Как пишется высота треугольника - Правописание и грамматика

Все формулы высоты треугольника

Высота— перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется — ортоцентр.

H — высота треугольника

a — сторона, основание

b, c — стороны

β , γ — углы при основании

p — полупериметр, p=(a+b+c)/2

R — радиус описанной окружности

S — площадь треугольника

Формула длины высоты через стороны, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):

Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):

Формулы для нахождения высоты треугольника

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти высоту в различных видах треугольников, а также разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Нахождение высоты треугольника

Напомним, высота треугольника – это отрезок, проведенный перпендикулярно из вершины фигуры к противоположной стороне.

Высота в разностороннем треугольнике

Высоту треугольника abc, проведенного к стороне a, можно найти по формулам ниже:

1. Через площадь и длину стороны

где S – площадь треугольника.

2. Через длины всех сторон

где p – это полупериметр треугольника, который рассчитывается так:

3. Через длину прилежащей стороны и синус угла

4. Через стороны и радиус описанной окружности

где R – радиус описанной окружности.

Высота в равнобедренном треугольнике

Длина высоты h_a, опущенной на основание a равнобедренного треугольника, рассчитывается по формуле:

Высота в прямоугольном треугольнике

Высота, проведенная к гипотенузе, может быть найдена:

1. Через длины отрезков, образованных на гипотенузе

2. Через стороны треугольника

Примечание: две остальные высоты в прямоугольном треугольнике являются его катетами.

Высота в равностороннем треугольнике

Для равностороннего треугольника со стороной a формула расчета высоты выглядит следующим образом:

Примеры задач

Задача 1
Найдите высоту треугольника, проведенную из вершины B к стороне AC, если известно, что AB = 7 см, а угол BAC = 45°.

Решение
В данном случае нам поможет формула для нахождения высоты через сторону и синус прилежащего угла:

Задача 2
Найдите длину основания равнобедренного треугольника, если высота, проведенная к нему, равняется 3 см, а боковые стороны – 5 см.

Решение
Вывести формулу для нахождения длины основания можно из формулы расчета высоты в равнобедренном треугольнике:

Высота треугольника онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти высоту треугольника. Для нахождения высоты треугольника введите известные элементы треугольника и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть смотрите ниже.

Открыть онлайн калькулятор

Высота треугольника. Определение

Определение 1. Отрезок, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.

Высота треугольника может содержаться внутри треугольника (Рис.1), совпадать со стороной треугольника (при прямоугольном треугольнике высота совпадает с катетом (Рис.2) ), проходить вне треугольника (при тупоугольном треугольнике(Рис.3)).

Теорема о пересечении высот треугольника

Теорема 1. Все три высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC (Рис.4). Докажем, что высоты ( small AA_1 ,) ( small BB_1 ,) ( small CC_1 ) пересекаются в одной точке. Из каждой вершины треугольника проведем прямую, параллельно противоположной стороне. Получим треугольник ( small A_2B_2C_2. ) Покажем, что точки ( small A, B, C ) являются серединами сторон треугольника ( small A_2B_2C_2. ) ( small AB=A_2C ) так как они являются противоположными сторонами параллелограмма ( small ABA_2C. ) ( small AB=CB_2 ) так как они являются противоположными сторонами параллелограмма ( small ABCB_2. ) Тогда ( small CB_2=CA_2, ) то есть точка ( small C ) является серединой стороны ( small A_2B_2 ) треугольника ( small A_2B_2C_2. ) Аналогично доказывается, что точки ( small A ) и ( small B ) являются серединами сторон ( small B_2C_2 ) и ( small A_2C_2, ) соответственно.

Далее из ( small AA_1⊥BC ) следует, что ( small AA_1⊥B_2C_2 ) поскольку ( small BC ǁ B_2C_2 ). Аналогично, ( small BB_1⊥A_2C_2, ) ( small CC_1⊥A_2B_2. ) Получили, что ( small AA_1,) ( small BB_1, ) ( small CC_1) являются серединными перпендикулярами сторон ( small B_2C_2, ) ( small A_2C_2, ) ( small A_2B_2, ) соответственно. Но серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке (см. статью Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника). Следовательно высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.

Точка пересечения высот треугольника называется ортоцентром.

