Как пишется общая скорость

Слайд 1

4 класс Учитель МОУ «НСОШ №1» Меркулова Наталья Алексеевна Одновременное движение Общая скорость

Слайд 2

Цели урока: — освоить новые знания о понятиях «скорость сближения» и «скорость удаления»; — уточнить формулы нахождения общей скорости; — обобщить знания о способах решения задач на одновременное движение. В путь!

Слайд 3

Собираем рюкзачок! Какие знания мы возьмём с собой в дорогу? Что необходимо вспомнить, чтоб освоить новые знания и умения?

Слайд 4

Я ЗНАЮ!

Слайд 5

v t S

Слайд 6

Что происходит с расстоянием движущихся объектов, если они двигаются в разных направлениях?

Слайд 7

Разные направления Общая скорость v общ =v 1 + v 2 v сбл. v удал.

Слайд 8

Я УМЕЮ!

Слайд 9

Составьте задачу на одновременное движение наземного транспорта

Слайд 10

1 группа Составьте задачу на одновременное встречное движение личного наземного транспорта

Слайд 11

Скорость, км/ч Легковой автомобиль 80 Самосвал 50 Автобус 65 Троллейбус 40 Электровоз 60 Трамвай 40 Велосипед 12 Мотоцикл 70 2 группа Составьте задачу на одновременное движение общественного транспорта в противоположных направлениях

Слайд 12

Представитель группы представляет результат общей работы. Члены другой группы оценивают правильность составленной задачи ( верно или неверно составлена)

Слайд 13

Решение задач с использованием графической модели

Слайд 14

Отдохнём!

Слайд 15

Исследуем задачи нового типа.

Слайд 16

Что происходит с расстоянием движущихся объектов, если они двигаются в одинаковых направлениях? Как называется их общая скорость?

Слайд 17

Я ХОЧУ?!

Слайд 18

Задача. Старуха Шапокляк забыла в автобусе авоську и заметила это, когда автобус отъехал от неё на расстояние 200 метров . Она срочно помчалась за автобусом со скоростью 120 м/мин. Скорость автобуса составила 840 м/мин. Сможет ли Шапокляк догнать автобус? На каком расстоянии от автобуса она будет через 2 минуты бега? 120 м / мин 840 м / мин S — ? , через 2 минуты 200 м

Слайд 19

840 – 120 = 720 (м/мин) 720 . 2 = 1440 (м) 200 + 1440 = 1 640 (м) Объясните решение 120 м / мин 840 м / мин S — ? , через 2 минуты 200 м

Слайд 20

840 – 120 = 720 (м/мин) – скорость отставания 720 . 2 = 1440 (м) 200 + 1440 = 1 640 (м) Объясните решение 120 м / мин 840 м / мин S — ? , через 2 минуты 200 м

Слайд 21

840 – 120 = 720 (м/мин) – скорость удаления 720 . 2 = 1440 (м) 200 + 1440 = 1 640 (м) Объясните решение 120 м / мин 840 м / мин S — ? , через 2 минуты 200 м

Слайд 22

840 – 120 = 720 (м/мин) – скорость удаления 720 . 2 = 1440 (м) – отставание за 2 минуты 200 + 1440 = 1 640 (м) Объясните решение 120 м / мин 840 м / мин S — ? , через 2 минуты 200 м

Слайд 23

840 – 120 = 720 (м/мин) – скорость удаления 720 . 2 = 1440 (м) – отставание за 2 минуты 200 + 1440 = 1 640 (м) Ответ: Шапокляк не успеет догнать автобус; через 2 минуты она будет на расстоянии 1 км 640 м от автобуса. Объясните решение 120 м / мин 840 м / мин S — ? , через 2 минуты 200 м

Слайд 24

Работая в парах, с опорой на чертёж и рисунок на стр. 10, составьте задачу, где участники движения встретятся 15 км / ч 5 км / ч t — ? 20 км Как бы вы назвали общую скорость? Каким действием её можно найти?

Слайд 25

Разные направления Одинаковые направления Общая скорость v общ =v 1 + v 2 v сбл. v удал. v удал. v общ =v 1 ? v 2 v сбл.

Слайд 26

Разные направления Одинаковые направления Общая скорость v общ =v 1 + v 2 v сбл. v удал. v удал. v общ = v больш — v меньш v сбл.

Слайд 27

Проверим понимание

Слайд 28

Я понимаю!

Слайд 29

Как называется расстояние , на которое сближаются движущиеся объекты за единицу времени? Скорость сближения – v сбл.

Слайд 30

Как называется расстояние, на которое удаляются движущиеся объекты за единицу времени? Скорость удаления – v уд.

Слайд 31

Что происходит с расстоянием между движущимися объектами при встречном движении и при движении вдогонку? Расстояние уменьшается.

Слайд 32

В каких случаях произойдёт встреча? Встречное движение. Движение вдогонку . 1. 2. Движение в противоположных направлениях. Движение с отставанием. 3. 4.

Слайд 33

В каких случаях произойдёт встреча? Встречное движение . Движение вдогонку . 1. 2. Движение в противоположных направлениях. Движение с отставанием. 3. 4.

Слайд 34

Работа в парах Соотнесите условие задачи с графической моделью (проведите черту) Назовите общую скорость: скорость сближения или скорость удаления . Запишите формулу нахождения общей скорости. Вычислите значение общей скорости.

Слайд 35

Я освоил? Цели достиг?

Слайд 36

На уроке мне было всё понятно! У меня возникли некоторые вопросы. Я многое не понял. Рефлексия

Слайд 37

Домашнее задание Творческое: составить (обозначить на графической модели) и решить задачу на движение с отставанием или задачу на движение вдогонку (опирайтесь на материал на стр. 10 – 11) Стандартное: стр. 34, №133, №134 Более сложное: решить одну из задач с карточки, составив графическую модель, записав решение по действиям с вопросами.

