Как пишется разность множеств

Разностью
множеств
А и В называют множество, состоящее из
тех и только тех элементов, которые
принадлежат только множеству А и не
принадлежат множеству В. Разность
множеств¹
А и В обозначается АВ. Формально
определение разности множеств А и В
можно записать в виде:

.
1.16

Примеры.

1. Пусть
   имеем А={4,5,8,12,16,21}; B={1,2,5,7,12,17,21,30}.
   Тогда АВ={4,8,16}, а BA={1,2,7,17,30}.

2. A={a,b,c,d};
   B={a,d,e,f,g}.
   В этом
   случае получаем: АВ={b,c}
   и BA={e,f,g}.

Если как и ранее
множества А и В изобразить в виде точек
кругов А и В соответственно, то разность
множеств будет представляться так, как
это показано на рис. 1.3, где а) соответствует
разности АВ, b)- разности
BA.

1.5.5 Симметрическая разность

Симметрической
разностью
множеств А и В называют множество,
состоящее из объединения множеств
разностей АВ и ВА. Симметрическая
разность множеств А и В обозначается
символом ,
т.е А 
В. Таким образом, по определению

.
1.17

Нетрудно
убедиться, что

.
1.18

Примеры.

1. Имеем:
   А={4,5,8,12,16,21}; B={1,2,5,7,12,17,21,30}.
   Тогда

А

В={1,2,4,7,8,16, 17,30}.

1. A={a,b,c,d};
   B={a,d,e,f,g}.
   В этом
   случае получаем А 
   В={b,c,e,f,g}.

Графически
симметричная разность множеств А и В
может быть представлена как показано
на рис. 1.4. Закрашенные области соответствуют
симметрической разности множеств А и
В.

1.5.6 Универсальное множество

Если
в некотором рассмотрении участвуют
только подмножества некоторого
фиксированного множеств I,
то это самое большое множество называют
универсальным
(или
полным)
множеством.

В различных конкретных случаях роль
универсального множества играют
различные множества. Так, при рассмотрении
студентов института универсальным
(полным) множеством является вся
совокупность студентов. Отдельные
группы (факультеты) можно рассматривать
как подмножества. В некоторых случаях
универсальным множеством может являться
и отдельная группа, в которой имеют
место свои подмножества (отличники;
студенты, проживающие в общежитии;
юноши; девушки и т.п.).

Вполне
очевидно, что для универсального
множества справедливы следующие
соотношения:

и

1.19

Универсальное
множество удобно изображать графически
в виде множества точек прямоугольника.
Различные области внутри прямоугольника
будут означать различные подмножества
универсального множества. Изображение
множества в виде областей в прямоугольнике,
представляющем универсальное множество,
называют диаграммой Эйлера-Венна.

1.5.7 Дополнение множества

Множество

,
определяемое из соотношения

1.20

называют
дополнением
множества
А (до универсального множества I)

Графически
дополнение множества А может быть
представлено как показано на рис. 1.5.

Формальное
определение дополнения множества А
может быть записано как

1.21

Из
определения дополнения множества
следует, что А и

не имеют общих элементов, т.е.

1.22

Кроме
того,

1.23

Из
симметрии формул 1.22 и 1.23 следует, что
не только

является
дополнением А, но и А является дополнением

.
Но дополнение

есть

.
Таким образом

1.24

Рис.
1.5

С
помощью операции дополнения удобно
представить разность множеств:

=
,
т.е

1.25

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #

Порой обучение продвигается с трудом. Сложная теория, непонятные задания… Хочется бросить. Не сдавайтесь, все сложности можно преодолеть. Рассказываем, как

Не понятна формулировка, нашли опечатку?

Выделите текст, нажмите ctrl + enter и опишите проблему, затем отправьте нам. В течение нескольких дней мы улучшим формулировку или исправим опечатку

Что-то не получается в уроке?

Загляните в раздел «Обсуждение»:

1. Изучите вопросы, которые задавали по уроку другие студенты — возможно, ответ на ваш уже есть
2. Если вопросы остались, задайте свой. Расскажите, что непонятно или сложно, дайте ссылку на ваше решение. Обратите внимание — команда поддержки не отвечает на вопросы по коду, но поможет разобраться с заданием или выводом тестов
3. Мы отвечаем на сообщения в течение 2-3 дней. К «Обсуждениям» могут подключаться и другие студенты. Возможно, получится решить вопрос быстрее!

