Как пишется множество натуральных чисел

Определение натурального числа

Натуральные числа — это числа, которые мы используем для подсчета чего-то конкретного, осязаемого.

Вот какие числа называют натуральными: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 и т. д.

Натуральный ряд — последовательность всех натуральных чисел, расположенных в порядке возрастания. Первые сто можно посмотреть в таблице.

Какие операции возможны над натуральными числами

• сложение:
  слагаемое + слагаемое = сумма;
• умножение:
  множитель × множитель = произведение;
• вычитание:
  уменьшаемое − вычитаемое = разность.

  При этом уменьшаемое должно быть больше вычитаемого, иначе в результате получится отрицательное число или ноль;
• деление:
  делимое : делитель = частное;
• деление с остатком:
  делимое / делитель = частное (остаток);
• возведение в степень:
  a^b, где a — основание степени, b — показатель степени.

Записывайтесь на курсы обучения математике для учеников с 1 по 11 классы!

Десятичная запись натурального числа

В школе мы проходим тему натуральных чисел в 5 классе, но на самом деле многое нам может быть интуитивно понятно и раньше. Проговорим важные правила.

Мы регулярно используем цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. При записи любого натурального числа можно использовать только эти цифры без каких-либо других символов. Записываем цифры одну за другой в строчку слева направо, используем одну высоту.

Примеры правильной записи натуральных чисел: 208, 567, 24, 1 467, 899 112. Эти примеры показывают нам, что последовательность цифр может быть разной и некоторые даже могут повторяться.

077, 0, 004, 0931 — это примеры неправильной записи натуральных чисел, потому что ноль расположен слева. Число не может начинаться с нуля. Это и есть десятичная запись натурального числа.

Количественный смысл натуральных чисел

Натуральные числа несут в себе количественный смысл, то есть выступают в качестве инструмента для нумерации.

Представим, что перед нами банан 🍌. Мы можем записать, что видим 1 банан. При этом натуральное число 1 читается как «один» или «единица».

Но термин «единица» имеет еще одно значение: то, что можно рассмотреть, как единое целое. Элемент множества можно обозначить единицей. Например, любое дерево из множества деревьев — единица, любой листок из множества листков — единица.

Представим, что перед нами 2 банана 🍌🍌. Натуральное число 2 читается как «два». Далее, по аналогии:

Основная функция натурального числа — указать количество предметов.

Если запись числа совпадает с цифрой 0, то его называют «ноль». Напомним, что ноль — не натуральное число, но он может обозначать отсутствие. Ноль предметов значит — ни одного.

Однозначные, двузначные и трехзначные натуральные числа

Однозначное натуральное число — это такое число, в составе которого один знак, одна цифра. Девять однозначных натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Двузначные натуральные числа — те, в составе которых два знака, две цифры. Цифры могут повторяться или быть различными. Например: 88, 53, 70.

Если множество предметов состоит из девяти и еще одного, значит, речь идет об 1 десятке («один десяток») предметов. Если один десяток и еще один, значит, перед нами 2 десятка («два десятка») и так далее.

По сути, двузначное число — это набор однозначных чисел, где одно записывается справа, а другое слева. Число слева показывает количество десятков в составе натурального числа, а число справа — количество единиц. Всего двузначных натуральных чисел — 90.

Трехзначные натуральные числа — числа, в составе которых три знака, три цифры. Например: 666, 389, 702.

Одна сотня — это множество, состоящее из десяти десятков. Сотня и еще одна сотня — 2 сотни. Прибавим еще одну сотню — 3 сотни.

Вот как происходит запись трехзначного числа: натуральные числа записываются одно за другим слева направо.

Крайнее правое однозначное число указывает на количество единиц, следующее — на количество десятков, крайнее левое — на количество сотен. Цифра 0 показывает отсутствие единиц или десятков. Поэтому 506 — это 5 сотен, 0 десятков и 6 единиц.

Точно так же определяются четырехзначные, пятизначные, шестизначные и другие натуральные числа.

Многозначные натуральные числа

Многозначные натуральные числа состоят из двух и более знаков.

1 000 — это множество с десятью сотнями, 1 000 000 состоит из тысячи тысяч, а один миллиард — это тысяча миллионов. Тысяча миллионов, только представьте! То есть мы можем рассмотреть любое многозначное натуральное число как набор однозначных натуральных чисел.

Например, 2 873 206 содержит в себе: 6 единиц, 0 десятков, 2 сотни, 3 тысячи, 7 десятков тысяч, 8 сотен тысяч и 2 миллиона.

Свойства натуральных чисел

Об особенностях натуральных чисел мы уже знаем. А теперь подробно расскажем про их свойства:

Разряды натурального числа и значение разряда

Напомним, что от позиции, на которой стоит цифра в записи числа, зависит ее значение. Так, например, 1 123 содержит в себе: 3 единицы, 2 десятка, 1 сотню, 1 тысячу. При этом можно сформулировать иначе и сказать, что в заданном числе 1 123 цифра 3 располагается в разряде единиц, 2 в разряде десятков, 1 в разряде сотен и 1 служит значением разряда тысяч.

Разряд — это позиция, место расположения цифры в записи натурального числа.

У каждого разряда есть свое название. Слева всегда располагаются старшие разряды, а справа — младшие. Чтобы быстрее запомнить, можно использовать таблицу.

Количество разрядов всегда соответствует количеству знаков в числе. В этой таблице есть названия всех разрядов для числа, которое состоит из 15 знаков. У следующих разрядов также есть названия, но они используются крайне редко.

Низший (младший) разряд многозначного натурального числа — разряд единиц.

Высший (старший) разряд многозначного натурального числа — разряд, соответствующий крайней левой цифре в заданном числе.

Вы наверняка заметили, что в учебниках часто ставят небольшие пробелы при записи многозначных чисел. Так делают, чтобы натуральные числа было удобно читать. А еще — чтобы визуально разделить разные классы чисел.

Класс — это группа разрядов, которая содержит в себе три разряда: единицы, десятки и сотни.

Десятичная система счисления

Люди в разные времена использовали разные методы записи чисел. И каждая система счисления имеет свои правила и особенности.

Десятичная система счисления — самая распространенная система счисления, в которой для записи чисел используют десять знаков: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

В десятичной системе значение одной и той же цифры зависит от ее позиции в записи числа. Например, число 555 состоит из трех одинаковых цифр. В этом числе первая слева цифра означает пять сотен, вторая — пять десятков, а третья — пять единиц. Так как значение цифры зависит от ее позиции, десятичную систему счисления называют позиционной.

Вопрос для самопроверки

Сколько натуральных чисел можно отметить на координатном луче между точками с координатами:

1. 0 и 15;

2. 20 и 50;

3. 100 и 130?

Из большого количества разнообразных множеств особо интересными и важными являются числовые множества, т.е. те множества, элементами которых служат числа. Очевидно, что для работы с числовыми множествами необходимо иметь навык записи их, а также изображения их на координатной прямой.

Запись числовых множеств

Общепринятым обозначением любых множеств являются заглавные буквы латиницы. Числовые множества – не исключение. К примеру, мы можем говорить о числовых множествах B, F или S и т.п. Однако есть также общепринятая маркировка числовых множеств в зависимости от входящих в него элементов:

N – множество всех натуральных чисел; Z – множество целых чисел; Q – множество рациональных чисел; J – множество иррациональных чисел; R – множество действительных чисел; C – множество комплексных чисел.

