Как пишется полупериметр

From Wikipedia, the free encyclopedia

In geometry, the semiperimeter of a polygon is half its perimeter. Although it has such a simple derivation from the perimeter, the semiperimeter appears frequently enough in formulas for triangles and other figures that it is given a separate name. When the semiperimeter occurs as part of a formula, it is typically denoted by the letter s.

Triangles[edit]

The semiperimeter is used most often for triangles; the formula for the semiperimeter of a triangle with side lengths a, b, c

Properties[edit]

In any triangle, any vertex and the point where the opposite excircle touches the triangle partition the triangle’s perimeter into two equal lengths, thus creating two paths each of which has a length equal to the semiperimeter. If A, B, B’, C’ are as shown in the figure, then the segments connecting a vertex with the opposite excircle tangency (AA’, BB’, CC’, shown in red in the diagram) are known as splitters, and

The three splitters concur at the Nagel point of the triangle.

A cleaver of a triangle is a line segment that bisects the perimeter of the triangle and has one endpoint at the midpoint of one of the three sides. So any cleaver, like any splitter, divides the triangle into two paths each of whose length equals the semiperimeter. The three cleavers concur at the center of the Spieker circle, which is the incircle of the medial triangle; the Spieker center is the center of mass of all the points on the triangle’s edges.

A line through the triangle’s incenter bisects the perimeter if and only if it also bisects the area.

A triangle’s semiperimeter equals the perimeter of its medial triangle.

By the triangle inequality, the longest side length of a triangle is less than the semiperimeter.

Formulas invoking the semiperimeter[edit]

For triangles[edit]

The area A of any triangle is the product of its inradius (the radius of its inscribed circle) and its semiperimeter:

The area of a triangle can also be calculated from its semiperimeter and side lengths a, b, c using Heron’s formula:

The circumradius R of a triangle can also be calculated from the semiperimeter and side lengths:

This formula can be derived from the law of sines.

The inradius is

The law of cotangents gives the cotangents of the half-angles at the vertices of a triangle in terms of the semiperimeter, the sides, and the inradius.

The length of the internal bisector of the angle opposite the side of length a is^[1]

In a right triangle, the radius of the excircle on the hypotenuse equals the semiperimeter. The semiperimeter is the sum of the inradius and twice the circumradius. The area of the right triangle is where a, b are the legs.

For quadrilaterals[edit]

The formula for the semiperimeter of a quadrilateral with side lengths a, b, c, d is

One of the triangle area formulas involving the semiperimeter also applies to tangential quadrilaterals, which have an incircle and in which (according to Pitot’s theorem) pairs of opposite sides have lengths summing to the semiperimeter—namely, the area is the product of the inradius and the semiperimeter:

The simplest form of Brahmagupta’s formula for the area of a cyclic quadrilateral has a form similar to that of Heron’s formula for the triangle area:

Bretschneider’s formula generalizes this to all convex quadrilaterals:

in which α and γ are two opposite angles.

The four sides of a bicentric quadrilateral are the four solutions of a quartic equation parametrized by the semiperimeter, the inradius, and the circumradius.

Regular polygons[edit]

The area of a convex regular polygon is the product of its semiperimeter and its apothem.

See also[edit]

• Semidiameter

References[edit]

External links[edit]

• Weisstein, Eric W. «Semiperimeter». MathWorld.

From Wikipedia, the free encyclopedia

In geometry, the semiperimeter of a polygon is half its perimeter. Although it has such a simple derivation from the perimeter, the semiperimeter appears frequently enough in formulas for triangles and other figures that it is given a separate name. When the semiperimeter occurs as part of a formula, it is typically denoted by the letter s.

Triangles[edit]

The semiperimeter is used most often for triangles; the formula for the semiperimeter of a triangle with side lengths a, b, c

Properties[edit]

In any triangle, any vertex and the point where the opposite excircle touches the triangle partition the triangle’s perimeter into two equal lengths, thus creating two paths each of which has a length equal to the semiperimeter. If A, B, B’, C’ are as shown in the figure, then the segments connecting a vertex with the opposite excircle tangency (AA’, BB’, CC’, shown in red in the diagram) are known as splitters, and

The three splitters concur at the Nagel point of the triangle.

A cleaver of a triangle is a line segment that bisects the perimeter of the triangle and has one endpoint at the midpoint of one of the three sides. So any cleaver, like any splitter, divides the triangle into two paths each of whose length equals the semiperimeter. The three cleavers concur at the center of the Spieker circle, which is the incircle of the medial triangle; the Spieker center is the center of mass of all the points on the triangle’s edges.

