Как пишется периметр треугольника - Правописание и грамматика

Основные определения

Наверное, каждый из нас сталкивался с треугольником. Это могло быть в школе, вузах, колледжах, на работе, во время помощи детям. Треугольник – это одна из самых простых геометрических фигур, но в то же время она выполняет очень важную роль. Множество свойств хранит треугольник. Но сегодня не будем вдаваться в подробности, а поговорим про периметр и порешаем задачи по нахождению его.

Если мы отметим на плоскости 3 точки и проведём к ним линии, то как раз получим треугольник.

Понятия

Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трёх точек, которые соединены отрезками – сторонами. В зависимости от отношений между сторонами фигуры, то они бывают равносторонними, разносторонними и равнобедренными (р/б – равнобедренный, р/с – равносторонний).

Вершины треугольника – это точки, где соединяются 2 стороны фигуры.

Р/б треугольник – это треугольник у которого две стороны равны, но не равны третьей.

Р/с треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны между собой.

Разносторонний треугольник – это треугольник, у которого все стороны не равны между собой.

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у у которого один угол равен 90^о. Самая длинная сторона называется гипотенузой, а две другие катетами.

Формула нахождения периметра

Из определения следует, что периметр геометрической фигуры – это сумма длин всех сторон, и треугольник не стал исключением. Общая формула имеет вид: Р = а + b + с. Периметр будет обозначаться Р. а, b и с — стороны треугольника. Решим задачу №1.

Задача 1

Пусть нам дан треугольник со сторонами 13 см, 15 см, 12 см. Нужно найти периметр данного треугольника.

Решение: [P=13+15+12=40] см.

Ответ: 40 см.

Периметр разностороннего треугольника

В прошлой задаче мы как раз нашли периметр разностороннего треугольника. Решим похожую задачу №2

Задача 2

Дан треугольник со сторонами 25 дм, 30 дм, 15 дм. Найдите периметр треугольника. Ответ выразите в метрах.

Решение:

P = 30 + 25 + 15 = 70 дм

70 : 10 = 7 м

Ответ: 7 м.

Периметр равнобедренного треугольника

Так как в р/б треугольнике 2 стороны равны (боковые), то формулу нахождения можно представить как: P = 2a + b. Решим 2 задачи.

Задачи 3 — 4

Дан равнобедренный треугольник АВС с биссектрисой, проведённой к основанию и равной 4 см, а также с боковой
стороной, равной 5 см. Найдите периметр данного треугольника.

Решение:

Так как ВН – биссектриса р/б треугольника АВС, то она является как высотой, так и медианой. Следовательно, ΔАВН прямоугольный и АН = НС.

В ΔАВН по теореме Пифагора [A H^{2}=A B^{2}-B H^{2}=25-16=9]см

АН = НС = √9 = 3 см

АС = АН + НС = 3 + 3 = 6 см

Р = 6 + 2*5 = 16 см

Ответ: 16 см.

В треугольнике ДСВ ДС = СВ = 15 см, высота СК = 9 см. Найдите периметр этого треугольника.

Решение:

В ΔСКД по теореме Пифагора:

[text { ДК² }=text { ДС }^{2}-mathrm{CK}^{2}=225-81=144]см

ДК = √144 = 12 см.

Так как СК — высота в р/б треугольнике, проведённая к основанию, то она является медианой, следовательно, ДВ = ДК + КВ = 12 + 12 = 24 см.

Р = ДС + СВ + ДВ = 15 + 15 + 24 = 54 см.

Ответ: 54 см.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Периметр равностороннего треугольника

А это один из самых “хороших” треугольников, его ещё называют правильным, так как все стороны и углы равны между собой. Формула нахождения периметра будет иметь вид: P = 3a.

Задачи 5 — 6

Дан равносторонний треугольник со стороной а = 13. Найдите периметр этого треугольника.

Решение:

Р = 3а = 3 * 13 = 39

Ответ: 39.

В равностороннем треугольнике АВС есть стороны: АВ = АС = СВ = 15 см, Найдите периметр данного треугольника.

Решение:

Р = 3АВ = 15 * 3 = 45 см.

Ответ: 45 см.

Периметр прямоугольного треугольника

Вычисляем по стандартной формуле: Р = а + в + с. Но у такого вида треугольников есть огромное преимущество – применение теоремы Пифагора.

