Как пишется момент инерции

Часто мы слышим выражения: «он инертный», «двигаться по инерции», «момент инерции». В переносном значении слово «инерция» может трактоваться как отсутствие инициативы и действий. Нас же интересует прямое значение.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Что такое инерция

Согласно определению инерция в физике – это способность тел сохранять состояние покоя или движения в отсутствие действия внешних сил.

Если с самим понятием инерции все понятно на интуитивном уровне, то момент инерции – отдельный вопрос. Согласитесь, сложно представить в уме, что это такое. В этой статье Вы научитесь решать базовые задачи на тему «Момент инерции».

Определение момента инерции

Из школьного курса известно, что масса – мера инертности тела. Если мы толкнем две тележки разной массы, то остановить сложнее будет ту, которая тяжелее. То есть чем больше масса, тем большее внешнее воздействие необходимо, чтобы изменить движение тела. Рассмотренное относится к поступательному движению, когда тележка из примера движется по прямой.

По аналогии с массой и поступательным движением момент инерции – это мера инертности тела при вращательном движении вокруг оси.

Момент инерции – скалярная физическая величина, мера инертности тела при вращении вокруг оси. Обозначается буквой J и в системе СИ измеряется в килограммах, умноженных на квадратный метр.

Как посчитать момент инерции? Есть общая формула, по которой в физике вычисляется момент инерции любого тела. Если тело разбить на бесконечно малые кусочки массой dm, то момент инерции будет равен сумме произведений этих элементарных масс на квадрат расстояния до оси вращения.

Это общая формула для момента инерции в физике. Для материальной точки массы m, вращающейся вокруг оси на расстоянии r от нее, данная формула принимает вид:

Теорема Штейнера

От чего зависит момент инерции? От массы, положения оси вращения, формы и размеров тела.

Теорема Гюйгенса-Штейнера – очень важная теорема, которую часто используют при решении задач.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Теорема Гюйгенса-Штейнера гласит:

Момент инерции тела относительно произвольной оси равняется сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно произвольной оси и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

Для тех, кто не хочет постоянно интегрировать при решении задач на нахождение момента инерции, приведем рисунок с указанием моментов инерции некоторых однородных тел, которые часто встречаются в задачах:

Пример решения задачи на нахождение момента инерции

Рассмотрим два примера. Первая задача – на нахождение момента инерции. Вторая задача – на использование теоремы Гюйгенса-Штейнера.

Задача 1. Найти момент инерции однородного диска массы m и радиуса R. Ось вращения проходит через центр диска.

Решение:

Разобьем диск на бесконечно тонкие кольца, радиус которых меняется от 0 до R и рассмотрим одно такое кольцо. Пусть его радиус – r, а масса – dm. Тогда момент инерции кольца:

Массу кольца можно представить в виде:

Здесь dz – высота кольца. Подставим массу в формулу для момента инерции и проинтегрируем:

В итоге получилась формула для момента инерции абсолютного тонкого диска или цилиндра.

Задача 2. Пусть опять есть диск массы m и радиуса R. Теперь нужно найти момент инерции диска относительно оси, проходящей через середину одного из его радиусов.

Решение:

Момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр масс, известен из предыдущей задачи. Применим теорему Штейнера и найдем:

Кстати, в нашем блоге Вы можете найти и другие полезные материалы по физике и решению задач.

Надеемся, что Вы найдете в статье что-то полезное для себя. Если в процессе расчета тензора инерции возникают трудности, не забывайте о студенческом сервисе. Наши специалисты проконсультируют по любому вопросу и помогут решить задачу в считанные минуты.

Когда тело продолжает двигаться при отсутствии на него воздействия каких-либо сил, говорят о проявлении инерции. Именно ею объясняются трудности удержаться на ногах при резком торможении автобуса или усидеть в седле велосипеда, когда под колеса резко выбегает кот. Кроме инерции, проявляющейся при движении тел по прямой, аналогичное явление бывает при вращении вокруг оси. В таком случае в физике говорят о моменте инерции – скалярной величине, измеряющей инертность тела при осевом вращении.

Момент инерции и его физический смысл

Обеспечить поступательное движение предмета при его толкании будет тем тяжелее, чем больше он весит. Аналогичные эксперименты предусматривались школьной программой и относились к прямо направленному действию.

Было понятно, что именно масса тела характеризует  степень его инертности и является ее мерой.

При совершении предметом вращательных движений наблюдается иной вид зависимости. В данном случае мерой инертности выступает момент инерции.

Момент инерции – скалярная измеряемая характеристика инертности тела в момент совершения осевого вращения.

Задачи по определению величины момента инерции решаются с помощью теоремы Гюйгенса-Штейнера, смысл которой заключается в следующем:

МИ для тела, вращающегося вокруг какой-либо оси, равна сумме слагаемых единиц: момент инерции предмета, который вращается вокруг оси, параллельной данной, и проходящей через центр масс, а также произведения массы на расстояние между осями, возведенное в квадрат.

В приведенной формуле используются следующие обозначения: d – расстояние между осями, m – масса тела, Iz – момент инерции относительно рассматриваемой оси, а Ic – относительно оси, которая проходит через центр масс. В профильной литературе и учебниках буква I может заменяться J.

Формулировка способа количественного измерения момента инерции при осевом вращении предмета стала возможной в результате работы двух ученых-математиков: Гюйгенса и Штейнера. Теорема дает возможность быстрого решения задач на определение инерции предмета любой формы, для которого уже просчитана центробежная сила. Формула Штейнера позволяет вычислить момент инерции этого предмета относительно выбранной оси, проходящей параллельно прямой, следующей через центр фигуры.

Единицы измерения в системе СИ

Единицей измерения момента инерции, принятой в системе СИ, является кг, умноженный на метр в квадрате — кг·м². В еще одной системе измерения (СГС) единицей измерения является грамм на квадратный сантиметр — г·см².

Как рассчитать момент инерции, формула

Измерение значения момента инерции можно произвести теоретически, согласно формуле. Для этого условно движущийся предмет разбивается на мелкие составляющие, масса которых обозначается  dm. В конечном итоге момент инерции (МИ) равняется сумме произведений всех образовавшихся масс на расстояние до оси, возведенное в квадрат.