A line through the triangle’s incenter bisects the perimeter if and only if it also bisects the area.

A triangle’s semiperimeter equals the perimeter of its medial triangle.

By the triangle inequality, the longest side length of a triangle is less than the semiperimeter.

Formulas invoking the semiperimeter[edit]

For triangles[edit]

The area A of any triangle is the product of its inradius (the radius of its inscribed circle) and its semiperimeter:

The area of a triangle can also be calculated from its semiperimeter and side lengths a, b, c using Heron’s formula:

The circumradius R of a triangle can also be calculated from the semiperimeter and side lengths:

This formula can be derived from the law of sines.

The inradius is

The law of cotangents gives the cotangents of the half-angles at the vertices of a triangle in terms of the semiperimeter, the sides, and the inradius.

The length of the internal bisector of the angle opposite the side of length a is^[1]

In a right triangle, the radius of the excircle on the hypotenuse equals the semiperimeter. The semiperimeter is the sum of the inradius and twice the circumradius. The area of the right triangle is where a, b are the legs.

For quadrilaterals[edit]

The formula for the semiperimeter of a quadrilateral with side lengths a, b, c, d is

One of the triangle area formulas involving the semiperimeter also applies to tangential quadrilaterals, which have an incircle and in which (according to Pitot’s theorem) pairs of opposite sides have lengths summing to the semiperimeter—namely, the area is the product of the inradius and the semiperimeter:

The simplest form of Brahmagupta’s formula for the area of a cyclic quadrilateral has a form similar to that of Heron’s formula for the triangle area:

Bretschneider’s formula generalizes this to all convex quadrilaterals:

in which α and γ are two opposite angles.

The four sides of a bicentric quadrilateral are the four solutions of a quartic equation parametrized by the semiperimeter, the inradius, and the circumradius.

Regular polygons[edit]

The area of a convex regular polygon is the product of its semiperimeter and its apothem.

See also[edit]

• Semidiameter

References[edit]

External links[edit]

• Weisstein, Eric W. «Semiperimeter». MathWorld.

полупериметр

В геометрии полупериметр многоугольника равен половине его периметр. Хотя полупериметр имеет такое простое происхождение от периметра, он достаточно часто встречается в формулах для треугольников и других фигур, поэтому ему дается отдельное название. Когда полупериметр входит в состав формулы, он обычно обозначается буквой s.

Содержание

• 1 Треугольники
  • 1.1 Свойства
  • 1.2 Формулы, вызывающие полупериметр
• 2 Четырехугольники
• 3 Правильные многоугольники
• 4 Ссылки
• 5 Внешние ссылки

Треугольники

В любом треугольнике расстояние вдоль границы треугольника от вершины до точки на противоположном ребре, касающейся вневписанной окружности, равно полупериметру.

Полупериметр чаще всего используется для треугольников; формула полупериметра треугольника с длинами сторон a, b и c равна

s = a + b + c 2. { displaystyle s = { frac {a + b + c} {2}}.}

Свойства

В любом треугольнике, любой вершине и точке, где противоположная вневписанная окружность касается треугольника, разделяющего периметр треугольника на две равные длины, таким образом создавая два пути, каждый из которых имеет длину, равную полупериметру. Если A, B, C, A ‘, B’ и C ‘такие, как показано на рисунке, то отрезки, соединяющие вершину с противоположным касанием вневписанной окружности (AA’, BB ‘и CC’, показаны красным на рисунке диаграмму) известны как разделители и

s = | A B | + | A ′ B | = | A B | + | A B ′ | = | A C | + | A ′ C | { displaystyle s = | AB | + | A’B | = | AB | + | AB ‘| = | AC | + | A’C |}

= | A C | + | A C ′ | = | B C | + | B ′ C | = | B C | + | B C ′ |. { displaystyle = | AC | + | AC ‘| = | BC | + | B’C | = | BC | + | BC’ |.}

Три разделителя совпадают в Точка Нагеля треугольника.

A разделитель треугольника — это отрезок прямой, делящий пополам периметр треугольника и имеющий одну конечную точку в середине одной из трех сторон. Таким образом, любой нож, как и любой разделитель, делит треугольник на две дорожки, длина каждой из которых равна полупериметру. Три кливера совпадают в центре круга Шпикера, который является вписанной окружностью среднего треугольника ; центр Шпикера — это центр масс всех точек на краях треугольника.

Линия, проходящая через центр треугольника, делит периметр пополам тогда и только тогда, когда она также делит площадь пополам.

Полупериметр треугольника равен периметру его среднего треугольника.

Согласно неравенству треугольника длина самой длинной стороны треугольника меньше полупериметра.

