Как пишется тупой угол

Углом называется геометрическая фигура, которая состоит из двух различных лучей, исходящих из одной точки. В данном случае, эти лучи называются сторонами угла. Точка, являющаяся началом лучей, называется вершиной угла. На рисунке вы можете увидеть угол с вершиной в точке О
, и сторонами k
и m
.

На сторонах угла отмечены точки А и С. Этот угол можно обозначить как угол AOC. В середине обязательно должно стоять название точки, в которой находится вершина угла. Также существуют и другие обозначения, угол О или угол km. В геометрии вместо слова угол часто пишут специальный значок.

Развернутый и неразвернутый угол

Если у угла обе стороны лежат на одной прямой, то такой угол называется развернутым
углом. То есть одна сторона угла является продолжением другой стороны угла. На рисунке нижк представлен развернутый угол О.

Следует отметить, что любой угол, разделяет плоскость на две части. Если угол не является развернутым, то одна из частей называется внутренней областью угла, а другая внешней областью этого угла. На рисунке ниже представлен неразвернутый угол и отмечены внешняя и внутренняя области этого угла.

В случае с развернутым углом любую из двух частей, на которые он делит плоскость, можно считать внешней областью угла. Можно говорить о положении точки относительно угла. Точка может лежать вне угла (во внешней области), может находится на одной из его сторон, либо может лежать внутри угла (во внутренней области).

На рисунке ниже, точка А лежит вне угла О, точка B лежит на одной из сторон угла, а точка С лежит внутри угла.

Измерение углов

Для измерения углов существует прибор называемый транспортиром. Единицей измерения угла является градус
. Следует отметить, что каждый угол имеет определенную градусную меру, которая больше нуля.

В зависимости от градусной меры углы делятся на несколько групп.

Угловая мера

Угол в измеряют в градусной мере (градус, минута, секунда), в оборотах — отношение длины дуги s к длине окружности L , в радианах — отношение длины дуги s к радиусу r ; исторически применялась также градовая мера измерения углов, в настоящее время она почти нигде не используется.

1 оборот = 2π радианам = 360° = 400 градам .

В морской терминологии углы обозначаются румбами .

Типы углов

Смежные углы — острый (a) и тупой (b). Развёрнутый угол (c)

Кроме этого, рассматривается угол между гладкими кривыми в точке касания: по определению, его величина равна величине угла между касательными к кривым.

Wikimedia Foundation
.
2010
.

Смотреть что такое «Развернутый угол» в других словарях:

Угол, равный двум прямым. *РАЗВЕРТКА поверхности фигура, получающаяся в плоскости при таком совмещении точек данной поверхности с этой плоскостью, при котором длины линий остаются неизменными. Развертка кривой см. Эвольвента … Большой Энциклопедический словарь


угол
— ▲ разность направление (в пространстве) угол протяженность поворота от одного направления к другому; разность направлений; часть полного оборота (# наклона. образовывать #). наклон. наклонный. отклонение. уклониться (дорога уклонилась вправо).… …

Угол
— Углы: 1 общего вида; 2 смежные; 3 прилежащие; 4 вертикальные; 5 развернутый; 6 прямой, острый и тупой; 7 между кривыми; 8 между прямой и плоскостью; 9 между скрещивающимися прямыми (не лежащими в одной плоскостью) прямыми. УГОЛ, геометрическая… … Иллюстрированный энциклопедический словарь


Геометрическая фигура, состоящая из двух различных лучей, выходящих из одной точки. Лучи наз. сторонами У., а их общее начало вершиной У. Пусть [ ВА),[ ВС) стороны угла, В его вершина, плоскость, определяемая сторонами У. Фигура делит плоскость… … Математическая энциклопедия


Угол, равный двум прямым. * * * РАЗВЕРНУТЫЙ УГОЛ РАЗВЕРНУТЫЙ УГОЛ, угол, равный двум прямым … Энциклопедический словарь


Раздел математики, занимающийся изучением свойств различных фигур (точек, линий, углов, двумерных и трехмерных объектов), их размеров и взаимного расположения. Для удобства преподавания геометрию подразделяют на планиметрию и стереометрию. В… … Энциклопедия Кольера


1) Замкнутая ломаная линия, именно: если различные точки, никакие последовательные три из к рых не лежат на одной прямой, то совокупность отрезков наз. многоугольником (см. рис. 1). М. могут быть пространственными или плоскими (ниже… … Математическая энциклопедия


поперек
— ▲ под углом максимум, косой угол поперечный. поперек под прямым углом. . прямой угол угол максимального отклонения; угол, равный своему смежному; четверть оборота. перпендикуляр. перпендикулярный находящийся под прямым углом. перпендикулярно.… … Идеографический словарь русского языка


градус
— а, м. 1) Единица измерения плоского угла, равная 1/90 прямого угла или соответственно 1/360 окружности. Угол в 90 градусов называется прямым углом. Развернутый угол составляет 180 градусов. 2) Единица измерения температурного интервала, имеющая… … Популярный словарь русского языка


Теорема Шварца Кристоффеля важная теорема в теории функций комплексного переменного, носит название немецких математиков Карла Шварца и Элвина Кристоффеля. Очень важной с практической точки зрения является проблема о конформном… … Википедия

Давайте начнем с определения того, что такое угол. Во-первых, он является Во-вторых, он образован двумя лучами, которые называются сторонами угла. В-третьих, последние выходят из одной точки, которую называют вершиной угла. Исходя из этих признаков, мы можем составить определение: угол — геометрическая фигура, которая состоит из двух лучей (сторон), выходящих из одной точки (вершины).

Их классифицируют по градусной величине, по расположению относительно друг друга и относительно окружности. Начнем с видов углов по их величине.

Существует несколько их разновидностей. Рассмотрим подробнее каждый вид.

Основных типов углов всего четыре — прямой, тупой, острый и развернутый угол.

Прямой

Он выглядит так:

Его градусная мера всегда составляет 90 о, иначе говоря, прямой угол — это угол 90 градусов. Только они есть у таких четырехугольников, как квадрат и прямоугольник.

Тупой

Он имеет такой вид:

Градусная мера всегда больше 90 о, но меньше 180 о. Он может встречаться в таких четырехугольниках, как ромб, произвольный параллелограмм, во многоугольниках.

Острый

Он выглядит так:

Градусная мера острого угла всегда меньше 90 о. Он встречается во всех четырехугольниках, кроме квадрата и произвольного параллелограмма.

Развернутый

Развернутый угол имеет такой вид:

В многоугольниках он не встречается, но не менее важен, чем все остальные. Развернутый угол — это геометрическая фигура, градусная мера которой всегда равняется 180º. На нем можно построить проведя из его вершины один или несколько лучей в любых направлениях.

Есть еще несколько второстепенных видов углов. Их не изучают в школах, но знать хотя бы об их существовании необходимо. Второстепенных видов углов всего пять:

1. Нулевой

Он выглядит так:

Само название угла уже говорит о его величине. Его внутренняя область равняется 0 о, а стороны лежат друг на друге так, как показано на рисунке.

2. Косой

Косым может быть и прямой, и тупой, и острый, и развернутый угол. Главное его условие — он не должен равняться 0 о, 90 о, 180 о, 270 о.

3. Выпуклый

Выпуклыми являются нулевой, прямой, тупой, острый и развернутый углы. Как вы уже поняли, градусная мера выпуклого угла — от 0 о до 180 о.

4. Невыпуклый

Невыпуклыми являются углы с градусной мерой от 181 о до 359 о включительно.

5. Полный

Полным является угол с градусной мерой 360 о.

Это все типы углов по их величине. Теперь рассмотрим их виды по расположению на плоскости относительно друг друга.

1. Дополнительные

Это два острых угла, образовывающие один прямой, т.е. их сумма 90 о.

2. Смежные

Смежные углы образуются, если через развернутый, точнее, через его вершину, провести луч в любом направлении. Их сумма равна 180 о.

3. Вертикальные

Вертикальные углы образуются при пересечении двух прямых. Их градусные меры равны.

Теперь перейдем к видам углов, расположенным относительно окружности. Их всего два: центральный и вписанный.

1. Центральный

Центральным является угол с вершиной в центре окружности. Его градусная мера равна градусной мере меньшей дуги, стянутой сторонами.

2. Вписанный

Вписанным называется угол, вершина которого лежит на окружности, и стороны которого ее пересекают. Его градусная мера равна половине дуги, на которую он опирается.

Это все, что касается углов. Теперь вы знаете, что помимо наиболее известных — острого, тупого, прямого и развернутого — в геометрии существует много других их видов.

С понятием угол учащиеся знакомятся еще в начальной школе. Но как геометрическую фигуру, имеющую определенные свойства, начинают изучать его с 7-го класса в геометрии. Кажется, довольно простая фигура
, что о ней можно сказать. Но, приобретая новые знания, школьники всё больше понимают, что можно узнать о ней довольно интересные факты.

