B = {9,14,28}
, x <0}
B = {3,9,14},
A = B
B = {1,2,3},
A B = {9,14}
B = {1,2,3},
A — B = {9,14}
B = {1,2,3},
A ∆ B = {1,2,9,14}
B = {1,2,3},
A ⊖ B = {1,2,9,14}
принадлежит
0 = {0,1,2,3,4, …}01 = {1,2,3,4,5, …}1
= {…- 3, -2, -1,0,1,2,3, …}
= { x | x = a / b , a , b ∈ и b ≠ 0} = { x | -∞ < х <∞}
= { z | z = a + bi , -∞ < a <∞, -∞ < b <∞}Из большого количества разнообразных множеств особо интересными и важными являются числовые множества, т.е. те множества, элементами которых служат числа. Очевидно, что для работы с числовыми множествами необходимо иметь навык записи их, а также изображения их на координатной прямой.
Запись числовых множеств
Общепринятым обозначением любых множеств являются заглавные буквы латиницы. Числовые множества – не исключение. К примеру, мы можем говорить о числовых множествах B, F или S и т.п. Однако есть также общепринятая маркировка числовых множеств в зависимости от входящих в него элементов:
N – множество всех натуральных чисел; Z – множество целых чисел; Q – множество рациональных чисел; J – множество иррациональных чисел; R – множество действительных чисел; C – множество комплексных чисел.
Становится понятным, что обозначение, например, множества, состоящего из двух чисел: -3, 8 буквой J может ввести в заблуждение, поскольку этой буквой маркируется множество иррациональных чисел. Поэтому для обозначения множества -3, 8 более подходящим будет использование какой-то нейтральной буквы: A или B, например.
Напомним также следующие обозначения:
- ∅ – пустое множество или множество, не имеющее составных элементов;
- ∈ или ∉ — знак принадлежности или непринадлежности элемента множеству. Например, запись 5 ∈ N обозначает, что число 5 является частью множества всех натуральных чисел. Запись -7,1 ∈ Z отражает тот факт, что число -7,1 не является элементом множества Z, т.к. Z– множество целых чисел;
- знаки принадлежности множества множеству:
⊂ или ⊃ — знаки «включено» или «включает» соответственно. Например, запись A⊂Z означает, что все элементы множества А входят в множество Z, т.е. числовое множество A включено в множество Z. Или наоборот, запись Z⊃A пояснит, что множество всех целых чисел Z включает множество A.
⊆ или ⊇ — знаки так называемого нестрогого включения. Означают «включено или совпадает» и «включает или совпадает» соответственно.
Рассмотрим теперь схему описания числовых множеств на примере основных стандартных случаев, наиболее часто используемых на практике.
Первыми рассмотрим числовые множества, содержащие конечное и небольшое количество элементов. Описание подобного множества удобно составлять, просто перечисляя все его элементы. Элементы в виде чисел записываются, разделяясь запятой, и заключаются в фигурные скобки (что соответствует общим правилам описания множеств). К примеру, множество из чисел 8, -17, 0,15 запишем как {8, -17, 0,15}.
Случается, что количество элементов множества достаточно велико, но все они подчиняются определенной закономерности: тогда в описании множества используют многоточие. К примеру, множество всех четных чисел от 2 до 88 запишем как: {2, 4, 6, 8, …, 88}.
Теперь поговорим об описании числовых множеств, в которых количество элементов бесконечно. Иногда их описывают при помощи того же многоточия. Например, множество всех натуральных чисел запишем так: N = {1, 2, 3, …}.
Также возможно записать числовое множество с бесконечным количеством элементов при помощи указания свойств его элементов. Применяют при этом обозначение {х| свойства}. К примеру, {n| 8·n + 3, n∈N} определяет множество натуральных чисел, которые при делении на 8 дадут остаток 3. Это же множество возможно записать как: {11, 19, 27, …}.