Формулы, использующие полупериметр

Площадь A любого треугольника является произведением его внутреннего радиуса (радиуса вписанной в него окружности) и его полупериметра:

A = rs. { displaystyle A = rs.}

Площадь треугольника также можно рассчитать по его полупериметру и длинам сторон a, b, c с использованием формулы Герона :

A = s (s — a) (s — б) (з — в). { displaystyle A = { sqrt {s left (sa right) left (sb right) left (sc right)}}.}

радиус описанной окружности R треугольника можно также рассчитать по полупериметру и длинам сторон:

R = abc 4 s (s — a) (s — b) (s — c). { displaystyle R = { frac {abc} {4 { sqrt {s (sa) (sb) (sc)}}}}.}

Эта формула может быть получена из закона синусов.

Внутренний радиус равен

r = (s — a) (s — b) (s — c) s. { displaystyle r = { sqrt { frac {(sa) (sb) (sc)} {s}}}.}

Закон котангенсов дает котангенсы полууглов в вершинах треугольника в терминах полупериметра, сторон и внутреннего радиуса.

Длина внутренней биссектрисы угла, противоположной стороне длины a, составляет

t a = 2 b c s (s — a) b + c. { displaystyle t_ {a} = { frac {2 { sqrt {bcs (sa)}}} {b + c}}.}

В прямоугольном треугольнике радиус вневписанная окружность на гипотенузе равна полупериметру. Полупериметр — это сумма внутреннего радиуса и двойного радиуса описанной окружности. Площадь прямоугольного треугольника равна (s — a) (s — b) { displaystyle (s-a) (s-b)}, где a и b — ноги.

Четырехугольники

Формула полупериметра четырехугольника с длинами сторон a, b, c и d:

s = a + b + c + d 2. { displaystyle s = { frac {a + b + c + d} {2}}.}

Одна из формул площади треугольника, включающая полупериметр, также применима к касательным четырехугольникам, которые имеют вписанной окружности и в которой (согласно теореме Пито ) пары противоположных сторон имеют длины, суммируемые с полупериметром, а именно площадь является произведением внутреннего радиуса и полупериметра:

K = rs. { displaystyle K = rs.}

Простейшая форма формулы Брахмагупты для площади циклического четырехугольника имеет форму, аналогичную формуле Герона для площади треугольника:

К = (s — a) (s — b) (s — c) (s — d). { displaystyle K = { sqrt { left (sa right) left (sb right) left (sc right) left (sd right)}}.}

Формула Бретшнайдера обобщает это ко всем выпуклым четырехугольникам:

K = (s — a) (s — b) (s — c) (s — d) — abcd ⋅ cos 2 ⁡ (α + γ 2), { Displaystyle К = { sqrt {(sa) (sb) (sc) (sd) -abcd cdot cos ^ {2} left ({ frac { alpha + gamma} {2}} right)}},}

, в котором α { displaystyle alpha ,}и γ { displaystyle gamma ,}являются двумя противоположными углы.

Четыре стороны двухцентрового четырехугольника являются четырьмя решениями уравнения четвертой степени, параметризованных полупериметром, внутренним радиусом и радиусом описанной окружности.

Правильные многоугольники

Площадь выпуклого правильного многоугольника является произведением его полупериметра и его апофемы.

Ссылки

Внешние ссылки

• Weisstein, Эрик У. «Полупериметр». MathWorld.

В геометрии полупериметр многоугольника равен половине его периметр. Хотя полупериметр имеет такое простое происхождение от периметра, он достаточно часто встречается в формулах для треугольников и других фигур, поэтому ему дается отдельное название. Когда полупериметр входит в состав формулы, он обычно обозначается буквой s.

Содержание

• 1 Треугольники
  • 1.1 Свойства
  • 1.2 Формулы, вызывающие полупериметр
• 2 Четырехугольники
• 3 Правильные многоугольники
• 4 Ссылки
• 5 Внешние ссылки

Треугольники

В любом треугольнике расстояние вдоль границы треугольника от вершины до точки на противоположном ребре, касающейся вневписанной окружности, равно полупериметру.