Слайд 38

Используемые ресурсы http://www.globallab.ru/mim/mim/intro/all.2476.ru.htm http://dreaminginjavascript.wordpress.com/2008/07/15/javascript-numbers-can-bite/

Расстояние

Мы постоянно ходим пешком и ездим на транспорте из одной точки в другую. Давайте узнаем, как можно посчитать это пройденное расстояние.

Расстояние — это длина от одного пункта до другого.

• Например: расстояние от дома до школы 3 км, от Москвы до Петербурга 705 км.

Расстояние обозначается латинской буквой s.

Единицы расстояния чаще всего выражаются в метрах (м), километрах (км).

Скорость

Двигаться со скоростью черепахи — значит медленно, а со скоростью света — значит очень быстро. Сейчас узнаем, как пишется скорость в математике и как ее найти по формуле.

Скорость определяет путь, который преодолеет объект за единицу времени. Скорость обозначается латинской буквой v.

Проще говоря, скоростью называют расстояние, пройденное телом за единицу времени.

Впервые формулу скорости проходят на математике в 5 классе. Сейчас мы ее сформулируем и покажем, как ее использовать.

Показатели скорости чаще всего выражаются в м/сек или км/час.

Скорость сближения — это расстояние, на которое сблизились два объекта за единицу времени. Чтобы найти скорость сближения двух объектов, которые движутся навстречу друг другу, надо сложить скорости этих объектов.

Скорость удаления — расстояние, на которое отдалились друг от друга два объекта за единицу времени.

Чтобы найти скорость удаления объектов, которые движутся в противоположных направлениях, нужно сложить скорости этих объектов.

Чтобы найти скорость удаления при движении с отставанием или скорость сближения при движении вдогонку, нужно из большей скорости вычесть меньшую.

Онлайн-курсы по математике для детей — отличный способ разобраться в сложных темах под руководством внимательного преподавателя.

Время

Время — самое дорогое, что у нас есть. Но кроме философии, у времени есть важная роль и в математике.

Время — это продолжительность каких-то действий, событий.

• Например: от метро до дома — 10 минут, от дома до дачи — 2 часа.

Время движения обозначается латинской буквой t.

Чаще всего вам будут встречаться такие единицы времени, как секунды, минуты и часы.

Эта формула пригодится, если нужно узнать, за какое время тело преодолеет то или иное расстояние.

Взаимосвязь скорости, времени, расстояния

Скорость, время и расстояние связаны между собой очень крепко. Одно без другого даже сложно представить.

Если известны скорость и время движения, то можно найти расстояние. Оно равно скорости, умноженной на время: s = v × t.

Задачка 1. Мы вышли из дома и направились в гости в соседний двор. Мы дошли до соседнего двора за 15 минут. Фитнес-браслет показал, что наша скорость была 50 метров в минуту. Какое расстояние мы прошли?

Как рассуждаем:

Если за одну минуту мы прошли 50 метров, то сколько таких пятьдесят метров мы пройдем за 10 минут? Умножив 50 метров в минуту на 15 минут, мы определим расстояние от дома до магазина:

v = 50 м/мин

t = 15 мин

s = v × t = 50 × 15 = 750 (м)

Ответ: мы прошли 750 метров.

Если известно время и расстояние, то можно найти скорость: v = s : t.

Задачка 2. Двое школьников решили проверить, кто быстрее добежит от двора до спортплощадки. Расстояние между двором и площадкой — 100 метров. Первый школьник добежал за 25 секунд, второй за 50 секунд. Кто добежал быстрее?

Как рассуждаем:

Быстрее добежал тот, кто за 1 секунду пробежал большее расстояние. Говорят, что у него скорость движения больше. В этой задаче скорость школьников — это расстояние, которое они пробегают за 1 секунду.

Чтобы найти скорость, нужно расстояние разделить на время движения. Найдем скорость первого школьника: для этого разделим 100 метров на время движения первого школьника, то есть на 25 секунд:

100 : 25 = 4

Если расстояние дано в метрах, а время движения в секундах, то скорость измеряется в метрах в секунду (м/с). Если расстояние дано в километрах, а время движения в часах, скорость измеряется в километрах в час (км/ч).

В нашей задаче расстояние дано в метрах, а время в секундах. Значит, будем измерять скорость в метрах в секунду (м/с).

100 м : 25 с = 4 м/с

Так мы узнали, что скорость движения первого школьника 4 метра в секунду.

Теперь найдем скорость движения второго школьника. Для этого разделим расстояние на время движения второго школьника, то есть на 50 секунд:

100 : 50 = 2

Значит, скорость движения второго школьника составляет 2 метра в секунду.

Сейчас можно сравнить скорости движения каждого школьника и узнать, кто добежал быстрее.

4 (м/с) > 2 (м/с)

Скорость первого школьника больше. Значит, он добежал до спортивной площадки быстрее.

Ответ: первый школьник добежал быстрее.

Если известны скорость и расстояние, то можно найти время: t = s : v.

Задачка 3. От школы до стадиона 500 метров. Мы должны дойти до него пешком. Наша скорость будет 100 метров в минуту. За какое время мы дойдем до стадиона из школы?

Как рассуждаем:

Если за одну минуту мы будем проходить 100 метров, то сколько таких минут со ста метрами будет в 500 метрах?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно 500 метров разделить на расстояние, которое мы будем проходить за одну минуту, то есть на 100. Тогда мы получим время, за которое дойдем до стадиона:

s = 500 м

v = 100 м/мин

t = s : v = 500 : 100 = 5 (мин)

Ответ: от школы до стадиона мы дойдем за 5 минут.

Специально для уроков математики можно распечатать или нарисовать самостоятельно такую таблицу, чтобы быстрее запомнить и применять формулы скорости, времени, расстояния.

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

Для начала вспомним формулы, которые используют при решении подобных задач: S = υ·t
, υ = S: t
, t = S: υ
где S – расстояние, υ – скорость движения, t – время движения.