Становится понятным, что обозначение, например, множества, состоящего из двух чисел: -3, 8 буквой J может ввести в заблуждение, поскольку этой буквой маркируется множество иррациональных чисел. Поэтому для обозначения множества -3, 8 более подходящим будет использование какой-то нейтральной буквы: A или B, например.

Напомним также следующие обозначения:

• ∅ – пустое множество или множество, не имеющее составных элементов;
• ∈ или ∉ — знак принадлежности или непринадлежности элемента множеству. Например, запись 5 ∈ N обозначает, что число 5 является частью множества всех натуральных чисел. Запись -7,1 ∈ Z отражает тот факт, что число -7,1 не является элементом множества Z, т.к. Z– множество целых чисел;
• знаки принадлежности множества множеству:
  ⊂ или ⊃ — знаки «включено» или «включает» соответственно. Например, запись A⊂Z означает, что все элементы множества А входят в множество Z, т.е. числовое множество A включено в множество Z. Или наоборот, запись Z⊃A пояснит, что множество всех целых чисел Z включает множество A.
  ⊆ или ⊇ — знаки так называемого нестрогого включения. Означают «включено или совпадает» и «включает или совпадает» соответственно.

Рассмотрим теперь схему описания числовых множеств на примере основных стандартных случаев, наиболее часто используемых на практике.

Первыми рассмотрим числовые множества, содержащие конечное и небольшое количество элементов. Описание подобного множества удобно составлять, просто перечисляя все его элементы. Элементы в виде чисел записываются, разделяясь запятой, и заключаются в фигурные скобки (что соответствует общим правилам описания множеств). К примеру, множество из чисел 8, -17, 0,15 запишем как {8, -17, 0,15}.

Случается, что количество элементов множества достаточно велико, но все они подчиняются определенной закономерности: тогда в описании множества используют многоточие. К примеру, множество всех четных чисел от 2 до 88 запишем как: {2, 4, 6, 8, …, 88}.

Теперь поговорим об описании числовых множеств, в которых количество элементов бесконечно. Иногда их описывают при помощи того же многоточия. Например, множество всех натуральных чисел запишем так: N = {1, 2, 3, …}.

Также возможно записать числовое множество с бесконечным количеством элементов при помощи указания свойств его элементов. Применяют при этом обозначение {х| свойства}. К примеру, {n| 8·n + 3, n∈N} определяет множество натуральных чисел, которые при делении на 8 дадут остаток 3. Это же множество возможно записать как: {11, 19, 27, …}.

В частных случаях числовые множества с бесконечным количеством элементов – это общеизвестные множества N, Z, R и т.д., либо числовые промежутки. Но в основном числовые множества представляют собой объединение составляющих их числовых промежутков и числовых множеств с конечным количеством элементов (о них мы говорили в самом начале статьи).

Рассмотрим на примере. Допустим, составляющими некого числового множества являются числа -15, -8, -7,34, 0, а также все числа отрезка [-6, -1,2] и числа открытого числового луча (6, +∞). В соответствии с определением объединения множеств заданное числовое множество запишем как: {-15, -8, -7,34}∪[-6, -1,2]∪{0}∪(6, +∞). Подобная запись фактически означает множество, включающее в себя все элементы множеств {-15, -8, -7,34, 0}, [-6, -1,2] и (6, +∞).

Таким же образом, объединяя различные числовые промежутки и множества отдельных чисел, возможно дать описание любому числовому множеству, состоящему из действительных чисел. На основе сказанного становится понятно, для чего вводятся различные виды числовых промежутков, такие как интервал, полуинтервал, отрезок, открытый числовой луч и числовой луч. Все эти виды промежутков совместно с обозначениями множеств отдельных чисел дают возможность через их объединение описать любое числовое множество.

Необходимо также обратить внимание на то, что отдельные числа и числовые промежутки при записи множества могут быть упорядочены по возрастанию. В общем, это не является обязательным требованием, однако подобное упорядочивание позволяет представить числовое множество проще, а также верно отобразить его на координатной прямой. Также стоит уточнить, что в таких записях не применяют числовые промежутки с общими элементами, поскольку эти записи возможно заменить объединением числовых промежутков, исключив общие элементы. К примеру, объединением числовых множеств с общими элементами [-15, 0] и (-6,4) будет полуинтервал [-15, 4). То же имеет отношение и к объединению числовых промежутков с одинаковыми граничными числами. Например, объединение (4, 7]∪(7, 9] является множеством (4, 9]. Этот пункт подробно будет рассмотрен в теме нахождения пересечения и объединения числовых множеств.

Изображение числовых множеств на координатной прямой

В практических примерах удобно использовать геометрическое толкование числовых множеств – их изображение на координатной прямой. К примеру, такой способ поможет при решении неравенств, в которых нужно учесть ОДЗ – когда нужно отобразить числовые множества, чтобы определить их объединение и/или пересечение.

Мы знаем, что между точками координатной прямой и действительными числами имеется однозначное соответствие: вся координатная прямая есть геометрическая модель множества всех действительных чисел R. Следовательно, для изображения множества всех действительных чисел начертим координатную прямую и нанесем штриховку на всем ее протяжении:

Зачастую и не указывают начало отсчета и единичный отрезок:

Рассмотрим изображение числовых множеств, состоящих из конечного количества отдельных чисел. К примеру, отобразим числовое множество {-2, -0,5, 1,2}. Геометрической моделью заданного множества станут три точки координатной прямой с соответствующими координатами:

В большинстве случаев возможно не соблюдать абсолютную точность чертежа: вполне достаточно схематичного изображения без соблюдения масштаба, но с сохранением взаимного расположения точек относительно друг друга, т.е. любая точка с бОльшей координатой должна быть правее точки с меньшей. С учётом сказанного уже имеющийся чертеж может выглядеть так:

Отдельно из возможных числовых множеств выделяют числовые промежутки интервалы, полуинтервалы, лучи и пр.)

Теперь рассмотрим принцип изображения числовых множеств, являющихся объединением нескольких числовых промежутков и множеств, состоящих их отдельных чисел. В этом нет никакой сложности: согласно определению объединения на координатной прямой необходимо отобразить все составляющие множества заданного числового множества. Например, создадим иллюстрацию числового множества (-∞, -15)∪{-10}∪[-3, 1)∪{log25, 5}∪(17, +∞).

Также довольно распространены случаи, когда числовое множество, которое необходимо изобразить, включает в себя все множество действительных чисел кроме одной или нескольких точек. Подобные множества часто задаются условиями вроде х ≠ 5 или х ≠ -1 и т.п. В таких случаях множества в своей геометрической модели являются всей координатной прямой за исключением заданных точек. Общепринято говорить, что эти точки необходимо «выколоть» из координатной прямой. Изображается выколотая точка кружочком с пустым центром. Чтобы подкрепить сказанное практическим примером, отобразим на координатной прямой множество с заданным условием х ≠ -2 и х ≠ 3:

Информация, приведенная в данной статье, призвана помочь получить навык видеть запись и изображение числовых множеств так же легко, как и отдельных числовых промежутков. В идеале записанное числовое множество сразу должно представляться в виде геометрического образа на координатной прямой. И наоборот: по изображению должно с легкостью формироваться соответствующее числовое множество через объединение числовых промежутков и множеств, являющихся отдельными числами.

