Как пишутся натуральные числа

Определение натурального числа

Натуральные числа — это числа, которые мы используем для подсчета чего-то конкретного, осязаемого.

Вот какие числа называют натуральными: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 и т. д.

Натуральный ряд — последовательность всех натуральных чисел, расположенных в порядке возрастания. Первые сто можно посмотреть в таблице.

Какие операции возможны над натуральными числами

• сложение:
  слагаемое + слагаемое = сумма;
• умножение:
  множитель × множитель = произведение;
• вычитание:
  уменьшаемое − вычитаемое = разность.

  При этом уменьшаемое должно быть больше вычитаемого, иначе в результате получится отрицательное число или ноль;
• деление:
  делимое : делитель = частное;
• деление с остатком:
  делимое / делитель = частное (остаток);
• возведение в степень:
  a^b, где a — основание степени, b — показатель степени.

Записывайтесь на курсы обучения математике для учеников с 1 по 11 классы!

Десятичная запись натурального числа

В школе мы проходим тему натуральных чисел в 5 классе, но на самом деле многое нам может быть интуитивно понятно и раньше. Проговорим важные правила.

Мы регулярно используем цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. При записи любого натурального числа можно использовать только эти цифры без каких-либо других символов. Записываем цифры одну за другой в строчку слева направо, используем одну высоту.

Примеры правильной записи натуральных чисел: 208, 567, 24, 1 467, 899 112. Эти примеры показывают нам, что последовательность цифр может быть разной и некоторые даже могут повторяться.

077, 0, 004, 0931 — это примеры неправильной записи натуральных чисел, потому что ноль расположен слева. Число не может начинаться с нуля. Это и есть десятичная запись натурального числа.

Количественный смысл натуральных чисел

Натуральные числа несут в себе количественный смысл, то есть выступают в качестве инструмента для нумерации.

Представим, что перед нами банан 🍌. Мы можем записать, что видим 1 банан. При этом натуральное число 1 читается как «один» или «единица».

Но термин «единица» имеет еще одно значение: то, что можно рассмотреть, как единое целое. Элемент множества можно обозначить единицей. Например, любое дерево из множества деревьев — единица, любой листок из множества листков — единица.

Представим, что перед нами 2 банана 🍌🍌. Натуральное число 2 читается как «два». Далее, по аналогии:

Основная функция натурального числа — указать количество предметов.

Если запись числа совпадает с цифрой 0, то его называют «ноль». Напомним, что ноль — не натуральное число, но он может обозначать отсутствие. Ноль предметов значит — ни одного.

Однозначные, двузначные и трехзначные натуральные числа

Однозначное натуральное число — это такое число, в составе которого один знак, одна цифра. Девять однозначных натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Двузначные натуральные числа — те, в составе которых два знака, две цифры. Цифры могут повторяться или быть различными. Например: 88, 53, 70.

Если множество предметов состоит из девяти и еще одного, значит, речь идет об 1 десятке («один десяток») предметов. Если один десяток и еще один, значит, перед нами 2 десятка («два десятка») и так далее.

По сути, двузначное число — это набор однозначных чисел, где одно записывается справа, а другое слева. Число слева показывает количество десятков в составе натурального числа, а число справа — количество единиц. Всего двузначных натуральных чисел — 90.

Трехзначные натуральные числа — числа, в составе которых три знака, три цифры. Например: 666, 389, 702.

Одна сотня — это множество, состоящее из десяти десятков. Сотня и еще одна сотня — 2 сотни. Прибавим еще одну сотню — 3 сотни.

Вот как происходит запись трехзначного числа: натуральные числа записываются одно за другим слева направо.

Крайнее правое однозначное число указывает на количество единиц, следующее — на количество десятков, крайнее левое — на количество сотен. Цифра 0 показывает отсутствие единиц или десятков. Поэтому 506 — это 5 сотен, 0 десятков и 6 единиц.

Точно так же определяются четырехзначные, пятизначные, шестизначные и другие натуральные числа.

Многозначные натуральные числа

Многозначные натуральные числа состоят из двух и более знаков.

1 000 — это множество с десятью сотнями, 1 000 000 состоит из тысячи тысяч, а один миллиард — это тысяча миллионов. Тысяча миллионов, только представьте! То есть мы можем рассмотреть любое многозначное натуральное число как набор однозначных натуральных чисел.

Например, 2 873 206 содержит в себе: 6 единиц, 0 десятков, 2 сотни, 3 тысячи, 7 десятков тысяч, 8 сотен тысяч и 2 миллиона.

Свойства натуральных чисел

Об особенностях натуральных чисел мы уже знаем. А теперь подробно расскажем про их свойства:

Разряды натурального числа и значение разряда

Напомним, что от позиции, на которой стоит цифра в записи числа, зависит ее значение. Так, например, 1 123 содержит в себе: 3 единицы, 2 десятка, 1 сотню, 1 тысячу. При этом можно сформулировать иначе и сказать, что в заданном числе 1 123 цифра 3 располагается в разряде единиц, 2 в разряде десятков, 1 в разряде сотен и 1 служит значением разряда тысяч.

Разряд — это позиция, место расположения цифры в записи натурального числа.

У каждого разряда есть свое название. Слева всегда располагаются старшие разряды, а справа — младшие. Чтобы быстрее запомнить, можно использовать таблицу.

Количество разрядов всегда соответствует количеству знаков в числе. В этой таблице есть названия всех разрядов для числа, которое состоит из 15 знаков. У следующих разрядов также есть названия, но они используются крайне редко.

Низший (младший) разряд многозначного натурального числа — разряд единиц.

Высший (старший) разряд многозначного натурального числа — разряд, соответствующий крайней левой цифре в заданном числе.

Вы наверняка заметили, что в учебниках часто ставят небольшие пробелы при записи многозначных чисел. Так делают, чтобы натуральные числа было удобно читать. А еще — чтобы визуально разделить разные классы чисел.

Класс — это группа разрядов, которая содержит в себе три разряда: единицы, десятки и сотни.

Десятичная система счисления

Люди в разные времена использовали разные методы записи чисел. И каждая система счисления имеет свои правила и особенности.

Десятичная система счисления — самая распространенная система счисления, в которой для записи чисел используют десять знаков: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

В десятичной системе значение одной и той же цифры зависит от ее позиции в записи числа. Например, число 555 состоит из трех одинаковых цифр. В этом числе первая слева цифра означает пять сотен, вторая — пять десятков, а третья — пять единиц. Так как значение цифры зависит от ее позиции, десятичную систему счисления называют позиционной.

Вопрос для самопроверки

Сколько натуральных чисел можно отметить на координатном луче между точками с координатами:

1. 0 и 15;

2. 20 и 50;

3. 100 и 130?

Натуральные числа являются привычными человеку и интуитивно понятными, ведь они окружают нас с самого детства. В статье ниже мы дадим базовое представление о смысле натуральных чисел, опишем основные навыки их записи и чтения. Вся теоретическая часть будет сопровождаться примерами.

Общее представление о натуральных числах

На определенном этапе развития человечества возникла задача подсчета неких предметов и обозначение их количества, что, в свою очередь, потребовало нахождения инструмента для решения этой задачи. Таким инструментом и стали натуральные числа. Понятно и основное предназначение натуральных чисел – давать представление о количестве предметов или порядковом номере конкретного предмета, если речь идет о множестве.

Логично, что для использования человеком натуральных чисел, необходимо иметь способ их воспринимать и воспроизводить. Так, натуральное число можно озвучить или изобразить, что является естественными способами передачи информации.

Рассмотрим базовые навыки озвучивания (чтения) и изображения (записи) натуральных чисел.

Десятичная запись натурального числа

Вспомним, как изображаются следующие знаки (укажем их через запятую): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Указанные знаки мы называем цифрами.

Теперь возьмем как правило, что при изображении (записи) любого натурального числа используются только указанные цифры без участия любых других символов. Пусть цифры при записи натурального числа имеют одинаковую высоту, записываются одна за другой в строчку и слева всегда находится цифра, отличная от нуля.

Укажем примеры правильной записи натуральных чисел: 703, 881, 13, 333, 1 023, 7, 500 001. Отступы между цифрами не всегда одинаковы, об этом подробнее будет сказано ниже при изучении классов чисел. Заданные примеры показывают, что при записи натурального числа не обязательно должны присутствовать все цифры из указанного выше ряда. Некоторые из них или все могут повторяться.

Количественный смысл натуральных чисел

Как уже было сказано, натуральные числа изначально несут в себе, в том числе, количественный смысл. Натуральные числа, как инструмент нумерации, рассмотрены в теме о сравнении натуральных чисел.

Приступим к натуральным числам, записи которых совпадают с записями цифр, т.е.: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Представим некий предмет, например, такой: Ψ. Можно записать, что мы видим 1 предмет. Натуральное число 1 читается как «один» или «единица». Термин «единица» имеет также и другое значение: нечто, что можно рассматривать как единое целое. Если есть множество, то любой элемент его можно будет обозначить единицей. К примеру, из множества мышей любая мышь – единица; любой цветок из множества цветов – единица.

Теперь представим: ΨΨ. Мы видим один предмет и еще один предмет, т.е. в записи это будет — 2 предмета. Натуральное число 2 читаем как «два».

Далее, по аналогии: ΨΨΨ – 3 предмета («три»), ΨΨΨΨ – 4 («четыре»), ΨΨΨΨΨ – 5 («пять»), ΨΨΨΨΨΨ – 6 («шесть»), ΨΨΨΨΨΨΨ – 7 («семь»), ΨΨΨΨΨΨΨΨ – 8 («восемь»), ΨΨΨΨΨΨΨΨΨ – 9 («девять»).

С указанной позиции функция натурального числа заключается в указании количества предметов.

