Как пишется задачи на подобие треугольников

Найди верный ответ на вопрос ✅ «Укажите верное написание выделенного слова. «Задача (на) подоби … треугольников. 1) Наподобие — наречие 2) Наподобии — наречие 3) На …» по предмету 📙 Русский язык, а если ответа нет или никто не дал верного ответа, то воспользуйся поиском и попробуй найти ответ среди похожих вопросов.

Искать другие ответы

23
Янв 2014

Категория: Планиметрия

Задачи на подобие треугольников

2014-01-23
2022-01-11

Автор: egeMax |

комментариев 9

Наподобие или наподобии как правильно?

В зависимости от контекста предложения в русском языке можно употребить три варианта: наподобие, на подобие и на подобии.

Правильно

Наподобие — при слитном написании слово является неизменяемым предлогом, который образован от существительного «подобие». Пишется всегда с буквой «е» в конце слова. Является наиболее часто используемым вариантом. Синонимы: в виде, вроде, подобно чему, похоже на что-то, как.
У нее была сумка наподобие клатча (похожая на клатч).
На подоконнике сидела птичка наподобие воробья (похожая на воробья).
Облицовка сделана из материала наподобие мрамора (в виде мрамора).
Каждый солдат получил сумку, наподобие тех, какие носят почтальоны.
Мы играли в игру наподобие «Монополии»
Кусты росли наподобие высокого забора

На подобие — при таком написании имеем дело с предлогом «на» и существительным «подобие» в винительном падеже. Предлог с существительным всегда пишется раздельно, в конце существительного буква «е». В данном случае эта конструкция отвечает на вопрос «на что?» Синонимы: на схожесть, на похожесть, на сходство, на подобство.
Мы обратили внимание на подобие двух картин (или «на схожесть»).
Учитель указал на подобие методов решения задачи (или «на похожесть»).
Посмотрите на подобие этих треугольников (или «на сходство»).

На подобии — конструкция из предлога «на» и существительного «подобие» в форме предложного падежа (на чем?).
Он сидел на подобии королевского трона (что-то похожее на трон, но не трон).
Робинзон лежал на подобии матраса (лежал на чем-то, похожем на матрас).
Он писал на подобии древнеегипетского папируса (что-то, похожее на папирус).

Неправильно

Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите левый Ctrl+Enter.

Наподобие или на подобие?

В разговорной речи мы часто описываем вещи или людей при помощи сравнений, чтобы придать фразе образность и донести свою мысль как можно более наглядно. Для этого нередко используем слово наподобие. Но если произнесенное вслух, это слово не вызывает никаких затруднений, то правописание довольно часто хромает. Как же правильно пишется: наподобие или на подобие? Нужен ли пробел или слово пишется слитно? Скажем сразу, что оба варианта верны, но в разных случаях пишутся по-разному: это всегда зависит от контекста.

Правописание слова наподобие

Для начала определим, какой частью речи слово выступает в предложении. Вариант первый: слово пишется слитно в случае, если оно – производный предлог. Этот предлог образован от существительного «подобие», то есть «похожесть» и предлога «на», но утратил самостоятельность и стал служебной частью речи.

Чтобы понять, что это именно предлог, нужно убедиться, что:

• после него следует существительное, которое с чем-то/кем-то сравнивают: «уши наподобие слоновьих»;
• его можно свободно заменить словами «похожий на», «такой как», «вроде» или другим синонимичным: «уши, похожие на слоновьи», «такие же, как слоновьи», «вроде слоновьих» и так далее;
• между «на» и «подобие» нельзя вставить никакое другое слово.

Если все эти условия соблюдены, значит, перед нами предлог, пишущийся всегда слитно. Кроме того, так как предлог в русском языке – неизменяемая часть речи, то он пишется всегда одинаково – с буквой Е на конце.