Когда два объекта движутся равномерно с разными скоростями, то расстояние между ними за каждую единицу времени или увеличивается, или уменьшается.

Скорость сближения
– это расстояние, на которое сближаются объекты за единицу времени.
Скорость удаления
– это расстояние, на которое удаляются объекты за единицу времени.

Движение на сближение
встречное движение
и движение вдогонку
. Движение на удаление
можно разделить на два вида: движение в противоположных направлениях
и движение с отставанием
.

Трудность для некоторых учеников заключается в том, чтобы правильно поставить «+» или «–» между скоростями при нахождении скорости сближения объектов или скорости удаления.

Рассмотрим таблицу.

Из неё видно, что при движении
объектов в противоположные стороны
их скорости складываются
. При движении в одну сторону
– вычитаются
.

Примеры решения задач.

Задача №1.
Две автомашины движутся навстречу друг другу со скоростями 60км/ч и 80 км/ч. Определите скорость сближения машин.
υ 1 = 60 км/ч
υ 2 = 80 км/ч
Найти υ сб
Решение.

υ сб = υ 1 + υ 2
– скорость сближения в разных направлениях
)

υ сб = 60 + 80 = 140 (км/ч)

Ответ:
скорость сближения 140 км/ч.

Задача №2.
Из одного пункта в противоположных направлениях выехали две автомашины со скоростями 60 км/ч и 80 км/ч. Определите скорость удаления машин.
υ 1 = 60 км/ч
υ 2 = 80 км/ч
Найти υ уд
Решение.

υ уд = υ 1 + υ 2
– скорость удаления (знак «+» так как из условия понятно, что машины движутся в разных направлениях
)

υ уд = 80 + 60 = 140 (км/ч)

Ответ:
скорость удаления 140 км/ч.

Задача №3.
Из одного пункта в одном направлении выехали сначала автомобиль со скоростью 60 км/ч, а затем мотоцикл со скоростью 80 км/ч. Определите скорость сближения машин.
(Видим, что здесь случай движения вдогонку, поэтому находим скорость сближения)

υ ав = 60 км/ч
υ мот = 80 км/ч
Найти υ сб
Решение.

υ сб = υ 1 – υ 2
– скорость сближения (знак «–» так как из условия понятно, что машины движутся в одном направлении
)

υ сб = 80 – 60 = 20 (км/ч)

Ответ:
скорость сближения 20 км/ч.

То есть название скорости – сближения или удаления – не влияют на знак между скоростями. Имеет значение только направление движения
.

Рассмотрим другие задачи.

Задача № 4.
Из одного пункта в противоположных направлениях вышли два пешехода. Скорость одного из них 5 км/ч, другого – 4 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 ч?
υ 1 = 5 км/ч
υ 2 = 4 км/ч
t = 3 ч
Найти S
Решение.

в разных направлениях
)

υ уд = 5 + 4 = 9 (км/ч)



S = υ уд ·t

S = 9·3 = 27 (км)

Ответ:
через 3 ч расстояние будет 27 км.

Задача № 5.
Два велосипедиста одновременно выехали навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 36 км. Скорость первого 10 км/ч, второго 8 км/ч. Через сколько часов они встретятся?
S = 36 км
υ 1 = 10 км/ч
υ 2 = 8 км/ч
Найти t
Решение.

υ сб = υ 1 + υ 2 – скорость сближения
(знак «+» так как из условия понятно, что машины движутся в разных направлениях
)

υ сб = 10 + 8 = 18 (км/ч)

(время встречи можно рассчитать по формуле)

t = S: υ сб


t = 36: 18 = 2 (ч)

Ответ:
встретятся через 2 ч.

Задача №6. Два поезда отошли от одной станции в противоположных направлениях. Их скорости 60 км/ч и 70км/ч. Через сколько часов расстояние между ними будет 260 км?
υ 1 = 60 км/ч
υ 2 = 70 км/ч
S = 260 км
Найти t
Решение
.
1 способ
υ уд = υ 1 + υ 2 – скорость удаления
(знак «+» так как из условия понятно, что пешеходы движутся в разных направлениях
)

υ уд = 60 + 70 = 130 (км/ч)

(Пройденное расстояние находим по формуле)

S = υ уд ·t
⇒ t
= S: υ уд

t = 260: 130 = 2 (ч)

Ответ:
через 2 ч расстояние между ними будет 260 км.
2 способ
Сделаем пояснительный рисунок:

Из рисунка видно, что

1) через заданное время расстояние между поездами будет равно сумме расстояний, которые прошли каждый из поездов:

S = S 1 + S 2
;
2) каждый из поездов ехал одинаковое время (из условия задачи), значит,

S 1 =υ 1 · t
—расстояние которое проехал 1 поезд
S 2 =υ 2 · t
— расстояние которое проехал 2 поезд
Тогда,
S =
S 1 + S 2
= υ 1 · t + υ 2 · t = t · (υ 1 + υ 2)
= t · υ уд

t = S: (υ 1 + υ 2)
— время за которое оба поезда проедут 260 км
t = 260: (70 + 60) = 2 (ч)

Ответ:
расстояние между поездами будет 260 км через 2 ч.

