Одночлены являются одним из основных видов выражений, изучаемых в рамках школьного курса алгебры. В этом материале мы расскажем, что это за выражения, определим их стандартный вид и покажем примеры, а также разберемся с сопутствующими понятиями, такими как степень одночлена и его коэффициент.
Что такое одночлен
В школьных учебниках обычно дается следующее определение этого понятия:
К одночленам относятся числа, переменные, а также их степени с натуральным показателем и разные виды произведений, составленные из них.
Исходя из этого определения, мы можем привести примеры таких выражений. Так, все числа 2, 8, 3004, 0, -4, -6, 0,78, 14, -437 будут относиться к одночленам. Все переменные, например, x ,a, b, p, q, t, y, z тоже будут по определению одночленами. Сюда же можно отнести степени переменных и чисел, например, 63, (−7,41)7, x2 и t15, а также выражения вида 65·x, 9·(−7)·x·y3·6, x·x·y3·x·y2·z и т.д. Обратите внимание, что в состав одночлена может входить как одно число или переменная, так и несколько, причем они могут быть упомянуты несколько раз в составе одного многочлена.
Такие виды чисел, как целые, рациональные, натуральные тоже относятся к одночленам. Также сюда можно включить действительные и комплексные числа. Так, выражения вида 2+3·i·x·z4, 2·x, 2·π·x3 тоже будут одночленами.
Что такое стандартный вид одночлена и как привести выражение к нему
Для удобства работы все одночлены сначала приводят к особому виду, называемому стандартным. Сформулируем конкретно, что же это значит.
Стандартным видом одночлена называют такой его вид, в которой он представляет из себя произведение числового множителя и натуральных степеней разных переменных. Числовой множитель, также называемый коэффициентом одночлена, обычно записывают первым с левой стороны.
Для наглядности подберем несколько одночленов стандартного вида: 6 (это одночлен без переменных), 4·a, −9·x2·y3 , 235·x7. Сюда же можно отнести выражение x·y (здесь коэффициент будет равен 1), −x3 (тут коэффициент равен -1).
Теперь приведем примеры одночленов, которые нужно привести к стандартному виду: 4·a·a2·a3 (здесь нужно объединить одинаковые переменные), 5·x·(−1)·3·y2 (тут нужно объединить слева числовые множители).
Обычно в случае, когда одночлен имеет несколько переменных, записанных буквами, буквенные множители записывают в алфавитном порядке. Например, предпочтительнее запись 6·a·b4·c·z2, чем b4·6·a·z2·c. Однако порядок может быть и другим, если этого требует цель вычисления.
Привести к стандартному виду можно любой одночлен. Для этого нужно выполнить все необходимые тождественные преобразования.
Понятие степени одночлена
Очень важным является сопутствующее понятие степени одночлена. Запишем определение данного понятия.
Степенью одночлена, записанного в стандартном виде, является сумма показателей степеней всех переменных, которые входят в его запись. Если ни одной переменной в нем нет, а сам одночлен отличен от 0, то его степень будет нулевой.
Сам нуль принято считать одночленом с неопределенной степенью.
Приведем примеры степеней одночлена.
Так, одночлен a имеет степень, равную 1, поскольку a= a1 . Если у нас есть одночлен 7,то он будет иметь нулевую степень, поскольку в нем нет переменных и он отличен от 0. А вот запись 7·a2·x·y3·a2 будет одночленом 8-й степени, ведь сумма показателей всех степеней переменных, включенных в него, будет равна 8: 2+1+3+2=8.
Одночлен, приведенный к стандартному виду, и исходный многочлен будут иметь одинаковую степень.
Покажем, как подсчитать степень одночлена 3·x2·y3·x·(−2)·x5·y. В стандартном виде его можно записать как −6·x8·y4 . Вычисляем степень: 8+4=12. Значит, степень исходного многочлена также равна 12.
Понятие коэффициента одночлена
Если у нас есть одночлен, приведенный к стандартному виду, который включает в себя хотя бы одну переменную, то мы говорим о нем как о произведении с одним числовым множителем. Этот множитель называют числовым коэффициентом, или коэффициентом одночлена. Запишем определение.
Коэффициентом одночлена называют числовой множитель одночлена, приведенного к стандартному виду.
Возьмем для примера коэффициенты различных одночленов.
Так, в выражении 8·a3 коэффициентом будет число 8, а в (−2,3)·x·y·z им будет −2,3.
