Как правильно написать смешанную дробь

В этом материале мы разберем такое понятие, как смешанные числа. Начнем, как всегда, с определения и небольших примеров, потом поясним связь смешанных чисел и неправильных дробей. После этого мы изучим, как правильно выделять целую часть из дроби и получать в результате целое число.

Понятие смешанного числа

Если мы возьмем сумму n+ab, где значением n может быть любое натуральное число, а ab представляет из себя правильную обыкновенную дробь, то мы можем записать то же самое, не используя плюс: nab. Возьмем конкретные числа для ясности: так, 28+57 – это то же самое, что и 2857. Запись дроби рядом с целым числом принято называть смешанным числом.

Смешанное число представляет собой такое число, которое равно сумме натурального числа n с правильной обыкновенной дробью ab. В таком случае n является целой частью числа, а ab – его дробной частью.

Из определения следует, что любое смешанное число равно тому, что получится в результате сложения его целой и дробной части. Таким образом, будет выполняться равенство nab=n+ab.

Его также можно записать в виде n+ab=nab.

Какие можно привести примеры смешанных чисел? Так, к ним относится 518, при этом пятерка – это его целая часть, а одна восьмая – дробная. Еще примеры: 112, 2343453, 34000625.

Выше мы писали, что в дробной части смешанного числа должна стоять только правильная дробь. Иногда можно встретить записи вида 5223, 7572. Они не являются смешанными числами, т.к. их дробная часть неправильная. Их нужно понимать как сумму целой и дробной части. Такие числа можно привести к стандартному виду записи смешанных чисел, выделив целую часть из неправильной дроби и добавив ее к 5 и 75 в этих примерах соответственно.

Числа вида 0314также не относятся к смешанным. Здесь не выполняется первая часть условия: целая часть должна быть представлена только натуральным числом, а нуль им не является.

Как соотносятся между собой неправильные дроби и смешанные числа

Эту связь проще всего проследить на конкретном примере.

Мы поняли, как приводить неправильную дробь к виду смешанного числа. Если в числителе неправильной дроби стоит такое число, которое можно разделить на знаменатель без остатка, то можно сделать это, и тогда наша неправильная дробь станет натуральным числом.

Как перевести смешанное число в неправильную дробь

Чтобы успешно решать задачи, полезно уметь производить и обратное действие, то есть делать из смешанных чисел неправильные дроби. В этом пункте мы разберем, как правильно это сделать.

Для этого нужно воспроизвести следующую последовательность действий:

1. Для начала представляем имеющееся смешанное число nab как сумму целой и дробной части. Получается n+ab

2. Далее заменяем целую часть на дробь со знаменателем, равным единице (то есть записываем n как n1).

3.После этого выполняем уже знакомое действие – складываем две обыкновенные дроби n1 и ab. Получившаяся в результате неправильная дробь и будет равной смешанному числу, данному в условии.

Разберем это действие на конкретном примере.

Таким образом, с помощью указанной выше цепочки действий мы можем перевести любое смешанное число nab в неправильную дробь. У нас получилась формула nab=n·b+ab, которую мы и будем брать для решения дальнейших задач.

Как выделить из неправильной дроби целую часть

Обычно мы не указываем неправильную дробь в качестве итогового ответа. Принято доводить вычисления до конца и заменять ее либо натуральным числом (разделив числитель на знаменатель), либо смешанным числом. Как правило, первый способ используется, когда разделить числитель на знаменатель можно без остатка, а второй – если такое действие невозможно.

Когда мы выделяем из неправильной дроби целую часть, мы просто заменяем ее равным смешанным числом.

Разберем, как именно это делается.

Любая неправильная дробь ab –это смешанное число qrb. Здесь q представляет собой неполное частное, а r – это остаток от ab. Таким образом, целая часть смешанного числа есть неполное частное от деления ab, а дробная – это остаток.

Приведем доказательство этого утверждения.

Нам требуется пояснить, почему qrb=ab. Для этого смешанное число qrb надо представить в виде неправильной дроби, выполнив все шаги алгоритма из предыдущего пункта. Поскольку – неполное частное, а r – остаток от деления a на b, то должно выполняться равенство a=b·q+r.

