From Wikipedia, the free encyclopedia
The empty set is the set containing no elements.
In mathematics, the empty set is the unique set having no elements; its size or cardinality (count of elements in a set) is zero.[1] Some axiomatic set theories ensure that the empty set exists by including an axiom of empty set, while in other theories, its existence can be deduced. Many possible properties of sets are vacuously true for the empty set.
Any set other than the empty set is called non-empty.
In some textbooks and popularizations, the empty set is referred to as the «null set».[1] However, null set is a distinct notion within the context of measure theory, in which it describes a set of measure zero (which is not necessarily empty). The empty set may also be called the void set.
Notation[edit]
A symbol for the empty set
Common notations for the empty set include «{}», «
«, and «∅». The latter two symbols were introduced by the Bourbaki group (specifically André Weil) in 1939, inspired by the letter Ø in the Danish and Norwegian alphabets.[2] In the past, «0» was occasionally used as a symbol for the empty set, but this is now considered to be an improper use of notation.[3]
The symbol ∅ is available at Unicode point U+2205.[4] It can be coded in HTML as ∅ and as ∅. It can be coded in LaTeX as varnothing. The symbol is coded in LaTeX as emptyset.
When writing in languages such as Danish and Norwegian, where the empty set character may be confused with the alphabetic letter Ø (as when using the symbol in linguistics), the Unicode character U+29B0 REVERSED EMPTY SET ⦰ may be used instead.[5]
Properties[edit]
In standard axiomatic set theory, by the principle of extensionality, two sets are equal if they have the same elements. As a result, there can be only one set with no elements, hence the usage of «the empty set» rather than «an empty set».
The empty set has the following properties:
For any set A:
For any property P:
Conversely, if for some property P and some set V, the following two statements hold:
- For every element of V the property P holds
- There is no element of V for which the property P holds
then 
By the definition of subset, the empty set is a subset of any set A. That is, every element x of 
belongs to A. Indeed, if it were not true that every element of is in A, then there would be at least one element of that is not present in A. Since there are no elements of at all, there is no element of that is not in A. Any statement that begins «for every element of » is not making any substantive claim; it is a vacuous truth. This is often paraphrased as «everything is true of the elements of the empty set.»
In the usual set-theoretic definition of natural numbers, zero is modelled by the empty set.
Operations on the empty set[edit]
When speaking of the sum of the elements of a finite set, one is inevitably led to the convention that the sum of the elements of the empty set is zero. The reason for this is that zero is the identity element for addition. Similarly, the product of the elements of the empty set should be considered to be one (see empty product), since one is the identity element for multiplication.
A derangement is a permutation of a set without fixed points. The empty set can be considered a derangement of itself, because it has only one permutation (
), and it is vacuously true that no element (of the empty set) can be found that retains its original position.
In other areas of mathematics[edit]
Extended real numbers[edit]
Since the empty set has no member when it is considered as a subset of any ordered set, every member of that set will be an upper bound and lower bound for the empty set. For example, when considered as a subset of the real numbers, with its usual ordering, represented by the real number line, every real number is both an upper and lower bound for the empty set.[6] When considered as a subset of the extended reals formed by adding two «numbers» or «points» to the real numbers (namely negative infinity, denoted 
which is defined to be less than every other extended real number, and positive infinity, denoted 
which is defined to be greater than every other extended real number), we have that:
and
That is, the least upper bound (sup or supremum) of the empty set is negative infinity, while the greatest lower bound (inf or infimum) is positive infinity. By analogy with the above, in the domain of the extended reals, negative infinity is the identity element for the maximum and supremum operators, while positive infinity is the identity element for the minimum and infimum operators.
Topology[edit]
In any topological space X, the empty set is open by definition, as is X. Since the complement of an open set is closed and the empty set and X are complements of each other, the empty set is also closed, making it a clopen set. Moreover, the empty set is compact by the fact that every finite set is compact.
The closure of the empty set is empty. This is known as «preservation of nullary unions.»
Category theory[edit]
If 
is a set, then there exists precisely one function 
from to 
the empty function. As a result, the empty set is the unique initial object of the category of sets and functions.
The empty set can be turned into a topological space, called the empty space, in just one way: by defining the empty set to be open. This empty topological space is the unique initial object in the category of topological spaces with continuous maps. In fact, it is a strict initial object: only the empty set has a function to the empty set.
Set theory[edit]
In the von Neumann construction of the ordinals, 0 is defined as the empty set, and the successor of an ordinal is defined as 
. Thus, we have 
, 
, 
, and so on. The von Neumann construction, along with the axiom of infinity, which guarantees the existence of at least one infinite set, can be used to construct the set of natural numbers, 
, such that the Peano axioms of arithmetic are satisfied.
Questioned existence[edit]
Axiomatic set theory[edit]
In Zermelo set theory, the existence of the empty set is assured by the axiom of empty set, and its uniqueness follows from the axiom of extensionality. However, the axiom of empty set can be shown redundant in at least two ways:
- Standard first-order logic implies, merely from the logical axioms, that something exists, and in the language of set theory, that thing must be a set. Now the existence of the empty set follows easily from the axiom of separation.
- Even using free logic (which does not logically imply that something exists), there is already an axiom implying the existence of at least one set, namely the axiom of infinity.
Philosophical issues[edit]
While the empty set is a standard and widely accepted mathematical concept, it remains an ontological curiosity, whose meaning and usefulness are debated by philosophers and logicians.
