до сих пор, все эти расчеты, степени и башни не помещающиеся в мультивселенные мультивселенных нужны были только для одного. Чтобы показать КОЛИЧЕСТВО СТРЕЛОК в числе g 2 . Тут уже не нужно ничего считать, можно просто рассмеяться и махнуть рукой.
Не буду скрывать, есть еще g 3 , в котором содержится g 2 стрелок. Кстати, все еще понятно, что g 3 , это не g 2 «в степени» g 2 , а количество безбашен, определяющих высоту безбашен, определяющих высоту… и так по всей цепочке вниз до тепловой смерти Вселенной? Здесь можно начинать плакать.
Почему плакать? Потому что совершенно верно. Есть еще число g 4 , в котором содержится g 3 стрелочек между тройками. Есть так же g 5 , есть g 6 и g 7 и g 17 и g 43 …
Короче их 64 штуки этих g. Каждое предыдущее численно равно количеству стрелок в следующем. Последнее g 64 и есть число Грэма, с которого все так вроде бы невинно начиналось. Это число размерностей гиперкуба, которого точно будет достаточно, чтобы правильно раскрасить отрезки красным и синим цветами. Может и меньше, это, так сказать, верхняя граница. Его записывают следующим образом:

Чтобы хоть как-то представить себе масштаб числа, разберём его запись поподробнее. Тут нужна некая преамбула, но, в общем-то, ничего слишком сложного не будет, постараемся расписать всё как можно понятней.

1
. Итак, в математике существует понятие «гипероператор» для определения уровня арифметических действий. Так, сложение — это гипероператор первого уровня. Гипероператор второго уровня — умножение. Умножение есть повторяющееся сложение. То есть, множитель — это число, которое говорит нам, сколько раз надо сложить умножаемую величину. Например: 3 · 3 = 3 + 3 + 3 = 9. Следующий гипероператор — возведение в степень, x
n
= х
^n
, что по сути является повторяющимся умножением. Пример: 3 3 = 3 · 3 · 3 = 27. Запись 3 3 в нотации Кнута будет выглядеть как 33.
Здесь для ясности следует сказать, что первая цифра в выражении 33 — это значение, с которым мы и производим действие, количество стрелочек между цифрами — это арифметическое действие, в данном случае одна стрелочка означает возведение в степень. Вторая цифра означает то, в какую степень надо возвести первую цифру (сколько раз перемножить на себя).
Соответственно, если бы выражение было 74, то это означает семь в четвёртой степени. Иначе говоря, 7 нужно умножить на 7 четыре раза.

2
. Гипероператор четвёртого уровня — тетрация. Тетрация — это повторяющееся возведение в степень. В записи Кнута — две стрелки между цифрами. Пример: 33 = 3 3 = 3 3 3 = 3 27 = 7 625 597 484 987. То есть, вторая цифра при наличии двух стрелок означает, что столько раз нужно возвести в степень самого себя первое число
. Другими словами, показывает нам высоту степенной башни из первой цифры. Например, запись 58 означает башню из восьми пятёрок, нагромождённых друг на друга как кубики.

Тем, чей мозг совсем заплыл жиром или занят лишь мыслями о том, как найти тян, вкачать своего эльфа или избавиться от прыщей, следует запомнить, что в тетрации выражения высчитываются сверху вниз
или справа налево
. Проще говоря, 3 3 3 равняется нихуя не 27 3 , а как раз-таки 3 27
.
Теперь ты видишь, мой маленький глупый друг, что тетрация — уже довольно мощный способ записи, позволяющий коротеньким выражением записывать числа в 100500 раз бо́льшие, чем само 100500. Но это ещё не всё, ибо она является недостаточно мощным гипероператором для вычисления числа Грэма.

3
. Идём дальше: гипероператор пятого уровня — пентация (повторяющаяся тетрация). Три стрелочки между цифрами. Вот здесь-то и начинается пиздец, от которого люди, не являющиеся профессиональными математиками, плюют на всю эту лабуду и больше не пытаются её понять. Но ведь ты не такой как они?
Если ты подумал, что пентация числа 3 раскладывается на 3 в степени 7 625 597 484 987, то ты ошибаешься. Ты даже не представляешь, НАСКОЛЬКО ошибаешься. Ибо 3 в степени 7 625 597 484 987 — это всего лишь 34.
А пентация это 33 = 3(33) = 3(7 625 597 484 987) = 33…(количество возведений в степень — 7 625 597 484 987 раз
)…3. То есть степенная башня из троек получается высотой в более чем семь с половиной триллионов этажей! Иначе говоря, вторая цифра при наличии трёх стрелочек означает, какой высоты будет башня тетраций первой цифры
. Для большей наглядности: 34 можно записать как 3 3 3 3, либо 3 (3 (3 3)). И здесь главное — понять, что эта башня из тетраций не есть башня из степеней, тут эскалация намного стремительнее. 34 = 3 3 3 3 = 7 625 597 484 987 3 3. Понял, наконец? 34 равняется 3 в тетрации числа, которое получается в результате вычисления степенной башни из цифры 3 высотой в 7 625 597 484 987 этажей. Соответственно, если 34 записать как степенную башню из троек, то количество этажей в этой башне будет равняться числу, которое получится при вычислении степенной башни высотой в 7 625 597 484 987 этажей. Представил? Не представил, конечно, такие величины с наскоку не осмыслить.

Если ты всё-таки начал потихоньку не понимать, что за херня здесь происходит, то заново перечитай пункт 2.

4
. И последний нужный нам гипероператор — гексация. Как вы уже догадались, четыре стрелочки между тройками. Это, соответственно, повторяющаяся пентация. Вторая цифра при наличии четырёх стрелочек означает, какой высоты будет уже «пентационная» башня
. 33 = 3(33) = 333…33, где количество тетраций — результат вычисления пентации 33. Если опять ничего не понял, то заново прочитай пункт 3 и 2.
Если мы переместимся в самый конец этой немыслимой цепочки тетраций и начнём её вычислять, то уже вторая с конца тройка будет в тетрации равна 7 625 597 484 987. А результатом тетрации третьей тройки с конца будет являться число, полученное пентацией тройки в предыдущем пункте. А перед нами — ещё гуголплексы и гуголплексы повторяющихся тетраций цифры 3. Тут уже бесполезно что-то пытаться осмыслить, как-то охватить результат… И тут вы, возможно, спросите: «Неужели это число Грэма? Надо же, насколько громадное!» Но нет, это не число Грэма. Это была только математическая присказка, и она ничтожно, неизмеримо мала по сравнению с числом Грэма.

Значит, гексация. Это всего лишь добавление одной стрелочки к пентации, но результат оказывается в невообразимое количество порядков больший. А теперь, собственно, вычисление числа Грэма. Цифра три в примерах была использована не просто так, ибо число Грэма по сути и есть перемноженные тройки. Итак, назовём результат нашей гексации (33) G1. Это будет первый шаг вычислений. Только первый. А следующий шаг ускоряет прогрессию так, что добавление одной, десяти, МИЛЛИОНА стрелок между цифрами — топтание на месте. Шаг второй, вычисление G2. Теперь мы берём результат нашей гексации тройки, и пишем выражение, где число стрелочек сверхстепени будет равно этому результату. G2 = 3…(количество стрелочек сверхстепени — G1)…3. Интересно, как называется гипероператор ТАКОГО уровня?.. Запись не то что результата, но даже этого гипероператора уже невозможна без сокращения. А число, получившееся при его вычислении (если, конечно, его возможно было бы вычислить), заполнило бы своими цифрами и Вселенную, и параллельные миры, и подпространство, и всякий другой астрал. И не забываем, что в G1 количество стрелочек было равно 4-м! И это уже число, недоступное для вычисления и записи обычным способом! А в G2 это число — только количество сверхстепеней. Вот так-то. Прогрессия невероятно стремительная. И это только начало. Следующим шагом идёт вычисление числа G3, где количество стрелочек сверхстепени будет равно G2!
И, подобным образом, после этого следует ещё 62 шага вычислений, где результат каждого шага будет лишь количеством стрелок сверхстепени следующего шага, и число Грэма есть G64!