Высота треугольника по основанию и площади

Пусть известны сторона треугольника и площадь. Найти высоту треугольника, отпущенная на известную сторону (Рис.5).

Решение. Площадь треугольника по основанию и высоте вычисляется из формулы:

(1)

Пример 1. Сторона треугольника равна ( small a=5 ) а площадь ( small S=7. ) Найти высоту треугольника.

Применим формулу (1). Подставляя значения ( small a ) и ( small S ) в (1), получим:

Ответ:

Высота треугольника по трем сторонам

Формула площади треугольника по трем сторонам имеет следующий вид (см. статью на странице Площадь треугольника онлайн):

(2)

где ( small a, b, c ) стороны треугольника а полупериод ( small p ) вычисляется из формулы:

(3)

Высота треугольника, отпущенная на сторону ( small a) вычисляется из формулы (1). Подставляя (2) в (1), получим формулу вычисления высоты треугольника по трем сторонам:

(4)

Пример 2. Известны стороны треугольника: ( small a=5, ) ( small b= 4, ) ( small c=7. ) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону ( small a. )

Решение: Найдем, сначала полупериод ( small p ) треугольника из формулы (3):

Подставляя значения ( small a , b, c ) и ( small p ) в (4), получим:

Ответ:

Высота треугольника по двум сторонам и радиусу описанной окружности

Рассмотрим треугольник на рисунке 6. Из теоремы синусов имеем:

(5)

(6)

Далее, из теоремы синусов имеем:

(7)

Подставляя (6) в (7), получим:

(8)

Отметим, что радиус описанной окружности должен удовлетворять следующему неравенству:

(small max (b,c) ≤2R Пример 3. Известны стороны треугольника: ( small b=7, ) ( small c= 3 ) и радиус описанной окружности ( small R=4. ) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону ( small a. )

Решение: Проверим сначала условие (9):

(small max (7,3) ≤2 cdot 4 Ответ: ( small 2frac<5><8>. )

Высота треугольника по стороне и прилежащему к ней углу

Найдем высоту ( small h_a ) треугольника на рисунке 7. Из теоремы синусов имеем:

( small frac<large h_a><large sin angle B>=frac<large c><large sin 90°>, )

( small h_a=c cdot sin angle B. )

(11)

Пример 4. Известны сторона ( small c=12 ) треугольника и прилежащий угол ( small angle B=30°. ) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону ( small a. )

Решение: Для нахождения высоты треугольника подставим значения ( small c=12 ) и ( small angle B=30° ) в (11). Имеем:

источники:

http://microexcel.ru/vysota-treugolnika-formuly/

http://matworld.ru/geometry/vysota-treugolnika.php

Источник

Нахождение высоты треугольника
- Высота в разностороннем треугольнике
- Высота в равнобедренном треугольнике
- Высота в прямоугольном треугольнике
- Высота в равностороннем треугольнике
Примеры задач

Нахождение высоты треугольника

Высота в разностороннем треугольнике

Высоту треугольника abc, проведенного к стороне a, можно найти по формулам ниже:

1. Через площадь и длину стороны

где S – площадь треугольника.

2. Через длины всех сторон

где p – это полупериметр треугольника, который рассчитывается так:

3. Через длину прилежащей стороны и синус угла

4. Через стороны и радиус описанной окружности

где R – радиус описанной окружности.

Высота в равнобедренном треугольнике

Длина высоты h_a, опущенной на основание a равнобедренного треугольника, рассчитывается по формуле:

Высота в прямоугольном треугольнике

Высота, проведенная к гипотенузе, может быть найдена:

1. Через длины отрезков, образованных на гипотенузе

2. Через стороны треугольника

Примечание: две остальные высоты в прямоугольном треугольнике являются его катетами.

Высота в равностороннем треугольнике

Для равностороннего треугольника со стороной a формула расчета высоты выглядит следующим образом:

Примеры задач

Решение
В данном случае нам поможет формула для нахождения высоты через сторону и синус прилежащего угла:

Источник

Download Article

To calculate the area of a triangle you need to know its height. To find the height follow these instructions. You must at least have a base to find the height.

1
Recall the formula for the area of a triangle. The formula for the area of a triangle is

A=1/2bh.

^[1]
- A = Area of the triangle
- b = Length of the base of the triangle
- h = Height of the base of the triangle
2

Look at your triangle and determine which variables you know. You already know the area, so assign that value to A. You should also know the value of one side length; assign that value to «‘b'».

Any side of a triangle can be the base,

regardless of how the triangle is drawn. To visualize this, just imagine rotating the triangle until the known side length is at the bottom.

Example
If you know that the area of a triangle is 20, and one side is 4, then:
A = 20 and b = 4.

Advertisement
3

Plug your values into the equation A=1/2bh and do the math. First multiply the base (b) by 1/2, then divide the area (A) by the product. The resulting value will be the height of your triangle!

Example
20 = 1/2(4)h Plug the numbers into the equation.
20 = 2h Multiply 4 by 1/2.
10 = h Divide by 2 to find the value for height.

1
Recall the properties of an equilateral triangle. An equilateral triangle has three equal sides, and three equal angles that are each 60 degrees. If you

cut an equilateral triangle in half, you will end up with two congruent right triangles.

^[2]
- In this example, we will be using an equilateral triangle with side lengths of 8.
2

Recall the Pythagorean Theorem. The Pythagorean Theorem states that for any right triangle with sides of length a and b, and hypotenuse of length c:

a² + b² = c².

We can use this theorem to find the height of our equilateral triangle!^[3]
3
Break the equilateral triangle in half, and assign values to variables a, b, and c. The hypotenuse c will be equal to the original side length. Side a will be equal to 1/2 the side length, and side b is the height of the triangle that we need to solve.
- Using our example equilateral triangle with sides of 8, c = 8 and a = 4.
4

Plug the values into the Pythagorean Theorem and solve for b².^[4] First square c and a by multiplying each number by itself. Then subtract a² from c².

Example
4² + b² = 8² Plug in the values for a and c.
16 + b² = 64 Square a and c.
b² = 48 Subtract a² from c².
5
Find the square root of b² to get the height of your triangle! Use the square root function on your calculator to find Sqrt(². The answer is the height of your equilateral triangle!
- b = Sqrt (48) = 6.93

1
Determine what variables you know. The height of a triangle can be found if you have 2 sides and the angle in between them, or all three sides. We’ll call the sides of the triangle a, b, and c, and the angles, A, B, and C.
- If you have all three sides, you’ll use
  Heron’s formula
  
  , and the formula for the area of a triangle.
- If you have two sides and an angle, you’ll use the formula for the area given two angles and a side.
  A = 1/2ab(sin C).^[5]
2

Use Heron’s formula if you have all three sides. Heron’s formula has two parts. First, you must find the variable

s, which is equal to half of the perimeter of the triangle.

This is done with this formula:

s = (a+b+c)/2.^[6]

Heron’s Formula Example
For a triangle with sides a = 4, b = 3, and c = 5:
s = (4+3+5)/2
s = (12)/2
s = 6
Then use the second part of Heron’s formula, Area = sqr(s(s-a)(s-b)(s-c). Replace Area in the equation with its equivalent in the area formula: 1/2bh (or 1/2ah or 1/2ch).
Solve for h. For our example triangle this looks like:
1/2(3)h = sqr(6(6-4)(6-3)(6-5).
3/2h = sqr(6(2)(3)(1)
3/2h = sqr(36)
Use a calculator to calculate the square root, which in this case makes it 3/2h = 6.
Therefore, height is equal to 4, using side b as the base.
3

Use the area given two sides and an angle formula if you have a side and an angle. Replace area in the formula with its equivalent in the area of a triangle formula: 1/2bh. This gives you a formula that looks like 1/2bh = 1/2ab(sin C). This can be simplified to

h = a(sin C)

, thereby eliminating one of the side variables.^[7] Note that angle C and side a are both positioned across from the height that you need to find (both on the right side from it, or both on the left side).

Finding Height with 1 Side and 1 Angle Example
For example, with a = 3, and C = 40 degrees, the equation looks like this:
h = 3(sin 40)
Use your calculator to finish the equation, which makes h roughly 1.928.

Practice Problems and Answers

Add New Question

Question

How do I find the area of an equilateral triangle when only the height is given?

H = height, S = side, A = area, B = base. You know that each angle is 60 degrees because it is an equilateral triangle. If you look at one of the triangle halves, H/S = sin 60 degrees because S is the longest side (the hypotenuse) and H is across from the 60 degree angle, so now you can find S. The base of the triangle is S because all the sides are the same, so B = S. Using A = (1/2)*BH, you get A = (1/2)*SH, which you can now find.
Question

How do I calculate the height of a right triangle, given only the length of the base and the interior angle at the base?

Look up the tangent of the angle in a trigonometry table. Multiply the tangent by the length of the base.
Question

How do I determine the height of a triangle when I know the length of all three sides?

You already know the base, so calculate the area by Heron’s formula. Then, substitute the values you know in the formula. Area=1/2 * base * height or height=2 * Area/base and find your answer.

See more answers

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

Video

References

About This Article

Article SummaryX

If you know the base and area of the triangle, you can divide the base by 2, then divide that by the area to find the height. To find the height of an equilateral triangle, use the Pythagorean Theorem, a^2 + b^2 = c^2. Cut the triangle in half down the middle, so that c is equal to the original side length, a equals half of the original side length, and b is the height. Plug a and c into the equation, squaring both of them. Then subtract a^2 from c^2 and take the square root of the difference to find the height. If you want to learn how to calculate the area if you only know the angles and sides, keep reading!

Did this summary help you?

Thanks to all authors for creating a page that has been read 2,341,122 times.

Reader Success Stories

«My Geometry teacher is not the best teacher, and I usually have to look up terms and lessons so I can teach myself…» more

Did this article help you?

Источник

Download Article

To calculate the area of a triangle you need to know its height. To find the height follow these instructions. You must at least have a base to find the height.

1
Recall the formula for the area of a triangle. The formula for the area of a triangle is

A=1/2bh.

^[1]
- A = Area of the triangle
- b = Length of the base of the triangle
- h = Height of the base of the triangle
2

Look at your triangle and determine which variables you know. You already know the area, so assign that value to A. You should also know the value of one side length; assign that value to «‘b'».

Any side of a triangle can be the base,

regardless of how the triangle is drawn. To visualize this, just imagine rotating the triangle until the known side length is at the bottom.

Example
If you know that the area of a triangle is 20, and one side is 4, then:
A = 20 and b = 4.

Advertisement
3

Plug your values into the equation A=1/2bh and do the math. First multiply the base (b) by 1/2, then divide the area (A) by the product. The resulting value will be the height of your triangle!

Example
20 = 1/2(4)h Plug the numbers into the equation.
20 = 2h Multiply 4 by 1/2.
10 = h Divide by 2 to find the value for height.

1
Recall the properties of an equilateral triangle. An equilateral triangle has three equal sides, and three equal angles that are each 60 degrees. If you

cut an equilateral triangle in half, you will end up with two congruent right triangles.

^[2]
- In this example, we will be using an equilateral triangle with side lengths of 8.
2

Recall the Pythagorean Theorem. The Pythagorean Theorem states that for any right triangle with sides of length a and b, and hypotenuse of length c:

a² + b² = c².

We can use this theorem to find the height of our equilateral triangle!^[3]
3
Break the equilateral triangle in half, and assign values to variables a, b, and c. The hypotenuse c will be equal to the original side length. Side a will be equal to 1/2 the side length, and side b is the height of the triangle that we need to solve.
- Using our example equilateral triangle with sides of 8, c = 8 and a = 4.
4

Plug the values into the Pythagorean Theorem and solve for b².^[4] First square c and a by multiplying each number by itself. Then subtract a² from c².

Example
4² + b² = 8² Plug in the values for a and c.
16 + b² = 64 Square a and c.
b² = 48 Subtract a² from c².
5
Find the square root of b² to get the height of your triangle! Use the square root function on your calculator to find Sqrt(². The answer is the height of your equilateral triangle!
- b = Sqrt (48) = 6.93

1
Determine what variables you know. The height of a triangle can be found if you have 2 sides and the angle in between them, or all three sides. We’ll call the sides of the triangle a, b, and c, and the angles, A, B, and C.
- If you have all three sides, you’ll use
  Heron’s formula
  
  , and the formula for the area of a triangle.
- If you have two sides and an angle, you’ll use the formula for the area given two angles and a side.
  A = 1/2ab(sin C).^[5]
2

Use Heron’s formula if you have all three sides. Heron’s formula has two parts. First, you must find the variable

s, which is equal to half of the perimeter of the triangle.

This is done with this formula:

s = (a+b+c)/2.^[6]

Heron’s Formula Example
For a triangle with sides a = 4, b = 3, and c = 5:
s = (4+3+5)/2
s = (12)/2
s = 6
Then use the second part of Heron’s formula, Area = sqr(s(s-a)(s-b)(s-c). Replace Area in the equation with its equivalent in the area formula: 1/2bh (or 1/2ah or 1/2ch).
Solve for h. For our example triangle this looks like:
1/2(3)h = sqr(6(6-4)(6-3)(6-5).
3/2h = sqr(6(2)(3)(1)
3/2h = sqr(36)
Use a calculator to calculate the square root, which in this case makes it 3/2h = 6.
Therefore, height is equal to 4, using side b as the base.
3

Use the area given two sides and an angle formula if you have a side and an angle. Replace area in the formula with its equivalent in the area of a triangle formula: 1/2bh. This gives you a formula that looks like 1/2bh = 1/2ab(sin C). This can be simplified to

h = a(sin C)

, thereby eliminating one of the side variables.^[7] Note that angle C and side a are both positioned across from the height that you need to find (both on the right side from it, or both on the left side).

Finding Height with 1 Side and 1 Angle Example
For example, with a = 3, and C = 40 degrees, the equation looks like this:
h = 3(sin 40)
Use your calculator to finish the equation, which makes h roughly 1.928.

Practice Problems and Answers

Add New Question

Question

How do I find the area of an equilateral triangle when only the height is given?

H = height, S = side, A = area, B = base. You know that each angle is 60 degrees because it is an equilateral triangle. If you look at one of the triangle halves, H/S = sin 60 degrees because S is the longest side (the hypotenuse) and H is across from the 60 degree angle, so now you can find S. The base of the triangle is S because all the sides are the same, so B = S. Using A = (1/2)*BH, you get A = (1/2)*SH, which you can now find.
Question

How do I calculate the height of a right triangle, given only the length of the base and the interior angle at the base?

Look up the tangent of the angle in a trigonometry table. Multiply the tangent by the length of the base.
Question

How do I determine the height of a triangle when I know the length of all three sides?

You already know the base, so calculate the area by Heron’s formula. Then, substitute the values you know in the formula. Area=1/2 * base * height or height=2 * Area/base and find your answer.

See more answers

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

Video

References

About This Article

Article SummaryX

Did this summary help you?

Thanks to all authors for creating a page that has been read 2,341,122 times.

Reader Success Stories

«My Geometry teacher is not the best teacher, and I usually have to look up terms and lessons so I can teach myself…» more

Did this article help you?

Источник

Высота в треугольниках различного типа

Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону (точнее, на прямую, содержащую противоположную сторону).
В зависимости от типа треугольника высота может содержаться внутри треугольника (для остроугольного треугольника), совпадать с его стороной (являться катетом прямоугольного треугольника) или проходить вне треугольника у тупоугольного треугольника.

Содержание

1 Свойства точки пересечения трех высот треугольника (ортоцентра)
- 1.1 Свойства высот равнобедренного треугольника
2 Свойства оснований высот треугольника
3 Другие свойства высот треугольника
4 Свойства минимальной из высот треугольника
5 Основные соотношения
6 Теорема о высоте прямоугольного треугольника
7 Теорема о проекциях
8 Мнемоническое стихотворение
9 Вариации по теме. Высоты в четырехугольнике
10 Примечания
11 Ссылки

Свойства точки пересечения трех высот треугольника (ортоцентра)

Все три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром. Это утверждение легко доказать, используя векторное тождество, справедливое для любых точек , не обязательно даже лежащих в одной плоскости:

overrightarrow {EA}cdot overrightarrow {BC}+overrightarrow {EB}cdot overrightarrow {CA}+overrightarrow {EC}cdot overrightarrow {AB}=0

(Для доказательства тождества следует воспользоваться формулами

overrightarrow {AB}=overrightarrow {EB}-overrightarrow {EA},,overrightarrow {BC}=overrightarrow {EC}-overrightarrow {EB},,overrightarrow {CA}=overrightarrow {EA}-overrightarrow {EC}

В качестве точки E следует взять пересечение двух высот треугольника.)

Последнее утверждение также является следствием теорем о вершинах подерного треугольника (прямой и обратной) ^[1]

Ортоцентр изогонально сопряжен центру описанной окружности.
Ортоцентр лежит на одной прямой с центроидом, центром описанной окружности и центром окружности девяти точек (см. прямая Эйлера).
Ортоцентр остроугольного треугольника является центром окружности, вписанной в его ортотреугольник.
Центр описанной около треугольника окружности служит ортоцентром треугольника с вершинами в серединах сторон данного треугольника. Последний треугольник называют дополнительным треугольником по отношению к первому треугольнику.
Последнее свойство можно сформулировать так: Центр описанной около треугольника окружности служит ортоцентром дополнительного треугольника.
Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно его сторон, лежат на описанной окружности.
Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно середин сторон, также лежат на описанной окружности и совпадают с точками, диаметрально противоположными соответствующим вершинам.
Если О — центр описанной окружности ΔABC, то ,
Расстояние от вершины треугольника до ортоцентра вдвое больше, чем расстояние от центра описанной окружности до противоположной стороны.
Любой отрезок, проведенный из ортоцентра до пересечения с описанной окружностью всегда делится окружностью Эйлера пополам. Ортоцентр есть центр гомотетии этих двух окружностей.
Теорема Гамильтона. Три отрезка прямых, соединяющих ортоцентр с вершинами остроугольного треугольника, разбивают его на три треугольника, имеющих ту же самую окружность Эйлера (окружность девяти точек), что и исходный остроугольный треугольник.
Следствия теоремы Гамильтона:
- Три отрезка прямых, соединяющих ортоцентр с вершинами остроугольного треугольника, разбивают его на три треугольника Гамильтона, имеющих равные радиусы описанных окружностей.
- Радиусы описанных окружностей трёх треугольников Гамильтона равны радиусу окружности, описанной около исходного остроугольного треугольника.
В остроугольном треугольнике ортоцентр лежит внутри треугольника; в тупоугольном — вне треугольника; в прямоугольном — в вершине прямого угла.

Свойства высот равнобедренного треугольника

Если в треугольнике две высоты равны, то треугольник — равнобедренный (теорема Штейнера — Лемуса), и третья высота одновременно является медианой и биссектрисой того угла, из которого она выходит.
Верно и обратное: в равнобедренном треугольнике две высоты равны, а третья высота одновременно является медианой и биссектрисой.
У равностороннего треугольника все три высоты равны.

Свойства оснований высот треугольника

Основания высот образуют так называемый ортотреугольник, обладающий собственными свойствами.
Описанная около ортотреугольника окружность — окружность Эйлера. На этой окружности также лежат три середины сторон треугольника и три середины трёх отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника.
Другая формулировка последнего свойства:
- Теорема Эйлера для окружности девяти точек. Основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон (основания его внутренних медиан) и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, все лежат на одной окружности (на окружности девяти точек).
Теорема. В любом треугольнике отрезок, соединяющий основания двух высот треугольника, отсекает треугольник подобный данному.
Теорема. В треугольнике отрезок, соединяющий основания двух высот треугольника, лежащие на двух сторонах, антипараллелен третьей стороне, с которой он не имеет общих точек. Через два его конца, а также через две вершины третьей упомянутой стороны всегда можно провести окружность.

Другие свойства высот треугольника

Если треугольник разносторонний (неравносторонний), то его внутренняя биссектриса, проведённая из любой вершины, лежит между внутренними медианой и высотой, проведёнными из той же вершины.
Высота треугольника изогонально сопряжена диаметру (радиусу) описанной окружности, проведенному из той же самой вершины.
В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.
В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.

Свойства минимальной из высот треугольника

Минимальная из высот треугольника обладает многими экстремальными свойствами. Например:

Минимальная ортогональная проекция треугольника на прямые, лежащие в плоскости треугольника, имеет длину, равную наименьшей из его высот.
Минимальный прямолинейный разрез в плоскости, через который можно протащить несгибаемую треугольную пластину, должен иметь длину, равную наименьшей из высот этой пластины.
При непрерывном движении двух точек по периметру треугольника друг навстречу другу, максимальное расстояние между ними за время движения от первой встречи до второй, не может быть меньше длины наименьшей из высот треугольника.
Минимальная высота в треугольнике всегда проходит внутри этого треугольника.

Основные соотношения

где

— основание,

— боковая сторона.

Теорема о высоте прямоугольного треугольника

Если высота в прямоугольном треугольнике ABC длиной , проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенузу длиной на отрезки и , соответствующие катетам и , то верны следующие равенства:

Теорема о проекциях

См. с. 51, ф. (1.11-4)^[2].
Теорема о проекциях: . Из теоремы о проекциях следует то, что высота, опущенная, например, из вершины , делит противоположную ей сторону на две части и , считая от вершины к .

Мнемоническое стихотворение

Высота похожа на кота,
Который, выгнув спину,
И под прямым углом
Соединит вершину
И сторону хвостом.^[3]

Вариации по теме. Высоты в четырехугольнике

Теорема^[4]. Пусть ABCD – вписанный четырёхугольник, $A_{1}$ – основание перпендикуляра (высоты), опущенного из вершины на диагональ ; аналогично определяются точки ${displaystyle B_{1},C_{1},D_{1}}$ . Тогда точки ${displaystyle A_{1},B_{1},C_{1},D_{1}}$ лежат на одной окружности.

Примечания

↑ Зетель С.И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание.. — М.: Учпедгиз, 1962. — С. 137-138, п. 126, теорема, следствия.
↑ Корн Г.А., Корн Т.М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: «Наука», 1974. — 832 с.
↑ Сафронова Вера Николаевна,. Урок геометрии в 7-м классе по теме: «Медиана, биссектриса, высота» (рус.). Открытый урок. Издательский дом «Первое сентября». Проверено 19 июля 2017.
↑ Вокруг задачи Архимеда. Упр. 7, рис. 11, следствие, c. 5.

Ссылки

Справочник: Треугольники

Источник

Высота треугольника

4.6

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 120.

4.6

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 120.

Почти никогда не получится определить все параметры треугольника без дополнительных построений. Эти построения являются своеобразными графическими характеристиками треугольника, которые помогают определить величину сторон и углов.

Опыт работы учителем математики — более 33 лет.

Определение

Одной из таких характеристик является высота треугольника. Высота – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к его противоположной стороне. Вершиной называют одну из трех точек, которые вместе с тремя отрезками составляют треугольник.

Определение высоты треугольника может звучать и так: высота – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Это определение звучит сложнее, но оно точнее отражает ситуацию. Дело в том, что в тупоугольном треугольнике не получится провести высоту внутри треугольника. Как видно на рисунке 1, высота в этом случае получается внешней. Кроме того, нестандартной ситуацией является построение высоты в прямоугольном треугольнике. В этом случае, две из трех высот треугольника будут проходить через катеты, а третья от вершины к гипотенузе.

Рис. 1. Высота тупоугольного треугольника.

Как правило, высоту треугольника обозначают буквой h. Также обозначается высота и в других фигурах.

Как найти высоту треугольника?

Существует три стандартных способа нахождения высоты треугольника:

Через теорему Пифагора

Этот способ применяется для равносторонних и равнобедренных треугольников. Разберем решение для равнобедренного треугольника, а потом скажем, почему это же решение справедливо для равностороннего.

Дано: равнобедренный треугольник АВС с основанием АС. АВ=5, АС=8. Найти высоту треугольника.

Рис. 2. Рисунок к задаче.

Для равнобедренного треугольника важно знать, какая именно сторона является основанием. Это определяет боковые стороны, которое должны быть равны, а так же высоту, на которую действую некоторые свойства.

Свойства высоты равнобедренного треугольника, проведенной к основанию:

Высота совпадает с медианой и биссектрисой
Делит основание на две равные части.

Высоту обозначим, как ВD. DС найдем как половину от основания, так как высота точкой D делит основание пополам. DС=4

Высота – это перпендикуляр, значит ВDС – прямоугольный треугольник, а высота ВD является катетом этого треугольника.

Найдем высоту по теореме Пифагора: $$BD=sqrt{BC^2-HC^2}=sqrt{25-16}=3$$

Любой равносторонний треугольник является равнобедренным, только основание у него равно боковым сторонам. То есть, можно использовать тот же порядок действий.

Через площадь треугольника

Этим способом можно пользоваться для любого треугольника. Чтобы им воспользоваться, нужно знать значение площади треугольника и стороны, к которой проведена высота.

Высоты в треугольнике не равны, поэтому для соответствующей стороны получится вычислить соответствующую высоту.

Формула площади треугольника: $$S={1over2}*bh$$, где b – это сторона треугольника ,а h – высота, проведенная к этой стороне. Выразим из формулы высоту:

$$h=2*{Sover b}$$

Если площадь равна 15, сторона 5, то высота $$h=2*{15over5}=6$$

Через тригонометрическую функцию

Третий способ подойдет, если известна сторона и угол при основании. Для этого придется воспользоваться тригонометрической функцией.

Рис. 3. Рисунок к задаче.

Угол ВСН=30 градусам , а сторона BC=8. У нас все тот же прямоугольный треугольник BCH. Воспользуемся определением косинуса угла прямоугольного треугольника. Косинус острого угла – это отношение прилежащего катета к гипотенузе, значит: BH/BC=cos BCH, а угол BCH равен 60 градусам, так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.

Угол известен, как и сторона. Выразим высоту треугольника:

$$BH=BC*cos (60unicode{xb0})=8*{1over2}=4$$

Значение косинуса в общем случае берется из таблиц Брадиса, но значения тригонометрических функций для 30,45 и 60 градусов – табличные числа.

Что мы узнали?

Мы узнали, что такое высота треугольника, какие бывают высоты и как они обозначаются. Разобрались в типовых задачах и записали три формулы для высоты треугольника.

Тест по теме

Доска почёта

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

Константин Никитич

9/10

Оценка статьи

4.6

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 120.

А какая ваша оценка?

Источник

Содержание

Определение
Как найти высоту треугольника?
- Через теорему Пифагора
- Через площадь треугольника
- Через тригонометрическую функцию
Что мы узнали?

Определение

Одной из таких характеристик является высота треугольника. Высота – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к его противоположной стороне. Вершиной называют одну из трех точек, которые вместе с тремя сторонами составляют треугольник.

Это определение звучит сложнее, но оно точнее отражает ситуацию. Дело в том, что в тупоугольном треугольнике не получится провести высоту внутри треугольника. Как видно на рисунке 1, высота в этом случае получается внешней. Кроме того, не стандартной ситуацией является построение высоты в прямоугольном треугольнике. В этом случае, две из трех высот треугольника будут проходить через катеты, а третья от вершины к гипотенузе.

Рис. 1. Высота тупоугольного треугольника.

Как правило, высота треугольника имеет обозначение буквой h. Так же обозначается высота и в других фигурах.

Как найти высоту треугольника?

Существует три стандартных способа нахождения высоты треугольника:

Через теорему Пифагора

Дано: равнобедренный треугольник АВС с основанием АС. АВ=5, АС=8. Найти высоту треугольника.

Рис. 2. Рисунок к задаче.

Свойства высоты равнобедренного треугольника, проведенной к основания:

Высота совпадает с медианной и биссектрисой
Делит основание на две равные части.

Высота это перпендикуляр, значит ВDС – прямоугольный треугольник, а высота ВН является катетом этого треугольника.

Найдем высоту по теореме Пифагора: $$ВD=sqrt{BC^2-HC^2}=sqrt{25-16}=3$$

Через площадь треугольника

$$h=2*{Sover b}$$

Если площадь равна 15, сторона 5, то высота $$h=2*{15over5}=6$$

Через тригонометрическую функцию

Рис. 3. Рисунок к задаче.

Угол ВСН=300 , а сторона BC=8. У нас все тот же прямоугольный треугольник BCH. Воспользуемся синусом. Синус это отношение противолежащего катета к гипотенузе, значит: BH/BC=cos BCH.

Угол известен, как и сторона. Выразим высоту треугольника:

$$BH=BC*cos (60unicode{xb0})=8*{1over2}=4$$

Что мы узнали?

ГеометрияПерпендикулярные прямые – определение (6 класс, математика)

ГеометрияДлина медианы правильного треугольника – формула, примеры

Источник