Первое
числовое множество, с которым сталкиваются
учащиеся еще на­чальных классов —
множество натуральных чисел. В математике
существует два способа его построения.
Количественные
натуральные числа ото­ждествляются
с мощностью непустого конечного множества
(построение по Кан­тору), порядковые
натуральные
числа построены на основе аксиом Пеано:

Натуральным
числом называются элементы непустого
конечного множе­ства N,
в котором существует отношение
«непосредственно следует за» и
вы­полняются аксиомы:

1.
Существует натуральное число единица,
не следующее ни за каким нату­ральным
числом.

2. За
каждым натуральным числом следует одно
и только одно натураль­ное число.

3.
Всякое натуральное число, кроме единицы,
следует за одним и только од­ним
натуральным числом.

4.
Пусть М подмножество множества N. Если
1
,
и из допущения, что натуральное число
пМ следует, что М принадлежит и п (число,
непосредст­венно следующее за п), тоM
N.

В
школьном курсе математики на
наглядно-интуитивной основе представле­ны
оба эти способа: каждое новое число
появляется из анализа количества
предме­тов, представленных на рисунках,
а далее довольно четко выясняется и
упорядо­ченность, и дискретность
множества натуральных чисел.

Термин
«натуральное число» ввел римский автор
Боэций (475 – 524). Систематическое изучение
натуральных чисел начинается в 5-м
классе. Ос­новная цель темы «Натуральные
числа» — обобщение и закрепление тех
сведений о множестве натуральных чисел,
которые получены учащимися еще в
начальной школе. Особое внимание
уделяется позиционной записи любого
натурального чи­сла, выполнению
поразрядного сравнения натуральных
чисел. Вводятся символы = , >, <.

При
изучении арифметических операций над
натуральными числами учите­лю
необходимо достаточно отчетливо
представлять себе различие
в требованиях к технике вычислений, к
обоснованию этой техники и теории
операций. К
технике вычислений
надо предъявлять самые жесткие требования
— это основа (фундамент) всей вычислительной
культуры учащихся. Твердого обоснования
техники выпол­нения операций требовать
не следует. Достаточно, если учащиеся
будут выпол­нять эти операции и
пользоваться их свойствами («на» —
сложение или вычитание, «в» — умножение
или деление). Наиболее дифференцированно
приходится подхо­дить к теории
самих операций.

Понятие
сложения вообще
не определяется и считается интуитивно
ясным из опы­та предшествующего
обучения. Хотя понятие вычитания
тоже
интуитивно ясно учащимся, но относительно
него вводится строгое
определение, которое
остается неизменным для всех числовых
и даже нечисловых множеств (вычесть из
числа а
число в
— это значит найти такое число с, которое,
будучи сложенным с числом в,
даст число а).
Операция умножения
вводится
специальным
определением, спра­ведливым
лишь на множестве

N ( а *
в = а+а+…+а).
Деление
опять
строго определяется ( а:в = с <=> с*в =
а).

в
раз

Хотя
глава и называется «Натуральные числа»,
фактически же в ней изуча­ются целые
неотрицательные числа. И здесь ученики
должны твердо усвоить двоя­кий смысл
термина «нуль» (нуль — цифра и нуль —
число). Поэтому необходимо научиться
оперировать с нулем : 0+а = а; а+0 = а; 0*а =
0; а*0 = 0; 0:а = 0; обосно­вание невозможности
деления на нуль в учебнике Н.Я. Виленкина
проводится на основании определения
операции деления: а:0 = х <=> х*0 = а, что
неверно, 0:0 = х <=> х*0 = 0, но в качестве
х можно взять любое число.

Лучшему
усвоению учащимися множества натуральных
чисел способствует изучение некоторых
вопросов делимости. По отношению
делимости на данное на­туральное
число n
множество N разбивается на два
непересекающихся класса: на­туральные
числа, делящиеся на n
и натуральные числа, не делящиеся на n.
По чис­лу делителей — {простые},
{составные}, {1}. Рассматриваются признаки
делимости на 2, 3, 5, 9, 10 и деление с остатком.

В результате
изучения натуральных чисел у учащихся
на наглядно-интуитивной основе должно
быть сформировано:

1. знание
   свойств натуральных чисел (множество
   N — бесконечно, дискретно, упорядоченно,
   ограничено снизу);

2. понимание
   того факта, что операция умножения на
   N не определяется;

3. определение
   операции
   вычитание,
   умножение и деление;

4. умение работать
   с числами 0 и 1.

Теоретический
материал в учебниках излагается в виде
фрагментов, а затем идет решение задач
и примеров.

В учебнике 5-го
класса приводятся определения следующих
понятий:

— натуральное
число, десятичная запись числа, миллиард,

— координатный
луч,

— сумма, разность,
произведение двух натуральных чисел,

— числовое выражение,

—
делитель числа, кратные числа,

— совершенное
число, простое число, дружественные
числа.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

  06.02.2015107.01 Кб4ТП.doc

This article is about «positive integers» and «non-negative integers». For all the numbers …, −2, −1, 0, 1, 2, …, see Integer.

In mathematics, the natural numbers are those numbers used for counting (as in «there are six coins on the table») and ordering (as in «this is the third largest city in the country»).
Numbers used for counting are called cardinal numbers, and numbers used for ordering are called ordinal numbers. Natural numbers are sometimes used as labels, known as nominal numbers, having none of the properties of numbers in a mathematical sense (e.g. sports jersey numbers).^[1][2]

Some definitions, including the standard ISO 80000-2,^[3][a] begin the natural numbers with 0, corresponding to the non-negative integers 0, 1, 2, 3, …, whereas others start with 1, corresponding to the positive integers 1, 2, 3, …^[4][b] Texts that exclude zero from the natural numbers sometimes refer to the natural numbers together with zero as the whole numbers, while in other writings, that term is used instead for the integers (including negative integers).^[5]

The natural numbers form a set. Many other number sets are built by successively extending the set of natural numbers: the integers, by including an additive identity 0 (if not yet in) and an additive inverse −n for each nonzero natural number n; the rational numbers, by including a multiplicative inverse for each nonzero integer n (and also the product of these inverses by integers); the real numbers by including the limits of (converging) Cauchy sequences of rationals; the complex numbers, by adjoining to the real numbers a square root of −1 (and also the sums and products thereof); and so on.^[c][d] This chain of extensions canonically embeds the natural numbers in the other number systems.

Properties of the natural numbers, such as divisibility and the distribution of prime numbers, are studied in number theory. Problems concerning counting and ordering, such as partitioning and enumerations, are studied in combinatorics.

In common language, particularly in primary school education, natural numbers may be called counting numbers^[6] to intuitively exclude the negative integers and zero, and also to contrast the discreteness of counting to the continuity of measurement—a hallmark characteristic of real numbers.

History[edit]

Ancient roots[edit]

The most primitive method of representing a natural number is to put down a mark for each object. Later, a set of objects could be tested for equality, excess or shortage—by striking out a mark and removing an object from the set.

