Как пишется расстояние формула

Содержание материала

Формула скорости

Чтобы найти скорость, нужно разделить путь на время:

v = s : t

Расстояние

Мы постоянно ходим пешком и ездим на транспорте из одной точки в другую. Давайте узнаем, как можно посчитать это пройденное расстояние.

Расстояние — это длина от одного пункта до другого.

• Например: расстояние от дома до школы 3 км, от Москвы до Петербурга 705 км.

Расстояние обозначается латинской буквой s.

Единицы расстояния чаще всего выражаются в метрах (м), километрах (км).

Скорость

Двигаться со скоростью черепахи — значит медленно, а со скоростью света — значит очень быстро. Сейчас узнаем, как пишется скорость в математике и как ее найти по формуле.

Скорость определяет путь, который преодолеет объект за единицу времени. Скорость обозначается латинской буквой v.

Проще говоря, скоростью называют расстояние, пройденное телом за единицу времени.

Впервые формулу скорости проходят на математике в 5 классе. Сейчас мы ее сформулируем и покажем, как ее использовать.

Показатели скорости чаще всего выражаются в м/сек или км/час.

Скорость сближения — это расстояние, на которое сблизились два объекта за единицу времени. Чтобы найти скорость сближения двух объектов, которые движутся навстречу друг другу, надо сложить скорости этих объектов.

Скорость удаления — расстояние, на которое отдалились друг от друга два объекта за единицу времени.

Чтобы найти скорость удаления объектов, которые движутся в противоположных направлениях, нужно сложить скорости этих объектов.

Чтобы найти скорость удаления при движении с отставанием или скорость сближения при движении вдогонку, нужно из большей скорости вычесть меньшую.

Онлайн-курсы по математике для детей — отличный способ разобраться в сложных темах под руководством внимательного преподавателя.

Время

Время — самое дорогое, что у нас есть. Но кроме философии, у времени есть важная роль и в математике.

Время — это продолжительность каких-то действий, событий.

• Например: от метро до дома — 10 минут, от дома до дачи — 2 часа.

Время движения обозначается латинской буквой t.

Чаще всего вам будут встречаться такие единицы времени, как секунды, минуты и часы.

Эта формула пригодится, если нужно узнать, за какое время тело преодолеет то или иное расстояние.

Взаимосвязь скорости, времени, расстояния

Скорость, время и расстояние связаны между собой очень крепко. Одно без другого даже сложно представить.

Если известны скорость и время движения, то можно найти расстояние. Оно равно скорости, умноженной на время: s = v × t.

Задачка 1. Мы вышли из дома и направились в гости в соседний двор. Мы дошли до соседнего двора за 15 минут. Фитнес-браслет показал, что наша скорость была 50 метров в минуту. Какое расстояние мы прошли?

Как рассуждаем:

Если за одну минуту мы прошли 50 метров, то сколько таких пятьдесят метров мы пройдем за 10 минут? Умножив 50 метров в минуту на 15 минут, мы определим расстояние от дома до магазина:

v = 50 м/мин

t = 15 мин

s = v × t = 50 × 15 = 750 (м)

Ответ: мы прошли 750 метров.

Если известно время и расстояние, то можно найти скорость: v = s : t.

Задачка 2. Двое школьников решили проверить, кто быстрее добежит от двора до спортплощадки. Расстояние между двором и площадкой — 100 метров. Первый школьник добежал за 25 секунд, второй за 50 секунд. Кто добежал быстрее?

Как рассуждаем:

Быстрее добежал тот, кто за 1 секунду пробежал большее расстояние. Говорят, что у него скорость движения больше. В этой задаче скорость школьников — это расстояние, которое они пробегают за 1 секунду.

Чтобы найти скорость, нужно расстояние разделить на время движения. Найдем скорость первого школьника: для этого разделим 100 метров на время движения первого школьника, то есть на 25 секунд:

100 : 25 = 4

Если расстояние дано в метрах, а время движения в секундах, то скорость измеряется в метрах в секунду (м/с). Если расстояние дано в километрах, а время движения в часах, скорость измеряется в километрах в час (км/ч).

В нашей задаче расстояние дано в метрах, а время в секундах. Значит, будем измерять скорость в метрах в секунду (м/с).

100 м : 25 с = 4 м/с

Так мы узнали, что скорость движения первого школьника 4 метра в секунду.

Теперь найдем скорость движения второго школьника. Для этого разделим расстояние на время движения второго школьника, то есть на 50 секунд:

100 : 50 = 2

Значит, скорость движения второго школьника составляет 2 метра в секунду.

Сейчас можно сравнить скорости движения каждого школьника и узнать, кто добежал быстрее.

4 (м/с) > 2 (м/с)

Скорость первого школьника больше. Значит, он добежал до спортивной площадки быстрее.

Ответ: первый школьник добежал быстрее.

Если известны скорость и расстояние, то можно найти время: t = s : v.

Задачка 3. От школы до стадиона 500 метров. Мы должны дойти до него пешком. Наша скорость будет 100 метров в минуту. За какое время мы дойдем до стадиона из школы?

Как рассуждаем:

Если за одну минуту мы будем проходить 100 метров, то сколько таких минут со ста метрами будет в 500 метрах?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно 500 метров разделить на расстояние, которое мы будем проходить за одну минуту, то есть на 100. Тогда мы получим время, за которое дойдем до стадиона:

s = 500 м

v = 100 м/мин

t = s : v = 500 : 100 = 5 (мин)

Ответ: от школы до стадиона мы дойдем за 5 минут.

Специально для уроков математики можно распечатать или нарисовать самостоятельно такую таблицу, чтобы быстрее запомнить и применять формулы скорости, времени, расстояния.

Математика

5 класс

Урок № 35

Задачи на движение

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

1. Понятия скорости, времени, расстояния.
2. Формулы нахождения скорости, времени, расстояния.
3. Понятия скорости сближения, скорости удаления.

Глоссарий по теме

Расстояние – это длина от одного пункта до другого.

Большие расстояния, в основном, измеряются в метрах и километрах.

Расстояние обозначается латинской буквой S.

Чтобы найти расстояние, надо скорость умножить на время движения:

S = v ∙ t

Скорость – это расстояние, пройденное телом за единицу времени. Под единицей времени подразумевается 1 час, 1 минута или 1 секунда.

Скорость обозначается латинской буквой v.

Чтобы найти скорость, нужно расстояние разделить на время движения:

v = S : t

Время – это продолжительность каких-то действий, событий.

Время движения обозначается маленькой латинской буквой t.

Чтобы найти время, нужно расстояние разделить на скорость движения:

t = S : v

Скорость сближения – это расстояние, пройденное двумя объектами навстречу друг другу за единицу времени.

Чтобы найти скорость сближения, нужно сложить скорости объектов.

Скорость удаления – это расстояние, которое увеличивается за единицу времени между двумя объектами, двигающимися в противоположных направлениях.

Чтобы найти скорость удаления, нужно сложить скорости объектов.

Чтобы найти скорость удаления при движении в одном направлении, нужно из большей скорости вычесть меньшую скорость.

Основная литература

1. Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К., Потапов, Н. Н. Решетников и др. — М.: Просвещение, 2017. — 258 с.

2. Потапов М. К., Шевкин А. В. Математика. Книга для учителя. 5 – 6 классы — М.: Просвещение, 2010

Дополнительная литература

1. Чесноков А. С., Нешков К. И. Дидактические материалы по математике 5 кл. – М.: Академика учебник, 2014

2. Бурмистрова Т. А. Математика. Сборник рабочих программ. 5–6 классы // Составитель Бурмистрова Т. А.

3. Потапов М. К. Математика: дидактические материалы. 6 кл. // Потапов М. К., Шевкин А. В. — М.: Просвещение, 2010

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Очень часто нам встречаются задачи на нахождение скорости, времени и расстояния. Что же всё это такое? Сейчас нам предстоит в этом разобраться.

Расстояние – это длина от одного пункта до другого. (Например, расстояние от дома до школы 2 километра). В основном большие расстояния измеряются в метрах и километрах. Общепринятое обозначение расстояния – заглавная латинская буква S.

Скоростью называют расстояние, пройденное телом за единицу времени. Под единицей времени подразумевается 1 час, 1 минута или 1 секунда. Скорость обозначается маленькой латинской буквой v.

Рассмотрим задачу:

Двое школьников решили проверить, кто быстрее добежит от двора до спортплощадки. Расстояние от двора до спортплощадки 200 метров. Первый школьник добежал за 50 секунд. Второй за 100 секунд. Кто из ребят бежал быстрее?

Решение:

Быстрее бежал тот, кто за 1 секунду пробежал большее расстояние. Говорят, что у него скорость движения больше. Чтобы найти скорость, нужно расстояние разделить на время движения.

Давайте найдём скорость первого школьника. Для этого разделим 200 метров на время движения первого школьника, то есть на 50 секунд:

200 м : 50 с = 4

Если расстояние дано в километрах, а время движения в часах, скорость измеряется в километрах в час (км/ч). 

У нас расстояние дано в метрах, а время в секундах. Значит, скорость измеряется в метрах в секунду:

200 м : 50 с = 4 (м/с)

Скорость движения первого школьника составляет 4 метра в секунду.

Теперь найдём скорость движения второго школьника. Для этого разделим расстояние на время движения второго школьника:

200 м : 100 c = 2 (м/с)

Скорость движения первого школьника – 4 (м/с).

Скорость движения второго школьника – 2 (м/с).

4 (м/с) > 2 (м/с)

Скорость первого школьника больше. Значит, он бежал до спортплощадки быстрее.

Иногда возникает ситуация, когда требуется узнать, за какое время тело преодолеет то или иное расстояние. Время движения обозначается маленькой латинской буквой t.

Рассмотрим задачу:

От дома до спортивной секции 1200 метров. Мы должны доехать туда на велосипеде. Наша скорость будет 600 метров в минуту. За какое время мы доедем до спортивной секции?

Решение:

Если за одну минуту мы будем проезжать 600 метров, то сколько таких минут нам понадобится для преодоления тысячи двухсот метров? Очевидно, что надо разделить 1200 метров на то расстояние, которое мы будем проезжать за одну минуту, то есть на 600 метров. Тогда мы получим время, за которое мы доедем до спортивной секции:

1200 : 600 = 2 (мин)

Ответ: мы доедем до спортивной секции за 2 минуты.