В частных случаях числовые множества с бесконечным количеством элементов – это общеизвестные множества N, Z, R и т.д., либо числовые промежутки. Но в основном числовые множества представляют собой объединение составляющих их числовых промежутков и числовых множеств с конечным количеством элементов (о них мы говорили в самом начале статьи).
Рассмотрим на примере. Допустим, составляющими некого числового множества являются числа -15, -8, -7,34, 0, а также все числа отрезка [-6, -1,2] и числа открытого числового луча (6, +∞). В соответствии с определением объединения множеств заданное числовое множество запишем как: {-15, -8, -7,34}∪[-6, -1,2]∪{0}∪(6, +∞). Подобная запись фактически означает множество, включающее в себя все элементы множеств {-15, -8, -7,34, 0}, [-6, -1,2] и (6, +∞).
Таким же образом, объединяя различные числовые промежутки и множества отдельных чисел, возможно дать описание любому числовому множеству, состоящему из действительных чисел. На основе сказанного становится понятно, для чего вводятся различные виды числовых промежутков, такие как интервал, полуинтервал, отрезок, открытый числовой луч и числовой луч. Все эти виды промежутков совместно с обозначениями множеств отдельных чисел дают возможность через их объединение описать любое числовое множество.
Необходимо также обратить внимание на то, что отдельные числа и числовые промежутки при записи множества могут быть упорядочены по возрастанию. В общем, это не является обязательным требованием, однако подобное упорядочивание позволяет представить числовое множество проще, а также верно отобразить его на координатной прямой. Также стоит уточнить, что в таких записях не применяют числовые промежутки с общими элементами, поскольку эти записи возможно заменить объединением числовых промежутков, исключив общие элементы. К примеру, объединением числовых множеств с общими элементами [-15, 0] и (-6,4) будет полуинтервал [-15, 4). То же имеет отношение и к объединению числовых промежутков с одинаковыми граничными числами. Например, объединение (4, 7]∪(7, 9] является множеством (4, 9]. Этот пункт подробно будет рассмотрен в теме нахождения пересечения и объединения числовых множеств.
Изображение числовых множеств на координатной прямой
В практических примерах удобно использовать геометрическое толкование числовых множеств – их изображение на координатной прямой. К примеру, такой способ поможет при решении неравенств, в которых нужно учесть ОДЗ – когда нужно отобразить числовые множества, чтобы определить их объединение и/или пересечение.
Мы знаем, что между точками координатной прямой и действительными числами имеется однозначное соответствие: вся координатная прямая есть геометрическая модель множества всех действительных чисел R. Следовательно, для изображения множества всех действительных чисел начертим координатную прямую и нанесем штриховку на всем ее протяжении:
Зачастую и не указывают начало отсчета и единичный отрезок:
Рассмотрим изображение числовых множеств, состоящих из конечного количества отдельных чисел. К примеру, отобразим числовое множество {-2, -0,5, 1,2}. Геометрической моделью заданного множества станут три точки координатной прямой с соответствующими координатами:
В большинстве случаев возможно не соблюдать абсолютную точность чертежа: вполне достаточно схематичного изображения без соблюдения масштаба, но с сохранением взаимного расположения точек относительно друг друга, т.е. любая точка с бОльшей координатой должна быть правее точки с меньшей. С учётом сказанного уже имеющийся чертеж может выглядеть так:
Отдельно из возможных числовых множеств выделяют числовые промежутки интервалы, полуинтервалы, лучи и пр.)
Теперь рассмотрим принцип изображения числовых множеств, являющихся объединением нескольких числовых промежутков и множеств, состоящих их отдельных чисел. В этом нет никакой сложности: согласно определению объединения на координатной прямой необходимо отобразить все составляющие множества заданного числового множества. Например, создадим иллюстрацию числового множества (-∞, -15)∪{-10}∪[-3, 1)∪{log25, 5}∪(17, +∞).
