запиши периодическую дробь (0,(8)) обыкновенной дробью.
Решение.
Достаточно очевидно, что (0,(8)=0,8+0,08+0,008+…) Слагаемые в правой части равенства образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, первый член которой равен (0,8), знаменатель равен (0,1). Найдём сумму по формуле:
.
Осталось выполнить нужные действия с десятичными дробями:
.
Таким образом, бесконечная периодическая десятичная дробь (0,(8)) обращается в обыкновенную дробь (8/9).
Ответ: (0,(8)=8/9).
- Что такое геометрическая прогрессия?
- Формулы и свойства геометрической прогрессии
- Калькуляторы геометрической прогрессии
- Примеры решения заданий с геометрической прогрессией
-
Вычислим знаменатель геометрической прогрессии, если b1=5,5; b2=11.
-
Вычислим знаменатель геометрической прогрессии, если b1=0,3; b2= -30.
Ученикам может показаться, что изучение геометрической прогрессии – это нечто абстрактное и оторванное от жизни. На самом деле множество экономических процессов построены именно на основе геометрической прогрессии.
Например, если вы положите деньги на банковский депозит и захотите посчитать сколько процентов заработаете за три года, самым удобным способом провести вычисления будет именно через формулу геометрической прогрессии. Этот инструмент также применяется в проектировании, архитектуре и строительстве.
В этом тексте вы сможете узнать базовую информацию о формулах и свойства геометрической прогрессии, а также понять принцип, по которому она действует.
Что такое геометрическая прогрессия?
3, 12, 48, 192, 768, 3072 – это пример геометрической прогрессии. Все эти объединенные единым общим множителем. В теории геометрической прогрессии он называется знаменателем и обозначается как q. В этом случае q = 4. Чтобы создать геометрическую прогрессию, нам нужно сначала три умножить на четыре, затем 12 – снова на 4, потом 48 на 4 и так далее.
Читайте также: Плюсы и минусы образования за рубежом
Определение геометрической прогрессии
Геометрическая прогрессия – это прежде всего последовательность чисел. Каждый пункт этой последовательности, начиная со второго, равен предыдущему числу, умноженному на одинаковый множитель.
Устойчивое число множитель, которое собственно и образует последовательность под названием геометрическая прогрессия, называется знаменателем прогрессии и обозначается, как мы уже отметили выше, буквой q.
Члены прогрессии обозначаются как 
, где под индикатором n имеется в виду порядковый номер члена в прогрессии. Соответственно, первый член прогрессии (в нашем первом примере равен 3 – это b1, а второй (12) – это b2.
Предполагается, что ни первый член, ни знаменатель прогрессии не равен нулю.
Свойства геометрической прогрессии
Геометрическая прогрессия становится удобным инструментом вычислений, когда вы понимаете, что с помощью ее свойств и связанных с ней формул можно легко вычислить, чему равно
И действительно – если попробуем вручную умножать каждое число ряда на 4, в конце концов восьмым числом этой геометрической прогрессии станет 49152.
После усвоения главного принципа, лежащего в основе геометрической прогрессии, можем закрепить знания, проверив на практике первый пример с банковским депозитом.
Допустим, вы кладете на свой счет $ 100 под 6% годовых, и хотите узнать, какую сумму получите за 3 года. В таком случае вы будете использовать в своих расчетах геометрическую прогрессию, ведь ежегодно вы будете умножать все большую сумму на один и тот же множитель (в данном примере он равен 6%, то есть – 1,06)
Чтобы вычислить сумму вклада в момент завершения действия депозита, используем уже знакомую формулу для нахождения значения любого члена прогрессии:
В чем разница между геометрической и арифметической прогрессией?
В геометрической прогрессии члены прогрессии умножаются на постоянное число, тогда как арифметическая прогрессия воплощает последовательность чисел, в которой к каждому предыдущему члена добавляется одно и то же постоянное число.
Представим это на примерах.
Предположим, что знаменатель (q) в случае геометрической прогрессии составит 3 и так же в арифметической прогрессии устойчивое слагаемое будет равно 3. И стартовый член прогрессии в обоих случаях также составит одно и то же число – 4.
Арифметическая прогрессия тогда будет выглядеть как последовательность 4, 7 (= 4 + 3), 10 (= 7 + 3) .., 13 .., 16 .., 19 …
А геометрическая прогрессия – как последовательность 4, 12 (= 4 * 3), 36 (= 12 * 3), 108 .., 324 …
Читайте также: Учимся играя. Что такое геймификация
Формулы и свойства геометрической прогрессии
Свойства членов геометрической прогрессии – это формулы, упрощающие расчеты. Вот некоторые из них:
Чтобы найти знаменатель геометрической прогрессии, следует использовать следующую формулу: 
Произведение членов, равноудаленных от краев геометрической прогрессии, то есть, соседних, всегда является постоянной величиной, то есть: 
С формулой расчета любого члена геометрической прогрессии мы уже знакомы. Она выглядит так: 
А формула нахождения суммы п первых членов геометрической прогрессии выглядит так: 
Любой член геометрической прогрессии, начиная со второго, будет равняться среднему арифметическому соседних с ним членов, то есть при 
,
Калькуляторы геометрической прогрессии
В сети есть множество калькуляторов как арифметической, так и геометрической прогрессии. Некоторые из них могут не только посчитать сумму прогрессии или найти знаменатель, но и отразить пошаговое решение того или иного примера. Пользуясь ими вы не только найдете ответ, но и сможете понять принцип действий и запомнить некоторые из формул.