Если запись числа совпадает с записью цифры 0, то такое число называют «нуль». Нуль — не натуральное число, но рассматривают его вместе с прочими натуральными числами. Нуль обозначает отсутствие, т.е. нуль предметов означает – ни одного.

Однозначные натуральные числа

Очевидный факт, что, записывая каждое из натуральных чисел, о которых выше велась речь (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), мы используем один знак – одну цифру.

Однозначное натуральное число – натуральное число, при записи которого используется один знак – одна цифра.

Однозначных натуральных чисел девять: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Двузначные и трехзначные натуральные числа

Двузначные натуральные числа – натуральные числа, при записи которых используются два знака – две цифры. При этом используемые цифры могут быть как одинаковые, так и различные.

Например, натуральные числа 71, 64, 11 – двузначные.

Рассмотрим, какой смысл заключен в двузначных числах. Опираться будем на уже известный нам количественный смысл однозначных натуральных чисел.

Введем такое понятие как «десяток».

Представим множество предметов, которое состоит из девяти и еще одного. В таком случае можно говорить об 1 десятке («один десяток») предметов. Если представить один десяток и еще один, то речь пойдёт о 2 десятках («два десятка»). Прибавив к двум десяткам еще один, получим три десятка. И так далее: продолжая добавлять по одному десятку, мы будем получать четыре десятка, пять десятков, шесть десятков, семь десятков, восемь десятков и, наконец, девять десятков.

Посмотрим на двузначное число, как на набор однозначных чисел, одно из которых записывается справа, другое – слева. Число слева будет обозначать количество десятков в составе натурального числа, а число справа – количество единиц. В случае, когда справа расположена цифра 0, то мы говорим об отсутствии единиц. В вышеуказанном и заключается количественный смысл натуральных двузначных чисел. Всего их — 90.

 Трехзначные натуральные числа – натуральные числа, при записи которых используются три знака – три цифры. Цифры могут быть различными или повторяющимися в любом сочетании.

Например, 413, 222, 818, 750 – трехзначные натуральные числа.

Чтобы понять количественный смысл трехзначных натуральных чисел, введем понятие «сотня».

Одна сотня (1 сотня) – это множество, состоящее из десяти десятков. Сотня и еще одна сотня составят 2 сотни. Прибавим еще одну сотню и получим 3 сотни. Добавляя постепенно по одной сотне, получим: четыре сотни, пять сотен, шесть сотен, семь сотен, восемь сотен, девять сотен.

Рассмотрим саму запись трехзначного числа: входящие в него однозначные натуральные числа записываются одно за другим слева направо. Крайнее правое однозначное число указывает на количество единиц; следующее однозначное число левее – на количество десятков; крайнее левое однозначное число – на количество сотен. Если в записи участвует цифра 0, она показывает на отсутствие единиц и/или десятков.

Так, трехзначное натуральное число 402 обозначает: 2 единицы, 0 десятков (отсутствуют десятки, не объединенные в сотни) и 4 сотни.

По аналогии дается определение четырёхзначных, пятизначных и так далее натуральных чисел.

Многозначные натуральные числа

От всего вышесказанного теперь возможно перейти к определению многозначных натуральных чисел.

Многозначные натуральные числа – натуральные числа, при записи которых используются два и более знаков. Многозначные натуральные числа – это двухзначные, трехзначные и так далее числа.

Одна тысяча – множество, включающее в себя десять сотен; один миллион состоит из тысячи тысяч; один миллиард – тысяча миллионов; один триллион – тысяча миллиардов. Еще более крупные множества также имеют названия, но использование их редко.

Аналогично принципу выше, мы можем рассмотреть любое многозначное натуральное число, как набор однозначных натуральных чисел, каждое из которых, находясь на определенном месте, свидетельствует о наличии и количестве единиц, десятков, сотен, тысяч, десятков тысяч, сотен тысяч, миллионов, десятков миллионов, сотен миллионов, миллиардов и так далее (справа налево соответственно).

Например, многозначное число 4 912 305 содержит в себе: 5 единиц, 0 десятков, три сотни, 2 тысячи, 1 десяток тысяч, 9 сотен тысяч и 4 миллиона.

Резюмируя, мы рассмотрели навык группировки единиц в различные множества (десятки, сотни и т.д.) и увидели, что цифры в записи многозначного натурального числа являются обозначением количества единиц в каждом из таких множеств.

Чтение натуральных чисел, классы

В теории выше мы обозначили названия натуральных чисел. В таблице 1 укажем, как верно использовать названия однозначных натуральных чисел в речи и при буквенной записи:

Для грамотного прочтения и написания двузначных чисел, необходимо выучить данные таблицы 2:

Для чтения прочих натуральных двузначных чисел будем использовать данные обеих таблиц, рассмотрим это на примере. Допустим, нам необходимо прочитать натуральное двузначное число 21. Это число содержит в себе 1 единицу и 2 десятка, т.е. 20 и 1. Обратившись к таблицам, прочтем указанное число как «двадцать один», при этом союз «и» между словами произносить не нужно. Допустим, нам необходимо использовать указанное число 21 в некотором предложении, указывая на количество предметов в родительном падеже: «нет 21 яблока». Звучать в данном случае произношение будет следующим образом: «нет двадцати одного яблока».

Приведем для наглядности еще пример: число 76, которое прочтется как «семьдесят шесть» и, к примеру – «семьюдесятью шестью тоннами».

Для того, чтобы читать трёхзначные числа, изучим данные таблицы 3:

Чтобы полностью прочитать трехзначное число, также используем данные всех указанных таблиц. Например, дано натуральное число 305. Данному числу соответствует 5 единиц, 0 десятков и 3 сотни: 300 и 5. Взяв за основу таблицы, прочитаем: «триста пять» или в склонении по падежам, к примеру, так: «тремстам пяти метрам».

Прочтем еще одно число: 543. Согласно правилам таблиц, звучать указанное число будет так: «пятьсот сорок три» или в склонении по падежам, к примеру, так: «нет пятисот сорока трех рублей».

Перейдем к общему принципу чтения многозначных натуральных чисел: чтобы прочесть многозначное число, необходимо разбить его справа налево в группы по три цифры, причем в крайней левой группе может быть 1, 2 или 3 цифры. Такие группы называют классами.

Крайний правый класс – класс единиц; затем следующий класс, левее – класс тысяч; далее – класс миллионов; потом следует класс миллиардов, за ним — класс триллионов. Следующие классы также имеют название, но натуральные числа, состоящие из большого количества знаков (16, 17 и более) редко используются на чтении, воспринимать их на слух довольно тяжело.

Для удобства восприятия записи классы отделяют друг от друга небольшим отступом. Например, 31 013 736, 134 678, 23 476 009 434, 2 533 467 001 222.

Чтобы легко прочитать указанные натуральные числа, занесем их в таблицу:

Для прочтения многозначного числа называем по очереди числа, которые его составляют (слева направо по классам, добавляя название класса).  Название класса единиц не произносится, а также не произносятся те классы, которые составляют три цифры 0. Если в составе одного класса слева присутствуют одна или две цифры 0, то они при прочтении не используются никак. К примеру, 054 прочтется как «пятьдесят четыре» или 001 – как «один».

Таким образом, основой правильного прочтения многозначных чисел является навык разбивать многозначное число на классы, знание соответствующих названий и понимание принципа прочтения двух- и трехзначных чисел.

Разряды натурального числа, значение разряда

Как уже становится понятно из всего вышесказанного, от позиции, на которой стоит цифра в записи числа, зависит ее значение. Т.е., например, цифра 3 в составе натурального числа 314 обозначает количество сотен, а именно – 3 сотни. Цифра 2 – количество десятков (1 десяток), а цифра 4 – количество единиц (4 единицы). При этом мы будем говорить, что цифра  4 находится в разряде единиц и является значением разряда единиц в заданном числе. Цифра 1 стоит в разряде десятков и служит значением разряда десятков. Цифра 3 располагается в разряде сотен и является значением разряда сотен.

Разряд – это позиция цифры в записи натурального числа, а также и значение этой цифры, которое определяется ее позицией в заданном числе.

Разряды имеют свои названия, мы уже использовали их выше. Справа налево следуют разряды: единиц, десятков, сотен, тысяч, десятков тысяч и т.д.

Для удобства запоминания можно использовать следующую таблицу (укажем 15 разрядов):

Уточним такую деталь: количество разрядов в заданном многозначном числе такое же, как количество знаков в составе записи числа. К примеру, данная таблица содержит названия всех разрядов для числа, в котором 15 знаков. Последующие разряды также имеют названия, но используются крайне редко и очень неудобны для восприятия на слух.

При помощи такой таблицы возможно наработать навык определения разряда, записывая заданное натуральное число в таблицу так, чтобы крайняя правая цифра была записана в разряде единиц и далее – в каждый разряд по цифре. К примеру, запишем многозначное натуральное число 56 402 513 674 так:

Обратите внимание на цифру 0, находящуюся в разряде десятков миллионов – она означает отсутствие единиц данного разряда.

Введем также еще понятия низшего и высшего разрядов многозначного числа.

Так, например, в числе 41 781: низший разряд – разряд единиц; высший разряд – разряд десятков тысяч.

Логически следует, что возможно говорить о старшинстве разрядов относительно друг друга. Каждый последующий разряд при движении слева направо ниже (младше) предыдущего. И наоборот: при движении справа налево каждый следующий разряд выше (старше) предыдущего. К примеру, разряд тысяч старше разряда сотен, но младше разряда миллионов.

Уточним, что при решении некоторых практических примеров используется не само натуральное число, а сумма разрядных слагаемых заданного числа.

Кратко о десятичной системе счисления

Согласно данному определению, можно говорить о том, что, изучая выше натуральные числа и способ их записи, мы пользовались позиционной системой счисления. Особое место здесь играет число 10. Счет мы ведем десятками: десять единиц составляют десяток, десяток десятков объединится в сотню и т.д. Число 10 служит основанием этой системы счисления, и саму систему также называют десятичной.