Скорость, время и расстояние связаны между собой.

Если известны скорость и время движения, то можно найти расстояние. Оно равно скорости, умноженной на время:

S = v ∙ t

Рассмотрим задачу:

Мы вышли из дома и направились в магазин. Мы дошли до магазина за 15 минут. Наша скорость была 60 метров в минуту. Какое расстояние мы прошли?

Решение:

Если за одну минуту мы прошли 60 метров, то сколько таких отрезков по шестьдесят метров мы пройдём за 15 минут? Очевидно, что умножив 60 метров на 15 минут, мы определим расстояние от дома до магазина:

v = 60 (м/мин)

t = 15 (минут)

S = v ∙ t = 60 ∙ 15 = 900 (метров)

Ответ: мы прошли 900 метров.

Если известно время и расстояние, то можно найти скорость:

v = S : t

Рассмотрим задачу:

Расстояние от дома до школы 800 метров. Школьник дошёл до этой школы за 8 минут. Какова была его скорость?

Скорость движения школьника – это расстояние, которое он проходит за одну минуту. Если за 10 минут он преодолел 800 метров, то какое расстояние он преодолевал за одну минуту?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно разделить расстояние на время движения школьника:

S = 800 метров

t = 8 минут

v = S : t = 800 : 8 = 100 (м/мин)

Ответ: скорость школьника была 100 м/мин.

Если известна скорость и расстояние, то можно найти время:

t = S : v

Рассмотрим задачу:

От дома до спортивной секции 600 метров. Мы должны дойти до неё пешком. Наша скорость будет 120 метров в минуту (120 м/мин). За какое время мы дойдём до спортивной секции?

Если за одну минуту мы будем проходить 120 метров, то сколько таких минут со ста двадцатью метрами будет в шестистах метрах?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно 600 метров разделить на расстояние, которое мы будем проходить за одну минуту, то есть на 120. Тогда мы получим время, за которое мы дойдём до спортивной секции:

S = 600 метров

v = 120 (м/мин)

t = S : v = 600 : 120 = 5 (минут).

Ответ: мы дойдём до спортивной секции за 5 минут.

Итак, все рассмотренные нами формулы мы можем представить в виде треугольника для лучшего запоминания:

Теперь рассмотрим типы задач на движение.

Задачи на сближение.

Скорость сближения – это расстояние, пройденное двумя объектами навстречу друг другу за единицу времени.

Например, если из двух пунктов навстречу друг другу отправятся два пешехода, причём скорость первого будет 100 метров в минуту, а второго – 105 метров в минуту, то скорость сближения будет составлять 100 плюс 105, то есть 205 метров в минуту. Значит, каждую минуту расстояние между пешеходами будет уменьшаться на 205 метров.

Чтобы найти скорость сближения, нужно сложить скорости объектов.

Задача.

Из двух пунктов навстречу друг другу выехали одновременно два велосипедиста. Скорость первого велосипедиста 13 км/ч, а скорость второго – 15 км/ч. Через 3 часа они встретились. Определите расстояние между населёнными пунктами.

Решение:

1. Найдём скорость сближения велосипедистов:

13 км/ч + 15 км/ч = 28 км/ч

1. Определим расстояние между населёнными пунктами. Для этого скорость сближения умножим на время движения:

28 ∙ 3 = 84 км

Ответ: расстояние между населёнными пунктами 84 км.

Задачи на скорость удаления.

Скорость удаления – это расстояние, которое увеличивается за единицу времени между двумя объектами, двигающимися в противоположных направлениях.

Например, если два пешехода отправятся из одного и того же пункта в противоположных направлениях, причём скорость первого будет 4 км/ч, а скорость второго 6 км/ч, то скорость удаления будет составлять 4 плюс 6, то есть 10 км/ч. Каждый час расстояние между двумя пешеходами будет увеличиваться на 10 километров.

Чтобы найти скорость удаления, нужно сложить скорости объектов.

Рассмотрим задачу:

С причала одновременно в противоположных направлениях отправились теплоход и катер. Скорость теплохода составляла 60 км/ч, скорость катера 130 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2 часа?

Решение:

1. Определим скорость удаления. Для этого сложим их скорости:

60 + 130 = 190 км/ч.

Получили скорость удаления равную 190 км/ч. Данная скорость показывает, что за час расстояние между теплоходом и катером будет увеличиваться на 190 километров.

1. Чтобы узнать какое расстояние будет между ними через два часа, нужно 190 умножить на 2:

190 ∙ 2 = 380 км.

Ответ: через 2 часа расстояние между теплоходом и катером будет составлять 380 километров.

Задачи на движение объектов в одном направлении.

В предыдущих пунктах мы рассматривали задачи, в которых объекты (люди, машины, лодки) двигались либо навстречу друг другу, либо в противоположных направлениях. В первом случае мы находили скорость сближения – в ситуации, когда два объекта двигались навстречу друг другу. Во втором случае мы находили скорость удаления – в ситуации, когда два объекта двигались в противоположных направлениях. Но объекты также могут двигаться в одном направлении, причём с различной скоростью.

Чтобы найти скорость удаления при движении в одном направлении, нужно из большей скорости вычесть меньшую скорость.

Рассмотрим задачу:

Из города в одном и том же направлении выехали легковой автомобиль и автобус. Скорость автомобиля 130 км/ч, а скорость автобуса 90 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 1 час? Через 3 часа?

Решение:

1. Найдём скорость удаления. Для этого из большей скорости вычтем меньшую:

130 км/ч − 90 км/ч = 40 км/ч

1. Каждый час легковой автомобиль отдаляется от автобуса на 40 километров. За один час расстояние между автомобилем и автобусом будет 40 км. За 3 часа в три раза больше:

40 ∙ 3 = 120 км

Ответ: через один час расстояние между автомобилем и автобусом будет 40 км, через три часа – 120 км.

Рассмотрим ситуацию, в которой объекты начали своё движение из разных пунктов, но в одном направлении.

Задача.

Пусть на одной улице имеется дом, школа и аттракцион. Дом находится на одном конце улицы, аттракцион на другом, школа между ними. От дома до школы 900 метров. Два пешехода отправились в аттракцион в одно и то же время. Причём первый пешеход отправился в аттракцион от дома со скоростью 90 метров в минуту, а второй пешеход отправился в аттракцион от школы со скоростью 85 метров в минуту. Какое расстояние будет между пешеходами через 3 минуты? Через сколько минут после начала движения первый пешеход догонит второго?

Решение:

1. Определим расстояние, пройденное первым пешеходом за 3 минуты. Он двигался со скоростью 90 метров в минуту. За три минуты он пройдёт в три раза больше, то есть 270 метров:

90 ∙ 3 = 270 метров

1. Определим расстояние, пройденное вторым пешеходом за 3 минуты. Он двигался со скоростью 85 метров в минуту. За три минуты он пройдёт в три раза больше, то есть 255 метров:

85 ∙ 3 = 255 метров

1. Теперь найдём расстояние между пешеходами. Чтобы найти расстояние между пешеходами, можно к расстоянию от дома до школы (900м) прибавить расстояние, пройденное вторым пешеходом (255м), и из полученного результата вычесть расстояние, пройденное первым пешеходом (270м):

900 + 255 = 1155 м

1155 – 270 = 885 м

Либо из расстояния от дома до школы (900 м) вычесть расстояние, пройденное первым пешеходом (270 м), и к полученному результату прибавить расстояние, пройденное вторым пешеходом (255 м):

900 – 270 = 630 м

630 + 255 = 885 м

Таким образом, через три минуты расстояние между пешеходами будет составлять 885 метров.

1. Теперь давайте ответим на вопрос: через сколько минут после начала движения первый пешеход догонит второго?

В самом начале пути между пешеходами было расстояние 900 м. Через минуту после начала движения расстояние между ними будет составлять 895 метров, поскольку первый пешеход двигается на 5 метров в минуту быстрее второго:

90 ∙ 1 = 90 м

85 ∙ 1 = 85 м

900 + 85 – 90 = 985 – 90 = 895 м

Через три минуты после начала движения расстояние уменьшится на 15 метров и будет составлять 885 метров. Это был наш ответ на первый вопрос задачи:

90 ∙ 3 = 270 м

85 ∙ 3 = 255 м

900 + 255 – 270 = 1155 – 270 = 885 м

Можно сделать вывод, что каждую минуту расстояние между пешеходами будет уменьшаться на 5 метров.

А раз изначальные 900 метров с каждой минутой уменьшаются на одинаковые 5 метров, то мы можем узнать сколько раз 900 метров содержат по 5 метров, тем самым определяя через сколько минут первый пешеход догонит второго:

900 : 5 = 180 минут.

Ответ: через три минуты расстояние между пешеходами будет составлять 885 метров, первый пешеход догонит второго через 180 минут = 3 часа.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте

Заполните таблицу:

	S	v	t
1.	135 км	9 км/ч	____ ч
2.	____ м	12 м/с	4 с
3.	132 м	____ м/мин	11 мин

Для заполнения пропусков воспользуемся формулами нахождения скорости, времени, расстояния:

1. Надо найти время: t = S : v

135 : 9 = 15 часов.

1. Надо найти расстояние: S = v ∙ t

12 ∙ 4 = 48 м.

1. Надо найти скорость: v = S : t

132 : 11 = 12 м/мин.

Верный ответ:

	S	v	t
1.	135 км	9 км/ч	15 часов
2.	48 м	12 м/с	4 с
3.	132 м	12 м/мин	11 мин

№2. Тип задания: единичный / множественный выбор

Выберите верный ответ к задаче:

Из пунктов А и В, расстояние между которыми 300 км, отправились одновременно навстречу друг другу мотоциклист и автомобилист. Скорость автомобиля 60 км/ч, а мотоцикла 30 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 часа?

Варианты ответов:

1. 70
2. 30
3. 270
4. 240

Эта задача относится к типу задач на сближение, т.е. нам надо:

1. сложить скорости мотоциклиста и автомобилиста:

60 + 30 = 90 км/ч – скорость сближения;

1. узнать, сколько километров они пройдут за 3 часа вместе. Для этого:

90 ∙ 3 = 270 км;

1. из общего расстояния нам осталось вычесть пройденное:

300 – 270 = 30 км

Верный ответ: 2. 30 км.