Также довольно распространены случаи, когда числовое множество, которое необходимо изобразить, включает в себя все множество действительных чисел кроме одной или нескольких точек. Подобные множества часто задаются условиями вроде х ≠ 5 или х ≠ -1 и т.п. В таких случаях множества в своей геометрической модели являются всей координатной прямой за исключением заданных точек. Общепринято говорить, что эти точки необходимо «выколоть» из координатной прямой. Изображается выколотая точка кружочком с пустым центром. Чтобы подкрепить сказанное практическим примером, отобразим на координатной прямой множество с заданным условием х ≠ -2 и х ≠ 3:
Информация, приведенная в данной статье, призвана помочь получить навык видеть запись и изображение числовых множеств так же легко, как и отдельных числовых промежутков. В идеале записанное числовое множество сразу должно представляться в виде геометрического образа на координатной прямой. И наоборот: по изображению должно с легкостью формироваться соответствующее числовое множество через объединение числовых промежутков и множеств, являющихся отдельными числами.
Что такое множество в математике и как оно обозначается
Множество – это количество предметов или чисел, обладающих общими свойствами.
Данное определение подходит к любой совокупности с одинаковыми признаками, независимо оттого, сколько предметов в нее входит: толпа людей, стог сена, звезды в небе.
В математике изучаемое понятие обозначается заглавными латинскими буквами, например: А, С, Z, N, Q, A1, A2 и т. д.
Объекты, составляющие группу, называются элементами множества и записываются строчными латинскими буквами: a, b, c, d, x, y, a1, a2 и т. д.
Границы совокупности обозначаются фигурными скобками { }.
Пример:
-
А = {а, в, с, у} – А состоит из четырех элементов.
-
Записать совокупность Z согласных букв в слове «калькулятор»:
Z = {к, л, т, р}, повторяющиеся согласные записываются один раз. Z состоит из четырех элементов.
Принадлежность элементов множеству обозначается знаком – Є.
Пример: N = {a, b, c, y}, а Є N – элемент «а» принадлежит N.
Выделяют три вида множеств:
-
конечные — совокупности, имеющие максимальный и минимальный предел (например, отрезок);
-
бесконечные — не являющиеся конечными (например, числовые);
-
пустые (обозначаются Ø) – не имеющие элементов.
Если две разные совокупности содержат одинаковые элементы, то одна из них (со всеми своими элементами) является подмножеством другой и обозначается знаком — ⊆.
Пример: А = {а, в, с, у} и В = {а, в, с, е, к} – все элементы А являются элементами совокупности В, следовательно А ⊆ В.
Если множества состоят из одинаковых элементов, их называют равными.
Пример: А = {23, 29, 48} и В = {23, 29, 48}, тогда А = В.
В математике выделяют несколько числовых совокупностей. Рассмотрим их подробнее.
Множество натуральных чисел
К совокупности натуральных чисел (N) относятся цифры, используемые при счете — от 1 до бесконечности.
Натуральные числа используют для исчисления порядка предметов. Обязательное условие данной числовой группы — каждое следующее число больше предыдущего на единицу.
N = {9, 11, 13, 15……}.
Относится ли ноль к натуральным числам? Это до сих пор открытый вопрос для математиков всего мира.
Множество целых чисел
Совокупность целых чисел (Z) включает в себя положительные натуральные и отрицательные числа, а также ноль:
Z = {-112, -60, -25, 0, 36, 58, 256}.
Следовательно, N — подмножество Z, что можно записать как N ⊆ Z. Любое натуральное число можно назвать так же и целым.
Множество рациональных чисел
Совокупность рациональных чисел (Q) состоит из дробей (обыкновенных и десятичных), целых и смешанных чисел:
Q={-½; 0; ½, 5; 10}.
Любое рациональное число можно представить в виде дроби, у которой числителем служит любое целое число, а знаменателем – натуральное:
5 = 5/1 = 10/2 = 25/5;
0,45 = 45/100 = 9/20.
Следовательно, N и Z являются подмножествами Q.
Операции над множествами
Точно так же, как и все математические объекты, множества можно складывать и вычитать, то есть совершать операции.
Если две группы образуют третью, содержащую элементы исходных совокупностей – это называется суммой (объединением) множеств и обозначается знаком ∪.