Исходя из этой формулы, момент инерции, кроме массы тела, определяется положением оси, вокруг которой предмет вращается, а также его формой и габаритами.

Возможность рассчитать моменты инерции полезна, к примеру, при исследованиях свойств и структуры элементов Солнечной системы. Это так называемый безразмерный момент инерции. Высчитанная по формуле величина дает представление о распределении массы по глубине.

Виды моментов инерции

Кроме безразмерного момента инерции, в физике существуют понятия:

• центробежный МИ;
• главный МИ;
• геометрический МИ;
• МИ относительно плоскости;
• центральный МИ;
• тензор инерции;
• эллипсоид инерции.

Центробежными МИ относительно прямоугольных осей координат (декартовой системы) считаются Jxy, Jxz, Jyz. Ось ОХ является главной, когда центробежные моменты инерций Jxy и Jxz равняются нулям.

Любая точка тела может являться центром трех главных осей инерции. Они характеризуются взаимной перпендикулярностью. МИ относительно них считается главным для данного предмета. Главные оси, которые пролегают через центр масс, — являются главными центральными осями инерции предмета. МИ относительно них – главные центральные МИ. Для однородного тела ось симметрии всегда является главной центральной осью инерции.

Для геометрических МИ существуют формулы, основывающиеся на объеме относительно оси и площади относительно оси.

Твердое тело может иметь МИ относительно плоскости. Тогда это – скалярная величина, которая рассчитывается суммированием произведений массы каждой точки предмета и расстояния от нее до плоскости, возведенного в квадрат.

Понятие «Центрального МИ» связано с точкой О, МИ относительно полюса либо полярным МИ.

Момент инерции тела относительно оси вращения

МИ служит единицей измерения инерции тела, которое вращается вокруг оси, подобно тому, как масса является мерой при поступательном движении.

Определить МИ предметов касательно оси вращения позволяет формула Штейнера.

Пример:

Наглядное подтверждение применения формулы Штейнера – расчет МИ стержня, ось вращения которого проходит через конец.

Моменты инерции простейших объектов

Момент инерции некоторых однородных тел, имеющих простую форму, в зависимости от характеристик осей вращения можно определить по следующим формулам:

1. МИ точечного предмета либо полого цилиндра с тонкими стенками (с массой m и радиусом r) = mr²
2. МИ диска или сплошного цилиндра = 1/2 mr²
3. МИ цилиндра с толстыми стенками, у которого внешний радиус обозначен r₂, а внутренний – r₁, :
   В указанных случаях ось вращения является осью цилиндра.
4. МИ сплошного цилиндра с осью вращения, перпендикулярной образующей цилиндра, расположенной по центру масс:

5.  МИ полого цилиндра с тонкими стенками и осью, перпендикулярной к цилиндру и проходящей через центр масс:

6. МИ прямого тонкого стержня с осью, перпендикулярной к нему и проходящей через центр масс:

7. МИ сферы с тонкими стенками и осью по центру = 2/3 mr²
8. МИ шара с осью по центру = 2/5 mr²
9. МИ равнобедренного треугольника с осью, перпендикулярной его плоскости и проходящей через вершину:

Примеры решения задач

Применение на практике приведенных формул происходит, например, для решения следующих задач.

Пример №1

Задано найти МИ однородного диска с известными массой и радиусом. Из дополнительных сведений: ось вращения – через центр диска.

Для решения диск разбивается на тонкие кольца, радиусы которых равняются от 0 до R. Взяв одно из них и обозначив его радиус буквой (r), а массу – (dm), формула для расчета МИ  (согласно теореме Гюйгенса-Штейнера) выглядит следующим образом: (dJ=dmr2.)

С учетом подстановки в конечную формулу для определения МИ формулы для массы кольца получаем:

Пример № 2

Задано найти у того же диска МИ относительно оси, которая проходит через середину радиуса.

Из предшествующего задания используем найденную величину МИ относительно оси, которая проходит через центр масс. Используя формулу Штейнера, решаем задачу.

Если решать аналогичные задачи нет желания или времени, а контрольную работу нужно сдать в срок, на помощь придут сотрудники Феникс.Хелп. 

The moment of inertia, referred to as the angular mass or rotational inertia, with respect to the rotation axis is a quantity that determines the amount of torque necessary to achieve a desired angular acceleration or a characteristic of a body that prevents angular acceleration. The moment of inertia is calculated as the sum of each particle’s mass times the square of its distance from the rotational axis. 

Moment of Inertia

The term “moment of inertia” refers to the quantity that describes how a body resists angular acceleration and is calculated as the product of the mass of each particle times the square of the particle’s distance from the rotational axis. Or, to put it another way, you could say that it’s a quantity that determines how much torque is required for a certain angular acceleration in a rotating axis. Inertia moment is often referred to as rotational inertia or angular mass. kg m² is the unit of moment of inertia in the SI system.

Moment of Inertia of a System of n Particles

The moment of inertia is the following for a system of point particles rotating around a fixed axis:

I = ∑m_ir_i²

where,
r_i is the distance between the axis and the i_th particle,
m_i is the mass of i_th particle.

How to Calculate Moment Of Inertia?

Several ways are used to calculate the moment of inertia of any rotating object. 

• For uniform objects, the moment of inertia is calculated by taking the product of its mass with the square of its distance from the axis of rotation (r²). 
• For non-uniform objects, we calculate the moment of inertia by taking the sum of the product of individual point masses at each different radius for this the formula used is

I = ∑m_ir_i²

Formulas For Calculating Moment Of Inertia

Expressions for the moment of inertia for some symmetric objects along with their axis of rotation are discussed below in this table.

Object	Axis	Expression of the Moment of Inertia
Hollow Cylinder Thin-walled	Central	I = Mr2
Thin Ring	Diameter	I = 1/2 Mr2
Annular Ring or Hollow Cylinder	Central	I = 1/2 M(r22 + r12)
Solid Cylinder	Central	I = 1/2 Mr2
Uniform Disc	Diameter	I = 1/4 Mr2
Hollow Sphere	Central	I = 2/3 Mr2
Solid Sphere	Central	I = 2/5 Mr2
Uniform Symmetric Spherical Shell	Central
Uniform Plate or Rectangular Parallelepiped	Central	I = 1/12 M(a2 + b2)
Thin rod	Central	I = 1/12 Mr2
Thin rod	At the End of Rod	I = 1/3 Mr2

Solved Examples of Moment of Inertia

Example 1: Determine the solid sphere’s moment of inertia at a mass of 22 kg and a radius of 5 m.