Ваистену, матан иногда штырит похлеще любых наркотиков.

Есть числа, которые так неимоверно, невероятно велики, что даже для того чтобы записать их, потребуется вся вселенная целиком. Но вот что действительно сводит с ума… некоторые из этих непостижимо больших чисел крайне важны для понимания мира.

Когда я говорю “наибольшее число во Вселенной’’, в действительности я имею в виду самое большое значимое
число, максимально возможное число, которое в некотором роде полезно. Есть много претендентов на этот титул, но я сразу же предупреждаю вас: в самом деле существует риск того, что попытка понять все это взорвет ваш мозг. И кроме того, с излишком математики, вы получите мало удовольствия.

Гугол и гуголплекс

Эдвард Каснер

Мы могли бы начать с двух, весьма вероятно, самых больших чисел, о которых вы когда-либо слышали, и это действительно два самых больших числа, которые имеют общепринятые определения в английском языке. (Имеется довольно точная номенклатура, применяемая для обозначения чисел столь больших, как вам хотелось бы, но эти два числа в настоящее время вы не найдете в словарях.) Гугол, с тех пор как он стал всемирно известным (хотя и с ошибками, примеч. в самом деле это googol) в виде Google, родился в 1920 году как способ заинтересовать детей большими числами.

С этой целью Эдвард Каснер (на фото), взял двух своих племянников, Мильтона и Эдвина Сиротт, на прогулку по Нью-Джерси Palisades. Он предложил им выдвигать любые идеи, и тогда девятилетний Мильтон предложил “гугол’’. Откуда он взял это слово, неизвестно, но Каснер решил, что или число, в котором за единицей стоят сто нулей отныне будет называться гугол.

Но молодой Мильтон на этом не остановился, он предложил еще большее число, гуголплекс. Это число, по мнению Мильтона, в котором на первом месте стоит 1, а затем столько нулей, сколько вы могли бы написать до того как устанете. Хотя эта идея очаровательна, Каснер решил, что необходимо более формальное определение. Как он объяснил в своей книге 1940 года издания “Математика и воображение’’, определение Мильтона оставляет открытой рискованную возможность того, что случайный шут может стать математиком, превосходящим Альберта Эйнштейна просто потому, что он обладает большей выносливостью.

Таким образом, Каснер решил, что гуголплекс будет равен , или 1, а затем гугол нулей. Иначе, и в обозначениях, аналогичных тем, с которыми мы будем иметь дело для других чисел, мы будем говорить, что гуголплекс — это . Чтобы показать, насколько это завораживает, Карл Саган однажды заметил, что физически невозможно записать все нули гуголплекса, потому что просто не хватит места во Вселенной. Если заполнить весь объем наблюдаемой Вселенной мелкими частицами пыли размером приблизительно в 1,5 микрона, то число различных способов расположения этих частиц будет примерно равно одному гуголплексу.

Лингвистически говоря, гугол и гуголплекс, вероятно, два самых больших значащих числа (по крайней мере, в английском языке), но, как мы сейчас установим, способов определения “значимости’’ бесконечно много.

Реальный мир

Если мы будем говорить о самом большом значащем числе, существует разумный аргумент, что это в самом деле означает, что нужно найти наибольшее число с реально существующим в мире значением. Мы можем начать с текущей человеческой популяции, которая в настоящее время составляет около 6920 миллионов. Мировой ВВП в 2010 году, по оценкам, составил около 61960 миллиардов долларов, но оба эти числа незначительны по сравнению с примерно 100 триллионами клеток, составляющих организм человека. Конечно, ни одно из этих чисел не может сравниться с полным числом частиц во Вселенной, которое, как правило, считается равным примерно , и это число настолько велико, что наш язык не имеет соответствующего ему слова.

Мы можем поиграть немного с системами мер, делая числа больше и больше. Так, масса Солнца в тоннах будет меньше, чем в фунтах. Прекрасный способ сделать это состоит в использовании системы единиц Планка, которые являются наименьшими возможными мерами, для которых остаются в силе законы физики. Например, возраст Вселенной во времени Планка составляет около . Если мы вернемся в первую единицу времени Планка после Большого Взрыва, то увидим, что плотность Вселенной была тогда . Мы получаем все больше, но мы еще не достигли даже гугола.

Наибольшее число с каким-либо реальным приложением мире — или, в данном случае реальным применением в мирах — вероятно, , — одна из последних оценок числа вселенных в мультивселенной. Это число настолько велико, что человеческий мозг будет буквально не в состоянии воспринять все эти разные вселенные, поскольку мозг способен только примерно на конфигураций. На самом деле, это число, вероятно, самое большое число с каким-либо практическим смыслом, если вы не принимаете во внимание идею мультивселенной в целом. Однако существуют еще намного большие числа, которые там скрываются. Но для того, чтобы найти их, мы должны отправиться в область чистой математики, и нет лучшего начала, чем простые числа.

Простые числа Мерсенна

Часть трудностей состоит в том, чтобы придумать хорошее определение того, что такое “значащее’’ число. Один из способов состоит в том, чтобы рассуждать в терминах простых и составных чисел. Простое число, как вы, наверное, помните из школьной математики, — это любое натуральное число (примеч. не равное единице), которое делится только на и самого себя. Итак, и — простые числа, а и — составные числа. Это означает, что любое составное число может в конечном счете быть представлено своими простыми делителями. В некотором смысле число является более важным, чем, скажем, , потому что нет никакого способа выразить его через произведение меньших чисел.

Очевидно, мы можем пойти немного дальше. , например, на самом деле просто , что означает, что в гипотетическом мире, где наши знания чисел ограничены числом , математик еще может выразить число . Но уже следующее число простое, и это значит, что единственным способом его выразить — непосредственно знать о его существовании. Это означает, что самые большие известные простые числа играют важную роль, а, скажем, гугол – который, в конечном счете просто набор из чисел и , перемноженных между собой — вообще-то и нет. И поскольку простые числа в основном случайные, не известно никаких способов предсказать, что невероятно большое число на самом деле будет простым. По сей день открытие новых простых чисел — это трудное дело.

Математики Древней Греции имели понятие о простых числах, по крайней мере, уже в 500 году до нашей эры, а 2000 лет спустя люди все еще знали, какие числа простые только примерно до 750. Мыслители времен Евклида увидели возможность упрощения, но вплоть до эпохи Возрождения математики не могли действительно использовать это на практике. Эти числа известны как числа Мерсенна, они названы в честь французского ученого XVII века Марина Мерсенна. Идея достаточно проста: число Мерсенна — это любое число вида . Так, например, , и это число простое, то же самое верно и для .

Гораздо быстрее и легче определить простые числа Мерсенна, чем любой другой вид простых чисел, и компьютеры напряженно работают в их поисках на протяжении последних шести десятилетий. До 1952 года крупнейшим известным простым числом было число — число с цифрами. В том же году на компьютере вычислили, что число простое, и это число состоит из цифр, что делает его уже намного больше, чем гугол.

Компьютеры с тех пор были на охоте, и в настоящее время -е число Мерсенна является самым большим простым числом, известным человечеству. Обнаруженное в 2008 году, оно составляет — число с почти миллионами цифр. Это самое большое известное число, которое не может быть выражено через какие-либо меньшие числа, и если вы хотите помочь найти еще большее число Мерсенна, вы (и ваш компьютер) всегда можете присоединиться к поиску на сайте http://www.mersenne.org/.