Подробнее о том, как задавать вопросы по уроку

Для того, чтобы рассчитать разность множеств, нужно определить, что обозначает это понятие. Третье множество, которое получается из «вычитания» одного множества (A) из другого (U) и состоит из элементов одного из двух множеств, исключая общие элементы, называется разностью множеств (U и A). Записывается следующим образом: UA. Результат во многом зависит от того, какое множество «вычитают».

Пример

Дано множество U={2,5,6,7,9} и множество A={4,5,7,8,9}.

• Разность множеств UA={2,6}, так как 5, 7 и 9 входят в множество (А).

• И наоборот, разность множеств AU={4,8}, так как те же 5, 7, и 9 входят в множество (U).

Если элементы множеств не совпадают, то разность будет аналогична элементам «уменьшаемого» множества.

Пример

Дано множество U={2,5,6,7,9} и множество A={1,3,4,8}.

• Разность множеств UA={2,5,6,7,9}

• И наоборот, разность множеств AU={1,3,4,8}.

Если все элементы обоих множеств аналогичны, в результате получится пустое множество.

Для расчета разности множеств оптимальный выход – воспользоваться онлайн калькулятором. На практике разность множеств применяют в 3D графике, например: создание объемного кольца. Или для поиска IP-адресов, которые находятся в различных наборах (множествах) данных.

«Теория систем и системный анализ»

И. Б. Родионов

Лекция 13: Операции над множествами. Упорядоченное множество

1. Объединение множеств

Объединение множеств X и Y — это множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств X или Y, т.е. принадлежат X или принадлежат Y.

Объединение X и Y обозначается через X∪Y

Формально x∈X∪Y ⇔ x∈X или x∈Y

Пример 1. Если X={1,2,3,4,5} и Y={2,4,6,8}, то

X∪Y={1,2,3,4,5,6,7,8}

Пример 2. Если X={x:x — отл.гр.}, и Y={x:x — gib.}, то

X∪Y={x:x — или отл., или gib}.

Пример 3. Если X — множество точек левого круга и Y — множество точек правого круга, то

X∪Y — заштрихованная область, ограниченная обоими кругами.

Понятие объединения можно распространить и на большее число множеств, на систему множеств. Обозначим через М={X₁,X₂, …,X_n} совокупность n множеств X₁,X₂, …,X_n, называемую иногда системой множеств. Объединение этих множеств

∪X_i=∪(X∈M), Х=X₁∪X₂∪…∪X_n

представляет собой множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств данной системы М.

Для объединенных множеств справедливы:

• X∪Y = Y∪X — коммутативный закон
• (X∪Y)∪Z = X∪(Y∪Z) = X∪Y∪Z — ассоциативный закон,

справедливость которых вытекает из того, что левая и правая части равенств состоят из одних и тех же элементов.

Очевидно, что X∪∅ = X. Отсюда можно видеть, что ∅ играет роль нуля в алгебре множеств.

2. Пересечение множеств

Пересечение множеств X и Y — это множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат как множеству X, так и множеству Y.

Пересечение множеств обозначается X∩Y.

Формально x∈X∩Y ⇔ x∈X и x∈Y

Пример 4. X={1,2,3,4,5} Y={2,4,6,8} X∩Y = {2,4}

Пример 5. Если Х — множество точек левого круга, а Y — множество точек правого круга, то X∩Y представляет собой заштрихованную область, являющуюся общей частью обоих кругов.

Множества X и Y называются непересекающимися (дизъюнктными), если они не имеют общих элементов, то есть если X∩Y=∅.

Пример 7. {1,2,3} и {4,5,6}

В отличие от алгебры чисел, где могут быть три возможности: a<b, a=b, b<a между двумя множествами X и Y может быть одно из 5 cотношений:

X=Y; X⊂Y; Y⊂X; X∩Y=∅ и X и Y находятся в общем положении.

Говорят, что множества X и Y находятся в общем положении, если выполняются три условия:

1. существует элемент множества X, не принадлежащий Y;
2. существует элемент множества Y, не принадлежащий X;
3. существует элемент, принадлежащий как X, так и Y.

Аналогично объединению понятие пересечения можно распространить на систему множеств:

∩X=∩X_i=X₁∩X₂∩…∩X_n

Пересечение множеств представляет собой множество, элементы которого принадлежат каждому из множеств системы М.

