Как пишется распределительное свойство

Краткое описание

Используемый в школе распределительный закон умножения позволяет ученикам максимально быстро выполнить все необходимые вычисления. Знание определенных нюансов поможет решить сложные уравнения и различные задачи. Процесс умножения представляет собой сокращенный процесс сложения. А это означает, что первый множитель выступает в роли числа, которое складывается само с собой определенное количество раз, соответствующее второму множителю. Пример: 4 * 8 = 4+4+4+4+4+4+4+4 = 32.

Элементарное математическое умножение было изобретено в то время, когда у человечества возникла необходимость выполнять большие вычисления, которые просто неудобно записывать в виде элементарного сложения. Всем хорошо известно, что можно 8 раз сложить число 4, а можно 4 раза сложить число 8, но итоговый результат от этого не поменяется. Именно в этом и состоит смысл переместительного умножения всех задействованных элементов. Умножение позволило человеку решить довольно много проблем, но вместе с этим в алгебру пришло и деление, но уже как противоположная математическая операция.

Ключевые особенности

Чтобы даже на начальном этапе ученик мог выполнить умножение суммы некоторых чисел, необходимо просто умножить каждое слагаемое по отдельности и сложить полученный результат. К примеру: (j + d) * s = sj + sd либо s * (j + d) = sj + sd. Чтобы немного упростить способ решения задачи, описанное правило можно использовать в обратном порядке: s * j + s * d = s * (j + d). В этом случае общий множитель выносится за пределы скобок.

Если попробовать задействовать многофункциональное распределительное свойство сложения, то в итоге можно будет решить следующие математические примеры:

• Классическая задача: 35 * 6. Следует представить число 35 как сумму двух чисел 30 и 5, которую просто нужно перемножить на 6: (30 + 5) * 6. Все вычисления выполняются элементарно: 30 * 6 + 5 * 6 = 210.
• Еще один пример: 4 * (20 + 13). Для решения нужно умножить число 4 на каждое задействованное слагаемое: 4 * 20 + 4 * 13. Сложение примет следующий вид: 80 + 52 = 132.
• Также следует рассмотреть более сложный пример: 8 * (45 — 3). Необходимо перемножить на число 9 уменьшаемое 45, а также вычитаемое 3. Пример: 8 * 45 — 8 * 3. Если все сделать верно, то итоговый результат примет следующий вид: 360 — 24 = 336.

Умелое применение распределительного свойства умножения поможет избежать распространенных ошибок. Так, основное правило актуально не только по отношению к сумме, но и к разности двух и более выражений. Для укрепления полученных навыков можно попробовать самостоятельно придумать задачу.

Основные математические возможности

Чтобы можно было выполнить определенные арифметические действия по отношению к числу, необходимо поочередно умножить его на каждое слагаемое и в итоге сложить полученные произведения. А это значит, что для любых частных чисел l, r, w верным будет следующее равенство: w * (l + r) = w * l + w * r. Этот пример отлично выражает распределительный закон сложения и последующего умножения. Так как число и сумма являются множителями, то после смены их места расположения, задействовав для этого переместительное свойство, можно будет сформировать наиболее подходящее свойство.

Всего специалисты выделяют три свойства распределительного умножения:

• Элементарное сочетательное. Именно это свойство применяется для тех примеров, где используется минимум 3 множителя. Основная мысль сочетательного свойства в том, что можно легко перемножить первые два множителя, а только потом умножить результат на третий множитель. Стоит учесть, что порядок перемножения может быть абсолютно любым.
• Переместительное. Произведение не меняется от перемены мест множителя. Для примера из двух множителей это свойство не является критичным, но для заданий с тремя и более множителями это направление может сэкономить много свободного времени.
• Распределительное. В математике это свойство получило большой спрос для умножения числа на сумму либо разность. Распределительный подход сокращает время решения задачи при правильном подходе. Суть свойства в том, что во время умножения числа на разность либо конкретную сумму можно каждое слагаемое умножить на основное число, а уже потом выполнить сложение.

Все перечисленные направления имеют свои особенности и правила использования на практике, которые обязательно нужно учесть для лучшего усвоения этой темы.

Правила вычитания

Умножение и последующее вычитание натуральных чисел обязательно связывается распределительным свойством. Учащимся обязательно нужно запомнить формулировку этого правила: умножить определенную разность двух рациональных чисел на конкретное число — это вычитание из произведения уменьшаемого числа произведения данного или неизвестного вычитаемого числа. Все математические примеры записываются при помощи обычных букв: (s — r)* n = s * n — r * n. Задействованными символами могут называться определенные рациональные целые и дробные числа.

