Как пишется уравнение колебаний - Правописание и грамматика

Механические колебания.

Гармонические колебания.
Уравнение гармонических колебаний.
Пружинный маятник.
Математический маятник.
Свободные и вынужденные колебания.

Автор — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ : гармонические колебания; амплитуда, период, частота, фаза колебаний; свободные колебания, вынужденные колебания, резонанс.

Колебания — это повторяющиеся во времени изменения состояния системы. Понятие колебаний охватывает очень широкий круг явлений.

Колебания механических систем, или механические колебания — это механическое движение тела или системы тел, которое обладает повторяемостью во времени и происходит в окрестности положения равновесия. Положением равновесия называется такое состояние системы, в котором она может оставаться сколь угодно долго, не испытывая внешних воздействий.

Например, если маятник отклонить и отпустить, то начнутся колебания. Положение равновесия — это положение маятника при отсутствии отклонения. В этом положении маятник, если его не трогать, может пребывать сколь угодно долго. При колебаниях маятник много раз проходит положение равновесия.

Сразу после того, как отклонённый маятник отпустили, он начал двигаться, прошёл положение равновесия, достиг противоположного крайнего положения, на мгновение остановился в нём, двинулся в обратном направлении, снова прошёл положение равновесия и вернулся назад. Совершилось одно полное колебание. Дальше этот процесс будет периодически повторяться.

Амплитуда колебаний тела — это величина его наибольшего отклонения от положения равновесия.

Период колебаний — это время одного полного колебания. Можно сказать, что за период тело проходит путь в четыре амплитуды.

Частота колебаний — это величина, обратная периоду: nu =1/T . Частота измеряется в герцах (Гц) и показывает, сколько полных колебаний совершается за одну секунду.

к оглавлению ▴

Гармонические колебания.

Будем считать, что положение колеблющегося тела определяется одной-единственной координатой . Положению равновесия отвечает значение x=0 . Основная задача механики в данном случае состоит в нахождении функции x(t) , дающей координату тела в любой момент времени.

Для математического описания колебаний естественно использовать периодические функции. Таких функций много, но две из них — синус и косинус — являются самыми важными. У них много хороших свойств, и они тесно связаны с широким кругом физических явлений.

Поскольку функции синус и косинус получаются друг из друга сдвигом аргумента на pi /2 , можно ограничиться только одной из них. Мы для определённости будем использовать косинус.

Гармонические колебания — это колебания, при которых координата зависит от времени по гармоническому закону:

(1)

Выясним смысл входящих в эту формулу величин.

Положительная величина является наибольшим по модулю значением координаты (так как максимальное значение модуля косинуса равно единице), т. е. наибольшим отклонением от положения равновесия. Поэтому — амплитуда колебаний.

Аргумент косинуса называется фазой колебаний. Величина alpha , равная значению фазы при t=0 , называется начальной фазой. Начальная фаза отвечает начальной координате тела: $x_{0}=Acos alpha$ .

Величина называется omega циклической частотой. Найдём её связь с периодом колебаний и частотой . Одному полному колебанию отвечает приращение фазы, равное 2 pi радиан: , откуда

$omega = frac{displaystyle 2pi }{displaystyle T}$ (2)

(3)

Измеряется циклическая частота в рад/с (радиан в секунду).

В соответствии с выражениями (2) и (3) получаем ещё две формы записи гармонического закона (1):

$x=Acos(frac{displaystyle 2pi t }{displaystyle T}+ alpha), x=Acos(2 pi nu t + alpha)$ .

График функции (1), выражающей зависимость координаты от времени при гармонических колебаниях, приведён на рис. 1.

Рис. 1. График гармонических колебаний

Гармонический закон вида (1) носит самый общий характер. Он отвечает, например, ситуации, когда с маятником совершили одновременно два начальных действия: отклонили на величину $x_{0}$ и придали ему некоторую начальную скорость. Имеются два важных частных случая, когда одно из этих действий не совершалось.

Пусть маятник отклонили, но начальной скорости не сообщали (отпустили без начальной скорости). Ясно, что в этом случае $x_{0}=A$ , поэтому можно положить alpha=0 . Мы получаем закон косинуса:

График гармонических колебаний в этом случае представлен на рис. 2.

Рис. 2. Закон косинуса

Допустим теперь, что маятник не отклоняли, но ударом сообщили ему начальную скорость из положения равновесия. В этом случае $x_{0}=0$ , так что можно положить . Получаем закон синуса:

График колебаний представлен на рис. 3.

Рис. 3. Закон синуса

к оглавлению ▴

Уравнение гармонических колебаний.

Вернёмся к общему гармоническому закону (1). Дифференцируем это равенство:

$v_{x}=dot{x}=-Aomega sin(omega t+alpha )$ . (4)

Теперь дифференцируем полученное равенство (4):

$a_{x}=ddot{x}=-Aomega^{2} cos(omega t+alpha )$ . (5)

Давайте сопоставим выражение (1) для координаты и выражение (5) для проекции ускорения. Мы видим, что проекция ускорения отличается от координаты лишь множителем $-omega^{2}$ :

$a_{x}=-omega^{2}x$ . (6)

Это соотношение называется уравнением гармонических колебаний. Его можно переписать и в таком виде:

$ddot{x}+omega^{2}x=0$ . (7)

C математической точки зрения уравнение (7) является дифференциальным уравнением. Решениями дифференциальных уравнений служат функции (а не числа, как в обычной алгебре).
Так вот, можно доказать, что:

-решением уравнения (7) является всякая функция вида (1) с произвольными ;

-никакая другая функция решением данного уравнения не является.

Иными словами, соотношения (6), (7) описывают гармонические колебания с циклической частотой omega и только их. Две константы определяются из начальных условий — по начальным значениям координаты и скорости.

к оглавлению ▴

Пружинный маятник.

Пружинный маятник — это закреплённый на пружине груз, способный совершать колебания в горизонтальном или вертикальном направлении.

Найдём период малых горизонтальных колебаний пружинного маятника (рис. 4). Колебания будут малыми, если величина деформации пружины много меньше её размеров. При малых деформациях мы можем пользоваться законом Гука. Это приведёт к тому, что колебания окажутся гармоническими.

Трением пренебрегаем. Груз имеет массу , жёсткость пружины равна .

Координате x=0 отвечает положение равновесия, в котором пружина не деформирована. Следовательно, величина деформации пружины равна модулю координаты груза.

Рис. 4. Пружинный маятник

В горизонтальном направлении на груз действует только сила упругости vec F со стороны пружины. Второй закон Ньютона для груза в проекции на ось имеет вид:

$ma_{x}=F_{x}$ . (8)

Если x>0 (груз смещён вправо, как на рисунке), то сила упругости направлена в противоположную сторону, и $F_{x}<0$ . Наоборот, если x<0 , то $F_{x}>0$ . Знаки и $F_{x}$ всё время противоположны, поэтому закон Гука можно записать так:

$F_{x}=-kx$

Тогда соотношение (8) принимает вид:

$ma_{x}=-kx$

или

$a_{x}=-frac{displaystyle k}{displaystyle m}x$ .

Мы получили уравнение гармонических колебаний вида (6), в котором

$omega ^{2}=frac{displaystyle k}{displaystyle m}$ .

Циклическая частота колебаний пружинного маятника, таким образом, равна:

$omega =sqrt{frac{displaystyle k}{displaystyle m}}$ . (9)

Отсюда и из соотношения находим период горизонтальных колебаний пружинного маятника:

$T=2 pi sqrt{frac{displaystyle m}{displaystyle k}}$ . (10)

Если подвесить груз на пружине, то получится пружинный маятник, совершающий колебания в вертикальном направлении. Можно показать, что и в этом случае для периода колебаний справедлива формула (10).

к оглавлению ▴

Математический маятник.

Математический маятник — это небольшое тело, подвешенное на невесомой нерастяжимой нити (рис. 5). Математический маятник может совершать колебания в вертикальной плоскости в поле силы тяжести.