Число Скьюза

Стэнли Скьюз

Снова обратимся к простым числам. Как я уже говорил, они ведут себя в корне неправильно, это означает, что нет никакого способа предсказать, каким будет следующее простое число. Математики были вынуждены обратиться к некоторым довольно фантастическим измерениям, чтобы придумать какой-нибудь способ предсказать будущие простые числа даже каким-нибудь туманным способом. Наиболее успешной из этих попыток, вероятно, является функция, считающая простые числа, которую придумал в конце XVIII века легендарный математик Карл Фридрих Гаусс.

Я избавлю вас от более сложной математики — так или иначе, у нас много еще впереди — но суть функции заключается в следующем: для любого целого можно оценить, сколько существует простых чисел, меньших . Например, если , функция предсказывает, что должно быть простых чисел, если — простых числа, меньших , и если , то существует меньших чисел, которые являются простыми.

Расположение простых чисел действительно имеет нерегулярный характер, и это всего лишь приближение фактического числа простых чисел. На самом деле мы знаем, что есть простых чисел, меньших , простых чисел меньших , и простых чисел меньших . Это отличная оценка, что и говорить, но это всегда только оценка… и, более конкретно, оценка сверху.

Во всех известных случаях до , функция, находящая количество простых чисел, слегка преувеличивает фактическое количество простых чисел меньших . Математики когда-то думали, что так будет всегда, до бесконечности, что это, безусловно, относится и к некоторым невообразимо огромным числам, но в 1914 году Джон Идензор Литтлвуд доказал, что для какого-то неизвестного, невообразимо огромного числа эта функция начнет выдавать меньшее количество простых чисел, а затем она будет переключаться между оценкой сверху и оценкой снизу бесконечное число раз.

Охота была на точку начала скачков, и вот тут появился Стэнли Скьюз (см. фото). В 1933 году он доказал, что верхняя граница, когда функция, приближающая количество простых чисел впервые дает меньшее значение — это число . Трудно по-настоящему понять даже в наиболее абстрактном смысле, что на самом деле представляет собой это число, и с этой точки зрения это было наибольшее число, когда-либо использованное в серьезном математическом доказательстве. С тех пор математики смогли уменьшить верхнюю границу до относительно маленького числа , но исходное число осталось известно как число Скьюза.

Итак, насколько велико число , которое делает карликом даже могучий гуголплекс? В словаре The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers Дэвид Уэллс рассказывает об одном способе, с помощью которого математику Харди удалось осмыслить размер числа Скьюза:

“Харди думал, что это “самое большое число, когда-либо служившее какой-либо определенной цели в математике’’, и предположил, что если играть в шахматы со всеми частицами Вселенной как фигурами, один ход состоял бы в перестановке местами двух частиц, и игра прекращалась бы, когда одна и та же позиция повторялась бы третий раз, то число всех возможных партий было бы равно примерно числу Скьюза’’.

И последнее перед тем как двигаться дальше: мы говорили о меньшем из двух чисел Скьюза. Существует другое число Скьюза, которое математик нашел в 1955 году. Первое число получено на том основании, что так называемая гипотеза Римана истинна — это особенно сложная гипотеза математики, которая остается недоказанной, очень полезна, когда речь идет о простых числах. Тем не менее, если гипотеза Римана является ложной, Скьюз обнаружил, что точка начала скачков увеличивается до .

Проблема величины

Прежде чем мы перейдем к числу, рядом с которым даже число Скьюза выглядит крошечным, нам нужно немного поговорить о масштабе, потому что иначе у нас нет возможности оценить, куда мы собираемся идти. Сначала давайте возьмем число — это крошечное число, настолько малое, что люди могут действительно иметь интуитивное понимание того, что оно значит. Есть очень мало чисел, которые соответствуют этому описанию, так как числа больше шести перестают быть отдельными числами и становятся “несколько’’, “много’’ и т.д.

Теперь давайте возьмем , т.е. . Хотя мы в действительности не можем интуитивно, как это было для числа , понять, что такое , представить себе то, чем является очень легко. Пока все идет хорошо. Но что произойдет, если мы перейдем к ? Это равно , или . Мы очень далеки от способности представить себе эту величину, как и любую другую, очень большую — мы теряем способность постигать отдельные части где-то около миллиона. (Правда, безумно большое количество времени заняло бы, чтобы действительно досчитать до миллиона чего бы то ни было, но дело в том, что мы все еще способны воспринимать это число.)

Тем не менее, хотя мы не можем представить , мы по крайней мере в состоянии понять в общих чертах, что такое 7600 млрд, возможно, сравнивая его с чем-то таким, как ВВП США. Мы перешли от интуиции к представлению и к простому пониманию, но по крайней мере у нас еще есть некоторый пробел в понимании того, что такое число. Это вот-вот изменится, по мере нашего продвижения на еще одну ступень вверх по лестнице.

Для этого нам нужно перейти к обозначению, введенному Дональдом Кнутом, известному как стрелочная нотация. В этих обозначениях можно записать в виде . Когда мы затем перейдем к , число, которое мы получим, будет равно . Это равно где в общей сложности троек. Мы теперь значительно и по-настоящему превзошли все другие числа, о которых уже говорили. В конце концов, даже в самых больших из них было всего три или четыре члена в ряду показателей. Например, даже супер-число Скьюза — это “только’’ — даже с поправкой на то, что и основание, и показатели гораздо больше, чем , оно по-прежнему абсолютно ничто по сравнению с величиной числовой башни с млрд членов.

Очевидно, что нет никакого способа для постижения настолько огромных чисел… и тем не менее, процесс, посредством которого они созданы, еще можно понять. Мы не могли бы понять реальное количество, которое задается башней степеней, в которой млрд троек, но мы можем в основном представить такую башню со многими членами, и действительно приличный суперкомпьютер сможет хранить в памяти такие башни, даже если он не сможет вычислить их действительные значения.

Это становится все более абстрактным, но дальше будет только хуже. Вы можете подумать, что башня степеней , длина показателя которой равна (более того, в предыдущей версии этого поста я сделал именно эту ошибку), но это просто . Другими словами, представьте, что у вас есть возможность вычислить точное значение степенной башни из троек, которая состоит из элементов, а потом вы взяли это значение и создали новую башню с таким количеством в нем,… которое дает .

Повторите этот процесс с каждым последующим числом (примеч.
начиная справа), пока вы не сделаете это раза, и тогда наконец вы получите . Это число, которое просто невероятно велико, но по крайней мере шаги его получения вроде бы понятны, если все делать очень медленно. Мы больше не можем понять числа или представить процедуру, благодаря которой оно получается, но, по крайней мере, мы можем понять основной алгоритм, только в достаточно большой срок.

Теперь подготовим ум к тому, чтобы его действительно взорвать.

Число Грэма (Грехема)

Рональд Грэм

Вот как вы получите число Грэма, которое занимает место в Книге рекордов Гиннеса как самое большое число, которое когда-либо использовали в математическом доказательстве. Совершенно невозможно представить, насколько оно велико, и столь же трудно точно объяснить, что это такое. В принципе, число Грэма появляется, когда имеют дело с гиперкубами, которые являются теоретическими геометрическими формами с более чем тремя измерениями. Математик Рональд Грэм (см. фото) хотел выяснить, при каком наименьшем числе измерений определенные свойства гиперкуба будут оставаться устойчивыми. (Простите за такое расплывчатое объяснение, но я уверен, что нам всем нужно получить по крайней мере две ученые степени по математике, чтобы сделать его более точным.)

В любом случае число Грэма является оценкой сверху этого минимального числа измерений. Итак, насколько велика эта верхняя граница? Давайте вернемся к числу , такому большому, что алгоритм его получения мы можем понять достаточно смутно. Теперь, вместо того, чтобы просто прыгать вверх еще на один уровень до , мы будем считать число , в котором есть стрелки между первой и последней тройками. Теперь мы находимся далеко за пределами даже малейшего понимания того, что такое это число или даже от того, что нужно делать, чтобы его вычислить.

Теперь повторим этот процесс раза (примеч.
на каждом следующем шаге мы пишем число стрелок, равное числу, полученному на предыдущем шаге).