Answer:

Given:
M = 22 kg, R = 5 m

We have for solid sphere, MOI (I) = 2/5 MR²

I = 2/5 × 22 × 25

I = 220 kg m²

Example 2: Calculate the mass of the uniform disc when its moment of inertia is 110 kg m² and its radius is 10 m.

Answer:

Given:
I = 110 kg m², R = 10 m

We have for uniform disc (I) = 1/4 MR²

M = 4I / R²

M = 4 × 110 / 10²

M = 440 / 100

M = 4.4 kg

Example 3: If a uniform plate has a mass of 23 kg, a length of 10 m, and a breadth of 7 m, determine its moment of inertia.

Answer:

Given: M = 23 kg, L = 10 m, b = 7 m

We have for uniform plate MOI 

I = 285 kg m²

Example 4: When the uniform hollow right circular cone has a moment of inertia of 98 kg m² and a mass of 20 kg, determine the radius of the cone.

Answer:

Given:
I = 98 kg m², M = 20 kg

We have for right circular cone, MOI (I) = 1/2 MR²

R² = 2I / M  

R² = 2 × 98 / 20

R² = 9.8

R = √9.8

R = 3.13 m

Example 5: If the mass is 10 kg and the radius is 7 m, determine the hollow cylinder’s moment of inertia.

Answer:

Given: 
M = 10 kg, R = 7 m

We have for hollow cylinder, MOI (I) = MR²

I = 10 × 49

I = 490 kg m²

Example 6: When r₁ is 10 m, r₂ is 20 m, and the mass of the annular ring is 14 kg, calculate the moment of inertia of the ring.

Answer:

Given: r₁ = 10 m, r₂ = 20 m, M = 14 kg

We have for Annular ring (I) = 1/2 M(r₂² + r₁²)

I = 1/2 × 14 × (400 + 100)

I = 7000 / 2

I = 3500 kg m²

Related Resources

• Mass and Inertia
• Inertia
• Rotational Inertia

The moment of inertia, referred to as the angular mass or rotational inertia, with respect to the rotation axis is a quantity that determines the amount of torque necessary to achieve a desired angular acceleration or a characteristic of a body that prevents angular acceleration. The moment of inertia is calculated as the sum of each particle’s mass times the square of its distance from the rotational axis. 

Moment of Inertia

The term “moment of inertia” refers to the quantity that describes how a body resists angular acceleration and is calculated as the product of the mass of each particle times the square of the particle’s distance from the rotational axis. Or, to put it another way, you could say that it’s a quantity that determines how much torque is required for a certain angular acceleration in a rotating axis. Inertia moment is often referred to as rotational inertia or angular mass. kg m² is the unit of moment of inertia in the SI system.

Moment of Inertia of a System of n Particles

The moment of inertia is the following for a system of point particles rotating around a fixed axis:

I = ∑m_ir_i²

where,
r_i is the distance between the axis and the i_th particle,
m_i is the mass of i_th particle.

How to Calculate Moment Of Inertia?

Several ways are used to calculate the moment of inertia of any rotating object. 

• For uniform objects, the moment of inertia is calculated by taking the product of its mass with the square of its distance from the axis of rotation (r²). 
• For non-uniform objects, we calculate the moment of inertia by taking the sum of the product of individual point masses at each different radius for this the formula used is

I = ∑m_ir_i²

Formulas For Calculating Moment Of Inertia

Expressions for the moment of inertia for some symmetric objects along with their axis of rotation are discussed below in this table.

Object	Axis	Expression of the Moment of Inertia
Hollow Cylinder Thin-walled	Central	I = Mr2
Thin Ring	Diameter	I = 1/2 Mr2
Annular Ring or Hollow Cylinder	Central	I = 1/2 M(r22 + r12)
Solid Cylinder	Central	I = 1/2 Mr2
Uniform Disc	Diameter	I = 1/4 Mr2
Hollow Sphere	Central	I = 2/3 Mr2
Solid Sphere	Central	I = 2/5 Mr2
Uniform Symmetric Spherical Shell	Central
Uniform Plate or Rectangular Parallelepiped	Central	I = 1/12 M(a2 + b2)
Thin rod	Central	I = 1/12 Mr2
Thin rod	At the End of Rod	I = 1/3 Mr2

Solved Examples of Moment of Inertia

Example 1: Determine the solid sphere’s moment of inertia at a mass of 22 kg and a radius of 5 m.

Answer:

Given:
M = 22 kg, R = 5 m

We have for solid sphere, MOI (I) = 2/5 MR²

I = 2/5 × 22 × 25

I = 220 kg m²

Example 2: Calculate the mass of the uniform disc when its moment of inertia is 110 kg m² and its radius is 10 m.

Answer:

Given:
I = 110 kg m², R = 10 m

We have for uniform disc (I) = 1/4 MR²

M = 4I / R²

M = 4 × 110 / 10²

M = 440 / 100

M = 4.4 kg

Example 3: If a uniform plate has a mass of 23 kg, a length of 10 m, and a breadth of 7 m, determine its moment of inertia.

Answer:

Given: M = 23 kg, L = 10 m, b = 7 m

We have for uniform plate MOI 

I = 285 kg m²

Example 4: When the uniform hollow right circular cone has a moment of inertia of 98 kg m² and a mass of 20 kg, determine the radius of the cone.

Answer:

Given:
I = 98 kg m², M = 20 kg

We have for right circular cone, MOI (I) = 1/2 MR²

R² = 2I / M  

R² = 2 × 98 / 20

R² = 9.8

R = √9.8

R = 3.13 m

Example 5: If the mass is 10 kg and the radius is 7 m, determine the hollow cylinder’s moment of inertia.