Рис. 5. Математический маятник

Найдём период малых колебаний математического маятника. Длина нити равна . Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Запишем для маятника второй закон Ньютона:

и спроектируем его на ось :

$ma_{x}=T_{x}$ .

Если маятник занимает положение как на рисунке (т. е. x>0 ), то:

$T_{x}=-Tsinvarphi =-Tfrac{displaystyle x}{displaystyle l}$ .

Если же маятник находится по другую сторону от положения равновесия (т. е. x<0 ), то:

$T_{x}=Tsinvarphi =-Tfrac{displaystyle x}{displaystyle l}$ .

Итак, при любом положении маятника имеем:

$ma_{x}=-Tfrac{displaystyle x}{displaystyle l}$ . (11)

Когда маятник покоится в положении равновесия, выполнено равенство T=mg . При малых колебаниях, когда отклонения маятника от положения равновесия малы (по сравнению с длиной нити), выполнено приближённое равенство . Воспользуемся им в формуле (11):

$ma_{x}=-mgfrac{displaystyle x}{displaystyle l}$ ,

или

$a_{x}=-frac{displaystyle g}{displaystyle l}x$ .

Это — уравнение гармонических колебаний вида (6), в котором

$omega ^{2}=frac{displaystyle g}{displaystyle l}$ .

Следовательно, циклическая частота колебаний математического маятника равна:

$omega =sqrt{frac{displaystyle g}{displaystyle l}}$ . (12)

Отсюда период колебаний математического маятника:

$T=2pi sqrt{frac{displaystyle l}{displaystyle g}}$ . (13)

Обратите внимание, что в формулу (13) не входит масса груза. В отличие от пружинного маятника, период колебаний математического маятника не зависит от его массы.

к оглавлению ▴

Свободные и вынужденные колебания.

Говорят, что система совершает свободные колебания, если она однократно выведена из положения равновесия и в дальнейшем предоставлена сама себе. Никаких периодических внешних
воздействий система при этом не испытывает, и никаких внутренних источников энергии, поддерживающих колебания, в системе нет.

Рассмотренные выше колебания пружинного и математического маятников являются примерами свободных колебаний.

Частота, с которой совершаются свободные колебания, называется собственной частотой колебательной системы. Так, формулы (9) и (12) дают собственные (циклические) частоты колебаний пружинного и математического маятников.

В идеализированной ситуации при отсутствии трения свободные колебания являются незатухающими, т. е. имеют постоянную амплитуду и длятся неограниченно долго. В реальных колебательных системах всегда присутствует трение, поэтому свободные колебания постепенно затухают (рис. 6).

Рис. 6. Затухающие колебания

Вынужденные колебания — это колебания, совершаемые системой под воздействием внешней силы F(t) , периодически изменяющейся во времени (так называемой вынуждающей силы).

Предположим, что собственная частота колебаний системы равна $omega_{0}$ , а вынуждающая сила зависит от времени по гармоническому закону:

$F(t)=F_{0}cos omega t$ .

В течение некоторого времени происходит установление вынужденных колебаний: система совершает сложное движение, которое является наложением выужденных и свободных колебаний. Свободные колебания постепенно затухают, и в установившемся режиме система совершает вынужденные колебания, которые также оказываются гармоническими. Частота установившихся вынужденных колебаний совпадает с частотой
omega вынуждающей силы (внешняя сила как бы навязывает системе свою частоту).

Амплитуда установившихся вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы. График этой зависимости показан на рис. 7.

Рис. 7. Резонанс

Мы видим, что вблизи частоты $omega=omega_{r}$ наступает резонанс — явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний. Резонансная частота приближённо равна собственной частоте колебаний системы: $omega_{r} approx omega_{0}$ , и это равенство выполняется тем точнее, чем меньше трение в системе. При отсутствии трения резонансная частота совпадает с собственной частотой колебаний, $omega_{r} = omega_{0}$ , а амплитуда колебаний возрастает до бесконечности при $omega Rightarrow omega_{0}$ .

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Механические колебания.» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена:
07.02.2023

Источник

Механические колебания

Механические колебания — это физические процессы, которые точно или приблизительно повторяются через одинаковые интервалы времени.

Колебания делятся на два вида: свободные и вынужденные.

Получай лайфхаки, статьи, видео и чек-листы по обучению на почту

Пятерка по физике у тебя в кармане!

Решай домашку по физике на изи. Подробные решения помогут разобраться в сложной теме и получить пятерку!

Свободные колебания

Это колебания, которые происходят под действием внутренних сил в колебательной системе.

Они всегда затухающие, потому что весь запас энергии, сообщенный в начале, в конце уходит на совершение работы по преодолению сил трения и сопротивления среды (в этом случае механическая энергия переходит во внутреннюю). Из-за этого свободные колебания почти не имеют практического применения.

Вынужденные колебания

А вот вынужденные колебания восполняют запас энергии внешним воздействием. Если это происходит каждый период, то колебания вообще затухать не будут.

Вынужденные колебания — это колебания, которые происходят под действием внешней периодически меняющейся силы.

Частота, с которой эта сила воздействует, равна частоте, с которой система будет колебаться.

Например, качели. Если вас кто-то будет на них качать, каждый раз давая толчок, когда вы приходите в одну и ту же точку — такое колебание будет считаться вынужденным.

Это колебание все еще будет считаться вынужденным, если вас будут раскачивать из положения равновесия. Просто в данном случае амплитуда (о которой речь пойдет чуть ниже) будет увеличиваться с каждым колебанием.

Автоколебания

Иногда вынужденному колебанию не нужно внешнего воздействия, чтобы случиться. Бывают такие системы, в которых это внешние воздействие возникает само из-за способности регулировать поступление энергии от постоянного источника.

У автоколебательной системы есть три важных составляющих:

сама колебательная система
источник энергии
устройство обратной связи, обеспечивающей связь между источником и системой

Часы с кукушкой — пример автоколебательной системы. Гиря на ниточке (цепочке) стремится вращать зубчатое колесо (храповик). При колебаниях маятника анкер цепляет за зубец, и вращение приостанавливается.

Но в результате маятник получает толчок, компенсирующий потери энергии из-за трения. Потенциальная энергия гири, которая постепенно опускается, расходуется на поддержание незатухающих колебаний.

Характеристики колебаний

Чтобы перейти к гармоническим колебаниям, нам нужно описать величины, которые помогут нам эти колебания охарактеризовать. Любое колебательное движение можно описать величинами: период, частота, амплитуда, фаза колебаний.

Период — это время одного полного колебания. Измеряется в секундах и обозначается буквой T.

Формула периода колебаний

T = t/N

T — период [с]

t — время [с]

N — количество колебаний [—]

Также есть величина, обратная периоду — частота. Она показывает, сколько колебаний совершает система в единицу времени.

Формула частоты

ν = N/t = 1/T

ν — частота [Гц]

t — время [с]

T — период [с]

N — количество колебаний [—]

Амплитуда — это максимальное отклонение от положения равновесия. Измеряется в метрах и обозначается либо буквой A, либо x^max.

Она используется в уравнении гармонических колебаний:

Гармонические колебания

Простейший вид колебательного процесса — простые гармонические колебания, которые описывают уравнением:

Уравнение гармонических колебаний

x = x_maxcos(2πνt)

x — координата в момент времени t [м]

x_max — амплитуда [м]

ν — частота [Гц]

t — момент времени [с]

π = 3,14

(2πνt) в этом уравнении — это фаза. Ее обозначают греческой буквой φ

Фаза колебаний

φ = 2πνt

φ — фаза [рад]

ν — частота [Гц]

t — момент времени [с]

π = 3,14

Фаза колебаний — это физическая величина, которая показывает отклонение точки от положения равновесия. Посмотрите на рисунок, на нем изображены одинаковые фазы:

Например, в тех же самых часах с кукушкой маятник совершает колебания. Он качается слева направо и приходит в самую правую точку. В той же фазе он будет находиться, когда придет в ту же точку, идя справа налево. Если мы возьмем точку на сантиметр левее самой правой, то идя в нее не слева направо, а справа налево, мы получим уже другую фазу.