Это, дамы и господа, число Грэма, которое примерно на порядка стоит выше точки человеческого понимания. Это число, которое настолько больше, чем любое число, которое можно себе представить — это гораздо больше, чем любая бесконечность, которую вы могли бы когда-либо надеяться себе представить — оно просто не поддается даже самому абстрактному описанию.

Но вот странная вещь. Поскольку число Грэма в основном — это просто тройки, перемноженные между собой, то мы знаем некоторые его свойства без фактического его вычисления. Мы не можем представить число Грэма с помощью любых знакомых нам обозначений, даже если бы мы использовали всю Вселенную, чтобы записать его, но я могу назвать вам прямо сейчас последние двенадцать цифр числа Грэма: . И это еще не все: мы знаем по крайней мере последних цифр числа Грэма.

Конечно, стоит помнить, что это число только верхняя граница в исходной задаче Грэма. Вполне возможно, что фактическое число измерений, необходимых для выполнения нужного свойства гораздо, гораздо меньше. На самом деле, еще с 1980-х годов считалось, по мнению большинства специалистов в этой области, что фактически число измерений всего лишь шесть — число настолько малое, что мы можем понять его на интуитивном уровне. С тех пор нижняя граница была увеличена до , но есть еще очень большой шанс, что решение задачи Грэма не лежит рядом с числом столь же большим, как число Грэма.

К бесконечности

Так есть числа больше, чем число Грэма? Есть, конечно, для начала есть число Грэма . Что касается значащего числа… хорошо, есть некоторые дьявольски сложные области математики (в частности, области, известной как комбинаторика) и информатики, в которых встречаются числа даже большие, чем число Грэма. Но мы почти достигли предела того, что, как я могу надеяться, когда-либо смогут разумно объяснить. Для тех, кто достаточно безрассуден достаточно, чтобы пойти еще дальше, предлагается литература для дополнительного чтения на свой страх и риск.

Ну а сейчас удивительная цитата, которая приписывается Дугласу Рею (примеч.
честно говоря, звучит довольно забавно ):

“Я вижу скопления смутных чисел, которые скрывается там, в темноте, за небольшим пятном света, которое дает свеча разума. Они шепчутся друг с другом; сговариваясь кто знает о чем. Возможно, они нас не очень любят за захват их меньших братишек нашими умами. Или, возможно, они просто ведут однозначный числовой образ жизни, там, за пределами нашего понимания’’.

Предыдущая статья: Наш общий корабль земля Лишь совсем недавно человек

Следующая статья: Равнодушие разъедает душу человека вывод

Всё увеличивающиеся астрономические числа и сопоставлять их с физическими явлениями. Можно всматриваться в выбранную точку фрактала Мандельброта, плавно увеличивая масштаб в 10 198 раз (можно и больше, но в угоду скорости страдает наглядность). Фрактал, сколь малую часть его не бери, остаётся самоподобным и сохраняет дробную структуру.

А можно представлять себе число Грэма так, как его представляет автор статьи «Число Грэма на пальцах» . Число Грэма настолько велико, что даже если вы представите себе какое-то чудовищно большое астрономическое число, а потом возведёте его в столь же чудовищную степень, а потом повторите всё это чудовищное число раз — то вы даже не стронетесь с места на шкале того пути, что ведёт к числу Грэма. Чтобы сосчитать до числа Грэма, придётся научиться считать совсем иначе, нежели мы привыкли — представляя, что путь в бесконечность лежит через дописывание нулей к известным нам астрономическим числам. В этой системе счёта загибанию пальца на руке будет соответствовать не прибавление к числу единицы или миллиона, не дописывание нуля или сотен нулей разом, но шаг от сложения к умножению, от умножения к возведению в степень и дальше в невообразимые дали.

Сразу предупреждаю, что все эти упражнения небезыздержечны — не увлекайтесь, берегите своё душевное здоровье. Однако иногда полезно всмотреться в бесконечность, чтобы понять, где ты и что ты ей, как человек, можешь противопоставить.

Для меня в своё время взгляд бесконечность, подобный описанному «на пальцах» числу Грэма, дала функция Аккермана (которую приводят как пример сложной рекурсивной функции в теории алгоритмов). Она тесно связана со стрелочной записью Кнута, используемой в статье про число Грэма.

Идея очень простая. Возьмём в качестве нулевого шага операцию увеличения на 1, инкремент. Т.е. X + 1. В качестве первого шага возьмём инкремент, повторённый Y раз. Получим X + Y, т.е. операцию сложения. В качестве второго шага возьмём сложение X с самим собой, повторённое Y раз. Получим X · Y, т.е. операцию умножения. На третьем шаге получаем операцию возведения в степень, X Y . На четвёртом получаем «башенку» степеней X X X длиной Y. На пятом — «башенку башенок» (то, что автор статьи про число Грэма на пальцах, назвал «безбашней»). Ну и так далее.

Если мы возьмём натуральное (т.е. неотрицательное целое) число и применим к нему операцию порядка, равного этому числу, то у нас получится примерно функция Аккермана (на самом деле, она определяется сложнее и от трёх или двух аргументов, но не суть).

Функция Аккермана растёт очень быстро, она растёт невыразимо быстро, она растёт быстрее чего угодно, что вы можете себе представить. Уже на пятом шаге она выходит за границы Вселенной. Но чтобы досчитать до числа Грэма за обозримое число шагов, даже её недостаточно. Нужно взять функцию Аккермана «второго порядка». Т.е. функцию Аккермана от функции Аккермана от функции Аккермана — и так Y раз. Получится эдакая «башенка» функций Аккермана. Вот такая «башенка» высотой в 64 этажа как раз до числа Грэма и досчитает.

Кажется, что осознание невыразимой величины этого числа может раздавить человека. Но не спешите с выводами. Автор упомянутой статьи, пытаясь оценить подступы к этому числу, сравнивает его элементы с числом частиц во Вселенной, сравнивает высоту «башенок» с расстоянием между планетами. Но вся эта кажущаяся с виду невыразимость сводится к числу «полтора». Ладно, пусть «два с половиной».

Поясню. Считать «бесконечность» (в кавычках — ибо любое число всё же конечно) нужно не тем, сколько песчинок она в себе содержит, а тем, сколько раз количество переходит в качество, сколько в ней нетривиальных идей. Посчитаем, сколько нетривиальных идей в числе Грэма. Функция Аккермана с её порядком арифметической операции как аргументом функции — идея раз. Применение функции Аккермана к самой себе — даже на полноценную идею не тянет, так, на половинку (а ведь можно представить и функцию Аккермана третьего порядка, чтобы ещё большее число получить — но тем отчётливее вырожденность идеи). Добавим ещё, собственно, описание задачи, в рамках которой появилось число Грэма (покраска в случайную комбинацию двух цветов диагоналей многомерных гиперкубов), чтобы иметь представление, где остановиться в нашем счёте — и получим две с половиной идеи.

Вроде, с одной стороны, почти необозримая бесконечность — а с другой стороны, тривиальность. Поставьте два зеркала друг напротив друга, встаньте между ними — и вы увидите бесконечное количество всё более тускнеющих отражений. Отражений бесконечное количество, но оригинал у них один — отражаетесь лишь вы сами.

Если в каком-то явлении вы замечаете, что с какого-то момента начинают повторяться лишь ухудшающиеся (в лучшем случае, такие же) копии того, что уже было раньше — то это дурная бесконечность, ложная. Движение по её шкале — лишь видимость жизни, но по сути это западня для вашего сознания.

Например, знакомитесь вы с каким-то произведением — книгой, фильмом, видеоигрой — и замечаете, что с какого-то момента произведение начинает повторять само себя. Пожалуй, больше всего этим грешат видеоигры — бесконечные квесты «убей столько-то таких-то монстров», «принеси то-то туда-то», экспоненциально растущая стоимость всё более вычурного оружия и доспехов для борьбы со всё более живучими врагами, дающими всё больше игровых денег. Если повторение перестало раскрывать исходную идею и стало самоцелью, то оставьте это произведение — оно свалилось в дурную бесконечность и лишь утянет вас от истинного пути.