Помимо нее, существуют и прочие системы счисления. Например, информатика использует двоичную систему. Когда же мы ведем счет времени, то задействуем шестидесятеричную систему счисления.

This article is about «positive integers» and «non-negative integers». For all the numbers …, −2, −1, 0, 1, 2, …, see Integer.

In mathematics, the natural numbers are those numbers used for counting (as in «there are six coins on the table») and ordering (as in «this is the third largest city in the country»).
Numbers used for counting are called cardinal numbers, and numbers used for ordering are called ordinal numbers. Natural numbers are sometimes used as labels, known as nominal numbers, having none of the properties of numbers in a mathematical sense (e.g. sports jersey numbers).^[1][2]

Some definitions, including the standard ISO 80000-2,^[3][a] begin the natural numbers with 0, corresponding to the non-negative integers 0, 1, 2, 3, …, whereas others start with 1, corresponding to the positive integers 1, 2, 3, …^[4][b] Texts that exclude zero from the natural numbers sometimes refer to the natural numbers together with zero as the whole numbers, while in other writings, that term is used instead for the integers (including negative integers).^[5]

The natural numbers form a set. Many other number sets are built by successively extending the set of natural numbers: the integers, by including an additive identity 0 (if not yet in) and an additive inverse −n for each nonzero natural number n; the rational numbers, by including a multiplicative inverse for each nonzero integer n (and also the product of these inverses by integers); the real numbers by including the limits of (converging) Cauchy sequences of rationals; the complex numbers, by adjoining to the real numbers a square root of −1 (and also the sums and products thereof); and so on.^[c][d] This chain of extensions canonically embeds the natural numbers in the other number systems.

Properties of the natural numbers, such as divisibility and the distribution of prime numbers, are studied in number theory. Problems concerning counting and ordering, such as partitioning and enumerations, are studied in combinatorics.

In common language, particularly in primary school education, natural numbers may be called counting numbers^[6] to intuitively exclude the negative integers and zero, and also to contrast the discreteness of counting to the continuity of measurement—a hallmark characteristic of real numbers.

History[edit]

Ancient roots[edit]

The most primitive method of representing a natural number is to put down a mark for each object. Later, a set of objects could be tested for equality, excess or shortage—by striking out a mark and removing an object from the set.

The first major advance in abstraction was the use of numerals to represent numbers. This allowed systems to be developed for recording large numbers. The ancient Egyptians developed a powerful system of numerals with distinct hieroglyphs for 1, 10, and all powers of 10 up to over 1 million. A stone carving from Karnak, dating back from around 1500 BCE and now at the Louvre in Paris, depicts 276 as 2 hundreds, 7 tens, and 6 ones; and similarly for the number 4,622. The Babylonians had a place-value system based essentially on the numerals for 1 and 10, using base sixty, so that the symbol for sixty was the same as the symbol for one—its value being determined from context.^[10]

A much later advance was the development of the idea that 0 can be considered as a number, with its own numeral. The use of a 0 digit in place-value notation (within other numbers) dates back as early as 700 BCE by the Babylonians, who omitted such a digit when it would have been the last symbol in the number.^[e] The Olmec and Maya civilizations used 0 as a separate number as early as the 1st century BCE, but this usage did not spread beyond Mesoamerica.^[12][13] The use of a numeral 0 in modern times originated with the Indian mathematician Brahmagupta in 628 CE. However, 0 had been used as a number in the medieval computus (the calculation of the date of Easter), beginning with Dionysius Exiguus in 525 CE, without being denoted by a numeral. Standard Roman numerals do not have a symbol for 0; instead, nulla (or the genitive form nullae) from nullus, the Latin word for «none», was employed to denote a 0 value.^[14]

The first systematic study of numbers as abstractions is usually credited to the Greek philosophers Pythagoras and Archimedes. Some Greek mathematicians treated the number 1 differently than larger numbers, sometimes even not as a number at all.^[f] Euclid, for example, defined a unit first and then a number as a multitude of units, thus by his definition, a unit is not a number and there are no unique numbers (e.g., any two units from indefinitely many units is a 2).^[16]

Independent studies on numbers also occurred at around the same time in India, China, and Mesoamerica.^[17]

Modern definitions[edit]

In 19th century Europe, there was mathematical and philosophical discussion about the exact nature of the natural numbers. Henri Poincaré stated that axioms can only be demonstrated in their finite application, and concluded that it is «the power of the mind» which allows conceiving of the indefinite repetition of the same act.^[18] Leopold Kronecker summarized his belief as «God made the integers, all else is the work of man».^[g]

The constructivists saw a need to improve upon the logical rigor in the foundations of mathematics.^[h] In the 1860s, Hermann Grassmann suggested a recursive definition for natural numbers, thus stating they were not really natural—but a consequence of definitions. Later, two classes of such formal definitions were constructed; later still, they were shown to be equivalent in most practical applications.

Set-theoretical definitions of natural numbers were initiated by Frege. He initially defined a natural number as the class of all sets that are in one-to-one correspondence with a particular set. However, this definition turned out to lead to paradoxes, including Russell’s paradox. To avoid such paradoxes, the formalism was modified so that a natural number is defined as a particular set, and any set that can be put into one-to-one correspondence with that set is said to have that number of elements.^[21]

The second class of definitions was introduced by Charles Sanders Peirce, refined by Richard Dedekind, and further explored by Giuseppe Peano; this approach is now called Peano arithmetic. It is based on an axiomatization of the properties of ordinal numbers: each natural number has a successor and every non-zero natural number has a unique predecessor. Peano arithmetic is equiconsistent with several weak systems of set theory. One such system is ZFC with the axiom of infinity replaced by its negation. Theorems that can be proved in ZFC but cannot be proved using the Peano Axioms include Goodstein’s theorem.^[22]

With all these definitions, it is convenient to include 0 (corresponding to the empty set) as a natural number. Including 0 is now the common convention among set theorists^[23] and logicians.^[24] Other mathematicians also include 0,^[a] and computer languages often start from zero when enumerating items like loop counters and string- or array-elements.^[25][26] On the other hand, many mathematicians have kept the older tradition to take 1 to be the first natural number.^[27]

Notation[edit]

The set of all natural numbers is standardly denoted N or ^[1][28] Older texts have occasionally employed J as the symbol for this set.^[29]

Since natural numbers may contain 0 or not, it may be important to know which version is referred to. This is often specified by the context, but may also be done by using a subscript or a superscript in the notation, such as:^[3][30]

Alternatively, since the natural numbers naturally form a subset of the integers (often denoted ), they may be referred to as the positive, or the non-negative integers, respectively.^[31] To be unambiguous about whether 0 is included or not, sometimes a subscript (or superscript) «0» is added in the former case, and a superscript «*» is added in the latter case:^[3]

Properties[edit]

Addition[edit]

Given the set of natural numbers and the successor function sending each natural number to the next one, one can define addition of natural numbers recursively by setting a + 0 = a and a + S(b) = S(a + b) for all a, b. Then is a commutative monoid with identity element 0. It is a free monoid on one generator. This commutative monoid satisfies the cancellation property, so it can be embedded in a group. The smallest group containing the natural numbers is the integers.

If 1 is defined as S(0), then b + 1 = b + S(0) = S(b + 0) = S(b). That is, b + 1 is simply the successor of b.

Multiplication[edit]

Analogously, given that addition has been defined, a multiplication operator can be defined via a × 0 = 0 and a × S(b) = (a × b) + a. This turns into a free commutative monoid with identity element 1; a generator set for this monoid is the set of prime numbers.

Relationship between addition and multiplication[edit]

Addition and multiplication are compatible, which is expressed in the distribution law: a × (b + c) = (a × b) + (a × c). These properties of addition and multiplication make the natural numbers an instance of a commutative semiring. Semirings are an algebraic generalization of the natural numbers where multiplication is not necessarily commutative. The lack of additive inverses, which is equivalent to the fact that is not closed under subtraction (that is, subtracting one natural from another does not always result in another natural), means that is not a ring; instead it is a semiring (also known as a rig).

If the natural numbers are taken as «excluding 0», and «starting at 1», the definitions of + and × are as above, except that they begin with a + 1 = S(a) and a × 1 = a. Furthermore, has no identity element.

Order[edit]

In this section, juxtaposed variables such as ab indicate the product a × b,^[32] and the standard order of operations is assumed.

A total order on the natural numbers is defined by letting a ≤ b if and only if there exists another natural number c where a + c = b. This order is compatible with the arithmetical operations in the following sense: if a, b and c are natural numbers and a ≤ b, then a + c ≤ b + c and ac ≤ bc.

An important property of the natural numbers is that they are well-ordered: every non-empty set of natural numbers has a least element. The rank among well-ordered sets is expressed by an ordinal number; for the natural numbers, this is denoted as ω (omega).

Division[edit]

In this section, juxtaposed variables such as ab indicate the product a × b, and the standard order of operations is assumed.

While it is in general not possible to divide one natural number by another and get a natural number as result, the procedure of division with remainder or Euclidean division is available as a substitute: for any two natural numbers a and b with b ≠ 0 there are natural numbers q and r such that

The number q is called the quotient and r is called the remainder of the division of a by b. The numbers q and r are uniquely determined by a and b. This Euclidean division is key to the several other properties (divisibility), algorithms (such as the Euclidean algorithm), and ideas in number theory.