Таким образом, q·b+rb=ab поэтому qrb=ab. Это и есть доказательство нашего утверждения. Подытожим:

Нам осталось посмотреть, как заменить неправильную дробь натуральным числом (при условии, что ее числитель делится на знаменатель без остатка).

Для этого вспомним, какая связь существует между обыкновенными дробями и делением. Из этого можно вывести равенства: ab=a:b=c. Получается, что неправильную дробь ab можно заменить натуральным числом c.

Многие ученики, когда подходит время изучать смешанные числа в 6 классе, сомневаются, что подобные вычисления пригодятся им в жизни, в особенности в наше время, когда можно при необходимости воспользоваться калькулятором.

Однако в быту подобными выражениями мы пользуемся чаще, чем может показаться на первый взгляд: при измерении времени, в рецептах блюд, дозировках лекарств и так далее.

Что такое смешанное число

Под смешанным числом понимают сумму натурального числа и обычной дроби, записанную без знака «+».

 ― это смешанное число. Читать данное выражение следует так: «четыре целых пять седьмых». 

Где 4 ― это целая, а 5/7 ― дробная часть.

Как представить смешанное число в виде неправильной дроби

Если мы, имея на руках один пирог и ещё половину (то есть 1½), возьмём и дополнительно поделим целый пирог на два равных куска, то у нас в итоге окажется три половинки (или 3/2). Но суть от этого всё равно не изменится: «количество» пирога останется прежним.

Этот пример наглядно показывает, что смешанное число можно превратить в неправильную дробь. Это преобразование можно выполнить за несколько шагов:

1. Записать целую части в виде дроби.
2. Подвести выражения под один знаменатель.
3. Сложить обе части. 

Например, 5¾ преобразуется следующим образом:

Данные вычисления можно выразить и в более короткой формуле:

Пример преобразования:

Как выделить целую часть неправильной дроби

Чтобы совершить обратную операцию и превратить неправильную дробь в смешанное число, нужно сначала выделить её целую часть. Она будет равна результату деления числителя на знаменатель. 

Если поделилось без остатка, значит больше никаких действий выполнять не нужно. 

Если поделить без остатка не получается, то для завершения преобразования в смешанное число, остаток следует вынести в числитель. Знаменатель остаётся тем же.

Как перевести смешанную дробь в десятичную

Так как подобную процедуру часто приходится проделывать не только в школе, выполняя математические задания и решая различные уравнения, но и в повседневности, ― умение проделывать это легко и быстро может оказаться очень полезным.

Для перевода необходимо:

1. Целую часть оставляем без изменений.
2. Дробную часть переводим в десятичную. Для этого выражение нужно привести к общему знаменателю, который делится на 10. Получившееся в числителе число записывается после нуля с запятой.
3. Складываем получившиеся результаты. 

Таким образом, чтобы преобразовать 5³/₅, нужно:

1. Выписать целую часть ― 5.
2. Преобразовать дробную часть .
3. Сложить эти выражения 5 + 0,6 = 5,6.

Как сократить смешанную дробь

При сокращении целая часть не трогается, изменениям подвергается только дробная. Чтобы сократить её, нужно:

• выявить наибольший общий множитель для числителя и знаменателя;
• поделить их на это число. 

Например, чтобы сократить 7⁶/₉, необходимо:

1. Найти общий множитель для 6 и 9. Для этого раскладываем их на простые числа 6 = 2 * 3; 9 = 3 * 3. Из чего следует, что общий множитель для них ― это 3.
2. Делим и числитель, и знаменатель на три ― 6 : 3 = 2 и 9 : 3 = 3;

Сложение смешанных чисел

Чтобы осуществить сложение, нужно необходимую операцию проделать отдельно для целых и отдельно для дробных частей. А получившиеся результаты сложить. 

Например, чтобы решить следующий пример 

,

необходимо:

1. Сложить целые части 9 + 3 = 12.
2. Сложить дробные части ¹/₃ + ¹/₃ = ²/_3.
3. Сложить их друг с другом 

Вычитание смешанных чисел

Для вычитания вычисления аналогичны. Следующую задачу 

следует решить так:

1. 7 – 4 = 3.
2. ³/₄ — ¹/₄ = ²/₄ = ¹/_2.
3. 3 + ½ = 3½.