Для пересечения множеств справедливы:

• X∩Y=Y∩X — коммутативный закон
• (X∩Y)∩Z = X∩(Y∩Z) = X∩Y∩Z — ассоциативный закон

Заметим также, что имеет место соотношение X∩∅=∅.

Пример 8. A={a,b}, B={b,c}, C={a,c}.

A∩B∩C=∅, хотя A∩B={b}, B∩C={c}

3. Разность множеств

Разность множеств определена только для двух множеств. Разностью множеств X и Y называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат X и не принадлежат Y.

Обозначается: XY.

Формально: x∈XY ⇔ x∈X и x∉Y

Пример 9. (см. Пример 1) X={1,2,3,4,5}, Y={2,4,6,8}, XY={1,3,5}, YX={6,8}

Разность множеств не обладает свойством коммутативности.

XY≠YX

Если AB=∅, то A⊂B — поставить ? обратно

при A∩B≠∅

4. Универсальное множество

Роль нуля в алгебре множеств играет пустое множество. А нет ли такого множества, которое играет роль «1», т.е. удовлетворяет условию: X∪I = X, что означает, что пересечение или «общая часть» множества I и множества X для любого множества X совпадает с самим этим множеством. Это возможно лишь в том случае, если множество I содержит все элементы, из которых может состоять множество X, так что любое множество X полностью содержится в множестве I.

Множество I, удовлетворяющее этому условию, называется полным, или универсальным, или единичным.

Если при некотором рассмотрении участвуют только подмножества некоторого фиксированного множества, то это самое большое множество будем считать универсальным и обозначать I.

Пример 12 (Пример 1). I — множество целых чисел

Пример 13 (Пример 2). I — множество студ. гр.

Пример 14 (Пример 3). I — лист бумаги, доска

Универсальное множество обычно обозначают графически в виде множества точек прямоугольника, а отдельные множества в виде отдельных областей внутри этого прямоугольника. Изображение множеств в виде областей в прямоугольнике, представляющем универсальное множество, называется диаграммой Эйлера-Венна.

Универсальное множество обладает интересным свойством, которое не имеет аналогии в обычной алгебре, а именно, для любого множества X справедливо соотношение X∪I = I.

5. Дополнение множества

Множество, определяемое из соотношения X¯ = IX, называется дополнением множества X (до универсального множества I).

На диаграмме множество X¯ представляет собой незаштрихованную область.

Формально: X = {x: x∈I и x∉X}.

Из определения следует, что X и X¯ не имеют общих элементов. Х∩X¯=∅.

Кроме того, не имеется элементов I, которые не принадлежали бы ни X, ни X¯ (его дополнению), так как те элементы, которые не принадлежат X, принадлежат X¯ (его дополнению). Следовательно, Х∪X¯=I.

Из симметрии данной формулы относительно Х и X¯ следует не только то, что X¯ является дополнением Х, но и что Х является дополнением X¯. Но дополнение X¯ есть X¯ ¯. Таким образом, X¯ ¯=X¯.

С помощью операции дополнения представим разность множеств:

XY = {x: x∈X и x∉Y} ={ x: x∈X и x∈Y¯ }, т.е. XY= Х∩Y¯.

Порядок выполнения операций:

1. дополнение;
2. пересечение;
3. объединение, разность.

Для изменения порядка используют скобки.

6. Разбиение множества

Одной из наиболее часто встречающихся операций над множествами является операция разбиения множества на систему подмножеств.

Так, система курсов данного факультета является разбиением множества студентов факультета; система групп данного курса является разбиением множества студентов курса.

Пример. Продукция предприятия: — высший сорт, I, II, брак.

Рассмотрим некоторое множество M и систему множеств

М = {X₁, X₂, …, X_n}

Система множеств M называется разбиением множества M, если она удовлетворяет следующим условиям:

1. Любое множество X из M является подмножеством множества М

   ∀X∈M: X⊆M;

2. Любые два множества X и Y из М являются непересекающимися

   ∀X∈М, ∀Y∈M: X≠Y → X∩Y=∅.

3. Объединение всех множеств, входящих в разбиение, дает множество M

   X₁∪X₂∪…∪ X_n=M.

7. Тождества алгебры множеств

С помощью операций объединения, пересечения и дополнения из множеств можно составлять различные алгебраические выражения.