Элементарные примеры распределительного свойства умножения позволяют ученикам освоить технику решения распространенных математических задач. Если необходимо убедиться в равенстве уравнения 5 * (8 — 3) = 5 * 8 — 5 * 3, тогда нужно выполнить несколько арифметических действий. Так как пример 8 − 3 всегда равен 5, то произведение 5 * (8 — 3) всегда будет иметь следующий результат: 5 * 5 = 5+5+5+5+5=25. Теперь нужно вычислить разность между 5 * 8 и 5 * 3. Решение выглядит следующим образом: 5 * 8 − 5 * 3 = (5+5+5+5+5+5+5+5) — (5+5+5) = 40 — 15 = 25. Это значит, что равенство 5 * (8 − 3) = 5 * 8 − 5 * 3.

Использование двух и более слагаемых

Распространенное в алгебре распределительное свойство элементарного умножения активно применяется не только по отношению к двум слагаемым, но и для неограниченного количества арифметических элементов. Этот подход можно применить для всех форм дробей, что очень удобно. Стандартная формула имеет следующий вид:

• d x (e + t + h) = d x e + d x t + d x h .
• d x (e — t — h) = dxe — dxt — dxh.

В качестве примера следует рассмотреть следующее уравнение: 678 * 4. Чтобы понять все нюансы, надо представить число 678 как сумму трех чисел: 600, 70 и 8. Если это сделать, то в итоге можно получить следующее решение: (600 + 70 + * 4 = 600 * 4 + 70 * 4 + 8 * 4 = 2400 + 280 + 32 = 2712. Для более быстрого решения задачи нужно упростить несколько выражений, используя для этого упомянутое ранее свойство.

Если в качестве примера взять уравнение 8 * (4х + 3у), тогда первым делом раскрывают имеющиеся скобки, применяя для этого распределительный закон умножения: 8 * 4х + 8 * 3у = 32х + 24у. Конечно, полученный результат сложить просто невозможно, так как заявленные слагаемые не являются подобными, к тому же они имеют разную буквенную часть. Именно поэтому ответ будет выглядеть следующим образом: 32х + 24у.

Если ученик научится использовать при решении различных примеров универсальное распределительное свойство сложения и умножения, то в итоге он сможет легко решать даже самые сложные математические примеры, так как многие ситуации можно свести к устному счету. Также будет существенно экономиться время при решении многоуровневых задач. Благодаря полученным знаниям, можно будет с легкостью упростить выражения. Эксперты рекомендуют дважды проверять выполненную работу, так как только в этом случае можно будет избежать ошибок.

Умножение нуля

Несмотря на то что ноль не относится к категории естественных чисел, этому направлению тоже нужно уделить повышенное внимание. Это связано с тем, что такое свойство используется во время умножения натуральных чисел столбиком. Если строго соблюдать смысл умножения, тогда произведение 0 * х, где х выступает в роли произвольного естественного числа больше единицы, представляет собой сумму х слагаемых. В такой ситуации актуальной является следующая формула: 0 * х = 0+0+0+0+….+0. Свойства математического сложения позволяют специалистам утверждать, что последняя сумма неизбежно будет равна нулю.

Чтобы иметь возможность сохранить справедливость элементарного умножения используемого числа на единицу, можно считать верным следующее равенство: 0 * 1 = 0. Это значит, что для любого естественного числа х выполняется равенство 0 * х = 0. Чтобы оставалось актуальным переместительное свойство умножения, нужно помнить о справедливости равенства х * 0 = 0 для всех натуральных чисел х.

Произведение естественного числа и нуля равно нулю 0 * х = 0, а также х * 0 = 0. Используемый x представляет собой произвольное натуральное число. Экспертами было доказано, что последнее утверждение играет важную роль формулировки свойства умножения ранее полученного числа и нуля. К примеру, произведение чисел 87 и 0 равно нулю. Если попробовать умножить 0 на 897689, то в итоге тоже получим ноль.

Распределительное свойство относительно разности

Правильное решение математических уравнений возможно только в том случае, если ученик предварительно хорошо изучил теоретическую часть этой темы. Чтобы выполнить элементарное умножение разности на число, необходимо предварительно умножить на него уменьшаемое, а только после этого — вычитаемое, и выполнить вычисление полученных результатов. Пример: g x (y — u) = g x y — g x u или (y — u) x g = g x y — g x u .