Особое внимание надо уделить коэффициентам, равным единице и минус единице. Как правило, в явном виде их не указывают. Считается, что в одночлене стандартного вида, в котором нет числового множителя, коэффициент равен 1, например, в выражениях a, x·z3, a·t·x, поскольку их можно рассматривать как как 1·a, x·z3 – как 1·x·z3 и т.д.
Точно так же в одночленах, в которых нет числового множителя и которые начинаются со знака минус, мы можем считать коэффициентом -1.
Например, такой коэффициент будет у выражений −x, −x3·y·z3 , поскольку они могут быть представлены как −x=(−1)·x, −x3·y·z3=(−1)·x3·y·z3 и т.д.
Если у одночлена вообще нет ни одного буквенного множителя, то говорить о коэффициенте можно и в этом случае. Коэффициентами таких одночленов-чисел будут сами эти числа. Так, например, коэффициент одночлена 9 будет равен 9.
Степень одночлена
Степень одночлена стандартного вида — это сумма показателей степеней всех переменных, входящих в его запись.
Чтобы найти степень одночлена, надо определить показатель степени каждой его переменной, и затем сложить эти показатели. Если показатель переменной не указан, значит он равен 1.
Пример. Найти степень одночлена 5bx4.
Решение:
Переменная b не имеет показателя, значит он равен 1, показатель переменной x — 4. Сумма этих показателей равна: 1 + 4 = 5. Значит степень данного одночлена равна 5.
Если одночлен является числом, т. е. не содержит переменных, и он отличен от нуля, то его степень считается равной нулю.
Пример. Определить степень одночлена 6.
Решение:
Данный одночлен представляет собой число, отличное от нуля, следовательно степень этого одночлена равна 0.
Число нуль является одночленом, степень которого не определена, т. е. считается, что он не имеет никакой степени.
Пример 1. Определить степень одночлена 0.
Решение:
Для нулевого одночлена степень не определена, следовательно, он не имеет никакой степени.
Пример 2. Приведите одночлен 7x20y3 к стандартному виду и определите его степень.
Решение:
Среди своих множителей, одночлен имеет множитель 0, значит всё произведение будет равно 0:
7x20y3 = 0.
Так как для числа 0 степень не определена, значит одночлен не имеет никакой степени.
Произведение чисел, переменных и их степеней называется одночленом.
Уже знакомые нам одночлены:
Выражения
6⋅a⋅y
;
0,25×3
;
abbc
;
8,43
;
16c⋅−12d
;
38x2y
тоже являются одночленами.
При записи одночленов между числами и переменными знак умножения не ставится
Одночленом также считается:
— одна переменная, например, (x), т. к.
x=1⋅x
;
— число, например, (3), так как
3=3⋅x0
(одно число также является одночленом).
Некоторые одночлены можно упростить.
Упростим одночлен
6xy2⋅(−2)x3y
, используя свойство умножения степеней:
(=)
6⋅(−2)xx3y2y=−12x4y3
(числа перемножаются, а показатели у одинаковых букв складываются).
Стандартный вид одночлена
Если в одночлене первым записан числовой множитель, а произведение одинаковых степеней переменных записано в виде одной степени, то такой вид одночлена называют стандартным видом.
Запишем одночлен
10⋅12abbb
в стандартном виде:
10⋅12abbb=5⋅2⋅12ab3=5ab3
.
(Коэффициенты перемножаются между собой, переменные — между собой.)
Если одночлен записан в стандартном виде, то его числовой множитель, называется коэффициентом одночлена.
Одночлен
5ab3
имеет коэффициент (5), одночлен
−12x4y3
имеет коэффициент (-12).
Коэффициенты (1) и (-1) обычно не записываются.
Степенью одночлена называется сумма показателей степеней всех переменных.
Чтобы определить степень одночлена, нужно сложить показатели степеней всех переменных (букв).
−12x4y3
является одночленом седьмой степени ((4 + 3 = 7));
(6a) — одночлен первой степени (переменная (a) в первой степени);
(7) — одночлен нулевой степени.
Подобными одночленами не являются 
и 
.
Если у подобных одночленов равные коэффициенты, они называются равными (одинаковыми) одночленами.
В этом можно убедиться, записав одночлены в стандартном виде.
Из одночленов
8xy3;xy3;8y3x;2⋅4xyyy;8x3y
равными являются
8xy3;8y3x;2⋅4xyyy
.
В этом можно убедиться, если записать все одночлены в стандартном виде:
(=>)
8xy3;xy3;8xy3;8xy3;8x3y
.
Если у подобных одночленов коэффициенты являются противоположными числами, одночлены называются противоположными.