Если алгебраические выражения V(X,Y,Z) и S(X,Y,Z) представляют собой одно и то же множество, то их можно приравнять друг другу, получая алгебраическое тождество вида V(X,Y,Z) = S(X,Y,Z)

1. (X∪Y)∩Z = (X∩Z)∪(Y∩Z) (аналогичное дистрибутивному закону (a+b)c=(a+c)(b+c) в обычной алгебре).
2. (X∩Y)∪Z = (X∪Z)∩(Y∪Z)
3. Если Y⊆X, то X∩Y=Y, X∪Y=X. Действительно, все элементы множества Y являются в то же время и элементами множества X. Значит пересечение этих множеств, то есть общая множеств Х и Y совпадает с Y. В объединение множеств X и Y множество Y не внесет ни одного элемента, который уже не входил бы в него, будучи элементом множества Х. Следовательно, X∪Y совпадает с X.
4. Пусть в примере 3 Y=X. Тогда, учитывая, что X⊆X, то X∩Х=Х, X∪Х=X. (идемпотентность).
5. Докажем тождество (X∪Y)¯=X¯∩Y¯. Предположим, что х∈(X∪Y)¯, то есть х∉X∪Y. Это значит, что х∉X и х∉Y, то есть и x&isinX¯ и x&isinY¯;. Следовательно, x∈X¯∩Y¯. Предположим теперь, что y∈X¯∩Y¯, то есть y∈X¯ и y∈Y¯. Это значит, что y∉X и y∉Y, то есть что y∉X∪Y. Следовательно, y∈(X∪Y)¯.
6. Тождество (X∩Y)¯=X¯∪Y¯. Обычно тождества 5) и 6) называются тождествами де-Моргана.
7. (AB)∩C=(A∩C)B=(A∩C)(B∩C)
8. AB=A(A∩B)
9. A=(A∩B)∪(AB)

Дополнение к занятию «операции над множествами»

Множество элементов, принадлежащих или A, или B, называют симметричной разностью или дизьюнктивной суммой.

S = A⊕B = (AB)∪(BA) = (A∩B¯)∪(A¯∪B) = (A∪B)∩(A∩B)¯

Для симметрической разности выполняются следующие законы:

1. 1) A⊕B = B ⊕A — коммутативность,
2. 2) A⊕(B⊕С) = (A⊕B)⊕С — ассоциативность,
3. 3) A⊕∅ = А=∅⊕A — существование нейтрального элемента,
4. 4) A ⊕А = ∅
5. 5) A∩(B⊕С) = (A∩B)⊕(А∩С) — дистрибутивность относительно пересечения.

Упорядоченное множество

Упорядоченным множеством (или кортежем) называется последовательность элементов, то есть совокупность элементов, в которой каждый элемент занимает определенное место. Сами элементы — компоненты кортежа.

Пример 1. Множество людей, стоящих в очереди, множество слов в фразе, алфавит. Во всех этих множествах место каждого элемента является вполне определенным и не может быть произвольно изменено.

Число элементов кортежа называется его длиной. Обозначают кортеж скобками «< >», иногда круглыми «( )». А=<a₁, a₂, …, a_n>. Кортежи длины 2 называются упорядоченными парами, 3 — тройками, n-ками.

Частный случай: кортеж длины 1 — <a>

кортеж длины 0 — < > или ∧ — пустой кортеж.

Отличие кортежа и обыкновенного множества: в кортеже могут быть одинаковые элементы.

Упорядоченные множества, элементами которых являются вещественные числа, будем называть векторами или точками пространства (n-мерного).

Так, кортеж <a₁, a₂> может рассматриваться как точка на плоскости или вектор, проведенный из начала координат в данную точку. Тогда компоненты a₁, a₂ — проекции вектора на оси 1 и 2.

Пр₁ <a₁, a₂> = a₁, Пр₂ <a₁, a₂> = a₂, Пр_i <a₁, a₂, a₃>= a_i, Пр₁2 <a₁, a₂, a₃>= <a₁, a₂> — двухэлементный кортеж. Проекция кортежа на пустое множество осей — пустой кортеж.

Обобщая эти понятия, будем рассматривать упорядоченное n-элементное множество вещественных чисел (a₁, …, a_n) как точку в воображаемом n–мерном пространстве (иногда называемом гиперпространством), или как n-мерный вектор. При этом компоненты n-элементного кортежа а будем рассматривать как проекции этого кортежа на соответствующие оси.

Пр_i a = a_i, i=1,2,…,n

Пр_i,j,…,l a = <a_i, a_j, …, a_l>, i=1,2,…,n

Два вектора равны, если они имеют одинаковую длину и соответствующие координаты их равны.