Пример: В = {1, 6, 17} и С = {2, 13, 18}, В ∪ С= {1, 2, 6, 13, 17, 18}.
Если две группы совокупностей образуют третью, состоящую только из общих элементов заданных составляющих, это называется произведением (пересечением) множеств, обозначается значком ∩.
Пример: В = {36, 42, 53, 64} и С = {32, 42, 55, 66}, В ∩ С = {42}.
Если две совокупности образуют третью, включающую элементы одной из заданных групп и не содержащую элементы второй, получается разность (дополнение) совокупностей, обозначается значком /.
Пример: В = {12, 14, 16, 18} и С = {13, 14, 15, 17}, В / С = {14}.
В случае, когда В / С = С / В, получается симметричная разность и обозначается значком Δ.
Для «чайников» или кому трудно даётся данная тема операции с совокупностями можно отобразить с помощью диаграмм Венна:
Объединение
Пересечение
Дополнение
С помощью данных диаграмм можно разобраться с законами де Моргана по поводу логической интерпретации операций над множествами.
Свойства операций над множествами
Операции над множествами обладают свойствами, аналогичными правилу свойств сложения, умножения и вычитания чисел:
Коммутативность – переместительные законы:
-
умножения S ∩ D = D ∩ S;
-
сложения S ∪ D = D ∪ S.
Ассоциативность – сочетательные законы:
-
умножения (S ∩ F) ∩ G = S ∩ (F ∩ G);
-
сложения (S ∪ F) ∪ G = S ∪ (F ∪ G).
Дистрибутивность – законы распределения:
-
умножения относительно вычитания S ∩ (F – G) = (S ∩ F) – (S ∩ G);
-
умножения относительно сложения G ∩ (S ∪ F) = (G ∩ S) ∪ (G ∩ F);
-
сложения относительно умножения G ∪ (S ∩ F) = (G ∪ S) ∩ (G ∪ F).
Транзитивность — законы включения:
-
если S ⊆ Fи F ⊆ J, то S ⊆ J;
-
если S ⊆ F и F ⊆ S, то S = F.
Идемпотентность объединения и пересечения:
-
S ∩ S = S;
-
S ∪ S = S.
О других свойствах операций можно узнать из картинки:
Счетные и несчетные множества
Если между элементами двух групп можно установить взаимное немногозначное соответствие, то эти группы чисел равномощны, при условии равного количества элементов.
Мощность данной математической единицы равна количеству элементов в ней. Например, множество всех нечетных положительных чисел равномощно группе всех четных чисел больше ста.
В случае, когда бесконечное множество равномощно натуральному ряду чисел, оно называется счетным, а если оно не равномощно — несчетным. Другими словами, счетная единица — это совокупность, которую мы можем представить в виде последовательности чисел по порядковым номерам.
Но не все группы действительных чисел счетные. Примером несчетной группы предметов является бесконечная десятичная дробь.
Теория множеств — достаточно широкая тема, которая требует глубокого изучения. Она затрагивает начальный курс математики, изучается в среднем звене школьной программы по алгебре. Высшая математика, математический анализ, логика – рассматривают законы, теоремы, аксиомы множеств, на которых основаны фундаментальные знания науки.
Множество — одно из наиболее важных понятий математики. На этом уроке мы расскажем, что это такое, разберём, что такое элементы множества, конечные и бесконечные множества и другие термины, связанные с понятием множества.
Когда мы говорим о множестве, мы подразумеваем набор связанных друг с другом объектов. Такие объекты называют элементами этого множества.
И если твой класс – это множество, тогда ученики класса – элементы множества.
Для записи множества используют фигурные скобки. Попробуем записать множество цветов радуги:
${$ Красный, оранжевый, желтый, зелёный, голубой, синий, фиолетовый $}$
Конечные и бесконечные множества. Обозначения множеств
Множества могут быть конечными и бесконечными. Например, множество парт в классе, множество пальцев на руке, множество стран мира – конечные, а множество натуральных чисел, множество прямоугольников – бесконечные множества.