Вконтакте

Когда изучаются

Школьный курс геометрии разделён на два раздела: планиметрию и стереометрию. В каждом из них немалое внимание уделяется углам
:

• В планиметрии дается их основное понятие, происходит знакомство с их видами по величине. Более подробно изучаются свойства каждого вида треугольников. Появляются новые определения для учащихся – это геометрические фигуры, образованные при пересечении двух прямых между собой и пересечении нескольких прямых секущей.
• В стереометрии изучаются пространственные углы – двугранные и трехгранные.

Внимание!
В данной статье рассматриваются все виды и свойства углов именно в планиметрии.

Определение и измерение

Приступая к изучению, первоначально определяют, что такое угол
в планиметрии.

Если на плоскости взять определённую точку и провести от нее два произвольных луча, то получим геометрическую фигуру – угол, состоящую из следующих элементов:

• вершина – та точка, из которой и проводились лучи, обозначается заглавной буквой латинского алфавита;
• стороны – полупрямые, проведенные из вершины.

Все элементы, образующие рассматриваемую нами фигуру, разбивают плоскость на две части
:

• внутренняя — в планиметрии не превышает 180 градусов;
• внешняя.

Принцип измерения углов в планиметрии
объясняют на интуитивной основе. Для начала знакомят учащихся с понятием развернутый угол.

Важно!
Угол называется развернутым, если полупрямые, выходящие из его вершины, образуют прямую линию. Неразвернутый угол это все остальные случаи.

Если его разделить на 180 равных частей, то принято считать меру одной части равной 10. В таком случае говорят, что измерение производится в градусах, а градусная мера такой фигуры составляет 180 градусов.

Основные виды

Виды углов подразделяются по таким критериям, как градусная мера, характер их образования и представленные ниже категории.

По величине

Учитывая величину, углы разделяют на:

• развернутый;
• прямой;
• тупой;
• острый.

Какой угол называется развернутым, было представлено выше. Определимся с понятием прямого.

Его можно получить при делении развернутого на две равные части. В этом случае легко ответить на вопрос: прямой угол, сколько градусов составляет?

180 градусов развернутого делим на 2 и получаем, что прямой угол равен 90 градусам
. Это замечательная фигура, так как многие факты в геометрии связаны именно с ней.

Имеет она и свои особенности в обозначении. Чтобы на рисунке показать прямой угол, его обозначают не дугой, а квадратиком.

Углы, которые получаются при делении произвольным лучом прямого, называют острыми.
По логике вещей следует, что острый угол меньше прямого, но его мера отлична от 0 градусов. То есть, он имеет величину от 0 до 90 градусов.

Тупой угол больше прямого, но меньше развернутого. Его градусная мера варьируется в интервале от 90 до 180 градусов.

Данный элемент можно разбить на разные виды рассматриваемых фигур, исключая развёрнутый.

Вне зависимости от того, как разбивается неразвернутый угол, всегда пользуются базовой аксиомой планиметрии — «основное свойство измерения».

При разделении угла одним лучом
или несколькими, градусная мера данной фигуры равна сумме мер углов, на которые она разбита.

На уровне 7-го класса виды углов по их величине на этом заканчиваются. Но для повышения эрудиции можно добавить, что существуют и другие разновидности, которые обладают градусной мерой больше 180 градусов.Их называют выпуклыми.

Фигуры при пересечении прямых

Следующие типы углов, с которыми знакомятся учащиеся – элементы, образованные при пересечении двух прямых. Фигуры, которые размещаются друг напротив друга, называют вертикальными. Их отличительное свойство – они равны.

Элементы, которые прилегают к одной и той же прямой, называют смежными. Теорема, отображающая их свойство, говорит о том, что смежные углы в сумме дают 180 градусов
.

Элементы в треугольнике

Если рассматривать фигуру как элемент в треугольнике, то углы подразделяют на внутренний и внешний. Треугольник ограничен тремя отрезками и состоит из трёх вершин. Углы, расположенные внутри треугольника при каждой вершине, называют внутренними
.

Если взять любой внутренний элемент при любой вершине и продлить любую сторону, то угол, который образовался и является смежным с внутренним, называется внешним. Эта пара элементов имеет следующее свойство: их сумма равна 180 градусам.

Пересечение двух прямых секущей

Пересечение прямых

При пересечении двух прямых секущей также образуются углы
, которые принято распределять по парам. Каждая пара элементов имеет свое название. Выглядит это следующим образом:

• внутренние накрест лежащие:∟4 и ∟6, ∟3 и ∟5;
• внутренние односторонние: ∟4 и ∟5, ∟3 и ∟6;
• соответствующие: ∟1 и ∟5, ∟2 и ∟6, ∟4 и ∟8, ∟3 и ∟7.

В том случае, когда секущая пересекает две

«Крошка сын к отцу пришел, и спросила Кроха: «А какие бывают углы?». Но отец, ответ забыл. Это очень плохо!».

В нашей статье мы предлагаем вспомнить уроки математики и найти ответы на вопросы Крохи.

Что такое угол

Что такое угол конечно легче показать, чем объяснить. Из начальных классов мы знаем, что плоский угол:

1. Это геометрическая фигура.
2. Она образована двумя сторонами – лучами.
3. Лучи выходят из одной вершины – точки.
4. Измеряется в градусах.

То есть, если на любой плоскости поставить точку, а затем из этой точки вывести два луча (луч – прямая имеющая начало, но не имеющая конца), то получим угол, и не один, а два. Это потому что, лучи поделили плоскость на две части. У нас образовалось два угла — внутренний и внешний.

Обозначение углов

Обозначается угол в математике вот таким значком – «˪» и греческими буквами: β, δ, φ. Так же обозначать углы можно маленькими или большими латинскими буквами. Строчными (d, c, b) обозначают лучи образующие угол, следовательно, название будет складываться из двух букв и значка — ˪ab. Большие латинские буквы обозначают три точки угла: две на сторонах и одна вершина (˪ DEF). Причем, буква вершины всегда будет находиться в середине названия, а как читать DEF или FED, это уже разницы не имеет.

Виды углов

В зависимости от градусов (мерной величины) углы разделяют на:

• Острые (> 90 градусов);
• Прямые (ровно 90);
• Тупые (180);
• Развернутый (равен 180);
• Невыпуклый (более 180, но менее 360);
• Полный (360);

Все углы, которые не являются прямыми или развернутыми, называются косыми.

Еще, какие есть углы?

• Смежные – одна сторона у них общая, а другие лежат, не совпадая, на одной плоскости. Сумма таких углов всегда будет равна 180.
• Вертикальные – углы образованные двумя пересекающимися прямыми и общих сторон они не имеют, но их лучи выходят с одной точки. То есть, сторона одного угла есть продолжение другого. Такие углы равны.
• Центральный – угол, вершина которого является центром окружности.
• Вписанный угол. Его вершина находится на окружности, а лучи, образующие его, пересекают эту окружность.

Теперь вы знаете, какой прямой угол, а акже сможете отличить, какой угол острый. Запомнить это не сложно, да и другие виды углов тоже имеют характерные названия.

Углом называется геометрическая фигура, которая состоит из двух различных лучей, исходящих из одной точки. В данном случае, эти лучи называются сторонами угла. Точка, являющаяся началом лучей, называется вершиной угла. На рисунке вы можете увидеть угол с вершиной в точке О
, и сторонами k
и m
.

На сторонах угла отмечены точки А и С. Этот угол можно обозначить как угол AOC. В середине обязательно должно стоять название точки, в которой находится вершина угла. Также существуют и другие обозначения, угол О или угол km. В геометрии вместо слова угол часто пишут специальный значок.

Развернутый и неразвернутый угол

Если у угла обе стороны лежат на одной прямой, то такой угол называется развернутым
углом. То есть одна сторона угла является продолжением другой стороны угла. На рисунке нижк представлен развернутый угол О.

Следует отметить, что любой угол, разделяет плоскость на две части. Если угол не является развернутым, то одна из частей называется внутренней областью угла, а другая внешней областью этого угла. На рисунке ниже представлен неразвернутый угол и отмечены внешняя и внутренняя области этого угла.

В случае с развернутым углом любую из двух частей, на которые он делит плоскость, можно считать внешней областью угла. Можно говорить о положении точки относительно угла. Точка может лежать вне угла (во внешней области), может находится на одной из его сторон, либо может лежать внутри угла (во внутренней области).

На рисунке ниже, точка А лежит вне угла О, точка B лежит на одной из сторон угла, а точка С лежит внутри угла.

Измерение углов

Для измерения углов существует прибор называемый транспортиром. Единицей измерения угла является градус
. Следует отметить, что каждый угол имеет определенную градусную меру, которая больше нуля.

В зависимости от градусной меры углы делятся на несколько групп.

Угловая мера

Угол в измеряют в градусной мере (градус, минута, секунда), в оборотах — отношение длины дуги s к длине окружности L , в радианах — отношение длины дуги s к радиусу r ; исторически применялась также градовая мера измерения углов, в настоящее время она почти нигде не используется.

1 оборот = 2π радианам = 360° = 400 градам .

В морской терминологии углы обозначаются румбами .

Типы углов

Смежные углы — острый (a) и тупой (b). Развёрнутый угол (c)

Кроме этого, рассматривается угол между гладкими кривыми в точке касания: по определению, его величина равна величине угла между касательными к кривым.