1. Два пешехода одновременно вышли навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 18 км. Скорость одного из них 5 км/ч, другого – 4 км/ч. Через сколько часов они встретятся? (2 ч)
2. Два поезда отошли от одной станции в противоположных направлениях. Их скорости 10 км/ч и 20 км/ч. Через сколько часов расстояние между ними будет 60 км? (2 ч)
3. Из двух сел, расстояние между которыми 28 км, одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Скорость первого 4 км/ч, скорость второго 5 км/ч. На сколько километров за час пешеходы сближаются друг с другом? Какое расстояние будет между ними через 3 часа? (9 км, 27 км)
4. Расстояние между двумя городами 900 км. Два поезда вышли из этих городов навстречу друг другу со скоростями 60 км/ч и 80 км/ч. На каком расстоянии друг от друга были поезда за 1 час до встречи? Есть ли в задаче лишнее условие? (140 км, есть)
5. Велосипедист и мотоциклист выехали одновременно из одного пункта в одном направлении. Скорость мотоциклиста 40 км/ч, а велосипедиста 12 км/ч. Какова скорость их удаления друг от друга? Через сколько часов расстояние между ними будет 56 км? (28 км/ч, 2 ч)
6. Из двух пунктов, удаленных друг от друга на 30 км, выехали одновременно в одном направлении два мотоциклиста. Скорость первого 40 км/ч, второго 50 км/ч. Через сколько часов второй догонит первого?
7. Расстояние между городами А и В 720 км. Из А в В вышел скорый поезд со скоростью 80 км/ч. Через 2 часа навстречу ему из В в А вышел пассажирский поезд со скоростью 60 км/ч. Через сколько часов они встретятся?
8. Из села вышел пешеход со скоростью 4 км/ч. Через 3 часа вслед за ним выехал велосипедист со скоростью 10 км/ч. За сколько часов велосипедист догонит пешехода?
9. Расстояние от города до села 45 км. Из села в город вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Через час навстречу ему из города в село выехал велосипедист со скоростью 15 км/ч. Кто из них в момент встречи будет ближе к селу?
10. Старинная задача.
Некий юноша пошел из Москвы к Вологде. Он проходил в день 40 верст. Через день вслед за ним был послан другой юноша, проходивший в день 45 верст. Через сколько дней второй догонит первого?
11. Старинная задача
. Собака усмотрела в 150 саженях зайца, который пробегает в 2 минуты по 500 сажен, а собака за 5 минут – 1300 сажен. Спрашивается, в какое время собака догонит зайца?
12. Старинная задача
. Из Москвы в Тверь вышли одновременно 2 поезда. Первый проходил в час 39 верст и прибыл в Тверь двумя часами раньше второго, который проходил в час 26 верст. Сколько верст от Москвы до Твери?

1.
Изобрази одновременное движение героев сказок по координатному лучу и заполни таблицы (переменная x обозначает координату движущейся точки, а переменная d — расстояние между точками). Проанализируй, как изменяется расстояние во всех четырех случаях движения — уменьшается или увеличивается, и на сколько? Сделай вывод.

1) Встречное движение.

2) Движение в противоположных направлениях.

3) Движение вдогонку.

4) Движение с отставанием.

2.
Происходят гонки двух черепах. Скорость первой черепахи 9 дм/мин, а скорость второй черепахи 5 дм/мин. Уменьшается или увеличивается расстояние между ними и с какой скоростью?

3.
Велосипедист и всадник движутся навстречу друг другу. Скорость велосипедиста 20 км/ч, а скорость всадника 16 км/ч. Как и с какой скоростью изменяется расстояние между ними до момента встречи?

4.
Прохожий гонится за своей шляпой, которую ветер несет со скоростью 4 м/с. Как изменяется расстояние между прохожим и шляпой до момента встречи, если он бежит со скоростью 5 м/с? Найди скорость сближения.

5.
Два катера плывут в противоположных направлениях со скоростями 25 км/ч и 32 км/ч. Как и с какой скоростью изменяется расстояние между ними?

6.
Со станции вышел поезд со скоростью 60 км/ч. Через некоторое время с той же станции и в том же направлении вышел второй поезд. С какой скоростью он должен ехать, чтобы расстояние между ними с момента выезда второго поезда не менялось?

7.
Автомобиль должен проехать за 3 дня 1430 км. В первый день он ехал 6 ч со скоростью 82 км/ч, во второй день он увеличил скорость на 4 км/ч и ехал с этой скоростью 7 ч. С какой скоростью должен ехать автомобиль в третий день, чтобы проехать оставшееся расстояние за 4 часа?

8.
С товарной станции надо было вывезти в магазины 700 одинаковых ящиков с товаром. Для вывоза было послано две машины. На одну машину можно уложить 48 ящиков, а на другую — 36 ящиков. Сколько ящиков с товаром останется на станции, если каждая машина сделает по 5 рейсов с полной загрузкой?

9.
Найди множество значений переменной а, при которых дробь будет правильной, а дробь — неправильной.

10.
Как найти, какую часть одно число составляет от другого? Вырази величины в одинаковых мерках и узнай:

а) Какую часть недели составляют: 4 суток, 10 ч, 35 мин?

б) Какую часть от 3 м составляют: 2 м, 7 дм, 48 см?

в) Какую часть от 8 кг составляют: 5 кг, 27 г, 360 г?

11.
Реши уравнения:

12.
В один день летних каникул Дима с Сашей гуляли 5 ч. Сначала они играли с ребятами в футбол. Затем они пробыли в зоопарке на больше, чем играли в футбол. Остальное время они катались на лодке. Сколько времени в этот день Дима с Сашей катались на лодке?

13.
Верны ли высказывания:

а) (42 712 525-4 167 125: 425): (98 000 — 3 263 040: 36) > 5 820;

б) 43 076 709 + 7 489 116 — 9 083 (250600: 70 + 497696: 824) < 30000?

14*.
Старинная задача.

В классе учатся 13 детей. У мальчиков столько зубов, сколько у девочек пальцев на руках и ногах. Сколько в классе мальчиков и сколько девочек? (Предполагается, что у каждого ученика по 32 зуба.)

15*.
Продолжи ряд на 4 числа, сохраняя закономерность:

а) 5, 15, 125, 1235, … б) 1, 3, 9, 27, …

В задачах на движение рассматриваются три взаимосвязанные величины:

S — расстояние (пройденный путь),

t — время движения и

V — скорость – расстояние, пройденное за единицу времени.