Метрическое пространство может не иметь счётной базы, но всегда удовлетворяет первой аксиоме счётности — имеет счётную базу в каждой точке.

• Более того, каждый компакт в метрическом пространстве имеет счётную базу окрестностей.
• Сверх того, в каждом метрическом пространстве существует такая база, что каждая точка пространства принадлежит лишь счётному множеству её элементов — точечно-счётная база (но это свойство слабее метризуемости даже в присутствии паракомпактности и хаусдорфовости).

Вариации и обобщения [ | ]

• Для данного множества M <displaystyle M>, функция d : M × M → R <displaystyle dcolon Mtimes Mto mathbb > называется псевдометрикой или полуметрикой на M <displaystyle M>если для любых точек x , y , z <displaystyle x,;y,;z>из M <displaystyle M>она удовлетворяет следующим условиям:
  1. d ( x , x ) = 0 <displaystyle d(x,x)=0>;
  2. d ( x , y ) = d ( y , x ) <displaystyle d(x,y)=d(y,x)>(симметрия);
  3. d ( x , z ) ⩽ d ( x , y ) + d ( y , z ) <displaystyle d(x,z)leqslant d(x,y)+d(y,z)>(неравенство треугольника).

• Для данного множества M <displaystyle M>функция d : M × M → R <displaystyle dcolon Mtimes Mto mathbb > называется квазиметрикой, если для любых точек x <displaystyle x>, y <displaystyle y>, z <displaystyle z>из M <displaystyle M>она удовлетворяет следующим условиям:
  1. d ( x , x ) = 0 <displaystyle d(x,x)=0>;
  2. d ( x , y ) ⩽ c ⋅ d ( y , x ) <displaystyle d(x,y)leqslant ccdot d(y,x)>(квазисимметрия);
  3. d ( x , z ) ⩽ c ⋅ ( d ( x , y ) + d ( y , z ) ) <displaystyle d(x,z)leqslant ccdot (d(x,y)+d(y,z))>(обобщённое неравенство треугольника).
• Метрика на пространстве называется ультраметрикой, если она удовлетворяет сильному неравенству треугольника: Для всех x <displaystyle x>, y <displaystyle y>и z <displaystyle z>в M <displaystyle M>d ( x , z ) ⩽ max ( d ( x , y ) , d ( y , z ) ) <displaystyle d(x,z)leqslant max(d(x,y),d(y,z))>.

• Иногда удобно рассматривать ∞ <displaystyle infty >-метрики, то есть метрики со значениями [ 0 ; ∞ ] <displaystyle [0;infty ]>. Для любой ∞ <displaystyle infty >-метрики можно построить конечную метрику, которая определяет ту же топологию. Например, d ′ ( x , y ) = d ( x , y ) 1 + d ( x , y ) <displaystyle d'(x,y)=<frac <1+d(x,y)>>> или d ″ ( x , y ) = min ( 1 , d ( x , y ) ) . <displaystyle d»(x,y)=min <(1,d(x,y))>.>

• Иногда квазиметрика определяется как функция, удовлетворяющая всем аксиомам для метрики за возможным исключением симметрии [3][4] . Название этого обобщения не вполне устоялось [5] . В своей книге Смит [4] называет их «полуметриками». Тот же термин используется часто также для двух других обобщений метрик.
  1. d ( x , y ) ⩾ 0 <displaystyle d(x,y)geqslant 0>(положительность)
  2. d ( x , y ) = 0 ⟺ x = y <displaystyle d(x,y)=0iff x=y>(положительная определённость)
  3. d(x, y)=d(y, x) (симметрия вычеркнута)
  4. d ( x , z ) ⩽ d ( x , y ) + d ( y , z ) <displaystyle d(x,z)leqslant d(x,y)+d(y,z)>(неравенство треугольника)

• В метаметрике все аксиомы метрики выполняются, за исключением того, что расстояние между идентичными точками не обязательно равно нулю. Другими словами, аксиомами для метаметрики являются:
  1. d ( x , y ) ⩾ 0
  2. из d ( x , y ) = 0 <displaystyle d(x,y)=0>следует x = y <displaystyle x=y>(но не наоборот.)
  3. d ( x , y ) = d ( y , x )
  4. d ( x , z ) ⩽ d ( x , y ) + d ( y , z ) <displaystyle d(x,z)leqslant d(x,y)+d(y,z)>.

• Ослабление последних трёх аксиом ведёт к понятию преметрики, то есть функции, удовлетворяющей условиям:
  1. d ( x , y ) ⩾ 0
  2. d ( x , x ) = 0

• Префиксы псевдо-, квази- и полу- могут комбинироваться, например, псевдоквазиметрика (иногда называемая гемиметрикой) ослабляет как аксиому неразличимости, так и аксиому симметрии, и является просто преметрикой, удовлетворяющей неравенству треугольника. Для псевдоквазиметрических пространств открытые r <displaystyle r>-шары образуют базис открытых множеств. Простейшим примером псевдоквазиметрического пространства служит множество < 0 , 1 ><displaystyle <0,1>> с преметрикой, задаваемой функцией d <displaystyle d>, такой что d ( 0 , 1 ) = 1 <displaystyle d(0,1)=1>и d ( 1 , 0 ) = 0 <displaystyle d(1,0)=0>. Ассоциированное топологическое пространство является пространством Серпинского.

Линейное метрическое пространство [ | ]

1. x n → x , y n → y ⇒ x n + y n → x + y <displaystyle x_to x,y_to yRightarrow x_+y_to x+y>
2. x n → x , λ n → λ ⇒ λ n x n → λ x <displaystyle x_to x,lambda _to lambda Rightarrow lambda _x_to lambda x>

• Линейное пространство всех комплексных последовательностей можно превратить в линейное метрическое пространство при помощи введения расстояния между его элементами с помощью формулы:

История [ | ]

Морис Фреше впервые ввёл понятие метрического пространства [13] в связи с рассмотрением функциональных пространств.

Как обозначают время в математике?

Если при решении задачи по физике или математике необходимо обозначить время, то это пишется буквой так: t (читается: [тэ]), а если расстояние — пишется буквой так: s (читается: [эс]). Для обозначения пути обычно используется строчная (маленькая) буква [эль], т.

Как обозначаются скорость время расстояние в математике?

Скорость принято обозначать маленькой латинской буквой v, время движения – маленькой буквой t, пройденное расстояние – маленькой буквой s. Скорость, время и расстояние связаны между собой. Например, мы вышли из дома и направились в магазин. Мы дошли до магазина за 10 минут.

Как обозначается время расстояние?

Время. Расстояние. Эти три величины обозначают вот так: S – расстояние (путь); t – время, за которое пройдено расстояние S ; v – скорость движения. 2 Скорость – это расстояние, пройденное за единицу времени.

Что нужно сделать чтобы узнать время в математике?

Чтобы узнать скорость движения, нужно расстояние разделить на время. Чтобы узнать расстояние, нужно скорость умножить на время. Чтобы найти время, нужно расстояние разделить на скорость.

Как обозначается время в задачах?

Время – это продолжительность каких-то действий, событий. Время движения обозначается маленькой латинской буквой t. Скорость сближения – это расстояние, пройденное двумя объектами навстречу друг другу за единицу времени. Чтобы найти скорость сближения, нужно сложить скорости объектов.

Как пишется скорость?

Скорость обозначается латинской буквой v. Проще говоря, скоростью называют расстояние, пройденное телом за единицу времени. Впервые формулу скорости проходят на математике в 5 классе.

Как найти скорость если есть время и расстояние?

1. V = S / T. V — величина скорости; S — величина пройденного пути; Т — время в пути. .
2. S = V * T. Т. е величину пройденного пути находим как произведение скорости на время в пути. Если известно расстояние и скорость, определить время можно по формуле:
3. T = S / V. т. е.

Как находят скорость время расстояние?

В 4 классе ученики решают много задач по математике с примением формулы нахождения скорости, времени или расстояния при равномерном движении. Эта формула выглядит так: S = V×t. В данной формуле S — это путь, V — скорость, а t — время.

Как определить скорость течения реки?

Необходимо отметить, что собственная скорость водного суда – это скорость в стоячей воде. Чтобы найти скорость по течению, надо к скорости течения прибавить собственную. Для того чтобы найти скорость против течения, надо из собственной скорости вычесть скорость течения.

Как обозначается общая площадь?

В математике и в физике площадь обозначается буквой S заглавной (читается: [эс]). Так, в геометрии этой буквой обозначается площадь любых фигур (треугольника, прямоугольника, квадрата, ромба и т.

Как узнать время в пути?

1. Чтобы найти расстояние, нужно скорость умножить на время.
2. Чтобы найти время, надо расстояние разделить на скорость.
3. Чтобы найти скорость, надо расстояние разделить на время.

Как найти время формула 5 класс?

S = V·t. В данной формуле S – это путь, V – скорость, а t – время.

Как решать задачи на расстояние скорость и время?

1. если мы умножаем скорость на время, то получаем расстояние;
2. если расстояние делим на время, то получаем скорость;
3. если расстояние делим на скорость, то получаем время ;

Как найти время формула 4 класс?

В 4 классе ученики решают много задач по математике с примением формулы нахождения скорости, времени или расстояния при равномерном движении. Эта формула выглядит так: S = V×t. В данной формуле S — это путь, V — скорость, а t — время.

Как найти расстояние которое прошло тело?

Чтобы определить путь, который прошло тело при равномерном движении, необходимо скорость движения тела умножить на время которое это тело двигалось. S=V*t.

Расстояние — Distance

Расстояние — это числовое измерение того, насколько далеко друг от друга находятся объекты или точки. В физике или повседневном использовании расстояние может относиться к физической длине или оценке, основанной на других критериях (например, «на два округа больше»). Расстояние от точки A до точки B иногда обозначается как . В большинстве случаев «расстояние от A до B» взаимозаменяемо с «расстоянием от B до A». В математике функция расстояния или метрика — это обобщение концепции физического расстояния; это способ описания того, что значит для элементов некоторого пространства быть «близко» или «далеко» друг от друга. В психологии и социальных науках расстояние — это нечисловое измерение; Психологическая дистанция определяется как «различные способы, которыми объект может быть удален от себя» по таким измерениям, как «время, пространство, социальная дистанция и гипотетичность». | А B |

СОДЕРЖАНИЕ

Обзор и определения

Физические расстояния

Физическое расстояние может означать несколько разных вещей:

• Пройденное расстояние: длина определенного пути, пройденного между двумя точками, например расстояние, пройденное при навигации по лабиринту.
• Прямолинейное (евклидово) расстояние: длина кратчайшего возможного пути в пространстве между двумя точками, который можно было бы пройти, если бы не было препятствий (обычно формализируется как евклидово расстояние ).
• Геодезическое расстояние: длина кратчайшего пути между двумя точками, оставаясь на некоторой поверхности, например, расстояние по дуге вдоль кривой Земли.
• Длина определенного пути, который возвращается к начальной точке, например, мяч, брошенный вверх, или Земля, когда он завершает один оборот по орбите .