Wikimedia Foundation
.
2010
.

Смотреть что такое «Полный угол» в других словарях:

Неузаконенная внесистемная ед. плоского угла. 1 П. у.= 2ПИ рад 6.283 185 рад (см. Радиан) … Большой энциклопедический политехнический словарь


Угол вертикальной наводки ствола орудия при стрельбе с учетом углов качки корабля. Определяется приборами центрального артиллерийского поста. EdwART. Толковый Военно морской Словарь, 2010 … Морской словарь

Угол горизонтальной наводки ствола орудия при стрельбе с учетом углов качки корабля. Определяется ߑؐѐޑАܐؠцентрального артиллерийского поста. EdwART. Толковый Военно морской Словарь, 2010 … Морской словарь

полный механический угол поворота подвижной системы переменного резистора
— полный механический угол поворота Полный угол поворота подвижной системы переменного резистора от упора до упора. Примечание Для резисторов, не имеющих упоров, полный механический угол равен максимальному углу между двумя положениями подвижной… … Справочник технического переводчика


Полный механический угол поворота подвижной системы переменного резистора
— 52. Полный механический угол поворота подвижной системы переменного резистора Полный механический угол поворота D. Mechanischer Drehwinkel E. Total mechanical rotation F. Course mécanique totale Полный угол поворота подвижной системы переменного… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации


УГОЛ
— (1) атаки угол между направлением воздушного потока, набегающего на крыло самолёта, и хордой сечения крыла. От этого угла зависит значение подъёмной силы. Угол, при котором подъёмная сила максимальна, называется критическим углом атаки. У… … Большая политехническая энциклопедия


УГОЛ, мера наклона между двумя прямыми линиями или плоскостями, а также величины вращательного движения. Полный круг делится на 360° (градусов) иди на 2p радиан. Прямой угол составляет 90° или p/2 радиан. Один градус подразделяется на 60 (минут) … Научно-технический энциклопедический словарь


Элементы: Drop прыжок с высоты, выполняется с места или из позиции cat leap. Амортизировать падение можно только ногами, или ногами и руками (ну или одной рукой). Spring прыжок через какое либо препятствие, не касаясь его. Например, перелёт через … Википедия

Идти в полную. Жарг. угол. Признаваться в совершении преступления. Балдаев 1, 169. Два полных, третий не целый. Новг. Ирон. О небольшом количестве людей где л. НОС 2, 76 …

Жарг. угол. Одобр. Всё в порядке, дела идут хорошо. Б., 159; Быков, 202. /i> Вероятно, из идиш или иврита, где слово является оценкой высшего качества. Елистратов 1994, 537 … Большой словарь русских поговорок

Что такое угол?

Углом называют фигуру, образованную двумя лучами, выходящими из одной точки (рис. 160).
Лучи, образующие угол
, называют сторонами угла, а точку, из которой они выходят, — вершиной угла.
На рисунке 160 сторонами угла являются лучи ОА и ОБ, а его вершиной — точка О. Этот угол обозначают так: АОВ.

При записи угла в середине пишут букву, обозначающую его вершину. Угол можно обозначить и одной буквой — названием его вершины.

Например, вместо «угол АОВ» пишут короче: «угол О».

Вместо слова «угол» пишут знак .

Например, AОВ, O.

На рисунке 161 точки С и D лежат внутри угла АОВ, точки X и У лежат вне этого угла, а точки
М и Н — на сторонах угла.

Как и все геометрические фигуры, углы сравниваются с помощью наложения.

Если один угол можно наложить на другой так, что они совпадут, то эти углы равны.

Например, на рисунке 162 ABC = MNK.

Из вершины угла СОК (рис. 163) проведен луч ОР. Он разбивает угол СОК на два угла — СОР и РОК. Каждый из этих углов меньше угла СОК.

Пишут: COP

Прямой и развернутый угол

Два дополнительных друг другу луча
образуют развернутый угол. Стороны этого угла вместе составляют прямую линию, на которой лежит вершина развернутого угла (рис. 164).

Часовая и минутная стрелки часов образуют в 6 ч развернутый угол (рис. 165).

Согнем два раза пополам лист бумаги, а потом развернем его (рис. 166).

Линии сгиба образуют 4 равных угла. Каждый из этих углов равен половине развернутого угла. Такие углы называют прямыми.

Прямым углом называют половину развернутого угла.

Чертежный треугольник

Для построения прямого угла пользуются чертежным треугольником
(рис. 167). Чтобы построить прямой угол, одной из сторон которого является луч ОЛ, надо:

а) расположить чертежный треугольник так, чтобы вершина его прямого угла совпала с точкой О, а одна из сторон пошла по лучу ОА;

б) провести вдоль второй стороны треугольника луч ОВ.

В результате получим прямой угол АОВ.

Вопросы к теме

1.Что такое угол?
2.Какой угол называют развернутым?
3.Какие углы называют равными?
4.Какой угол называют прямым?
5.Как строят прямой угол с помощью чертежного треугольника?

Нам с вами уже известно, что любой угол делит плоскость на две части. Но, в случае, если у угла его обе стороны лежат на одной прямой, то такой угол называется развернутым. То есть, у развернутого угла одна его сторона является продолжением его другой стороны угла.

Теперь давайте посмотрим на рисунок, на котором как раз и изображен развернутый угол О.

Если мы возьмем и проведем из вершины развернутого угла луч, то он разделит данный развернутый угол еще на два угла, которые будут иметь одну общую сторону, а другие два угла будут составлять прямую. То есть, с одного развернутого угла мы получили два смежных.

Если мы возьмем развернутый угол и проведем биссектрису, то эта биссектриса разделит развернутый угол на два прямых угла.

А, в том случае, если мы из вершины развернутого угла проведем произвольный луч, который не является биссектрисой, то такой луч разделит развернутый угол на два угла, один из которых будет острым, а другой тупым.

Свойства развернутого угла

Развернутый угол обладает такими свойствами:

Во-первых, стороны развёрнутого угла являются антипараллельными и образуют прямую;
во-вторых, развернутый угол равен 180°;
в-третьих, два смежных угла образуют развернутый угол;
в-четвертых, развернутый угол составляет половину полного угла;
в-пятых, полный угол будет равен сумме двух развёрнутых углов;
в-шестых, половина развернутого угла составляет прямой угол.

Измерение углов

Чтобы измерить любой угол, для этих целей чаще всего используют транспортир, у которого единица измерения равна одному градусу. При измерении углов следует помнить, что любой угол имеет свою определенную градусную меру и естественно эта мера больше нуля. А развернутый угол, как нам уже известно, равен 180 градусам.

То есть, если мы с вами возьмем любую плоскость круга и разделим ее радиусами на 360 равных частей, то 1/360 часть данного круга будет являться угловым градусом. Как вы уже знаете, что градус обозначается определенным значком, который имеет такой вид:
« ° ».

Теперь мы также знаем, что один градус 1° = 1/360 части круга. Если угол равен плоскости круга и составляет 360 градусов, то такой угол является полным.

А теперь мы возьмем, и плоскость круга поделим с помощью двух радиусов, лежащих на одной прямой линии, на две равные части. То в этом случае, плоскость полукруга составит половину полного угла, то есть 360: 2 = 180°. Мы с вами получили угол, который равен полуплоскости круга и имеет 180°. Это и есть развернутый угол.

Практическое задание

1613. Назовите углы, изображенные на рисунке 168. Запишите их обозначения.

1614. Начертите четыре луча: ОА, ОВ, ОС и OD. Запишите названия шести углов, сторонами которых являются эти лучи. На сколько частей эти лучи делят плоскость
?

1615. Укажите, какие точки на рисунке 169 лежат внутри угла КОМ, Какие точки лежат вне этого угла? Какие точки лежат на стороне OK, a какие — на стороне ОМ?

1616. Начертите угол MOD и проведите внутри него луч ОТ. Назовите и обозначьте углы, на которые этот луч делит угол MOD.

1617. Минутная стрелка за 10 мин повернулась на угол АОВ, за следующие 10 мин — на угол ВОС, а еще за 15 мин — на угол COD. Сравните углы АОВ и ВОС, ВОС и COD, АОС и АОВ, АОС и COD (рис. 170).

1618. Изобразите с помощью чертежного треугольника 4 прямых угла в разных положениях.

1619. С помощью чертежного треугольника найдите на рисунке 171 прямые углы. Запишите их обозначения.

1620. Укажите прямые углы в классной комнате.

а) 0,09 200; б) 208 0,4; в) 130 0,1 + 80 0,1.

1629. Сколько процентов от 400 составляет число 200; 100; 4; 40; 80; 400; 600?

1630. Найдите пропущенное число:

а) 2 5 3 б) 2 3 5
13 6 12 1
2 3? 42?

1631. Начертите квадрат, сторона которого равна длине 10 клеток тетради. Пусть этот квадрат изображает поле. Рожь занимает 12% поля, овес — 8%, пшеница — 64%, а остальная часть поля занята гречихой. Покажите на рисунке часть поля, занятую каждой культурой. Сколько процентов поля занимает гречиха?