• Расстояние – это произведение скорости на время движения;

S = V t

• Скорость – это расстояние, которое тело проходит за единицу времени;
• Скорость — это частное от деления расстояния на время движения;

V = S / t

• Время – это частное от деления расстояния на скорость движения

t = S / V

Какие могут быть ситуации?

Ситуация первая

.

Два объекта движение начинают одновременно навстречу друг другу.

Встречное движение.

Ситуация вторая.

Два объекта движение начинают одновременно в противоположных направлениях.

Движение в противоположных направлениях из одного пункта

Ситуация третья.

Два объекта движение начинают одновременно в одном направлении.

При решении этих задач надо использовать понятия «скорость сближения» и « скорость удаления».

В данный момент расстояние между двумя таксистами 345 км. На каком расстоянии будут находиться таксисты через два часа, если скорость одного 72 км /ч., а другого -68 км /ч., и они выезжают навстречу друг другу одновременно?

Первый способ решения.

1) 72 + 68 =140 (км /ч.) – скорость сближения
таксистов.
2)140 * 2 = 280 (км) – на такое расстояние таксисты приблизятся друг к другу за 2 часа.
3) 345 – 280 = 145 (км) – на таком расстоянии будут таксисты через 2 часа.
Ответ: 145 км.

Второй способ решения.

1)72 * 2 =144 (км) – такое расстояние проедет один таксист за 2 часа.

2) 68 * 2 = 136 (км) – такое расстояние проедет другой таксист за 2 часа.

3)144+ 136 =280 (км) – на такое расстояние таксисты приблизятся друг к другу за 2 часа.

4) 345 – 280 = 145 (км) – на таком расстоянии будут таксисты через 2 часа.

Ответ: 145 км.

Расстояние между городами А и В 720км. Из А в В вышел скорый поезд со скоростью 80 км /ч. Через 2 часа навстречу ему из В в А вышел

пассажирский поезд со скоростью 60 км /ч. Через сколько часов после выхода пассажирского поезда эти поезда встретятся?

Решение.

1)80*2=160(км) -прошёл скорый поезд за 2 часа.

2)720-160=560(км) -осталось пройти поездам.

3)80+60=140(км/ч) -скорость сближения 2 поездов.

4)560:140=4(ч) -был в пути пассажирский поезд.

Ответ:4часа.

Из двух пунктов навстречу друг другу одновременно выехали два автобуса. Скорость одного автобуса 45 км /ч, а скорость другого автобуса 72 км /ч. Первый автобус до встречи проехал 135км.
Найдите расстояние между пунктами.

Решение.

Первый способ решения.

1) 135: 45 = 3 (часа) – ехали автобусы до встречи.
2)72 * 3 = 216 (км) – проехал второй автобус до встречи.
3) 135 + 216 = 351 (км) – расстояние между пунктами.
Ответ: 351 км.

Второй способ решения.

1)135: 45 = 3 (часа) – ехали автобусы до встречи.

2)45 +72 = 117 (км/ ч.). – скорость сближения
автобусов.

3)117 * 3 = 351 (км) – расстояние между пунктами.

Ответ: 351 км.

Что такое скорость сближения?

Машина и автобус выехали из двух городов, находящихся на расстоянии 740 км навстречу друг другу со скоростями 70 км/ч и 50 км/ч. Какое расстояние будет между машинами через 5 часов?

Решение.

1 –й способ решения

.

1)50 * 5 = 250 (км) – проедет машина до встречи.

2)70 * 5 = 350 (км) – проедет автобус до встречи.

3) 250 + 350 = 600 (км) — на такое расстояние они приблизятся друг к другу.

4) 740 -600 = 140 (км) — такое расстояние будет между ними через 5 часов.

Ответ: 140 км.

2 – й способ решения.

1)50 + 70 = 120 (км /ч.) – скорость сближения
автобуса и машины.

2)120 * 5 = 600 (км) – на такое расстояние они приблизятся друг к другу.

3) 740 – 600 = 140 (км) – такое расстояние будет между ними через 5 часов.

Ответ: 140 км.

Две гоночные машины выехали навстречу друг другу. Расстояние между ними было 660 км. Одна ехала со скоростью 100 км/ч, а другая 120 км/ч. Через какое время они встретятся?

Решение.

1)100+120=220(км/ч)- скорость сближения
машин.

2)660:220=3(ч) -через такое время встретятся гоночные машины.

Ответ: через 3 часа.

Из одного логова одновременно в противоположных направлениях выбежало два тигра. Скорость одного тигра 48 км / ч., а другого – 54 км ч. Какое расстояние будет между тиграми через 3 часа?

Решение.

ПЕРВЫЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ

1)48 * 2 = 96 (км) – пробежит один тигр за 2 часа.

2)54 * 2 = 108 (км) – пробежит другой тигр за 2 часа.

3)96 + 108 = 204 (км) – будет между тиграми через 2 часа.

Ответ: 204 км.

ВТОРОЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ

1)48 + 54 =102 (км /ч.) – скорость
удаления
тигров.

2)102 * 2 =204 (км) – будет между тиграми через 2 часа.

Ответ: 204 км.

Максим и Саша вышли из школы со скоростью 50 м/мин. Рома вышел вслед за ними через 6 минут со скоростью 80 м/мин. Через сколько минут Рома догонит Максима и Сашу?

Решение.

1) 80 — 50 = 30 (км /ч.) –скорость сближения
мальчиков.

2)50 * 6 = 300 (км) – такое расстояние было между мальчиками перед выходом из школы Ромы.

3)300 :
30 =
10 (мин.) – через такое время Рома догонит друзей.

Ответ: через 10 мин.

1) При решении задач на движении двух объектов применяются понятия «скорость сближения
» и «скорость удаления

».

2)При решении задач на встречное движение и движение в противоположных направлениях скорость сближения

и скорость удаления

находятся сложением

скоростей движущихся объектов.

3)При решении задач на движение в одном направлении скорость сближения

и скорость удаления

находятся вычитанием
скоростей движущихся объектов.