The empty set is not the same thing as nothing; rather, it is a set with nothing inside it and a set is always something. This issue can be overcome by viewing a set as a bag—an empty bag undoubtedly still exists. Darling (2004) explains that the empty set is not nothing, but rather «the set of all triangles with four sides, the set of all numbers that are bigger than nine but smaller than eight, and the set of all opening moves in chess that involve a king.»[7]
The popular syllogism
- Nothing is better than eternal happiness; a ham sandwich is better than nothing; therefore, a ham sandwich is better than eternal happiness
is often used to demonstrate the philosophical relation between the concept of nothing and the empty set. Darling writes that the contrast can be seen by rewriting the statements «Nothing is better than eternal happiness» and «[A] ham sandwich is better than nothing» in a mathematical tone. According to Darling, the former is equivalent to «The set of all things that are better than eternal happiness is » and the latter to «The set {ham sandwich} is better than the set «. The first compares elements of sets, while the second compares the sets themselves.[7]
Jonathan Lowe argues that while the empty set:
- «was undoubtedly an important landmark in the history of mathematics, … we should not assume that its utility in calculation is dependent upon its actually denoting some object.»
it is also the case that:
- «All that we are ever informed about the empty set is that it (1) is a set, (2) has no members, and (3) is unique amongst sets in having no members. However, there are very many things that ‘have no members’, in the set-theoretical sense—namely, all non-sets. It is perfectly clear why these things have no members, for they are not sets. What is unclear is how there can be, uniquely amongst sets, a set which has no members. We cannot conjure such an entity into existence by mere stipulation.»[8]
George Boolos argued that much of what has been heretofore obtained by set theory can just as easily be obtained by plural quantification over individuals, without reifying sets as singular entities having other entities as members.[9]
See also[edit]
- 0 – Number
- Inhabited set – Kind of set in constructive mathematics
- Nothing – Complete absence of anything; the opposite of everything
- Power set – Mathematical set containing all subsets of a given set
References[edit]
- ^ a b Weisstein, Eric W. «Empty Set». mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-11.
- ^ «Earliest Uses of Symbols of Set Theory and Logic».
- ^ Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis (3rd ed.). McGraw-Hill. p. 300. ISBN 007054235X.
- ^ «Unicode Standard 5.2» (PDF).
- ^ e.g. Nina Grønnum (2005, 2013) Fonetik og Fonologi: Almen og dansk. Akademisk forlag, Copenhagen.
- ^ Bruckner, A.N., Bruckner, J.B., and Thomson, B.S. (2008). Elementary Real Analysis, 2nd edition, p. 9.
- ^ a b D. J. Darling (2004). The Universal Book of Mathematics. John Wiley and Sons. p. 106. ISBN 0-471-27047-4.
- ^ E. J. Lowe (2005). Locke. Routledge. p. 87.
- ^ George Boolos (1984), «To be is to be the value of a variable», The Journal of Philosophy 91: 430–49. Reprinted in 1998, Logic, Logic and Logic (Richard Jeffrey, and Burgess, J., eds.) Harvard University Press, 54–72.
Further reading[edit]
- Halmos, Paul, Naive Set Theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (paperback edition).
- Jech, Thomas (2002), Set Theory, Springer Monographs in Mathematics (3rd millennium ed.), Springer, ISBN 3-540-44085-2
- Graham, Malcolm (1975), Modern Elementary Mathematics (2nd ed.), Harcourt Brace Jovanovich, ISBN 0155610392
External links[edit]
- Weisstein, Eric W. «Empty Set». MathWorld.
From Wikipedia, the free encyclopedia
The empty set is the set containing no elements.
In mathematics, the empty set is the unique set having no elements; its size or cardinality (count of elements in a set) is zero.[1] Some axiomatic set theories ensure that the empty set exists by including an axiom of empty set, while in other theories, its existence can be deduced. Many possible properties of sets are vacuously true for the empty set.
Any set other than the empty set is called non-empty.
In some textbooks and popularizations, the empty set is referred to as the «null set».[1] However, null set is a distinct notion within the context of measure theory, in which it describes a set of measure zero (which is not necessarily empty). The empty set may also be called the void set.
Notation[edit]
A symbol for the empty set
Common notations for the empty set include «{}», ««, and «∅». The latter two symbols were introduced by the Bourbaki group (specifically André Weil) in 1939, inspired by the letter Ø in the Danish and Norwegian alphabets.[2] In the past, «0» was occasionally used as a symbol for the empty set, but this is now considered to be an improper use of notation.[3]
The symbol ∅ is available at Unicode point U+2205.[4] It can be coded in HTML as ∅ and as ∅. It can be coded in LaTeX as varnothing. The symbol is coded in LaTeX as emptyset.
When writing in languages such as Danish and Norwegian, where the empty set character may be confused with the alphabetic letter Ø (as when using the symbol in linguistics), the Unicode character U+29B0 REVERSED EMPTY SET ⦰ may be used instead.[5]
Properties[edit]
In standard axiomatic set theory, by the principle of extensionality, two sets are equal if they have the same elements. As a result, there can be only one set with no elements, hence the usage of «the empty set» rather than «an empty set».
The empty set has the following properties:
For any set A:
For any property P:
Conversely, if for some property P and some set V, the following two statements hold:
- For every element of V the property P holds
- There is no element of V for which the property P holds
then
By the definition of subset, the empty set is a subset of any set A. That is, every element x of belongs to A. Indeed, if it were not true that every element of is in A, then there would be at least one element of that is not present in A. Since there are no elements of at all, there is no element of that is not in A. Any statement that begins «for every element of » is not making any substantive claim; it is a vacuous truth. This is often paraphrased as «everything is true of the elements of the empty set.»
In the usual set-theoretic definition of natural numbers, zero is modelled by the empty set.
Operations on the empty set[edit]
When speaking of the sum of the elements of a finite set, one is inevitably led to the convention that the sum of the elements of the empty set is zero. The reason for this is that zero is the identity element for addition. Similarly, the product of the elements of the empty set should be considered to be one (see empty product), since one is the identity element for multiplication.
A derangement is a permutation of a set without fixed points. The empty set can be considered a derangement of itself, because it has only one permutation (), and it is vacuously true that no element (of the empty set) can be found that retains its original position.