Понять все нюансы помогут следующие три примера:

• Для решения уравнения 78 * (12 — 5) принято использовать распределительный закон. Первым делом умножают 78 на оба числа: 78 * 12 — 78 * 5. Необходимо отыскать разность полученных значений: 936 — 390 = 546 и записать полученный результат. Ответ: 546.
• Следующий пример: 78 * 5. Нужно найти значение математического выражения, используя для этого ранее изученные свойства. Следует представить 78 как разность двух чисел 83 и 5. Решение будет выглядеть следующим образом: 78 * 5 = (83 − 5) * 5 = 83 * 5 − 5 * 5 = 390.
• Еще один арифметический пример: 9 * (2 + 30). Решение этого уравнения довольно простое: 9 * 2 + 9 * 30 = 18 + 270 = 288.

Решать такие задачи элементарно и быстро, но для этого нужно хорошо усвоить все правила, а также рекомендации специалистов, так как только в этом случае можно будет избежать грубых ошибок.

Манипуляции с натуральным числом

Этот раздел связан с умножением единицы на конкретное число. Если следовать смыслу умножения, то в итоге произведение изучаемого арифметического выражения х будет равно сумме х слагаемых, каждое из которых тоже равно единице. Действует элементарная формула: 1 * х = 1+1+1+….+1 = х. Пример: произведение чисел 1 и 78 равно 78, а результатом умножения 1 и 456 есть число 456.

Произведение х * 1 лишено какого-либо смысла, так как это арифметическое выражение представляет собой сумму одного слагаемого, которое равно число х, но сложение определяют для двух и более слагаемых. Чтобы сохранить справедливое переместительное свойство поэтапного умножения, нужно считать верным равенство х * 1 = х.

Опытные математики утверждают, что произведение двух разных чисел, одно из которых приравнивается к нулю, равно другому числу. Это утверждение выступает в качестве официальной формулировки умножения единицы и определенного числа. При помощи букв это свойство записывается так: 1 * х = х * 1 = х. За основу могут использоваться любые натуральные числа.

Многим может показаться, что сегодня нет необходимости разбираться во всех свойствах распределительного умножения, так как под рукой всегда есть калькулятор. Но даже у программ существуют свои ограничения, что просто недопустимо в банковской отрасли и правительственных отраслях. Именно поэтому бухгалтеры в обязательном порядке изучают все особенности применения распределительного закона умножения.

Распределительное свойство умножения — важное правило, полезное в устном счете и при раскрытии скобок.

Распределительное свойство умножения относительно сложения:

Чтобы умножить число на сумму двух чисел, можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные результаты сложить.

С помощью букв распределительное свойство умножения относительно сложения записывают так:

   

либо так:

   

Распределительное свойство умножения относительно вычитания:

Чтобы умножить число на разность двух чисел, можно умножить это число на уменьшаемое и на вычитаемое, и из первого произведения вычесть второе.

С помощью букв распределительное свойство умножения относительно вычитания записывают так:

   

либо так:

   

Распределительное свойство умножения верно и для большего количества чисел. Например, для трех слагаемых распределительное свойство умножения относительно сложения имеет вид:

   

Распределительное свойство умножения упрощает устный счет.

Примеры:

   

   

Этот пример можно решить также с помощью распределительного свойства умножения относительно вычитания:

   

   

   

   

или

   

   

   

   

   

С помощью распределительного свойства умножения можно раскрывать скобки.

Примеры:

   

   

   

   

(Более подробно тема раскрытия скобок рассматривается после изучения отрицательных чисел).

Распределительное свойство умножения можно применить и в обратном порядке:

   

Говорят: «Общий множитель a выносим за скобки. В скобках остается b плюс c».

   

Говорят: «Общий множитель a выносим за скобки. В скобках остается b минус c».

Более подробно вынесение общего множителя за скобки изучают в курсе алгебры 7 класса.

Представим
себе такую историю…

–
Саша, учитель математики предложил разгадать вот такой ребус, чтобы узнать,
какое свойство умножения мы будем рассматривать на следующем уроке. Давай
разгадаем его вместе, – предложил другу Паша.

–
Давай разгадаем, – согласился Саша. – Мы с тобой раньше уже разгадывали ребус,
в котором было зашифровано слово «модуль».

–
Смотри, первая картинка в ребусе – врач, – начал Паша. – Перед картинкой стоит
запятая. После картинки стоит перевёрнутая запятая. А это значит, что в слове
«врач» мы должны отбросить первую и последнюю буквы.

–
Тогда получим слог «ра», – сказал Саша и спросил, – а что изображено на
следующем рисунке?