Как найти скорость сближения?

При решении математических задач у учащихся возникает большое количество вопросов. «Как найти скорость сближения?» — один из них.

Скорость движения — это расстояние, на которое сближаются объекты за единицу времени. Единицей измерения является км/ч, м/с и др. При равномерном движении объектов с разными скоростями расстояние между данными объектами либо увеличивается, либо уменьшается на одно и то же число единиц.

Для того чтобы рассчитать движение в разных направлениях, необходимо использовать формулу: скорость сближения=V1 + V2, а при движении в одном направлении — скорость сближения=V1 — V2. При решении задач не следует путать скорость сближения с «общей скоростью», которая вычисляется суммой всей скоростей.

Если же в гонках участвуют две черепахи, одна из которой движется со скоростью 3 км/ч, а другая — 1 км/ч, скорость сближения получится 2 км/ч исходя из формулы V=V1 — V2.

§1. Скорость сближения и скорость удаления

В этом уроке познакомимся с такими понятиями, как «скорость сближения» и «скорость удаления».

Для ознакомления с понятиями «скорость сближения» и «скорость удаления» рассмотрим 4 реальные ситуации.

Из двух городов навстречу друг другу

ʋ
1
ʋ
2
= 80 км/ч. Сокращается ли расстояние между автомобилями? Если да, то с какой скоростью?

Из рисунка видно, что два автомобиля, двигаясь навстречу друг другу, приближаются. Значит, расстояние между ними сокращается. Чтобы узнать, с какой скоростью сокращается расстояние между автомобилями или же с какой скоростью сближаются два автомобиля, необходимо к скорости первого автомобиля прибавить скорость второго. А именно, скорость сближения
равна сумме скоростей первого и второго автомобилей:
ʋ

сбл.

=

ʋ

1

+

ʋ

2

.

Значит, расстояние между автомобилями сокращается со скоростью 200 км/ч. Рассмотрим вторую ситуацию.

Из двух городов одновременно в одном направлении, вдогонку
, выехало два автомобиля. Скорость первого автомобиля
ʋ
1
= 120 км/ч, а скорость второго автомобиля
ʋ
2
= 80 км/ч. Сокращается или увеличивается расстояние между автомобилями и на сколько?

Изобразим движение данных автомобилей на координатном луче.

Из рисунка видно, что первый автомобиль движется быстрее второго автомобиля или же движется вдогонку второму автомобилю. Значит, расстояние между автомобилями будет сокращаться. Чтобы узнать, с какой скоростью сокращается расстояние между автомобилями или же с какой скоростью сближаются два автомобиля, необходимо из скорости первого автомобиля вычесть скорость второго автомобиля. А именно, скорость сближения

ʋ

сбл.

=

ʋ

1

—

ʋ

2 .

Найдем скорость сближения данных автомобилей:
ʋ
сбл.
=
ʋ
1
—
ʋ
2
= 120 – 80 = 40 км/ч. Значит, расстояние между автомобилями сокращается со скоростью 40 км/ч.

Рассматривая приведенные выше ситуации, мы познакомились с понятием «скорость сближения».
Скорость сближения

– это расстояние, на которое сближаются объекты за единицу времени.

Рассмотрим следующую третью ситуацию.

Из двух городов в противоположных направлениях
одновременно выехало два автомобиля. Скорость первого автомобиля
ʋ
1
= 120 км/ч, а скорость второго автомобиля
ʋ
2
= 80 км/ч. Будет ли увеличиваться расстояние между автомобилями? Если да, то на сколько?

Изобразим движение данных автомобилей на координатном луче.

Из рисунка видно, что два автомобиля, двигаясь в противоположных направлениях, удаляются друг от друга. Значит, расстояние между ними увеличивается. Чтобы узнать, с какой скоростью увеличивается расстояние между автомобилями или же с какой скоростью удаляются два автомобиля друг от друга, необходимо к скорости первого автомобиля прибавить скорость второго автомобиля. А именно, скорость удаления
равна сумме скоростей двух автомобилей:
ʋ

уд.

=

ʋ

1

+

ʋ

2 .

ʋ
уд.
=
ʋ
1
+
ʋ
2
= 120 + 80 = 200 км/ч. Значит, расстояние между автомобилями увеличивается со скоростью 200 км/ч.

Рассмотрим последнюю четвертую ситуацию.

Из двух городов водном направление одновременно выехало два автомобиля. Скорость первого автомобиля
ʋ
1
= 120 км/ч, а скорость второго автомобиля
ʋ
2
= 80 км/ч. Причем второй автомобиль движется с отставанием
. Будет увеличиваться или уменьшаться расстояние между автомобилями и на сколько?

Изобразим движение данных автомобилей на координатном луче.

Из рисунка видно, что второй автомобиль движется медленнее первого автомобиля или же движется с отставанием от первого автомобиля. Значит, расстояние между автомобилями будет увеличиваться. Чтобы узнать, с какой скоростью увеличивается расстояние между автомобилями или же с какой скоростью удаляются два автомобиля друг от друга, необходимо из скорости первого автомобиля вычесть скорость второго автомобиля. А именно, скорость удаления
равна разности скоростей двух автомобилей:
ʋ

уд.

=

ʋ

1

—

ʋ

2 .

Найдем скорость удаления данных автомобилей:
ʋ
уд.
=
ʋ
1
—
ʋ
2
= 120 – 80 = 40 км/ч. Значит, расстояние между автомобилями увеличивается со скоростью 40 км/ч.

Рассматривая приведенные выше ситуации, мы познакомились с понятием «скорость удаления».

сбл.

=

ʋ

1

+

ʋ

2

3.
При движении вдогонку скорость сближения равна разности скоростей объектов движения.
ʋ

сбл.

=

ʋ

1

—

ʋ

2

4.
Скорость удаления

– это расстояние, на которое удаляются объекты за единицу времени.