Примеры предложений

1. Иван долго не спал, пытаясь выдать что-то наподобие стихов, но в итоге сдался и под утро уснул.
2. Еж выкатился из кустов наподобие шара и замер: было видно, что он напуган.
3. Павел издал звук наподобие лошадиного ржания и показал Маше язык.
4. Ирина сшила платье наподобие старинного кринолина и с нетерпением ждала новогоднего вечера.
5. Иван мечтал стать писателем и даже делал какие-то потуги наподобие новеллы, но безуспешно.

Правописание слов на подобие

Вариант второй: слова пишутся раздельно в случае, если это предлог «на» с самостоятельной частью речи – существительным «подобие», то есть «схожесть».

Так как предлог «на» употребляется с существительным в винительном падеже, то и в этом случае «подобие» тоже пишется в винительном падеже. При этом окончание существительного 2 склонения совпадает с окончанием в именительном падеже: «видим что? – подобие», «смотрим на что? – на подобие».

Хотя предлог наподобие и предлог с существительным на подобие схожи между собой, однако употребляются они в разных случаях, и путать их не следует. Так, если соблюдаются условия:

слова нельзя заменить синонимами «похожий на» и «такой, как»;

между предлогом «на» и существительным можно вставить прилагательное, например: «на великое подобие»,

то это именно предлог с существительным и пишется раздельно.

При этом окончание у него будет также Е. Может ли на подобие иметь окончание И? Может – в случае, когда пишется в предложном падеже: «где? На подобии». Однако подобное случаи такого употребления так редки, что им можно пренебречь и запомнить правильным правописание через Е.

Примеры предложений

1. Туристы долго и с интересом любовались на маленькое подобие Тауэрской башни в городском саду.
2. Юрист делал ставку на подобие между двумя домами и не прогадал.
3. Чашка с кофе стояла на унылом подобии журнального столика.

Ошибочное написание

Сделать ошибку в правописании данных слов можно, перепутав части речи и написав слитно там, где нужно раздельно, и наоборот.

Также неправильно писать предлог наподобии с буквой И на конце.

Заключение

Итак, чтобы не ошибиться в написании слов наподобие и на подобие, нужно, главным образом, правильно определить часть речи и писать предлог только слитно и с буквой Е в конце.

Наподобие, наподобии или на подобие?

Производный пред­лог «напо­до­бие» пишет­ся слит­но и с конеч­ной бук­вой «е». Отличаем его в кон­тек­сте от форм суще­стви­тель­но­го с пред­ло­гом «на подо­бие», «на подобии».

Орфографическую труд­ность пред­став­ля­ет раз­ли­че­ние омо­ни­мич­ных слов, при­над­ле­жа­щих к раз­ным частям речи, напри­мер, про­из­вод­ных пред­ло­гов и суще­стви­тель­ных с предлогами:

Точно так­же в зави­си­мо­сти от кон­тек­ста выбе­рем напи­са­ние про­из­вод­но­го пред­ло­га «напо­до­бие» и падеж­ных форм суще­стви­тель­но­го «на подо­бии» и «на подо­бие».

Правописание форм существительного «подобие»

Проследим, как изме­ня­ет­ся по паде­жам это существительное:

• и.п. что? подоби-е
• р.п. нет чего? подоби-я
• д.п. стрем­люсь к чему? к подоби-ю
• в.п. обра­щаю вни­ма­ние на что? на подобие
• т.п. вос­хи­щен чем? подобием
• п.п. оста­нов­люсь на чём? на подобии

Учитель обра­ща­ет вни­ма­ние уча­щих­ся на подо­бие треугольников.

На подо­бии этих пред­ста­ви­те­лей фло­ры тунд­ры оста­но­вим­ся подробнее.

Падежные фор­мы суще­стви­тель­но­го пишут­ся с пред­ло­га­ми раз­дель­но, так как меж­ду ними мож­но вста­вить вопрос или опре­де­ле­ние, например:

• ука­зал на какое? подобие;
• оста­но­вим­ся на точ­ном подобии.