Как умножать смешанные числа

Чтобы перемножить смешанные числа, необходимо:

• осуществить их перевод в неправильные дроби;
• полученные выражения перемножить по правилам умножения обыкновенных дробей. 

Для примера решим следующее задание:

Заключение

Происхождение чисел сложно точно проследить. Известно только, что человек стал пользоваться ими с самых седых времён. История дробей также берёт своё начало в глубокой древности: подобными понятиями оперировали уже в древнем Египте. 

Сегодня просто невозможно представить нашу жизнь без них. Все современные научные достижения, на которых основано наше общество, были бы попросту неосуществимы, не говоря уже о том, что значительно усложнилась бы наша повседневная жизнь. Вот почему так важно знать, что они собой представляют.

Морфемный разбор слова:

Однокоренные слова к слову:

Смешанные дроби или смешанные числа.

Смешанные дроби в математике можно получить одним из способов, например, из неправильной дроби или путем сложения дробей и еще много вариантов, когда вы сможете столкнуться со смешанной дробью.

Как сделать из неправильной дроби правильную дробь?

Рассмотрим неправильную дробь (frac<21><9>)

Дробная черта — это деление, поэтому число 21 поделим на 9 столбиком.

После деления столбиком у нас появились неполное частное, его записываем в целую часть дроби. Остаток записываем в числитель, а делитель записываем в знаменатель.

Получаем дробь (2frac<3><9>), такие дроби называются смешанными. В этой смешанной дроби число 2 – целая часть, а (frac<3><9>) – правильная дробь.

Смешанные дроби состоят из целой и дробной части.

Рассмотрим еще одну неправильную дробь (frac<76><5>)

Разделим ее столбиком:

Получили смешанную дробь (15frac<1><5>)

Как смешанную дробь перевести в неправильную дробь?

Чтобы из смешанной дроби сделать неправильную дробь нужно знаменатель умножить на целую часть и сложить с числителем, получим числитель неправильной дроби. А знаменатель остается без изменения. Рассмотрим пример:

Вопросы по теме:
Смешанная дробь может быть меньше единицы?
Ответ: нет, потому что смешанную дробь можно представить в виде неправильной дроби, а неправильная дробь всегда больше или равна единицы.

Что показывает целая часть у смешанной дроби?
Ответ: целая часть показывает сколько полных знаменателей содержит дробь.

Как представить смешанное число в виде неправильной дроби?
Ответ: к произведению знаменатели и целой части прибавить числитель получим числитель искомой неправильной дроби, а знаменатель не меняется.

Как перевести неправильную дробь в смешанное число? И как выделить целую часть?
Ответ: делим в столбик числитель на знаменатель, неполное частное – это целое, делитель – это знаменатель, а остаток – это числитель. Смотрите пример выше.

Что такое смешанные дроби или смешанные числа?
Ответ: Смешанные дроби – это числа, которые состоят из целой и дробной части.

Пример №1:
Представьте дробь в виде смешанного числа: (frac<508><17>)

Решение:
Разделим дробь столбиком:

Ответ: Получили смешанную дробь (29frac<15><17>)

Пример №2:
Представьте число в виде неправильной дроби: а) (9frac<2><3>), б) (1frac<3><7>)
Решение:
а) (9frac<2> <3>= frac<9 times 3 +2> <3>= frac<29><3>\\)
б) (1frac<3> <7>= frac<1 times 7 +3> <7>= frac<10><7>\\)

Задача №1:
Миша готовился к экзамену. За месяц он решил 120 задач. За первую неделю Миша решил (frac<2><5>) от этого числа. Сколько задач решил Миша за первую неделю?

Решение:
У нас есть дробь (frac<2><5>), знаменатель равен 5 это значит, что общее число 120 надо разделить на 5 и получим сколько составляет одна часть.
(120 div 5 = 24) задачи это одна часть или (frac<1><5>)
В числителе стоит 2, значит нам надо взять две части, поэтому 24 умножаем на 2.
(24 times 2 = 48) задач
Ответ: за неделю Миша решил 48 задач.