In other areas of mathematics[edit]
Extended real numbers[edit]
Since the empty set has no member when it is considered as a subset of any ordered set, every member of that set will be an upper bound and lower bound for the empty set. For example, when considered as a subset of the real numbers, with its usual ordering, represented by the real number line, every real number is both an upper and lower bound for the empty set.[6] When considered as a subset of the extended reals formed by adding two «numbers» or «points» to the real numbers (namely negative infinity, denoted which is defined to be less than every other extended real number, and positive infinity, denoted which is defined to be greater than every other extended real number), we have that:
and
That is, the least upper bound (sup or supremum) of the empty set is negative infinity, while the greatest lower bound (inf or infimum) is positive infinity. By analogy with the above, in the domain of the extended reals, negative infinity is the identity element for the maximum and supremum operators, while positive infinity is the identity element for the minimum and infimum operators.
Topology[edit]
In any topological space X, the empty set is open by definition, as is X. Since the complement of an open set is closed and the empty set and X are complements of each other, the empty set is also closed, making it a clopen set. Moreover, the empty set is compact by the fact that every finite set is compact.
The closure of the empty set is empty. This is known as «preservation of nullary unions.»
Category theory[edit]
If is a set, then there exists precisely one function from to the empty function. As a result, the empty set is the unique initial object of the category of sets and functions.
The empty set can be turned into a topological space, called the empty space, in just one way: by defining the empty set to be open. This empty topological space is the unique initial object in the category of topological spaces with continuous maps. In fact, it is a strict initial object: only the empty set has a function to the empty set.
Set theory[edit]
In the von Neumann construction of the ordinals, 0 is defined as the empty set, and the successor of an ordinal is defined as . Thus, we have , , , and so on. The von Neumann construction, along with the axiom of infinity, which guarantees the existence of at least one infinite set, can be used to construct the set of natural numbers, , such that the Peano axioms of arithmetic are satisfied.
Questioned existence[edit]
Axiomatic set theory[edit]
In Zermelo set theory, the existence of the empty set is assured by the axiom of empty set, and its uniqueness follows from the axiom of extensionality. However, the axiom of empty set can be shown redundant in at least two ways:
- Standard first-order logic implies, merely from the logical axioms, that something exists, and in the language of set theory, that thing must be a set. Now the existence of the empty set follows easily from the axiom of separation.
- Even using free logic (which does not logically imply that something exists), there is already an axiom implying the existence of at least one set, namely the axiom of infinity.
Philosophical issues[edit]
While the empty set is a standard and widely accepted mathematical concept, it remains an ontological curiosity, whose meaning and usefulness are debated by philosophers and logicians.
The empty set is not the same thing as nothing; rather, it is a set with nothing inside it and a set is always something. This issue can be overcome by viewing a set as a bag—an empty bag undoubtedly still exists. Darling (2004) explains that the empty set is not nothing, but rather «the set of all triangles with four sides, the set of all numbers that are bigger than nine but smaller than eight, and the set of all opening moves in chess that involve a king.»[7]
The popular syllogism
- Nothing is better than eternal happiness; a ham sandwich is better than nothing; therefore, a ham sandwich is better than eternal happiness
is often used to demonstrate the philosophical relation between the concept of nothing and the empty set. Darling writes that the contrast can be seen by rewriting the statements «Nothing is better than eternal happiness» and «[A] ham sandwich is better than nothing» in a mathematical tone. According to Darling, the former is equivalent to «The set of all things that are better than eternal happiness is » and the latter to «The set {ham sandwich} is better than the set «. The first compares elements of sets, while the second compares the sets themselves.[7]
Jonathan Lowe argues that while the empty set:
- «was undoubtedly an important landmark in the history of mathematics, … we should not assume that its utility in calculation is dependent upon its actually denoting some object.»
it is also the case that:
- «All that we are ever informed about the empty set is that it (1) is a set, (2) has no members, and (3) is unique amongst sets in having no members. However, there are very many things that ‘have no members’, in the set-theoretical sense—namely, all non-sets. It is perfectly clear why these things have no members, for they are not sets. What is unclear is how there can be, uniquely amongst sets, a set which has no members. We cannot conjure such an entity into existence by mere stipulation.»[8]
George Boolos argued that much of what has been heretofore obtained by set theory can just as easily be obtained by plural quantification over individuals, without reifying sets as singular entities having other entities as members.[9]
See also[edit]
- 0 – Number
- Inhabited set – Kind of set in constructive mathematics
- Nothing – Complete absence of anything; the opposite of everything
- Power set – Mathematical set containing all subsets of a given set
References[edit]
- ^ a b Weisstein, Eric W. «Empty Set». mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-11.
- ^ «Earliest Uses of Symbols of Set Theory and Logic».
- ^ Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis (3rd ed.). McGraw-Hill. p. 300. ISBN 007054235X.
- ^ «Unicode Standard 5.2» (PDF).
- ^ e.g. Nina Grønnum (2005, 2013) Fonetik og Fonologi: Almen og dansk. Akademisk forlag, Copenhagen.
- ^ Bruckner, A.N., Bruckner, J.B., and Thomson, B.S. (2008). Elementary Real Analysis, 2nd edition, p. 9.
- ^ a b D. J. Darling (2004). The Universal Book of Mathematics. John Wiley and Sons. p. 106. ISBN 0-471-27047-4.
- ^ E. J. Lowe (2005). Locke. Routledge. p. 87.
- ^ George Boolos (1984), «To be is to be the value of a variable», The Journal of Philosophy 91: 430–49. Reprinted in 1998, Logic, Logic and Logic (Richard Jeffrey, and Burgess, J., eds.) Harvard University Press, 54–72.
Further reading[edit]
- Halmos, Paul, Naive Set Theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (paperback edition).