–
Это суп, – ответил Паша. – А зачёркнутая цифра два рядом с ним означает, что
нам надо из слова «суп» убрать вторую букву, то есть «у».

–
Тогда у нас останется «сп», – сказал Саша. – А дальше нарисовано море.

–
Да, но перед картинкой стоят две запятые, а значит, в слове «море» мы отбросим
первые две буквы и получим слог «ре», – объяснил Паша и продолжил, – затем идут
буквы «д» и «е». Дальше нарисована лиса.

–
И после картинки стоят две перевёрнутые запятые, то есть в слове «лиса» мы
отбросим две последние буквы, и у нас останется слог «ли», – помог другу Саша.

–
Затем идут буквы «т» и «е», – продолжил Паша, – после них нарисована соль с
двумя запятыми перед ней.

–
А это значит, что в слове «соль» надо отбросить первые две буквы. И тогда у нас
останется просто «ль», – сказал Саша.

–
Верно. И у нас остались три буквы: «н», «о» и «е». Теперь давай посмотрим, что
у нас получилось, – предложил другу Паша.

–
У нас получилось слово «распределительное», – назвал зашифрованное слово Саша.

–
Значит, на следующем уроке математики мы будем говорить о распределительном
свойстве умножения, – сделал вывод Паша и предложил, – но давай прежде
поговорим о нём с Мудряшом.

–
Ребята, прежде чем мы с вами поговорим, давайте немного разомнёмся и выполним
устные задания, – предложил Мудряш.

–
Теперь сверимся! – сказал Мудряш. –
Посмотрите, что у вас должно было получиться!

–
А сейчас вернёмся к вашему вопросу, – начал Мудряш. – Ребята, на прошлом уроке
мы с вами выяснили, что переместительное и сочетательное свойства умножения
справедливы не только для положительных чисел, но и для рациональных чисел. То
же самое можно сказать и про распределительное свойство умножения относительно
сложения.

Запомните!
Для любых рациональных чисел ,
 и
 выполняется
равенство:

 –
распределительное свойство умножения относительно сложения.

Давайте
рассмотрим пример: . Воспользуемся
только что сформулированным свойством. Тогда наше выражение примет вид: .
Выполнив умножение, получим .

Обратите
внимание, что, применив распределительное свойство, мы получили выражение,
которое не содержит скобок. Такое преобразование называют раскрытием
скобок.

Рассмотрим
ещё один пример: .
Прежде чем воспользоваться распределительным свойством умножения относительно
сложения, заменим разность в скобках на сумму, – начал Мудряш.

–
Для этого к уменьшаемому  прибавим
выражение, противоположное вычитаемому ,
то есть :
,
– подсказал Саша.

–
Теперь, применив наше свойство, что мы получим? – спросил Мудряш у мальчишек.

–
Мы получим ,
– ответил Паша.

–
Выполним умножение числовых множителей во втором слагаемом и в результате
получим ,
– закончил преобразования Мудряш.

–
Посмотрите на примеры  и ,
– продолжил Мудряш. – Здесь мы тоже можем применить распределительное свойство
умножения несмотря на то, что в скобках более двух слагаемых.

Прежде
чем раскрыть скобки в первом примере, заменим выражение в скобках на выражение,
содержащее только действие сложения: .
Теперь раскроем скобки: .
Выполним преобразования и в результате получим: .

Раскроем
скобки во втором примере. Заменим выражение в скобках на выражение, содержащее
только действие сложения: .
Выполним умножение каждого слагаемого на :
. И в результате получим .
Обратите внимание, что после умножения знак каждого слагаемого изменился на
противоположный. Отметим, что вместо ,
стоящей перед скобкой, обычно пишут просто знак «».
То есть можем записать вот такое равенство: .

Сформулируем
следующее правило. Запомните! Если перед скобками стоит знак «»,
то при раскрытии скобок надо опустить этот знак, а все знаки, стоящие перед
слагаемыми внутри скобок, изменить на противоположные.

В
следующем примере  выражение
в скобках надо умножить на .
Заменим выражение в скобках на выражение, содержащее только действие сложения: .
Выполним умножение на  и
в результате получим .
Обратите внимание, что после умножения на  знаки
слагаемых в скобках остались прежними. То есть можно записать вот такое
равенство: .

Сформулируем
следующее правило. Запомните! Если перед скобками стоит знак «»,
то при раскрытии скобок надо опустить этот знак, а все знаки, стоящие перед
слагаемыми внутри скобок, оставить без изменений.