Answer:

Given: 
M = 10 kg, R = 7 m

We have for hollow cylinder, MOI (I) = MR²

I = 10 × 49

I = 490 kg m²

Example 6: When r₁ is 10 m, r₂ is 20 m, and the mass of the annular ring is 14 kg, calculate the moment of inertia of the ring.

Answer:

Given: r₁ = 10 m, r₂ = 20 m, M = 14 kg

We have for Annular ring (I) = 1/2 M(r₂² + r₁²)

I = 1/2 × 14 × (400 + 100)

I = 7000 / 2

I = 3500 kg m²

Related Resources

• Mass and Inertia
• Inertia
• Rotational Inertia

— величина, характеризующая распределение масс в теле и являющаяся наряду с массой мерой инертности тела при непоступат. движении. В механике различают M. и. осевые и центробежные. Осевым M. и. тела относительно оси z наз. величина, определяемая равенством

где m_i — массы точек тела, h_i — их расстояния от оси z, r — массовая плотность, V — объём тела. Величина I_z является мерой инертности тела при его вращении вокруг оси (см. Вращательное движение). Осевой M. и. можно также выразить через линейную величину r_z, наз. радиусом инерции относительно оси z, по ф-ле I_z= Mr²_z,. где M — масса тела. Размерность M. и.- L²M; единицы измерения -кг ^. м ².

Центробежными M. и. относительно системы прямоуг. осей х, у, z, проведённых в точке О, наз. величины, определяемые равенствами

или соответствующими объёмными интегралами. Эти величины являются характеристиками динамич. неуравновешенности тела. Напр., при вращении тела вокруг оси z от значений I_xz и I_yz зависят силы давления на подшипники, в к-рых закреплена ось.

M. и. относительно параллельных осей z и z’ связаны соотношением (теорема Гюйгенса)

где z’ — ось, проходящая через центр массы тела, d — расстояние между осями.

M. и. относительно любой проходящей через начало координат О оси Ol с направляющими косинусами a, b, g находится по ф-ле

Зная шесть величин I_x, I_y, I_z, I_xy, I_yz, I_zx, можно последовательно, используя ф-лы (4) и (3), вычислить всю совокупность M. и. тела относительно любых осей. Эти шесть величин определяют т. н. тензор инерции тела. Через каждую точку тела можно провести 3 такие взаимно перпендикулярные оси, наз. гл. осями инерции, для к-рых I_xy= I_yz = I_zx = 0. Тогда M. и. тела относительно любой оси можно определить, зная гл. оси инерции и M. и. относительно этих осей.

M. и. тел сложной конфигурации обычно определяют экспериментально. Понятием о M. и. широко пользуются при решении мн. задач механики и техники. Лит.: Геpнет M. M., Ратобыльский В. Ф., Определение моментов инерции, M., 1969; Фаворин M. В., Моменты инерции тел. Справочник, M., 1970; см. также лит. при ст. Динамика. С. M. Таре.

Основные понятия и суть

Инерция — это способность тела сохранять приданную ей скорость движения при отсутствии какого-либо внешнего воздействия. Например, во время езды на общественном транспорте всем приходится держаться за поручни. Если этого не сделать, то при изменении скорости движения транспортного средства существует большая вероятность упасть вперёд или назад. Другими словами, возникает какая-то сила, влияющая на пассажира. Когда её действие заканчивается, движение человека всё равно продолжается.

Это свойство и описывается понятием инертность. Раньше изучали это явление известные учёные Галилей, Ньютон, Мах. В соответствии с их исследованиями было установлено классическое правило момента вращения, физический смысл которого заключается в распределении массы в теле, определяемой суммой произведения простейшей массы на расстояние до начального множества в квадрате. Классическая формула, описывающая характеристику, выглядит следующим образом: Ja = Σmi*r²j. В ней:

• mi — масса в точке;
• rj — расстояние от точки до координаты.

То есть момент — это скалярная величина, являющаяся мерой инертности. В качестве единицы измерения по международной системе принято использовать произведение килограмма на квадратный метр (кг*м²). Обозначают параметр латинской буквой I или J. При умножении момента инерции на угловое ускорение можно определить сумму моментов всех сил, приложенных к телу: M = I * E. Фактически это уравнение является аналогом второго закона Ньютона.

М — это момент силы, оказывающий вращательное движение и воздействующий на ускорение тела, а E — угловое ускорение. Мера инертности тела отличается от массы тем, что вторая проявляется, когда его необходимо разогнать, а первая — при его раскручивании.

Вычисление параметра

Характеристика инерции тел зависит от их количественных показателей и формы. Для того чтобы найти характеристику, можно рассмотреть вращение материальной точки, находящейся на невесомой штанге, имеющей длину r и массу m. Для такой ситуации формулу момента инерции можно записать: I = m*r². Длина r представляет собой радиус кольца, по которому происходит вращение объекта по оси. Таким образом, рассматриваемый момент зависит не только от массы тела, но и геометрических характеристик.

Любое тело можно описать совокупностью материальных точек. Для понятия процесса лучше всего рассмотреть простой пример. Пусть имеется невесомый цилиндр, способный вращаться по радиусу Rc. На него намотана верёвка, к которой приложена сила F. На цилиндр будут насаживаться тела с различной формой. Если известны его радиус и сила, с которой происходит раскручивание, то справедливо будет записать следующее выражение: M = F*Rc.

Допустим, на цилиндр помещены два тела. Одно имеет массу m1 и радиус вращения r1, а другое — m2 и r2. Используя основное уравнение динамики вращательного движения для первого тела с угловым ускорением ƹ1, момент силы можно определить как M1 = I1 * ƹ1. Соответственно, для второго предмета сила будет определяться по формуле: M1 = I2 * ƹ2.

Если эти два тела жёстко скрепить между собой, то они буду представлять собой составные части одного предмета, поэтому их угловые ускорения станут одинаковы (ƹ1 + ƹ2 = ƹ), а требующийся момент M станет равный сумме M1 + M2. Подставив значения, получим равенство M = I1*ƹ + I2*ƹ. Выражение можно упростить до вида M = ƹ (I1+I2). То есть нужный момент для тела, состоящего из совокупности точек, будет равен произведению суммы моментов инерции на угловое ускорение обоих тел.