На рисунке ниже показаны положения тела через одинаковые промежутки времени при гармонических колебаниях. Такую картину можно получить при освещении колеблющегося тела короткими периодическими вспышками света (стробоскопическое освещение). Стрелки изображают векторы скорости тела в различные моменты времени.

Если изменить период, начальную фазу или амплитуду колебания, графики тоже изменятся.

На рисунке ниже во всех трех случаях для синих кривых начальная фаза равна нулю, а в последнем (с) — красная кривая имеет меньшую начальную фазу.

В первом случае (а) красная кривая описывает колебание, у которого амплитуда больше колебания, описанного синей линией.
Во втором случае (b) красная кривая отличается от синей только значением периода — у красной период в два раза меньше.

Математический маятник

Математический маятник — отличный пример гармонических колебаний. Если мы подвесим шарик на нити, то это еще не будет математическим маятником — пока он только физический.

Математическим этот маятник станет, если размеры шарика много меньше длины нити (тогда этими размерами можно пренебречь и рассматривать шарик как материальную точку), растяжение нити очень мало, а масса нити во много раз меньше массы шарика.

Математическим маятником называется система, которая состоит из материальной точки массой m и невесомой нерастяжимой нити длиной l, на которой материальная точка подвешена, и которая находится в поле силы тяжести (или других сил).

Период малых колебаний математического маятника в поле силы тяжести Земли определяется по формуле:

Формула периода колебания математического маятника

T — период [с]

l — длина нити [м]

g — ускорение свободного падения [м/с²]

На планете Земля g = 9,8 м/с²

π = 3,14

Пружинный маятник

Пружинный маятник — это груз, прикрепленный к пружине, массой которой можно пренебречь.

В пружинном маятнике колебания совершаются под действием силы упругости.
Пока пружина не деформирована, сила упругости на тело не действует.

Формула периода колебания пружинного маятника

T — период [с]

m — масса маятника [кг]

k — жесткость пружины [Н/м]

π = 3,14

Закон сохранения энергии для гармонических колебаний

Физика — такая клевая наука, в которой ничего не исчезает бесследно и не появляется из ниоткуда. Эту особенность описывает закон сохранения энергии.

Рассмотрим его на примере математического маятника.

Когда маятник отклоняют на высоту h, его потенциальная энергия максимальна.
Когда маятник опускается, потенциальная энергия переходит в кинетическую. Причем в нижней точке, где потенциальная энергия равна нулю, кинетическая энергия максимальна и равна потенциальной энергии в верхней точке. Скорость груза в этой точке максимальна.

Онлайн-курсы физики в Skysmart не менее увлекательны, чем наши статьи!

Источник

Гармонические колебания — колебания, при которых физическая величина изменяется с течением времени по гармоническому (синусоидальному, косинусоидальному) закону. Уравнение гармонического колебания можно записать таким образом: X(t) = A∙cos(ωt+φ) или X(t) = A∙sin(ωt+φ) X — отклонение от положения равновесия в момент времени t A — амплитуда колебания, размерность A совпадает с размерностью X ω — циклическая частота, рад/c (радиан в секунду) φ — начальная фаза, рад t — время, с T — период колебания, с f — частота колебаний, Гц (Герц) π - константа, примерно равная 3.14, 2π=6.28
Период колебаний, частота в герцах и циклическая частота связаны соотношениями.
ω=2πf , T=2π/ω , f=1/T , f=ω/2π
Чтобы запомнить эти соотношения нужно понять следующее.
Каждый из параметров ω, f, T однозначно определяет остальные. Для описания колебаний достаточно использовать какой-то один из этих параметров.

Период T — время одного колебания, удобно использовать для построения графиков колебаний.
Циклическая частота ω — используется для записи уравнений колебаний, позволяет проводить математические вычисления.
Частота f — количество колебаний в единицу времени, применяется повсеместно. В герцах мы измеряем частоту на которую настроены радиоприемники, а также диапазон работы мобильных телефонов. В герцах измеряется частота колебаний струн, при настройке музыкальных инструментов.

Выражение (ωt+φ) — называется фазой колебания, а величина φ — начальной фазой, так как она равна фазе колебания в момент времени t=0.

Функции синуса и косинуса описывают отношения сторон в прямоугольном треугольнике. Поэтому многие не понимают, каким образом эти функции связаны с гармоническими колебаниями. Эту связь демонстрирует равномерно вращающийся вектор. Проекция равномерно вращающегося вектора совершает гармонические колебания.
На картинке ниже, показан пример трех гармонических колебаний. Одинаковых по частоте, но разных по фазе и по амплитуде.

Еще один рисунок, демонстрирующий соответствие вращающегося вектора с графиком гармонического колебания.
sinus

Видео с примерами гармонических колебаний.

Что называется фазой колебаний?

Задача 45.
Записать уравнение колебания соответствующее графику.
45task

Показать ответ

Источник

Уравнение колебаний

Определение и уравнение вибрации

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Колебательные движения (или колебания) в физике и технике называют такими типами движений (или изменениями состояния), которые имеют некоторую степень повторяемости.

Колебания, которые происходят по законам синуса или косинуса, называются гармоническими.

Уравнение гармонических колебаний:

где t — время; x-значение, изменяющееся со временем (координата, заряд, ток, EMF и т. д.); A — амплитуда колебаний — максимальное отклонение осциллирующей величины от среднего (нулевого) значения; — фаза колебаний; — начальная фаза; w — циклическая частота (изменение фазы за единицу времени). За период фаза изменяется на

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний

Уравнение вида:

дифференциальное уравнение гармонических колебаний.

Типы периодических колебаний могут быть с любой степенью точности представлены в виде суммы гармонических колебаний, так называемых гармонических рядов.

Колебания, которые тело будет выполнять, если они выведены из равновесия (независимо от того, как) и оставлены сами по себе, называются свободными (собственными) вибрациями. Если собственные колебания обусловлены наличием только квазиупругой силы, то они будут гармоническими.

Колебания тела, вызванные одновременным воздействием квазиупругой силы и силы трения (которая пропорциональна мгновенной скорости: , называются затухающими колебаниями.

Уравнение (3) называется дифференциальным затухающим уравнением. Здесь — коэффициент затухания.

Решение дифференциального уравнения колебаний

Решением дифференциального уравнения затухающих колебаний (3) является отношение вида:

Уравнение (4) называется уравнением затухающего колебания. В уравнении (4) видно, что амплитуда затухающих колебаний зависит от времени. Константы А и определяются начальными условиями. Амплитуда колебаний уменьшается, и они обычно выглядят так, как показано на рис.

рис 1.

Период затухающих колебаний рассчитывается по формуле (5):

Коэффициент физического ослабления означает, что коэффициент затухания является обратной величиной времени релаксации. Время релаксации — время, в течение которого амплитуда уменьшается в е. Однако коэффициент затухания не полностью характеризует затухание. Демпфирование вибрации обычно характеризуется декрементом демпфирования. Последнее показывает, сколько раз амплитуда колебаний уменьшается за время, равное периоду колебаний. То есть декремент затухания определяется как:

Логарифм декремента затухания называется логарифмическим декрементом; он, очевидно, равен:

Если колебательная система подвергается внешней периодической силе, то возникают так называемые вынужденные колебания, имеющие не затухающий характер.

Принудительные вибрации следует отличать от автоколебаний. В случае автоколебаний в системе предполагается специальный механизм, который со временем со своими колебаниями «подает» небольшую часть энергии в систему.

Примеры решения проблем

ПРИМЕР 1

Задача

Найти энергию свободных колебаний нагрузки, подвешенной на пружине. Рассмотрим случай физического маятника, зная, что жесткость пружины равна k, амплитуда колебаний A.

рис 1,1

Решение.

Найдем энергию свободных колебаний. Он представлен двумя типами энергии: кинетическими и потенциальными. Для пружинного подвесного шара:

Шаровые колебания описывают уравнение колебаний:

мы напишем уравнение скорости шара, зная, что движение происходит только вдоль оси X, поэтому:

Подставляя (1.2) и (1.3) в (1.1), получаем:

зная, что для физического маятника

Ответ.

Энергия свободных колебаний пропорциональна квадрату амплитуды колебаний

ПРИМЕР 2

Задача

Одно колебательное движение выполняется вдоль оси X, другое — вдоль оси Y. Колебания гармоничны.

1) Частоты и фазы колебаний одинаковы, а амплитуды различны.

2) Частоты колебаний одинаковы, амплитуды различны. Фазы, складывающиеся колебания отличаются друг от друга на .

Определите, каковы траектории результирующих движений, если эти колебания складываются?

Решение.

Запишем уравнения колебаний для каждого движения:

Чтобы найти траекторию результирующего движения, нам нужно исключить время из уравнений (2.1), (2.2). Для этого достаточно разделить по одному одно уравнение на другое, в результате получим:

Уравнение (2.3.) Показывает, что в этом случае добавление колебаний приводит к колебаниям по прямой, касательная которых определяется отношением амплитуд.

2. Пусть фазы добавленных колебаний отличаются друг от друга , то уравнения имеют вид:

Чтобы найти траекторию результирующего движения, исключив время, нам нужно квадратировать уравнения (2.3) и (2.4), сначала разделяя их на A1 и A2 соответственно, а затем складывая их. Уравнение траектории принимает вид:

Это уравнение эллипса. Для любых начальных фаз и любых амплитуд двух смещающихся взаимно перпендикулярных колебаний той же частоты результирующее колебание будет эллиптическим. Его ориентация будет зависеть от фаз и амплитуд добавленных колебаний.

Ответ

1) В этом случае добавление колебаний приводит к тому, что колебания происходят по прямой, наклон которой равен

2) Траектория результирующего движения является эллипсом.

Источник

Определение 1

Техника и окружающий мир являются примерами того, что существуют такие процессы, которые повторяются через определенные промежутки времени, то есть периодически. Их называют колебательными.

Колебательные движения. Формулы

Такие движения относят к явлениям с разной физической природой с подчинением общим закономерностям. Запись колебания тока в электрической цепи и математического маятника производится одним и тем же уравнением. Различная природа колебательных движений позволяет рассматривать их с единой точки зрения, исходя из общности закономерностей.

Определение 2

Механические колебания – это периодические или непериодические изменения физической величины, описывающей механическое движение (скорость, перемещение и так далее).

Когда в заданной среде атомы располагаются очень близко или молекулы испытывают силовое воздействие, наблюдается возбуждение механических колебаний. Это говорит о том, что процесс будет иметь конечную скорость, зависящую от свойств среды, которая распространяется от точки к точке. Так возникают механические волны. Явный пример – звуковые волны в воздухе.

Волновые процессы и колебания разной природы имеют много общего, а их распространение может быть описано аналогичными математическими уравнениями. Это подтверждает единство материального мира.

Гармонические колебания. Определение

В механике предусмотрено движение поступательно, вращательно и с наличием колебаний.

Определение 3

Механические колебания – это движения тел, которые повторяются точно или приблизительно за определенные одинаковые временные промежутки.

Функция x=f(t) объясняет закон движения тела с наличием колебаний. При графическом изображении дается представление о протекании колебательного процесса во времени. Рисунок 2.1.1 наглядно показывает принцип простых колебательных систем груза на пружине или математического маятника.

Рисунок 2.1.1. Механические колебательные системы.

Механические колебания подразделяют на свободные и вынужденные.

Определение 4

Действия внутренних сил системы после выведения из равновесия порождают свободные колебания. Примером могут служить колебания груза на пружине или маятника. Если их действие происходит под воздействием внешних сил, тогда их называют вынужденными.

Простейшим видом колебаний являются гармонические колебания, которые описываются уравнением x=xmcos (ωt+φ0), где x– смещение тела от положения равновесия, xm – амплитуда колебаний, ω– циклическая или круговая частота, t – время.

Величина, располагаемая под знаком косинуса, получила название фазы гармонического процесса: φ=ωt+φ0. Если t=0, φ=φ0, тогда φ0 рассматривается в качестве начальной фазы.

Период колебаний Т – это минимальный промежуток времени, через который происходят повторения движения тела. Величина, обратная периоду колебаний, называют частотой колебаний f=1T.

Частота гармонических колебаний показывает их количество, совершаемое за единицу времени, измеряемая в герцах (Г). Связь с циклической частотой ω и периодом T выражается с помощью формулы:

ω=2πf=2πT.

Рисунок 2.1.2 показывает гармонические колебания тел с разными положениями тел. Данный эксперимент наблюдается в специальных условиях при наличии периодических вспышек освещения, называемого стробоскопическим. Для изображения векторов скорости тела в разные моменты времени используют стрелки.

Рисунок 2.1.2. Стробоскопическое изображение гармонических колебаний. Начальная фаза φ0=0. Интервал времени между последовательными положениями тела τ = T12.

На графике 2.1.3. показаны изменения, происходящие во время гармонического процесса, при изменении амплитуды колебаний xm, или периода Т (частоты f), или начальной фазы φ0.

Рисунок 2.1.3. Во всех трех случаях для синих кривых φ0=0: a – красная кривая отличается от синей только большей амплитудой (x’m>xm); b – красная кривая отличается от синей только значением периода (T’=T2); с – красная кривая отличается от синей только значением начальной фазы φ0’=-π2 рад.

Гармонический закон

Если колебания совершаются вдоль прямой Ох, тогда направление вектора скорости аналогично. Определение скорости движения тела υ=υx определяют из выражения υ=∆x∆t; ∆t→0.

Отношение ∆x∆t при ∆t→0 математика трактует как вычисление производной функции x(t) за определенное время t. Обозначение принимает вид dx (t)dt, x'(t) или x˙.

Гармонический закон движения записывается в качестве x=xmcos (ωt+φ0). После вычисления производной формула приобретает вид:

υ=x˙(t)=-ωxmsin (ωt+φ0)=ωxmcos ωt+φ0+π2.

Слагаемое +π2 считают изменением начальной фазы. Достижение максимального значения скорости по модулю υ=ωxmпроизводится при прохождении тела через положение равновесия, то есть x=0. Аналогично определяют ускорение a=ax. Тогда a=∆υ∆t, ∆t→0. Отсюда следует, что a равняется производной функции υ(t) за время t или второй производной функции x(t). Подставив выражения, получим

a=υ˙(t)=x¨(t)=-ω2xmcos (ωt+φ0)=-ω2x(t).

Наличие отрицательного знака указывает на то, что ускорение a(t) имеет противоположный смещению x(t) знак. Исходя из второго закона Ньютона, сила, которая заставляет совершать колебательные движения, направляется в сторону положения равновесия x=0.

На рисунке 2.1.4 изображены графики, где имеются зависимости скорости, ускорения, совершающие гармонические колебания.

Рисунок 2.1.4. Графики координаты x (t), скорости υ (t) и ускорения a (t) тела, совершающего гармонические колебания.

Рисунок 2.1.5. Модель гармонических колебаний.

Источник

§
6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ Основные
формулы

• Уравнение
гармонических колебаний

где х
— смещение
колеблющейся точки от положения
равновесия;
t
— время; А,
ω,
φ—
соответственно амплитуда, угловая
частота,
начальная фаза колебаний;
—
фаза колебаний в момент t.

• Угловая частота
колебаний

, или
,

где ν
и
Т — частота и период колебаний.

• Скорость точки,
совершающей гармонические колебания,

• Ускорение при
гармоническом колебании

• Амплитуда
А
результирующего
колебания, полученного при сложении
двух колебаний с одинаковыми частотами,
происходящих по одной прямой, определяется
по формуле

где
a₁
и
А₂—
амплитуды
составляющих колебаний; φ₁
и
φ₂—
их
начальные фазы.

•
Начальная фаза φ
результирующего колебания может быть
найдена
из формулы

•
Частота биений,
возникающих при сложении двух колебаний,
происходящих
по одной прямой с различными, но близкими
по значению
частотами ν₁
и
ν₂,

•
Уравнение траектории
точки, участвующей в двух взаимно
перпендикулярных
колебаниях с амплитудами A₁
и A₂
и начальными
фазами φ₁
и φ₂,

Если
начальные фазы φ₁
и
φ₂
составляющих колебаний одинаковы,
то уравнение траектории принимает вид

т. е. точка движется
по прямой.

В том
случае, если разность фаз
,
уравнение
принимает вид

т. е. точка движется
по эллипсу.

• Дифференциальное
уравнение гармонических колебаний
материальной точки

, или
,
где
m
—
масса точки; k
—
коэффициент
квазиупругой силы (k=тω²).

•
Полная энергия
материальной точки, совершающей
гармонические
колебания,

• Период
колебаний тела, подвешенного на пружине
(пружинный
маятник),

где
m
—
масса тела; k
—
жесткость
пружины.
Формула справедлива для упругих
колебаний в пределах, в которых
выполняется закон Гука (при малой массе
пружины в сравнении
с массой тела).

Период колебаний
математического маятника

где
l
— длина маятника; g
—
ускорение
свободного падения. Период
колебаний физического маятника

где J
— момент инерции колеблющегося тела
относительно оси

колебаний;
а
— расстояние центра масс маятника от
оси колебаний;

— приведенная
длина физического маятника.

Приведенные
формулы являются точными для случая
бесконечно малых амплитуд. При
конечных амплитудах эти формулы дают
лишь приближенные результаты. При
амплитудах не более
ошибка в значении периода не превышает
1 %.

Период
крутильных колебаний тела, подвешенного
на упругой нити,

где J
—
момент
инерции тела относительно оси, совпадающей
с упругой нитью; k
—
жесткость
упругой нити, равная отношению упругого
момента, возникающего при закручивании
нити, к углу, на который нить закручивается.

• Дифференциальное
уравнение затухающих колебаний

, или
,

где r
— коэффициент сопротивления; δ
— коэффициент
затухания:

; ω₀—
собственная угловая частота колебаний
*

• Уравнение
затухающих колебаний

где A
(t) —
амплитуда
затухающих колебаний в момент t;
ω
— их угловая частота.

• Угловая частота
затухающих колебаний

О Зависимость
амплитуды затухающих колебаний от
времени

где
А₀
— амплитуда
колебаний в момент t=0.

• Логарифмический
декремент колебаний

где
A
(t) и
A
(t+T) —
амплитуды
двух последовательных колебаний,
отстоящих по времени друг от друга на
период.

• Дифференциальное
уравнение вынужденных колебаний

, или

где

—
внешняя периодическая сила, действующая
на
колеблющуюся
материальную точку и вызывающая
вынужденные
колебания;
F₀
—
ее
амплитудное значение;

•
Амплитуда вынужденных
колебаний

•
Резонансная частота
и резонансная амплитуда

и

Примеры решения
задач

Пример
1. Точка
совершает колебания по закону
x(t)= ,
где
А=2
см.
Определить начальную фазу φ,
если

x(0)= см
и х^,(0)<0.
Построить векторную диаграмму для
мо-
мента t=0.

Решение.
Воспользуемся уравнением движения и
выразим смещение в момент t=0
через начальную фазу:

Отсюда
найдем начальную фазу:

*
В приведенных ранее формулах
гармонических колебаний та же
величина
обозначалась просто ω
(без индекса 0).

Подставим
в это выражение заданные значения x(0)
и А:
φ=
= .
Значению аргумента

удовлетворяют
два
значения угла:

Для
того чтобы решить, какое из этих значений
угла φ
удовлет-
воряет
еще и условию
,
найдем сначала
:

Подставив
в это выражение значение t=0
и поочередно значения
начальных
фаз
и
,
найдем

Так
как всегда A>0
и ω>0,
то условию удовлетворяет
толь
ко
первое значение начальной фазы.
Таким
образом, искомая начальная
фаза

По
найденному значению φ
постро-
им
векторную диаграмму (рис. 6.1).
Пример
2. Материальная
точка
массой т=5
г совершает гармоничес-
кие колебания
с частотой ν
=0,5 Гц.
Амплитуда
колебаний A=3
см. Оп-
ределить: 1) скорость υ
точки
в мо-
мент времени, когда смещение
х=
=
1,5 см; 2) максимальную силу
F_max,
действующую
на точку; 3)
Рис.
6.1 полную
энергию Е
колеблющейся
точ
ки.

Решение.
1. Уравнение гармонического колебания
имеет вид

(1)

а
формулу скорости получим, взяв первую
производную по времени от смещения:

(2)

Чтобы
выразить скорость через смещение, надо
исключить из формул (1) и (2) время. Для
этого возведем оба уравнения в квадрат,
разделим первое на А²,
второе
на A²
ω²
и сложим:

, или

Решив
последнее уравнение относительно υ,
найдем

Выполнив вычисления
по этой формуле, получим

см/с.

Знак
плюс соответствует случаю, когда
направление скорости совпадает
с положительным направлением оси х,
знак
минус — когда
направление скорости совпадает с
отрицательным направлением оси
х.

Смещение при
гармоническом колебании кроме уравнения
(1) может быть определено также уравнением

Повторив
с этим уравнением такое же решение,
получим тот же ответ.

2.
Силу действующую на точку, найдем по
второму закону Ньютона:

(3)

где а
— ускорение
точки, которое получим, взяв производную
по времени
от скорости:

, или

Подставив выражение
ускорения в формулу (3), получим

Отсюда максимальное
значение силы

Подставив
в это уравнение значения величин π,
ν,
т
и
A,
найдем

3.
Полная энергия колеблющейся точки есть
сумма кинетической и
потенциальной энергий, вычисленных для
любого момента времени.

Проще
всего вычислить полную энергию в момент,
когда кинетическая
энергия достигает максимального
значения. В этот момент потенциальная
энергия равна нулю. Поэтому полная
энергия E
колеблющейся точки равна максимальной
кинетической энергии

T_max:

(4)

Максимальную
скорость определим из формулы (2),
положив

:
.
Подставив выражение скорости в фор-
мулу
(4), найдем

Подставив
значения величин в эту формулу и произведя
вычисления, получим

или

мкДж.

Пример
3.
На концах тонкого стержня длиной l
=
1 м и массой m₃=400
г
укреплены шарики малых размеров массами
m₁=200
г
и
m₂=300г.
Стержень
колеблется около горизонтальной оси,
перпен-

дикулярной
стержню и проходящей через его середину
(точка О на рис. 6.2). Определить период Т
колебаний,
совершаемых стержнем.

Решение.
Период колебаний физического маятника,
каким является стержень с шариками,
определяется соотношением

(1)

где
J
—
момент
инерции маятника относительно оси
колебаний; т
— его
масса; l_С
— расстояние
от центра масс маятника
до оси.

Момент
инерции данного маятника равен сумме
моментов
инерции шариков J₁
и
J₂
и
стержня J₃:

(2)

Принимая
шарики за материальные точки, выразим
моменты их инерции:

Так
как ось проходит через середину стержня,
то
его
момент инерции относительно этой оси
J₃=
= .
Подставив
полученные выражения
J₁
,
J₂
и

J₃
в формулу (2), найдем общий момент инерции
фи-
зического маятника:

Произведя
вычисления по этой формуле, найдем

Рис.
6.2 Масса маятника состоит из масс шариков
и массы
стержня:

Расстояние
l_С
центра
масс маятника от оси колебаний найдем,
исходя
из следующих соображений. Если ось х
направить
вдоль стержня
и начало координат совместить с точкой
О,
то
искомое расстояние
l
равно координате центра масс маятника,
т. е.

, или

Подставив
значения величин m₁,
m₂,
m,
l
и произведя вычисления,
найдем

см.

Произведя
расчеты по формуле (1), получим период
колебаний физического
маятника:

Пример
4. Физический
маятник представляет собой стержень
длиной
l=
1 м и массой 3т₁
с прикрепленным
к одному из его концов
обручем
диаметром
и
массой т₁.
Горизонтальная
ось Oz

маятника
проходит через середину стержня
перпендикулярно ему (рис. 6.3). Определить
период Т
колебаний
такого маятника.

Решение.
Период
колебаний физического маятника
определяется
по формуле

(1)

где
J
—
момент
инерции маятника относительно оси
колебаний; т
— его
масса; l_C
— расстояние
от центра масс
маятника до оси колебаний.

Момент
инерции маятника равен сумме моментов
инерции стержня J₁
и
обруча J₂:

(2).

Момент
инерции стержня относительно
оси,
перпендикулярной
стержню и проходящей
через
его центр масс, определяется по форму-
ле
.
В данном случае т=3т₁
и

Момент
инерции обруча найдем, восполь-
зовавшись
теоремой Штейнера
,
где
J
—
момент
инерции относительно про-
извольной
оси;
J₀
—
момент
инерции отно-
сительно
оси, проходящей через центр масс
параллельно
заданной оси; а
— расстояние
между
указанными осями. Применив эту фор-
мулу
к обручу, получим

Рис. 6.3

Подставив
выражения J₁
и
J₂
в формулу
(2), найдем момент инерции маятника
относительно оси вращения:

Расстояние
l_С
от
оси маятника до его центра масс равно

Подставив
в формулу (1) выражения J,
l_с
и массы маятника

, найдем период его колебаний:

После
вычисления по этой формуле получим
T=2,17
с.

Пример
5. Складываются
два колебания одинакового направле-
ния,
выражаемых уравнениями
;
х₂=
=,
где А₁=1
см,
A₂=2
см,

с,

с, ω
=
=.
1. Определить начальные фазы φ₁
и φ₂
составляющих коле-

баний.
2. Найти амплитуду А
и
начальную фазу φ
результирующего колебания.
Написать уравнение результирующего
колебания.

Решение.
1. Уравнение гармонического колебания
имеет вид

(1)

Преобразуем
уравнения, заданные в условии задачи,
к такому же
виду:

(2)

Из
сравнения выражений (2) с равенством (1)
находим начальные фазы
первого и второго колебаний:

рад и

рад.

2.
Для определения амплитуды А
результирующего
колебания удобно воспользоваться
векторной диаграммой,
представленной на рис.
6.4.
Согласно теореме косинусов, получим

(3)

где

— разность фаз составляющих колебаний.
Так
как
,
то, подставляя найденные
значения
φ₂
и φ₁
получим

рад.

Рис. 6.4

Подставим
значения А₁,
А₂
и

в формулу (3)
и
произведем вычисления:

A=2,65
см.

Тангенс
начальной фазы φ
результирующего колебания опреде-
лим
непосредственно из рис. 6.4:

, отку-
да
начальная фаза

Подставим
значения А₁,
А₂,
φ₁,
φ₂
и произведем вычисления:

= рад.

Так
как угловые частоты складываемых
колебаний одинаковы,
то
результирующее колебание будет иметь
ту же частоту ω.
Это
позволяет
написать уравнение результирующего
колебания в виде

, где A=2,65
см,
,

рад.

Пример
6. Материальная
точка участвует одновременно в двух
взаимно перпендикулярных гармонических
колебаниях, уравнения
которых

(1).

(2)

где
a₁=1
см,
A₂=2
см,
.
Найти уравнение траектории точ-
ки.
Построить траекторию с соблюдением
масштаба и указать
направление
движения точки.

Решение.
Чтобы
найти уравнение траектории точки,
исключим
время t
из
заданных уравнений (1) и (2). Для этого
восполь-

зуемся
формулой
.
В данном случае

, поэтому

Так
как согласно формуле (1)
,
то уравнение траекто-
рии

(3)

Полученное
выражение представляет собой уравнение
параболы, ось которой совпадает с осью
Ох.
Из
уравнений (1) и (2) следует, что смещение
точки по осям координат ограничено и
заключено в пределах от —1 до +1 см по
оси Ох
и
от —2 до +2 см по оси Оу.

Для
построения траектории найдем по уравнению
(3) значения у,
соответствующие
ряду значений х,
удовлетворяющих
условию

см, и составим таблицу:

X , СМ	-1	—0,75	—0,5	0	+0,5	+ 1
у, см	0	±0,707	±1	±1,41	±1,73	±2

Начертив
координатные оси и выбрав масштаб,
нанесем на плоскость
хОу
найденные
точки. Соединив их плавной кривой,
получим траекторию точки, совершающей
колебания
в соответствии с уравнениями движения
(1) и (2) (рис. 6.5).

Рис. 6.5

Для
того чтобы указать направление движения
точки, проследим за тем, как изменяется
ее положение с течением времени. В
начальный момент t=0
координаты точки
равны x(0)=1
см и y(0)=2
см. В последующий
момент времени, например при t₁=l
с,
координаты точек изменятся и станут
равными х
(1)=
—1
см, y(t)=0.
Зная
положения
точек в начальный и последующий
(близкий) моменты времени, можно указать
направление движения точки по траектории.
На рис. 6.5 это направление движения
указано стрелкой (от точки А
к
началу
координат). После того как в момент
t₂
= 2 с колеблющаяся точка достигнет
точки D,
она
будет двигаться в обратном направлении.

Задачи

Кинематика
гармонических колебаний

6.1.
Уравнение колебаний точки имеет вид
,
где
ω=π
с^-1,
τ=0,2
с. Определить период Т
и
начальную фазу φ
колебаний.

6.2.
Определить
период Т,
частоту
v
и
начальную фазу φ
колебаний,
заданных уравнением
,
где ω=2,5π
с^-1,
τ=0,4
с.

6.3.
Точка
совершает колебания по закону
,
где
A=4
см. Определить начальную фазу φ,
если: 1) х(0)=2
см
и

;
2)
х(0)
=см
и
;
3) х(0)=2см
и
;
4)
х(0)=
и
.
Построить векторную диаграмму
для
момента
t=0.

6.4.
Точка
совершает колебания .по закону
,
где
A=4
см. Определить начальную фазу φ,
если: 1) х(0)=2
см
и

; 2) x(0)=
см и
;
3) х(0)=
см и
;
4)
x(0)=см
и
.
Построить векторную диаграмму для
момента
t=0.

Источник

Содержание:

Гармонические колебания:

Некоторые движения, встречающиеся в быту, за равные промежутки времени повторяются. Такое движение называется периодическим движением. Часто встречается движение, при котором тело перемещается то в одну, то в другую сторону относительно равновесного состояния. Такое движение тела называется колебательным движением или просто колебанием.

Колебания, совершаемые телом, которое выведено из равновесного состояния в результате действия внутренних сил, называются собственными (свободными) колебаниями. Величина удаления от равновесного состояния колеблющегося тела называется его смещением (

Для наблюдения механических колебаний ознакомимся с колебаниями груза, закрепленного на конце пружины (рис. 5.1). На этом рисунке груз, закрепленный на пружине, сможет двигаться без трения с горизонтальным стержнем, так как силу тяжести шарика приводит в равновесие реакционная сила стержня.
Коэффициент упругости пружины – , а ее масса ничтожна мала и можно ее не учитывать. Считаем, что масса системы сосредоточена в грузе, а упругость в пружине.

Если груз, который находится в равновесии, потянем вправо на расстояние и отпустим, то под действием силы упругость, которая появляется в пружине, груз смещается в
сторону равновесного состояния.

С течением времени смещение груза уменьшается относительно , но скорость груза при этом увеличивается. Когда груз доходит до равновесного состояния, его смещение () равняется нулю и соответственно сила упругости равняется нулю. Но груз по инерции начинает двигаться в левую сторону. Модуль силы упругости, которая появляется в пружине, тоже растет. Однако из-за того, что сила упругости постоянно направлена против смещения груза, она начинает тормозить груз. В результате движение груза замедляется, и, в результате, прекращается. Теперь груз под воздействием эластической силы сжатой пружины начинает двигаться в сторону равновесного состояния.
Для определения закономерности изменения в течение времени системы, которая периодически совершает колебания, заполним воронку песком, подвесим на веревке, подложим бумагу под систему и раскачаем воронку. В ходе колебания начинаем равномерно вытягивать бумагу из-под системы. В результате мы увидим, что следы песка на бумаге образуют синусоиду. Из этого можно сделать следующий вывод: смещение периодически колеблющегося тела по истечении времени изменяется по закону синусов и косинусов. При этом самое большое значение смещения равняется амплитуде ():

здесь: – циклическая частота, зависящая от параметров колеблющихся систем, – начальная фаза, () фаза колебания с течением времени .
Из математики известно, что поэтому формулу (5.2.) можно записать в виде

Колебания, в которых с течением времени параметры меняются по закону синуса или косинуса, называются гармоническими колебаниями.

Значит, пружинный маятник, вышедший из равновесного состояния, совершает гармоническое колебание. Для того чтобы система совершала гармоническое колебание: 1) при выходе тела из равновесного состояния, для возвращения его в равновесное состояние должна появиться внутренняя сила; 2) колеблющееся тело должно обладать инертностью и на него не должны оказывать воздействие силы трения и сопротивления. Эти условия называется условиями проявления колебательных движений.

Основные параметры гармонических колебаний

a) период колебания – время одного полного колебания:

)

б) частота колебания – количество колебаний, совершаемых за 1 секунду:

Единица
c) циклическая частота – количество колебаний за секунд:

С учетом формул (5.5) и (5.6) уравнение гармонических колебаний (5.2) можно записать в следующей форме.

Большинство величин, количественно описывающих гармонические колебания, смещения которых с течением времени меняются по закону синусов или косинусов (скорость, ускорение, кинетическая и потенциальная энергия), тоже гармонически меняются.
Это подтверждается следующими графиками и уравнениями:

Пример решения задачи:

Точка совершает гармоническое колебательное движение. Максимальное смещение и скорость соответственно равны 0,05 м и 0,12 м/с. Найдите максимальное ускорение и скорость колебательного движения, а также ускорение точки в момент, когда смещение равно 0,03 м.

Дано:

Найти:

Формула и решение:

Гармонические колебания пружинного маятника

В 1985 году в городе Мехико произошла ужасная катастрофа, причина которой было землетрясение: 5526 человек погибли, 40 ООО человек ранены, 31000 человек остались без крова. Из проведенных затем исследований ученые выяснили, что главной причиной разрушений во время землетрясения является совпадение частоты свободных колебаний зданий с частотой вынужденных колебаний Земли. Поэтому при возведении новых зданий в сейсмически активной зоне необходимо, чтобы эти частоты не совпадали. Это даст возможность уменьшить последствия землетрясения. С этой целью важно знать, от чего зависят частота и период колебаний.

Одной из простейших колебательных систем, совершающих гармонические колебания, является пружинный маятник.

Пружинный маятник — это колебательная система, состоящая из пружины и закрепленного на ней тела. Колебания, возникающие в пружинном маятнике, являются гармоническими колебаниями:

Под гармоническими колебаниями подразумеваются колебания, возникающие под действием силы, прямо пропорциональной перемещению и направленной против направления перемещения.

Исследование колебаний пружинного маятника имеет большое практическое значение, например, при вычислении колебаний рессор автомобиля при езде; в исследовании воздействия колебаний на фундамент зданий и тяжелых станков, в определении эластичности ушных перепонок при диагностике лор-заболеваний. По этой причине изучение колебаний пружинного маятника является актуальной проблемой.

С целью уменьшения количества сил, действующих на колебательную систему, целесообразно использовать горизонтально расположенную колебательную систему пружина-шарик (d).

В этой системе действия силы тяжести и реакции опоры уравновешивают друг друга. При выведении шарика из состоянии равновесия, например, при растяжении пружины до положения сила упругости, возникающая в ней, сообщает шарику ускорение и приводит его в колебательное движение. По II закону Ньютона уравнение движения маятника можно записать так:

или

Формула (4.9) является уравнением свободных гармонических колебаний пружинного маятника.

Где — масса шарика, закрепленного на пружине, — проекция ускорения шарика вдоль оси — жесткость пружины, -удлинение пружины, равное амплитуде колебания. Для данной колебательной системы отношение — постоянная положительная величина (так как масса и жесткость не могут быть отрицательными). При сравнении уравнения колебаний (4.9) пружинного маятника с выражением для другого вида периодического движения — известным выражением центростремительного ускорения при равномерном движении по окружности получается, что отношение соответствует квадрату циклической частоты

или

Таким образом, уравнение движения пружинного маятника можно записать и так:

Уравнение (4.12) показывает, что колебания пружинного маятника с циклической частотой являются свободными гармоническими колебаниями. Из математики известно, что решением этого уравнения является:

Так как тригонометрическая функция является гармонической функцией, то и колебания пружинного маятника являются гармоническими колебаниями.

Здесь фаза колебания, — начальная фаза. Единица измерения фазы в СИ — радиан (1 рад). Фазу также можно измерять в градусах: Значение начальной фазы зависит от выбора начального момента времени. Начальный момент времени можно выбрить так, чтобы В этом случае формулу гармонических колебаний пружинного маятника можно записать так:

или

Из сравнения выражений (4.11) и (4.5) определяются величины, от которых зависят период и частота колебаний пружинного маятника:

Из выражений (4.14) и (4.15) видно, что период и частота пружинного маятника зависят от жесткости пружины и массы груза, подвешенного к нему.

Гармонические колебания математического маятника

До наших дней дошла такая историческая информация: однажды в 1583 году итальянский ученый Г. Галилей, находясь в храме города Пиза, обратил внимание на колебательное движение люстры, подвешенной на длинном тросе. Он, сравнивая колебания люстры со своим пульсом, определил, что, несмотря на уменьшение амплитуды колебания, время, затрачиваемое на одно полное колебание (период колебания) люстры, не изменяется. Затем Галилей в результате многочисленных проведенных исследований, изменяя длину нитевого маятника, массу подвешенного к нему груза, высоту расположения маятника (по сравнению с уровнем моря), определил, от чего зависят период и частота колебаний маятника.

Гармонические колебания возникают также под действием силы тяжести. Это можно наблюдать с помощью математического маятника.

Математический маятник — это идеализированная колебательная система, состоящая из материальной точки, подвешенной на невесомой и нерастяжимой нити.

Для исследования колебаний математического маятника можно использовать систему, состоящую из тонкой длинной нити и шарика (b).

Сила тяжести действующая на шарик в положении равновесия маятника, уравновешивается силой натяжения нити Однако, если вывести маятник из состояния равновесия, сместив его на малый угол в сторону, то возникают две составляющие вектора силы тяжести -направленная вдоль нити и перпендикулярная нити Сила натяжения и составляющая силы тяжести уравновешивают друг друга. Поэтому равнодействующая сила будет равна составляющей «пытающейся» вернуть тело в положение равновесия (см.: рис. b). Учитывая вышеуказанное и ссылаясь на II закон Ньютона, можно написать уравнение колебательного движения тела массой в проекциях на ось ОХ:

Приняв во внимание, что:

Для уравнения движения математического маятника получим:

Где — длина математического маятника (нити), — ускорение свободного падения, — амплитуда колебания.

Для данной колебательной системы отношение — постоянная положительная величина, потому что ускорение свободного падения и длина нити не могут быть отрицательными. Если сравнить уравнения (4.16) и (4.10), с легкостью можно увидеть, что отношение также соответствует квадрату циклической частоты

или

Таким образом, уравнение движения математического маятника можно записать и так:

Уравнение (4.19) показывает, что колебания математического маятника являются гармоническими колебаниями с циклической частотой со. Из математики вы знаете, что решением этого уравнения является нижеприведенная функция:

Так как эта функция является гармонической, то и колебания математического маятника являются гармоническими колебаниями.

Отсюда определяются величины, от которых зависят период и частота колебаний математического маятника:

Таким образом, период и частота колебаний математического маятника зависят от длины маятника и напряженности гравитационного поля в данной точке.

Скорость и ускорение при гармонических колебаниях

Вы уже знакомы с основными тригонометрическими функциями и умеете строить графики тригонометрических уравнений, описывающих гармонические колебания.