5.
При движении двух объектов в противоположных направлениях скорость удаления равна сумме скоростей этих объектов.
ʋ

уд.

=

ʋ

1

+

ʋ

2

6.
При движении с отставанием скорость удаления равна разности скоростей объектов движения.
ʋ

уд.

=

ʋ

1

—

ʋ

2

Литература:

1. Петерсон Л.Г. Математика. 4 класс. Часть 2 / Л.Г. Петерсон. – М.: Ювента, 2014. – 96 с.: ил.

2. Математика. 4 класс. Методические рекомендации к учебнику математики «Учусь учиться» для 4 класса / Л.Г. Петерсон. – М.: Ювента, 2014. – 280 с.: ил.

3. Зак С.М. Все задания к учебнику математики для 4 класса Л.Г. Петерсон и комплекту самостоятельных и контрольных работ. ФГОС. – М.: ЮНВЕС, 2014.

4. CD-ROM. Математика. 4 класс. Сценарии уроков к учебнику к 2 части Петерсон Л.Г. – М.: Ювента, 2013.

Для визуально оформления использовались:

Did this article help you?

Did this article help you?

Понятие и основные термины

Под скоростью понимается величина, определяющая быстроту и направление перемещения материальной точки в выбранной системе отсчёта. Термин широко применяется в математике, физике, химии. Так, с его помощью описывают реакции, изменения температуры, передвижение тел, используют как производную рассматриваемой величины.

Слово «скорость» произошло от латинского «velocitas», обозначающее движение. В качестве единицы измерения, согласно Международной системе единиц (СИ), для неё выбран метр, делённый на секунду (м/с). Обозначается скорость буквой V, вне зависимости от науки, в которой её применяют. Простейшая формула, с помощью которой определяют величину, выглядит следующим образом: V = S: t. Где:

• S — расстояние (путь), пройденное материальной точкой или телом (м);
• T — время за которое она преодолела путь (с).

Это обобщённое уравнение, но в то же время позволяющее получить представление о понятии. Часто это неравенство называют уравнением пути. Формула используется для вычисления только в том случае, если движение не изменяется на всём исследуемом участке.

Впервые с выражением знакомят учащихся на уроках математики в пятом классе. Учитель предлагает научиться решать простые задачи на нахождение характеристики при известной длине пройденного пути и потраченного на это времени. Например, автомобиль за четыре часа проехал 16 километров. Необходимо найти, с какой скоростью он двигался. Решение задачи сводится к двум действиям. В первом все заданные величины переводятся в систему СИ: 4 часа = 240 минут = 10240 секунд; 16 километров = 16000 метров. Во втором действии данные подставляют в формулу и вычисляют ответ: V = 16000/10240 = 1,6 м/с.

Но, помимо равномерного движения, то есть при котором скорость является константой, есть ещё и другие виды перемещений. Использовать обобщённое уравнение для них нельзя. Для каждого вида движения применяется своя формула. Существующую скорость разделяют на следующие виды:

• неравномерную;
• среднюю;
• равномерно-переменную;
• поступательную;
• вращательную;
• ускоренную.

Равноускоренное движение

Если в течение времени положение тела изменяется относительно предметов, находящихся в покое, то считается, что оно движется. При этом в качестве основного параметра, описывающего перемещение, используется скорость. Движение тела или точки можно представить в виде линии, повторяющей путь прохождения. Называется она траекторией. Если линия прямая, то движение считается прямолинейным.

Неравномерное движение характеризуется перемещением по различной траектории с непостоянной величиной скорости. При этом изменение положения может быть равноускоренным, то есть параметр на одинаковых промежутках увеличивается или уменьшается на одно и то же значение. В качестве примера можно привести падение камня.

В произвольно взятой точке скорость перемещения равна ускорению свободного падения.

Таким образом, если векторы V и ускорения A лежат вдоль прямой, то в проекциях такое направление можно рассматривать как алгебраические величины. При равноускоренном движении по прямой траектории скорость точки вычисляется по формуле: V = V0 + A*t. Где:

• V0 — начальная скорость;
• A — ускорение (имеет постоянное значение);
• t — время движения.

Это основная формула в физике. На графике она изображается как прямая линия v (t). По оси ординат откладывается время, а абсцисс — скорость. Построив график, по наклону прямой можно определить ускорение точки A. Для этого используется формула нахождения сторон треугольника: A = (v-v0) / t.

Если на оси времени выделить промежуток Δt, то можно предположить, что движение будет равномерным и описываться некоторым параметром, равным мгновенному значению в середине отрезка. Эта моментальная величина является векторной. Она численно равна пределу, который пытается достигнуть скорость за промежуток времени, стремящийся к нулю. В физике это состояние описывается формулой мгновенной скорости: V = lim (Δ s/ Δ t) = r^-1(t). То есть, с математической точки зрения, это первая производная.

Исходя из этого можно утверждать, что движение Δs = v*Δt. Так как произведение ускорения на время определяется разницей V -V0, то верной будет запись: S = V0*t + A*t²/2 = (V² — V²0) /2*A.

Из этой формулы можно вывести выражение для нахождения конечной скорости материальной точки: V = (V²0 — 2* A * s)^½. Если же в начальный момент V0 = 0, то формулу можно упростить до вида: V = (2* A * s)^½.

Среднее значение

В кинематике для нахождения характеристики используется усреднённый параметр. Используют его при изучении движения материальной точки или любого физического тела. Для определения средней скорости используют две величины: скалярную и векторную. Первой обозначают путевое движение, а второй — перемещение.

Путевая скорость определяется как отношение расстояния пройденного тела ко времени, затраченному на его прохождение: V = Σs / Σt.

По сути, среднее значение находится как среднеарифметическое от всех скоростей, если рассматриваемая точка передвигалась одинаковые отрезки времени. В ином же случае найденная величина будет взвешенной среднеарифметической величиной.