The first major advance in abstraction was the use of numerals to represent numbers. This allowed systems to be developed for recording large numbers. The ancient Egyptians developed a powerful system of numerals with distinct hieroglyphs for 1, 10, and all powers of 10 up to over 1 million. A stone carving from Karnak, dating back from around 1500 BCE and now at the Louvre in Paris, depicts 276 as 2 hundreds, 7 tens, and 6 ones; and similarly for the number 4,622. The Babylonians had a place-value system based essentially on the numerals for 1 and 10, using base sixty, so that the symbol for sixty was the same as the symbol for one—its value being determined from context.^[10]

A much later advance was the development of the idea that 0 can be considered as a number, with its own numeral. The use of a 0 digit in place-value notation (within other numbers) dates back as early as 700 BCE by the Babylonians, who omitted such a digit when it would have been the last symbol in the number.^[e] The Olmec and Maya civilizations used 0 as a separate number as early as the 1st century BCE, but this usage did not spread beyond Mesoamerica.^[12][13] The use of a numeral 0 in modern times originated with the Indian mathematician Brahmagupta in 628 CE. However, 0 had been used as a number in the medieval computus (the calculation of the date of Easter), beginning with Dionysius Exiguus in 525 CE, without being denoted by a numeral. Standard Roman numerals do not have a symbol for 0; instead, nulla (or the genitive form nullae) from nullus, the Latin word for «none», was employed to denote a 0 value.^[14]

The first systematic study of numbers as abstractions is usually credited to the Greek philosophers Pythagoras and Archimedes. Some Greek mathematicians treated the number 1 differently than larger numbers, sometimes even not as a number at all.^[f] Euclid, for example, defined a unit first and then a number as a multitude of units, thus by his definition, a unit is not a number and there are no unique numbers (e.g., any two units from indefinitely many units is a 2).^[16]

Independent studies on numbers also occurred at around the same time in India, China, and Mesoamerica.^[17]

Modern definitions[edit]

In 19th century Europe, there was mathematical and philosophical discussion about the exact nature of the natural numbers. Henri Poincaré stated that axioms can only be demonstrated in their finite application, and concluded that it is «the power of the mind» which allows conceiving of the indefinite repetition of the same act.^[18] Leopold Kronecker summarized his belief as «God made the integers, all else is the work of man».^[g]

The constructivists saw a need to improve upon the logical rigor in the foundations of mathematics.^[h] In the 1860s, Hermann Grassmann suggested a recursive definition for natural numbers, thus stating they were not really natural—but a consequence of definitions. Later, two classes of such formal definitions were constructed; later still, they were shown to be equivalent in most practical applications.

Set-theoretical definitions of natural numbers were initiated by Frege. He initially defined a natural number as the class of all sets that are in one-to-one correspondence with a particular set. However, this definition turned out to lead to paradoxes, including Russell’s paradox. To avoid such paradoxes, the formalism was modified so that a natural number is defined as a particular set, and any set that can be put into one-to-one correspondence with that set is said to have that number of elements.^[21]

The second class of definitions was introduced by Charles Sanders Peirce, refined by Richard Dedekind, and further explored by Giuseppe Peano; this approach is now called Peano arithmetic. It is based on an axiomatization of the properties of ordinal numbers: each natural number has a successor and every non-zero natural number has a unique predecessor. Peano arithmetic is equiconsistent with several weak systems of set theory. One such system is ZFC with the axiom of infinity replaced by its negation. Theorems that can be proved in ZFC but cannot be proved using the Peano Axioms include Goodstein’s theorem.^[22]

With all these definitions, it is convenient to include 0 (corresponding to the empty set) as a natural number. Including 0 is now the common convention among set theorists^[23] and logicians.^[24] Other mathematicians also include 0,^[a] and computer languages often start from zero when enumerating items like loop counters and string- or array-elements.^[25][26] On the other hand, many mathematicians have kept the older tradition to take 1 to be the first natural number.^[27]

Notation[edit]

The set of all natural numbers is standardly denoted N or ^[1][28] Older texts have occasionally employed J as the symbol for this set.^[29]

Since natural numbers may contain 0 or not, it may be important to know which version is referred to. This is often specified by the context, but may also be done by using a subscript or a superscript in the notation, such as:^[3][30]

Alternatively, since the natural numbers naturally form a subset of the integers (often denoted ), they may be referred to as the positive, or the non-negative integers, respectively.^[31] To be unambiguous about whether 0 is included or not, sometimes a subscript (or superscript) «0» is added in the former case, and a superscript «*» is added in the latter case:^[3]

Properties[edit]

Addition[edit]

Given the set of natural numbers and the successor function sending each natural number to the next one, one can define addition of natural numbers recursively by setting a + 0 = a and a + S(b) = S(a + b) for all a, b. Then is a commutative monoid with identity element 0. It is a free monoid on one generator. This commutative monoid satisfies the cancellation property, so it can be embedded in a group. The smallest group containing the natural numbers is the integers.

If 1 is defined as S(0), then b + 1 = b + S(0) = S(b + 0) = S(b). That is, b + 1 is simply the successor of b.

Multiplication[edit]

Analogously, given that addition has been defined, a multiplication operator can be defined via a × 0 = 0 and a × S(b) = (a × b) + a. This turns into a free commutative monoid with identity element 1; a generator set for this monoid is the set of prime numbers.

Relationship between addition and multiplication[edit]

Addition and multiplication are compatible, which is expressed in the distribution law: a × (b + c) = (a × b) + (a × c). These properties of addition and multiplication make the natural numbers an instance of a commutative semiring. Semirings are an algebraic generalization of the natural numbers where multiplication is not necessarily commutative. The lack of additive inverses, which is equivalent to the fact that is not closed under subtraction (that is, subtracting one natural from another does not always result in another natural), means that is not a ring; instead it is a semiring (also known as a rig).

If the natural numbers are taken as «excluding 0», and «starting at 1», the definitions of + and × are as above, except that they begin with a + 1 = S(a) and a × 1 = a. Furthermore, has no identity element.

Order[edit]

In this section, juxtaposed variables such as ab indicate the product a × b,^[32] and the standard order of operations is assumed.

A total order on the natural numbers is defined by letting a ≤ b if and only if there exists another natural number c where a + c = b. This order is compatible with the arithmetical operations in the following sense: if a, b and c are natural numbers and a ≤ b, then a + c ≤ b + c and ac ≤ bc.

An important property of the natural numbers is that they are well-ordered: every non-empty set of natural numbers has a least element. The rank among well-ordered sets is expressed by an ordinal number; for the natural numbers, this is denoted as ω (omega).

Division[edit]

In this section, juxtaposed variables such as ab indicate the product a × b, and the standard order of operations is assumed.

While it is in general not possible to divide one natural number by another and get a natural number as result, the procedure of division with remainder or Euclidean division is available as a substitute: for any two natural numbers a and b with b ≠ 0 there are natural numbers q and r such that

The number q is called the quotient and r is called the remainder of the division of a by b. The numbers q and r are uniquely determined by a and b. This Euclidean division is key to the several other properties (divisibility), algorithms (such as the Euclidean algorithm), and ideas in number theory.

Algebraic properties satisfied by the natural numbers[edit]

The addition (+) and multiplication (×) operations on natural numbers as defined above have several algebraic properties:

• Closure under addition and multiplication: for all natural numbers a and b, both a + b and a × b are natural numbers.^[33]
• Associativity: for all natural numbers a, b, and c, a + (b + c) = (a + b) + c and a × (b × c) = (a × b) × c.^[34]
• Commutativity: for all natural numbers a and b, a + b = b + a and a × b = b × a.^[35]
• Existence of identity elements: for every natural number a, a + 0 = a and a × 1 = a.
  • If the natural numbers are taken as «excluding 0», and «starting at 1», then for every natural number a, a × 1 = a. However, the «existence of additive identity element» property is not satisfied
• Distributivity of multiplication over addition for all natural numbers a, b, and c, a × (b + c) = (a × b) + (a × c).
• No nonzero zero divisors: if a and b are natural numbers such that a × b = 0, then a = 0 or b = 0 (or both).
  • If the natural numbers are taken as «excluding 0», and «starting at 1», the «no nonzero zero divisors» property is not satisfied.