«Круговое расстояние» — это расстояние, пройденное колесом, которое может быть полезно при проектировании транспортных средств или механических передач. Окружность колеса равна 2 π × радиус, и если принять радиус равным 1, то каждый оборот колеса эквивалентен расстоянию 2 π радиан. В технике часто используется ω = 2 πƒ , где ƒ — частота .

Необычные определения расстояния могут быть полезны для моделирования определенных физических ситуаций, но также используются в теоретической математике:

• « Манхэттенское расстояние » — это прямолинейное расстояние, названное в честь количества кварталов (в северном, южном, восточном или западном направлениях), по которым такси должно проехать, чтобы добраться до пункта назначения на сетке улиц в некоторых частях Нью-Йорка. .
• «Расстояние до шахматной доски», формализованное как расстояние Чебышева , — это минимальное количество ходов, которое король должен сделать на шахматной доске , чтобы пройти между двумя клетками.

Теоретические расстояния

Термин «расстояние» также используется по аналогии для измерения нефизических объектов определенными способами.

В информатике есть понятие « расстояние редактирования » между двумя строками. Например, слова «собака» и «точка», которые различаются только одной буквой, ближе, чем «собака» и «кошка», которые различаются на три буквы. Эта идея используется в средствах проверки орфографии и в теории кодирования и математически формализована несколькими различными способами, такими как:

В математике метрическое пространство — это набор, для которого определены расстояния между всеми членами набора. Таким образом, можно вычислить множество различных типов «расстояний», например, для обхода графиков , сравнения распределений и кривых, а также с использованием необычных определений «пространства» (например, с использованием многообразия или отражений ). Понятие расстояния в теории графов использовалось для описания социальных сетей , например, с помощью числа Эрдёша или числа Бэкона — количество отношений сотрудничества на расстоянии от человека — от плодовитого математика Пола Эрдёша и актера Кевина Бэкона соответственно.

В психологии, географии человека и социальных науках расстояние часто рассматривается не как объективный показатель, а как субъективный опыт.

Расстояние в зависимости от направленного расстояния и смещения

И расстояние, и смещение измеряют движение объекта. Расстояние не может быть отрицательным и никогда не уменьшается. Расстояние — это скалярная величина или величина , тогда как смещение — это векторная величина, имеющая как величину, так и направление . Он может быть отрицательным, нулевым или положительным. Направленное расстояние не измеряет движение; он измеряет расстояние между двумя точками и может быть положительным, нулевым или отрицательным вектором.

Расстояние , пройденное транспортным средством (например , в виде записанного с помощью одометр ), человека, животного или объекта вдоль изогнутой траектории от точки А до точки Б , следует отличать от прямолинейного расстояния от A до B . Например, независимо от расстояния, пройденного за время пути от A до B и обратно до A , смещение равно нулю, поскольку начальная и конечная точки совпадают. В общем, расстояние по прямой не равно пройденному расстоянию, за исключением поездок по прямой.

Направленное расстояние

Направленные расстояния можно определять по прямым и изогнутым линиям.

Направленные расстояния вдоль прямых линий — это векторы, которые определяют расстояние и направление между начальной и конечной точками. Направленное расстояние точки C от точки A в направлении B на прямой AB в евклидовом векторном пространстве — это расстояние от A до C, если C падает на луч AB , но является отрицательным для этого расстояния, если C падает на луч BA (т. е. если C не находится на той же стороне от A, что и B ). Например, направленное расстояние от флагштока Главной библиотеки Нью-Йорка до флагштока Статуи Свободы:

• Отправная точка: флагшток библиотеки
• Конечная точка: статуя флагштока.
• Направление: -38 °
• Расстояние: 8.72 км

Другой вид направленного расстояния — это расстояние между двумя разными частицами или точечными массами в данный момент времени. Например, расстояние от центра тяжести Земли A до центра тяжести Луны B (что не означает строго движение от A к B ) попадает в эту категорию.

Направленное расстояние вдоль изогнутой линии не является вектором и представлено сегментом этой изогнутой линии, определяемой конечными точками A и B , с некоторой конкретной информацией, указывающей смысл (или направление) идеального или реального движения от одной конечной точки сегмент к другому (см. рисунок). Например, простая маркировка двух конечных точек как A и B может указывать на смысл, если предполагается упорядоченная последовательность ( A , B ), что подразумевает, что A является начальной точкой.

Смещение

Смещение (см. Выше) — это особый вид направленного расстояния, определенный в механике . Направленное расстояние называется смещением, когда это расстояние по прямой (минимальное расстояние) от A и B , и когда A и B — позиции, занятые одной и той же частицей в два разных момента времени. Это подразумевает движение частицы. Расстояние, пройденное частицей, всегда должно быть больше или равно ее смещению, причем равенство имеет место только тогда, когда частица движется по прямой траектории.

Математика

Геометрия

В аналитической геометрии , то евклидово расстояние между двумя точками на плоскости ху , можно найти , используя формулу расстояния. Расстояние между ( x ₁ , y ₁ ) и ( x ₂ , y ₂ ) определяется по формуле:

Аналогично, для заданных точек ( x ₁ , y ₁ , z ₁ ) и ( x ₂ , y ₂ , z ₂ ) в трехмерном пространстве расстояние между ними равно:

Эти формулы легко выводятся путем построения прямоугольного треугольника с опорой на гипотенузе другого (с другой ноги , ортогональной к плоскости , содержащей 1 — треугольник) и применяя теорему Пифагора . Эта формула расстояния также может быть расширена до формулы длины дуги . Другие расстояния с другими формулами используются в неевклидовой геометрии .

Расстояние в евклидовом пространстве

В евклидовом пространстве R n расстояние между двумя точками обычно определяется евклидовым расстоянием ( расстояние с двумя нормами). Иногда вместо них используются другие расстояния, основанные на других нормах .

Для точки ( x ₁ , x ₂ , . x _n ) и точки ( y ₁ , y ₂ , . y _n ) расстояние Минковского порядка p ( p -нормальное расстояние ) определяется как :

1-нормальное расстояние	знак равно ∑ я знак равно 1 п | Икс я — у я | < displaystyle = sum _ ^ left | x_ -y_ right |>
2-нормальное расстояние	знак равно ( ∑ я знак равно 1 п | Икс я — у я | 2 ) 1 / 2 < displaystyle = left ( sum _ ^ left | x_ -y_ right | ^ <2> right) ^ <1/2>>
p — нормальное расстояние	знак равно ( ∑ я знак равно 1 п | Икс я — у я | п ) 1 / п < displaystyle = left ( sum _ ^ left | x_ -y_ right | ^ right) ^ <1 / p>>
бесконечное нормальное расстояние	знак равно Lim п → ∞ ( ∑ я знак равно 1 п | Икс я — у я | п ) 1 / п < displaystyle = lim _ left ( sum _ ^ left | x_ -y_ right | ^ right ) ^ <1 / p>>
знак равно Максимум ( | Икс 1 — у 1 | , | Икс 2 — у 2 | , … , | Икс п — у п | ) . < displaystyle = max left (| x_ <1>-y_ <1>|, | x_ <2>-y_ <2>|, ldots, | x_ -y_ | right) .>

p не обязательно должно быть целым числом, но оно не может быть меньше 1, потому что в противном случае неравенство треугольника не выполняется.

Расстояние с двумя нормами — это евклидово расстояние , обобщение теоремы Пифагора на более чем две координаты . Это то, что было бы, если бы расстояние между двумя точками было измерено линейкой : «интуитивное» представление о расстоянии.

Расстояние в 1 норму более красочно называется нормой для такси или манхэттенским расстоянием , потому что это расстояние, которое автомобиль проехал бы в городе, разбитом на квадратные кварталы (если нет улиц с односторонним движением).

Расстояние с бесконечной нормой также называется расстоянием Чебышева . В 2D, это минимальное количество ходов короли требуют , чтобы перемещаться между двумя квадратами на шахматной доске .

Р -норма редко используется для значений р , кроме 1, 2 и бесконечности, но видеть суперэллипс .

В физическом пространстве евклидово расстояние в некотором смысле является наиболее естественным, потому что в этом случае длина твердого тела не изменяется при вращении .