Algebraic properties satisfied by the natural numbers[edit]

The addition (+) and multiplication (×) operations on natural numbers as defined above have several algebraic properties:

• Closure under addition and multiplication: for all natural numbers a and b, both a + b and a × b are natural numbers.^[33]
• Associativity: for all natural numbers a, b, and c, a + (b + c) = (a + b) + c and a × (b × c) = (a × b) × c.^[34]
• Commutativity: for all natural numbers a and b, a + b = b + a and a × b = b × a.^[35]
• Existence of identity elements: for every natural number a, a + 0 = a and a × 1 = a.
  • If the natural numbers are taken as «excluding 0», and «starting at 1», then for every natural number a, a × 1 = a. However, the «existence of additive identity element» property is not satisfied
• Distributivity of multiplication over addition for all natural numbers a, b, and c, a × (b + c) = (a × b) + (a × c).
• No nonzero zero divisors: if a and b are natural numbers such that a × b = 0, then a = 0 or b = 0 (or both).
  • If the natural numbers are taken as «excluding 0», and «starting at 1», the «no nonzero zero divisors» property is not satisfied.

Generalizations[edit]

Two important generalizations of natural numbers arise from the two uses of counting and ordering: cardinal numbers and ordinal numbers.

• A natural number can be used to express the size of a finite set; more precisely, a cardinal number is a measure for the size of a set, which is even suitable for infinite sets. This concept of «size» relies on maps between sets, such that two sets have the same size, exactly if there exists a bijection between them. The set of natural numbers itself, and any bijective image of it, is said to be countably infinite and to have cardinality aleph-null (ℵ₀).
• Natural numbers are also used as linguistic ordinal numbers: «first», «second», «third», and so forth. This way they can be assigned to the elements of a totally ordered finite set, and also to the elements of any well-ordered countably infinite set. This assignment can be generalized to general well-orderings with a cardinality beyond countability, to yield the ordinal numbers. An ordinal number may also be used to describe the notion of «size» for a well-ordered set, in a sense different from cardinality: if there is an order isomorphism (more than a bijection!) between two well-ordered sets, they have the same ordinal number. The first ordinal number that is not a natural number is expressed as ω; this is also the ordinal number of the set of natural numbers itself.

The least ordinal of cardinality ℵ₀ (that is, the initial ordinal of ℵ₀) is ω but many well-ordered sets with cardinal number ℵ₀ have an ordinal number greater than ω.

For finite well-ordered sets, there is a one-to-one correspondence between ordinal and cardinal numbers; therefore they can both be expressed by the same natural number, the number of elements of the set. This number can also be used to describe the position of an element in a larger finite, or an infinite, sequence.

A countable non-standard model of arithmetic satisfying the Peano Arithmetic (that is, the first-order Peano axioms) was developed by Skolem in 1933. The hypernatural numbers are an uncountable model that can be constructed from the ordinary natural numbers via the ultrapower construction.

Georges Reeb used to claim provocatively that «The naïve integers don’t fill up» . Other generalizations are discussed in the article on numbers.

Formal definitions[edit]

There are two standard methods for formally defining natural numbers. The first one, due to Giuseppe Peano, consists of an autonomous axiomatic theory called Peano arithmetic, based on few axioms called Peano axioms.

The second definition is based on set theory. It defines the natural numbers as specific sets. More precisely, each natural number n is defined as an explicitly defined set, whose elements allow counting the elements of other sets, in the sense that the sentence «a set S has n elements» means that there exists a one to one correspondence between the two sets n and S.

The sets used to define natural numbers satisfy Peano axioms. It follows that every theorem that can be stated and proved in Peano arithmetic can also be proved in set theory. However, the two definitions are not equivalent, as there are theorems that can be stated in terms of Peano arithmetic and proved in set theory, which are not provable inside Peano arithmetic. A probable example is Fermat’s Last Theorem.

The definition of the integers as sets satisfying Peano axioms provide a model of Peano arithmetic inside set theory. An important consequence is that, if set theory is consistent (as it is usually guessed), then Peano arithmetic is consistent. In other words, if a contradiction could be proved in Peano arithmetic, then set theory would by contradictory, and every theorem of set theory would be both true and wrong.

Peano axioms[edit]

The five Peano axioms are the following:^[36][i]

1. 0 is a natural number.
2. Every natural number has a successor which is also a natural number.
3. 0 is not the successor of any natural number.
4. If the successor of equals the successor of , then equals .
5. The axiom of induction: If a statement is true of 0, and if the truth of that statement for a number implies its truth for the successor of that number, then the statement is true for every natural number.

These are not the original axioms published by Peano, but are named in his honor. Some forms of the Peano axioms have 1 in place of 0. In ordinary arithmetic, the successor of is .

Set-theoretic definition[edit]

Intuitively, the natural number n is the common property of all sets that have n elements. So, it seems natural to define n as an equivalence class under the relation «can be made in one to one correspondence». Unfortunately, this does not work in set theory, as such an equivalence class would not be a set (because of Russell’s paradox). The standard solution is to define a particular set with n elements that will be called the natural number n.

The following definition was first published by John von Neumann,^[37] although Levy attributes the idea to unpublished work of Zermelo in 1916.^[38] As this definition extends to infinite set as a definition of ordinal number, the sets considered below are sometimes called von Neumann ordinals.

The definition proceeds as follows:

• Call 0 = { }, the empty set.
• Define the successor S(a) of any set a by S(a) = a ∪ {a}.
• By the axiom of infinity, there exist sets which contain 0 and are closed under the successor function. Such sets are said to be inductive. The intersection of all inductive sets is still an inductive set.
• This intersection is the set of the natural numbers.

It follows that the natural numbers are defined iteratively as follows:

• 0 = { },
• 1 = 0 ∪ {0} = {0} = {{ }},
• 2 = 1 ∪ {1} = {0, 1} = {{ }, {{ }}},
• 3 = 2 ∪ {2} = {0, 1, 2} = {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}},
• n = n−1 ∪ {n−1} = {0, 1, …, n−1} = {{ }, {{ }}, …, {{ }, {{ }}, …}},
• etc.

It can be checked that the natural numbers satisfies the Peano axioms.

With this definition, given a natural number n, the sentence «a set S has n elements» can be formally defined as «there exists a bijection from n to S. This formalizes the operation of counting the elements of S. Also, n ≤ m if and only if n is a subset of m. In other words, the set inclusion defines the usual total order on the natural numbers. This order is a well-order.

It follows from the definition that each natural number is equal to the set of all natural numbers less than it. This definition, can be extended to the von Neumann definition of ordinals for defining all ordinal numbers, including the infinite ones: «each ordinal is the well-ordered set of all smaller ordinals.»

If one does not accept the axiom of infinity, the natural numbers may not form a set. Nevertheless, the natural numbers can still be individually defined as above, and they still satisfy the Peano axioms.

There are other set theoretical constructions. In particular, Ernst Zermelo provided a construction that is nowadays only of historical interest, and is sometimes referred to as Zermelo ordinals.^[38] It consists in defining 0 as the empty set, and S(a) = {a}.

With this definition each natural number is a singleton set. So, the property of the natural numbers to represent cardinalities is not directly accessible; only the ordinal property (being the nth element of a sequence) is immediate. Unlike von Neumann’s construction, the Zermelo ordinals do not extend to infinite ordinals.

See also[edit]

• Canonical representation of a positive integer – Representation of a number as a product of primes
• Countable set – Mathematical set that can be enumerated
• Sequence – Function of the natural numbers in another set
• Ordinal number – Generalization of «n-th» to infinite cases
• Cardinal number – Size of a possibly infinite set
• Set-theoretic definition of natural numbers – constructions of the whole numbers from sets

Notes[edit]

References[edit]

Bibliography[edit]

External links[edit]

• «Natural number», Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• «Axioms and construction of natural numbers». apronus.com.

This article is about «positive integers» and «non-negative integers». For all the numbers …, −2, −1, 0, 1, 2, …, see Integer.

In mathematics, the natural numbers are those numbers used for counting (as in «there are six coins on the table») and ordering (as in «this is the third largest city in the country»).
Numbers used for counting are called cardinal numbers, and numbers used for ordering are called ordinal numbers. Natural numbers are sometimes used as labels, known as nominal numbers, having none of the properties of numbers in a mathematical sense (e.g. sports jersey numbers).^[1][2]

Some definitions, including the standard ISO 80000-2,^[3][a] begin the natural numbers with 0, corresponding to the non-negative integers 0, 1, 2, 3, …, whereas others start with 1, corresponding to the positive integers 1, 2, 3, …^[4][b] Texts that exclude zero from the natural numbers sometimes refer to the natural numbers together with zero as the whole numbers, while in other writings, that term is used instead for the integers (including negative integers).^[5]

The natural numbers form a set. Many other number sets are built by successively extending the set of natural numbers: the integers, by including an additive identity 0 (if not yet in) and an additive inverse −n for each nonzero natural number n; the rational numbers, by including a multiplicative inverse for each nonzero integer n (and also the product of these inverses by integers); the real numbers by including the limits of (converging) Cauchy sequences of rationals; the complex numbers, by adjoining to the real numbers a square root of −1 (and also the sums and products thereof); and so on.^[c][d] This chain of extensions canonically embeds the natural numbers in the other number systems.

Properties of the natural numbers, such as divisibility and the distribution of prime numbers, are studied in number theory. Problems concerning counting and ordering, such as partitioning and enumerations, are studied in combinatorics.

In common language, particularly in primary school education, natural numbers may be called counting numbers^[6] to intuitively exclude the negative integers and zero, and also to contrast the discreteness of counting to the continuity of measurement—a hallmark characteristic of real numbers.

History[edit]

Ancient roots[edit]

The most primitive method of representing a natural number is to put down a mark for each object. Later, a set of objects could be tested for equality, excess or shortage—by striking out a mark and removing an object from the set.