- Jech, Thomas (2002), Set Theory, Springer Monographs in Mathematics (3rd millennium ed.), Springer, ISBN 3-540-44085-2
- Graham, Malcolm (1975), Modern Elementary Mathematics (2nd ed.), Harcourt Brace Jovanovich, ISBN 0155610392
External links[edit]
- Weisstein, Eric W. «Empty Set». MathWorld.
Обозначение пустого множества
Пусто́е мно́жество (в математике) — множество, не содержащее ни одного элемента. Из аксиомы объёмности следует, что есть только одно множество, обладающее таким свойством. Пустое множество является своим (тривиальным) подмножеством, но не является своим элементом.
Пустое множество является конечным множеством и имеет наименьшую мощность среди всех множеств. Пустое множество — единственное множество, для которого класс множеств, равномощных ему, состоит из единственного элемента (самого́ пустого множества). Также, пустое множество — единственное множество, имеющее ровно 1 подмножество (само себя), и единственное множество, равномощное любому своему подмножеству.
Пустое множество тривиальным образом является разрешимым (а значит, перечислимым и арифметическим), транзитивным и вполне упорядоченным множеством (для любого отношения порядка). Пустое множество является наименьшим порядковым числом и наименьшим кардинальным числом. В топологии, пустое множество является одновременно замкнутым и открытым множеством.
-цепочка, начинающаяся с произвольного множества, каждый последующий член которой является элементом предыдущего, всегда через конечное число шагов завершается пустым множеством (см. аксиому регулярности). Таким образом, пустое множество является «строительным кирпичиком», из которого строятся все остальные множества.
В некоторых формулировках теории множеств существование пустого множества постулируется (см. аксиому пустого множества), в других — доказывается.
Пустое множество играет исключительно важную роль в математике.[1]
Обозначения пустого множества[править | править код]
Символы со сходным начертанием: Ø · ø · ⌀
Обычно пустое множество обозначают как , или .
Реже пустое множество обозначают одним из следующих символов: и [2].
Символы и введены в употребление группой Бурбаки (в частности, Андре Вейлем) в 1939 году. Прообразом послужила буква Ø из датско-норвежского алфавита[3].
Символ «пустое множество» представлен в Юникоде (U+2205 ∅ empty set)[4] и, хотя он отсутствует на обычных клавиатурах, может быть введён с клавиатуры:
- в HTML как ∅ или ∅
- в LaTeX его код varnothing (символ кодируется emptyset)
- в Microsoft Word символ можно получить, введя 2205 и нажав Alt+X
- в Windows с помощью Alt-кода Alt+8709
- в системах, использующих X Window System (Unix/Linux/ChromeOS и др.), с помощью комбинации Ctrl+⇧ Shift+u 2205Пробел или с использованием клавиши Compose, нажав поочерёдно Compose{}[5].
В текстах на таких языках, как датский или норвежский, где символ пустого множества может быть спутан с буквой алфавита Ø (при использовании в лингвистике), вместо него может быть использован символ Юникода U+29B0 ⦰ reversed empty set (HTML ⦰)[6].
Свойства пустого множества[править | править код]
- Ни одно множество не является элементом пустого множества. Иначе говоря, и, в частности, .
- Пустое множество является подмножеством любого множества. Иначе говоря, и, в частности, .
- Объединение пустого множества с любым множеством равно последнему [указанному множеству]. Иначе говоря, и, в частности, .
- Пересечение пустого множества с любым множеством равно пустому множеству. Иначе говоря, и, в частности, .
- Пересечение любого множества с его дополнением равно пустому множеству. Иначе говоря, .
- Исключение пустого множества из любого множества равно последнему [указанному множеству]. Иначе говоря, и, в частности, .
- Исключение любого множества из пустого множества равно пустому множеству. Иначе говоря, и, в частности, .
- Симметрическая разность пустого множества с любым множеством равна последнему [указанному множеству]. Иначе говоря, и, в частности,
- Декартово произведение пустого множества на любое множество равно пустому множеству. Иначе говоря, и, в частности, .
- Пустое множество — транзитивно. Иначе говоря, , где .
- Пустое множество — не рефлективно, симметрично, антисимметрично.
- Пустое множество — ординал. Иначе говоря, , где .
- Мощность пустого множества равна нулю. Иначе говоря, .
- Мера пустого множества равна нулю. Иначе говоря,
См. также[править | править код]
- Аксиома пустого множества
- Аксиоматика теории множеств
Примечания[править | править код]
- ↑
Если — как это и предполагается в нашей системе — члены любого множества также суть множества (в том числе пустое множество), а не индивиды, то само собой разумеется, что единственным первичным конституентом…любого множества оказывается пустое множество.
Френкель А. А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. — М.: Мир, 1966. — С. 117.
- ↑ Rudin, Walter. Principles of Mathematical Analysis. — 3rd. — McGraw-Hill, 1976. — P. 300. — ISBN 007054235X.
- ↑ Earliest Uses of Symbols of Set Theory and Logic (англ.). — История появления символов теории множеств и логики. Дата обращения: 28 сентября 2010. Архивировано 21 августа 2011 года.
- ↑ The Unicode Standard, Version 13.0. Mathematical Operators, Range: 2200–22FF (англ.) (PDF). Unicode Inc[en] (2020). Дата обращения: 6 августа 2020. Архивировано 12 июня 2018 года.
- ↑ Monniaux, David UTF-8 (Unicode) compose sequence (англ.). — Файл конфигурации вводимых с помощью клавиши Compose символов. Дата обращения: 25 июня 2020. Архивировано 3 августа 2020 года.
- ↑ Например, Grønnum, Nina. Fonetik og Fonologi: Almen og dansk : [датск.]. — Copenhagen : Akademisk forlag, 2013. — ISBN 978-87-500-4045-3, 87-500-4045-6.