Вариационная формулировка расстояния

Евклидово расстояние между двумя точками в пространстве ( и ) может быть записано в вариационной форме, где расстояние является минимальным значением интеграла: А знак равно р → ( 0 ) < Displaystyle А = < vec > (0)> B знак равно р → ( Т ) < Displaystyle B = < vec > (T)>

Вот траектория (путь) между двумя точками. Значение интеграла (D) представляет длину этой траектории. Расстояние является минимальным значением этого интеграла и получается, когда где — оптимальная траектория. В известном евклидовом случае (указанный выше интеграл) эта оптимальная траектория представляет собой просто прямую линию. Хорошо известно, что кратчайший путь между двумя точками — это прямая линия. Формально прямые линии можно получить, решив уравнения Эйлера – Лагранжа для указанного выше функционала . В неевклидовых многообразиях (искривленных пространствах), где природа пространства представлена метрическим тензором, подынтегральное выражение должно быть изменено на , где использовалось соглашение Эйнштейна о суммировании . р → ( т ) < Displaystyle < vec > (т)> р знак равно р * < Displaystyle г = г ^ <*>> р * < displaystyle r ^ <*>> грамм а б < displaystyle g_ > грамм а c р ˙ c грамм а б р ˙ б < displaystyle < sqrt < dot > _ g_ < dot > ^ >>>

Обобщение на многомерные объекты

Евклидово расстояние между двумя объектами также может быть обобщено на случай, когда объекты больше не являются точками, а представляют собой многомерные многообразия , такие как пространственные кривые, поэтому в дополнение к разговору о расстоянии между двумя точками можно обсудить концепции расстояния между двумя струны. Поскольку новые объекты, с которыми имеют дело, являются расширенными объектами (больше не точками), дополнительные концепции, такие как нерасширяемость, ограничения кривизны и нелокальные взаимодействия, которые обеспечивают непересечение, становятся центральными в понятии расстояния. Расстояние между двумя многообразиями — это скалярная величина, которая получается в результате минимизации обобщенного функционала расстояния, который представляет преобразование между двумя многообразиями:

Вышеупомянутый двойной интеграл представляет собой обобщенный функционал расстояния между двумя полимерными конформациями. является пространственным параметром и является псевдовремени. Это означает, что это конформация полимер / струна во время, параметризованная по длине струны на . Точно так же и траектория бесконечно малого отрезка струны при преобразовании всей струны из конформации в конформацию . Член с кофактором является множителем Лагранжа, и его роль заключается в обеспечении того, чтобы длина полимера оставалась неизменной во время преобразования. Если два дискретных полимера нерастяжимы, тогда преобразование минимального расстояния между ними больше не включает чисто прямолинейное движение даже в евклидовой метрике. У такого обобщенного расстояния есть потенциальное применение к проблеме сворачивания белка . s < displaystyle s>т < displaystyle t>р → ( s , т знак равно т я ) < displaystyle < vec > (s, t = t_ )> т я < displaystyle t_ > s < displaystyle s>р → ( s знак равно S , т ) < Displaystyle < vec > (s = S, t)> р → ( s , 0 ) < displaystyle < vec > (s, 0)> р → ( s , Т ) < displaystyle < vec > (s, T)> λ

Это обобщенное расстояние аналогично действию Намбу – Гото в теории струн , однако нет точного соответствия, потому что евклидово расстояние в трехмерном пространстве не эквивалентно пространственно-временному расстоянию, минимизированному для классической релятивистской струны.

Алгебраическое расстояние

Это показатель, часто используемый в компьютерном зрении, который может быть минимизирован методом наименьших квадратов . [1] [2] Для кривых или поверхностей, заданных уравнением (например, коники в однородных координатах ), алгебраическое расстояние от точки до кривой просто . Это может служить «начальным предположением» для геометрического расстояния для уточнения оценок кривой с помощью более точных методов, таких как нелинейный метод наименьших квадратов . Икс Т C Икс знак равно 0 < displaystyle x ^ < text > Cx = 0> Икс ′ < displaystyle x ‘>Икс ′ Т C Икс ′ < displaystyle x ‘^ < text > Cx’>

Общая метрика

В математике , в частности в геометрии , функция расстояния на заданном множестве M — это функция d : M × M → R , где R обозначает множество действительных чисел , которая удовлетворяет следующим условиям:

• d ( x , y ) ≥ 0 и d ( x , y ) = 0 тогда и только тогда, когдаx = y . (Расстояние между двумя разными точками положительно и равно нулю точно от точки до самой себя.)
• Он симметричен : d ( x , y ) = d ( y , x ) . (Расстояние между x и y одинаково в обоих направлениях.)
• Он удовлетворяет неравенству треугольника : d ( x , z ) ≤ d ( x , y ) + d ( y , z ) . (Расстояние между двумя точками — это кратчайшее расстояние по любому пути). Такая функция расстояния известна как метрика . Вместе с набором он составляет метрическое пространство .

Например, обычное определение расстояния между двумя действительными числами x и y : d ( x , y ) = | х — у | . Это определение удовлетворяет трем условиям выше, и соответствует стандартной топологии на прямой . Но расстояние на данном множестве — выбор определения. Другой возможный выбор — определить: d ( x , y ) = 0, если x = y , и 1 в противном случае. Это также определяет метрику, но дает совершенно другую топологию, « дискретную топологию »; с этим определением числа не могут быть сколь угодно близкими.

Расстояния между наборами и между точкой и набором

Между объектами возможны различные определения расстояний. Например, между небесными телами не следует путать расстояние от поверхности до поверхности и расстояние от центра до центра. Если первое намного меньше второго, как для низкой околоземной орбиты , обычно указывается первое (высота), в противном случае, например, для расстояния Земля – Луна, второе.

Есть два общих определения расстояния между двумя непустыми подмножествами данного метрического пространства :

• Одна из версий расстояния между двумя непустыми множествами — это нижняя грань расстояний между любыми двумя из их соответствующих точек, что является повседневным значением этого слова, т. Е.

• Расстояние Хаусдорфа — это большее из двух значений, одно из которых является супремумом , для точки, лежащей в пределах одного набора, нижнего предела, для второй точки, лежащей над другим набором, расстояния между точками, а другое значение аналогично определены, но роли двух наборов поменялись местами. Это расстояние делает само множество непустых компактных подмножеств метрического пространства метрическим пространством .

Расстояние между точкой и множеством является нижней гранью расстояний между точкой и те , в наборе. Это соответствует расстоянию, в соответствии с первым упомянутым выше определением расстояния между наборами, от набора, содержащего только эту точку, до другого набора.

В терминах этого определение расстояния Хаусдорфа можно упростить: это большее из двух значений, одно из которых является супремумом, для точки, находящейся в пределах одного набора, расстояния между точкой и набором, а другое значение определены аналогично, но роли двух наборов поменялись местами.

Теория графов

В теории графов расстояние между двумя вершинами представляет собой длину самого короткого пути между этими вершинами.

Статистические расстояния

В статистике и информационной геометрии существует много видов статистических расстояний , особенно расхождения , особенно расхождения Брегмана и f- расхождения . Они включают и обобщают многие понятия «разницы между двумя распределениями вероятностей » и позволяют изучать их геометрически, как статистические многообразия . Самым элементарным является квадрат Евклидова расстояния , который составляет основу наименьших квадратов ; это самое основное расхождение Брегмана. Наиболее важным в теории информации является относительная энтропия ( дивергенция Кульбака – Лейблера ), которая позволяет аналогичным образом изучать оценку максимального правдоподобия геометрически; это самая основная f- дивергенция, а также дивергенция Брегмана (и единственная дивергенция, которая является обеими). Статистические многообразия, соответствующие расходимости Брегмана, являются плоскими многообразиями в соответствующей геометрии, что позволяет использовать аналог теоремы Пифагора (которая традиционно верна для квадрата евклидова расстояния) для линейных обратных задач при выводе теории оптимизации .

Другие важные статистические расстояния включают расстояние Махаланобиса , энергетическое расстояние и многие другие.

Другие математические «расстояния»

• Канберрское расстояние — взвешенная версия манхэттенского расстояния, используемая в информатике.

В психологии

Психологическая дистанция определяется как «различные способы, которыми объект может быть удален от себя» по таким измерениям, как «время, пространство, социальная дистанция и гипотетичность». Взаимосвязь между психологической дистанцией и степенью абстрактности или конкретного мышления описывается в теории конструктивного уровня , которая представляет собой основу для принятия решений .

Найдите правильный ответ на вопрос ✅ «Как пишется расстояние математическое буквой …» по предмету 📘 Математика, а если вы сомневаетесь в правильности ответов или ответ отсутствует, то попробуйте воспользоваться умным поиском на сайте и найти ответы на похожие вопросы.

Смотреть другие ответы

Какую цифру можно поставить вместо звёздочки 347*, что бы полученное число делилось нацело и на 2 и на 3?

Ответы (5)

Найти площадь трапеции со сторонами 13,20,37, 60

Ответы (2)

Двигаясь вверх по реке, рыбак проплыл на лодке S=6 km за t1=6 ч Потом он заснул и и проснувшись через 3 ч, обнаружил что находиться в том же самом месте, с которого он начал движение.

Ответы (1)

3. Винни Пух должен прийти к Кролику в 12 ч 35 мин. Путь от его дома до дома Кролика занимает 25 минут. По дороге Винни Пух зашёл в гости к Сове.

Ответы (2)

3 бригады производили прополку кукурузы. 1 бригада прополола 30 процентов всей прощади, 2 60 процентов того, что прополола 1, а 3 остальную прощадь. Сколько гиктаров прополола все бригады вместе если 3 бригада прополола на 198 га больше, чем 1

Ответы (1)

0 интересует


0 не интересует

130 просмотров

Как обозначается расстояние в математике (какой буквой)

• обозначается
• расстояние
• математике
• 1 — 4 классы
• математика

спросил

17 Апр, 18


от
Alinacraft_zn

(30 баллов)



в категории Математика

1 Ответ

0 интересует


0 не интересует

ответил

17 Апр, 18


от
Printeska55_zn

(28 баллов)

V-скорость

T-время

S-растояние

вроде так

Добро пожаловать на сайт Школьные решения и ответы. У нас вы можете задавать задачи и получать решения от других членов сообщества.

Расстояние в математике

Метри́ческим простра́нством называется множество, в котором определено расстояние между любой парой элементов.

Формальное определение

Метрическое пространство M есть множество точек с функцией расстояния (также называется метрикой) (где обозначает множество вещественных чисел). Для любых точек x,y,z из M эта функция должна удовлетворять следующим условиям:

1. (аксиома тождества).
2. d(x,y) = d(y,x) (аксиома симметрии).
3. (аксиома треугольника или неравенство треугольника).

Эти аксиомы отражают интуитивное понятие расстояния. Например, расстояние должно быть неотрицательно, то есть (это вытекает из аксиомы треугольника при z = x) и расстояние от x до y такое же, как и от y до x. Неравенство треугольника означает, что пройти от x до z можно короче, или хотя бы не длиннее, чем сначала пройти x до y, а потом от y до z.

Обозначения

Обычно расстояние между точками x и y в метрическом пространстве M обозначается

• d(x,y),
• | xy | или | xy | _M , если необходимо подчеркнуть что речь идет о M,
• xy
• | x − y |

Примеры

• Дискретная метрика: d(x,y) = 0, если x = y, и d(x,y) = 1 во всех остальных случаях.

• Вещественные числа с функцией расстояния d(x,y) = | y − x | и евклидово пространство являются полными метрическими пространствами.

• Манхеттенская, или городская метрика: координатная плоскость, на которой расстояние определено как сумма расстояний между координатами. Более общий пример: любое нормированное пространство можно превратить в метрическое, определив функцию расстояния , в случае конечной размерности это называется пространством Минковского^[1] (не надо путать с другим пространством Минковского).