Из сказанного можно сделать вывод, что момент инерции всего тела равен сумме моментов составных частей. Другим словами, он обладает свойством аддитивности. Используя это, можно составить алгоритм расчёта для любой формы.

Методика решения

Существует универсальный алгоритм, подходящий для расчёта параметра прямоугольника, треугольника, круга или другой фигуры произвольной формы. Допустим, есть сложное тело с заданной осью вращения. Необходимо найти момент его вращения. Для того чтобы решить поставленную задачу, используются два принципа:

• Аддитивность — свойство, обозначающее, что величина целого значения определяется суммой соответствующих ему частей.
• Формула нахождения момента для материальной точки I = m*r².

Всё тело можно разделить на мельчайшие частички, которые представляют собой материальные точки. Номера этих кусков обозначают в виде i. Масса произвольной части будет определяться как дельта mi. Пусть этот кусок находится на расстоянии ri от оси вращения O. Для этой части момент вращения находится с помощью выражения Ii = Δ mi*ri². Учитывая аддитивность, общий момент будет равен I = Σ Δ mi*ri², где i принимает значение от 1 до n.

Эта формула является приближённой, так как точность зависит от массы частей и размера. Если кусочки, на которые разбивается тело, большие, считать их материальными точками нельзя. Чем мельче части, тем точнее будет результат. В соответствии с математическим анализом такие задачи решаются с помощью интегрирования. Понимая физический смысл момента инерции, можно отметить следующие зависимости:

• прямая пропорциональность массе;
• соответствие квадрату размера;
• изменение с учетом оси вращения.

Роль последнего пункта огромна. Например, если рассмотреть два момента вращения велосипедной спицы диаметром 2 мм и длиной 30 сантиметров, то можно увидеть зависимость от выбранной оси поворота.

Относительно вертикальной оси вращение обозначим I1, горизонтальной — I2. Подставив в формулы выражения, используемые для расчётов, можно получить отношение I1/I2 = (m*l2/12) / ((m*d2/8). После его упрощения будет верна запись I1/ I2 = (2/3)*(l/d)2. В итоге получится ответ 15000. Получается, если спицу будут закручивать с одинаковым моментом вокруг вертикальной оси и горизонтальной, то в первом случае она станет крутиться в 15 тыс. раз быстрее.

Моменты простейших объектов

Проведение интегрирования — довольно трудная операция, предполагающая хорошее знание высшей математики. Существует таблица, в которой собраны вычисления инерции для простейших геометрических фигур. При взятии сведений из неё важно обращать внимание на то, относительно какой оси приводится момент вращения объекта. Характеристика инерции для наиболее используемых объектов в физике имеет следующий вид:

1. Кольцо. Предположив, что точка имеет симметричное значение с противоположной стороны оси, можно утверждать, что формула не изменится. Если же точку распределить по плоскости перпендикулярной оси, то получится кольцо. Оно будет иметь такую же массу с кусками, находящимися на одинаковом расстоянии от центра r. Вычисление момента относительно оси вращения выполняют по той же формуле, что и для материальной точки: I = m * r².
2. Тонкостенный цилиндр. Нарисовав такую фигуру и указав на ней ось вращения, массу и радиус, несложно будет увидеть, что формула для нахождения момента будет аналогична кольцу.
3. Диск. Вращение его происходит относительно оси, проходящей через его центр. Учитывая, что масса однородного диска распределена по всей его площади, то момент его будет меньше, чем у кольца. Проведённые расчёты показали, что момент диска будет меньше в два раза. Таким образом, формула выглядит как I = m*r² / 2.
4. Сплошной цилиндр. Получают такую фигуру простым распределением массы сплошного диска вдоль оси. По аналогии с кольцом расчёт его характеристики инерции будет совпадать с однородным диском.
5. Шар. Момент проходящей оси через центр тяжести равен удвоенному произведению m*r2, разделенному на 5: I = (m*r2) * 2/5.
6. Сфера. Такой объект отличается от шара лишь тем, что внутри он полый. Направление вращения оси происходит через центр. Значение параметра для неё будет больше, чем шара, так как масса собрана не статически в одном месте, а размещена по всей поверхности. Расчёты показывают, что найти момент можно по формуле I =2*m*r2 /3.
7. Стержень. Момент вращения проходит через центр вдоль оси, перпендикулярной стержню: I = (1/12) * m*L2. L — длина стержня.

При использовании этих формул необходимо учитывать, что единицей измерения момента инерции является кг* м², поэтому при расчёте величины следует приводить значения к этим единицам.

Теорема Гюйгенса — Штейнера

Теорема была названа в честь двух математиков, давших формулировку определению характеристики параллельных осей. Например, пусть имеется объект произвольной формы, центробежная сила которого известна. Используя формулу Штейнера, можно вычислить момент тела относительно любой оси параллельной линии, проходящей через середину фигуры. В своём выводе учёные опирались на две формулы:

1. Вычисления координаты центра масс: X = (m1*x1 + m2*x2+…+Mi*Xi) / (m1+m2+…+Mi) = (Σ Δ mi*ri ²)/ m.
2. Универсального расчёта инерции любого тела: I = Σ Δ mi*ri ².

Обозначив центр произвольной оси буквой O, а один из множества кусков — Δm, можно воспользоваться универсальной формулой. Сначала необходимо определить квадрат расстояния до оси вращения ri. Для этого через центр проведём ось Oц, а расстояние между O и Oц обозначим как d.

Указанные значения нужно выразить через координаты кусочка. Для этого строится ось абсциссы, проходящая через Oц, и ординаты — O. При таком выборе направления начала координат x центр масс равняется d, а у — нулю. Фактически получится прямоугольный треугольник. Воспользовавшись теоремой Пифагора, можно записать: I = Σ Δ mi* (xi2 + yi2).

В результате можно отметить, что момент в точке O будет прямо пропорционален расстоянию между Δ m и центром. Это и есть главный вектор на чертеже. Для его обозначения вводится длина r’.

Находится ri’² по формулам для прямоугольного треугольника, в котором один катет равняется yi, а другой — xi — Oц. Значение ri’ совпадает с длиной гипотенузы. Таким образом, ri’² = (xi — Oц)² + yi². Подставив полученное равенство в формулу нахождения параметра момента в центре, можно получить следующую формулу: Io = Σ Δ mi* ((xi — Oц)² + yi²). После ряда подстановок и упрощения выражения в итоге получится равенство Io = I + m*x i² — 2*m*xi² = I — m*xi².