Это суще­стви­тель­ное сред­не­го рода окан­чи­ва­ет­ся на -ие, поэто­му оно име­ет в фор­ме пред­лож­но­го паде­жа окон­ча­ние -и в отли­чие от типич­но­го окон­ча­ния -е дру­гих суще­стви­тель­ных вто­ро­го скло­не­ния. Сравним:

• сидеть (на чём?) на дереве;
• гореть (в чём?) в огне;
• рас­ска­зать о призвании;
• услы­шать о чём? о достижении.

Производный предлог «наподобие»

Производный оты­мён­ный пред­лог сле­ду­ет отли­чать от оди­на­ко­во зву­ча­щих форм суще­стви­тель­но­го с пред­ло­гом. В кон­тек­сте про­из­вод­ный пред­лог упо­треб­ля­ет­ся вме­сте с суще­стви­тель­ным в фор­ме роди­тель­но­го паде­жа. Его мож­но заме­нить сино­ни­мич­ны­ми про­из­вод­ны­ми пред­ло­га­ми «в виде», «вро­де», напри­мер:

Эта гео­мет­ри­че­ская фигу­ра напо­до­бие кону­са (вро­де конуса).

Расцветший цве­ток был напо­до­бие тюль­па­на (в виде тюльпана).

Примеры предложений с предлогом «наподобие»

Цветы у горо­ха напо­до­бие белых мотыльков.

Такое дере­во, напо­до­бие лист­вен­ни­цы, неред­ко встре­ча­ет­ся в наших лесах.

Она повто­ря­ла свою роль, на ходу низ­ко кла­ня­лась и несколь­ко раз потом кача­ла голо­вой, напо­до­бие гли­ня­ных котов (А. Пушкин).

У мно­гих рек, напо­до­бие Волги, один берег гор­ный, дру­гой луго­вой (И. Тургенев).

Сколько я ни пытал­ся раз­ли­чить вда­ле­ке что-нибудь напо­до­бие лод­ки, всё без­успеш­но (М. Лермонтов).

Где-то непо­да­лё­ку вышла из бере­гов река, и вода её боко­во­го рука­ва поти­хонь­ку под­сту­пи­ла вплот­ную к насы­пи. В уко­ро­че­нии, полу­чив­шем­ся при взгля­де с голо­во­кру­жи­тель­ной высо­ты, каза­лось, что плав­но иду­щий поезд сколь­зит по воде напо­до­бие сверхъ­есте­ствен­но­го, фан­та­сти­че­ско­го кораб­ля (Б. Пастернак).

Производный предлог «наподобие» пишется слитно и с конечной буквой «е». Отличаем его в контексте от форм существительного с предлогом «на подобие», «на подобии».

Орфографическую трудность представляет различение омонимичных слов, принадлежащих к разным частям речи, например, производных предлогов и существительных с предлогами:

• в заключение доклада — в заключении диплома;
• в продолжение разговора — в продолжении книги;
• в течение недели — в течении Дона;
• вследствие рассеянности — в следствии по делу.

Точно также в зависимости от контекста выберем написание производного предлога «наподобие» и падежных форм существительного «на подобии» и «на подобие».

Правописание форм существительного «подобие»

Проследим, как изменяется по падежам это существительное:

• и.п.  (что?) подобие
• р.п.  нет (чего?) подобия
• д.п.  стремлюсь (к чему?) к подобию
• в.п.  обращаю внимание (на что?) на подобие
• т.п.  восхищен (чем?) подобием
• п.п.  остановлюсь (на чём?) на подобии

Учитель обращает внимание учащихся на подобие треугольников.

На подобии этих представителей флоры тундры остановимся подробнее.

Падежные формы существительного пишутся с предлогами раздельно, так как между ними можно вставить вопрос или определение, например:

• указал на какое? подобие;
• остановимся на точном подобии.

Это существительное среднего рода оканчивается на -ие, поэтому оно имеет в форме предложного падежа окончание -и в отличие от типичного окончания -е других существительных второго склонения. Сравним:

• сидеть (на чём?) на дереве;
• гореть (в чём?) в огне;
• рассказать о призвании;
• услышать о чём? о достижении.

Производный предлог «наподобие»

Производный отымённый предлог следует отличать от одинаково звучащих форм существительного с предлогом. В контексте производный предлог употребляется вместе с существительным в форме родительного падежа. Его можно заменить синонимичными производными предлогами «в виде», «вроде», например:

Эта геометрическая фигура наподобие конуса (вроде конуса).

Расцветший цветок был наподобие тюльпана (в виде тюльпана).

Примеры предложений с предлогом «наподобие»

Цветы у гороха наподобие белых мотыльков.

Такое дерево, наподобие лиственницы, нередко встречается в наших лесах.

Она повторяла свою роль, на ходу низко кланялась и несколько раз потом качала головой, наподобие глиняных котов (А. Пушкин).

У многих рек, наподобие Волги, один берег горный, другой луговой (И. Тургенев).

Сколько я ни пытался различить вдалеке что-нибудь наподобие лодки, всё безуспешно (М. Лермонтов).

Где-то неподалёку вышла из берегов река, и вода её бокового рукава потихоньку подступила вплотную к насыпи. В укорочении, получившемся при взгляде с головокружительной высоты, казалось, что плавно идущий поезд скользит по воде наподобие сверхъестественного, фантастического корабля (Б. Пастернак).

Поурочное планирование по геометрии для 8 класса. Ориентировано на работу с УМК Атанасян и др. Геометрия 8 класс. Глава VII. ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ. Урок 36 Решение задач на применение признаков подобия треугольников. Вернуться к Списку уроков Тематического планирования.

---

Основные дидактические цели урока: сформировать у учащихся навыки применения признаков подобия треугольников при решении задач; совершенствовать навыки доказательств теорем.

Ход урока

I. Организационный момент.

Мотивация к учебной деятельности. (Учитель сообщает тему урока, формулирует цели урока.)

II. Актуализация знаний учащихся

1. Проверка домашнего задания. (Учитель проверяет решение задач № 559, 560 (б). Два ученика заранее готовят решение на доске.)

1. Теоретический опрос. (Два ученика готовят доказательства теорем у доски.)

• Сформулируйте признаки подобия треугольников.
• Докажите теоремы, выражающие второй и третий признаки подобия треугольников.

1. Работа по индивидуальным карточкам. (3—6 учеников работают по карточкам во время теоретического опроса.)

I уровень сложности

Подобны ли треугольники АВС и А₁В₁С₁, если известно, что:

1. АВ = 10 см; ВС = 5 см; АС = 7 см; А₁В₁ = 15 см; В₁С₁ = 7,5 см; A₁С₁ = 9,5 см?
2. ∠A = 37°, ∠B = 48°, ∠C₁ = 95°, ∠B₁ = 48°?
3. АВ = 10 см, ВС = 8 см, А₁В₁ = 5 см, А₁С₁ = 3 см, ∠C = ∠C₁ = 90°?

II уровень сложности

1. Прямая, параллельная стороне MN треугольника MNK, пересекает стороны КМ и KN в точках Е и F соответственно, КЕ = 6 см, KM = 10 см, KF = 9 см, KN = 15 см. Найдите отношения. a) EF: MN, б) P_KMN : Р_КЕF, в) S_KEF : S_KMN.
2. Точка Е — середина стороны AD параллелограмма ABCD. В каком отношении прямая BE делит диагональ АС параллелограмма? Найдите отношение площади треугольника АВЕ и четырехугольника BCDE.

III уровень сложности

1. Основания трапеции равны 9 и 6 см, а высота равна 10 см. Найдите разность расстояний от точки пересечения диагоналей трапеции до ее оснований.
2. Докажите признак подобия прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету.
3. Решение задач по готовым чертежам.

• 1) Рис. 7.32. Найти: ∠C₁,  В₁С₁.
• 2) Рис. 7.33. Найти: ∠C, ∠C₁
• 3) Рис. 7.34. Найти: ВМ.
• 4) Рис. 7.35. Найти: ВС.
• 5) Рис. 7.36. Найти: ∠DCA.
• 6) Рис. 7.37. Найти АВ, NC.

Ответы к задачам по готовым чертежам:

• 1) ∠C₁ = 71°, В₁С₁ = 15 см.
• 2) ∠C = ∠C₁ = 60°.
• 3) ВМ = 6 см.
• 4) BC = 20/3.
• 5) Обратите внимание! Ответ автора задания ∠DCA = 90°. Однако, этот ответ нельзя признать правильным в виду каких-то опечаток в рис.7.36. Единственный вывод из рисунка: треугольники ABC и АCD подобны (по трем сторонам), но в таком случае ответ должен быть 80°, а не 90°. Но самый противоречивый момент связан с тем, что треугольники с заявленными сторонами и углами не существуют. Если считать, что стороны на рисунке указаны правильно, то вместо 80° должно быть указано 92,73°, а вместо 55° должно быть 45,52°. Тогда правильный ответ будет ∠DCA =  92,73°.
• 6) АВ = 8, NC= 8.

(После окончания самостоятельного решения задач и самопроверки по готовым ответам выполняется самооценка.) Критерии оценивания:

• оценка «5» — правильно решены пять-шесть задачи;
• оценка «4» — правильно решены четыре задачи;
• оценка «3» — правильно решены две-три задачи;
• оценка «2» — не ставится.

(Учащиеся, справившиеся со всеми задачами, решают дополнительные задачи.)

Дополнительные задачи

1. Диагональ АС трапеции ABCD (АВ||CD) делит ее на два подобных треугольника. Найдите площадь трапеции ABCD, если АВ = 25 см, ВС = 20 см, АС = 15 см.

Ответ: S_ABCD = 204 см².

1. Угол В треугольника AВС в два раза больше угла А. Биссектриса угла В делит сторону АС на части AD = 6 см и CD = 3 см. Найдите стороны треугольника АВС.

Ответ: АС = 9 см, АВ = 6√3 см, ВС = 3√3 см.

III. Самостоятельная работа

I уровень сложности

Вариант 1

1. Рис. 7.38. Доказать: ΔАВС ~ ΔА₁В₁С₁
2. Продолжения боковых сторон трапеции ABCD пересекаются в точке О. Найдите ВО и отношение площадей треугольников ВОС и AOD, AD = 5 см, ВС = 2 см, АО = 25 см.

Вариант 2

1. Рис. 7.39. Доказать: ΔАВС ~ ΔА₁B₁С₁.
2. АВ и CD пересекаются в точке О, АО = 12 см, ВО = 4 см, СО = 30 см, DO = 10 см. Найдите угол САО, если ∠DBO = 61°. Найдите отношение площадей треугольников АОС и BOD.

II уровень сложности

Вариант 1.

1. Рис. 7.40. Доказать: ΔАВС ~ ΔА₁В₁С₁
2. Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС соответственно в точках М и Н. Найдите АС и отношение площадей треугольников АВС и ВМН, если МВ = 14 см, АВ = 16 см, МН = 28 см.

Вариант 2

1. Рис. 7.41. Доказать: ΔМВН ~ ΔСВA.
2. В треугольнике АВС АВ = 15 м, АС = 20 м, ВС = 32 м. На стороне АВ отложен отрезок AD = 9 м, а на стороне АС — отрезок АЕ = 12 м. Найдите DE и отношение площадей треугольников АВС и ADE.

III уровень сложности

Вариант 1

1. Дано: ∠1 = ∠2, AD = 4, АС = 9 (рис. 7.42). Найти: АВ, S_ABD : S_ABC.
2. Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке О, АО • ВО = СО • DO. Докажите, что площади треугольников ACD и ABD равны.

Вариант 2

1. Дано: ВС ⊥ АС, МН ⊥ ВС, 2МС = ВС, МН = 0,5АС (рис. 7.43). Доказать: АВ||СН. Найти. S_АВС : S_MCH.
2. В трапеции ABCD AD и ВС — основания, О — точка пересечения диагоналей, АО : ОС = 3 : 2. Найдите отношение площадей треугольников АВС и ACD.