• Так называемая Французская железнодорожная метрика является примером, который нередко приводят в качестве примера метрики, не порожденной нормой.

• Любое связное риманово многообразие M можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние как точную нижнюю грань длин путей, соединяющих пару точек.

• Множество вершин любого связного графа G можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние как минимальное число рёбер в пути, соединяющем вершины.

• Множество компактных подмножеств K(M) любого метрического пространства M можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемой метрики Хаусдорффа. В этой метрике два подмножества близки друг к другу, если для любой точки одного множества можно найти близкую точку в другом подмножестве. Вот точное определение:

• Множество всех компактных метрических пространств (с точностью до изометрии) можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемой метрики Громова — Хаусдорффа.

Связанные определения

• Метрическое пространство называется полным, если любая фундаментальная последовательность в нём сходится к некоторому элементу этого пространства.
• Метрика d на M называется внутренней, если любые две точки x и y в M можно соединить кривой с длиной, произвольно близкой к d(x,y).
• Любое метрическое пространство обладает естественной топологией, базой для которой служит множество открытых шаров, т.е. множеств следующего типа:

,

где x есть точка в M и r — положительное вещественное число, называемое радиусом шара. Иначе говоря, множество O является открытым, если для любой точки найдётся положительное число r, такое, что множество точек на расстоянии меньше r от x принадлежит O.

• Две метрики, определяющие одну и ту же топологию, называются эквивалентными.
• Топологическое пространство, которое может быть получено таким образом, называется метризируемым.
• Расстояние d(x,S) от точки x до подмножества S в M определяется по формуле:

Тогда d(x,S) = 0, только если x принадлежит замыканию S.

Свойства

• Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда из любой последовательности точек можно выбрать сходящуюся подпоследовательность (секвенциальная компактность).
• Метрическое пространство может не иметь счётной базы, но всегда удовлетворяет первой аксиоме счётности — имеет счётную базу в каждой точке.
  • Более того, каждый компакт в метрическом пространстве имеет счётную базу окрестностей.
  • Сверх того, в каждом метрическом пространстве существует такая база, что каждая точка пространства принадлежит лишь счётному множеству её элементов — точечно-счётная база (но это свойство слабее метризуемости даже в присутствии паракомпактности и хаусдорфовости).

Вариации и обобщения

Для данного множества , функция называется псевдометрикой или полуметрикой на если для любых точек из она удовлетворяет следующим условиям:

1.  ;
2. (симметрия);
3. (неравенство треугольника).

То есть, в отличие от метрики, различные точки в могут находится на нулевом расстоянии. Псевдометрика естественно определяет метрику на факторпространстве где .

Метрика на пространстве называется ультраметрикой, если она удовлетворяет сильному неравенству треугольника:

Для всех , и в .

Иногда рассматривают метрики со значениями , соответствующие пространства называются -метрическими пространствами. Для любой такой метрики можно рассмотреть конечную метрику или . Эти метрические пространства имеют одну и ту же топологию.

История

Морис Фреше впервые ввёл понятие метрического пространства^[2] в связи с рассмотрением функциональных пространств.

Примечания

1. ↑ К. Лейхтвейс, Выпуклые множества, Определение 11.2
2. ↑ M. Fréchet, Sur quelques points du calcul fonctionnel, Rendic. Circ. Mat. Palermo 22(1906) 1-74,

См. также

• Индуцированная метрика

Литература

• Н.Васильев,
  • Метрические пространства Квант, №1, 1990;
  • Метрические пространства Квант, №10, 1970.
• В.А.Скворцов, Примеры метрических пространств, Библиотека «Математическое просвещение», выпуск 9, (2001).
• Ю.А.Шрейдер Что такое расстояние?, «Популярные лекции по математике», Выпуск 38, Физматгиз 1963 г., 76 стр.

Ссылки

Wikimedia Foundation.
2010.

Полезное

Смотреть что такое «Расстояние в математике» в других словарях:

• Расстояние — В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка… …   Википедия

• Расстояние Левенштейна — (также редакционное расстояние или дистанция редактирования) между двумя строками в теории информации и компьютерной лингвистике  это минимальное количество операций вставки одного символа, удаления одного символа и замены одного символа на… …   Википедия

• Популярные лекции по математике — «Популярные лекции по математике» серия брошюр на разные математические темы, выпускавшихся в СССР. Многие выпуски неоднократно переиздавались. Выпуски 1 26 вышли в издательстве «Гостехиздат», затем они выходили в издательстве «Физматгиз» и… …   Википедия

• Популярные лекции по математике (книжная серия) — «Популярные лекции по математике» серия брошюр на разные математические темы, выпускавшихся в СССР. Многие выпуски неоднократно переиздавались. Выпуски 1 26 вышли в издательстве «Гостехиздат», затем они выходили в издательстве «Физматгиз» и… …   Википедия

• Плоскость (в математике) — Две пересекающиеся плоскости Плоскость  одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии понятие плоскости обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии …   Википедия

• КООРДИНАТЫ (в математике) — КООРДИНАТЫ (от лат. co совместно и ordinatus упорядоченный, определенный), числа, заданием которых определяется положение точки на плоскости, на поверхности или в пространстве. Прямоугольные (декартовы) координаты точки на плоскости суть… …   Энциклопедический словарь

• Фокус (в математике) — Конические сечения: окружность, эллипс, парабола (плоскость сечения параллельна образующей конуса), гипербола. Коническое сечение или коника есть пересечение плоскости с круговым конусом. Существует три главных типа конических сечений: эллипс,… …   Википедия

• Координаты в математике — величины, определяющие положение точки. В Декартовых прямоугольных К. положение точки определяется тремя расстояниями ее от трех взаимно перпендикулярных плоскостей; пересечения этих плоскостей представляют собой три прямые, выходящие из одной… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

• Координаты, в математике — величины, определяющие положение точки. В Декартовых прямоугольных К. положение точки определяется тремя расстояниями ее от трех взаимно перпендикулярных плоскостей; пересечения этих плоскостей представляют собой три прямые, выходящие из одной… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

• Евклидово расстояние — В математике термин евклидово пространство может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов: В обоих случаях, n мерное евклидово пространство обычно обозначается , хотя часто используется не вполне приемлемое обозначение . 1.… …   Википедия

Вопрос:

Как пишется расстояние математическое буквой

Ответы:

s-скорость
t-время
v-расстояние

S-эс  расстояние  t-время те   V-скорость 

Как пишется расстояние математическое буквой

• пишется
• расстояние
• математическое
• 1 — 4 классы
• математика

спросил

13 Апр, 18


от
Arevik2_zn

(57 баллов)



в категории Математика

2 Ответы

ответил

13 Апр, 18


от
Катя6531_zn
Начинающий

(138 баллов)

Лучший ответ

S-скорость

t-время

v-расстояние

0 голосов

ответил

13 Апр, 18


от
Focfoc54_zn
Одаренный

(3.9k баллов)

S-эс  расстояние  t-время те   V-скорость 

Добро пожаловать на сайт Ответы онлайн, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.

…

Инфоурок

›

Другое

›Другие методич. материалы›Математика.Памятка на тему : Скорость,время,расстояние.

Математика.Памятка на тему : Скорость,время,расстояние.

Distance is a numerical or occasionally qualitative measurement of how far apart objects or points are. In physics or everyday usage, distance may refer to a physical length or an estimation based on other criteria (e.g. «two counties over»). Since spatial cognition is a rich source of conceptual metaphors in human thought,^[1] the term is also frequently used metaphorically to mean a measurement of the amount of difference between two similar objects (such as statistical distance between probability distributions or edit distance between strings of text) or a degree of separation (as exemplified by distance between people in a social network). Most such notions of distance, both physical and metaphorical, are formalized in mathematics using the notion of a metric space.

In the social sciences, distance can refer to a qualitative measurement of separation, such as social distance or psychological distance.

Distances in physics and geometry[edit]

The distance between physical locations can be defined in different ways in different contexts.

Straight-line or Euclidean distance[edit]

The distance between two points in physical space is the length of a straight line between them, which is the shortest possible path. This is the usual meaning of distance in classical physics, including Newtonian mechanics.

Straight-line distance is formalized mathematically as the Euclidean distance in two- and three-dimensional space. In Euclidean geometry, the distance between two points A and B is often denoted . In coordinate geometry, Euclidean distance is computed using the Pythagorean theorem. The distance between points (x₁, y₁) and (x₂, y₂) in the plane is given by:^[2][3]

Similarly, given points (x₁, y₁, z₁) and (x₂, y₂, z₂) in three-dimensional space, the distance between them is:^[2]

This idea generalizes to higher-dimensional Euclidean spaces.

Measurement[edit]

There are many ways of measuring straight-line distances. For example, it can be done directly using a ruler, or indirectly with a radar (for long distances) or interferometry (for very short distances). The cosmic distance ladder is a set of ways of measuring extremely long distances.

Shortest-path distance on a curved surface[edit]

The straight-line distance between two points on the surface of the Earth is not very useful for most purposes, since we cannot tunnel straight through the Earth’s mantle. Instead, one typically measures the shortest path along the surface of the Earth, as the crow flies. This is approximated mathematically by the great-circle distance on a sphere.

More generally, the shortest path between two points along a curved surface is known as a geodesic. The arc length of geodesics gives a way of measuring distance from the perspective of an ant or other flightless creature living on that surface.

Effects of relativity[edit]

In the theory of relativity, because of phenomena such as length contraction and the relativity of simultaneity, distances between objects depend on a choice of inertial frame of reference. On galactic and larger scales, the measurement of distance is also affected by the expansion of the universe. In practice, a number of distance measures are used in cosmology to quantify such distances.

Other spatial distances[edit]

Unusual definitions of distance can be helpful to model certain physical situations, but are also used in theoretical mathematics:

• In practice, one is often interested in the travel distance between two points along roads, rather than as the crow flies. In a grid plan, the travel distance between street corners is given by the Manhattan distance: the number of east–west and north–south blocks one must traverse to get between those two points.
• Chessboard distance, formalized as Chebyshev distance, is the minimum number of moves a king must make on a chessboard in order to travel between two squares.

Metaphorical distances[edit]

Many abstract notions of distance used in mathematics, science and engineering represent a degree of difference or separation between similar objects. This page gives a few examples.