Полупериметр чаще всего используется для треугольников; формула полупериметра треугольника с длинами сторон a, b и c равна

s = a + b + c 2. { displaystyle s = { frac {a + b + c} {2}}.}

Свойства

В любом треугольнике, любой вершине и точке, где противоположная вневписанная окружность касается треугольника, разделяющего периметр треугольника на две равные длины, таким образом создавая два пути, каждый из которых имеет длину, равную полупериметру. Если A, B, C, A ‘, B’ и C ‘такие, как показано на рисунке, то отрезки, соединяющие вершину с противоположным касанием вневписанной окружности (AA’, BB ‘и CC’, показаны красным на рисунке диаграмму) известны как разделители и

s = | A B | + | A ′ B | = | A B | + | A B ′ | = | A C | + | A ′ C | { displaystyle s = | AB | + | A’B | = | AB | + | AB ‘| = | AC | + | A’C |}

= | A C | + | A C ′ | = | B C | + | B ′ C | = | B C | + | B C ′ |. { displaystyle = | AC | + | AC ‘| = | BC | + | B’C | = | BC | + | BC’ |.}

Три разделителя совпадают в Точка Нагеля треугольника.

A разделитель треугольника — это отрезок прямой, делящий пополам периметр треугольника и имеющий одну конечную точку в середине одной из трех сторон. Таким образом, любой нож, как и любой разделитель, делит треугольник на две дорожки, длина каждой из которых равна полупериметру. Три кливера совпадают в центре круга Шпикера, который является вписанной окружностью среднего треугольника ; центр Шпикера — это центр масс всех точек на краях треугольника.

Линия, проходящая через центр треугольника, делит периметр пополам тогда и только тогда, когда она также делит площадь пополам.

Полупериметр треугольника равен периметру его среднего треугольника.

Согласно неравенству треугольника длина самой длинной стороны треугольника меньше полупериметра.

Формулы, использующие полупериметр

Площадь A любого треугольника является произведением его внутреннего радиуса (радиуса вписанной в него окружности) и его полупериметра:

A = rs. { displaystyle A = rs.}

Площадь треугольника также можно рассчитать по его полупериметру и длинам сторон a, b, c с использованием формулы Герона :

A = s (s — a) (s — б) (з — в). { displaystyle A = { sqrt {s left (sa right) left (sb right) left (sc right)}}.}

радиус описанной окружности R треугольника можно также рассчитать по полупериметру и длинам сторон:

R = abc 4 s (s — a) (s — b) (s — c). { displaystyle R = { frac {abc} {4 { sqrt {s (sa) (sb) (sc)}}}}.}

Эта формула может быть получена из закона синусов.

Внутренний радиус равен

r = (s — a) (s — b) (s — c) s. { displaystyle r = { sqrt { frac {(sa) (sb) (sc)} {s}}}.}

Закон котангенсов дает котангенсы полууглов в вершинах треугольника в терминах полупериметра, сторон и внутреннего радиуса.

Длина внутренней биссектрисы угла, противоположной стороне длины a, составляет

t a = 2 b c s (s — a) b + c. { displaystyle t_ {a} = { frac {2 { sqrt {bcs (sa)}}} {b + c}}.}

В прямоугольном треугольнике радиус вневписанная окружность на гипотенузе равна полупериметру. Полупериметр — это сумма внутреннего радиуса и двойного радиуса описанной окружности. Площадь прямоугольного треугольника равна (s — a) (s — b) { displaystyle (s-a) (s-b)}, где a и b — ноги.

Четырехугольники

Формула полупериметра четырехугольника с длинами сторон a, b, c и d:

s = a + b + c + d 2. { displaystyle s = { frac {a + b + c + d} {2}}.}

Одна из формул площади треугольника, включающая полупериметр, также применима к касательным четырехугольникам, которые имеют вписанной окружности и в которой (согласно теореме Пито ) пары противоположных сторон имеют длины, суммируемые с полупериметром, а именно площадь является произведением внутреннего радиуса и полупериметра:

K = rs. { displaystyle K = rs.}

Простейшая форма формулы Брахмагупты для площади циклического четырехугольника имеет форму, аналогичную формуле Герона для площади треугольника:

К = (s — a) (s — b) (s — c) (s — d). { displaystyle K = { sqrt { left (sa right) left (sb right) left (sc right) left (sd right)}}.}

Формула Бретшнайдера обобщает это ко всем выпуклым четырехугольникам:

K = (s — a) (s — b) (s — c) (s — d) — abcd ⋅ cos 2 ⁡ (α + γ 2), { Displaystyle К = { sqrt {(sa) (sb) (sc) (sd) -abcd cdot cos ^ {2} left ({ frac { alpha + gamma} {2}} right)}},}

, в котором α { displaystyle alpha ,}и γ { displaystyle gamma ,}являются двумя противоположными углы.

Четыре стороны двухцентрового четырехугольника являются четырьмя решениями уравнения четвертой степени, параметризованных полупериметром, внутренним радиусом и радиусом описанной окружности.

Правильные многоугольники

Площадь выпуклого правильного многоугольника является произведением его полупериметра и его апофемы.