Литература[править | править код]
- Столл Р. Множества, логика, аксиоматические теории. — М.: Мир, 1968. — 231 с.
- Нефедов В.Н., Осипова В.А. Курс дискретной математики. — М.: МАИ, 1992. — 264 с. — ISBN 5-7035-0157-X.
- Halmos, Paul, Naive Set Theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (paperback edition).
- Jech, Thomas (2002), Set Theory (3rd millennium ed.), Springer Monographs in Mathematics, Springer, ISBN 3-540-44085-2
- Graham, Malcolm (1975), Modern Elementary Mathematics (2nd ed.), Harcourt Brace Jovanovich, ISBN 0155610392
Как пишется непустой?
Как правильно не пустой?
Как следует писать правильно непустой слитно или раздельно?
2 ответа:
2
0
В русском языке имена прилагательные «пустой» и «непустой» являются в своём словарном виде простейшей контрадикторной антонимической парой, образованной при помощи «НЕ».
Вопрос о том, существует ли слово «непустой» (слитно) и насколько часто оно употребляется, упирается, в первую очередь, в терминологию. Математика, информатика и физика оперируют некоторыми терминами, касающимися прилагательного «непустой» (чаще — в значениях «ненулевой» или «заполненный»).
Например:
- «Непустое множество», «непустое пересечение, «непустая ячейка», «непустое подмножество», «непустая последовательность», «непустое смещение», «непустой каталог» и так далее (везде слитно, если в предложении не оказывается противопоставление).
Пожалуй, что в нетерминологических случаях раздельное написание («не пустой») более распространено. Слитно же пишут, когда явно напрашиваются синонимы «полный», «заполненный», «наполненный» и так далее.
0
0
Реабилитируюсь. Тут также работает правило с синонимами без не.
Читайте также
Разница между этими двумя словами и написаниями в том, что:
Можно за раз увидеть сто зараз. Можно и зараз увидеть за сто раз. Но в этих предложениях мы видим не только зараз, но и следующее:
«За раз» — раздельное написание подсказывает нам о том, что сказано «за один раз». Это и имеется в виду. Вставка слова «один» является вовсе не искусственной. Она как бы дополняет сокращённое высказывание до полного.
«Зараз» — это одна из грамматических форм имени существительного «зараза»: «множество зараз», «нет этих зараз» и так далее. Пишется слитно.
_
Как известно, слово «зараза» может появиться в предложении не только в значении «инфекция», но и как ругательство («человек, который, подобно инфекции, бесполезен, докучлив и так далее»). В этом смысле множественное число («заразы») становится естественным, у него имеется родительный падеж, который мы и не должны путать с «за раз».
«Не» с прилагательными мы пишем слитно, если к слову можно подобрать синоним без частицы «не». Слово «нещедрый» можно заменить синонимом без «не» — скупой, поэтому слово «нещедрый» пишем слитно. Пример: «С его стороны — это был нещедрый подарок».
Правильно будет писаться слово «незадачливый» слитно. Во-первых,потому,что это слово без частицы «не» не употребляется.(нет в русском языке слова «задачливый»). Во-вторых, это слово можно заменить синонимом без частицы «не» — проблемный, бесталанный. Примеры: «Сегодня день выдался какой-то незадачливый».
Слово «не лежачий» будет писаться раздельно,так как заменить его синонимом с частицей «не» нельзя. Примеры: «Дедушка этот еще не лежачий, он молодец», «Под не лежачий камень вода как раз и течёт, а вот под лежачий — нет».
Прежде всего следует определить, к какой части речи относится слово конкретно.
Оно является наречием (отвечает на вопрос как? каким образом?).
В одних случаях НЕ с наречием конкретно пишется слитно, в других — раздельно.
СЛИТНО наречие конкретно пишется с НЕ, если его можно заменить синонимом без НЕ: неконкретно — абстрактно (отвлечённо, обобщённо, расплывчато, приблизительно).
Пример:
- Манера депутата неконкретно отвечать на неудобные вопросы вызвала глухое раздражение аудитории.
РАЗДЕЛЬНО наречие конкретно с частицей НЕ пишется, если в предложении имеется противопоставление с союзом «а».
Пример:
- Журналисты, бравшие интервью у артиста Логинова, с досадой признавались, что тот всегда умудрялся не конкретно, а туманно рассказать о своей личной жизни.
Однако, при наличии другого противительного союза — «но» — НЕ с наречием конкретно пишется слитно.
Пример:
- Он пописывал статейки, в которых неконкретно, но талантливо высмеивал недостатки местной власти.
(в данном случае наречия «неконкретно» и «талантливо» не противопоставляются друг другу, не являются антонимами).
При наличии слов далеко, вовсе, отнюдь НЕ с наречием конкретно пишется раздельно.
Пример:
- Он облегчённо вздохнул, поняв, что обидные слова были обращены отнюдь не конкретно к нему.
|
Правильность написания слов ВПУСТУЮ И В ПУСТУЮ, зависит от того, какой частью речи оно является в предложении. Если в предложении слово выступает как прилагательное, то пишется раздельно, то есть В ПУСТУЮ. Объясняется это просто, к прилагательному «пустой», которое отвечает на вопрос в какую?, так же как и в вопросе добавляется предлог. (в какую ? ) В пустую канистру налили бензина. Если в предложении слово выступает как наречие, то пишется слитно, то есть ВПУСТУЮ. Наречие в предложении будет отвечать на вопрос как?, то есть предлога быть не должно. Сходил на работу ( как ? ) впустую. В школе я запоминала так, если в вопросе есть предлог, значит пишем с предлогом (раздельно ), если в вопросе нет предлога, значит пишем слитно. автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
Rogneda 7 лет назад Слитное или раздельное написание однокоренных слов в пустую и впустую зависит от того, к какой части речи принадлежат эти слова. Это можно определить в конкретном контексте. Прилагательное «пустой» имеет одну из падежных форм с предлогов «в», например: Я вошел в пустую комнату. В этом случае слово «в пустую» пишется раздельно. Между предлогом и прилагательным можно вставить вопрос или другое слово: в какую? пустую, в совсем пустую комнату. От прилагательных образуются множество наречий на —ую: сварить вкрутую, идти напрямую, играть втёмную, построить вкруговую, идти наудалую, бросились врассыпную, освободиться вчистую, боролись врукопашную. Эти наречия в соответствии с орфографическим правилом пишутся слитно, как и наречие впустую. Ружье щелкало впустую. Щелкало как? впустую, то есть напрасно. (наречие синонимично наречию). Исключением является написание следующих наречий, образованных от прилагательных, оканчивающихся на -ую: на боковую, на мировую, на попятную, в открытую.