The first major advance in abstraction was the use of numerals to represent numbers. This allowed systems to be developed for recording large numbers. The ancient Egyptians developed a powerful system of numerals with distinct hieroglyphs for 1, 10, and all powers of 10 up to over 1 million. A stone carving from Karnak, dating back from around 1500 BCE and now at the Louvre in Paris, depicts 276 as 2 hundreds, 7 tens, and 6 ones; and similarly for the number 4,622. The Babylonians had a place-value system based essentially on the numerals for 1 and 10, using base sixty, so that the symbol for sixty was the same as the symbol for one—its value being determined from context.^[10]

A much later advance was the development of the idea that 0 can be considered as a number, with its own numeral. The use of a 0 digit in place-value notation (within other numbers) dates back as early as 700 BCE by the Babylonians, who omitted such a digit when it would have been the last symbol in the number.^[e] The Olmec and Maya civilizations used 0 as a separate number as early as the 1st century BCE, but this usage did not spread beyond Mesoamerica.^[12][13] The use of a numeral 0 in modern times originated with the Indian mathematician Brahmagupta in 628 CE. However, 0 had been used as a number in the medieval computus (the calculation of the date of Easter), beginning with Dionysius Exiguus in 525 CE, without being denoted by a numeral. Standard Roman numerals do not have a symbol for 0; instead, nulla (or the genitive form nullae) from nullus, the Latin word for «none», was employed to denote a 0 value.^[14]

The first systematic study of numbers as abstractions is usually credited to the Greek philosophers Pythagoras and Archimedes. Some Greek mathematicians treated the number 1 differently than larger numbers, sometimes even not as a number at all.^[f] Euclid, for example, defined a unit first and then a number as a multitude of units, thus by his definition, a unit is not a number and there are no unique numbers (e.g., any two units from indefinitely many units is a 2).^[16]

Independent studies on numbers also occurred at around the same time in India, China, and Mesoamerica.^[17]

Modern definitions[edit]

In 19th century Europe, there was mathematical and philosophical discussion about the exact nature of the natural numbers. Henri Poincaré stated that axioms can only be demonstrated in their finite application, and concluded that it is «the power of the mind» which allows conceiving of the indefinite repetition of the same act.^[18] Leopold Kronecker summarized his belief as «God made the integers, all else is the work of man».^[g]

The constructivists saw a need to improve upon the logical rigor in the foundations of mathematics.^[h] In the 1860s, Hermann Grassmann suggested a recursive definition for natural numbers, thus stating they were not really natural—but a consequence of definitions. Later, two classes of such formal definitions were constructed; later still, they were shown to be equivalent in most practical applications.

Set-theoretical definitions of natural numbers were initiated by Frege. He initially defined a natural number as the class of all sets that are in one-to-one correspondence with a particular set. However, this definition turned out to lead to paradoxes, including Russell’s paradox. To avoid such paradoxes, the formalism was modified so that a natural number is defined as a particular set, and any set that can be put into one-to-one correspondence with that set is said to have that number of elements.^[21]

The second class of definitions was introduced by Charles Sanders Peirce, refined by Richard Dedekind, and further explored by Giuseppe Peano; this approach is now called Peano arithmetic. It is based on an axiomatization of the properties of ordinal numbers: each natural number has a successor and every non-zero natural number has a unique predecessor. Peano arithmetic is equiconsistent with several weak systems of set theory. One such system is ZFC with the axiom of infinity replaced by its negation. Theorems that can be proved in ZFC but cannot be proved using the Peano Axioms include Goodstein’s theorem.^[22]

With all these definitions, it is convenient to include 0 (corresponding to the empty set) as a natural number. Including 0 is now the common convention among set theorists^[23] and logicians.^[24] Other mathematicians also include 0,^[a] and computer languages often start from zero when enumerating items like loop counters and string- or array-elements.^[25][26] On the other hand, many mathematicians have kept the older tradition to take 1 to be the first natural number.^[27]

Notation[edit]

The set of all natural numbers is standardly denoted N or ^[1][28] Older texts have occasionally employed J as the symbol for this set.^[29]

Since natural numbers may contain 0 or not, it may be important to know which version is referred to. This is often specified by the context, but may also be done by using a subscript or a superscript in the notation, such as:^[3][30]

Alternatively, since the natural numbers naturally form a subset of the integers (often denoted ), they may be referred to as the positive, or the non-negative integers, respectively.^[31] To be unambiguous about whether 0 is included or not, sometimes a subscript (or superscript) «0» is added in the former case, and a superscript «*» is added in the latter case:^[3]

Properties[edit]

Addition[edit]

Given the set of natural numbers and the successor function sending each natural number to the next one, one can define addition of natural numbers recursively by setting a + 0 = a and a + S(b) = S(a + b) for all a, b. Then is a commutative monoid with identity element 0. It is a free monoid on one generator. This commutative monoid satisfies the cancellation property, so it can be embedded in a group. The smallest group containing the natural numbers is the integers.

If 1 is defined as S(0), then b + 1 = b + S(0) = S(b + 0) = S(b). That is, b + 1 is simply the successor of b.

Multiplication[edit]

Analogously, given that addition has been defined, a multiplication operator can be defined via a × 0 = 0 and a × S(b) = (a × b) + a. This turns into a free commutative monoid with identity element 1; a generator set for this monoid is the set of prime numbers.

Relationship between addition and multiplication[edit]

Addition and multiplication are compatible, which is expressed in the distribution law: a × (b + c) = (a × b) + (a × c). These properties of addition and multiplication make the natural numbers an instance of a commutative semiring. Semirings are an algebraic generalization of the natural numbers where multiplication is not necessarily commutative. The lack of additive inverses, which is equivalent to the fact that is not closed under subtraction (that is, subtracting one natural from another does not always result in another natural), means that is not a ring; instead it is a semiring (also known as a rig).

If the natural numbers are taken as «excluding 0», and «starting at 1», the definitions of + and × are as above, except that they begin with a + 1 = S(a) and a × 1 = a. Furthermore, has no identity element.

Order[edit]

In this section, juxtaposed variables such as ab indicate the product a × b,^[32] and the standard order of operations is assumed.

A total order on the natural numbers is defined by letting a ≤ b if and only if there exists another natural number c where a + c = b. This order is compatible with the arithmetical operations in the following sense: if a, b and c are natural numbers and a ≤ b, then a + c ≤ b + c and ac ≤ bc.

An important property of the natural numbers is that they are well-ordered: every non-empty set of natural numbers has a least element. The rank among well-ordered sets is expressed by an ordinal number; for the natural numbers, this is denoted as ω (omega).

Division[edit]

In this section, juxtaposed variables such as ab indicate the product a × b, and the standard order of operations is assumed.

While it is in general not possible to divide one natural number by another and get a natural number as result, the procedure of division with remainder or Euclidean division is available as a substitute: for any two natural numbers a and b with b ≠ 0 there are natural numbers q and r such that

The number q is called the quotient and r is called the remainder of the division of a by b. The numbers q and r are uniquely determined by a and b. This Euclidean division is key to the several other properties (divisibility), algorithms (such as the Euclidean algorithm), and ideas in number theory.

Algebraic properties satisfied by the natural numbers[edit]

The addition (+) and multiplication (×) operations on natural numbers as defined above have several algebraic properties:

• Closure under addition and multiplication: for all natural numbers a and b, both a + b and a × b are natural numbers.^[33]
• Associativity: for all natural numbers a, b, and c, a + (b + c) = (a + b) + c and a × (b × c) = (a × b) × c.^[34]
• Commutativity: for all natural numbers a and b, a + b = b + a and a × b = b × a.^[35]
• Existence of identity elements: for every natural number a, a + 0 = a and a × 1 = a.
  • If the natural numbers are taken as «excluding 0», and «starting at 1», then for every natural number a, a × 1 = a. However, the «existence of additive identity element» property is not satisfied
• Distributivity of multiplication over addition for all natural numbers a, b, and c, a × (b + c) = (a × b) + (a × c).
• No nonzero zero divisors: if a and b are natural numbers such that a × b = 0, then a = 0 or b = 0 (or both).
  • If the natural numbers are taken as «excluding 0», and «starting at 1», the «no nonzero zero divisors» property is not satisfied.

Generalizations[edit]

Two important generalizations of natural numbers arise from the two uses of counting and ordering: cardinal numbers and ordinal numbers.

• A natural number can be used to express the size of a finite set; more precisely, a cardinal number is a measure for the size of a set, which is even suitable for infinite sets. This concept of «size» relies on maps between sets, such that two sets have the same size, exactly if there exists a bijection between them. The set of natural numbers itself, and any bijective image of it, is said to be countably infinite and to have cardinality aleph-null (ℵ₀).
• Natural numbers are also used as linguistic ordinal numbers: «first», «second», «third», and so forth. This way they can be assigned to the elements of a totally ordered finite set, and also to the elements of any well-ordered countably infinite set. This assignment can be generalized to general well-orderings with a cardinality beyond countability, to yield the ordinal numbers. An ordinal number may also be used to describe the notion of «size» for a well-ordered set, in a sense different from cardinality: if there is an order isomorphism (more than a bijection!) between two well-ordered sets, they have the same ordinal number. The first ordinal number that is not a natural number is expressed as ω; this is also the ordinal number of the set of natural numbers itself.

The least ordinal of cardinality ℵ₀ (that is, the initial ordinal of ℵ₀) is ω but many well-ordered sets with cardinal number ℵ₀ have an ordinal number greater than ω.

For finite well-ordered sets, there is a one-to-one correspondence between ordinal and cardinal numbers; therefore they can both be expressed by the same natural number, the number of elements of the set. This number can also be used to describe the position of an element in a larger finite, or an infinite, sequence.

A countable non-standard model of arithmetic satisfying the Peano Arithmetic (that is, the first-order Peano axioms) was developed by Skolem in 1933. The hypernatural numbers are an uncountable model that can be constructed from the ordinary natural numbers via the ultrapower construction.

Georges Reeb used to claim provocatively that «The naïve integers don’t fill up» . Other generalizations are discussed in the article on numbers.