1632. За учебный год Петя израсходовал 40% купленных в начале года тетрадей, и у него осталось 30 тетрадей. Сколько тетрадей было куплено для Пети в начале учебного года?

1633. Бронза является сплавом олова и меди. Сколько процентов сплава составляет медь в куске бронзы, состоящем из 6 кг олова и 34 кг меди?

1634. Построенный в древности Александрийский маяк, который называли одним из семи чудес света, выше башен Московского Кремля в 1,7 раза, но ниже здания Московского университета на 119 м. Найдите высоту каждого из этих сооружений, если башни Московского Кремля на 49 м ниже Александрийского маяка.

1635. Найдите с помощью микрокалькулятора:

а) 4,5% от 168; в) 28,3% от 569,8;
б) 147,6% от 2500; г) 0,09% от 456 800.

1636. Решите задачу:

1) Площадь огорода 6,4 а. В первый день вскопали 30% огорода, а во второй день — 35% огорода. Сколько аров осталось еще вскопать?

2) У Сережи было 4,8 ч свободного времени. 35% этого времени он потратил на чтение книги, а 40% на просмотр передач по телевизору. Сколько времени у него еще осталось?

1637. Выполните действия:

1) ((23,79: 7,8 — 6,8: 17) 3,04 — 2,04) 0,85;
2) (3,42: 0,57 9,5 — 6,6) : ((4,8 — 1,6) (3,1 + 0,05)).

1638. Начертите угол ВАС и отметьте по одной точке внутри угла, вне угла и на сторонах угла.

1639. Какие из отмеченных на рисунке 172 точек лежат внутри угла АМК.Какая точка лежит внутри угла АМВ> но вне угла АМК.Какие точки лежат на сторонах угла АМК?

1640. Найдите с помощью чертежного треугольника прямые углы на рисунке 173.

1641. Постройте квадрат со стороной 43 мм. Вычислите его периметр и площадь.

1642. Найдите значение выражения:

а) 14,791: а + 160,961: b, если а = 100, b = 10;
б) 361,62с + 1848: d, если с = 100, d =100.

1643. Рабочий должен был изготовить 450 деталей. В первый день он изготовил 60% деталей, а остальные — во второй. Сколько деталей изготовил рабочий
во второй день?

1644. В библиотеке было 8000 книг. Через год число их увеличилось на 2000 книг. На сколько процентов увеличилось число книг в библиотеке?

1645. Грузовики в первый день проехали 24% намеченного пути, во второй день — 46% пути, а в третий — остальные 450 км. Сколько километров проехали эти грузовики?

1646. Найдите, сколько составляют:

а) 1% от тонны; в) 5% от 7 т;
б) 1% от литра; г) 6% от 80 км.

1647. Масса детеныша моржа в 9 раз меньше массы взрослого моржа. Какова масса взрослого моржа, если вместе с детенышем их масса равна 0,9 т?

1648. Во время маневров командир оставил 0,3 всех своих солдат охранять переправу, а остальных разделил на 2 отряда для обороны двух высот. В первом отряде было в 6 раз больше солдат, чем во втором. Сколько солдат было в первом отряде, если всего было 200 солдат?

Н.Я. ВИЛЕНКИН, B. И. ЖОХОВ, А. С. ЧЕСНОКОВ, C. И. ШВАРЦБУРД, Математика 5 класс, Учебник для общеобразовательных учреждений

В этой статье будет рассматриваться одна из основных геометрических фигур — угол. После общего введения в это понятие мы уделим основное внимание отдельному виду такой фигуры. Развернутый угол — важное понятие геометрии, которое и будет основной темой этой статьи.

Введение в понятие геометрического угла

В геометрии существует ряд объектов, которые составляют основу всей науки. Угол как раз относиться к ним и определяется с помощью понятия луча, поэтому начнем именно с него.

Также перед тем, как приступать к определению самого угла, нужно вспомнить о нескольких не менее важных объектах в геометрии — это точка, прямая на плоскости и собственно сама плоскость. Прямой называют самую простую геометрическую фигуру, у которой нет ни начала, ни конца. Плоскостью — поверхность, которая имеет два измерения. Ну и луч (или же полупрямая) в геометрии — это часть прямой, у которой есть начало, но нет конца.

Используя данные понятия, можем составить утверждение, что углом является геометрическая фигура, которая полностью лежит в некоторой плоскости и состоит из двух несовпадающих лучей с общим началом. Такие лучи называются сторонами угла, а общее начало сторон — это его вершина.

Виды углов и геометрии

Мы знаем о том, что углы могут быть совсем разными. А потому немного ниже будет приведена небольшая классификация, которая поможет лучше разобраться в видах углов и их главных особенностях. Итак, существует несколько видов углов в геометрии:

1. Прямой угол. Он характеризируется величиной в 90 градусов, а значит, его стороны всегда перпендикулярны между собой.
2. Острый угол. К таким углам относятся все их представители, имеющие размер меньше 90 градусов.
3. Тупой угол. Здесь же могут быть все углы с величиной от 90 до 180 градусов.
4. Развернутый угол. Имеет размер строго 180 градусов и внешне его стороны составляют одну прямую.

Понятие развернутого угла

Теперь давайте рассмотрим развернутый угол более подробно. Это тот случай, когда обе стороны лежат на одной прямой, что можно четко увидеть на рисунке немного ниже. Значит, мы можем с уверенностью сказать, что у развернутого угла одна из его сторон по сути есть продолжением другой.

Стоит запомнить тот факт, что такой угол всегда можно разделить с помощью луча, который выходит из его вершины. В результате мы получим два угла, которые в геометрии называются смежными.

Также развернутый угол имеет несколько особенностей. Для того, чтобы рассказать о первой из них, нужно вспомнить понятие «биссектриса угла». Напомним, что это луч, который делит любой угол строго пополам. Что касается развернутого угла, то его биссектриса разделяет его таким образом, что образуется два прямых угла по 90 градусов. Это очень легко просчитать математически: 180˚ (градус развернутого угла) : 2 = 90˚.

Если же разделять развернутый угол совсем произвольным лучом, то в результате мы всегда получаем два угла, один из которых будет острым, а другой — тупым.

Свойства развернутых углов

Будет удобно рассматривать этот угол, собрав воедино все его главные свойства, что мы и сделали в данном списке:

1. Стороны развернутого угла антипараллельны и составляют прямую.
2. Величина развернутого угла всегда составляет 180˚.
3. Два смежных угла вместе всегда составляют развернутый угол.
4. Полный угол, который составляет 360˚, состоит из двух развернутых и равен их суме.
5. Половина развернутого угла — это прямой угол.

Итак, зная все эти характеристики данного вида углов, мы можем использовать их для решения ряда геометрических задач.

Задачи с развернутыми углами

Для того, чтобы понять, усвоили ли вы понятие развернутого угла, попытайтесь ответить на несколько следующих вопросов.

1. Чему равен развернутый угол, если его стороны составляют вертикальную прямую?
2. Будут ли два угла смежными, если величина первого 72˚, а другого — 118˚?
3. Если полный угол состоит из двух развернутых, то сколько в нем прямых углов?
4. Развернутый угол разделили лучом на два таких угла, что их градусные меры относятся как 1:4. Вычислите полученные углы.

Решения и ответы:

1. Как бы ни был расположен развернутый угол, он всегда по определению равен 180˚.
2. Смежные углы имеют одну общую сторону. Поэтому, чтобы вычислить размер угла, который они составляю вместе, нужно просто прибавить значение их градусных мер. Значит, 72 +118 = 190. Но по определению развернутый угол составляет 180˚, а значит, два данных угла не могут быть смежными.
3. Развернутый угол вмещает два прямых угла. А так как в полном имеется два развернутых, значит, прямых в нем будет 4.
4. Если мы назовем искомые углы а и b, то пусть х — это коэффициент пропорциональности для них, а это значит, что а=х, и соответственно b=4х. Развернутый угол в градусах равен 180˚. И согласно своим свойствам, что градусная мера угла всегда равна сумме градусных мер тех углов, на которые он разбивается любым произвольным лучом, что проходит между его сторонами, можем сделать вывод, что х + 4х = 180˚, а значит, 5х = 180˚. Отсюда находим: х=а=36˚ и b = 4х = 144˚. Ответ: 36˚ и 144˚.

Если у вас получилось ответить на все эти вопросы без подсказок и не подглядывая в ответы, значит вы готовы переходить к следующему уроку по геометрии.

В этой статье мы всесторонне разберем одну из основных геометрических фигур – угол. Начнем со вспомогательных понятий и определений, которые нас приведут к определению угла. После этого приведем принятые способы обозначения углов. Далее подробно разберемся с процессом измерения углов. В заключении покажем как можно отметить углы на чертеже. Все теорию мы снабдили необходимыми чертежами и графическими иллюстрациями для лучшего запоминания материала.

Навигация по странице.

Определение угла.