Statistical distances[edit]

In statistics and information geometry, statistical distances measure the degree of difference between two probability distributions. There are many kinds of statistical distances, typically formalized as divergences; these allow a set of probability distributions to be understood as a geometrical object called a statistical manifold. The most elementary is the squared Euclidean distance, which is minimized by the least squares method; this is the most basic Bregman divergence. The most important in information theory is the relative entropy (Kullback–Leibler divergence), which allows one to analogously study maximum likelihood estimation geometrically; this is an example of both an f-divergence and a Bregman divergence (and in fact the only example which is both). Statistical manifolds corresponding to Bregman divergences are flat manifolds in the corresponding geometry, allowing an analog of the Pythagorean theorem (which holds for squared Euclidean distance) to be used for linear inverse problems in inference by optimization theory.

Other important statistical distances include the Mahalanobis distance and the energy distance.

Edit distances[edit]

In computer science, an edit distance or string metric between two strings measures how different they are. For example, the words «dog» and «dot», which differ by just one letter, are closer than «dog» and «cat», which have no letters in common. This idea is used in spell checkers and in coding theory, and is mathematically formalized in a number of different ways, including Levenshtein distance, Hamming distance, Lee distance, and Jaro–Winkler distance.

Distance in graph theory[edit]

In a graph, the distance between two vertices is measured by the length of the shortest edge path between them. For example, if the graph represents a social network, then the idea of six degrees of separation can be interpreted mathematically as saying that the distance between any two vertices is at most six. Similarly, the Erdős number and the Bacon number—the number of collaborative relationships away a person is from prolific mathematician Paul Erdős and actor Kevin Bacon, respectively—are distances in the graphs whose edges represent mathematical or artistic collaborations.

[edit]

In psychology, human geography, and the social sciences, distance is often theorized not as an objective numerical measurement, but as a qualitative description of a subjective experience.^[4] For example, psychological distance is «the different ways in which an object might be removed from» the self along dimensions such as «time, space, social distance, and hypotheticality».^[5] In sociology, social distance describes the separation between individuals or social groups in society along dimensions such as social class, race/ethnicity, gender or sexuality.

Mathematical formalization[edit]

Most of the notions of distance between two points or objects described above are examples of the mathematical idea of a metric. A metric or distance function is a function d which takes pairs of points or objects to real numbers and satisfies the following rules:

1. The distance between an object and itself is always zero.
2. The distance between distinct objects is always positive.
3. Distance is symmetric: the distance from x to y is always the same as the distance from y to x.
4. Distance satisfies the triangle inequality: if x, y, and z are three objects, then

   

   This condition can be described informally as «intermediate stops can’t speed you up.»

As an exception, many of the divergences used in statistics are not metrics.

Distance between sets[edit]

There are multiple ways of measuring the physical distance between objects that consist of more than one point:

• One may measure the distance between representative points such as the center of mass; this is used for astronomical distances such as the Earth–Moon distance.
• One may measure the distance between the closest points of the two objects; in this sense, the altitude of an airplane or spacecraft is its distance from the Earth. The same sense of distance is used in Euclidean geometry to define distance from a point to a line, distance from a point to a plane, or, more generally, perpendicular distance between affine subspaces.

Even more generally, this idea can be used to define the distance between two subsets of a metric space. The distance between sets A and B is the infimum of the distances between any two of their respective points:

This does not define a metric on the set of such subsets: the distance between overlapping sets is zero, and this distance does not satisfy the triangle inequality for any metric space with two or more points (consider the triple of sets consisting of two distinct singletons and their union).

• The Hausdorff distance between two subsets of a metric space can be thought of as measuring how far they are from perfectly overlapping. Somewhat more precisely, the Hausdorff distance between A and B is either the distance from A to the farthest point of B, or the distance from B to the farthest point of A, whichever is larger. (Here «farthest point» must be interpreted as a supremum.) The Hausdorff distance defines a metric on the set of compact subsets of a metric space.

[edit]

Further information: Length

The word distance is also used for related concepts that are not encompassed by the description «a numerical measurement of how far apart points or objects are».

Distance travelled[edit]

The distance travelled by an object is the length of a specific path travelled between two points,^[6] such as the distance walked while navigating a maze. This can even be a closed distance along a closed curve which starts and ends at the same point, such as a ball thrown straight up, or the Earth when it completes one orbit. This is formalized mathematically as the arc length of the curve.

The distance travelled may also be signed: a «forward» distance is positive and a «backward» distance is negative.

Circular distance is the distance traveled by a point on the circumference of a wheel, which can be useful to consider when designing vehicles or mechanical gears (see also odometry). The circumference of the wheel is 2π × radius; if the radius is 1, each revolution of the wheel causes a vehicle to travel 2π radians.

Displacement and directed distance[edit]

The displacement in classical physics measures the change in position of an object during an interval of time. While distance is a scalar quantity, or a magnitude, displacement is a vector quantity with both magnitude and direction. In general, the vector measuring the difference between two locations (the relative position) is sometimes called the directed distance.^[7] For example, the directed distance from the New York City Main Library flag pole to the Statue of Liberty flag pole has:

• A starting point: library flag pole
• An ending point: statue flag pole
• A direction: -38°
• A distance: 8.72 km

Signed distance[edit]

In mathematics and its applications, the signed distance function (or oriented distance function) is the orthogonal distance of a given point x to the boundary of a set Ω in a metric space, with the sign determined by whether or not x is in the interior of Ω. The function has positive values at points x inside Ω, it decreases in value as x approaches the boundary of Ω where the signed distance function is zero, and it takes negative values outside of Ω.^[8] However, the alternative convention is also sometimes taken instead (i.e., negative inside Ω and positive outside).^[9]

See also[edit]

Library support[edit]

• Python (programming language)
  • Interspace -A package for finding the distance between two vectors, numbers and strings.
  • SciPy -Distance computations (scipy.spatial.distance)
• Julia (programming language)
  • Julia Statistics Distance -A Julia package for evaluating distances (metrics) between vectors.

References[edit]

Bibliography[edit]

• Deza E, Deza M (2006). Dictionary of Distances. Elsevier. ISBN 0-444-52087-2.

Distance is a numerical or occasionally qualitative measurement of how far apart objects or points are. In physics or everyday usage, distance may refer to a physical length or an estimation based on other criteria (e.g. «two counties over»). Since spatial cognition is a rich source of conceptual metaphors in human thought,^[1] the term is also frequently used metaphorically to mean a measurement of the amount of difference between two similar objects (such as statistical distance between probability distributions or edit distance between strings of text) or a degree of separation (as exemplified by distance between people in a social network). Most such notions of distance, both physical and metaphorical, are formalized in mathematics using the notion of a metric space.

In the social sciences, distance can refer to a qualitative measurement of separation, such as social distance or psychological distance.

Distances in physics and geometry[edit]

The distance between physical locations can be defined in different ways in different contexts.

Straight-line or Euclidean distance[edit]

The distance between two points in physical space is the length of a straight line between them, which is the shortest possible path. This is the usual meaning of distance in classical physics, including Newtonian mechanics.

Straight-line distance is formalized mathematically as the Euclidean distance in two- and three-dimensional space. In Euclidean geometry, the distance between two points A and B is often denoted . In coordinate geometry, Euclidean distance is computed using the Pythagorean theorem. The distance between points (x₁, y₁) and (x₂, y₂) in the plane is given by:^[2][3]

Similarly, given points (x₁, y₁, z₁) and (x₂, y₂, z₂) in three-dimensional space, the distance between them is:^[2]

This idea generalizes to higher-dimensional Euclidean spaces.

Measurement[edit]

There are many ways of measuring straight-line distances. For example, it can be done directly using a ruler, or indirectly with a radar (for long distances) or interferometry (for very short distances). The cosmic distance ladder is a set of ways of measuring extremely long distances.

Shortest-path distance on a curved surface[edit]

The straight-line distance between two points on the surface of the Earth is not very useful for most purposes, since we cannot tunnel straight through the Earth’s mantle. Instead, one typically measures the shortest path along the surface of the Earth, as the crow flies. This is approximated mathematically by the great-circle distance on a sphere.

More generally, the shortest path between two points along a curved surface is known as a geodesic. The arc length of geodesics gives a way of measuring distance from the perspective of an ant or other flightless creature living on that surface.

Effects of relativity[edit]

In the theory of relativity, because of phenomena such as length contraction and the relativity of simultaneity, distances between objects depend on a choice of inertial frame of reference. On galactic and larger scales, the measurement of distance is also affected by the expansion of the universe. In practice, a number of distance measures are used in cosmology to quantify such distances.

Other spatial distances[edit]

Unusual definitions of distance can be helpful to model certain physical situations, but are also used in theoretical mathematics:

• In practice, one is often interested in the travel distance between two points along roads, rather than as the crow flies. In a grid plan, the travel distance between street corners is given by the Manhattan distance: the number of east–west and north–south blocks one must traverse to get between those two points.
• Chessboard distance, formalized as Chebyshev distance, is the minimum number of moves a king must make on a chessboard in order to travel between two squares.

Metaphorical distances[edit]

Many abstract notions of distance used in mathematics, science and engineering represent a degree of difference or separation between similar objects. This page gives a few examples.

Statistical distances[edit]

In statistics and information geometry, statistical distances measure the degree of difference between two probability distributions. There are many kinds of statistical distances, typically formalized as divergences; these allow a set of probability distributions to be understood as a geometrical object called a statistical manifold. The most elementary is the squared Euclidean distance, which is minimized by the least squares method; this is the most basic Bregman divergence. The most important in information theory is the relative entropy (Kullback–Leibler divergence), which allows one to analogously study maximum likelihood estimation geometrically; this is an example of both an f-divergence and a Bregman divergence (and in fact the only example which is both). Statistical manifolds corresponding to Bregman divergences are flat manifolds in the corresponding geometry, allowing an analog of the Pythagorean theorem (which holds for squared Euclidean distance) to be used for linear inverse problems in inference by optimization theory.

Other important statistical distances include the Mahalanobis distance and the energy distance.

Edit distances[edit]

In computer science, an edit distance or string metric between two strings measures how different they are. For example, the words «dog» and «dot», which differ by just one letter, are closer than «dog» and «cat», which have no letters in common. This idea is used in spell checkers and in coding theory, and is mathematically formalized in a number of different ways, including Levenshtein distance, Hamming distance, Lee distance, and Jaro–Winkler distance.