Formal definitions[edit]

There are two standard methods for formally defining natural numbers. The first one, due to Giuseppe Peano, consists of an autonomous axiomatic theory called Peano arithmetic, based on few axioms called Peano axioms.

The second definition is based on set theory. It defines the natural numbers as specific sets. More precisely, each natural number n is defined as an explicitly defined set, whose elements allow counting the elements of other sets, in the sense that the sentence «a set S has n elements» means that there exists a one to one correspondence between the two sets n and S.

The sets used to define natural numbers satisfy Peano axioms. It follows that every theorem that can be stated and proved in Peano arithmetic can also be proved in set theory. However, the two definitions are not equivalent, as there are theorems that can be stated in terms of Peano arithmetic and proved in set theory, which are not provable inside Peano arithmetic. A probable example is Fermat’s Last Theorem.

The definition of the integers as sets satisfying Peano axioms provide a model of Peano arithmetic inside set theory. An important consequence is that, if set theory is consistent (as it is usually guessed), then Peano arithmetic is consistent. In other words, if a contradiction could be proved in Peano arithmetic, then set theory would by contradictory, and every theorem of set theory would be both true and wrong.

Peano axioms[edit]

The five Peano axioms are the following:^[36][i]

1. 0 is a natural number.
2. Every natural number has a successor which is also a natural number.
3. 0 is not the successor of any natural number.
4. If the successor of equals the successor of , then equals .
5. The axiom of induction: If a statement is true of 0, and if the truth of that statement for a number implies its truth for the successor of that number, then the statement is true for every natural number.

These are not the original axioms published by Peano, but are named in his honor. Some forms of the Peano axioms have 1 in place of 0. In ordinary arithmetic, the successor of is .

Set-theoretic definition[edit]

Intuitively, the natural number n is the common property of all sets that have n elements. So, it seems natural to define n as an equivalence class under the relation «can be made in one to one correspondence». Unfortunately, this does not work in set theory, as such an equivalence class would not be a set (because of Russell’s paradox). The standard solution is to define a particular set with n elements that will be called the natural number n.

The following definition was first published by John von Neumann,^[37] although Levy attributes the idea to unpublished work of Zermelo in 1916.^[38] As this definition extends to infinite set as a definition of ordinal number, the sets considered below are sometimes called von Neumann ordinals.

The definition proceeds as follows:

• Call 0 = { }, the empty set.
• Define the successor S(a) of any set a by S(a) = a ∪ {a}.
• By the axiom of infinity, there exist sets which contain 0 and are closed under the successor function. Such sets are said to be inductive. The intersection of all inductive sets is still an inductive set.
• This intersection is the set of the natural numbers.

It follows that the natural numbers are defined iteratively as follows:

• 0 = { },
• 1 = 0 ∪ {0} = {0} = {{ }},
• 2 = 1 ∪ {1} = {0, 1} = {{ }, {{ }}},
• 3 = 2 ∪ {2} = {0, 1, 2} = {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}},
• n = n−1 ∪ {n−1} = {0, 1, …, n−1} = {{ }, {{ }}, …, {{ }, {{ }}, …}},
• etc.

It can be checked that the natural numbers satisfies the Peano axioms.

With this definition, given a natural number n, the sentence «a set S has n elements» can be formally defined as «there exists a bijection from n to S. This formalizes the operation of counting the elements of S. Also, n ≤ m if and only if n is a subset of m. In other words, the set inclusion defines the usual total order on the natural numbers. This order is a well-order.

It follows from the definition that each natural number is equal to the set of all natural numbers less than it. This definition, can be extended to the von Neumann definition of ordinals for defining all ordinal numbers, including the infinite ones: «each ordinal is the well-ordered set of all smaller ordinals.»

If one does not accept the axiom of infinity, the natural numbers may not form a set. Nevertheless, the natural numbers can still be individually defined as above, and they still satisfy the Peano axioms.

There are other set theoretical constructions. In particular, Ernst Zermelo provided a construction that is nowadays only of historical interest, and is sometimes referred to as Zermelo ordinals.^[38] It consists in defining 0 as the empty set, and S(a) = {a}.

With this definition each natural number is a singleton set. So, the property of the natural numbers to represent cardinalities is not directly accessible; only the ordinal property (being the nth element of a sequence) is immediate. Unlike von Neumann’s construction, the Zermelo ordinals do not extend to infinite ordinals.

See also[edit]

• Canonical representation of a positive integer – Representation of a number as a product of primes
• Countable set – Mathematical set that can be enumerated
• Sequence – Function of the natural numbers in another set
• Ordinal number – Generalization of «n-th» to infinite cases
• Cardinal number – Size of a possibly infinite set
• Set-theoretic definition of natural numbers – constructions of the whole numbers from sets

Notes[edit]

References[edit]

Bibliography[edit]

External links[edit]

• «Natural number», Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• «Axioms and construction of natural numbers». apronus.com.

История натуральных чисел началась ещё в первобытные времена.
Издревле люди считали предметы. Например, в торговле нужен был счет товара или в строительстве счет материала. Да даже в быту тоже приходилось считать вещи, продукты, скот. Сначала числа использовались только для подсчета в жизни, на практике, но в дальнейшем при развитии математики стали частью науки.

Натуральные числа
– это числа которые мы используем при счете предметов.

Например: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ….

Нуль не относится к натуральным числам.

Все натуральные числа или назовем множество натуральных чисел обозначается символом N.

Таблица натуральных чисел.

Натуральный ряд.

Натуральные числа, записанные подряд в порядке возрастания, образуют натуральный ряд
или ряд натуральных чисел.

Свойства натурального ряда:

• Наименьшее натуральное число – единица.
• У натурального ряда следующее число больше предыдущего на единицу. (1, 2, 3, …) Три точки или троеточие ставятся в том случае, если закончить последовательность чисел невозможно.
• Натуральный ряд не имеет наибольшего числа, он бесконечен.

Пример №1:

Напишите первых 5 натуральных числа.
Решение:
Натуральные числа начинаются с единицы.
1, 2, 3, 4, 5

Пример №2:

Нуль является натуральным числом?
Ответ: нет.

Пример №3:

Какое первое число в натуральном ряду?
Ответ: натуральный ряд начинается с единицы.

Пример №4:

Какое последнее число в натуральном ряде? Назовите самое большое натуральное число?
Ответ: Натуральный ряд начинается с единицы. Каждое следующее число больше предыдущего на единицу, поэтому последнего числа не существует. Самого большого числа нет.

Пример №5:

У единицы в натуральном ряду есть предыдущее число?
Ответ: нет, потому что единица является первым числом в натуральном ряду.

Пример №6:

Назовите следующее число в натуральном ряду за числами: а)5, б)67, в)9998.
Ответ: а)6, б)68, в)9999.

Пример №7:

Сколько чисел находится в натуральном ряду между числами: а)1 и 5, б)14 и 19.
Решение:
а) 1, 2, 3, 4,
5 – три числа находятся между числами 1 и 5.
б) 14, 15, 16, 17, 18,
19 – четыре числа находятся между числами 14 и 19.

Пример №8:

Назовите предыдущее число за числом 11.
Ответ: 10.

Пример №9:

Какие числа применяются при счете предметов?
Ответ: натуральные числа.

Простейшее число — это натуральное число
. Их используют в повседневной жизни для подсчета предметов, т.е. для вычисления их количества и порядка.

Что такое натуральное число: натуральными числами
называют числа, которые используются для подсчета предметов либо для указывания порядкового номера любого предмета из всех однородных
предметов.

Натуральные числа
— это числа, начиная с единицы. Они образуются естественным образом при счёте.
Например, 1,2,3,4,5… —
первые натуральные числа.

Наименьшее натуральное число
— один. Наибольшего натурального числа не существует. При счёте число ноль не используют, поэтому ноль натуральное число.

Натуральный ряд чисел
— это последовательность всех натуральных чисел. Запись натуральных чисел:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

В натуральном ряду каждое число больше предыдущего на единицу.

Сколько чисел в натуральном ряду? Натуральный ряд бесконечен, самого большого натурального числа не существует.

Десятичной так как 10 единиц всякого разряда образуют 1 единицу старшего разряда. Позиционной так как значение цифры зависит от её места в числе, т.е. от разряда, где она записана.

Классы натуральных чисел.

Всякое натуральное число возможно написать при помощи 10-ти арабских цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Для чтения натуральных чисел их разбивают, начиная справа, на группы по 3 цифры в каждой. 3 первые цифры справа — это класс единиц, 3 следующие — это класс тысяч, далее классы миллионов, миллиардов и
так далее. Каждая из цифр класса называется его
разрядом
.

Сравнение натуральных чисел.

Из 2-х натуральных чисел меньше то число, которое при счете называется ранее. Например
, число 7
меньше
11
(записывают так:
7 ). Когда одно число больше второго, это записывают так:
386 > 99
.

Таблица разрядов и классов чисел.

1-й класс единицы	1-й разряд единицы 2-й разряд десятки 3-й разряд сотни
2-й класс тысячи	1-й разряд единицы тысяч 2-й разряд десятки тысяч 3-й разряд сотни тысяч
3-й класс миллионы	1-й разряд единицы миллионов 2-й разряд десятки миллионов 3-й разряд сотни миллионов
4-й класс миллиарды	1-й разряд единицы миллиардов 2-й разряд десятки миллиардов 3-й разряд сотни миллиардов

Место нуля

Существуют два подхода к определению натуральных чисел:

• подсчёте (нумерации)
  предметов (первый
  , второй
  , третий
  , четвёртый
  , пятый
  …);
• натуральные числа — числа, возникающие при обозначении количества
  предметов (0 предметов
  , 1 предмет
  , 2 предмета
  , 3 предмета
  , 4 предмета
  , 5 предметов
  …).