Источник

Смешанные дроби

Что такое смешанная дробь

Число, содержащее в себе целую и дробную части, называется смешанной дробью.

По сути, данное понятие представляет собой сумму целого числа и правильной дроби:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Превращение смешанной дроби в неправильную

Любое смешанное число можно преобразовать в неправильную дробь. Для этого необходимо к произведению целой части и знаменателя дробной части прибавить числитель. Полученная сумма будет числителем неправильной дроби, а знаменатель останется прежним.

Преобразование смешанной дроби в неправильную можно записать в виде формулы:

Выполнение действий со смешанными дробями, формулы и примеры

Сложение

Чтобы посчитать сумму смешанных дробей необходимо отдельно сложить их целые компоненты и дробные составляющие. Правильные дроби в составе смешанных чисел суммируются при помощи приведения к наименьшему общему знаменателю.

Формульное выражение сложения смешанных чисел:

(afrac bc+dfrac ef=left(a+dright)+left(frac bc+frac efright))

Вычисляем наименьший общий знаменатель дробных слагаемых:

Вычитание

Чтобы из одной смешанной дроби вычесть другую, нужно дробные компоненты уменьшаемого и вычитаемого привести к минимальному общему знаменателю, затем выполнить вычитание отдельно целых и дробных частей.

Формула для ситуации, когда дробь в составе уменьшаемого больше, чем дробная часть вычитаемого:

(afrac bc-dfrac ef=left(a+frac bcright)-left(d+frac efright);=left(a-dright)+left(frac bc-frac efright))

В случае, когда дробь в составе уменьшаемого меньше дроби в составе вычитаемого, необходимо меньшую дробь превратить в неправильную, отняв единицу от целой части уменьшаемого, то есть:

(afrac bc-dfrac ef=left(left(a-dright)-frac efright)+frac bc)

Для решения этого выражения найдем наименьший общий знаменатель:

8=2×2×2, следовательно, 8 — это наименьший общий знаменатель.

Умножение и деление

Перед тем, как умножать или делить смешанные числа, необходимо преобразовать их в неправильные дроби. После этого можно производить нужное действие по правилам умножения и деления обыкновенных дробей.

Формула умножения смешанных чисел выглядит так:

Формула деления смешанных дробей:

При умножении смешанной дроби на натуральное число преобразование в неправильную дробь делать не нужно. Такого рода вычисления производятся с помощью распределительного закона умножения.

Если требуется разделить смешанную дробь на натуральное число или натуральное число на смешанную дробь, нужно представить делимое и делитель в виде неправильной дроби, затем выполнить необходимое действие, как с обыкновенными дробями.

Если нужно выполнить умножение или деление смешанной дроби на обыкновенную дробь, смешанное число необходимо преобразовать в неправильную дробь. После преобразований нужное действие производится по такому же алгоритму, как с обыкновенными дробями.

Источник

Смешанные дроби

Вы будете перенаправлены на Автор24

Определение смешанной дроби

Перевод смешанного числа в неправильную дробь

Алгоритм перевода смешанного числа в неправильную дробь:

Готовые работы на аналогичную тему

Решение.

Воспользуемся алгоритмом перевода смешанного числа в неправильную дробь.

Запишем краткую запись данного решения:

Решение.

Выделение целой части из неправильной дроби

При получении числового решения не принято оставлять ответ в виде неправильной дроби. Неправильная дробь преобразуется в равное ей натуральное число (если числитель делится нацело на знаменатель), или выделяют целую часть из неправильной дроби (если числитель не делится нацело на знаменатель).

Выделением целой части из неправильной дроби называется замена дроби равным ей смешанным числом.

Решение.

Выполним деление в столбик:

Сложение смешанного числа и натурального числа

Правило сложения смешанного и натурального числа:

Для сложения смешанного и натурального числа нужно к целой части смешанного числа прибавить данное натуральное число, дробная часть остается без изменения:

Решение.

Сложение двух смешанных чисел

При сложении двух смешанных чисел складываются их целые части и дробные части.

Решение.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 21 06 2021

Источник

Обыкновенные дроби

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Доля целого

Доля — это каждая равная часть, из суммы которых состоит целый предмет.