Или вот был хороший оригинал — и сделали ему сиквел, приквел или ответвление сюжета. Чем наполнить? Известно чем — взять всё то же, что в оригинале, но в бОльших количествах и иначе скомбинированное. Была одна идея, стало полторы. Этих сиквелов можно теперь бесконечное число делать, зарабатывая деньги на тех, кому полюбился оригинал. И опять перед нами дурная бесконечность.

Вообще, возьми любой жанр — и большую часть его составят повторения, ухудшенные копии родоначальника жанра. Если вы чувствуете, что задыхаетесь в засилье этих похожих друг на друга отражений — плывите против течения, ищите источник отражений. Лишь так вы сможете в лабиринте дурной бесконечности отыскать истинный путь.

Внимание, дисклеймер!

знаменитой картинке:

Вот как можно нарисовать число трилатри {3,3,2}&3:

Использованные материалы:
1. Главный сайт по гугологии:

Пишет sly2m.livejournal.com

Источник:

Если долго всматриваться в бездну, можно неплохо провести время.
Инженер Механических Душ

Число Грэма на пальцах™

Так выглядит небольшая часть из них (около 100 000) в шаровом скоплении Омега Центавра.

10 секстиллионов (10²²) — количество молекул в грамме воды.

10²⁴ — масса Земли в килограммах.

Для визуализации космических масштабов полезно изучить эту картинку, раскрыв ее на весь экран.

Однако даже в Обозримую Вселенную можно напихать гораздо больше чего–то другого, чем метры.

10⁵¹ атомов составляют планету Земля.

10⁸⁰ примерное количество элементарных частиц в Обозримой Вселенной.

В пятимерном? И в пятимерном, там где куб называется пентерактом или пентакубом, тоже можно.
И в шестимерном.

Дохулиард = флип флипов

Одна стрелочка означает обыкновенное возведение в степень.

44 = 4⁴ = 256

1010 = 10¹⁰ = 10 000 000 000

Две стрелочки означают, что понятно, возведение в степень степени.

То есть 33 образует безбашню из троек, высотой в 7 триллионов штук. Что такое 7 триллионов троек, поставленные друг на друга и именуемые «безбашней»? Если вы внимательно читали этот текст и не уснули в самом начале, вероятно помните, что от Земли до Сатурна 100 триллионов сантиметров. Тройка, показанная на экране двенадцатым шрифтом, вот эта — 3 — высотой миллиметров пять. Значит безбашня из троек протянется от вашего экрана… ну, не до Сатурна, конечно. Даже до Солнца не дотянется, всего четверть астрономической единицы, примерно как от Земли до Марса в хорошую погоду. Обращаю внимание (не спать!), что безбашня это не число длиной от Земли до Марса, это башня степеней такой высоты. Мы помним, что пять троек в этой башне покрывают гуголплекс, вычисление первого дециметра троек сжигает все предохранители компьютеров планеты, а остальные миллионы километров степеней уже как бы и ни к чему, они просто в открытую насмехаются над читателем, считать их бесполезно.

На 35 = 33333 заканчиваются слова, а на 36 = 333333 кончаются междометия, но можете потренироваться, коль есть интерес.

Вот, что такое g₁, вот что такое 33.

33 = 7 625 597 484 987

33 = башня, высотой от Земли до Марса.

33 = число, которое невозможно ни представить ни описать.

а расписывают так.

3^3 = 3 * 3 * 3 = 27. Это число достаточно мало, чтобы его себе представить.

Чтобы хоть как-то представить себе масштаб числа, разберём его запись поподробнее.

Если ты всё-таки начал потихоньку не понимать, что за херня здесь происходит, то заново перечитай пункт 2.

Ваистену, матан иногда штырит похлеще любых наркотиков.

Источник

Число Грэма (Грехема, англ. Graham’s number) — большое число, которое является верхней границей для решения определённой проблемы в теории Рамсея. Названо в честь Рональда Грэма (англ.).

Оно стало известно широкой публике после того, как Мартин Гарднер описал его в своей колонке «Математические игры» в журнале Scientific American в ноябре 1977 года, где было сказано: «В неопубликованном доказательстве Грэм недавно установил … границу настолько большую, что ей принадлежит рекорд как наибольшему числу, когда-либо использовавшемуся в серьёзном математическом доказательстве».

В 1980 году Книга рекордов Гиннесса повторила утверждения Гарднера, ещё больше подогрев интерес публики к этому числу. Число Грехема в невообразимое количество раз больше, чем другие хорошо известные большие числа, такие, как гугол, гуголплекс и даже больше, чем число Скьюза и число Мозера. На самом деле, вся наблюдаемая вселенная слишком мала для того, чтобы вместить в себя обыкновенную десятичную запись числа Грехема, предполагая, что запись каждой цифры занимает по меньшей мере объём Планка. Даже степенные башни вида $a ^{ b ^{ c ^{ cdot ^{ cdot ^{ cdot}}}}}$ бесполезны для этой цели, хотя это число и может быть записано с использованием рекурсивных формул, таких как стрелочная нотация Кнута или эквивалентных, что и было сделано Грехемом. Последние 500 цифр числа Грехема — это …02425950695064738395657479136519351798334535362521 43003540126026771622672160419810652263169355188780 38814483140652526168785095552646051071172000997092 91249544378887496062882911725063001303622934916080 25459461494578871427832350829242102091825896753560 43086993801689249889268099510169055919951195027887 17830837018340236474548882222161573228010132974509 27344594504343300901096928025352751833289884461508 94042482650181938515625357963996189939679054966380 03222348723967018485186439059104575627262464195387.

В современных математических доказательствах иногда встречаются числа, ещё много бо́льшие, чем число Грехема, например, в работе с конечной формой Фридмана в теореме Краскала.

Содержание

1 Проблема Грехема
2 Определение числа Грехема
- 2.1 Масштаб числа Грехема
3 См. также
4 Литература
5 Ссылки

Проблема Грехема

Число Грехема связано со следующей проблемой в теории Рамсея:

Рассмотрим n-мерный гиперкуб и соединим все пары вершин для получения полного графа с вершинами. Раскрасим каждое ребро этого графа либо в красный, либо в чёрный цвет. При каком наименьшем значении n каждая такая раскраска обязательно содержит раскрашенный в один цвет полный подграф с четырьмя вершинами, все из которых лежат в одной плоскости?

Грехем и Ротшильд в 1971 году доказали, что эта проблема имеет решение, N*, и показали что 6 ≤ N* ≤ N, где N — конкретное, точно определённое, очень большое число. На языке стрелочной нотации Кнута оно может быть записано как , где $F(n) = 2uparrow^{n} 3 ,!$ .

Нижняя граница была улучшена Экзу в 2003 году и Баркли в 2008 году, который показал, что N* должно быть не меньше 13. Таким образом, 13 ≤ N* ≤ N.

Предметом настоящей статьи является верхняя граница G, которая много слабее (то есть больше), чем N; а именно $G = f^{64}(4) ,!$ , где . Именно эта граница, описанная в неопубликованной работе Грехема, и была описана (и названа числом Грехема) Мартином Гарднером.