Так как x центра масс совпадает с d, расстоянием между осями, одну из которых можно направить через центр, то формулу можно переписать как Io = I — m*d². Выразив из выражения произвольный момент, формула Штейнера примет вид I = Io + m*d².

Другими словами, теорема определяет, что характеристика инерции тела относительно любой оси находится как сумма моментов относительно параллельной оси, пересекающей центр масс, и произведению массы тела на квадрат расстояния между осями. Сопротивлением вращению пренебрегают.

Пример задачи

Допустим, есть монета с массой m и радиусом r. Вращение происходит вокруг оси, распложенной по касательной. Необходимо найти момент вращения.

Для этого нужно знать характеристику прямой, пересекающей центр монеты Io. Решение будет определяться суммой Io и расстоянием от центра до касательной, которая равняется диаметру монеты: I = Io + md². Фактически задача состоит в нахождении Io. Определяется этот параметр согласно теореме о взаимно перпендикулярных осях.

Момент вращения относительно диска определяется с помощью выражения I1 = m* d² / 2. Для решения задачи она будет выглядеть Io = m* d² / 4. Подставив все данные, получим: I = (1m*d2 / 4) + (md)2 = 5*m*d2 /4.

Момент инерции
[math]displaystyle{ J = intlimits_{(m)} r^2 mathrm dm }[/math]
Размерность	L2M
Единицы измерения
СИ	кг·м²
СГС	г·см²

Моме́нт ине́рции — скалярная физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле. Момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества, которое, формально, может представлять собой не обязательно ось вращения (т.е. прямую), но и точку или плоскость. В последних случаях говорят о моменте инерции относительно точки или плоскости, а возникать такие величины могут в формальных вычислениях, например, при расчете тензора инерции.

Единица измерения в Международной системе единиц (СИ): кг·м².

Обозначение: I или J.

Различают несколько моментов инерции — в зависимости от типа базового множества до которого отсчитываются расстояния от элементарных масс.

Осевой момент инерции

Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величина J_a, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси^[1]:

[math]displaystyle{ J_a=sum_{i=1}^n m_i r_i^2, }[/math]

где:

• m_i — масса i-й точки,
• r_i — расстояние от i-й точки до оси.

Осевой момент инерции тела J_a является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.

[math]displaystyle{ J_a=intlimits_{(m)} r^2dm=intlimits_{(V)} rho r^2dV, }[/math]

где:

dm = ρ dV — масса малого элемента объёма тела dV,

ρ — плотность,

r — расстояние от элемента dV до оси a.

Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то

[math]displaystyle{ J_a=rhointlimits_{(V)} r^2dV. }[/math]

Теорема Гюйгенса — Штейнера

Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит от массы, формы и размеров тела, а также и от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Гюйгенса — Штейнера, момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J_c относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями^[1]:

[math]displaystyle{ J=J_c+md^2, }[/math]

где m — полная масса тела.

Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен:

[math]displaystyle{ J=J_c+md^2=frac{1}{12}ml^2+mleft(frac{l}{2}right)^2=frac{1}{3}ml^2. }[/math]

Осевые моменты инерции некоторых тел

Моменты инерции однородных тел простейшей формы относительно некоторых осей вращения

Тело	Описание	Положение оси a	Момент инерции Ja
	Материальная точка массы m	На расстоянии r от точки, неподвижная	[math]displaystyle{ mr^2 }[/math]
	Полый тонкостенный цилиндр или кольцо радиуса r и массы m	Ось цилиндра	[math]displaystyle{ mr^2 }[/math]
	Сплошной цилиндр или диск радиуса r и массы m	Ось цилиндра	[math]displaystyle{ frac{1}{2}mr^2 }[/math]
	Полый толстостенный цилиндр массы m с внешним радиусом r2 и внутренним радиусом r1	Ось цилиндра	[math]displaystyle{ m frac{r_2^2+r_1^2}{2} }[/math][Комм 1]
	Сплошной цилиндр длины l, радиуса r и массы m	Ось перпендикулярна образующей цилиндра и проходит через его центр масс	[math]displaystyle{ {1 over 4} m cdot r^2 + {1 over 12} m cdot l^2 }[/math]
	Полый тонкостенный цилиндр (кольцо) длины l, радиуса r и массы m	Ось перпендикулярна к цилиндру и проходит через его центр масс	[math]displaystyle{ {1 over 2} m cdot r^2 + {1 over 12} m cdot l^2 }[/math]
	Прямой тонкий стержень длины l и массы m	Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его центр масс	[math]displaystyle{ frac{1}{12}ml^2 }[/math]
	Прямой тонкий стержень длины l и массы m	Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его конец	[math]displaystyle{ frac{1}{3}ml^2 }[/math]
	Тонкостенная сфера радиуса r и массы m	Ось проходит через центр сферы	[math]displaystyle{ frac{2}{3}mr^2 }[/math]
	Шар радиуса r и массы m	Ось проходит через центр шара	[math]displaystyle{ frac{2}{5}mr^2 }[/math]
	Конус радиуса r и массы m	Ось конуса	[math]displaystyle{ frac{3}{10}mr^2 }[/math]
	Равнобедренный треугольник с высотой h, основанием a и массой m	Ось перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через вершину (при высоте)	[math]displaystyle{ frac{1}{24}m(a^2+12h^2) }[/math]
	Правильный треугольник со стороной a и массой m	Ось перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через центр масс	[math]displaystyle{ frac{1}{12}ma^2 }[/math]
	Квадрат со стороной a и массой m	Ось перпендикулярна плоскости квадрата и проходит через центр масс	[math]displaystyle{ frac{1}{6}ma^2 }[/math]
	Прямоугольник со сторонами a и b и массой m	Ось перпендикулярна плоскости прямоугольника и проходит через центр масс	[math]displaystyle{ frac{1}{12}m(a^2+b^2) }[/math]
	Правильный n-угольник радиуса r и массой m	Ось перпендикулярна плоскости и проходит через центр масс	[math]displaystyle{ frac{mr^2}{6}left [ 1+2cos(pi/n)^2 right ] }[/math]
	Тор (полый) с радиусом направляющей окружности R, радиусом образующей окружности r и массой m	Ось перпендикулярна плоскости направляющей окружности тора и проходит через центр масс	[math]displaystyle{ I = m left (frac{3}{4} , r^2+R^2 right) }[/math]