Эти два варианта относятся к разным случаям. Если в смысле «зря», «напрасно», то пишется «впустую» слитно, то есть одним словом. Например, «сколько она ни старалась, всё было впустую». А если, например, налить воду «в пустую» кастрюлю, то пишется раздельно.
андрей2208 7 лет назад Зависит от смысловой нагрузки слова в предложении. Например : «Время, проведённое впустую» «Положить монетку в пустую банку». В первом случае слово «впустую» отвечает на вопрос «как» (было проведено время), во втором на вопрос «какую» (банка была какой?).
Рождённый в С С С Р 7 лет назад От контекста всё зависит. Если «наливала в пустую ёмкость тягучую, вязкую жидкость» — то здесь раздельно, разумеется, писать следует предлог В и прилагательное ПУСТУЮ. А если в значении «напрасно» тогда пишем слитно — «всё впустую!»
Колючка 555 6 лет назад На самом деле существует и то и то слово в русском языке. Например. На рынке вообще нет выбора, сходили впустую. Мы забыли баночку для червей, поэтому положили их в пустую тарелочку. В первом случае наречие, во втором прилагательное. Запомните это правило и больше не ошибайтесь.
Про100 й 7 лет назад Если это наречие ( отвечает на вопрос — как?) то следует писать слитно: впустую Например: Все сделал впустую…( напрасно) Но если слово является прилагательным, то тут надо писать раздельно в пустую( в какую?) например: Положил в пустую тарелку.
Синенплай Вайклиота 6 лет назад Оба варианта написания правильные Пишем как впустую, так и впустую Впустую — если это наречие, отвечает на вопрос как В пустую — прилагательное отвечающее на вопрос какую Нужно запомнить — этот вопрос часто спрашивают на уроках Русского.
stalonevich 7 лет назад Слово может писаться по разному — два варианта правильны в равной степени. Надо определить часть речи для правильного написания. Наречие пишется слитно — «впустую», если же существительное в тексте — то тогда раздельно — «в пустую».
Раздельно напишем «в пустую» мы, если Это предлог с прилагательным. Вместе, если наречие нам здесь дано — если на «как?» отвечает, то это оно! :). Примеры: Налить воды в пустую бочку. Они никогда не работают впустую.
Paprika 7 лет назад Если слово отвечает на вопрос КАК?то пишется вместе.Например:я время в командировке провел(как?)впустую.Если слово прилагательное,то отвечает на вопрос(какой?)Например :в пустой банке хранила ключи) Знаете ответ? |
×òî òàêîå «Ïóñòîå ìíîæåñòâî»? Êàê ïðàâèëüíî ïèøåòñÿ äàííîå ñëîâî. Ïîíÿòèå è òðàêòîâêà.
Ïóñòîå ìíîæåñòâî — ìíîæåñòâî, íå ñîäåðæàùåå ýëåìåíòîâ. Îáîçíà÷åíèÿ: , Ë. Èíà÷å, ={õ: õ õ}, ïðè ýòîì âìåñòî õ õ â ýòîì îïðåäåëåíèè ìîæíî áûëî áû èñïîëüçîâàòü ëþáîå âñåãäà ëîæíîå óòâåðæäåíèå. Ï. ì. ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì ëþáîãî ìíîæåñòâà. Ì. È. Âîéöåõîâñêèé.
Ïóñòîå ìíîæåñòâî —
(ìàòåìàòè÷åñêîå)
«ìíîæåñòâî», íå ñîäåðæàùåå íè îäíîãî ýëåìåíòà. Ïîíÿòèå «Ï. ì.» (ïîäîáíî ïî… Áîëüøàÿ Ñîâåòñêàÿ ýíöèêëîïåäèÿ
Ïóñòîå ìíîæåñòâî — ÏÓÑÒÎÅ ìíîæåñòâî — Ïîíÿòèå òåîðèè ìíîæåñòâ; ïóñòîå ìíîæåñòâî — ìíîæåñòâî, íå ñîäåðæàùåå íè îäíîãî ýë… Áîëüøîé ýíöèêëîïåäè÷åñêèé ñëîâàðü
мно́жество
мно́жество, -а
Источник: Орфографический
академический ресурс «Академос» Института русского языка им. В.В. Виноградова РАН (словарная база
2020)
Делаем Карту слов лучше вместе
Привет! Меня зовут Лампобот, я компьютерная программа, которая помогает делать
Карту слов. Я отлично
умею считать, но пока плохо понимаю, как устроен ваш мир. Помоги мне разобраться!
Спасибо! Я обязательно научусь отличать широко распространённые слова от узкоспециальных.
Насколько понятно значение слова чернобыльский:
Ассоциации к слову «множество»
Синонимы к слову «множество»
Предложения со словом «множество»
- – Он пришёл не ко мне, а в замок, то есть в место, где живёт великое множество людей.
- В настоящее время существует великое множество различных видов вредителей, и описать их всё довольно сложно.
- В мире существует множество людей, которые умеют сами регулировать свою температуру и давление, не прибегая к помощи лекарств.