Distance in graph theory[edit]

In a graph, the distance between two vertices is measured by the length of the shortest edge path between them. For example, if the graph represents a social network, then the idea of six degrees of separation can be interpreted mathematically as saying that the distance between any two vertices is at most six. Similarly, the Erdős number and the Bacon number—the number of collaborative relationships away a person is from prolific mathematician Paul Erdős and actor Kevin Bacon, respectively—are distances in the graphs whose edges represent mathematical or artistic collaborations.

[edit]

In psychology, human geography, and the social sciences, distance is often theorized not as an objective numerical measurement, but as a qualitative description of a subjective experience.^[4] For example, psychological distance is «the different ways in which an object might be removed from» the self along dimensions such as «time, space, social distance, and hypotheticality».^[5] In sociology, social distance describes the separation between individuals or social groups in society along dimensions such as social class, race/ethnicity, gender or sexuality.

Mathematical formalization[edit]

Most of the notions of distance between two points or objects described above are examples of the mathematical idea of a metric. A metric or distance function is a function d which takes pairs of points or objects to real numbers and satisfies the following rules:

1. The distance between an object and itself is always zero.
2. The distance between distinct objects is always positive.
3. Distance is symmetric: the distance from x to y is always the same as the distance from y to x.
4. Distance satisfies the triangle inequality: if x, y, and z are three objects, then

   

   This condition can be described informally as «intermediate stops can’t speed you up.»

As an exception, many of the divergences used in statistics are not metrics.

Distance between sets[edit]

There are multiple ways of measuring the physical distance between objects that consist of more than one point:

• One may measure the distance between representative points such as the center of mass; this is used for astronomical distances such as the Earth–Moon distance.
• One may measure the distance between the closest points of the two objects; in this sense, the altitude of an airplane or spacecraft is its distance from the Earth. The same sense of distance is used in Euclidean geometry to define distance from a point to a line, distance from a point to a plane, or, more generally, perpendicular distance between affine subspaces.

Even more generally, this idea can be used to define the distance between two subsets of a metric space. The distance between sets A and B is the infimum of the distances between any two of their respective points:

This does not define a metric on the set of such subsets: the distance between overlapping sets is zero, and this distance does not satisfy the triangle inequality for any metric space with two or more points (consider the triple of sets consisting of two distinct singletons and their union).

• The Hausdorff distance between two subsets of a metric space can be thought of as measuring how far they are from perfectly overlapping. Somewhat more precisely, the Hausdorff distance between A and B is either the distance from A to the farthest point of B, or the distance from B to the farthest point of A, whichever is larger. (Here «farthest point» must be interpreted as a supremum.) The Hausdorff distance defines a metric on the set of compact subsets of a metric space.

[edit]

Further information: Length

The word distance is also used for related concepts that are not encompassed by the description «a numerical measurement of how far apart points or objects are».

Distance travelled[edit]

The distance travelled by an object is the length of a specific path travelled between two points,^[6] such as the distance walked while navigating a maze. This can even be a closed distance along a closed curve which starts and ends at the same point, such as a ball thrown straight up, or the Earth when it completes one orbit. This is formalized mathematically as the arc length of the curve.

The distance travelled may also be signed: a «forward» distance is positive and a «backward» distance is negative.

Circular distance is the distance traveled by a point on the circumference of a wheel, which can be useful to consider when designing vehicles or mechanical gears (see also odometry). The circumference of the wheel is 2π × radius; if the radius is 1, each revolution of the wheel causes a vehicle to travel 2π radians.

Displacement and directed distance[edit]

The displacement in classical physics measures the change in position of an object during an interval of time. While distance is a scalar quantity, or a magnitude, displacement is a vector quantity with both magnitude and direction. In general, the vector measuring the difference between two locations (the relative position) is sometimes called the directed distance.^[7] For example, the directed distance from the New York City Main Library flag pole to the Statue of Liberty flag pole has:

• A starting point: library flag pole
• An ending point: statue flag pole
• A direction: -38°
• A distance: 8.72 km

Signed distance[edit]

In mathematics and its applications, the signed distance function (or oriented distance function) is the orthogonal distance of a given point x to the boundary of a set Ω in a metric space, with the sign determined by whether or not x is in the interior of Ω. The function has positive values at points x inside Ω, it decreases in value as x approaches the boundary of Ω where the signed distance function is zero, and it takes negative values outside of Ω.^[8] However, the alternative convention is also sometimes taken instead (i.e., negative inside Ω and positive outside).^[9]

See also[edit]

Library support[edit]

• Python (programming language)
  • Interspace -A package for finding the distance between two vectors, numbers and strings.
  • SciPy -Distance computations (scipy.spatial.distance)
• Julia (programming language)
  • Julia Statistics Distance -A Julia package for evaluating distances (metrics) between vectors.

References[edit]

Bibliography[edit]

• Deza E, Deza M (2006). Dictionary of Distances. Elsevier. ISBN 0-444-52087-2.

На чтение 10 мин. Просмотров 1k. Опубликовано 19 декабря 2022

Вычислить скорость, время и расстояние часто бывает необходимо в повседневной жизни, когда мы рассчитываем время на дорогу. Все эти величины (время, расстояние и скорость) связаны между собой математической формулой и зная две из них всегда можно найти третью. Мы с вами рассмотрим, что понимается под этими величинами, как их найти, решим несколько задач.

В этом уроке мы рассмотрим три физические величины, а именно расстояние, скорость и время.

Расстояние

Расстояние мы уже изучали в уроке единицы измерения. Говоря простым языком, расстояние это длина от одного пункта до другого. (Пример: расстояние от дома до школы 2 километра).

Имея дело с большими расстояниями, в основном они будут измеряться в метрах и километрах. Расстояние обозначается латинской буквой S. Можно обозначить и другой буквой, но буква S общепринята.

---

Скорость

Скоростью называют расстояние, пройденное телом за единицу времени. Под единицей времени подразумевается 1 час, 1 минута или 1 секунда.

Предположим, что двое школьников решили проверить, кто быстрее добежит от двора до спортплощадки. Расстояние от двора до спортплощадки 100 метров. Первый школьник добежал за 25 секунд. Второй за 50 секунд. Кто добежал быстрее?

Быстрее добежал тот, кто за 1 секунду пробежал бóльшее расстояние. Говорят, что у него скорость движения больше. В данном случае скорость школьников это расстояние, которое они пробегают за 1 секунду.

Чтобы найти скорость, нужно расстояние разделить на время движения.  Давайте найдём скорость первого школьника. Для этого разделим 100 метров на время движения первого школьника, то есть на 25 секунд:

100 м : 25 с = 4

Если расстояние дано в метрах, а время движения в секундах, то скорость измеряется в метрах в секунду (м/с). Если расстояние дано в километрах, а время движения в часах, скорость измеряется в километрах в час (км/ч). 

У нас расстояние дано в метрах, а время в секундах. Значит скорость измеряется в метрах в секунду (м/с)

100м : 25с = 4 (м/с)

Итак, скорость движения первого школьника составляет 4 метра в секунду (м/с).

Теперь найдем скорость движения второго школьника. Для этого разделим расстояние на время движения второго школьника, то есть на 50 секунд:

100 м : 50 c = 2 (м/с)

Значит скорость движения второго школьника составляет 2 метра в секунду (м/с).

Скорость движения первого школьника — 4 (м/с)
Скорость движения второго школьника — 2 (м/с)

4 (м/с) > 2 (м/с)

Скорость первого школьника больше. Значит он добежал до спортплощадки быстрее. Скорость обозначается латинской буквой v.

---

Время

Иногда возникает ситуация, когда требуется узнать за какое время тело преодолеет то или иное расстояние.

Например, от дома до спортивной секции 1000 метров. Мы должны доехать туда на велосипеде. Наша скорость будет 500 метров в минуту (500м/мин). За какое время мы доедем до спортивной секции?

Если за одну минуту мы будем проезжать 500 метров, то сколько таких минут с пятью ста метрами будет в 1000 метрах?

Очевидно, что надо разделить 1000 метров на то расстояние, которое мы будем проезжать за одну минуту, то есть на 500 метров. Тогда мы получим время, за которое доедем до спортивной секции:

1000 : 500 = 2 (мин)

Время движения обозначается маленькой латинской буквой t.

---

Взаимосвязь скорости, времени, расстояния

Скорость принято обозначать маленькой латинской буквой v, время движения – маленькой буквой t, пройденное расстояние – маленькой буквой s. Скорость, время и расстояние связаны между собой.

Если известны скорость и время движения, то можно найти расстояние. Оно равно скорости, умноженной на время:

s = v × t

Например, мы вышли из дома и направились в магазин. Мы дошли до магазина за 10 минут. Наша скорость была 50 метров в минуту. Зная свою скорость и время, мы можем найти расстояние.

Если за одну минуту мы прошли 50 метров, то сколько таких пятьдесят метров мы пройдем за 10 минут? Очевидно, что умножив 50 метров на 10, мы определим расстояние от дома до магазина:

v = 50 (м/мин)

t = 10 минут

s = v × t = 50 × 10 = 500 (метров до магазина)

Если известно время и расстояние, то можно найти скорость:

v = s : t

Например, расстояние от дома до школы 900 метров. Школьник дошел до этой школы за 10 минут. Какова была его скорость?

Скорость движения школьника это расстояние, которое он проходит за одну минуту. Если за 10 минут он преодолел 900 метров, то какое расстояние он преодолевал за одну минуту?

Чтобы ответить на этот, нужно разделить расстояние на время движения школьника:

s = 900 метров

t = 10 минут

v = s : t = 900 : 10 = 90 (м/мин)

Если известна скорость и расстояние, то можно найти время:

t = s : v

Например, от дома до спортивной секции 500 метров. Мы должны дойти до неё пешком. Наша скорость будет 100 метров в минуту (100 м/мин). За какое время мы дойдем до спортивной секции?

Если за одну минуту мы будем проходить 100 метров, то сколько таких минут со ста метрами будет в 500 метрах?

Чтобы ответить на этот вопрос нужно 500 метров разделить на расстояние, которое мы будем проходить за одну минуту, то есть на 100. Тогда мы получим время, за которое мы дойдем до спортивной секции:

s = 500 метров

v = 100 (м/мин)

t = s : v = 500 : 100 = 5 (минут до спортивной секции)

---

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже