Элементы конуса
Определение. Вершина конуса — это точка (K), из которой исходят лучи.
Определение. Основание конуса — это плоскость, образованная в результате пересечения плоской поверхности и всех лучей, исходящих из вершины конуса. У конуса могут быть такие основы, как круг, эллипс, гипербола и парабола.
Определение. Образующей конуса (L) называется любой отрезок, который соединяет вершину конуса с границей основания конуса. Образующая есть отрезок луча, выходящего из вершины конуса.
Формула. Длина образующей (L) прямого кругового конуса через радиус R и высоту H (через теорему Пифагора):
L2 = R2 + H2
Определение. Направляющая конуса — это кривая, которая описывает контур основания конуса.
Определение. Боковая поверхность конуса — это совокупность всех образующих конуса. То есть, поверхность, которая образуется движением образующей по направляющей конуса.
Определение. Поверхность конуса состоит из боковой поверхности и основания конуса.
Определение. Высота конуса (H) — это отрезок, который выходит из вершины конуса и перпендикулярный к его основанию.
Определение. Ось конуса (a) — это прямая, проходящая через вершину конуса и центр основания конуса.
Определение. Конусность (С) конуса — это отношение диаметра основания конуса к его высоте. В случае усеченного конуса — это отношение разности диаметров поперечных сечений D и d усеченного конуса к расстоянию между ними:
где C — конусность, D — диаметр основания, d — диаметр меньшего основания и h — расстояние между основаниями.
Конусность характеризует остроту конуса, то есть, угол наклона образующей к основанию конуса. Чем больше конусность, тем острее угол наклона. угол конуса α будет:
где R — радиус основы, а H — высота конуса.
Определение. Осевое сечение конуса — это сечение конуса плоскостью, проходящей через ось конуса. Такое сечение образует равнобедренный треугольник, у которого стороны образованы образующими, а основание треугольника — это диаметр основания конуса.
Определение. Касательная плоскость к конусу — это плоскость, проходящая через образующую конуса и перпендикулярна к осевому сечению конуса.
Определение. Конус, что опирается на круг, эллипс, гиперболу или параболу называется соответственно круговым, эллиптическим, гиперболическим или параболическим конусом (последние два имеют бесконечный объем).
Определение. Прямой конус — это конус у которого ось перпендикулярна основе. У такого конуса ось совпадает с высотой, а все образующие равны между собой.
Формула. Объём кругового конуса:
где R — радиус основы, а H — высота конуса.
Формула. Площадь боковой поверхности (Sb) прямого конуса через радиус R и длину образующей L:
Sb = πRL
Формула. Общая площадь поверхности (Sp) прямого кругового конуса через радиус R и длину образующей L:
Sp = πRL + πR2
Определение. Косой (наклонный) конус — это конус у которого ось не перпендикулярна основе. У такого конуса ось не совпадает с высотой.
Формула. Объём любого конуса:
где S — площадь основы, а H — высота конуса.
Определение. Усеченный конус — это часть конуса, которая находится между основанием конуса и плоскостью сечения, параллельная основе.
Формула. Объём усеченного конуса:
где S1 и S2 — площади меньшей и большей основы соответственно, а H и h — расстояние от вершины конуса до центра нижней и верхней основы соответственно.
Уравнение конуса
1. Уравнение прямого кругового конуса в декартовой системе координат с координатами (x, y, z):
| x2 | + | y2 | — | z2 | = 0 |
| a2 | a2 | c2 |
2. Уравнение прямого эллиптического конуса в декартовой системе координат с координатами (x, y, z):
| x2 | + | y2 | = | z2 |
| a2 | b2 | c2 |
Основные свойства кругового конуса
1. Все образующие прямого кругового конуса равны между собой.
2. При вращении прямоугольного треугольника вокруг своего катета на 360 ° образуется прямой круговой конус.
3. При вращении равнобедренного треугольника вокруг своей оси на 180 ° образуется прямой круговой конус.
4. В месте пересечения конуса плоскостью, параллельной основанию конуса, образуется круг. (см. Срезанный конус)
5. Если при пересечении плоскость не параллельна основе конуса и не пересекается с основанием, то в месте пересечения образуется эллипс (рис. 3).
6. Если плоскость сечения проходит через основание, то в месте пересечения образуется парабола (рис. 4).
7. Если плоскость сечения проходит через вершину, то в месте пересечения образуется равнобедренный треугольник (см. Осевое сечение).
8. Центр тяжести любого конуса находится на одной четвертой высоты от центра основы.
Прочитав данную статью, вы узнаете, как найти высоту конуса. Приведенный в ней материал поможет глубже разобраться в вопросе, а формулы окажутся весьма полезными в решении задач. В тексте разобраны все необходимые базовые понятия и свойства, которые обязательно пригодятся на практике.
Фундаментальная теория
Перед тем, как найти высоту конуса, необходимо разобраться с теорией.
Конус — фигура, которая плавно сужается от плоского основания (часто, хотя и необязательно, кругового) до точки, называемой вершиной.
Конус формируется набором отрезков, лучей или прямых, соединяющих общую точку с основанием. Последнее может ограничиваться не только окружностью, но и эллипсом, параболой или гиперболой.
Ось — это прямая (если таковая имеется), вокруг которой фигура имеет круговую симметрию. Если угол между осью и основой составляет девяносто градусов, то конус принято называть прямым. Именно такая вариация чаще всего встречается в задачах.
Если в основе лежит многоугольник, то объект является пирамидой.
Отрезок, соединяющий вершину и линию, ограничивающую основание, называют образующей.
Как найти высоту конуса
Подойдем к вопросу с другой стороны. Для начала используем объем конуса. Чтобы его найти нужно вычислить произведение высоты с третьей частью площади.
V = 1/3 × S × h.
Очевидно, что из этого можно получить формулу высоты конуса. Достаточно лишь сделать правильные алгебраические преобразования. Разделим обе части равенства на S и умножим на тройку. Получим:
h = 3 × V × 1/S.
Теперь вы знаете, как найти высоту конуса. Однако для решения задач вам могут понадобиться и другие знания.
Важные формулы и свойства
Приведенный ниже материал однозначно поможет вам в решении конкретных задач.
Центр массы тела находится на четвертой части оси, начиная от основы.
В проективной геометрии цилиндр — это просто конус, вершина которого находится на бесконечности.
Следующие свойства работают только для прямого кругового конуса.
- Даны радиус основания r и высота h, тогда формула для площади будет выглядеть так: П × r2. Соответственно изменится и окончательное уравнение. V = 1/3 × П × r2 × h.
- Вычислить площадь боковой поверхности можно перемножив число «пи», радиус и длину образующей. S = П × r × l.
- Пересечение произвольной плоскости с фигурой является одним из конических сечений.
Часто встречаются задачи, где необходимо использовать формулу для объема усеченного конуса. Она выводится из обычной и имеет такой вид:
V = 1/3 × П × h × (R2 + Rr + r2), где: r -радиус нижнего основания, R — верхнего.
Всего этого будет вполне достаточно для решения разнообразнейших примеров. Разве что могут понадобиться знания, не связанные с этой темой, например, свойства углов, теорема Пифагора и другое.
В данной публикации мы рассмотрим определение, основные элементы и виды одной из самых распространенных фигур в пространстве – конуса. Представленная информация сопровождается соответствующими рисунками для лучшего восприятия.
- Определение конуса
- Основные элементы конуса
- Виды конусов
Определение конуса
Далее мы будем рассматривать самый распространенный вид конуса – прямой круговой. Остальные возможные варианты фигуры перечислены в последнем разделе публикации.
Итак, прямой круговой конус – это трехмерная геометрическая фигура, полученная путем вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из своих катетов, который в данном случае будет являться осью фигуры. Ввиду этого иногда такой конус называют конусом вращения.
Конус на рисунке выше получен в результате вращения прямоугольного треугольника ACD (или BCD) вокруг катета CD.
Основные элементы конуса
- R – радиус круга, являющегося основанием конуса. Центр круга – точка D, диаметр – отрезок AB.
- h (CD) – высота конуса, одновременно являющаяся осью фигуры и катетом прямоугольных треугольников ACD или BCD.
- Точка C – вершина конуса.
- l (CA, CB, CL и CM) – образующие конуса; это отрезки, соединяющие вершину конуса с точками на окружности его основания.
- Осевое сечение конуса – это равнобедренный треугольник ABC, который образуется в результате пересечения конуса плоскостью проходящей через его ось.
- Поверхность конуса – состоит из его боковой поверхности и основания. Формулы для расчета площади поверхности, а также объема прямого кругового конуса представлены в отдельных публикациях.
Между образующей конуса, его высотой и радиусом основания есть взаимосвязь (согласно теореме Пифагора):
l2 = h2 + R2
Развёртка конуса – боковая поверхность конуса, развернутая в плоскость; является круговым сектором.