Определение числа Грехема

Используя стрелочную нотацию Кнута, число Грехема G может быть записано как

$left. begin{matrix} G &=&3underbrace{uparrow uparrow cdotscdotscdotscdotscdots uparrow}3 \ & &3underbrace{uparrow uparrow cdotscdotscdotscdots uparrow}3 \ & &underbrace{qquad;; vdots qquad;;} \ & &3underbrace{uparrow uparrow cdotscdotcdot uparrow}3 \ & &3uparrow uparrow uparrow uparrow3 end{matrix} right } text{64 layers}$

где количество стрелок в каждом слое, начиная с верхнего, определяется числом в следующем слое, то есть

$G = g_{64},text{ где }g_1=3uparrowuparrowuparrowuparrow 3, g_n = 3uparrow^{g_{n-1}}3,$

и где верхний индекс у стрелки показывает общее количество стрелок. Другими словами, G вычисляется в 64 шага: на первом шаге мы вычисляем g₁ с четырьмя стрелками между тройками, на втором — g₂ с g₁ стрелок между тройками, на третьем — g₃ с g₂ стрелок между тройками и так далее, в конце мы вычисляем G = g₆₄ с g₆₃ стрелок между тройками.

Это может быть записано как

$G = f^{64}(4),text{ где }f(n) = 3 uparrow^n 3,$

где верхний индекс у f означает итерации функций. Функция f является частным случаем гипероператоров, , и может быть так же записана при помощи цепных стрелок Конвея как . Последняя запись так же позволяет записать следующие граничные значения для G:

3rightarrow 3rightarrow 64rightarrow 2 < G < 3rightarrow 3rightarrow 65rightarrow 2.

Масштаб числа Грехема

Для того, чтобы осознать невероятный размер числа Грехема, полезно попробовать представить через возведение в степень хотя бы первый член (g₁) стремительно растущей 64-членной последовательности. На языке тетраций означает:

g_1
= 3 uparrow uparrow uparrow uparrow 3
= 3 uparrow uparrow uparrow (3 uparrow uparrow uparrow 3)
= 3 uparrowuparrow (3 uparrowuparrow (3 uparrowuparrow dots (3 uparrowuparrow 3) dots ))

где число троек в выражении справа

3 uparrow uparrow uparrow 3 = 3 uparrow uparrow (3 uparrow uparrow 3).

Теперь каждая тетрация () по определению разворачивается в «степенную башню» как

$3 uparrowuparrow X = 3 uparrow (3 uparrow (3 uparrow dots (3 uparrow 3) dots )) = 3^{3^{cdot^{cdot^{cdot^{3}}}}}$

, где X — количество 3-ек.

Таким образом,

g_1 = 3 uparrowuparrow (3 uparrowuparrow (3 uparrowuparrow dots (3 uparrowuparrow 3) dots ))

, где количество троек —

записанное на языке степеней

$g_1 = left. begin{matrix}3^{3^{cdot^{cdot^{cdot^{cdot^{3}}}}}}end{matrix} right } left. begin{matrix}3^{3^{cdot^{cdot^{cdot^{3}}}}}end{matrix} right } dots left. begin{matrix}3^{3^3}end{matrix} right } 3 quad$

, где число башен — $quad left. begin{matrix}3^{3^{cdot^{cdot^{cdot^{3}}}}}end{matrix} right } left. begin{matrix}3^{3^3}end{matrix} right } 3$

и где количество троек в каждой башне, начиная слева, указывается предыдущей башней.

Другими словами, g₁ вычисляется путём вычисления количества башен, n = $3^{3^{cdot^{cdot^{cdot^{3}}}}}$ (где число троек — $3^{3^{3}}$ = 7625597484987), и затем вычисляя n башен в следующем порядке:

      1^ая башня:  3

      2^ая башня:  3↑3↑3 (количество троек — 3) = 7625597484987

      3^я башня:  3↑3↑3↑3↑...↑3 (количество троек — 7625597484987) = ...

      .
      .
      .

 g₁ = n^ая башня:  3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑...↑3 (количество троек задаётся результатом вычисления n-1^ой башни)

Масштаб первого члена, g₁, настолько велик, что его практически невозможно осознать, хотя запись выше относительно проста для понимания. Хотя n это всего лишь количество башен в этой формуле для g₁, уже это число много больше количества объёмов Планка, которые содержатся в наблюдаемой вселенной (примерно 8.5*10¹⁸⁵). После первого члена нас ожидает ещё 63 члена стремительно растущей последовательности.

См. также

теорема Краскала
функция Аккермана

Литература

Graham, R. L.; Rothschild, B. L. (1971). «Ramsey’s Theorem for n-Parameter Sets». Transactions of the American Mathematical Society 159: 257-292. DOI:10.2307/1996010. The explicit formula for N appears on p. 290.
Graham, R. L.; Rothschild, B.L. (1978). «Ramsey Theory», Studies in Combinatorics, Rota, G.-G., ed., Mathematical Association of America, 17:80-99. On p. 90, in stating «the best available estimate» for the solution, the explicit formula for N is repeated from the 1971 paper.
Gardner, Martin (November 1977). «Mathematical Games». Scientific American 237: 18-28.; reprinted (revised 2001) in the following book:
Gardner Martin The Colossal Book of Mathematics: Classic Puzzles, Paradoxes, and Problems. — New York, NY: Norton, 2001. — ISBN 0393020231
Gardner Martin Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers. — Washington, D.C.: Mathematical Association of America, 1989. — ISBN 0-88385-521-6
Exoo, Geoffrey (2003). «A Euclidean Ramsey Problem». Discrete Computational Geometry 29: 223-227. DOI:10.1007/s00454-002-0780-5.

Ссылки

«Проблема Рамсей о гиперкубах». Geoff Exoo (англ.)
Weisstein, Eric W. Graham’s number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Как вычислить число Грэма (англ.)
Numeropedia — the Special Encyclopedia of Numbers (англ.)

Числа с собственными именами
Вещественные	Пи • Золотое сечение • Серебряное сечение • e (число Эйлера) • Постоянная Эйлера — Маскерони • Постоянные Фейгенбаума • Постоянная Гельфонда • Константа Бруна • Постоянная Каталана • Постоянная Апери
Натуральные	Чёртова дюжина • Число зверя • Число Рамануджана — Харди • Число Грэма • Число Скьюза • Число Мозера
Степени десяти	Мириада • Гугол • Асанкхейя • Гуголплекс
Степени тысячи	Тысяча • Миллион • Миллиард • Биллион • Триллион • Квадриллион • … • Центиллион
Степени двенадцати	Дюжина • Гросс • Масса

Источник

Если долго всматриваться в бездну, бездна начнёт всматриваться в тебя.

Ницше

Число Грэма (число Грехема, англ. Graham’s number) — ебически огромное число, которое вывел внезапно Рональд Грэм как верхний предел в хуй никому не упёршейся проблемы с раскрашенными гиперкубами из теории Рамсея. То есть, предупреждая вопросы отдельных личностей «почему именно столько, а не столько плюс адын» — это не просто взятая от балды величина, это решение конкретной задачи.

Суть[править]

Снизу — то, как не должно быть

Проблема с кубами в теории Рамсея состоит в том, что это никакая не проблема, а одна из задач в комбинаторике, где любят переставлять или красить мелкие части одного большого множества и смотреть, что интересного может получиться. В нашем случае предлагается взять n-мерный кубик, соединить его вершины линиями, и каждое получившееся ребро покрасить одним цветом из двух — либо синим, либо красным. Суть в том, чтобы понять, до какого значения n можно, по-разному закрашивая рёбра, избежать ситуации, когда одна плоскость в кубе закрашена одним цветом. То есть, мы не хотим, чтобы получался одноцветный конвертик, как на картинке. Математики посидели-позакрашивали — видят, что в обычном кубике это сделать легче лёгкого. Добавили ещё измерение (получился тессеракт), снова позакрашивали — получилось, избежать конвертика можно. Добавили пятое, шестое, седьмое — всё отлично! Но тут пришёл Грэм и сказал, что они занимаются хуитой, и он-де сразу сейчас посчитает, при каком количестве измерений одноцветный конвертик будет получаться по-любому. ИЧСХ, посчитал-таки, однако искомым решением это назвать нельзя.