В первом случае ряд натуральных чисел начинается с единицы, во втором — с нуля. Не существует единого для большинства математиков мнения о предпочтительности первого или второго подхода (то есть считать ли ноль натуральным числом или нет). В подавляющем большинстве российских источников традиционно принят первый подход . Второй подход, например, применяется в трудах Николя Бурбаки , где натуральные числа определяются как мощности конечных множеств . Наличие нуля облегчает формулировку и доказательство многих теорем арифметики натуральных чисел, поэтому при первом подходе вводится полезное понятие расширенного натурального ряда
, включающего ноль .

Множество всех натуральных чисел принято обозначать символом . Международные стандарты ISO 31-11 (1992 год) и ISO 80000-2 (2009 год) устанавливают следующие обозначения :

В русских источниках этот стандарт пока не соблюдается — в них символ
N
{displaystyle mathbb {N} }
обозначает натуральные числа без нуля, а расширенный натуральный ряд обозначается
N
0
,
Z
+
,
Z
⩾
0
{displaystyle mathbb {N} _{0},mathbb {Z} _{+},mathbb {Z} _{geqslant 0}}
и т. д.

Аксиомы, позволяющие определить множество натуральных чисел

Аксиомы Пеано для натуральных чисел

Множество
N
{displaystyle mathbb {N} }
будем называть множеством натуральных чисел, если зафиксированы некоторый элемент 1
(единица), функция
S
{displaystyle S}

c областью определения
N
{displaystyle mathbb {N} }
, называемая функцией следования (
S:
N
{displaystyle Scolon mathbb {N} }
), и выполнены следующие условия:

1. элемент единица принадлежит этому множеству (
   1
   ∈
   N
   {displaystyle 1in mathbb {N} }
   ), то есть является натуральным числом;
2. число, следующее за натуральным, также является натуральным (если , то
   S
   (x)
   ∈
   N
   {displaystyle S(x)in mathbb {N} }
   или, в более короткой записи,
   S:
   N
   →
   N
   {displaystyle Scolon mathbb {N} to mathbb {N} }
   );
3. единица не следует ни за каким натуральным числом (
   ∄
   x
   ∈
   N
   (S
   (x)
   =
   1)
   {displaystyle nexists xin mathbb {N} (S(x)=1)}
   );
4. если натуральное число
   a
   {displaystyle a}

   непосредственно следует как за натуральным числом
   b
   {displaystyle b}

   , так и за натуральным числом
   c
   {displaystyle c}

   , то
   b
   {displaystyle b}

   и
   c
   {displaystyle c}

   — это одно и то же число (если
   S
   (b)
   =
   a
   {displaystyle S(b)=a}
   и
   S
   (c)
   =
   a
   {displaystyle S(c)=a}
   , то
   b
   =
   c
   {displaystyle b=c}
   );

5. (аксиома индукции) если какое-либо предложение (высказывание)
   P
   {displaystyle P}

   доказано для натурального числа
   n
   =
   1
   {displaystyle n=1}
   (база индукции
   ) и если из допущения, что оно верно для другого натурального числа
   n
   {displaystyle n}

   , вытекает, что оно верно для следующего за
   n
   {displaystyle n}

   натурального числа (индукционное предположение
   ), то это предложение верно для всех натуральных чисел (пусть
   P
   (n)
   {displaystyle P(n)}
   — некоторый одноместный (унарный) предикат , параметром которого является натуральное число
   n
   {displaystyle n}

   . Тогда, если
   P
   (1)
   {displaystyle P(1)}
   и
   ∀
   n
   (P
   (n)
   ⇒
   P
   (S
   (n)))
   {displaystyle forall n;(P(n)Rightarrow P(S(n)))}
   , то
   ∀
   n
   P
   (n)
   {displaystyle forall n;P(n)}
   ).

Перечисленные аксиомы отражают наше интуитивное представление о натуральном ряде и числовой линии .

Принципиальным фактом является то, что эти аксиомы по сути однозначно определяют натуральные числа (категоричность системы аксиом Пеано). А именно, можно доказать (см. , а также краткое доказательство ), что если
(N
,
1
,
S)
{displaystyle (mathbb {N} ,1,S)}
и
(N
~
,
1
~
,
S
~)
{displaystyle ({tilde {mathbb {N} }},{tilde {1}},{tilde {S}})}
— две модели для системы аксиом Пеано, то они необходимо изоморфны , то есть существует обратимое отображение (биекция)
f:
N
→
N
~
{displaystyle fcolon mathbb {N} to {tilde {mathbb {N} }}}
такая, что
f
(1)
=
1
~
{displaystyle f(1)={tilde {1}}}
и
f
(S
(x))
=
S
~
(f
(x))
{displaystyle f(S(x))={tilde {S}}(f(x))}
для всех
x
∈
N
{displaystyle xin mathbb {N} }
.

Поэтому, достаточно зафиксировать в качестве
N
{displaystyle mathbb {N} }
какую-либо одну конкретную модель множества натуральных чисел.

Иногда, особенно в иностранной и переводной литературе, в первой и третьей аксиомах Пеано заменяют единицу на ноль. В этом случае ноль считается натуральным числом. При определении через классы равномощных множеств ноль является натуральным числом по определению. Специально отбрасывать его было бы неестественно. Кроме того, это значительно усложнило бы дальнейшее построение и применение теории, так как в большинстве конструкций нуль, как и пустое множество, не является чем-то обособленным. Другим преимуществом считать ноль натуральным числом является то, что при этом
N
{displaystyle mathbb {N} }
образует моноид . Как уже упоминалось , в русской литературе традиционно ноль исключён из числа натуральных чисел.

Теоретико-множественное определение натуральных чисел (определение Фреге — Рассела)

Таким образом, и натуральные числа вводятся, исходя из понятия множества, по двум правилам:

Числа, заданные таким образом, называются ординальными .

Опишем несколько первых ординальных чисел и соответствующих им натуральных чисел:

Величина множества натуральных чисел

Величина бесконечного множества характеризуется понятием «мощность множества », которое является обобщением числа элементов конечного множества на бесконечные множества. По величине (то есть мощности) множество натуральных чисел больше любого конечного множества, но меньше любого интервала, например, интервала
(0
,
1)
{displaystyle (0,1)}
. Множество натуральных чисел по мощности такое же, как множество рациональных чисел. Множество такой же мощности, как множество натуральных чисел, называется счётным множеством . Так, множество членов любой последовательности счётно. В то же время, существует последовательность, в которую каждое натуральное число входит бесконечное число раз, поскольку множество натуральных чисел можно представить как счётное объединение непересекающихся счётных множеств (например ,
N
=
⋃
k
=
0
∞
(⋃
n
=
0
∞
(2
n
+
1)
2
k)
{displaystyle mathbb {N} =bigcup limits _{k=0}^{infty }left(bigcup limits _{n=0}^{infty }(2n+1)2^{k}right)}
).

Операции над натуральными числами

К замкнутым операциям (операциям, не выводящим результат из множества натуральных чисел) над натуральными числами относятся следующие арифметические операции:

Дополнительно рассматривают ещё две операции (с формальной точки зрения не являющиеся операциями над натуральными числами, так как не определены для всех
пар чисел (иногда существуют, иногда нет)):

Следует заметить, что операции сложения и умножения являются основополагающими. В частности, кольцо целых чисел определяется именно через бинарные операции сложения и умножения.

Основные свойства

• Коммутативность сложения:

a
+
b
=
b
+
a
{displaystyle a+b=b+a}
.

• Коммутативность умножения:

a
⋅
b
=
b
⋅
a
{displaystyle acdot b=bcdot a}
.

• Ассоциативность сложения:

(a
+
b)
+
c
=
a
+
(b
+
c)
{displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}
.

• Ассоциативность умножения:

(a
⋅
b)
⋅
c
=
a
⋅
(b
⋅
c)
{displaystyle (acdot b)cdot c=acdot (bcdot c)}
.

• Дистрибутивность умножения относительно сложения:

{
a
⋅
(b
+
c)
=
a
⋅
b
+
a
⋅
c
(b
+
c)
⋅
a
=
b
⋅
a
+
c
⋅
a
{displaystyle {begin{cases}acdot (b+c)=acdot b+acdot c(b+c)cdot a=bcdot a+ccdot aend{cases}}}
.

Алгебраическая структура

Сложение превращает множество натуральных чисел в полугруппу с единицей, роль единицы выполняет 0
. Умножение также превращает множество натуральных чисел в полугруппу с единицей, при этом единичным элементом является 1
. С помощью замыкания относительно операций сложения-вычитания и умножения-деления получаются группы целых чисел
Z
{displaystyle mathbb {Z} }
и рациональных положительных чисел
Q
+
∗
{displaystyle mathbb {Q} _{+}^{*}}
соответственно.

Числа, предназначенные для подсчета предметов и отвечающие на вопрос «сколько?» («сколько

мячей?», «сколько яблок?», «сколько солдати­ков?»), называются натуральными.

Если записать их по порядку, от меньшего числа к большему, то получится натуральный ряд чисел:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 99, 100, 101, …, 999, 1000, 1001 …

Натуральный ряд чисел начинается с числа 1.

Каждое следующее натуральное число на 1 боль­ше предыдущего.

Натуральный ряд чисел бесконечен.

Числа бывают четные и нечетные.
Четные числа делятся на два, а нечетные числа не делятся на два.

Ряд нечетных чисел:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …, 99, 101, …, 999, 1001, 1003 …

Ряд четных чисел:

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …, 98, 100, …, 998, 1000, 1002 …

В натуральном ряду нечетные и четные числа че­редуются:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …, 99, 100, …, 999, 1000 …

Как сравнивать натуральные числа

При сравнении двух натуральных чисел больше то, которое стоит в натуральном ряду правее:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

Так, семь больше трех, а пять больше единицы.