(Ответы на самостоятельную работу смотрите в уроке 37)

IV. Рефлексия учебной деятельности

1. Сформулируйте признаки подобия треугольников.
2. В каком случае подобны равносторонние, равнобедренные, прямоугольные треугольники?

Домашнее задание. Решить задачи № 562, 563, 604, 605.

---

Вы смотрели: Поурочное планирование по геометрии для 8 класса. УМК Атанасян и др. (Просвещение). Глава VII. ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ. Урок 36 Решение задач на применение признаков подобия треугольников.

Вернуться к Списку уроков Тематического планирования.

Два треугольника подобны: по двум углам, по двум сторонам и углу между ними, по трём сторонам. Очень важно в задаче увидеть подобные треугольники или другие подобные фигуры. Для этого нужна хорошая практика решения задач.

При решении задач на прямоугольный треугольник полезно знать, что высота, проведённая из прямого угла, делит его на два подобных треугольника (рис. 180):

?ABD ~ ?ADC ~ ?ABC.

Рис. 180.

Примеры решения задач

111. Через точки М и К, принадлежащие сторонам АВ и ВС треугольника ABC соответственно, проведена прямая МК, параллельная стороне АС. Найдите длину СК, если ВС = 12, МК = 8 и АС = 18 (рис. 181). (1)

Рис. 181.

Решение. Обозначим КС через х. Тогда ВК = 12 – х. Из подобия треугольников ABC и МВК следует: MK/BK = AC/BC; 8/(12 – x) = 18/12; x = 20/3.

Ответ: 20/3.

112. В прямоугольный равнобедренный треугольник вписан прямоугольник так, что угол прямоугольника совпадает с углом при вершине треугольника, а вершина противолежащего угла лежит на гипотенузе. Докажите, что периметр прямоугольника есть величина постоянная для данного треугольника (рис. 182). (1)

Рис. 182.

Решение. Пусть АВ = АС = а, DE = х; AD = у. Тогда DB = а – у; FC = а – х. Треугольник DEB подобен треугольнику FСЕ, значит, DE/DB = FC/FE; x/(a – y) = (a – x)/y; ху2= а2– ау – ах + ху; х + у = а; РADEF = 2(х + у) = 2а, т. е. не зависит от х и у.

113. В прямоугольном треугольнике ABC угол А – прямой. Опущена высота AD, равная ?5. Найдите произведение BD ? DC (рис. 183). (1)

Рис. 183.

Решение. Треугольники ADB и ADC подобны (?BAD = ?ACD, ?ABD = ?DAC). Значит, BD/AD = AD/DC; BD ? DC = AD2= (?5)2= 5.

Ответ: 5.

114. В треугольнике ABC проведены высоты AD и СЕ. Докажите, что треугольники ABC и DBE подобны. Чему равен коэффициент подобия (рис. 184)? (2)

Рис. 184.

Решение. Из прямоугольного треугольника ВСЕ: BE = ВС ? cos В. Из ?ABD: BD = АВ ? cos В. Значит, две стороны BD и BE треугольника BDE пропорциональны сторонам АВ и ВС треугольника ABC, а угол В (угол между пропорциональными сторонами) у треугольников общий. ?BDE ~ ?ABC по двум сторонам и углу между ними.

Значит,

Ответ: kподобия = cos B.

115. В равносторонний треугольник вписана окружность. Этой окружности и сторон треугольника касаются три малые окружности. Найдите сторону треугольника, если радиус малой окружности равен 1 (рис. 185). (2)

Рис. 185.

Решение. Так как в равностороннем треугольнике ABC угол ABC = 60°, то ?ОВМ = 30° (см. рис.). Из центров О и О1 проведем перпендикуляры ОМ и О1Т к стороне ВС. По условию О1Т и О1K равны 1. Длины отрезков ОМ и ОК обозначим через R. Из треугольника ВТО1 следует, что ВО1 = О1Т/sin 30° = 1/0,5 = 2. Треугольники ВТО1 и ВМО подобны по двум углам (?BTO1 = ?BMO = 90°; ?OBM – общий). Отсюда следует, что O1T/O1B = OM/OB;

Теперь мы знаем радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности. Осталось найти длину его стороны. Из треугольника ВОМ следует ВМ = OM ? ctg ?ОВМ = 3?3. Тогда ВС = 2ВМ = 6?3.