Задачи 7 — 8

Дан прямоугольный треугольник с катетами а = 6 и в = 8. Найдите периметр.

Решение:

По теореме Пифагора: [c^{2}=в^{2}+a^{2}=64+36=100]

с = √100 = 10

Р = а + в + с = 6 + 8 + 10 = 24

Ответ: 24.

В прямоугольном треугольнике АВС, [angle mathrm{A}=90^{circ}, mathrm{AB}=9 mathrm{~см}, mathrm{AC} = 12см]. Надо найти периметр и площадь АВС.

Решение

По теореме Пифагора в ΔАВС:

[mathrm{CB}^{2}=mathrm{AC}^{2}+A mathrm{C}^{2}=144+81=225 mathrm{~см}]

СВ = √225 = 15 см

S = (АС * АВ) : 2 = (9 * 12) : 2 = 54 см

P = 15 + 9 + 12 = 36 см

Ответ: 36 см; 54 см.

Источник

Загрузить PDF

Периметр треугольника — это общая длина всех его сторон.^[1] Самый простой способ найти периметр треугольника заключается в том, чтобы сложить длины всех его сторон, однако если вы не знаете длину хотя бы одной стороны треугольника, необходимо сначала найти ее. В первом разделе данной статьи рассказано, как вычислить периметр треугольника по трем известным сторонам — это наиболее простой и распространенный метод. Затем показано, как найти периметр прямоугольного треугольника, если известны длины двух сторон. И наконец, описано, как с помощью теоремы косинусов рассчитать периметр любого треугольника, если даны две стороны и угол между ними.

1
Запомните формулу, которая позволяет вычислить периметр треугольника. Если треугольник имеет стороны a, b и c, его периметр P равен: P = a + b + c.
- Таким образом, чтобы найти периметр треугольника, следует сложить длины всех трех его сторон.
2
Посмотрите на треугольник и узнайте длины всех трех сторон. Предположим, треугольник имеет следующие стороны: a = 5, b = 5 и c = 5.
- Рассматриваемый треугольник называется равносторонним, так как все три его стороны имеют одинаковую длину. Тем не менее формула для расчета периметра справедлива для любого треугольника.
3
Сложите длины всех трех сторон, чтобы найти периметр. В нашем примере 5 + 5 + 5 = 15, то есть P = 15.
- Рассмотрим другой пример: a = 4, b = 3 и c=5. В этом случае периметр равен: P = 3 + 4 + 5 = 12.
4
В ответе не забывайте указывать единицу измерения. Если стороны измеряются в сантиметрах, окончательный ответ также должен быть приведен в сантиметрах. Ответ должен быть в тех же единицах, в которых приведены длины сторон в условии задачи.
- В приведенном примере длина каждой стороны составляет 5 сантиметров, поэтому периметр равен 15 сантиметрам.
Реклама

1

Запомните, что такое прямоугольный треугольник. Прямоугольным называется такой треугольник, один из углов которого является прямым, то есть равен 90 градусам. Самая длинная сторона такого треугольника всегда лежит напротив прямого угла и называется гипотенузой. Две другие стороны, образующие прямой угол, называются катетами. Прямоугольные треугольники очень часто встречаются в задачах по математике. К счастью, есть формула, с помощью которой всегда можно рассчитать длину неизвестной стороны!
2

Вспомните теорему Пифагора. Эта теорема гласит, что в любом прямоугольном треугольнике с катетами a и b и гипотенузой c стороны связаны следующим соотношением: a² + b² = c².^[2]
3