Угол является одной из важнейших фигур в геометрии. Определение угла дается через определение луча. В свою очередь представление о луче невозможно получить без знания таких геометрических фигур как точка, прямая и плоскость. Поэтому, перед знакомством с определением угла, рекомендуем освежить в памяти теорию из разделов и .

Итак, будем отталкиваться от понятий точки, прямой на плоскости и плоскости.

Дадим сначала определение луча.

Пусть нам дана некоторая прямая на плоскости. Обозначим ее буквой a
. Пусть O
– некоторая точка прямой a
. Точка O
разделяет прямую a
на две части. Каждая из этих частей вместе с точкой О
называется лучом
, а точка О
называется началом луча
. Еще можно услышать, что луч называют полупрямой
.

Для краткости и удобства ввели следующие обозначения для лучей: луч обозначают либо малой латинской буквой (например, луч p
или луч k
), либо двумя большими латинскими буквами, первая из которых соответствует началу луча, а вторая обозначает некоторую точку этого луча (например, луч ОА
или луч СD
). Покажем изображение и обозначение лучей на чертеже.

Теперь мы можем дать первое определение угла.

Определение.

Угол
– это плоская геометрическая фигура (то есть целиком лежащая в некоторой плоскости), которую составляют два несовпадающих луча с общим началом. Каждый из лучей называют стороной угла
, общее начало сторон угла называют вершиной угла
.

Возможен случай, когда стороны угла составляют прямую линию. Такой угол имеет свое название.

Определение.

Если обе стороны угла лежат на одной прямой, то такой угол называется развернутым
.

Предлагаем Вашему вниманию графическую иллюстрацию развернутого угла.

Для обозначения угла используют значок угла «». Если стороны угла обозначены малыми латинскими буквами (например, одна сторона угла k
, а другая h
), то для обозначения этого угла после значка угла записывают подряд буквы, соответствующие сторонам, причем порядок записи значения не имеет (то есть, или ). Если стороны угла обозначены двумя большими латинскими буквами (к примеру, одна сторона угла OA
, а вторая сторона угла OB
), то угол обозначают следующим образом: после значка угла записывают три буквы, участвующие в обозначении сторон угла, причем буква, отвечающая вершине угла, располагается посередине (в нашем случае угол будет обозначен как или ). Если вершина угла не является вершиной еще какого-нибудь угла, то такой угол можно обозначать буквой, соответствующей вершине угла (например, ). Иногда можно видеть, что углы на чертежах отмечают цифрами (1
, 2
и т.д.), обозначают эти углы как и так далее. Для наглядности приведем рисунок, на котором изображены и обозначены углы.

Любой угол разделяет плоскость на две части. При этом если угол не развернутый, то одну часть плоскости называют внутренней областью угла
, а другую – внешней областью угла
. Следующее изображение разъясняет, какая часть плоскости отвечает внутренней области угла, а какая — внешней.

Любую из двух частей, на которые развернутый угол разделяет плоскость, можно считать внутренней областью развернутого угла.

Определение внутренней области угла приводит нас ко второму определению угла.

Определение.

Угол
– это геометрическая фигура, которую составляют два несовпадающих луча с общим началом и соответствующая внутренняя область угла.

Следует отметить, что второе определение угла строже первого, так как содержит больше условий. Однако не следует отметать первое определение угла, также не следует рассматривать первое и второе определения угла по отдельности. Поясним этот момент. Когда речь идет об угле как о геометрической фигуре, то под углом понимается фигура, составленная двумя лучами с общим началом. Если же возникает необходимость провести какие-либо действия с этим углом (например, измерение угла), то под углом уже следует понимать два луча с общим началом и внутренней областью (иначе возникла бы двоякая ситуация из-за наличия как внутренней так и внешней области угла).

Дадим еще определения смежных и вертикальных углов.

Определение.

Смежные углы
– это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие образуют развернутый угол.

Из определения следует, что смежные углы дополняют друг друга до развернутого угла.

Определение.

Вертикальные углы
– это два угла, у которых стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

На рисунке изображены вертикальные углы.

Очевидно, что две пересекающиеся прямые образуют четыре пары смежных углов и две пары вертикальных углов.

Сравнение углов.

В этом пункте статьи мы разберемся с определениями равных и неравных углов, а также в случае неравных углов разъясним, какой угол считается большим, а какой меньшим.

Напомним, что две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.

Пусть нам даны два угла. Приведем рассуждения, которые помогут нам получить ответ на вопрос: «Равны эти два угла или нет»?

Очевидно, что мы всегда можем совместить вершины двух углов, а также одну сторону первого угла с любой из сторон второго угла. Совместим сторону первого угла с той стороной второго угла, чтобы оставшиеся стороны углов оказались по одну сторону от прямой, на которой лежат совмещенные стороны углов. Тогда, если две другие стороны углов совместятся, то углы называются равными
.

Если же две другие стороны углов не совместятся, то углы называются неравными
, причем меньшим
считается тот угол, который составляет часть другого (большим
является тот угол, который полностью содержит другой угол).

Очевидно, что два развернутых угла равны. Также очевидно, что развернутый угол больше любого неразвернутого угла.

Измерение углов.

Измерение углов основывается на сравнении измеряемого угла с углом, взятым в качестве единицы измерения. Процесс измерения углов выглядит так: начиная от одной из сторон измеряемого угла, его внутреннюю область последовательно заполняют единичными углами, плотно укладывая их один к другому. При этом запоминают количество уложенных углов, которое и дает меру измеряемого угла.

Фактически, в качестве единицы измерения углов может быть принят любой угол. Однако существует множество общепринятых единиц измерения углов, относящихся к различным областям науки и техники, они получили специальные названия.

Одной из единиц измерения углов является градус
.

Определение.

Один градус
– это угол, равный одной сто восьмидесятой части развернутого угла.

Градус обозначают символом «», следовательно, один градус обозначается как .

Таким образом, в развернутом угле мы можем уложить 180
углов в один градус. Это будет выглядеть как половинка круглого пирога, разрезанная на 180
равных кусочков. Очень важно: «кусочки пирога» плотно укладываются один к другому (то есть, стороны углов совмещаются), причем сторона первого угла совмещается с одной стороной развернутого угла, а сторона последнего единичного угла совпадет с другой стороной развернутого угла.

При измерении углов выясняют, сколько раз градус (или другая единица измерения углов) укладывается в измеряемом угле до полного покрытия внутренней области измеряемого угла. Как мы уже убедились, в развернутом угле градус укладывается ровно 180
раз. Ниже приведены примеры углов, в которых угол в один градус укладывается ровно 30
раз (такой угол составляет шестую часть развернутого угла) и ровно 90
раз (половина развернутого угла).

Для измерения углов, меньших одного градуса (или другой единицы измерения углов) и в случаях, когда угол не удается измерить целым числом градусов (взятых единиц измерения), приходится использовать части градуса (части взятых единиц измерения). Определенные части градуса получили специальные названия. Наибольшее распространение получили, так называемые, минуты и секунды.

Определение.

Минута
– это одна шестидесятая часть градуса.

Определение.

Секунда
– это одна шестидесятая часть минуты.

Иными словами, в минуте содержится шестьдесят секунд, а в градусе – шестьдесят минут (3600
секунд). Для обозначения минут используют символ «», а для обозначения секунд – символ «» (не путайте со знаками производной и второй производной). Тогда при введенных определениях и обозначениях имеем , а угол, в котором укладываются 17
градусов 3
минуты и 59
секунд, можно обозначить как .

Определение.

Градусной мерой угла
называется положительное число, которое показывает сколько раз градус и его части укладываются в данном угле.

Например, градусная мера развернутого угла равна ста восьмидесяти, а градусная мера угла равна .

Для измерения углов существуют специальные измерительные приборы, наиболее известным из них является транспортир.

Если известно и обозначение угла (к примеру, ) и его градусная мера (пусть 110
), то используют краткую запись вида и говорят: «Угол АОВ
равен ста десяти градусам».

Из определений угла и градусной меры угла следует, что в геометрии мера угла в градусах выражается действительным числом из интервала (0, 180]
(в тригонометрии рассматривают углы с произвольной градусной мерой, их называют ). Угол в девяносто градусов имеет специальное название, его называют прямым углом
. Угол меньший 90
градусов называется острым углом
. Угол больший девяноста градусов называется тупым углом
. Итак, мера острого угла в градусах выражается числом из интервала (0, 90)
, мера тупого угла – числом из интервала (90, 180)
, прямой угол равен девяноста градусам. Приведем иллюстрации острого угла, тупого угла и прямого угла.

Из принципа измерения углов следует, что градусные меры равных углов одинаковы, градусная мера большего угла больше градусной меры меньшего, а градусная мера угла, который составляют несколько углов, равна сумме градусных мер составляющих углов. На рисунке ниже показан угол АОВ
, который составляют углы АОС
, СОD
и DОВ
, при этом .

Таким образом, сумма смежных углов равна ста восьмидесяти градусам
, так как они составляют развернутый угол.

Из этого утверждения следует, что . Действительно, если углы АОВ
и СОD
– вертикальные, то углы АОВ
и ВОС
— смежные и углы СОD
и ВОС
также смежные, поэтому, справедливы равенства и , откуда следует равенство .