- (все предложения)
Цитаты из русской классики со словом «множество»
- Меня поразили их уменье пользоваться масштабом и память, с какой они разбирались в бесчисленном множестве мелких ручьев и речек, из которых слагаются верховья Акура, Хуту и Хунгари.
- Тетеревов употребляют в пищу великое множество, по большей части крытых шатрами; хищные птицы и звери также много их истребляют.
- В Орловской губернии последние леса и площадя [«Площадями» называются в Орловской губернии большие сплошные массы кустов; орловское наречие отличается вообще множеством своебытных, иногда весьма метких, иногда довольно безобразных, слов и оборотов.
- (все
цитаты из русской классики)
Значение слова «множество»
-
МНО́ЖЕСТВО, -а, ср. 1. Очень большое количество, число кого-, чего-л. (Малый академический словарь, МАС)
Все значения слова МНОЖЕСТВО
Афоризмы русских писателей со словом «множество»
- Дорога удивительное дело! Ее могущество непреодолимо, успокоительно и целительно. Отрывая вдруг человека от окружающей среды, все равно, любезной ему или даже неприятной, от постоянно развлекающей его множеством предметов, постоянно текущей разнообразной действительности, она сосредотачивает его мысли и чувства в тесный мир дорожного экипажа, устремляет его внимание сначала на самого себя, потом на воспоминание прошедшего и, наконец, на мечты и надежды — в будущем; и все это делается с ясностью и спокойствием, без всякой суеты и торопливости.
- В русский язык по необходимости вошло множество иностранных слов, потому что в русскую жизнь вошло множество иностранных понятий и идей.
- Множество стихов Крылова обратилось в пословицы и поговорки, которыми часто можно окончить спор и доказать свою мысль лучше, нежели какими-нибудь теоретическими доводами.
- (все афоризмы русских писателей)
Смотрите также
МНО́ЖЕСТВО, -а, ср. 1. Очень большое количество, число кого-, чего-л.
Все значения слова «множество»
-
– Он пришёл не ко мне, а в замок, то есть в место, где живёт великое множество людей.
-
В настоящее время существует великое множество различных видов вредителей, и описать их всё довольно сложно.
-
В мире существует множество людей, которые умеют сами регулировать свою температуру и давление, не прибегая к помощи лекарств.
- (все предложения)
- бесчисленный
- целый
- скопище
- сонм
- сонмище
- (ещё синонимы…)
- много
- излишество
- выборка
- число
- математика
- (ещё ассоциации…)
- бесчисленное
- неисчислимое
- бессчётное
- несчётное
- превеликое
- (ещё…)
- Склонение
существительного «множество» - Разбор по составу слова «множество»
Обозначение пустого множества
Пусто́е мно́жество (в математике) — множество, не содержащее ни одного элемента. Из аксиомы объёмности следует, что есть только одно множество, обладающее таким свойством. Пустое множество является своим (тривиальным) подмножеством, но не является своим элементом.
Пустое множество является конечным множеством и имеет наименьшую мощность среди всех множеств. Пустое множество — единственное множество, для которого класс множеств, равномощных ему, состоит из единственного элемента (самого́ пустого множества). Также, пустое множество — единственное множество, имеющее ровно 1 подмножество (само себя), и единственное множество, равномощное любому своему подмножеству.
Пустое множество тривиальным образом является разрешимым (а значит, перечислимым и арифметическим), транзитивным (англ.) и вполне упорядоченным множеством (для любого отношения порядка). Пустое множество является наименьшим порядковым числом и наименьшим кардинальным числом. В топологии, пустое множество является одновременно замкнутым и открытым множеством.
-цепочка, начинающаяся с произвольного множества, каждый последующий член которой является элементом предыдущего, всегда через конечное число шагов завершается пустым множеством (см. аксиому регулярности). Таким образом, пустое множество является «строительным кирпичиком», из которого строятся все остальные множества.
В некоторых формулировках теории множеств существование пустого множества постулируется (см. аксиому пустого множества), в других — доказывается.
Обозначения пустого множества
Обычно пустое множество обозначают одним из следующих символов: 
, 
и 
.
Реже пустое множество обозначают одним из следующих символов: 
и 
.
В Юникоде имеется специальный символ «пустое множество» (U+2205,∅).
Символы и введены в употребление группой Бурбаки (в частности, Андре Вейлем) в 1939 году.
Символ идентичен букве Ø в Датско-норвежском алфавите[1].
Свойства пустого множества
- Ни одно множество не является элементом пустого множества. Иначе говоря,
и, в частности, . - Пустое множество является подмножеством любого множества. Иначе говоря, и, в частности, .
- Объединение пустого множества с любым множеством равно последнему [указанному множеству]. Иначе говоря, и, в частности, .
- Пересечение пустого множества с любым множеством равно пустому множеству. Иначе говоря, и, в частности, .
- Исключение пустого множества из любого множества равно последнему [указанному множеству]. Иначе говоря, и, в частности, .
- Исключение любого множества из пустого множества равно пустому множеству. Иначе говоря, и, в частности, .
- Симметрическая разность пустого множества с любым множеством равна последнему [указанному множеству]. Иначе говоря, и, в частности,
- Декартово произведение пустого множества на любое множество равно пустому множеству. Иначе говоря, и, в частности, .
- Пустое множество — транзитивно. Иначе говоря, , где .
- Пустое множество — ординал. Иначе говоря, , где .
- Мощность пустого множества равна нулю. Иначе говоря, .
- Мера пустого множества равна нулю. Иначе говоря,
и, в частности, 
.
и, в частности, 
.
и, в частности, 
.
и, в частности, 
.
и, в частности, 
.
и, в частности, 
и, в частности, 
и, в частности, 
.
, где 
.
, где 
.
.