Из одночленов
3ac;−9ab;−3ac;abc;9ba
противоположными являются
3acи−3ac;9baи−9ba
.
Что такое одночлены в математике? Зачем они нужны? Мы рассмотрим с вами определение одночлена, стандартный вид одночлена и дадим определение степени одночлена.
Определение
Одночлен – это выражение, которой представляет собой произведение числа, переменной или переменных и степеней переменных. Например, ,
,
,
– примеры одночленов.
Выражения или
– не являются одночленами, так как представляют сумму и частное, а не произведение.
Стандартный вид одночлена
Стандартный вид одночлена – это произведение числа и переменных в различной степени. Согласно этому число можно считать одночленом, так как оно может быть представлено в виде произведения числа на переменную в нулевой степени: . Например,
– одночлен стандартного вида.
Примеры стандартного вида одночлена:
,
,
,
,
,
.
Степень одночлена
Степенью одночлена называется сумма показателей степеней переменных. Например, одночлен – это одночлен второй степени, а
– одночлен седьмой степени.
Степень одночлена – равна единица, а степень одночлена
– нулю.
Подобные одночлены
Подобными одночленами называют одночлены, которые отличаются только числовым коэффициентом, а также те одночлены, которые равны между собой.
Примеры подобных одночленов: и
,
и
,
и
.
Приведение к одночлену стандартного вида
Задание 1
Приведите к одночлену стандартного вида произведение 
.
Решение: перемножим сначала числа , теперь переменные x
, теперь переменные
:
.
Стандартный вид многочлена:
Ответ: .
Задание 2
Приведите к одночлену стандартного вида выражение .
Решение: Перемножим числовые коэффициенты выражения , затем перемножим степени переменной x
. Получим стандартный вид одночлена:
Ответ: .
Задание 3
Приведите сумму подобных одночленов к одночлену стандартного вида:
Решение: Просто сложим все одночлены, ориентируясь на числовую часть: , а переменные просто припишем, получаем стандартный вид одночлена:
.
Ответ:
Возведите одночлен в степень
Задание 1
Возведите одночлен в квадрат.
Решение: 
.
Ответ:
Задание 2
Возведите одночлен в куб.
Решение: .
Ответ:
Задание 3
Какова степень одночлена .
Решение:
Для того чтобы определить степень одночлена, нужно:
- представить одночлен в стандартном виде,
- сложить показатели степеней переменных одночлена.
Сначала надо представить одночлен в стандартном виде, для этого выполним возведение в степень: 
, посчитаем сумму показателей степеней , получается степень одночлена 10.
Ответ: 10
Как определить степень одночлена?
Что такое степень одночлена?
Степень одночлена – это сумма степеней всех букв, входящих в этот одночлен.
Пример определения степени одночлена
Вопрос: какова степень одночлена 5h?
Ответ: степень одночлена 5h равна одному, ведь в этот одночлен входит всего одна буква и её степень равна одному.
Другой пример определения степени одночлена
Вопрос: какова степень одночлена 5a2h3s4?
Ответ: степень одночлена 5a2h3s4 равна девяти, я это определил, сложив показатели степеней букв, т.е. 2 + 3 + 4 = 9.
Ещё пример определения степени одночлена
Вопрос: какова степень одночлена 5?
Ответ: степень одночлена 5 равна нулю. Итак, степень одночлена, состоящего только из числа, т.е. без букв, равна нулю.
Последний пример определения степени одночлена
Вопрос: какова степень нулевого одночлена, т.е. нуля?
Ответ: степень нулевого одночлена не определена.
Одночлен – это простейшее алгебраическое выражение, которое состоит из произведения чисел, переменных и их степеней. Никаких других действий одночлен не имеет. Числовой множитель у одночлена называется коэффициентом.
Пример №1. Рассмотрим примеры одночленов.
- 5ху это одночлен с коэффициентом, равным 5
- -2,76mn2 у этого одночлена коэффициент равен -2,7
- 15abc здесь коэффициент равен 15
- ¾xy5 у этого одночлена коэффициент равен ¾
Стандартный вид одночлена
Чтобы определить коэффициент у одночлена, он должен быть представлен в стандартном виде.
Что такое одночлен стандартного вида?
Одночлен стандартного вида – это одночлен, у которого на первом месте стоит коэффициент, а далее – буквенные множители (переменные).
Такие одночлены приведены в примере №1. Рассмотрим, как привести одночлен к стандартному виду.
Пример №2.