Ответ: 6?3.

116. Из одной точки к окружности проведены две касательные. Длина каждой касательной равна 12 см, а расстояние между точками касания 14,4 см. Определите радиус окружности (рис. 186). (2)

Рис. 186.

Решение. Пусть ОА и ОВ – касательные к окружности с центром С; А и В – точки касания. Тогда СВ ? ОВ, СА ? ОА. Кроме того, ОС ? АВ и делит эту сторону пополам. ОА = 12 см, AM = 1/2 АВ = 7,2 см.

?МОА = ?АОС (углы с взаимноперпендикулярными сторонами), значит, ?ОАС подобен ?ОАМ; тогда

Ответ: 9 см.

117. Центр О окружности радиуса длиной 3 лежит на гипотенузе АС прямоугольного треугольника ABC. Катеты треугольника касаются окружности. Найти площадь треугольника ABC, если известно, что длина отрезка ОС равна 5 (рис. 187). (3)

Рис. 187.

Решение. Пусть ABC – данный в условии задачи треугольник. Обозначим через M и N точки касания окружности соответственно со сторонами АВ и ВС. Соединив эти точки с центром О окружности, получим квадрат MBNO, и поэтому BN = ОМ = 3. Треугольник ONC прямоугольный, в нём ОС = 5, ON = 3. Следовательно,

Но тогда ВС = NC + NB = 7. Треугольники ONC и ABC подобны, поэтому AB/ON = BC/NC; AB/3 = 7/4; отсюда получаем, что AB = (ON ? BC)/NC = (3 ? 7)/4 = 21/4. Теперь находим S – площадь прямоугольного треугольника ABC:

Ответ: 147/8.

Задачи для самостоятельного решения

118. В равнобедренный треугольник вписан параллелограмм так, что угол параллелограмма совпадает с углом при вершине треугольника, а вершина противолежащего угла лежит на основании. Докажите, что периметр параллелограмма есть величина постоянная для данного треугольника. (1)

119. Из точки D, лежащей на катете АС прямоугольного треугольника ABC, на гипотенузу СВ опущен перпендикуляр DE. Найдите длину CD, если СВ = 15, АВ = 9, СЕ = 4. (1)

120. Точка на гипотенузе, равноудаленная от обоих катетов, делит гипотенузу на отрезки длиной 30 и 40 см. Найдите катеты треугольника. (1)

121. В параллелограмме ABCD проведена диагональ BD и отрезок AF (F ? ВС), пересекающий BD в точке О. Известно, что ВО = 6, OD = 18, FB = 4. Определите сторону параллелограмма AD. (1)

122. В острый угол, равный 60°, вписаны две окружности, извне касающиеся друг друга. Радиус меньшей окружности равен 1. Найдите радиус большей окружности. (1)

123. Найдите длину стороны квадрата, вписанного в равнобедренный треугольник с основанием а и боковой стороной b так, что две его вершины лежат на основании, а две другие вершины – на боковых сторонах. (2)

124. В параллелограмме ABCD точка М– середина стороны СВ, N – середина стороны CD. Докажите, что прямые AM и AN делят диагональ BD на три равные части. (2)

125. В трапеции, основания которой равны а и b, через точку пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям. Найдите длину отрезка этой прямой, отсекаемого боковыми сторонами трапеции. (2)

126. В остроугольном треугольнике ABC из вершин А и С на стороны ВС и АВ опущены высоты АР и CQ. Известно, что площадь треугольника ABC равна 18, площадь треугольника BPQ равна 2, а длина отрезка PQ равна 2?2. Вычислите радиус окружности, описанной около треугольника ABC. (3)