Математически формулу средней скорости записывают так: V (t + Δ t) = Δ s/ Δ t = (s (t + Δ t) — s (t)) / Δ t. Учитывая, что Δs зависит от длины пути, которую преодолела точка за время Δt, верной будет запись: Δ s = s (t + Δt) — s (t). Если же затраченное время стремится к нулю, получится формула, совпадающая с выражением для нахождения мгновенной скорости.

Вектор материальной точки находится из отношения положения тела к отрезку времени: V (t + Δt) = Δr / Δt = (r (t + Δt) — r (t)) / Δt, где r — радиус-вектор. Когда тело выполняет равномерно-прямолинейное перемещение, то справедливым будет равенство: {V} = V.

Например, мяч первую половину пути длиной 100 метров катился с одной скоростью в течение двадцати секунд, а вторую с другой и одну минуту. Необходимо вычислить среднюю скорость. Согласно формулам, интервал движения на первом участке пути будет равен: t1 = s/2*V1, а на втором t2 = s/2*V2. Решением задачи будет: Vср = s/(t1+t2) = s/(s/2*v1 + s/2*v2) = 2*V1*V2/(V1+V2) = 100/(20 +60) = 1,25 м/с.

Угловая скорость

Проявляется этот вид при вращении тела вокруг оси. Траектория представляет собой круговое движение. Основным параметром, учитывающимся при его нахождении, является угол поворота (f). Все элементарные угловые движения являются векторами. Обычный поворот равен углу вращения тела df за небольшой отрезок времени dt в противоположную сторону от хода часовой стрелки.

В математике формулу для нахождения углового параметра записывают как w = df/dt. Угловая скорость — аксиальная величина, располагающаяся вдоль мгновенной оси и совпадающая с поступательным вращением правого винта. Равномерное вращение, то есть движение, при котором происходит поворот на один и тот же угол, называют равномерным. Модуль угловой скорости определяют по формуле: w = f/t, где f — угол поворота, t — время, в течение которого происходило вращение. Учитывая, что Δf = 2p, формулу можно переписать до вида: w = 2p/T, то есть с использованием периода.

Существует связь между угловой скоростью и числом оборотов: w = 2*p*v. Это понятие используется для решения заданий при описании неравномерного вращения. Есть также выражение, связывающее линейную скорость с угловой: v = [w*R], где R — компонента, проведённая перпендикулярно к радиус-вектору. В качестве единицы измерения параметра используется радиан, делённый на секунду (рад/с).

Например, необходимо определить угловую скорость вариатора в тот момент, когда подвешенная масса пройдёт расстояние, равное 10 метрам. Радиус плеча составляет 40 сантиметров. В начальный момент подвес находится в состоянии покоя, а затем начинает опускаться с ускорением A = 0,04 м/с2.

Учитывая, что линейная скорость вариатора совпадает с движением груза по прямой, можно записать: V = (2*a*S)½. Должен получится ответ: V = (4*0,04*10)½ = 1,26 м/с. Угловую же скорость находят по формуле: w = v/R, так как R = 40 см = 0,4 м, то W = 1,26/0,4 = 3,15 рад/с.

Закон сложения

Для разных систем отсчёта движения материальных точек существует закон, связывающий их между собой. Согласно ему, скорость чего-либо относительно системы, находящейся в покое, определяется суммой силы перемещения скоростей в подвижной области и более быстрой системы отсчёта по отношению к неподвижной.

Чтобы понять суть закона, лучше всего рассмотреть простой пример. Пусть по железной дороге движется вагон со скоростью 80 км/ч. В этом вагоне перемещается пассажир со скоростью 3 км/ч. Приняв за систему отсчёта неподвижный железнодорожный путь, можно утверждать, что скорость пассажира относительно неё равна сумме скорости вагона и человека.

Если движение вагона и пассажира происходит в одном направлении, то значения просто складываются, V = 80+3 = 83 км/ч, в противоположном — вычитаются V = 80−3 = 77 км/ч. Но это правило будет верным лишь тогда, когда перемещение происходит по одной линии. Поэтому, если человек будет передвигаться в вагоне под углом, следует учитывать и этот фактор, так как по своей сути искомый параметр — величина векторная. Фактически рассчитываются две скорости: сближения и удаления.

Рассматриваемое событие происходит за время Δt. За этот промежуток человек преодолеет расстояние ΔS1, вагон же сможет проехать путь ΔS2. Используя закон, перемещение пассажира будет определяться по формуле: ΔS = ΔS1 + ΔS2. Собственное движение человека относительно железнодорожного пути будет равно V = ΔS1 / Δ t. Выразив значение из формулы нахождения ΔS, можно найти скорость вагона относительно железной дороги: V2 = ΔS2 / Δt.

Использование онлайн-калькулятора

В интернете существуют сервисы, позволяющие находить параметр даже тем, кто не знает формулы или слабо ориентируется в теме. С их помощью можно решать довольно сложные задания, которые требуют скрупулёзного расчёта и немалой затраты времени. Онлайн-вычисление обычно занимает не более нескольких секунд, а за достоверность результата можно не беспокоиться.

Воспользоваться сайтами-калькуляторами сможет любой пользователь, имеющий подключение к интернету и установленный веб-браузер с поддержкой Flash-технологии. Никакой регистрации или указания личных данных сервисы, предлагающие такого рода услуги, не требуют. Система автоматически рассчитает ответ.

Из множества сайтов можно выделить три наиболее популярных среди потребителей:

1. Справочный портал «Калькулятор».
2. Allcalc.
3. Fxyz.

Все они имеют интуитивно понятный интерфейс и, что примечательно, на своих страницах содержат таблицы всех формул, используемых для решения заданий, правильные условные обозначения и описания процессов вычисления.

Расчёт скорости любого тела несложен. Главное, знать формулы и правильно определить вид перемещения. При этом всегда можно воспользоваться услугами онлайн-калькуляторов. Через них решить поставленную задачу или проверить свои расчёты.