<a₁, …, a_m> = <b₁, …, b_n> ⇔ m = n и a₁ = b₁, b₁ = b₂, …

Компонентами кортежа (вектора) могут быть также компоненты кортежи (векторы):

Пример. Слова в предложении,

A = < <a₁, a₂>, <a₁, a₃>, <a₂, a₃> >

Прямое произведение множеств

Прямым (декартовым) произведением множеств X и Y называется множество, состоящее из всех тех и только тех упорядоченных пар, первая компонента которых принадлежит множеству X, а вторая принадлежит множеству Y.

Формально: X*Y = {<x,y>: x∈X, y∈Y}

Пример 2. Пусть X=<1,2>, Y=<1,3,4>

Тогда X*Y={<1,1>,<1,3>,<1,4>,<2,1>,<2,3>,<2,4> } См. рис. а).

Пример 3. Пусть X и Y — отрезки вещественной оси. Прямое произведение X*Y изображается заштрихованным прямоугольником. См. рис. б).

Прямое произведение изменяется при изменении порядка сомножителей т.е.

X*Y ≠ Y*X

Прямое произведение множеств X₁, X₂, …, X_n — это множество, обозначаемое X₁*X₂*…*X_n и состоящее из всех тех и только тех кортежей длины n, правая компонента которых принадлежит X₁, вторая — X₂ и т.д.

Очевидно X*Y = ∅ ⇔ X = ∅ или Y = ∅.

Аналогично X₁*X₂*…*X_n = ∅ тогда и только тогда, когда хотя бы одно из множеств X₁, X₂, …, X_n является пустым.

Частным случаем прямого произведения является понятие степеней (декартовых) множества — прямое произведение одинаковых множеств

M^s=M*M*…*M, M¹=M, M⁰=∧.

Обычно R — множество вещественных чисел, тогда R²=R*R — вещественная плоскость и R³=R*R*R — трехмерное вещественное пространство.

Пример. A={a,b,c,d,e,f,g,h}, B={1,2,3, …,8}

Тогда A*B ={a₁, a₂, a₃, …, h7, h8} — множество обозначающее все 64 клеток шахматной доски.

Пример. Пусть A — конечное множество, элементами которого являются символы (буквы, цифры, знаки препинания и т.д.). Такие множества обычно называют алфавитами. Элементы множества a_n называются словами длины n в алфавите A. Множество всех символов в алфавите A — это множество A^* = ∪Aⁱ = A¹∪A²∪A³… . При написании слов не принято пользоваться ни запятыми, ни скобками, ни разделителями.

СЛОВО ⇔ <С,Л,О,В,О>

Теорема. Пусть a₁, a₂, …, a_n — конечные множества и |a₁| = m₁, |a₂|=m₂, …, |a_n|=m_n. Тогда мощность множества a₁*a₂*a₃*…*a_n равна произведению мощностей a₁, a₂, …, a_n

|a₁*a₂*…*a_n|=|a₁|*|a₂|*|a₃|*…*|a_n|= m₁*m₂*…*m_n

Следствие |a_n|=|A|ⁿ

Проекция множества.

Операция программирования множества тесно связана с операцией проектирования кортежа и может применяться лишь к таким множествам, элементами которых являются кортежи одинаковой длины.

Пусть M — множество, состоящее из кортежей длины S. Тогда пролинией множества M будем называть множество пролиний всех кортежей из М

Пример. Пусть М={<1,2,3,4,5>,<2,1,3,5,5>,<3,3,3,3,3>,<3,2,3,4,3>}

тогда Пр₂М={2,1,3}, Пр₃M={3}, Пр₄M={4,5,3}, Пр₂₄M={<2,4>,<1,5>,<3,3>}, Пр₁₃M={<1,3>,<2,3>,<3,3>}, Пр₁₅M={<1,5>,<2,5>,<1,3>}, Пр₂₅M={<2,5>,<1,5>,<3,3>,<2,3>}.

Очевидно что если М=Х*Y то Пр₁М=Х, Пр₂М=Y

и если Q⊆Х*Y то Пр₁Q⊆Х и Пр₂Q⊆Y

Пример. V={<a,b,d>,<c,b,d>,<d,b,b>}

Пр₁V={a,c,d}

Пр₂V={b}

Пр₃V={d,b}

Пр₁2V={<a,b>,<c,b>,<d,b>}

Пр₂3V={<b,d>,<b,b>}

Пр₁3V={<a,d>,<c,d>,<d,b>}

Пусть V — множество векторов одинаковой длины S.