Отметим,
что при раскрытии скобок совсем не обязательно заменять выражение в скобках на
выражение, которое содержит только действие сложения.

Распределительное свойство умножения можно применять и в обратную
сторону. Это называют вынесением общего множителя за скобки. Например,
в выражении  общим множителем является число . Вынесем его за скобки и получим .

Вынесение общего множителя за скобки иногда позволяет упрощать
вычисления. Посмотрите на выражение: . В нём каждое слагаемое записано в виде
произведения.

–
И каждое произведение содержит множитель .
Его мы и можем вынести за скобки: ,
– помогли Мудряшу мальчишки.

–
Молодцы! – похвалил Мудряш ребят.

–
Сумма в скобках равна ,
– продолжили вычисления Саша и Паша, –  и получим .

–
Рассмотрим ещё один пример: ,
– сказал Мудряш. – Обратите внимание, что здесь каждое из слагаемых имеет
одинаковую буквенную часть. Такие слагаемые называют подобными слагаемыми.
Вынесем общий множитель  за
скобки: . Выполним вычисления в
скобках и в результате получим .
Получается, что мы с вами упростили выражение. Такое упрощение называют приведением
подобных слагаемых.

Запомните!
Чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и полученный
результат умножить на общую буквенную часть.

–
Паша, Саша, а сейчас давайте выполним несколько заданий, – сказал Мудряш.

Задание
первое: раскройте скобки:

а)
;

б)
;

в)
;

г)
.

Решение:
чтобы
раскрыть скобки в каждом из примеров, мы воспользуемся распределительным
свойством умножения.

Итак,
первый пример .
Умножим каждое слагаемое в скобках на :
.
Преобразуем это выражение и в результате получим .

Раскроем
скобки во втором примере .
Умножим каждое слагаемое в скобках на :
.
Выполнив умножение в каждом слагаемом, в результате получим .

В
третьем примере  перед
скобками стоит знак «».
А значит, при раскрытии скобок знаки, стоящие перед слагаемыми в скобках, мы
изменим на противоположные и получим .

И
раскроем скобки в последнем примере ,
умножив каждое слагаемое в скобках на :
.
Выполним умножение в каждом из слагаемых и в результате получим .

Второе
задание: раскройте скобки и найдите значение выражения:

а)
;
б) ;
в) .

Решение:
в
первом примере  перед
скобками стоит знак «»,
а значит, при раскрытии скобок все знаки, стоящие перед слагаемыми в скобках,
мы оставим без изменений: .
Заменим действие вычитания сложением: .
Поменяем местами второе и третье слагаемые: .
Первые два слагаемых – противоположные числа. Их сумма равна 0.

.

Во
втором примере  перед
скобками стоит знак «».
Тогда раскрывая их, все знаки перед слагаемыми в скобках мы изменим на
противоположные: .
Сократим дробь  на
3:
.
Сложим дроби с одинаковыми знаменателями  и
в результате получим 1.

Раскроем скобки в третьем примере . Перед первыми скобками стоит знак «». Значит, раскрывая их, мы изменим знаки перед слагаемыми в
скобках на противоположные: . Перед вторыми скобками стоит знак «». Значит, раскрывая их, мы знаки перед слагаемыми в скобках
оставим без изменений: . Поменяем местами  и : . Противоположные числа  и  в сумме дадут нам : . Заменим вычитание сложением: . Запишем сумму модулей слагаемых со знаком «»: . Выполним сложение в скобках и в результате получим .

Выполним следующее задание: Приведите
подобные слагаемые:

а) ; б) .

Решение: в первом примере  каждое из слагаемых имеет одинаковую буквенную часть –
, поэтому эти слагаемые называют подобными. Вынесем  за скобки: . Выполним вычисления в скобках и в результате получим .

Во втором примере  первое и третье слагаемые имеют одинаковую буквенную часть –
.  Сгруппируем их. Второе и четвёртое слагаемые имеют одинаковую
буквенную часть – .
Тоже сгруппируем их:  .
Вынесем
за первые скобки общий множитель ,
за вторые – общий множитель :
.
Выполним вычисления в скобках и в результате получим .

И ещё одно задание: вынесите за
скобки общий множитель:

а) ; б) ; в) .

Решение: первый пример . Каждое из слагаемых содержит общий множитель . Его мы и вынесем за скобки: .

Второй пример . Здесь общим множителем будет число : . Вынесем его за скобки и в результате получим .

Третий пример . Заметим, что в этом выражении каждое из слагаемых содержит множитель
. Вынесем его за скобки и в результате получим .