Generalizations[edit]

Two important generalizations of natural numbers arise from the two uses of counting and ordering: cardinal numbers and ordinal numbers.

• A natural number can be used to express the size of a finite set; more precisely, a cardinal number is a measure for the size of a set, which is even suitable for infinite sets. This concept of «size» relies on maps between sets, such that two sets have the same size, exactly if there exists a bijection between them. The set of natural numbers itself, and any bijective image of it, is said to be countably infinite and to have cardinality aleph-null (ℵ₀).
• Natural numbers are also used as linguistic ordinal numbers: «first», «second», «third», and so forth. This way they can be assigned to the elements of a totally ordered finite set, and also to the elements of any well-ordered countably infinite set. This assignment can be generalized to general well-orderings with a cardinality beyond countability, to yield the ordinal numbers. An ordinal number may also be used to describe the notion of «size» for a well-ordered set, in a sense different from cardinality: if there is an order isomorphism (more than a bijection!) between two well-ordered sets, they have the same ordinal number. The first ordinal number that is not a natural number is expressed as ω; this is also the ordinal number of the set of natural numbers itself.

The least ordinal of cardinality ℵ₀ (that is, the initial ordinal of ℵ₀) is ω but many well-ordered sets with cardinal number ℵ₀ have an ordinal number greater than ω.

For finite well-ordered sets, there is a one-to-one correspondence between ordinal and cardinal numbers; therefore they can both be expressed by the same natural number, the number of elements of the set. This number can also be used to describe the position of an element in a larger finite, or an infinite, sequence.

A countable non-standard model of arithmetic satisfying the Peano Arithmetic (that is, the first-order Peano axioms) was developed by Skolem in 1933. The hypernatural numbers are an uncountable model that can be constructed from the ordinary natural numbers via the ultrapower construction.

Georges Reeb used to claim provocatively that «The naïve integers don’t fill up» . Other generalizations are discussed in the article on numbers.

Formal definitions[edit]

There are two standard methods for formally defining natural numbers. The first one, due to Giuseppe Peano, consists of an autonomous axiomatic theory called Peano arithmetic, based on few axioms called Peano axioms.

The second definition is based on set theory. It defines the natural numbers as specific sets. More precisely, each natural number n is defined as an explicitly defined set, whose elements allow counting the elements of other sets, in the sense that the sentence «a set S has n elements» means that there exists a one to one correspondence between the two sets n and S.

The sets used to define natural numbers satisfy Peano axioms. It follows that every theorem that can be stated and proved in Peano arithmetic can also be proved in set theory. However, the two definitions are not equivalent, as there are theorems that can be stated in terms of Peano arithmetic and proved in set theory, which are not provable inside Peano arithmetic. A probable example is Fermat’s Last Theorem.

The definition of the integers as sets satisfying Peano axioms provide a model of Peano arithmetic inside set theory. An important consequence is that, if set theory is consistent (as it is usually guessed), then Peano arithmetic is consistent. In other words, if a contradiction could be proved in Peano arithmetic, then set theory would by contradictory, and every theorem of set theory would be both true and wrong.

Peano axioms[edit]

The five Peano axioms are the following:^[36][i]

1. 0 is a natural number.
2. Every natural number has a successor which is also a natural number.
3. 0 is not the successor of any natural number.
4. If the successor of equals the successor of , then equals .
5. The axiom of induction: If a statement is true of 0, and if the truth of that statement for a number implies its truth for the successor of that number, then the statement is true for every natural number.

These are not the original axioms published by Peano, but are named in his honor. Some forms of the Peano axioms have 1 in place of 0. In ordinary arithmetic, the successor of is .

Set-theoretic definition[edit]

Intuitively, the natural number n is the common property of all sets that have n elements. So, it seems natural to define n as an equivalence class under the relation «can be made in one to one correspondence». Unfortunately, this does not work in set theory, as such an equivalence class would not be a set (because of Russell’s paradox). The standard solution is to define a particular set with n elements that will be called the natural number n.

The following definition was first published by John von Neumann,^[37] although Levy attributes the idea to unpublished work of Zermelo in 1916.^[38] As this definition extends to infinite set as a definition of ordinal number, the sets considered below are sometimes called von Neumann ordinals.

The definition proceeds as follows:

• Call 0 = { }, the empty set.
• Define the successor S(a) of any set a by S(a) = a ∪ {a}.
• By the axiom of infinity, there exist sets which contain 0 and are closed under the successor function. Such sets are said to be inductive. The intersection of all inductive sets is still an inductive set.
• This intersection is the set of the natural numbers.

It follows that the natural numbers are defined iteratively as follows:

• 0 = { },
• 1 = 0 ∪ {0} = {0} = {{ }},
• 2 = 1 ∪ {1} = {0, 1} = {{ }, {{ }}},
• 3 = 2 ∪ {2} = {0, 1, 2} = {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}},
• n = n−1 ∪ {n−1} = {0, 1, …, n−1} = {{ }, {{ }}, …, {{ }, {{ }}, …}},
• etc.

It can be checked that the natural numbers satisfies the Peano axioms.

With this definition, given a natural number n, the sentence «a set S has n elements» can be formally defined as «there exists a bijection from n to S. This formalizes the operation of counting the elements of S. Also, n ≤ m if and only if n is a subset of m. In other words, the set inclusion defines the usual total order on the natural numbers. This order is a well-order.

It follows from the definition that each natural number is equal to the set of all natural numbers less than it. This definition, can be extended to the von Neumann definition of ordinals for defining all ordinal numbers, including the infinite ones: «each ordinal is the well-ordered set of all smaller ordinals.»

If one does not accept the axiom of infinity, the natural numbers may not form a set. Nevertheless, the natural numbers can still be individually defined as above, and they still satisfy the Peano axioms.

There are other set theoretical constructions. In particular, Ernst Zermelo provided a construction that is nowadays only of historical interest, and is sometimes referred to as Zermelo ordinals.^[38] It consists in defining 0 as the empty set, and S(a) = {a}.

With this definition each natural number is a singleton set. So, the property of the natural numbers to represent cardinalities is not directly accessible; only the ordinal property (being the nth element of a sequence) is immediate. Unlike von Neumann’s construction, the Zermelo ordinals do not extend to infinite ordinals.

See also[edit]

• Canonical representation of a positive integer – Representation of a number as a product of primes
• Countable set – Mathematical set that can be enumerated
• Sequence – Function of the natural numbers in another set
• Ordinal number – Generalization of «n-th» to infinite cases
• Cardinal number – Size of a possibly infinite set
• Set-theoretic definition of natural numbers – constructions of the whole numbers from sets

Notes[edit]

References[edit]

Bibliography[edit]

External links[edit]

• «Natural number», Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• «Axioms and construction of natural numbers». apronus.com.

This article is about «positive integers» and «non-negative integers». For all the numbers …, −2, −1, 0, 1, 2, …, see Integer.