Дело в том, что теорема предлагает найти наименьшее количество измерений с нарушением условия появления одноцветной плоскости. Но хитрый Грэм подумал и решил, что считать по порядку никакого терпения не хватит. Он подозревал, что количество измерений будет большим, но не бесконечным, поэтому, применив специальное кунг-фу из комбинаторики, посчитал сразу максимальное количество этих самых измерений. Этим приёмом он не нашёл решения теоремы, но обозначил верхнюю границу поисков. То есть, если вдруг начнёте решать эту задачу с гиперкубами, то размерности больше числа Грэма можете не брать. И на сегодняшний день та самая минимальная размерность гиперкуба лежит между 13-ю измерениями и, собственно, числом Грэма. Таким образом, число Грэма — это верхний предел количества измерений гиперкуба, при котором точно невозможно избежать подграфа, закрашенного одним цветом.

Эпичность[править]

…, ведь число риальнэ БОЛЬШОЕ. Нет, правда. На самом деле, оно больше любых самых смелых фантазий. Представьте себе цифру, написанную самым мелким шрифтом. Таким мелким, что на атоме можно нарисовать миллионы таких цифр. Представьте себе пространство, заполненное этими цифрами во всех трёх измерениях, вплотную друг к другу. Так вот, места, чтобы вместить десятичную запись числа Грэма, потребуется гораздо больше всей наблюдаемой Вселенной. Мало того, оно не вместится даже в количество Вселенных, равное количеству цифр, помещённых в нашу Вселенную. И так далее… ну ты понел. Продолжать можно, пока клавиатура не сотрётся. А когда сотрётся, сходить за новой и убить тоже. Кстати, до сих пор мы говорили только о количестве цифр, из которых состоит число Грэма, а не о самом числе (например, миллиард секунд — это почти 32 года, но в самом числе «миллиард» всего 10 цифр, которые можно пересчитать за 10 секунд)! Никакие гуголы с гуголплексами тут даже рядом не стояли.

Но все эти эпитеты и аналогии всё равно не отражают масштаба трагедии. По-настоящему заклинить свой МНУ ты можешь, попытавшись вникнуть в принцип вычисления этого числа. А чтобы не пугать честной норот простынёй непонятных знаков, мы положим его под половицу.

Глубока ли кроличья нора?

Чтобы хоть как-то представить себе масштаб числа, разберём его запись поподробнее.

1. Итак, в математике существует понятие «гипероператор» для определения уровня арифметических действий. Так, сложение — это гипероператор первого уровня, а гипероператор второго уровня — умножение, которое суть повторяющееся сложение. То есть множитель — это число, которое говорит нам, сколько раз надо сложить умножаемую величину. Например: 3 · 3 = 3 + 3 + 3 = 9. Следующий гипероператор — возведение в степень, xⁿ = х^n, что по сути является повторяющимся умножением. Пример: 3³ = 3 · 3 · 3 = 27. Запись 3³ в нотации Кнута будет выглядеть как 3↑3.
Здесь для ясности следует сказать, что первая цифра в выражении 3↑3 — это значение, с которым мы и производим действие, а количество стрелочек между цифрами — это арифметическое действие; в данном случае одна стрелочка означает возведение в степень. Вторая цифра означает то, в какую степень надо возвести первую цифру (сколько раз перемножить на себя). Соответственно, выражение 7↑4 означает семь в четвёртой степени. Иначе говоря, 7 нужно умножить на 7 четыре раза.

2. Гипероператор четвёртого уровня — тетрация, повторяющееся возведение в степень. В записи Кнута — две стрелки между цифрами. Пример: 3↑↑3 = ³3 = 3^3³ = 3²⁷ = 7 625 597 484 987. То есть вторая цифра при наличии двух стрелок означает, что столько раз нужно возвести в степень самого себя первое число. Другими словами, показывает нам высоту степенной башни из первой цифры. Например, запись 5↑↑8 означает башню из восьми пятёрок, нагромождённых друг на друга, как кубики.

Тем, чей мозг совсем заплыл жиром или занят лишь мыслями о том, как найти тян, вкачать своего эльфа или избавиться от прыщей, следует запомнить, что в тетрации выражения высчитываются сверху вниз, или справа налево. Проще говоря, 3^3³ равняется нихуя не 27³, а как раз-таки 3²⁷. Теперь ты видишь, мой маленький мохнатый друг, что тетрация — уже довольно мощный способ записи, позволяющий коротеньким выражением записывать числа в 100500 раз бо́льшие, чем само 100500. Но это ещё не всё, ибо она является недостаточно мощным гипероператором для вычисления числа Грэма.

3. Идём дальше: гипероператор пятого уровня — пентация (повторяющаяся тетрация). Три стрелочки между цифрами. Вот здесь-то и начинается пиздец, от которого люди, не являющиеся профессиональными математиками, плюют на всю эту лабуду и больше не пытаются её понять. Но ведь ты не такой, как они? Если ты подумал, что пентация числа 3 раскладывается на 3 в степени 7 625 597 484 987, то ты ошибаешься. Ты даже не представляешь, НАСКОЛЬКО ошибаешься. Ибо 3 в степени 7 625 597 484 987 — это всего лишь 3↑↑4.
А пентация — это 3↑↑↑3 = 3↑↑(3↑↑3) = 3↑↑(7 625 597 484 987) = 3↑3…(количество возведений в степень — 7 625 597 484 987 раз)…↑3. То есть, степенная башня из троек получается высотой в более чем семь с половиной триллионов этажей! Иначе говоря, вторая цифра при наличии трёх стрелочек означает, какой высоты будет башня тетраций первой цифры. Для большей наглядности: 3↑↑↑4 можно записать как ^{^³33}3, либо 3 ↑↑ (3 ↑↑ (3 ↑↑ 3)). И здесь главное — понять, что эта башня из тетраций не есть башня из степеней, тут эскалация намного стремительнее. 3↑↑↑4 = ^{^³33}3 = ^{^{7 625 597 484 987}3}3.
Понял, наконец, сука?! 3↑↑↑4 равняется 3 в тетрации числа, которое получается в результате вычисления степенной башни из цифры 3 высотой в 7 625 597 484 987 этажей. Соответственно, если 3↑↑↑4 записать как степенную башню из троек, то количество этажей в этой башне будет равняться числу, которое получится при вычислении степенной башни высотой в 7 625 597 484 987 этажей. Представил? Не представил, конечно, такие величины с наскоку не осмыслить.

Если ты всё-таки начал потихоньку не понимать, что за херня здесь происходит, то заново перечитай пункт 2.

4. И последний нужный нам гипероператор — гексация. Как вы уже догадались, четыре стрелочки между тройками. Это, соответственно, повторяющаяся пентация. Вторая цифра при наличии четырёх стрелочек означает, какой высоты будет уже «пентационная» башня. 3↑↑↑↑3 = 3↑↑↑(3↑↑↑3) = 3↑↑3↑↑3…3↑↑3, где количество тетраций — результат вычисления пентации 3↑↑↑3. Если опять ничего не понял, то заново прочитай пункты 3 и 2.
Если мы переместимся в самый конец этой немыслимой цепочки тетраций и начнём её вычислять, то уже вторая с конца тройка будет в тетрации равна 7 625 597 484 987. А результатом тетрации третьей тройки с конца будет число, полученное пентацией тройки в предыдущем пункте. А перед нами — ещё гуголплексы и гуголплексы повторяющихся тетраций цифры 3. Тут уже бесполезно что-то пытаться осмыслить, как-то охватить результат… И тут вы, возможно, спросите: «Неужели это число Грэма? Надо же, насколько громадное!» Но нет, это не число Грэма. Это была только математическая присказка, и она ничтожно, неизмеримо мала по сравнению с числом Грэма.