Наряду с градусом удобна единица измерения углов, называемая радианом
. Радианная мера широко используется в тригонометрии. Дадим определение радиана.

Определение.

Угол в один радиан
– это центральный угол
, которому соответствует длина дуги, равная длине радиуса соответствующей окружности.

Дадим графическую иллюстрацию угла в один радиан. На чертеже длина радиуса OA
(как и радиуса OB
) равна длине дуги AB
, поэтому, по определению угол AOB
равен одному радиану.

Для обозначения радианов используют сокращение «рад». Например, запись 5 рад означает 5 радианов. Однако на письме обозначение «рад» часто опускают. К примеру, когда написано, что угол равен пи, то имеется в виду пи рад.

Стоит отдельно отметить, что величина угла, выраженная в радианах, не зависит от длины радиуса окружности. Это связано с тем, что фигуры, ограниченные данным углом и дугой окружности с центром в вершине данного угла, подобны между собой.

Измерение углов в радианах можно выполнять так же, как и измерение углов в градусах: выяснить, сколько раз угол в один радиан (и его части) укладываются в данном угле. А можно вычислить длину дуги соответствующего центрального угла, после чего разделить ее на длину радиуса.

Для нужд практики полезно знать, как соотносятся между собой градусная и радианная меры, так как довольно часть приходится осуществлять . В указанной статье установлена связь между градусной и радианной мерой угла, и приведены примеры перевода градусов в радианы и обратно.

Обозначение углов на чертеже.

На чертежах для удобства и наглядности углы можно отмечать дугами, которые принято проводить во внутренней области угла от одной стороны угла до другой. Равные углы отмечают одинаковым количеством дуг, неравные углы – различным количеством дуг. Прямые углы на чертеже обозначают символом вида «», который изображают во внутренней области прямого угла от одной стороны угла до другой.

Если на чертеже приходится отмечать много различных углов (обычно больше трех), то при обозначении углов кроме обычных дуг допустимо использование дуг какого-либо специального вида. К примеру, можно изобразить зубчатые дуги, или нечто подобное.

Следует отметить, что не стоит увлекаться с обозначением углов на чертежах и не загромождать рисунки. Рекомендуем обозначать только те углы, которые необходимы в процессе решения или доказательства.

Список литературы.

• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
• Погорелов А.В., Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений.

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по математике 5-9 класс
4. Геометрия
5. Угол. Обозначение углов

Советуем посмотреть:

Отрезок

Ломаная

Четырехугольники

Единицы измерения площадей. Свойства площадей

Прямоугольник, его периметр и площадь. Ось симметрии фигуры

Квадрат. Периметр и площадь квадрата.

Многоугольники. Правильные многоугольники. Равенство фигур.

Плоскость

Прямая

Луч

Шкалы и координаты

Прямоугольный параллелепипед. Пирамида.

Объем прямоугольного параллелепипеда

Куб. Площадь поверхности куба

Куб. Объем куба

Прямой и развернутый угол

Чертежный треугольник

Измерение углов. Транспортир. Виды углов

Треугольник и его виды

Окружность, круг, шар

Цилиндр, конус

Отрезок-xx

Геометрия

Правило встречается в следующих упражнениях:

5 класс

Задание 1710,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1776,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1842,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Номер 283,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 286,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 290,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 298,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 306,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 8,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 11,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

6 класс

Номер 206,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 219,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 686,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 714,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1234,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1237,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1283,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Задание 738,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 773,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1546,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

7 класс

Номер 759,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Задание 81,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Юдина, Позняк, Учебник

---

Морфемный разбор слова:

Однокоренные слова к слову:

ТУПОЙ УГОЛ

Смотреть что такое «ТУПОЙ УГОЛ» в других словарях:

ТУПОЙ УГОЛ — (см.), больший своего смежного угла; он всегда больше прямого угла, но меньше развёрнутого … Большая политехническая энциклопедия

Тупой угол — ТУПОЙ, ая, ое; туп, тупа, тупо, тупШы и тупы. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова

тупой угол — — [http://slovarionline.ru/anglo russkiy slovar neftegazovoy promyishlennosti/] Тематики нефтегазовая промышленность EN broad angleobtuse angle … Справочник технического переводчика

тупой угол — угол, больший прямого и меньший развёрнутого. * * * ТУПОЙ УГОЛ ТУПОЙ УГОЛ, угол, больший прямого и меньший развернутого … Энциклопедический словарь

ТУПОЙ УГОЛ — угол, больший прямого и меньший развёрнутого … Естествознание. Энциклопедический словарь

Тупой угол — … Википедия

ТУПОЙ — ТУПОЙ, ·противоп. острый; толстый, отрубистый в конце, или тупоконечный; | толстый на ребро, туполезый. Тупое шило. Тупой мыс. Ножи тупы, хоть верхом. охлябь! Тупым топором обкрошишь, а не обтешешь. Ножницы тупы, только щемят, а не режут. Словно… … Толковый словарь Даля

УГОЛ — угла, об угле, на (в) углу и (мат.) в угле, м. 1. Часть плоскости между двумя прямыми линиями, исходящими из одной точки (мат.). Вершина угла. Стороны угла. Измерение угла градусами. Прямой угол. (90°). Острый угол. (менее 90°). Тупой угол.… … Толковый словарь Ушакова

Источник

Тупой угол

Смотреть что такое «Тупой угол» в других словарях:

ТУПОЙ УГОЛ — угол, больший прямого и меньший развернутого … Большой Энциклопедический словарь

ТУПОЙ УГОЛ — (см.), больший своего смежного угла; он всегда больше прямого угла, но меньше развёрнутого … Большая политехническая энциклопедия

Тупой угол — ТУПОЙ, ая, ое; туп, тупа, тупо, тупШы и тупы. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова

тупой угол — — [http://slovarionline.ru/anglo russkiy slovar neftegazovoy promyishlennosti/] Тематики нефтегазовая промышленность EN broad angleobtuse angle … Справочник технического переводчика

тупой угол — угол, больший прямого и меньший развёрнутого. * * * ТУПОЙ УГОЛ ТУПОЙ УГОЛ, угол, больший прямого и меньший развернутого … Энциклопедический словарь

ТУПОЙ УГОЛ — угол, больший прямого и меньший развёрнутого … Естествознание. Энциклопедический словарь

ТУПОЙ — ТУПОЙ, ·противоп. острый; толстый, отрубистый в конце, или тупоконечный; | толстый на ребро, туполезый. Тупое шило. Тупой мыс. Ножи тупы, хоть верхом. охлябь! Тупым топором обкрошишь, а не обтешешь. Ножницы тупы, только щемят, а не режут. Словно… … Толковый словарь Даля

УГОЛ — угла, об угле, на (в) углу и (мат.) в угле, м. 1. Часть плоскости между двумя прямыми линиями, исходящими из одной точки (мат.). Вершина угла. Стороны угла. Измерение угла градусами. Прямой угол. (90°). Острый угол. (менее 90°). Тупой угол.… … Толковый словарь Ушакова

Источник

Что такое угол? Виды углов

Определение угла

Угол — это простая геометрическая фигура. Определение угла напрямую связано с понятием луча.

Луч — прямая линия, у которой есть начало, но нет конца, и продолжается она только в одну сторону.

Если нам дана прямая a на плоскости, и на ней есть некоторая точка O — выходит, что прямая разделена точкой на две части, каждая из которых является лучом с началом в точке O.

Луч можно обозначить одной строчной буквой латинского алфавита или двумя прописными. Например, вот так:

Угол — часть плоскости между двумя линиями, исходящими из одной точки. Каждая сторона угла является лучом, а вершина — общим началом сторон.

Что такое вершина и стороны угла

В математике существует специальный символ для обозначения угла, вот он: ∠.

Если стороны угла названы малыми латинскими буквами, то их записывают после символа. Например, так: ∠ab или ∠ba.

Если стороны угла названы большими буквами, то обозначение угла будет состоять из символа и трех букв, при этом вершина всегда записывается в центре. При сторонах угла OA и OB название угла запишем так: ∠AOB и ∠BOA. Также можно назвать угол одной большой буквой, которая указывает на его вершину, например: ∠O.

Иногда встречается обозначение в виде цифр — так тоже можно.

Для наглядности — все способы обозначения углов:

Так как угол делит плоскость на две части, одна будет внутренней областью угла, а другая — внешней областью угла. Вот так:

Единица измерения углов — градусы. Символ для обозначения градуса угла: °.

Виды углов

Есть разные типы углов и у каждого своё название:

Различать виды углов в геометрии важно. Определять можно на глаз или с помощью линейки.

Прямой угол — это угол, стороны которого перпендикулярны друг другу. Прямой угол всегда равен 90°.

Если два смежных угла равны между собой, то каждый из них является прямым. Для удобства прямой угол обозначается уголком. Вот так:

На картинке изображены два прямых угла ∠AOC и ∠COB. Общая сторона OC перпендикулярна прямой AB, а точка O — основание перпендикуляра.