Пр_iV ={Пр_iv/v∈Y}, Пр_ii…ikv = { Пр_ii…ikv/v∈Y}.

Если V =A₁*A₂*…*A_n, то Пр_ii…ikV=A_i1*A_i2*…*A_ik.

В общем случае Пр_iV — вовсе не обязательно прямое произведение: оно может быть подмножеством.

Ра́зность двух мно́жеств — теоретико-множественная операция, результатом которой является множество, в которое входят все элементы первого множества, не входящие во второе множество.
Обычно разность множеств [math]displaystyle{ A }[/math] и [math]displaystyle{ B }[/math] обозначается как [math]displaystyle{ Asetminus B }[/math],
но иногда можно встретить обозначение [math]displaystyle{ A-B }[/math] и [math]displaystyle{ Asim B }[/math].

Пусть [math]displaystyle{ A }[/math] и [math]displaystyle{ B }[/math] — два указанных в определении множества, тогда их разность определяется (на теоретико-множественном языке):

[math]displaystyle{ Asetminus B={xin Amid xnotin B}. }[/math]

Это множество часто называют дополнением множества [math]displaystyle{ B }[/math] до множества [math]displaystyle{ A }[/math]. (только когда множество В полностью принадлежит множеству А)

Обычно предполагается, что рассматриваются подмножества одного и того же множества, которое, в этом случае называют универсумом, скажем, [math]displaystyle{ X }[/math]. Тогда можно рассматривать вместе с каждым множеством [math]displaystyle{ Asubset X }[/math] и его относительное дополнение [math]displaystyle{ Xsetminus A }[/math], при обозначении которого часто опускается значок универсума: [math]displaystyle{ setminus A }[/math]^{[источник не указан 2439 дней]}; при этом говорится, что [math]displaystyle{ setminus A }[/math] — (просто) дополнение множества (без указания, дополнением до чего является данное множество).

С учётом данного замечания, оказывается, что [math]displaystyle{ Asetminus B=Acap(setminus B) }[/math], то есть дополнение множества [math]displaystyle{ B }[/math] до множества [math]displaystyle{ A }[/math] есть пересечение множества [math]displaystyle{ A }[/math] и дополнения множества [math]displaystyle{ B }[/math].

Также применяется и операторная запись вида [math]displaystyle{ A^complement }[/math], [math]displaystyle{ complement_{X}A }[/math] или (если опустить универсальное множество) [math]displaystyle{ complement A }[/math], [math]displaystyle{ overline A }[/math], [math]displaystyle{ A’ }[/math].

Операция разности множеств не является по определению симметричной по отношению ко входящим в неё множествам. Симметричный вариант теоретико-множественной разности двух множеств описывается понятием симметрической разности.

Примеры

• Пусть [math]displaystyle{ A={1,;2,;3,;4},;B={3,;4,;5,;6,;7} }[/math]. Тогда [math]displaystyle{ Asetminus B={1,;2},;Bsetminus A={5,;6,;7}. }[/math]
• Пусть [math]displaystyle{ R }[/math] — множество всех вещественных чисел, [math]displaystyle{ Q }[/math] — множество рациональных чисел, а [math]displaystyle{ Z }[/math] — множество целых чисел. Тогда [math]displaystyle{ RsetminusQ }[/math] — множество всех иррациональных чисел, а [math]displaystyle{ QsetminusZ }[/math] — дробных.

Свойства

Пусть [math]displaystyle{ A,;B,;C,;D }[/math] — произвольные множества.

• Вычитание множества из самого себя даёт в результате пустое множество:

[math]displaystyle{ Asetminus A=varnothing. }[/math]

• Свойства пустого множества относительно разности:

[math]displaystyle{ varnothingsetminus A=varnothing; }[/math]

[math]displaystyle{ Asetminusvarnothing=A. }[/math]

• Разность двух множеств содержится в уменьшаемом:

[math]displaystyle{ Asetminus Bsubset A. }[/math]

• [math]displaystyle{ Acup(Bsetminus A)=Acup B }[/math]. Из этой формулы следует, что операция разности не является обратной операции суммы (то есть объединению).
• [math]displaystyle{ Asetminus B=Asetminus(Acap B). }[/math]
• Разность не пересекается с вычитаемым:

[math]displaystyle{ Acap(Bsetminus A)=varnothing. }[/math]