Вывод формул

Тонкостенный цилиндр (кольцо, обруч)

Толстостенный цилиндр (кольцо, обруч)

Однородный диск (сплошной цилиндр)

Сплошной конус

Сплошной однородный шар

Тонкостенная сфера

Тонкий стержень (ось проходит через центр)

Тонкий стержень (ось проходит через конец)

Безразмерные моменты инерции планет и спутников

Большое значение для исследований внутренней структуры планет и их спутников имеют их безразмерные моменты инерции. Безразмерный момент инерции тела радиуса r и массы m равен отношению его момента инерции относительно оси вращения к моменту инерции материальной точки той же массы относительно неподвижной оси вращения, расположенной на расстоянии r (равному mr²). Эта величина отражает распределение массы по глубине. Одним из методов её измерения у планет и спутников является определение доплеровского смещения радиосигнала, передаваемого АМС, пролетающей около данной планеты или спутника. Для тонкостенной сферы безразмерный момент инерции равен 2/3 (~0,67), для однородного шара — 0,4, и вообще тем меньше, чем большая масса тела сосредоточена у его центра. Например, у Луны безразмерный момент инерции близок к 0,4 (равен 0,391), поэтому предполагают, что она относительно однородна, её плотность с глубиной меняется мало. Безразмерный момент инерции Земли меньше, чем у однородного шара (равен 0,335), что является аргументом в пользу существования у неё плотного ядра^[5][6].

Центробежный момент инерции

Центробежными моментами инерции тела по отношению к осям прямоугольной декартовой системы координат называются следующие величины^[1][7]:

[math]displaystyle{ J_{xy}=intlimits_{(m)} xydm=intlimits_{(V)} xyrho dV, }[/math]

[math]displaystyle{ J_{xz}=intlimits_{(m)} xzdm=intlimits_{(V)} xzrho dV, }[/math]

[math]displaystyle{ J_{yz}=intlimits_{(m)} yzdm=intlimits_{(V)} yzrho dV, }[/math]

где x, y и z — координаты малого элемента тела объёмом dV, плотностью ρ и массой dm.

Ось OX называется главной осью инерции тела, если центробежные моменты инерции J_xy и J_xz одновременно равны нулю. Через каждую точку тела можно провести три главные оси инерции. Эти оси взаимно перпендикулярны друг другу. Моменты инерции тела относительно трёх главных осей инерции, проведённых в произвольной точке O тела, называются главными моментами инерции данного тела^[7].

Главные оси инерции, проходящие через центр масс тела, называются главными центральными осями инерции тела, а моменты инерции относительно этих осей — его главными центральными моментами инерции. Ось симметрии однородного тела всегда является одной из его главных центральных осей инерции^[7].

Геометрические моменты инерции

Геометрический момент инерции объёма относительно оси — геометрическая характеристика тела, выражаемая формулой^[8]:

[math]displaystyle{ J_{Va}=intlimits_{(V)} r^2dV, }[/math]

где, как и ранее r — расстояние от элемента dV до оси a.

Размерность J_Va — длина в пятой степени ([math]displaystyle{ mathrm {dim} J_{Va}= mathrm {L^{5}} }[/math]), соответственно единица измерения СИ — м⁵.

Геометрический момент инерции площади относительно оси — геометрическая характеристика тела, выражаемая формулой^[8]:

[math]displaystyle{ J_{Sa}=intlimits_{(S)} r^2dS, }[/math]

где интегрирование выполняется по поверхности S, а dS — элемент этой поверхности.

Размерность J_Sa — длина в четвёртой степени ([math]displaystyle{ mathrm {dim} J_{Sa}= mathrm {L^{4}} }[/math]), соответственно единица измерения СИ — м⁴. В строительных расчетах, литературе и сортаментах металлопроката часто указывается в см⁴.

Через геометрический момент инерции площади выражается момент сопротивления сечения:

[math]displaystyle{ W=frac{J_{Sa}}{r_{max}}. }[/math]

Здесь r_max — максимальное расстояние от поверхности до оси.

Геометрические моменты инерции площади некоторых фигур
Прямоугольника высотой [math]displaystyle{ h }[/math] и шириной [math]displaystyle{ b }[/math]:	[math]displaystyle{ J_y =frac{bh^3}{12} }[/math] [math]displaystyle{ J_z =frac{hb^3}{12} }[/math]
Прямоугольного коробчатого сечения высотой и шириной по внешним контурам [math]displaystyle{ H }[/math] и [math]displaystyle{ B }[/math], а по внутренним [math]displaystyle{ h }[/math] и [math]displaystyle{ b }[/math] соответственно	[math]displaystyle{ J_z =frac{BH^3}{12}-frac{bh^3}{12}=frac{1}{12}(BH^3-bh^3) }[/math] [math]displaystyle{ J_y =frac{HB^3}{12}-frac{hb^3}{12}=frac{1}{12}(HB^3-hb^3) }[/math]
Круга диаметром [math]displaystyle{ d }[/math]	[math]displaystyle{ J_y=J_z =frac{pi d^4}{64} }[/math]

Момент инерции относительно плоскости

Моментом инерции твёрдого тела относительно некоторой плоскости называют скалярную величину, равную сумме произведений массы каждой точки тела на квадрат расстояния от этой точки до рассматриваемой плоскости^[9].

Если через произвольную точку [math]displaystyle{ O }[/math] провести координатные оси [math]displaystyle{ x, y, z }[/math], то моменты инерции относительно координатных плоскостей [math]displaystyle{ xOy }[/math], [math]displaystyle{ yOz }[/math] и [math]displaystyle{ zOx }[/math] будут выражаться формулами:

[math]displaystyle{ J_{xOy}= sum_{i=1}^n m_i z_i^2 , }[/math]

[math]displaystyle{ J_{yOz}= sum_{i=1}^n m_i x_i^2 , }[/math]

[math]displaystyle{ J_{zOx}= sum_{i=1}^n m_i y_i^2 . }[/math]

В случае сплошного тела суммирование заменяется интегрированием.