- длина дуги сектора равняется длине окружности основания конуса (т.е. 2πR);
- α – угол развёртки (или центральный угол);
- l – радиус сектора.
Примечание: Основные свойства конуса мы рассмотрели в отдельной публикации.
Виды конусов
- Прямой конус – имеет симметричное основание. Ортогональная проекция вершины данной фигуры на плоскость основания совпадает с центром этого основания.
- Косой (наклонный) конус – ортогональная проекция вершины фигуры на ее основание не совпадает с центром этого основания.
- Усеченный конус (конический слой) – часть конуса, которая остается между его основанием и секущей плоскостью, параллельной данному основанию.
- Круговой конус – основанием фигуры является круг. Также бывают: эллиптический, параболический и гиперболический конусы.
- Равносторонний конус – прямой конус, образующая которого равняется диаметру его основания.
Высота конуса опускается из его вершины ровно в середину основания, являющуюся по совместительству центром окружности, представляющей основание конуса. Для того чтобы найти высоту конуса, необходимо соединить центр окружности с апофемой конуса. Проведенный радиус создаст прямоугольный треугольник внутри конуса, в котором высота и радиус основания будут катетами, а апофема конуса – гипотенузой. Из теоремы Пифагора, высота конуса может быть найдена как квадратный корень из разности квадрата радиуса от квадрата апофемы:
Конус — тело вращения, которое получается в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг его катета.
Треугольник (POA) вращается вокруг стороны (PO).
(PO) — ось конуса и высота конуса.
(P) — вершина конуса.
(PA) — образующая конуса.
Круг с центром (O) — основание конуса.
(AO) — радиус основания конуса.
Осевое сечение конуса — это сечение конуса плоскостью, которая проходит через ось (PO) конуса.
Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник.
(APB) — осевое сечение конуса.
— углы между образующими и основанием конуса.
Для конуса построим развёртку боковой поверхности. Это круговой сектор.
Сектор имеет длину дуги, равную длине окружности в основании конуса
2πR
, угол развёртки боковой поверхности
α
.
В конусе нельзя обозначить угол развёртки.
На развёртке конуса нельзя обозначить высоту и радиус конуса.
Образующая конуса (l) является радиусом сектора.
Таким образом, боковая поверхность конуса является частью полного круга с радиусом (l):
Длина дуги также является частью длины полной окружности с радиусом (l), но в то же время длина дуги — это длина окружности основания конуса с радиусом (R).
Сравним выражения длины дуги и выразим
α
через (R):
2πl⋅α360°=2πR;α=2πR⋅360°2πl=R⋅360°l.
Получаем ещё одну формулу боковой поверхности конуса; не используется угол развёртки боковой поверхности:
.
Если провести сечение конуса плоскостью, перпендикулярной оси конуса, то эта плоскость разбивает конус на две части, одна из которых — конус, а другую часть называют усечённым конусом.
Также усечённый конус можно рассматривать как тело вращения, которое образовалось в результате вращения прямоугольной трапеции вокруг боковой стороны (которая перпендикулярна к основанию трапеции) или в результате вращения равнобедренной трапеции вокруг высоты, проведённой через серединные точки оснований трапеции.
— ось конуса и высота конуса.
Круги с центрами (O) и
O1
— основания усечённого конуса.
(AO) и
A1O1
— радиусы оснований конуса.
Осевое сечение конуса — это сечение конуса плоскостью, которая проходит через ось
OO1
конуса.
Осевое сечение конуса — это равнобедренная трапеция.
— осевое сечение конуса.
Боковая поверхность определяется как разность боковой поверхности данного конуса и отсечённого конуса:
Sбок.=πR⋅PA−πr⋅PA1=πR⋅PA1+AA1−πr⋅PA1==πR⋅PA1+πR⋅AA1−πr⋅PA1==πR⋅l+πR−πr⋅PA1.
Так как
ΔPAO∼ΔPA1O1
, то стороны их пропорциональны:
PAPA1=Rr;l+PA1PA1=Rr;r⋅l+PA1=R⋅PA1;rl=R⋅PA1−r⋅PA1;PA1⋅R−r=rl;PA1=rlR−r.
Таким образом получаем формулу боковой поверхности усечённого конуса, которая содержит радиусы оснований и образующую усечённого конуса:
Sбок.=πRl+π⋅PA1⋅R−r=πRl+π⋅rlR−r⋅R−r;Sбок.=πRl+πrl=πl⋅R+r.