• Разность множеств равна пустому множеству тогда и только тогда, когда уменьшаемое содержится в вычитаемом:

[math]displaystyle{ Asetminus B=varnothingLeftrightarrow Asubset B. }[/math]

• Законы де Моргана в алгебре множеств формулируются следующим образом:

[math]displaystyle{ Asetminus(Bcap C)=(Asetminus B)cup(Asetminus C); }[/math]

[math]displaystyle{ Asetminus(Bcup C)=(Asetminus B)cap(Asetminus C). }[/math]

• [math]displaystyle{ (Acup B)setminus C=(Asetminus C)cup(Bsetminus C); }[/math]
• [math]displaystyle{ Asetminus(Bsetminus C)=(Asetminus B)cup(Acap C); }[/math]
• [math]displaystyle{ Asetminus(Bcup C)=(Asetminus B)setminus C; }[/math]
• [math]displaystyle{ (Bsetminus A)cap C=(Bcap C)setminus A=Bcap(Csetminus A); }[/math]
• [math]displaystyle{ (Bsetminus A)cup C=(Bcup C)setminus A }[/math], если [math]displaystyle{ Ccap A=varnothing }[/math].
• Если [math]displaystyle{ Asubset B }[/math] и [math]displaystyle{ Csubset D }[/math], то [math]displaystyle{ (Asetminus D)subset(Bsetminus C); }[/math]
• Если [math]displaystyle{ Asubset B }[/math], то для любого [math]displaystyle{ C }[/math] выполняется [math]displaystyle{ (Csetminus B)subset(Csetminus A) }[/math]. Это соотношение имеет свой аналог в арифметике: если [math]displaystyle{ aleqslant b }[/math], то для любого [math]displaystyle{ c }[/math] справедливо [math]displaystyle{ (c-b)leqslant(c-a) }[/math].

Компьютерные реализации

В пакете Mathematica операция реализована с помощью функции Complement. В пакете MATLAB она же реализована с помощью функции setdiff.

В языке программирования Pascal (а также в его объектном расширении Object Pascal) операция разности множеств представлена оператором «−», обоими операндами и результатом выполнения которого являются значения типа set.

В языке программирования Python операция реализована с помощью метода diff над объектом типа set.

Дополнение множества

Определение

Если из контекста следует, что все рассматриваемые множества являются подмножествами некоторого фиксированного универсума [math]displaystyle{ X }[/math], то определяется операция дополнения:

[math]displaystyle{ A^complement=Xsetminus Aequiv{xin Xmid xnotin A}. }[/math]

Свойства

• Операция дополнения является унарной операцией на булеане [math]displaystyle{ 2^X }[/math].
• Законы дополнения:^[1]

• [math]displaystyle{ Acup A^complement=X; }[/math]
• [math]displaystyle{ Acap A^complement=varnothing. }[/math]

В частности, если оба [math]displaystyle{ A }[/math] и [math]displaystyle{ A^complement }[/math] непусты, то [math]displaystyle{ {A,;A^complement} }[/math] является разбиением [math]displaystyle{ X }[/math].

• [math]displaystyle{ X^complement=varnothing; }[/math]
• [math]displaystyle{ varnothing^complement=X; }[/math]
• [math]displaystyle{ (Asubset B)Leftrightarrow(B^complementsubset A^complement). }[/math]

• Операция дополнения является инволюцией:

[math]displaystyle{ (A^complement)^complement=A. }[/math]

• Законы де Моргана:

• [math]displaystyle{ (Acup B)^complement=A^complementcap B^complement; }[/math]
• [math]displaystyle{ (Acap B)^complement=A^complementcup B^complement. }[/math]

• Законы разности множеств:

• [math]displaystyle{ Asetminus B=Acap B^complement; }[/math]
• [math]displaystyle{ (Asetminus B)^complement=A^complementcup B. }[/math]

Кодировка

Графема	Название	Юникод	HTML	LaTeX
∁	COMPLEMENT	U+2201	∁	complement

См. также

• Операции над множествами

Литература

• Лавров И. А., Максимова Л. Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. — М.: Физматлит, 2004. — 256 с.
• Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств / Пер. с англ. М. И. Кратко, под ред. А. Д. Тайманова. — М.: Мир, 1970. — С. 16, 20—22.

Примечания

Разность двух множеств — это теоретико-множественная операция, результатом которой является множество, в которое входят все элементы первого множества, не входящие во второе множество. Обычно разность множеств и обозначается как , но иногда можно встретить обозначение и .