Если элементами множества являются числа, то такое множество мы называем числовым.
Например, ${1,3,5,7,9}$ – множество нечётных чисел, ${1,2,3,4,5}$ – множество натуральных чисел, меньших числа $6$.
Все элементы множества должны отличаться друг от друга. В числовом множестве не может быть повторяющихся чисел.
Чтобы множества было легко отличить друг от друга, их обозначают прописными буквами латинского алфавита: $$A={1,2,3,4,5}$$
Принадлежность к множеству. Пустое множество
Каждое из чисел $1, 2, 3, 4, 5$ принадлежит множеству $A$. Слово «принадлежит» заменяют знаком $in$. Выглядит это так: $1 in A$ (число $1$ принадлежит множеству $A$).
Другие числа ему не принадлежат. Вместо слов «не принадлежит» используют знак $notin$. Записать можно так: $6 notin А$ (число $6$ не принадлежит множеству $А$).
Множество натуральных чисел $M$, меньших числа $2$, состоит всего из одного элемента: $$M={1}$$
А множество натуральных чисел $N$, меньших числа $1$, не содержит ни одного элемента.
Множество, в котором не содержится ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначают знаком $varnothing$.
Множество $N$ – пустое. $$N=varnothing$$
Объединение и пересечение множеств
Рассмотрим множество учеников класса. Пять учеников ходят в шахматный кружок, а восемь учеников занимаются футболом, при этом в классе всего десять учеников. Как же так получилось? Просто трое ходят и на шахматы, и на футбол.
Обозначим множество учеников, которые ходят в шахматный кружок, буквой $A$, а множество учеников, занимающихся футболом, буквой $B$
Тогда множество всех учеников класса – объединение множеств $A$ и $B$
А множество учеников, которые ходят и на шахматы, и на футбол – общая часть (пересечение) множеств $A$ и $B$
Чтобы обозначить объединение множеств, в математике используют знак $cup$: $$A cup B$$
Для обозначения общей части (пересечения) множеств используют знак $cap$: $$A cap B$$
Пример. Объединение и пересечение двух числовых множеств
Давай рассмотрим два множества:
$А={22,23,24,25,26}$
$B={21,23,25,27}$
И вместе попробуем найти $A cup B$ и $A cap B$.
Для начала запишем объединение этих множеств, то есть все числа, которые входят в эти множества: $$A cup B={21,22,23,24,25,26,27}$$
Обрати внимание, что даже если число есть одновременно в двух множествах, как, например, 23, мы записываем его только один раз, так как в множестве не должно быть одинаковых элементов.
Теперь определим их пересечение (общую часть): $$A cap B={23,25}$$
Подмножество
Посмотри на рисунок. Какие множества на нем ты видишь?
Давай назовём множество треугольников буквой $A$: $$A={m,n,p}$$
A множество прямоугольников буквой $B$: $$B={k,o}$$
Тогда множество $A cup B$ – множество всех фигур на картинке, то есть $$A cup B={m,n,p,k,o}$$
Теперь обозначим множество зелёных фигур буквой $C$: $$C={m,n,o}$$
Что представляет собой множество $Acap C$?
$Acap C$ – множество зелёных треугольников $D$, то есть $D={m,n}$
Обозначим буквой $E$ множество голубых фигур: $$E={k}$$ Давай определим, что является множеством пересечения $Acap E$? У множеств $A$ (треугольники) и $E$ (голубые фигуры) нет общих элементов, а значит они не пересекаются. $$Acap E=varnothing$$
Множество зелёных треугольников $D$ является частью множества всех треугольников $A$. Можно записать так:
$D subset A$
(здесь $subset$ – знак включения)
В таком случае говорят, что множество $D$ – подмножество множества $A$.
Если одно множество является частью другого множества, то его называют подмножеством.
Принято считать, что пустое множество является подмножеством любого множества:$$varnothingsubset A$$
А также само множество является своим подмножеством: $$Asubset A$$