Острый угол — это угол, который меньше прямого угла, то есть

Онлайн-школа Skysmart приглашает детей и подростков на курсы по математике — за интересными задачами, новыми прикладными знаниями и хорошими оценками!

Сравнение углов

Для сравнения углов можно использовать самый простой способ из программы 4 класса — метод наложения. Для этого нужно совместить две вершины и сторону одного угла со стороной другого. Если стороны заданных углов совпадут, значит углы равные. Если нет, то угол, который лежит внутри другого, будет меньшим. Здесь два наглядных примера с равными и неравными углами:

При этом развернутые углы всегда являются равными.

Совмещение углов ∠??? и ∠??? происходит следующим образом:

Если совпадут и другие стороны, то углы равны: ∠??? = ∠???.

Если нет, то один угол — меньше другого: ∠???

Как правильно измерять углы

Измерение углов похоже на измерение отрезков: нужно сравнить их с углом, принятым за единицу измерения. В геометрии обычно за единицу измерения принимают градус — угол, равный 1/180 части развернутого угла. Он обозначается так: °.

Градусная мера угла — положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладываются в данном углу.

Есть еще две возможные меры угла: минуты и секунды. Они позволяют выполнять более точные расчеты, особенно, когда величина не является целым обозначением градуса.

Минута — 1/60 часть градуса. Обозначается ´.

Секунда — 1/60 часть минуты. Обозначается ´´.

Градус состоит из 3600 секунд, то есть: 1° = 60´ = 3600´´.

Как происходит измерение угла: сначала измеряют стороны угла, а после — его внутреннюю область. Всегда нужно считать количество уложенных углов, так как они предопределяют меру измеряемого угла.

Когда луч делит угол на два или более углов, градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов.

На рисунке изображен угол АОВ, он состоит из углов АОС, СОD и DОВ. Можно записать так: ∠AOB = ∠AOC + ∠COD + ∠DOB = 45° + 30° + 60° = 135 °.

Равные углы имеют равную градусную меру.

Обозначение углов на чертеже

Чертеж помогает решать задачки по геометрии в разы быстрее. Чтобы наглядно изображать углы и прочие фигуры, придумали даже отдельное направление — геометрический чертеж.

Задачи с углами могут быть разными, и не всегда есть возможность правильно изобразить и отметить угол. Вот что важно запомнить при обозначении лучей и углов:

На чертеже отмечены три неравных угла:

Для обозначения на чертеже более трех углов используем разные виды дуг: волнистые, зубчатые.

Обозначать углы можно разными цветами. Главное, чтобы было просто и броско. При этом не обязательно отмечать все-все углы — достаточно только тех, которые нам нужны для решения задачки.

Источник

Тупой угол

Тупой угол — это угол, больший прямого, но меньший развёрнутого.

Градусная мера тупого угла — от 90º до 180º.

∠ABC, ∠DEF, ∠PTK — тупые углы.

Построить тупой угол заданной градусной меры можно с помощью транспортира.

Построить с помощью транспортира угол 140º.

1) Отмечаем точку — вершину угла.

2) От точки проводим луч — сторону угла.

3) Отметку в центре транспортира (у разных моделей отметка может располагаться в разных местах) совмещаем с вершиной угла таким образом, чтобы отметка 0º находилась на стороне угла.

4) Находим 140º на той шкале, где находится 0º, и ставим точку.

5) От вершины угла к отмеченной точке проводим луч — вторую сторону угла.

На рисунках показано построение угла 140º с началом отсчёта по разным шкалам — по нижней и по верхней.

Чтобы найти тупой угол на рисунке при помощи угольника, нужно приложить вершину угольника к вершине угла так, чтобы сторона угольника проходила вдоль одной из сторон угла. Если угол тупой, то его другая сторона выйдет за вторую сторону угольника.

Источник

Тупой угол

Смотреть что такое «Тупой угол» в других словарях:

ТУПОЙ УГОЛ — угол, больший прямого и меньший развернутого … Большой Энциклопедический словарь

ТУПОЙ УГОЛ — (см.), больший своего смежного угла; он всегда больше прямого угла, но меньше развёрнутого … Большая политехническая энциклопедия

Тупой угол — ТУПОЙ, ая, ое; туп, тупа, тупо, тупШы и тупы. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова

тупой угол — — [http://slovarionline.ru/anglo russkiy slovar neftegazovoy promyishlennosti/] Тематики нефтегазовая промышленность EN broad angleobtuse angle … Справочник технического переводчика

тупой угол — угол, больший прямого и меньший развёрнутого. * * * ТУПОЙ УГОЛ ТУПОЙ УГОЛ, угол, больший прямого и меньший развернутого … Энциклопедический словарь

ТУПОЙ УГОЛ — угол, больший прямого и меньший развёрнутого … Естествознание. Энциклопедический словарь

ТУПОЙ — ТУПОЙ, ·противоп. острый; толстый, отрубистый в конце, или тупоконечный; | толстый на ребро, туполезый. Тупое шило. Тупой мыс. Ножи тупы, хоть верхом. охлябь! Тупым топором обкрошишь, а не обтешешь. Ножницы тупы, только щемят, а не режут. Словно… … Толковый словарь Даля

УГОЛ — угла, об угле, на (в) углу и (мат.) в угле, м. 1. Часть плоскости между двумя прямыми линиями, исходящими из одной точки (мат.). Вершина угла. Стороны угла. Измерение угла градусами. Прямой угол. (90°). Острый угол. (менее 90°). Тупой угол.… … Толковый словарь Ушакова

Источник

Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается
только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

на главную

Углы в геометрии

Поддержать сайт

Содержание:

• Определение тупого угла
• Примеры решения задач с тупыми углами

Определение тупого угла

То есть тупой угол больше
прямого и меньше, чем
развернутый.

Примеры решения задач с тупыми углами

Читать дальше: что такое плоский угол.

Виды углов

• Прилежащие углы

Каждый угол, в зависимости от его величины, имеет своё название:

• Острый угол — это угол, который меньше прямого угла (<90°).
• Прямой угол — это угол, стороны которого перпендикулярны друг другу. Прямой угол обозначается буквой  d  и равен  90°.

  Если два смежных угла равны между собой, то каждый из них называется прямым углом. Прямой угол обычно обозначается не дугой, а уголком:

  

  ∠AOC  и  ∠COB  — прямые углы. Общая сторона прямых углов  OC  называется перпендикуляром к прямой  AB, а точка  O  — основанием перпендикуляра.

  Сумма двух прямых углов равна развёрнутому углу, значит, прямой угол равен половине развёрнутого угла.

• Тупой угол — это угол, который больше прямого угла, но меньше развёрнутого:

  90° < тупой угол < 180°.

• Развёрнутый угол — это угол, образованный двумя дополнительными лучами.

  Развёрнутый угол равен сумме двух прямых углов или, короче, двум прямым углам. Следовательно, развёрнутый угол равен  180°  или  2d.

  Все развёрнутые углы равны между собой.

• Выпуклый угол — это угол, который больше развёрнутого угла, но меньше полного:

  180° < выпуклый угол < 360°.

• Полный угол — это угол, обе стороны которого совпадают с одним лучом.

  Полный угол равен сумме четырёх прямых углов, то есть  4d (360°).

Прилежащие углы

Прилежащие углы — это пара углов, имеющих общую вершину и общую сторону, другие стороны которых лежат по разные стороны от общей стороны.

∠AOB  и  ∠BOC  — прилежащие углы,  O  — общая вершина,  OB  — общая сторона.

Если из вершины любого угла провести луч, разделяющий угол на два угла, то образованные углы будут прилежащими.

Угол, разделённый лучом, будет называться суммой полученных углов, например угол  AOB  является суммой углов  AOC  и  COB:

∠AOB = ∠AOC + ∠COB.

Каждый из прилежащих углов,  ∠AOC  и  ∠COB, называется разностью углов  AOB  и другого прилежащего, то есть:

∠AOC = ∠AOB — ∠COB,

∠COB = ∠AOB — ∠AOC.

Все геометрические фигуры состоят из точек, линий, лучей и плоской поверхности. Когда две линии или лучи сходятся в одной точке, измерение между двумя линиями называется углом. В этой статье мы собираемся обсудить, что такое угол, каковы различные типы углов и их значение с примерами.

Определение угла в математике

Угол, лежащий в плоскости, не обязательно должен лежать в евклидовом пространстве. В случае, если углы образованы пересечением двух плоскостей в евклидовом или другом пространстве, такие углы считаются двугранными.

Стороны угла – лучи, которые образуют угол (А, В).

Вершина угла – точка, из которой выходят лучи (О).

Угол делит плоскость на две части. Если угол не развернутый, то одна часть плоскости называется областью внутреннего угла, а другая часть называется областью внешнего угла. Ниже приведена картинка, поясняющая, какие части являются внешними, а какие внутренними.

Если углы измеряются по линии, мы можем найти два разных типа углов, например, положительный угол и отрицательный угол.

• Положительный угол: если угол идет против часовой стрелки, то он называется положительным углом.
• Отрицательный угол: если угол направлен по часовой стрелке, то он называется отрицательным углом.