Центральный момент инерции

Центральный момент инерции (момент инерции относительно точки O, момент инерции относительно полюса, полярный момент инерции) [math]displaystyle{ J_O }[/math]  — это величина, определяемая выражением^[9]:

[math]displaystyle{ J_a=intlimits_{(m)} r^2dm=intlimits_{(V)} rho r^2dV, }[/math]

где:

• [math]displaystyle{ dm=rho dV }[/math] — масса малого элемента объёма тела [math]displaystyle{ dV }[/math],
• [math]displaystyle{ rho }[/math] — плотность,
• [math]displaystyle{ r }[/math] — расстояние от элемента [math]displaystyle{ dV }[/math] до точки O.

Центральный момент инерции можно выразить через главные осевые моменты инерции, а также через моменты инерции относительно плоскостей^[9]:

[math]displaystyle{ J_O=frac{1}{2}left(J_x+J_y+J_zright), }[/math]

[math]displaystyle{ J_O=J_{xOy}+J_{yOz}+J_{xOz}. }[/math]

Тензор инерции и эллипсоид инерции

Момент инерции тела относительно произвольной оси, проходящей через центр масс и имеющей направление, заданное единичным вектором [math]displaystyle{ vec s = left Vert s_x , s_y , s_z right Vert^T ,left vert vec s right vert=1 }[/math], можно представить в виде квадратичной (билинейной) формы:

[math]displaystyle{ I_s= vec s^T cdot hat J cdot vec s, qquad }[/math] (1)

где [math]displaystyle{ hat J }[/math] — тензор инерции. Матрица тензора инерции симметрична, имеет размеры [math]displaystyle{ 3 times 3 }[/math] и состоит из компонент центробежных моментов:

[math]displaystyle{ hat J = left Vert begin{array}{ccc} J_{xx} & -J_{xy} & -J_{xz} \ -J_{yx} & J_{yy} & -J_{yz} \-J_{zx} & -J_{zy} & J_{zz} end{array} right Vert, }[/math]

[math]displaystyle{ J_{xy}= J_{yx},quad J_{xz}= J_{zx},quad J_{zy}= J_{yz},quad }[/math][math]displaystyle{ J_{xx}=intlimits_{(m)} (y^2+z^2)dm, quad J_{yy}=intlimits_{(m)} (x^2+z^2)dm,quad J_{zz}=intlimits_{(m)} (x^2+y^2)dm. }[/math]

Выбором соответствующей системы координат матрица тензора инерции может быть приведена к диагональному виду. Для этого нужно решить задачу о собственных значениях для матрицы тензора [math]displaystyle{ hat J }[/math]:

[math]displaystyle{ hat J_d = hat Q^T cdot hat J cdot hat Q , }[/math]

[math]displaystyle{ hat J_d = left Vert begin{array}{ccc} J_{X} & 0 & 0 \ 0 & J_{Y} & 0 \0 & 0 & J_{Z} end{array} right Vert, }[/math]

где [math]displaystyle{ hat Q }[/math] — ортогональная матрица перехода в собственный базис тензора инерции. В собственном базисе координатные оси направлены вдоль главных осей тензора инерции, а также совпадают с главными полуосями эллипсоида тензора инерции. Величины [math]displaystyle{ J_{X},J_{Y},J_{Z} }[/math] — главные моменты инерции. Выражение (1) в собственной системе координат имеет вид:

[math]displaystyle{ I_s= J_{X} cdot s_x^2 +J_{Y} cdot s_y^2 + J_{Z} cdot s_z^2 , }[/math]

откуда получается уравнение эллипсоида в собственных координатах. Разделив обе части уравнения на [math]displaystyle{ I_s }[/math]

[math]displaystyle{ left ( {s_x over sqrt {I_s}}right )^2 cdot J_{X} + left ( {s_y over sqrt {I_s}}right )^2 cdot J_{Y} + left ( {s_z over sqrt {I_s}}right )^2 cdot J_{Z} =1 }[/math]

и произведя замены:

[math]displaystyle{ xi= {s_x over sqrt {I_s}}, eta= {s_y over sqrt {I_s}}, zeta= {s_z over sqrt {I_s}}, }[/math]

получаем канонический вид уравнения эллипсоида в координатах [math]displaystyle{ xi eta zeta }[/math]:

[math]displaystyle{ xi^2 cdot J_{X} + eta^2 cdot J_{Y} + zeta^2 cdot J_{Z} =1. }[/math]

Расстояние от центра эллипсоида до некоторой его точки связано со значением момента инерции тела вдоль прямой, проходящей через центр эллипсоида и эту точку:

[math]displaystyle{ r^2 = xi^2 + eta^2 + zeta^2 = left ( {s_x over sqrt {I_s}}right )^2 + left ( {s_y over sqrt {I_s}}right )^2 + left ( {s_z over sqrt {I_s}}right )^2 = {1 over I_s}. }[/math]

См. также

Комментарии

Примечания

Литература

• Матвеев. А. Н. Механика и теория относительности. М.: Высшая школа, 1986. (3-е изд. М.: ОНИКС 21 век: Мир и Образование, 2003. — 432с.)
• Трофимова Т. И. Курс физики. — 7-е изд. — М.: Высшая школа, 2001. — 542 с.
• Алешкевич В. А., Деденко Л. Г., Караваев В. А. Механика твердого тела. Лекции. Архивная копия от 7 января 2014 на Wayback Machine Издательство Физического факультета МГУ, 1997.
• Павленко Ю. Г. Лекции по теоретической механике. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 392с.
• Яворский Б. М., Детлаф А. А. Физика для школьников старших классов и поступающих в вузы: учебное пособие — М.: Дрофа, 2002, 800с. ISBN 5-7107-5956-3
• Сивухин Д. В. Общий курс физики. В 5 т. Том I. Механика. 4-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ; Изд-во МФТИ, 2005. — 560 с.
• Беляев Н. М. Сопротивление материалов. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1976. — 608 с.

Ссылки

• Определение момента инерции тел простой формы.