In mathematics, the natural numbers are those numbers used for counting (as in «there are six coins on the table») and ordering (as in «this is the third largest city in the country»).
Numbers used for counting are called cardinal numbers, and numbers used for ordering are called ordinal numbers. Natural numbers are sometimes used as labels, known as nominal numbers, having none of the properties of numbers in a mathematical sense (e.g. sports jersey numbers).^[1][2]

Some definitions, including the standard ISO 80000-2,^[3][a] begin the natural numbers with 0, corresponding to the non-negative integers 0, 1, 2, 3, …, whereas others start with 1, corresponding to the positive integers 1, 2, 3, …^[4][b] Texts that exclude zero from the natural numbers sometimes refer to the natural numbers together with zero as the whole numbers, while in other writings, that term is used instead for the integers (including negative integers).^[5]

The natural numbers form a set. Many other number sets are built by successively extending the set of natural numbers: the integers, by including an additive identity 0 (if not yet in) and an additive inverse −n for each nonzero natural number n; the rational numbers, by including a multiplicative inverse for each nonzero integer n (and also the product of these inverses by integers); the real numbers by including the limits of (converging) Cauchy sequences of rationals; the complex numbers, by adjoining to the real numbers a square root of −1 (and also the sums and products thereof); and so on.^[c][d] This chain of extensions canonically embeds the natural numbers in the other number systems.

Properties of the natural numbers, such as divisibility and the distribution of prime numbers, are studied in number theory. Problems concerning counting and ordering, such as partitioning and enumerations, are studied in combinatorics.

In common language, particularly in primary school education, natural numbers may be called counting numbers^[6] to intuitively exclude the negative integers and zero, and also to contrast the discreteness of counting to the continuity of measurement—a hallmark characteristic of real numbers.

History[edit]

Ancient roots[edit]

The most primitive method of representing a natural number is to put down a mark for each object. Later, a set of objects could be tested for equality, excess or shortage—by striking out a mark and removing an object from the set.

The first major advance in abstraction was the use of numerals to represent numbers. This allowed systems to be developed for recording large numbers. The ancient Egyptians developed a powerful system of numerals with distinct hieroglyphs for 1, 10, and all powers of 10 up to over 1 million. A stone carving from Karnak, dating back from around 1500 BCE and now at the Louvre in Paris, depicts 276 as 2 hundreds, 7 tens, and 6 ones; and similarly for the number 4,622. The Babylonians had a place-value system based essentially on the numerals for 1 and 10, using base sixty, so that the symbol for sixty was the same as the symbol for one—its value being determined from context.^[10]

A much later advance was the development of the idea that 0 can be considered as a number, with its own numeral. The use of a 0 digit in place-value notation (within other numbers) dates back as early as 700 BCE by the Babylonians, who omitted such a digit when it would have been the last symbol in the number.^[e] The Olmec and Maya civilizations used 0 as a separate number as early as the 1st century BCE, but this usage did not spread beyond Mesoamerica.^[12][13] The use of a numeral 0 in modern times originated with the Indian mathematician Brahmagupta in 628 CE. However, 0 had been used as a number in the medieval computus (the calculation of the date of Easter), beginning with Dionysius Exiguus in 525 CE, without being denoted by a numeral. Standard Roman numerals do not have a symbol for 0; instead, nulla (or the genitive form nullae) from nullus, the Latin word for «none», was employed to denote a 0 value.^[14]

The first systematic study of numbers as abstractions is usually credited to the Greek philosophers Pythagoras and Archimedes. Some Greek mathematicians treated the number 1 differently than larger numbers, sometimes even not as a number at all.^[f] Euclid, for example, defined a unit first and then a number as a multitude of units, thus by his definition, a unit is not a number and there are no unique numbers (e.g., any two units from indefinitely many units is a 2).^[16]

Independent studies on numbers also occurred at around the same time in India, China, and Mesoamerica.^[17]

Modern definitions[edit]

In 19th century Europe, there was mathematical and philosophical discussion about the exact nature of the natural numbers. Henri Poincaré stated that axioms can only be demonstrated in their finite application, and concluded that it is «the power of the mind» which allows conceiving of the indefinite repetition of the same act.^[18] Leopold Kronecker summarized his belief as «God made the integers, all else is the work of man».^[g]

The constructivists saw a need to improve upon the logical rigor in the foundations of mathematics.^[h] In the 1860s, Hermann Grassmann suggested a recursive definition for natural numbers, thus stating they were not really natural—but a consequence of definitions. Later, two classes of such formal definitions were constructed; later still, they were shown to be equivalent in most practical applications.

Set-theoretical definitions of natural numbers were initiated by Frege. He initially defined a natural number as the class of all sets that are in one-to-one correspondence with a particular set. However, this definition turned out to lead to paradoxes, including Russell’s paradox. To avoid such paradoxes, the formalism was modified so that a natural number is defined as a particular set, and any set that can be put into one-to-one correspondence with that set is said to have that number of elements.^[21]

The second class of definitions was introduced by Charles Sanders Peirce, refined by Richard Dedekind, and further explored by Giuseppe Peano; this approach is now called Peano arithmetic. It is based on an axiomatization of the properties of ordinal numbers: each natural number has a successor and every non-zero natural number has a unique predecessor. Peano arithmetic is equiconsistent with several weak systems of set theory. One such system is ZFC with the axiom of infinity replaced by its negation. Theorems that can be proved in ZFC but cannot be proved using the Peano Axioms include Goodstein’s theorem.^[22]

With all these definitions, it is convenient to include 0 (corresponding to the empty set) as a natural number. Including 0 is now the common convention among set theorists^[23] and logicians.^[24] Other mathematicians also include 0,^[a] and computer languages often start from zero when enumerating items like loop counters and string- or array-elements.^[25][26] On the other hand, many mathematicians have kept the older tradition to take 1 to be the first natural number.^[27]

Notation[edit]

The set of all natural numbers is standardly denoted N or ^[1][28] Older texts have occasionally employed J as the symbol for this set.^[29]

Since natural numbers may contain 0 or not, it may be important to know which version is referred to. This is often specified by the context, but may also be done by using a subscript or a superscript in the notation, such as:^[3][30]

Alternatively, since the natural numbers naturally form a subset of the integers (often denoted ), they may be referred to as the positive, or the non-negative integers, respectively.^[31] To be unambiguous about whether 0 is included or not, sometimes a subscript (or superscript) «0» is added in the former case, and a superscript «*» is added in the latter case:^[3]

Properties[edit]

Addition[edit]

Given the set of natural numbers and the successor function sending each natural number to the next one, one can define addition of natural numbers recursively by setting a + 0 = a and a + S(b) = S(a + b) for all a, b. Then is a commutative monoid with identity element 0. It is a free monoid on one generator. This commutative monoid satisfies the cancellation property, so it can be embedded in a group. The smallest group containing the natural numbers is the integers.

If 1 is defined as S(0), then b + 1 = b + S(0) = S(b + 0) = S(b). That is, b + 1 is simply the successor of b.

Multiplication[edit]

Analogously, given that addition has been defined, a multiplication operator can be defined via a × 0 = 0 and a × S(b) = (a × b) + a. This turns into a free commutative monoid with identity element 1; a generator set for this monoid is the set of prime numbers.