Нарисуйте прямоугольный треугольник и обозначьте стороны как a, b и c. Самая длинная сторона прямоугольного треугольника — это гипотенуза. Она лежит напротив прямого угла. Обозначьте гипотенузу как c, а более короткие стороны — как a и b. Неважно, какой катет вы обозначите буквой a, а какой — буквой b, так как это не повлияет на конечный результат.
4
Подставьте в формулу значения известных сторон. Помните, что a² + b² = c². Вместо букв подставьте числа, данные в условии задачи.
- Предположим, в условии дано, что a = 3 и b = 4, тогда получаем: 3² + 4² = c².
- Если катет a = 6 и гипотенуза c = 10, тогда можно записать: 6² + b² = 10².
5
Решите полученное уравнение, чтобы найти неизвестную сторону. Для этого сначала возведите в квадрат известные длины сторон (просто умножьте данное число само на себя, например 3² = 3 * 3 = 9). Если вы ищете гипотенузу, сложите квадраты двух сторон и из полученной суммы извлеките квадратный корень. Если необходимо найти катет, вычтите квадрат известного катета из квадрата гипотенузы и из полученного числа извлеките квадратный корень.
- В первом примере складываем квадраты сторон 3² + 4² = c² и получаем 25= c². После этого извлекаем квадратный корень из 25 и находим c = 5.
- Во втором примере складываем квадраты сторон 6² + b² = 10² и получаем 36 + b² = 100. Переносим 36 в правую сторону уравнения: b² = 64. Извлекаем квадратный корень из 64 и находим b = 8.
6
Сложите длины трех сторон, чтобы найти периметр. Как мы помним, периметр вычисляется по формуле: P = a + b + c. После того как мы нашли длины сторон a, b и c, необходимо сложить их, чтобы определить периметр.
- В первом примере: P = 3 + 4 + 5 = 12.
- Во втором примере: P = 6 + 8 + 10 = 24.
Реклама

1

Выучите теорему косинусов. Эта теорема позволяет вычислить неизвестную сторону треугольника, если даны длины двух других сторон и величина угла между ними. Теорема косинусов очень полезна, она справедлива для всех треугольников. Эта теорема гласит, что для любого треугольника со сторонами a, b и c и противолежащими им углами A, B и C справедлива следующая формула: c² = a² + b² – 2ab cos(C).^[3]^[4]
2
Дайте обозначения сторонам и углам треугольника. Обозначьте первую известную сторону как a, а противоположный ей угол — как A. Вторую известную сторону и противолежащий ей угол обозначьте соответственно b и B. Известный угол между этими сторонами обозначьте как C, а противолежащую ему сторону, длину которой необходимо найти, — как c.
- Предположим, дан треугольник со сторонами 10 и 12 и углом между ними 97°. В этом случае имеем: a = 10, b = 12, C = 97°.
3
Подставьте известные значения в формулу и найдите неизвестную сторону с. Сначала возведите в квадрат длины известных сторон и сложите полученные значения. Затем найдите косинус угла С с помощью обычного или онлайн-калькулятора.^[5] Умножьте cos(C) на 2ab и вычтите полученное число из суммы a² + b². В результате вы получите c². Извлеките квадратный корень, чтобы найти длину неизвестной стороны c. В нашем примере имеем:
- c² = 10² + 12² – 2 × 10 × 12 × cos(97°).
- c² = 100 + 144 – (240 × -0,12187) (мы округлили значение косинуса до 5 знаков после запятой).
- c² = 244 – (-29,25).
- c² = 244 + 29,25 (два минуса дают плюс!).
- c² = 273,25.
- c = 16,53.
4
Используйте вычисленную длину стороны c, чтобы найти периметр треугольника. Напомним, что периметр вычисляется по формуле: P = a + b + c, то есть следует прибавить к известным величинам сторон a и b найденную длину стороны c.
- В нашем примере получаем: 10 + 12 + 16,53 = 38,53. Итак, периметр треугольника равен 38,53!
Реклама

Об этой статье

Эту страницу просматривали 268 146 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Perimeter of a Triangle is actually the total length of all its three sides. Triangle is a polygon that has three sides, various methods are used to find the perimeter of a triangle. In this article, all the formulas for finding the perimeter of various types of triangles are covered.

Real-Life Example of use of Perimeter of Triangle: Perimeter of a triangle is used to calculate the length of wire used to fence any triangular field. It is also used to build triangular furniture, table, and other objects.

What is the Perimeter of a Triangle?

The perimeter of a triangle is the total distance covered along the boundary of any triangle. Perimeter can be considered as the total length of boundaries of any plane figure. As perimeter is the measure of length it is measured in m, cm, km, etc.

Perimeter of a Triangle Formula

For finding the perimeter of a triangle sum of the length of all its sides is taken. The formula required to find the perimeter of a triangle is:

Perimeter = sum of the three sides of a triangle

Let us understand this formula with the different types of triangles.