Для примера возьмем два мандарина. Когда мы их почистим, то получим в каждом мандарине разное количество долек или долей. В одном может быть 6, а в другом — целых 9. Размеры долей у каждого мандарина тоже разные.

У каждой доли есть свое название: оно зависит от количества долей в конкретном предмете. Если в мандарите шесть долей — каждая из них будет определяться, как одна шестая от целого.

Понятие доли можно применить не только к предметам, но и величинам. Так, например, картина занимает четверть стены — при этом ее ширина треть метра.

Чтобы быстрее запомнить соотношения частей и целого, можно использовать наглядную табличку:

Понятие дроби

Дробь — это запись числа в математика, в которой a и b — числа или выражения. По сути, это всего лишь одна из форм, в которой можно представить число. Есть два формата записи:

Виды дробей:

Какие еще бывают дроби:

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.

Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 35.

Выделение целой части из неправильной дроби — это запись неправильной дроби в виде суммы натурального числа и правильной дроби. Например, 11/5 = 2 + 1/5.

Онлайн-курсы математики для детей помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Как устроена обыкновенная дробь

Обыкновенная дробь — это запись вида m/n, где m и n любые натуральные числа.

Такие дроби записываются с помощью двух натуральных чисел и горизонтальной черты, которая называется чертой дроби. Иногда ставится не горизонтальная черта, а косая.

Числитель обыкновенной дроби m/n — это натуральное число m, которое стоит над чертой. Числитель это делимое — то, что мы делим.

Знаменатель обыкновенной дроби m/n — натуральное число n, которое стоит под чертой. Знаменатель это делитель — то, на сколько делим.

Черта между числителем и знаменателем — символ деления.

Равные обыкновенные дроби — обыкновенные дроби a/b и c/d, для которых справедливо равенство: a * d = b * c. Пример равных дробей: 1/2 и 2/4, так как 1 * 4 = 2 * 2.

Неравные обыкновенные дроби — обыкновенные дроби a/b и c/d, для которых равенство: a * d = b * c не является верным.

Как устроена десятичная дробь

В десятичной дроби знаменатель всегда равен 10, 100, 1000, 10000 и т.д. Выходит, что десятичная дробь — это то, что получается, если разделить числитель на знаменатель. Десятичную дробь записывают в строчку через запятую, чтобы отделить целую часть от дробной. Вот так:

Конечная десятичная дробь — это дробь, в которой количество цифр после запятой точно определено.

Бесконечная десятичная дробь — это когда после запятой количество цифр бесконечно. Для удобства математики договорились округлять эти цифры до 1-3 после запятой.

Свойства дробей

Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится дробь, равная данной. Формула выглядит так:

где a, b, k — натуральные числа.

Обыкновенная и десятичная дробь — давние друзья. Вот, как они связаны:

У нас есть отличные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы, записывайтесь!

Действия с дробями

С дробями можно выполнять те же действия, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. А еще дроби можно сокращать и сравнивать между собой. Давайте попробуем.

Сравнение дробей

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше.

Сравним 1/5 и 4/5. Как рассуждаем:

Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, нужно привести дроби к общему знаменателю. А после приведения дробей к общему знаменателю, можно применить правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.

Пример. Сравнить 2/7 и 1/14.

Важно запомнить: любая неправильная дробь больше любой правильной. Потому что неправильная дробь всегда больше или равна 1, а правильная дробь всегда меньше 1.

Чтобы сравнить дроби с разными числителями и знаменателями, нужно:

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, нужно:

Сокращение дробей

Сокращение дроби — это деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же натуральное число. Сократить дробь значит сделать ее короче и проще для восприятия. Например, дробь 1/3 выглядит намного проще и красивее, чем 27/81.

Сокращение дроби выглядит так: зачеркивают числитель и знаменатель, а рядом записывают результаты деления числителя и знаменателя на одно и то же число.

В этом примере делим обе части дроби на двойку.

Можно никуда не спешить и сокращать дроби последовательно, в несколько действий.

Сложение и вычитание дробей

При сложении и вычитании дробей с одинаковыми знаменателями к числителю первой дроби прибавляют числитель второй дроби (из числителя первой вычитают числитель второй) и оставляют тот же знаменатель.