Стало быть, гексация — это всего лишь добавление к пентации одной ссаной стрелочки, но результат оказывается больше в невообразимое количество порядков. А теперь, собственно, вычисление числа Грэма. Цифра три в примерах была использована не просто так, ибо число Грэма по сути и есть перемноженные тройки. Итак, назовём результат нашей гексации (3↑↑↑↑3) G1. Это какбэ был первый шаг вычислений. Только первый. А следующий шаг ускоряет прогрессию так, что добавление одной, десяти, МИЛЛИОНА стрелок между цифрами — топтание на месте. Шаг второй — вычисление G2: теперь мы берём результат нашей гексации тройки и пишем выражение, где число стрелочек сверхстепени будет равно этому результату. G2 = 3↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑…(количество стрелочек сверхстепени — G1)…↑↑↑↑↑↑↑3. Интересно, как называется гипероператор ТАКОГО уровня?..

Ваистену, матан иногда штырит похлеще любых наркотиков.

Мякотка числа также в том, что, несмотря на невозможность записать число полностью, вполне возможно вычислить его последние цифры. Нерды от матана, сперва немного охуев от масштаба числа, взяли себя в руки и высчитали более 500 цифр с конца этого числа. Вот десять самых последних: …2464195387. А какая цифра первая? Ну, калькулятор вам в руки, только имейте в виду, что тепловая смерть Вселенной прервёт ваши вычисления в самом начале.

Moar[править]

Литлвуд первым расставляет точки

Но время идёт, математики не сидят сложа руки, и невозможное для осознания число Грэма больше не является чем-то особенным. В настоящее время самым большим числом является величина под названием «Число Райо» (Rayo’s number). У него даже есть формула и алгоритм вычисления, только вот посчитать как-то не удаётся: мощностей не хватает (и вряд ли когда-нибудь хватит). Поэтому, чтобы хоть как-то его определять, для него придумали следующую языковую конструкцию: «Самое маленькое число, большее, чем любое конечное число, определённое выражением на языке теории множеств с использованием гугола символов или меньше». Аплодисменты.

Видеота[править]

Годное видео про сабж. Видеоряд доставляет…

О сабже с 18-й минуты

Интересные факты[править]

Онотоле знает все цифры этого числа. Но вам не скажет.
Результат степенной башни из гуголплексов в гуголплекс этажей неизмеримо меньше числа Грэма.

См. также[править]

Четвёртое измерение
Квадратура круга

Ссылки[править]

Подробнейшее описание, написанное доставляющим языком
Число Райо — победитель конкурса в MIT
Джон Литлвуд о записи самых больших чисел (п. 15), 1948 год
Ещё одна попытка объяснить вычисление числа Грэма

«Не учишь матан – пойдёшь на метан» © Луговский
Науки	Высшая математика • Евгеника • Матан • Российская • Сопромат • Философия (Детерминизм)
Достижения	TeX • Атомная бомба • Биореактор • Большой адронный коллайдер • ГМО • Двести двадцать • Корчеватель • Кубик Рубика • Нанотехнологии • Палата мер и весов • Резонатор Гельмгольца • Роботы • Термоядерный синтез • Чернобыль • Экзоскелет • Фукусима
Теории и открытия	Геометрия Лобачевского • Звездчатый многоугольник • Квантовая механика • Когнитивная психология • Популяционная теория Мальтуса • Радиация • Тёмная энергия • Теория большого взрыва (сериал) • Теория относительности • Теория разбитых окон • Теория струн • Четвёртое измерение • Чёрная дыра • Эволюция • Элементарные частицы • Энтропия
Мемы	265 • xkcd • Бритва Оккама • Деление на ноль (Яценюк) • Дигидрогена монооксид • Задача Льва Толстого • Задача Эйнштейна • Закон Мерфи • Закон Парето • Квадратно-гнездовой способ мышления • Квадратура круга • Коробочка фотонов • Кот Шрёдингера • Матановая капча • Критерий Поппера • Метод научного тыка • Пик нефти • Поймать льва в пустыне • Простые числа • Рекурсия • Сферический конь в вакууме • Теорема Абеля — Галуа • Теорема Ферма • Число Грэма • Число Эрдёша
Люди и организации	Организации (ИТМО • МФТИ • НМУ) • Байрон • Белоненко • Березовский • Вассерман • Вербицкий • да Винчи • Декарт • Докинз • Инженер • Кэрролл • Лаборатория • Лейбниц • Луговский (цитатник) • Паскаль • Перельманы (Григорий • Яков) • Переслегин • Пятисемиты • Саган • Тейлор • Тесла • Технофашисты • Фейнман • Хайям • Хокинг • Эшер
Паранаука	Science freaks/Научное фричество • Scorcher.ru • Артефакт • Великая тайна воды • Вечный двигатель • Гомеопатия • ГСМ • Информационное поле Вселенной • Квадратно-гнездовой способ мышления • Научный креационизм (аргументы) • НЛП • Принцип Арнольда • Соционика • Телегония • Торсионные поля • ХУЯС • Электронный голосовой феномен
Фрики и шарлатаны	Sherak • Британские учёные • Бронников • Гаряев • Жданов • Катющик • Лотов • Лысенко • Малахов • Мулдашев • Мухин • Никонов • Олег Т. • Петрик • Протопопов • РАЕН • Скляров • Стерлигов • Фоменко • Чащихин • Чернобров • Чудинов • Чурляев • Чуров
Срачи	Бесполезная наука • Взлетит или не взлетит? • Дети индиго • Луносрач • Наука vs религия • Пирамидосрач • Плутоносрач • Физики vs лирики • Шмель летать не должен

Всё это – часть точного мира чисел
Числа и цифры	+1 • 1.0 • 2.0 • π • 3,5 • 3,62 • 8/64 • 13 • 14/88 • 16 • 19 • 20 • 25 • 28 • 34 • 38 • 40 • 42 • 51 • 57 • 63 • 77 • 80 • 101 • 121 • 128 • 220 • 228 • 265 • 282 • 314 • 322 • 359 • 404 • 410 • 502 • 640 • 646 • 666 • 1111 • 1138 • 1200+ε • 1337 • 1500 • 1812 • 2000 • 2300 • 3310 • 3605 • 3730 • 9000 • 9600 • 12309 • 40 000 • 100500 • 260602 • 13 000 000 • 1 000 000 000 (Сталинский • Золотой) • 1 208 925 819 614 629 174 706 176 • G64 • ∞
Проценты	90% женщин • 95% населения • Инфа 100% • 146%
Время	3 секунды • 5 секунд • Полшестого • 7:40 • 10:10 • 1917 год • 1980-е (1984 год) • 1990-е • 2000-е (2000 год) • 2010-е (2012 год)
Прочее	1 Guy 1 Jar • 2 Girls 1 Cup • ⑨ • Sweet home • 2 в 1 • 3 Guys 1 Hammer • 58 видов геев • Автомобильные номера • Гет • ДЕЕ1991ГР • Деление на ноль • Закон Парето • Код • Матан • Матановая капча • Натуральные числа • Простые числа • Вещественные числа • Рулетка • Сотни нефти • Теорема Ферма • Теория относительности • Чуть более, чем наполовину • Семь чудес света • Квадратура круга • Три обезьяны • Monkey dust

Источник

Пишет sly2m.livejournal.com

Число Грэма на пальцах™

Что такое G64 и g1?

Что такое число гугол? И гуголплекс?

Что такое число Райо?

Context[edit]

Publication[edit]

Definition[edit]

Magnitude[edit]

Rightmost decimal digits[edit]

References[edit]

Bibliography[edit]

External links[edit]

Context[edit]

Publication[edit]

Definition[edit]

Magnitude[edit]

Rightmost decimal digits[edit]

References[edit]

Bibliography[edit]

External links[edit]

Что такое G64 и g1?

Что такое число гугол? И гуголплекс?

Что такое число Райо?

Что правило нам расскажет?

В помощь учащимся

Резюмируем

Заключение

Содержание

Проблема Грехема

Определение числа Грехема

Масштаб числа Грехема

См. также

Литература

Ссылки

Суть[править]

Популярность[править]

Эпичность[править]

Moar[править]

Видеота[править]

Интересные факты[править]

См. также[править]

Ссылки[править]