Как обозначить углы?

Фигура угол отмечается символом «∠». Есть два разных способа обозначения углов:

• Способ 1:
  Как правило, угол обозначается строчными буквами, такими как «а», «х» и т. д., или греческими буквами альфа (α), бета (β), тэта (θ) и т. д.
• Способ 2:
  Используя три буквы на фигурах. Средняя буква должна быть вершиной (фактический угол).
  Например, ABC — треугольник. Чтобы представить угол A равным 60 градусам, мы можем определить его как ∠BAC = 60 °.

Ряд углов образуется при пересечении секущей двух или более прямых. Конкретные названия даны паре углов, что зависит от расположения угла по отношению к прямым. Линии могут быть как параллельными, так и непараллельными.

Углы образованные при пересечении двух прямых

При пересечении двух прямых образуются два вида углов:

• смежные;
• вертикальные.

Смежные углы

Свойства смежных углов

1. Сумма смежных углов равна 180°
2. Если оба смежных угла равны между собой, то они являются прямыми.
3. В паре смежных углов всегда один острый, а другой тупой, или оба угла прямые.
4. Синусы смежных углов равны.
5. Косинусы, тангенсы и котангенсы смежных углов равны, но имеют противоположный знак.

Вертикальные углы

Свойство: вертикальные углы равны.

Пример:

Пары углов 1 и 3; 2 и 4 – являются вертикальными

По свойству вертикальных углов:

[angle C O D=angle A O B]

[angle B O D=angle A O C]

Пары углов 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4, 4 и 1 — являются смежными

По свойству смежных углов:

[angle C O D+angle D O B=180^{circ}]

[angle D O B+angle B O A=180^{circ}]

[angle B O A+angle A O C=180^{circ}]

[angle A O C+angle C O D=180^{circ}]

---

Смежные углы	Вертикальные углы
Два угла с общей стороной и вершиной называются смежными.	Когда две прямые пересекаются друг с другом, то пары противоположных углов, образованных при вершине, называются вертикальными углами.
Имеют общую сторону и общую вершину.	Имеют общую вершину, но не имеют общую сторону
Смежные углы не всегда равны по величине	Вертикально противоположные углы равны по величине

Сравнение углов

Для сравнения углов можно использовать простейший метод — метод наложения. Для этого нужно совместить две вершины и сторону одного угла со стороной другого. Если стороны данных углов совпадают, то углы равны. В противном случае угол, который находится внутри другого, будет меньше. Вот два наглядных примера с равными и неравными углами:

[angle A_{1} O_{1} B_{1}] и [angle A_{2} O_{2} B_{2}] полностью совмещаются при наложении следовательно: [angle A_{1} O_{1} B_{1}=angle A_{2} O_{2} B_{2}]

[angle A_{1} O_{1} B_{1}] и [ angle A_{2} O_{2} B_{2}] не совмещаются при наложении: [angle A_{1} O_{1} B_{1} neq angle A_{2} O_{2} B_{2}]

Причем: [angle A_{1} O_{1} B_{1}<angle A_{2} O_{2} B_{2}]

При этом развернутые углы всегда являются равными.

Совмещение углов [angle A B C] и [angle M N K] происходит следующим образом:

1. Вершину B одного угла совмещаем с вершиной N другого угла.
2. Сторону BA одного угла накладываем на сторону NM другого угла так, чтобы стороны BC и NK располагались в одном направлении.

Если совпадут и другие стороны, то углы равны: ∠ABC = ∠MNK.

Если нет, то один угол — меньше другого: ∠ABC<∠MNK.

Измерение углов

Существует несколько единиц измерения углов. Рассмотрим наиболее часто используемые единицы измерения:

Градусная мера

Полный оборот, т. е. когда начальная и конечная стороны находятся в одном и том же положении после вращения по часовой стрелке или против часовой стрелки, делится на 360 единиц, называемых градусами. Итак, если поворот от начальной стороны к конечной стороне составляет [left(frac{1}{360}right)] оборота, то говорят, что угол имеет меру в один градус. Обозначается как 1°.

Мы измеряем время в часах, минутах и ​​секундах, где 1 час = 60 минут, а 1 минута = 60 секунд. Точно так же при измерении углов

• 1 градус = 60 минут, обозначаемый как 1° = 60′.
• 1 минута = 60 секунд, обозначаемая как 1 ′ = 60 ″.

Радианная мера

Радианная мера немного сложнее, чем градусная. Представьте круг с радиусом 1 единица. Далее представьте дугу окружности длиной 1 единицу. Угол, образуемый этой дугой в центре окружности, имеет меру 1 радиан. Вот как это выглядит:

Вот еще несколько примеров углов: -1 радиан, радиан, [1 frac{1}{2}] радиан, [-1 frac{1}{2}] радиан.

Длина окружности = [2 pi r ldots] где r — радиус окружности. Следовательно, для круга с радиусом 1 единица длины окружности равна [2 pi]. Следовательно, один полный оборот начальной стороны образует в центре угол [2 pi] радиан. Обобщая это, имеем:

В окружности радиуса r дуга длины r образует угол в 1 радиан в центре. Следовательно, в окружности радиуса r дуга длины l будет опираться на угол = [frac{l}{r}] радиан. Обобщая это, мы имеем в окружности радиуса r, если дуга длины l образует угол θ радиан в центре, то:

[theta=frac{l}{r}]

[l=r theta]

Связь между степенью и радианными мерами

По определениям степени и радиана мы знаем, что угол, образуемый окружностью в центре, равен:

• 360° – по градусной мере
• [2 pi] радиан — в радианах

Следовательно, [2 pi] радиан = 360° ⇒ [pi] радиан = 180°. Теперь подставим приблизительное значение [pi] как [frac{22}{7}] в уравнении выше и получить, 1 радиан [frac{180^{circ}}{pi}=57^{circ} 16^{prime}]. Кроме того, [1^{0}=frac{pi}{180^{circ}}] радиан = 0,01746 радиан примерно. Ниже таблица, изображающая соотношение между градусами и радианами некоторых распространенных углов:

Градусы	[30^{circ}]	[45^{circ}]	[60^{circ}]	[90^{circ}]	[180^{circ}]	[270^{circ}]	[360^{circ}]
Радианы	[frac{pi}{6}]	[frac{pi}{4}]	[frac{pi}{3}]	[frac{pi}{2}]	[pi]	[frac{3pi}{2}]	[2pi]

Пример

Преобразуйте 40° 20′ в радианы.

Решение: мы знаем, что 1° = 60′, следовательно, 20′ = [frac{1^{0}}{3}].

Следовательно,

[40^{circ} 20^{prime}=40 frac{1}{3}=frac{121}{3}];

Кроме того, мы знаем, что

радианная мера = [frac{pi}{180^{0}} x] градусную меру

Следовательно, радианная мера [40^{circ} 20^{prime}=frac{pi}{180} times frac{121}{3}=frac{121 pi}{540}] радиан.

Как измерить угол

Для измерения углов используется транспортир:

Попробуем измерить угол [angle A O B]

Шаги для измерения угла [angle mathrm{AOB}].

Шаг 1: совместите транспортир с лучом OB, как показано ниже. Начните чтение с отметки 0 ° в правом нижнем углу транспортира.

Шаг 2: Число на транспортире, совпадающее со вторым лучом, является мерой угла. Измерьте угол, используя число на «нижней дуге» транспортира. Таким образом, ∠ AOB = 37°

---

Далее попробуем измерить этот ∠AOC:

Шаг 1: Измерьте угол от отметки 0° в левом нижнем углу.

Шаг 2: Число на «верхней дуге» транспортира, совпадающее с OA, является мерой ∠ AOC. Таким образом, ∠ AOC = 143°

Как построить углы

Используем транспортир для построения углов. Нарисуем угол 50°.

Шаг 1: сначала нарисуйте луч OB и совместите транспортир с OB, как показано.

Шаг 2: поместите точку над отметкой на транспортире, которая соответствует 50°.

Шаг 3: Уберите транспортир и нарисуйте луч, начинающийся в точке О и проходящий через эту точку. Таким образом, ∠AOB – искомый угол, т.е. ∠AOB = 50°.

Примечание. Если луч идет в другом направлении, мы измеряем угол от отметки 0° в левом нижнем углу.

На изображении ниже показано, как нарисовать угол 50°, когда луч указывает в другом направлении.

Обозначение углов на чертеже

Для комфортного отображения дуг, углов применяют чертежи. Не всегда возможно грамотно изобразить и обозначить тот или другой угол, дугу или наименование. Равные углы имеют определение в виде идентичного числа дуг, а неравноценные в виде различного.

На чертеже запечатлено корректное обозначение острых, равных и неравных углов.

Если нужно обозначить более трех углов, то применяются специальные обозначения дуг, например, зубчатые или волнистые, но в принципе это не имеет особого значения.

Обозначение углов должно быть простым, чтобы не препятствовать иным значениям. При решении задачи рекомендовано обозначать только нужные для решения углы, чтобы не перегружать весь чертеж. Это не помешает решению задачи, а также придаст эстетичный облик чертежу.