Не забудьте проверить, можно ли сократить дробь и выделить целую часть.

При сложении и вычитании дробей с разными знаменателями нужно найти наименьший общий знаменатель, сложить или вычесть полученные дроби (используем предыдущее правило).

Для этого запишем в столбик числа, которые в сумме дают значения делителей. Далее перемножаем полученное и получаем НОК.

НОК (15, 18) = 3 * 2 * 3 * 5 = 90

Полученные числа запишем справа сверху над числителем.

Ход решения одной строкой:

Сложение или вычитание смешанных чисел можно привести к отдельному сложению их целых частей и дробных частей. Для этого нужно действовать поэтапно:

Необходимо приводить к общему, если знаменатели разные. Для этого воспользуемся знаниями из предыдущего примера.

Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, нужно выделить ее целую часть и прибавить к полученной ранее целой части.

Умножение и деление дробей

Произведение двух дробей равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей:

Не забываем про сокращение. Это может облегчить вычисления.

Чтобы умножить два смешанных числа, надо:

Чтобы разделить дробь на дробь нужно выполнить следующую последовательность действий:

Другими словами это правило звучит так: чтобы разделить одну дробь на другую, надо первую умножить на обратную от второй.

Числа, произведение которых равно 1, называют взаимно обратными.

Как делить дроби с разными знаменателями? На самом деле одинаковые или разные знаменатели у дробей — неважно, потому что все дроби делятся по правилу, описанному выше.

Для деления смешанных чисел необходимо:

Источник

Правильные, неправильные и смешанные дроби

В данной публикации мы рассмотрим виды обыкновенных дробей: правильные, неправильные и смешанные. Также на практических примерах разберем, как можно смешанную дробь перевести в неправильную и наоборот.

Правильные и неправильные дроби

Правильная дробь – обыкновенная дробь, числитель которого меньше знаменателя.

являются правильными, т.к. 3 9 / 5

являются неправильными, т.к. 9>5, 10>7, 15>6.

Примечание: должны учитываться не сами значения числителя и знаменателя, а их модули.

Смешанные дроби

Дробь, которая записана в виде целого числа и правильной дроби называется смешанной. Ее следует воспринимать как сумму целой и дробной частей.

Перевод неправильной дроби в смешанную

Любую неправильную дробь можно представить в виде смешанной путем деления числителя на знаменатель. При этом неполное частное от деления будет являться целой частью смешанной дроби, а остаток – числителем дробной части. Знаменатель остается прежним (см. Пример 1).

Перевод смешанной дроби в неправильную

Смешанную дробь можно представить в виде неправильной. Для этого целую часть умножаем на знаменатель дробной части. Полученный результат прибавляем к числителю дробной части и, таким образом, мы получим числитель неправильной дроби. Знаменатель остается прежним (см. Пример 2).

Примеры

Пример 1

Решение
Для того, чтобы справиться с поставленной задачей, разделим числитель на знаменатель, пользуясь алгоритмом, описанным выше.

Источник

Многие ученики, когда подходит время изучать смешанные числа в 6 классе, сомневаются, что подобные вычисления пригодятся им в жизни, в особенности в наше время, когда можно при необходимости воспользоваться калькулятором.

Однако в быту подобными выражениями мы пользуемся чаще, чем может показаться на первый взгляд: при измерении времени, в рецептах блюд, дозировках лекарств и так далее.

Что такое смешанное число

Под смешанным числом понимают сумму натурального числа и обычной дроби, записанную без знака «+».

 ― это смешанное число. Читать данное выражение следует так: «четыре целых пять седьмых». 

Где 4 ― это целая, а 5/7 ― дробная часть.

Как представить смешанное число в виде неправильной дроби

Если мы, имея на руках один пирог и ещё половину (то есть 1½), возьмём и дополнительно поделим целый пирог на два равных куска, то у нас в итоге окажется три половинки (или 3/2). Но суть от этого всё равно не изменится: «количество» пирога останется прежним.

Этот пример наглядно показывает, что смешанное число можно превратить в неправильную дробь. Это преобразование можно выполнить за несколько шагов:

1. Записать целую части в виде дроби.
2. Подвести выражения под один знаменатель.
3. Сложить обе части. 