Relationship between addition and multiplication[edit]

Addition and multiplication are compatible, which is expressed in the distribution law: a × (b + c) = (a × b) + (a × c). These properties of addition and multiplication make the natural numbers an instance of a commutative semiring. Semirings are an algebraic generalization of the natural numbers where multiplication is not necessarily commutative. The lack of additive inverses, which is equivalent to the fact that is not closed under subtraction (that is, subtracting one natural from another does not always result in another natural), means that is not a ring; instead it is a semiring (also known as a rig).

If the natural numbers are taken as «excluding 0», and «starting at 1», the definitions of + and × are as above, except that they begin with a + 1 = S(a) and a × 1 = a. Furthermore, has no identity element.

Order[edit]

In this section, juxtaposed variables such as ab indicate the product a × b,^[32] and the standard order of operations is assumed.

A total order on the natural numbers is defined by letting a ≤ b if and only if there exists another natural number c where a + c = b. This order is compatible with the arithmetical operations in the following sense: if a, b and c are natural numbers and a ≤ b, then a + c ≤ b + c and ac ≤ bc.

An important property of the natural numbers is that they are well-ordered: every non-empty set of natural numbers has a least element. The rank among well-ordered sets is expressed by an ordinal number; for the natural numbers, this is denoted as ω (omega).

Division[edit]

In this section, juxtaposed variables such as ab indicate the product a × b, and the standard order of operations is assumed.

While it is in general not possible to divide one natural number by another and get a natural number as result, the procedure of division with remainder or Euclidean division is available as a substitute: for any two natural numbers a and b with b ≠ 0 there are natural numbers q and r such that

The number q is called the quotient and r is called the remainder of the division of a by b. The numbers q and r are uniquely determined by a and b. This Euclidean division is key to the several other properties (divisibility), algorithms (such as the Euclidean algorithm), and ideas in number theory.

Algebraic properties satisfied by the natural numbers[edit]

The addition (+) and multiplication (×) operations on natural numbers as defined above have several algebraic properties:

• Closure under addition and multiplication: for all natural numbers a and b, both a + b and a × b are natural numbers.^[33]
• Associativity: for all natural numbers a, b, and c, a + (b + c) = (a + b) + c and a × (b × c) = (a × b) × c.^[34]
• Commutativity: for all natural numbers a and b, a + b = b + a and a × b = b × a.^[35]
• Existence of identity elements: for every natural number a, a + 0 = a and a × 1 = a.
  • If the natural numbers are taken as «excluding 0», and «starting at 1», then for every natural number a, a × 1 = a. However, the «existence of additive identity element» property is not satisfied
• Distributivity of multiplication over addition for all natural numbers a, b, and c, a × (b + c) = (a × b) + (a × c).
• No nonzero zero divisors: if a and b are natural numbers such that a × b = 0, then a = 0 or b = 0 (or both).
  • If the natural numbers are taken as «excluding 0», and «starting at 1», the «no nonzero zero divisors» property is not satisfied.

Generalizations[edit]

Two important generalizations of natural numbers arise from the two uses of counting and ordering: cardinal numbers and ordinal numbers.

• A natural number can be used to express the size of a finite set; more precisely, a cardinal number is a measure for the size of a set, which is even suitable for infinite sets. This concept of «size» relies on maps between sets, such that two sets have the same size, exactly if there exists a bijection between them. The set of natural numbers itself, and any bijective image of it, is said to be countably infinite and to have cardinality aleph-null (ℵ₀).
• Natural numbers are also used as linguistic ordinal numbers: «first», «second», «third», and so forth. This way they can be assigned to the elements of a totally ordered finite set, and also to the elements of any well-ordered countably infinite set. This assignment can be generalized to general well-orderings with a cardinality beyond countability, to yield the ordinal numbers. An ordinal number may also be used to describe the notion of «size» for a well-ordered set, in a sense different from cardinality: if there is an order isomorphism (more than a bijection!) between two well-ordered sets, they have the same ordinal number. The first ordinal number that is not a natural number is expressed as ω; this is also the ordinal number of the set of natural numbers itself.

The least ordinal of cardinality ℵ₀ (that is, the initial ordinal of ℵ₀) is ω but many well-ordered sets with cardinal number ℵ₀ have an ordinal number greater than ω.

For finite well-ordered sets, there is a one-to-one correspondence between ordinal and cardinal numbers; therefore they can both be expressed by the same natural number, the number of elements of the set. This number can also be used to describe the position of an element in a larger finite, or an infinite, sequence.

A countable non-standard model of arithmetic satisfying the Peano Arithmetic (that is, the first-order Peano axioms) was developed by Skolem in 1933. The hypernatural numbers are an uncountable model that can be constructed from the ordinary natural numbers via the ultrapower construction.

Georges Reeb used to claim provocatively that «The naïve integers don’t fill up» . Other generalizations are discussed in the article on numbers.

Formal definitions[edit]

There are two standard methods for formally defining natural numbers. The first one, due to Giuseppe Peano, consists of an autonomous axiomatic theory called Peano arithmetic, based on few axioms called Peano axioms.

The second definition is based on set theory. It defines the natural numbers as specific sets. More precisely, each natural number n is defined as an explicitly defined set, whose elements allow counting the elements of other sets, in the sense that the sentence «a set S has n elements» means that there exists a one to one correspondence between the two sets n and S.

The sets used to define natural numbers satisfy Peano axioms. It follows that every theorem that can be stated and proved in Peano arithmetic can also be proved in set theory. However, the two definitions are not equivalent, as there are theorems that can be stated in terms of Peano arithmetic and proved in set theory, which are not provable inside Peano arithmetic. A probable example is Fermat’s Last Theorem.

The definition of the integers as sets satisfying Peano axioms provide a model of Peano arithmetic inside set theory. An important consequence is that, if set theory is consistent (as it is usually guessed), then Peano arithmetic is consistent. In other words, if a contradiction could be proved in Peano arithmetic, then set theory would by contradictory, and every theorem of set theory would be both true and wrong.

Peano axioms[edit]

The five Peano axioms are the following:^[36][i]

1. 0 is a natural number.
2. Every natural number has a successor which is also a natural number.
3. 0 is not the successor of any natural number.
4. If the successor of equals the successor of , then equals .
5. The axiom of induction: If a statement is true of 0, and if the truth of that statement for a number implies its truth for the successor of that number, then the statement is true for every natural number.

These are not the original axioms published by Peano, but are named in his honor. Some forms of the Peano axioms have 1 in place of 0. In ordinary arithmetic, the successor of is .

Set-theoretic definition[edit]

Intuitively, the natural number n is the common property of all sets that have n elements. So, it seems natural to define n as an equivalence class under the relation «can be made in one to one correspondence». Unfortunately, this does not work in set theory, as such an equivalence class would not be a set (because of Russell’s paradox). The standard solution is to define a particular set with n elements that will be called the natural number n.

The following definition was first published by John von Neumann,^[37] although Levy attributes the idea to unpublished work of Zermelo in 1916.^[38] As this definition extends to infinite set as a definition of ordinal number, the sets considered below are sometimes called von Neumann ordinals.

The definition proceeds as follows:

• Call 0 = { }, the empty set.
• Define the successor S(a) of any set a by S(a) = a ∪ {a}.
• By the axiom of infinity, there exist sets which contain 0 and are closed under the successor function. Such sets are said to be inductive. The intersection of all inductive sets is still an inductive set.
• This intersection is the set of the natural numbers.