В математике для записи слова «меньше» исполь­зуют знак « ».

Острый уголок значков «больше» и «меньше» всегда направлен в сторону меньшего из двух чисел.

Запись 7 > 3 читается как «семь больше трех».

Запись 3

Запись 5 > 1 читается как «пять больше одного».

Запись 1

Слово «равно» в математике заменяют знаком «=»:

Когда числа большие, трудно сразу сказать, ка­кое из них стоит правее в натуральном ряду.

При сравнении двух натуральных чисел с разным количеством цифр больше из них то, в котором цифр больше.

Например, 233 000

Многозначные натуральные числа с одина­ковым количеством цифр сравниваются поразрядно, начиная со старшего разряда.

Сначала сравниваются единицы самого старшего разряда, потом — следующего за ним, следующего и так далее. Например, сравниваем числа 5401 и 5430:

5401 = 5 тысяч 4 сотни 0 десятков 1 единица;

5430 = 5 тысяч 4 сотни 3 десятка 0 единиц.

Сравниваем единицы тысяч
. В разряде единиц тысяч числа 5401 — 5 единиц, в разряде единиц тысяч числа 5430 — 5 единиц. Сравнив единицы тысяч, еще нельзя сказать, какое из чисел больше.

Сравниваем сотни
. В разряде сотен числа 5401 — 4 единицы, в разряде сотен числа 5430 — тоже 4 единицы. Надо продолжать сравнение.

Сравниваем десятки
. В разряде десятков числа 5401 — 0 единиц, в разряде десятков числа 5430 — 3 единицы.

Сравнив, получим 0

Числа можно располагать в порядке убывания и в порядке возрастания.

Если в записи нескольких натуральных чисел каждое следующее число меньше предыдущего, то говорят, что числа записаны в порядке убывания.

Запишем числа 5, 22, 13, 800 в порядке убы­вания.

Отыщем большее число. Число 5 — однозначное, 13 и 22 — двузначные, 800 — трехзначное число и, следовательно, самое большое. Пишем на первом ме­сте 800.

Из двузначных чисел 13 и 22 большее 22. Пишем за числом 800 число 22, а затем 13.

Наименьшее число — однозначное число 5. Пи­шем его последним.

800, 22, 13, 5 — запись данных чисел в порядке их убывания.

Если в записи нескольких натуральных чи­сел каждое следующее число больше предыду­щего, то говорят, что числа записаны в поряд­ке возрастания.

А как записать числа 15, 2, 31, 278, 298 в поряд­ке возрастания?

Среди чисел 15, 2, 31, 278, 298 отыщем меньшее.

Это однозначное число 2. Запишем его на первом месте.

Из двузначных чисел 15 и 31 выбираем мень­шее — 15, пишем его на втором месте, а за ним — 31.

Из трехзначных чисел 278 — меньшее, пишем его за числом 31, а последним пишем число 298.

2, 15, 21, 278, 298 — запись данных чисел в по­рядке возрастания

Натуральные числа
– числа, которые применяют для счета предметов.

Любое натуральное число можно записать с помощью десяти цифр:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Такую записьчисел называют десятичной.

Последовательность всех натуральных чисел называют натуральным рядом.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, …

Самое маленькое
натуральное число – единица (1). В натуральном ряду каждое следующее число на 1 больше предыдущего. Натуральный ряд бесконечен,
наибольшего числа в нем нет.

Значение цифры зависит от ее места в записи числа. Например, цифра 4 означает: 4 единицы,если она стоит на последнем месте в записи числа (в разряде единиц);
4 десятка,
если она стоит на предпоследнем месте (в разряде десятков);
4 сотни,
если она стоит на третьем месте от конца (в
разряде сотен).

Цифра0 означает отсутствие единиц данного разряда
в десятичной записи числа.Она служит и для обозначения числа «нуль
». Это число означает «ни одного». Счет 0: 3 футбольного матча говорит о том, что первая команда не забила ни одного гола в ворота противника.

Нуль не относят
к натуральным числам. И действительно счет предметов никогда не начинают с нуля.

Если запись натурального числа состоит из одного знака –
одной цифры, то его называют однозначным.
Т.е. однозначное
натуральное число
– натуральное число, запись которого состоит из одного знака –
одной цифры. Например, числа 1, 6, 8 – однозначные.

Двузначное
натуральное число
– натуральное число, запись которого состоит из двух знаков – двух цифр.

Например, числа 12, 47, 24, 99 – двузначные.

Так же по числу знаков в данном числе дают названия и другим числам:

числа 326, 532, 893 – трехзначные;

числа 1126, 4268, 9999 – четырехзначные
и т.д.

Двузначные, трехзначные, четырехзначные, пятизначные и т.д. числа называют многозначными числами.

Для чтения многозначных чисел их разбивают, начиная справа, на группы по три цифры в каждой (самая левая группа может состоять из одной или двух цифр). Эти группы называют классами.

Миллион
– это тысяча тысяч (1000 тыс.), его записывают 1 млн или 1 000 000.

Миллиард
– это 1000 миллионов. Его записывают 1 млрд или 1 000 000 000.

Три первые цифры справа составляют класс единиц, три следующие – класс тысяч, далее идут классы миллионов, миллиардов и т.д. (рис. 1).

Рис. 1. Класс миллионов, класс тысяч и класс единиц (слева направо)

Число15389000286 записано в разрядной сетке (рис. 2).

Рис. 2. Разрядная сетка: число 15 миллиардов 389 миллионов 286

Это число имеет 286 единиц в классе единиц, нуль единиц в классе тысяч, 389 единиц в классе миллионов и15 единиц в классе миллиардов.

Натуральные числа — одно из старейших
математических понятий.

В далёком прошлом люди не знали чисел и,
когда им требовалось пересчитать предметы
(животных, рыбу и т.д.), они делали это не так, как
мы сейчас.

Количество предметов сравнивали с частями тела, например, с
пальцами на руке и говорили: «У меня столько же орехов, сколько пальцев на руке».

Со временем люди поняли, что пять орехов, пять коз и пять зайцев обладают
общим свойством — их количество равно пяти.

При счёте число ноль не используется. Поэтому ноль не
считается натуральным числом.

Записывать числа люди научились гораздо позже, чем считать. Раньше
всего они стали изображать единицу одной палочкой, потом
двумя палочками — число 2, тремя — число 3.

| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …

Затем появились и особые знаки для обозначения чисел — предшественники современных
цифр. Цифры, которыми мы пользуемся для записи чисел, родились в Индии примерно 1 500
лет назад. В Европу их привезли арабы, поэтому их называют
арабскими цифрами.

Всего цифр десять: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. С помощью этих
цифр можно записать любое натуральное число.

В натуральном ряду каждое число больше предыдущего на 1.

Натуральный ряд бесконечен, наибольшего натурального числа в нём не существует.

Систему счёта (счисления), который мы пользуемся,
называют десятичной позиционной.

Десятичной потому, что 10 единиц каждого разряда образуют
1 единицу старшего разряда. Позиционной потому, что значение цифры
зависит от её места в записи числа, то есть от

разряда, в котором
она записана.

Класс миллиардов

Если взять десять сотен миллионов, то получим новую разрядную единицу —
один миллиард или в записи цифрами.

1 000 миллионов = 1 000 000 000 = 1 млрд

Десять таких единиц — десять миллиардов, десять десятков миллиардов образуют
следующую единицу — сто миллиардов.

Разряды и классы натурального числа

Рассмотрим натуральное число 783 502 197 048

Название класса	Миллиарды	Миллионы	Тысячи	Единицы
Название разряда	Сотни миллиардов	Десятки миллиардов	Миллиарды	Сотни миллионов	Десятки миллионов	Миллионы	Сотни тысяч	Десятки тысяч	Тысячи	Сотни	Десятки	Единицы
Цифра (символ)	7	8	3	5	0	2	1	9	7	0	4	8

Название класса	Миллиарды	Миллионы	Тысячи	Единицы
Название разряда	Сотни миллиардов	Десятки миллиардов	Миллиарды	Сотни миллионов	Десятки миллионов	Миллионы	Сотни тысяч	Десятки тысяч	Тысячи	Сотни	Десятки	Единицы
Цифра (символ)	7	8	3	5	0	2	1	9	7	0	4	8

C помощью таблицы разрядов прочитаем это число. Для этого надо слева направо по очереди
называть количество единиц каждого класса и добавлять название класса.

Название класса
единиц не произносят, также не произносят название класса, если все три
цифры в его разрядах — нули.

Теперь прочтем число 783 502 197 048 из таблицы:
783 миллиарда 502 миллиона 197 тысяч
48.

Числа 1, 10, 100, 1000… называются разрядными единицами. С их помощью натуральное число
записывается в виде разрядных слагаемых. Так, например, число 307 898 будет выглядеть
в виде разрядных слагаемых.

307 898 = 300 000 + 7 000 + 800 + 90 + 8

Проверить свои вычисления
вы можете с помощью нашего

калькулятора разложения числа на разряды онлайн.

Следующие за миллиардом классы названы в соответствии с латинскими
наименованиями чисел. Каждая следующая единица содержит тысячу предыдущих.

• 1 000 миллиардов = 1 000 000 000 000 = 1 триллион («три» — по латыни «три»)
• 1 000 триллионов = 1 000 000 000 000 000 = 1 квадриллион («квадра» — по латыни «четыре»)
• 1 000 квадриллионов = 1 000 000 000 000 000 000 = 1 квинтиллион («квинта» — по латыни «пять»)

Все числа пересчитать невозможно, поскольку за каждым числом следует число на единицу большее,
но очень большие числа в повседневной жизни не нужны.

Однако, физики нашли число, которое превосходит количество всех атомов (мельчайших частиц вещества)
во всей Вселенной.

Это число получило специальное название — гугол. Гугол — число, у которого
100 нулей.