См. также
- Аксиома пустого множества
- Аксиоматика теории множеств
Ссылки
- ↑ Earliest Uses of Symbols of Set Theory and Logic (англ.). — История появления символов теории множеств и логики. Архивировано из первоисточника 22 августа 2011. Проверено 28 сентября 2010.
Обозначение пустого множества
Пусто́е мно́жество (в математике) — множество, не содержащее ни одного элемента. Из аксиомы объёмности следует, что есть только одно множество, обладающее таким свойством. Пустое множество является своим (тривиальным) подмножеством, но не является своим элементом.
Пустое множество является конечным множеством и имеет наименьшую мощность среди всех множеств. Пустое множество — единственное множество, для которого класс множеств, равномощных ему, состоит из единственного элемента (самого́ пустого множества). Также, пустое множество — единственное множество, имеющее ровно 1 подмножество (само себя), и единственное множество, равномощное любому своему подмножеству.
Пустое множество тривиальным образом является разрешимым (а значит, перечислимым и арифметическим), транзитивным и вполне упорядоченным множеством (для любого отношения порядка). Пустое множество является наименьшим порядковым числом и наименьшим кардинальным числом. В топологии, пустое множество является одновременно замкнутым и открытым множеством.
-цепочка, начинающаяся с произвольного множества, каждый последующий член которой является элементом предыдущего, всегда через конечное число шагов завершается пустым множеством (см. аксиому регулярности). Таким образом, пустое множество является «строительным кирпичиком», из которого строятся все остальные множества.
В некоторых формулировках теории множеств существование пустого множества постулируется (см. аксиому пустого множества), в других — доказывается.
Пустое множество играет исключительно важную роль в математике.[1]
Обозначения пустого множества
Символы со сходным начертанием: Ø · ø · ⌀
Обычно пустое множество обозначают как , или 
.
Реже пустое множество обозначают одним из следующих символов: 
и 
.
В Юникоде имеется специальный символ «пустое множество» (U+2205, ∅).
Символы и введены в употребление группой Бурбаки (в частности, Андре Вейлем) в 1939 году.
Символ идентичен букве Ø в датско-норвежском алфавите[2].
Свойства пустого множества
- Ни одно множество не является элементом пустого множества. Иначе говоря, и, в частности, .
- Пустое множество является подмножеством любого множества. Иначе говоря, и, в частности, .
- Объединение пустого множества с любым множеством равно последнему [указанному множеству]. Иначе говоря, и, в частности, .
- Пересечение пустого множества с любым множеством равно пустому множеству. Иначе говоря, и, в частности, .
- Пересечение любого множества с его дополнением равно пустому множеству. Иначе говоря, .
- Исключение пустого множества из любого множества равно последнему [указанному множеству]. Иначе говоря, и, в частности, .
- Исключение любого множества из пустого множества равно пустому множеству. Иначе говоря, и, в частности, .
- Симметрическая разность пустого множества с любым множеством равна последнему [указанному множеству]. Иначе говоря, и, в частности,
- Декартово произведение пустого множества на любое множество равно пустому множеству. Иначе говоря, и, в частности, .
- Пустое множество — транзитивно. Иначе говоря, , где .
- Пустое множество — ординал. Иначе говоря, , где .
- Мощность пустого множества равна нулю. Иначе говоря, .
- Мера пустого множества равна нулю. Иначе говоря,
См. также
- Аксиома пустого множества
- Аксиоматика теории множеств
Ссылки
- ↑
Если — как это и предполагается в нашей системе — члены любого множества также суть множества (в том числе пустое множество), а не индивиды, то само собой разумеется, что единственным первичным конституентом…любого множества оказывается пустое множество.
Френкель А. А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. — М.: Мир, 1966. — С. 117.
- ↑ Earliest Uses of Symbols of Set Theory and Logic (англ.). — История появления символов теории множеств и логики. Проверено 28 сентября 2010. Архивировано 22 августа 2011 года.
Литература
- Столл Р. Множества, логика, аксиоматические теории. — М.: Мир, 1968. — 231 с.
- Нефедов В.Н., Осипова В.А. Курс дискретной математики. — М.: МАИ, 1992. — 264 с. — ISBN 5-7035-0157-X.
B = {9,14,28}
, x <0}
B = {3,9,14},
A = B
B = {1,2,3},
A B = {9,14}
B = {1,2,3},
A — B = {9,14}
B = {1,2,3},
A ∆ B = {1,2,9,14}
B = {1,2,3},
A ⊖ B = {1,2,9,14}
принадлежит
0 = {0,1,2,3,4, …}01 = {1,2,3,4,5, …}1
= {…- 3, -2, -1,0,1,2,3, …}
= { x | x = a / b , a , b ∈ и b ≠ 0} = { x | -∞ < х <∞}
= { z | z = a + bi , -∞ < a <∞, -∞ < b <∞}Пустое множество ∅
Значение символа
Пустое множество. Математические операторы.
Символ «Пустое множество» был утвержден как часть Юникода версии 1.1 в 1993 г.
| Версия | 1.1 |
| Блок | Математические операторы |
| Тип парной зеркальной скобки (bidi) | Нет |
| Композиционное исключение | Нет |
| Изменение регистра | 2205 |
| Простое изменение регистра | 2205 |
| Кодировка | hex | dec (bytes) | dec | binary |
|---|---|---|---|---|
| UTF-8 | E2 88 85 | 226 136 133 | 14846085 | 11100010 10001000 10000101 |
| UTF-16BE | 22 05 | 34 5 | 8709 | 00100010 00000101 |
| UTF-16LE | 05 22 | 5 34 | 1314 | 00000101 00100010 |
| UTF-32BE | 00 00 22 05 | 0 0 34 5 | 8709 | 00000000 00000000 00100010 00000101 |
| UTF-32LE | 05 22 00 00 | 5 34 0 0 | 86114304 | 00000101 00100010 00000000 00000000 |