Ссылки

Внешние ссылки

В геометрии , то -полупериметр из многоугольника равна половине ее периметра . Хотя полупериметр имеет такое простое происхождение от периметра, он достаточно часто встречается в формулах для треугольников и других фигур, поэтому ему дается отдельное название. Когда полупериметр входит в состав формулы, он обычно обозначается буквой s .

Треугольники

Полупериметр чаще всего используется для треугольников; формула для полупериметра треугольника с длинами сторон a , b и c имеет вид

Свойства

В любом треугольнике любая вершина и точка, в которой противоположная вневписанная окружность касается треугольника, делят периметр треугольника на две равные длины, таким образом создавая два пути, каждый из которых имеет длину, равную полупериметру. Если A, B, C, A ‘, B’ и C ‘такие, как показано на рисунке, то сегменты, соединяющие вершину с противоположным касанием вневписанной окружности (AA’, BB ‘и CC’, показаны красным на рисунке диаграмма) известны как разделители , и

Три разделителя совпадают в точке Нагеля треугольника.

Тесак треугольника является отрезком , который делит пополам периметр треугольника и имеет одну конечную точку в середине одной из трех сторон. Таким образом, любой тесак, как и любой делитель, делит треугольник на две дорожки, длина каждой из которых равна полупериметру. Три подмаренника сходится в центре круга Spieker , которая является вписанной в медиальном треугольнике ; центр Шпикера — это центр масс всех точек на краях треугольника.

Линия, проходящая через центр треугольника, делит периметр пополам тогда и только тогда, когда она также делит площадь пополам.

Полупериметр треугольника равен периметру его среднего треугольника .

По неравенству треугольника длина самой длинной стороны треугольника меньше полупериметра.

Формулы, использующие полупериметр

Площадь A любого треугольника равна произведению его внутреннего радиуса (радиуса вписанной в него окружности) и его полупериметра:

Площадь треугольника может быть также рассчитана из его полупериметра и длин сторон а, б, в , используя формулу Герона :

Описанной окружности R треугольника может быть также рассчитано из -полупериметр и длинами сторон:

Эта формула может быть получена из закона синусов .

Радиус

Закон котангенсов дают котангенсы из половин углов в вершинах треугольника в терминах -полупериметра, сторон, и inradius.

Длина внутренней биссектрисы угла, противоположной стороне длины a, равна ^[1]

В прямоугольном треугольнике радиус вневписанной окружности на гипотенузе равен полупериметру. Полупериметр — это сумма внутреннего радиуса и двойного радиуса описанной окружности. Площадь прямоугольного треугольника равнагде a и b — ноги.

Четырехугольники

Формула для полупериметра четырехугольника с длинами сторон a , b , c и d имеет следующий вид:

Одна из формул площади треугольника, включающая полупериметр, также применима к касательным четырехугольникам , которые имеют вписанную окружность и в которых (согласно теореме Пито ) пары противоположных сторон имеют длину, суммируемую с полупериметром, а именно площадь является произведением внутреннего радиуса и полупериметр:

Простейшая форма формулы Брахмагупты для площади вписанного четырехугольника имеет форму, аналогичную формуле Герона для площади треугольника:

Формула Бретшнайдера обобщает это на все выпуклые четырехугольники:

в котором а также два противоположных угла.

Четыре стороны бицентрического четырехугольника — это четыре решения уравнения четвертой степени, параметризованные полупериметром, внутренним и описанным радиусом .

Правильные многоугольники

Площадь правильного выпуклого многоугольника равна произведению его полупериметра и апофемы .

См. Также

• Полудиаметр

Ссылки

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Полупериметр» . MathWorld .

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Перейти к: навигация, поиск

Полупериметр — В геометрии, полупериметр многоугольника — половина его периметра. Полупериметр достаточно часто появляется в формулах для треугольников и других фигур, которые дают ему отдельное название. Когда полупериметр является частью формулы, он типично обозначается символом p. Наиболее часто полупериметр используется в формулах для треугольников. Формула для полупериметра треугольника с длинами стороны a, b, и c:

Таким образом, полупериметр равен половине периметра, или половине суммы всех сторон треугольника^[1].

Через полупериметр можно найти площадь треугольника(формула Герона):

Радиус описанной окружности треугольника может также быть рассчитан от длин сторон и полупериметра:

Эта формула может быть получена из теоремы синусов

Радиус вписанной окружности треугольника может быть высчитан через полупериметр

Самая простая форма формулы Брахмагупты, для площади четырехугольника, такова:

[править] См. также

• Периметр
• Треугольник

[править] Примечания