3х•у2(-2х3у4)=3(-2)х•х3у•у4= -6х4у5
Здесь выполняем умножение чисел 3 и (-2), затем степеней х и у (при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываем, а основание оставляем тем же); записываем на первом месте число (коэффициент одночлена), а затем уже степени. Получаем одночлен стандартного вида.
Пример №3.
-12a3b2(-4b7)=48a3b9
Данный ответ получен после умножения чисел и степеней с одинаковым основанием. Записан на первом месте коэффициент 48, а затем остальные множители.
Степень одночлена
Что такое степень одночлена?
Сумму показателей степени переменных называют степенью одночлена.
Рассмотрим, как найти степень одночлена.
Пример №4.
– 113с3х6
У переменных показатели степени равны 3 и 6, складываем их и получаем 9. Значит, степень одночлена равна 9.
Пример №5.
18ху
У этого одночлена степень равна 2, так как у переменных х и у первая степень, складывая 1 и 1, получаем 2.
Даниил Романович | Просмотров: 3.9k
Часто при решении задач мы используем буквенные множители и числа вместе.
Выражение 5a2b — это произведение трёх множителей:
5a2b = 5 · a2 · b.
Подобные произведения буквенных и числовых множителей называют одночленами.
Запомните!
Произведение числовых и буквенных множителей называют одночленом.
Примеры одночленов: ac, 2xy2, −7xy, 0,5a3b.
Из чего состоит одночлен
Числовой множитель, который есть в одночлене, принято называть коэффициентом одночлена.
Буквенные множители иногда называют переменными.
Если в одночлене явно нет числового коэффициента, значит числовой коэффициент одночлена равен 1.
Например, для одночлена ab — числовой коэффициент равен 1.
Это связано с тем, что при умножении на 1 одночлен остаётся прежним, поэтому коэфффицент
1 не записывают перед одночленом.
1 · a · b = ab
Также не записывают явно коэффициент «−1».
Вместо этого ставят знак «−» перед одночленом.
При такой записи все понимают, что коэффициент одночлена равен «−1».
Например, у одночлена «−xyz» коэффициент равен
«−1».
Примеры одночленов и их коэффициентов
| Одночлен |
Коэффициент одночлена |
||||
|---|---|---|---|---|---|
| −8a2 | −8 | ||||
| xy2z | 1 | ||||
ab2 |
|
||||
| −tz2 | −1 | ||||
| 144x2 | 144 |
Приведение одночлена к стандартному виду
Запомните!
Одночлен, у которого единственный числовой множитель стоит на первом месте и буквенные множители в
различных степенях не повторяются, называется одночленом стандартного вида. Буквенные
множители следует располагать в алфавитном порядке.
Примеры одночленов стандартного вида:
2at, 16y3, −17pxy, 3d4
Примеры одночленов нестандартного вида:
2acа, 4xy2 · 3,
x4y · (−7).
Не забывайте, что одночлен — это произведение числовых и буквенных множителей, поэтому внутри
одночлена действуют все законы умножения, в том числе
переместительный закон умножения.
Чтобы привести одночлен к стандартному виду нужно сделать следующее.
Важно!
- Перемножить все числовые коэффициенты и поставить результат их умножения слева самым первым множителем.
- По свойствам степени перемножить буквы и поставить их в алфавитном порядке.
Пример. Привести к стандартному виду одночлен 3ada · 8.
- Перемножаем все числовые коэффициенты
3 · a · d · a · 8 =
3 · 8 · a · d · a
= 24 · a · d · a - Теперь, используя свойства степени,
перемножаем все буквенные множители.
24 · a · d · a =
24 · a · a · d = 24a2d
Что такое степень одночлена
Запомните!
Степень одночлена — это сумма всех степеней буквенных множителей.
Например, степень одночлена 9a2b
равна 3, т.к. у
a2 (вторая степень), у
b (первая степень): 2 + 1 = 3.
Примеры степеней одночленов
| Одночлен | Степень одночлена | ||
|---|---|---|---|
| −2a2b2 | 4 | ||
xy2 |
3 | ||
| −xyz | 3 |
Число «0» (ноль) называется нулевым одночленом. Степень нулевого одночлена не определена.
Но не путайте с одночленом нулевой степени!
Одночлен нулевой степени — это любое число (например, 123; 0,5; −324).
Любое число можно записать как произведение числа на буквенный множитель в нулевой степени. Т.е.
123 = 123 · a0 = 123 · 1 = 123 (одночлен нулевой степени).
Одночлен нулевой степени получил свое название, потому что любой буквенный множитель можно
представить как 1 через нулевую степень.