It follows that the natural numbers are defined iteratively as follows:

• 0 = { },
• 1 = 0 ∪ {0} = {0} = {{ }},
• 2 = 1 ∪ {1} = {0, 1} = {{ }, {{ }}},
• 3 = 2 ∪ {2} = {0, 1, 2} = {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}},
• n = n−1 ∪ {n−1} = {0, 1, …, n−1} = {{ }, {{ }}, …, {{ }, {{ }}, …}},
• etc.

It can be checked that the natural numbers satisfies the Peano axioms.

With this definition, given a natural number n, the sentence «a set S has n elements» can be formally defined as «there exists a bijection from n to S. This formalizes the operation of counting the elements of S. Also, n ≤ m if and only if n is a subset of m. In other words, the set inclusion defines the usual total order on the natural numbers. This order is a well-order.

It follows from the definition that each natural number is equal to the set of all natural numbers less than it. This definition, can be extended to the von Neumann definition of ordinals for defining all ordinal numbers, including the infinite ones: «each ordinal is the well-ordered set of all smaller ordinals.»

If one does not accept the axiom of infinity, the natural numbers may not form a set. Nevertheless, the natural numbers can still be individually defined as above, and they still satisfy the Peano axioms.

There are other set theoretical constructions. In particular, Ernst Zermelo provided a construction that is nowadays only of historical interest, and is sometimes referred to as Zermelo ordinals.^[38] It consists in defining 0 as the empty set, and S(a) = {a}.

With this definition each natural number is a singleton set. So, the property of the natural numbers to represent cardinalities is not directly accessible; only the ordinal property (being the nth element of a sequence) is immediate. Unlike von Neumann’s construction, the Zermelo ordinals do not extend to infinite ordinals.

See also[edit]

• Canonical representation of a positive integer – Representation of a number as a product of primes
• Countable set – Mathematical set that can be enumerated
• Sequence – Function of the natural numbers in another set
• Ordinal number – Generalization of «n-th» to infinite cases
• Cardinal number – Size of a possibly infinite set
• Set-theoretic definition of natural numbers – constructions of the whole numbers from sets

Notes[edit]

References[edit]

Bibliography[edit]

External links[edit]

• «Natural number», Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• «Axioms and construction of natural numbers». apronus.com.

История

Натуральные числа и различные системы для их обозначения использовались еще в древних цивилизациях: Древнем Междуречье, Древнем Египте, Древнем Китае, в племенах Майя. Понятие числа «ноль», по видимому, появилось позже понятия натуральных чисел в позднем Вавилоне и у Майя.

С развитием систем счисления определенные числа стали обозначать буквами алфавита. В современных системах счисления значение каждой цифры числа определяет ее место в записи числа. Первой такой системой счисления была вавилонская (шестидесятеричная) и индийская (десятичная).

Получи второе высшее онлайн

Обучение психологии, маркетингу, нутрициологии и работе в сфере кино

Выбрать программу

Вариантом индийской десятичной системой счисления является современная арабская система с тем различием, что в индийской системе отсутствовал ноль. Цифру $0$ придумали арабы, после чего система счисления приняла современный вид.

Для счисления времени используется шестидесятеричная система (за основу взято число $60$): $1$ час содержит $60$ минут, $1$ минута — $60$ секунд.

В работах математика Пьера де Ферма были положены основы теории чисел или высшей арифметики как отдельной науки, которая изучает чистые, формальные свойства натуральных чисел.

Натуральные числа. Множество натуральных чисел

Натуральные числа $1, 2, 3, dots$ используются для счёта (одна груша, две груши, три груши и т.д.) или для указания порядкового номера предмета среди ему подобных.

Натуральные числа принято записывать с помощью арабских цифр: $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$.

«Натуральные числа» 👇

Для определения натуральных чисел существует два подхода:

1. Числа, которые возникают при подсчете (нумерации) предметов (например, первый, второй и т.д.).

2. Числа, которые используют для обозначения количества предметов (нет стула, один стул, два стула и т.д.).

При первом подходе натуральный ряд начинается с единицы, при втором — с нуля.

Математики не пришли к единому выводу считать ли ноль натуральным числом. В большинстве российских источников традиционным является первый подход. Второй подход широко используется в программировании (например, при индексации массивов, нумерации битов машинного кода и т.д.).

При формулировке и доказательстве многих теорем арифметики натуральных чисел удобно использовать и ноль, поэтому при первом подходе применяется понятие расширенного множества натуральных чисел, которое содержит ноль и обозначается $N_0$ или $Z_0$.

Ноль как натуральное число

В русской литературе принято исключать нуль из числа натуральных чисел ($0notin N$), а множество натуральных чисел с нулём обозначают $N_0$.

В международной математической литературе множество $left{1, 2, 3, dots right}$ принято называть множеством положительных целых чисел и обозначать $Z+$. Множество $left{0, 1, 2, dots right}$ принято называть множеством неотрицательных целых чисел и обозначать $Z{ge 0}$.

Чтобы прочитать натуральное число, нужно выполнить следующие действия:

1. Разбить число справа налево на группы из $3$ цифр.

2. Прочитать слева направо по очереди группы из $3$ цифр и добавить название класса.

3. Название класса пропускают, если в группе цифр все нули.

Каждую цифру класса называют разрядом класса.

Меньшим натуральным числом является то, которое при проведении подсчета используется раньше. Например, число $9$ меньше $20$ (записывается $9 55$.

Аксиомы Пеано для натуральных чисел

Множество $N$ будем называть множеством натуральных чисел, если зафиксирован некоторый элемент единица $1in N$ и функция следования $S:Nto N$ так, что выполнены следующие условия:

1. $1in N$: единица является натуральным числом.

2. Если $xin N$, то $Sleft(xright)in N$: Если число — натуральное, то следующее число за ним тоже натуральное}.

3. $nexists xin N left(Sleft(xright)=1right)$: Не существует натурального числа, которое находится перед единицей}.

4. Если $Sleft(bright)=a$ и $Sleft(cright)=a$, тогда $b=c$: Если натуральное число $a$ следует за числом $b$ и за числом $c$, то $b=c$.

5. Аксиома индукции. Пусть $Pleft(nright)$ — некоторый одноместный предикат, который зависит от натурального числа $n$. Тогда:

Если $Pleft(1right)$ и $forall nleft(Pleft(nright)Longrightarrow Pleft(Sleft(nright)right)right)$, то $forall n Pleft(nright)$:

Если некоторое высказывание $P$ верно для $n=1$ и для любого $n$ из истинности $Pleft(nright)$ следует истинность $Pleft(n+1right)$, то $Pleft(nright)$ верно для любого натурального $n$.

Все аксиомы отражают представление о натуральном ряде и числовой линии.

Теоретико-множественное определение натуральных чисел (определение Фреге—Рассела)

По теории множеств единственным объектом конструирования любых математических систем является множество.

Таким образом, исходя из понятия множества натуральные числа вводятся по двум правилам:

• $0=emptyset $

• $Sleft(nright)=ncup left{nright}$

• Заданные таким образом числа называются порядковыми или ординальными.

Описываются первые порядковые числа и натуральные числа, которые им соответствуют, следующим образом:

• $0=emptyset $

• $1=left{0right}=left{emptyset right}$

• $2=left{0, 1right}=left{emptyset , left{emptyset right}right}$

• $3=left{0, 1, 2right}=left{emptyset , left{emptyset right}, left{emptyset , left{emptyset right}right}right}$