Perimeter of a Scalene Triangle

The perimeter of a triangle is equal to the sum of all sides of a triangle. If the sides of a triangle have lengths equal to a, b, & c, then,

Perimeter = a + b + c

where,

a, b, c are the side lengths

Perimeter of an Isosceles Triangle

For an isosceles triangle, if two equal sides are of length ‘b‘ units and the length of the unequal side equals ‘c‘, then,

Perimeter of Isosceles triangle = b + b + c
= 2b + c

where,

b is the length of two equal sides

c is the third side

Perimeter of an Equilateral Triangle

For an equilateral triangle, since all sides are equal in length, thus a = b = c, hence

Perimeter of equilateral triangle = b + b + b = 3b

where,

b is the side length

Perimeter of a Right Triangle

For a right-angle triangle i.e. the triangle with one angle of 90°. The perimeter is calculated by adding the length of all given sides. Formula to find the perimeter of a right triangle is:

Perimeter of a right triangle formula, P = a + b + c

where,

a, b, c are the side lengths

How to Find Perimeter of Triangle

Perimeter of a triangle is calculated using the steps discussed below:

Step 1: Mark the measurement of each side of the triangle and make sure all the measurements are in the same unit.
Step 2: Add the value of all the sides to find the perimeter.
Step 3: The sum obtained in step 2 is the required perimeter(use unit same as the length of sides.)

Solved Examples on Perimeter of Triangle

Example 1: If the length of the sides of a triangle is 4cm, 5cm, and 6cm, then what is the perimeter of the triangle?

Solution:

Given, the sides of the triangle are 4cm, 5cm, and 6cm. Thus, it is an scalene triangle.

So the perimeter of the triangle = Sum of sides = 4 + 5 + 6 = 15cm

Example 2: In an isosceles triangle, the two sides are given as 5cm and 6cm. What can be the perimeter of the triangle?

Solution:

Given, the triangle is the isosceles triangle. Thus, any two sides of the triangle are equal.

So, the third side can be either 5cm or 6cm.

If the third side is 5cm, then,

Perimeter = 5 + 5 + 6 = 16cm

If the third side is 6cm, then,

Perimeter = 5 + 6 + 6 = 17cm

So, the perimeter can be either 16cm or 17cm.

Example 3: What is the perimeter of an equilateral triangle whose one side length is 5cm?

Solution:

Given that the triangle is an equilateral triangle, thus all three sides are equal in length.

Since one side is equal to 5cm, the other two sides will also be equal to 5cm.

So, Perimeter = 5 + 5 + 5 = 15cm.

Example 4: Given the perimeter of an equilateral triangle is 21cm, find the length of its three sides.

Solution:

Since, in an equilateral triangle, all the three sides are equal in length, the perimeter is equal to three times the length of a side.

Let’s the length of any side be equal to ‘a’ units. So perimeter is equal to ‘3a’ units.

So, we can write,

3a = 21

a = 7cm

Thus, the length of each side is equal to 7cm.

Example 5: Find the length of two equal sides of an isosceles triangle if the length of the unequal side is 5cm and the perimeter is 17cm.

Solution:

Given, the length of unequal side is 5cm and perimeter is 17cm.

Since, it is isosceles triangle, length of other two sides are equal. Let each equal side length be ‘a’ units.

Thus, perimeter = a + a + 5

Since, perimeter = 17cm, we can write,

17 = a + a + 5

2a + 5 = 17

2a = 12

a = 6cm

Thus, the length of the equal sides of the isosceles triangle is 6cm.

FAQs on Perimeter of Triangle

Question 1: What is the formula for the perimeter of an equilateral triangle?

Answer:

For an Equilateral Triangle, all sides are equal. Thus, perimeter of an equilateral triangle is = 3a units, where a is the length of side of a triangle.

Question 2: What is meant by the Perimeter of a Triangle?

Answer:

Perimeter of a triangle is the total length of the sides of a triangle. If a, b, and c are the sides of a triangle then perimeter = a + b + c.

Question 3: What is the Perimeter of an Equilateral Triangle?

Answer:

Perimeter of a triangle is the length of all its sides. In an equilateral triangle with side a. Perimeter = 3×a

Question 4: How do we find the area of a triangle?

Answer:

To calculate the perimeter of the triangle sum of all its three sides are added.

Question 5: How many triangles with a perimeter of 8 units?

Answer:

Only one triangle is possible with perimeter 8 and its side are of length 8/3, 8/3, and 8/3 units.

Perimeter of Rectangle

Circumference of circle

Источник

What is the Perimeter of a Triangle?