При гармонических колебаниях маятника его смещение изменяется по гармоническому закону, поэтому не трудно доказать, что его скорость и ускорение также изменяются по гармоническому закону. Предположим, что смещение изменяется по закону косинуса и начальная фаза равна нулю

Так как скорость является первой производной смещения (координат) по времени, то:

или

Как видно из выражения (4.23), скорость, изменяющаяся по гармоническому закону, опережает колебания смещения по фазе на (а).

Максимальное (амплитудное) значение скорости зависит от амплитуды, частоты и периода колебаний:

Так как ускорение является первой производной скорости по времени, то получим:

или

Как видим, колебания ускорения, изменяющегося по гармоническому закону, опережают колебания скорости по фазе на а колебания смещения на

(см.: рис. а). Максимальное (амплитудное) значение ускорения зависит от амплитуды, частоты и периода колебаний:

Превращения энергии при гармонических колебаниях

Теоретический материал

Потенциальная и кинетическая энергия свободных гармонических колебаний в замкнутой системе периодически превращаются друг в друга.

В таблице 4.4 дано сравнение превращений энергий в пружинном и математическом маятниках. Как видно из таблицы, потенциальная энергия колебательной системы в точке возвращения имеет максимальное значение:

Если же маятник находится в точке равновесия, потенциальная энергия минимальна:

Кинетическая энергия системы, наоборот, в точке возвращения минимальна а в точке равновесия максимальна:

На рисунке (а) даны графики зависимости потенциальной и кинетической энергии при гармоническом колебательном движении от смещения.

Полная механическая энергия замкнутой колебательной системы в произвольный момент времени остается постоянной (трение не учитывается):

a) для пружинного маятника:

b) для математического маятника:

Если принять во внимание изменение смещения и скорости по гармоническому закону в формулах потенциальной и кинетической энергии колебательного движения, то станет очевидно, что при гармонических колебаниях эти энергии так же изменяются по гармоническому закону (b):

Как было отмечено выше, полная энергия системы не изменяется по гармоническому закону:

• Полная энергия гармонических колебаний прямо пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.

Если же в системе существует сила трения, то его полная энергия не сохраняется — изменение полной механической энергии равно работе силы трения. В результате колебания затухают:

Превращения энергии при гармонических колебаниях

Механическая энергия системы равна сумме ее кинетической и потенциальной энергий. Кинетической энергией тело обладает вследствие своего движения, а потенциальная энергия определяется взаимодействием тела с другими телами или полями. Механическая энергия замкнутой системы, в которой не действуют силы трения (сопротивления), сохраняется.

Поскольку при колебаниях гармонического осциллятора силу трения не учитывают, то его механическая энергия сохраняется.

Рассмотрим превращения энергии при колебаниях математического маятника. Выберем систему отсчета таким образом, чтобы в положении равновесия его потенциальная энергия была равна нулю.

При отклонении маятника на угол а (рис. 7), соответствующий максимальному смещению от положения равновесия, потенциальная энергия максимальна, а кинетическая энергия равна нулю:

Рис. 7. Превращения энергии при колебаниях математического маятника

Поскольку при прохождении положения равновесия его потенциальная энергия равна нулю, то кинетическая энергия (а следовательно, и скорость) будет максимальна:

Из закона сохранения механической энергии следует (рис. 8), что

(1)

Отсюда найдем модуль максимальной скорости маятника:

(2)

Высоту можно выразить через длину маятника l и амплитуду колебаний А.

Если колебания малые, то Из треугольника KCD на рисунке 8 находим

Отсюда

Подставив выражение для в формулу I (2), получим

Подставляя выражения для и в соотношение (1), находим

Таким образом, в положении равновесия потенциальная энергия полностью переходит в кинетическую, а в положениях максимального отклонения кинетическая энергия полностью переходит в потенциальную.

В любом промежуточном положении

Покажем, что аналогичные превращения энергии имеют место и для пружинного маятника (рис. 9). В крайних точках, когда координата груза принимает значение , модуль его скорости равен нулю (v = 0) и кинетическая энергия груза полностью переходит в потенциальную энергию деформированной пружины:

Таким образом, получаем, что механическая энергия гармонического осциллятора пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.

В положении равновесия, когда x = 0, вся энергия осциллятора переходит в кинетическую энергию груза:

где — модуль максимальной скорости груза при колебаниях.

В промежуточных точках полная механическая энергия

Отсюда можно вывести выражение для модуля скорости груза в точке с

координатой х:

Так как

Энергия при гармонических колебаниях

Механическая энергия системы равна сумме ее кинетической и потенциальной энергии. Механическая энергия замкнутой системы, в которой не действуют силы трения (сопротивления), сохраняется.

Поскольку при колебаниях гармонического осциллятора силой трения пренебрегают, то его механическая энергия сохраняется. Рассмотрим превращения энергии при колебаниях математического маятника. Выберем систему отсчета таким образом, чтобы в положении равновесия его потенциальная энергия была равна нулю.

При отклонении маятника на угол (рис. 10), соответствующий максимальному смещению от положения равновесия, потенциальная энергия максимальна, а кинетическая энергия равна нулю:

Поскольку при прохождении положения равновесия потенциальная энергия равна нулю то из закона сохранения механической энергии следует (см. рис. 10), что т. е. кинетическая энергия маятника (а следовательно, и скорость) рис. ю. Определение^иhmax будет максимальна:

Запишем закон сохранения механической энергии, подставив в него выражения для потенциальной и кинетической энергии:

Отсюда найдем модуль максимальной скорости маятника:

Высоту можно выразить через длину маятника и амплитуду колебаний. Если колебания малые, то Из (см. рис. 10) находим:

или

Подставив выражение (3) для в формулу (2), получим:

Подставляя выражения (3) для и (4) для в соотношение (1), находим:

Покажем, что аналогичные превращения энергии имеют место и для пружинного маятника (рис. 12).

В крайних положениях, когда модуль скорости маятника и кинетическая энергия груза полностью переходит в потенциальную энергию деформированной пружины:

Таким образом, из соотношения (6) следует, что механическая энергия пружинного маятника пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.

В положении равновесия, когда вся энергия пружинного маятника переходит в кинетическую энергию груза:

где — модуль максимальной скорости груза при колебаниях.

В положениях между крайними точками полная энергия

С учетом выражений для координаты и проекции скорости груза а также для находим его потенциальную энергию и кинетическую энергию в произвольный момент времени

Тогда полная механическая энергия пружинного маятника в этот же. момент времени есть величина постоянная и равная:

Таким образом, начальное смещение определяет начальную потенциальную, а начальная скорость определяет начальную кинетическую энергию колеблющегося тела. При отсутствии в системе потерь энергии процесс колебаний сопровождается только переходом энергии из потенциальной в кинетическую и обратно.

Заметим, что частота периодических изменений кинетической (потенциальной) энергии колеблющегося тела в два раза больше частоты колебаний маятника. Действительно, дважды за период механическая энергия тела будет полностью превращаться в потенциальную (в двух крайних положениях маятника) и дважды за период — в кинетическую (при его прохождении через положение равновесия) (рис. 13).

Пример №1

Математический маятник при колебаниях от одного крайнего положения до другого смещается на расстояние см и при прохождении положения равновесия достигает скорости, модуль которой Определите период колебании маятника.
Дано:

Решение

По закону сохранения механической энергии

Отсюда:

Ответ:

Пример №2

Груз массой г находится на гладкой горизонтальной поверхности и закреплен на легкой пружине жесткостью Его смешают на расстояние см от положения равновесия и сообщают в направлении от положения равновесия скорость, модуль которой Определите потенциальную и кинетическую энергию груза в начальный момент времени. Запишите кинематический закон движения груза.

Дано:

Решение Потенциальная энергия груза:

Кинетическая энергия груза:

Начальное смещение груза не является амплитудой, так как вместе с начальным отклонением грузу сообщили и скорость. Однако полная энергия может быть выражена через амплитуду колебаний:

Отсюда

Циклическая частота:

В начальный момент времени координата груза Отсюда начальная фаза:

Тогда закон гармонических колебаний имеет вид (рис. 14):