Однако если вы переживаете сложности с пониманием геометрической прогрессии, эффективным решением может быть работа с репетитором по алгебре. На сайте БУКИ вы можете найти репетитора по любому предмету.
Что касается онлайн-калькуляторов прогрессии, то в Keisan Online Calculator вы можете вычислить или сумму геометрической прогрессии, а также значение любого ее члена с пошаговым решением вашего примера. А в Geometric Sequence Calculator вы сможете вычислить любой составляющая прогрессии: и знаменатель геометрической прогрессии (q), и сумму бесконечный прогрессии (Sn), и сумму первых членов (Sn).
Примеры решения заданий с геометрической прогрессией
Решение:
Вычислим знаменатель прогрессии, поделив друг на друга соседние члены:
q = b2/b1 = 11/5,5 = 2.
Ответ:
Знаменатель прогрессии (q) равен 2.
Решение:
Вычислим знаментель прогрессии, поделив друг на друга соседние члены:
q = b2/b1= -30/0,3= -100.
Ответ:
Знаменатель прогрессии (q) равен -100.
Читайте также: Самые популярные специальности в мире: выбор студентов 2021
Геометрическая прогрессия
Кусочек теории.
Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, не равных нулю, в которой каждый следующий член, начиная со второго, в одно и то же количество раз больше (или меньше) предыдущего.
Последовательность чисел 2; 4; 8; 16; 32; 64; … будет являться геометрической прогрессией, причем возрастающей, т.к. каждое следующее число больше предыдущего в 2 раза. В данном случае число 2 является знаменателем этой прогрессии.
Также геометрической прогрессией будет являться последовательность чисел 12; 6; 3; 1,5; 0,75; 0,375; … , причем убывающей, т.к. в ней числа уменьшаются в 2 раза. Но геометрическую прогрессию прежде всего связывают с умножением, поэтому правильнее сказать, что в последовательности числа увеличиваются в 0,5 раз. Здесь знаменателем будет число 0,5.
Знаменатель геометрической прогрессии обозначают буквой q. Если знаменатель не дан, то найти его можно делением текущего члена прогрессии на предыдущий:
Найти любой по счету член геометрической прогрессии можно, зная ее первый член и знаменатель. Запишем формулу n-ого члена:
Но необязательно знать именно первый член прогрессии. Пригодится может любое по счету число. Только тогда формула чутка изменится:
И держи третью формулу для нахождения n-ого члена геометрической прогрессии через предыдущий и последующий члены (правда по модулю)!
Помимо этих трех формул пригодится еще формула суммы:
Практика.
Задание 1.
Это задание можно решить без формул. Но если уж так хочется, то можно и по формулам, но мне вот не хочется)
Откинем пока минусы…
Если разделить 125 на 100, то мы увидим во сколько раз следующее число меньше предыдущего: в 1,25 раз. То же самое число получится, если 100 разделить на 80.
Найдем 4-ое число в этой последовательности: 80 : 1,25 = 64.
И 5-ое: 64 : 1,25 = 51,2.
Но не забываем, что знаки у чисел чередуются: четвертое число будет отрицательным, а пятое — положительным.
Ответ: 51,2.
Задание 2.
Опять знаки у чисел чередуются, значит число, спрятанное под иксом, будет отрицательным.
Не будем морочить голову формулами, пойдем задом наперед: разделим 4-ое число на 3-ое (найдем знаменатель прогрессии):
96 : 24 = 4 (знаки у чисел мы откинули временно).
Значит, чтобы найти икс надо 24 разделить на знаменатель 4 и взять результат с минусом.
Ответ: -6.
Задание 3.
По данной нам в условии задаче формуле можно сразу понять, что 2 — знаменатель прогрессии. Если это не понятно — вот доказательство:
Здесь схитрить не получится, поэтому используем формулу и находим b6.
Ответ: -192.
Задание 4.
Каждое следующее число в 4 раза больше предыдущего, значит знаменатель q равен 4.
Зная первый член прогрессии и знаменатель можно найти сумму первых шести членов (n = 6).
Ответ: 682,5.
Задание 5.
Похожее условие уже встречалось в задании 3. Из данной формулы делаем вывод, что знаменатель q = 3.
Находим сумму:
Ответ: -847.
Вот и всё!
С наилучшими пожеланиями, твой персональный препод)