Пусть и  — два указанных в определении множества, тогда их разность определяется (на теоретико-множественном языке):

Это множество часто называют дополнением множества до множества . (только когда множество В полностью принадлежит множеству А)

Обычно предполагается, что рассматриваются подмножества одного и того же множества, которое, в этом случае называют универсумом, скажем, . Тогда можно рассматривать вместе с каждым множеством и его относительное дополнение , при обозначении которого часто опускается значок универсума: ; при этом говорится, что  — (просто) дополнение множества (без указания, дополнением до чего является данное множество).

С учётом данного замечания, оказывается, что , то есть дополнение множества до множества есть пересечение множества и дополнения множества .

Также применяется и операторная запись вида , или (если опустить универсальное множество) .

Операция разности множеств не является по определению симметричной по отношению входящим в неё множествам. Симметричный вариант теоретико-множественной разности двух множеств описывается понятием симметрической разности.

Примеры

Свойства

Пусть  — произвольные множества.

• Вычитание множества из самого себя даёт в результате пустое множество:

• Свойства пустого множества относительно разности:

• Разность двух множеств содержится в уменьшаемом:

• Разность множеств равна пустому множеству тогда, и только тогда, когда уменьшаемое содержится в вычитаемом:

• Законы де Моргана в алгебре множеств формулируются следующим образом:

Компьютерные реализации

В пакете Mathematica операция реализована с помощью функции Complement. В пакете MATLAB она же реализована с помощью функции setdiff.

В языке программирования Pascal (а также в его объектном расширении Object Pascal) операция разности множеств представлена оператором «−», обоими операндами и результатом выполнения которого являются значения типа set.

Дополнение множества

Определение

Если из контекста следует, что все рассматриваемые множества являются подмножествами некоторого фиксированного универсума , то определяется операция дополнения:

Свойства

• Операция дополнения является унарной операцией на булеане .
• Законы дополнения:^[1]

В частности, если оба и непусты, то является разбиением .

• Операция дополнения является инволюцией:

• Законы де Моргана:

• Законы разности множеств:

См. также

• Операции над множествами

Литература

• Лавров И. А., Максимова Л. Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. — М.: Физматлит, 2004. — 256 с.
• Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств / Пер. с англ. М. И. Кратко, под ред. А. Д. Тайманова. — М.: Мир, 1970. — С. 16, 20—22.

Примечания

Лекция 4.  Вычитание
множеств, дополнение подмножества.

   
    Определение. Разностью множеств
А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые
принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В.

       
Разность множеств А и В обозначают А В. Таким образом, по определению
разности А В = { х | х ∈
А и х ∉В}.

       
Например,  если  А  = { a , c , k , m , n }
 и   В = { a , b , c , d , e },   то
А В = { k , m , n }.

        Если
изобразить А и В при помощи кругов Эйлера-Венна, то разность данных множеств
является заштрихованная область (рис. 5).

   
    Определение. Пусть В является подмножеством
множества А. В этом случае разность множеств А и В называют дополнением подмножества
В до множества А и обозначают В’_А. Дополнение можно изобразить
как показано на рис. 5. Если В – подмножество универсального множества U, то
дополнение подмножества В до U обозначают В’.

Например, если В – множество однозначных
натуральных чисел, то В’– множество неоднозначных натуральных чисел, если С –
множество равнобедренных треугольников, то С’ – множество треугольников, у
которых все стороны имеют разную длину.

Разность множеств и дополнение к подмножеству
обладают рядом свойств.

1)    (А В) С = (А С)
В.

2)    (А∪В)
С = (А С) ∪ (В С).

3)    (А В) ∩ С = (А ∩С)
(В ∩ С).

4)    (А ∪
В)’ = А’ ∩ В’.

5)    (А ∩ В)’ = А’ ∪В’.

Задания для самостоятельной работы по теме:

1.
Найдите разность множеств А и В, если

а) А = {1,2, 3,4,
5, 6}, В = {2, 4, 6, 8, 10};

б) А =
{1,2,3,4,5,6},В={1,3,5};

в) А =
{1,2,3,4,5,6},В={6,2,3,4,5,1}.

2. В
каких случаях, выполняя упражнение 1, вы находили дополнение множества В до
множества А?

3.
Из каких чисел состоит дополнение:

а) множества натуральных
чисел до множества целых;

б) множества целых чисел
до множества рациональных;

в) множества рациональных
чисел до множества действительных.