Например, 5¾ преобразуется следующим образом:

Данные вычисления можно выразить и в более короткой формуле:

Пример преобразования:

Как выделить целую часть неправильной дроби

Чтобы совершить обратную операцию и превратить неправильную дробь в смешанное число, нужно сначала выделить её целую часть. Она будет равна результату деления числителя на знаменатель. 

Если поделилось без остатка, значит больше никаких действий выполнять не нужно. 

Если поделить без остатка не получается, то для завершения преобразования в смешанное число, остаток следует вынести в числитель. Знаменатель остаётся тем же.

Как перевести смешанную дробь в десятичную

Так как подобную процедуру часто приходится проделывать не только в школе, выполняя математические задания и решая различные уравнения, но и в повседневности, ― умение проделывать это легко и быстро может оказаться очень полезным.

Для перевода необходимо:

1. Целую часть оставляем без изменений.
2. Дробную часть переводим в десятичную. Для этого выражение нужно привести к общему знаменателю, который делится на 10. Получившееся в числителе число записывается после нуля с запятой.
3. Складываем получившиеся результаты. 

Таким образом, чтобы преобразовать 5³/₅, нужно:

1. Выписать целую часть ― 5.
2. Преобразовать дробную часть .
3. Сложить эти выражения 5 + 0,6 = 5,6.

Как сократить смешанную дробь

При сокращении целая часть не трогается, изменениям подвергается только дробная. Чтобы сократить её, нужно:

• выявить наибольший общий множитель для числителя и знаменателя;
• поделить их на это число. 

Например, чтобы сократить 7⁶/₉, необходимо:

1. Найти общий множитель для 6 и 9. Для этого раскладываем их на простые числа 6 = 2 * 3; 9 = 3 * 3. Из чего следует, что общий множитель для них ― это 3.
2. Делим и числитель, и знаменатель на три ― 6 : 3 = 2 и 9 : 3 = 3;

Сложение смешанных чисел

Чтобы осуществить сложение, нужно необходимую операцию проделать отдельно для целых и отдельно для дробных частей. А получившиеся результаты сложить. 

Например, чтобы решить следующий пример 

,

необходимо:

1. Сложить целые части 9 + 3 = 12.
2. Сложить дробные части ¹/₃ + ¹/₃ = ²/_3.
3. Сложить их друг с другом 

Вычитание смешанных чисел

Для вычитания вычисления аналогичны. Следующую задачу 

следует решить так:

1. 7 – 4 = 3.
2. ³/₄ — ¹/₄ = ²/₄ = ¹/_2.
3. 3 + ½ = 3½.

Как умножать смешанные числа

Чтобы перемножить смешанные числа, необходимо:

• осуществить их перевод в неправильные дроби;
• полученные выражения перемножить по правилам умножения обыкновенных дробей. 

Для примера решим следующее задание:

Заключение

Происхождение чисел сложно точно проследить. Известно только, что человек стал пользоваться ими с самых седых времён. История дробей также берёт своё начало в глубокой древности: подобными понятиями оперировали уже в древнем Египте. 

Сегодня просто невозможно представить нашу жизнь без них. Все современные научные достижения, на которых основано наше общество, были бы попросту неосуществимы, не говоря уже о том, что значительно усложнилась бы наша повседневная жизнь. Вот почему так важно знать, что они собой представляют.

Записываются они как (a)(frac{m}{n}), где – (a) целое число,(frac{m}{n}) — правильная дробь. 

Например:   (2)(frac{3}{5}) здесь (2) – целая часть, (frac{3}{5}) – дробная часть (правильная дробь).

                     (17)(frac{17}{18}) здесь (17) – целая часть, (frac{17}{18}) – дробная часть (правильная дробь).

Например:  (2frac{3}{5}=2+frac{3}{5})

Это не нужно заучивать, просто поймите суть. Вдумайтесь, что на практике означает, например, запись: «на складе осталось (2)(frac{3}{5}) мешка муки»? Что на складе лежит два полных мешка и еще один заполненный на (frac{3}{5}). Где здесь место умножению? Очевидно ведь, что это два плюс еще (frac{3}{5}) мешка муки! Понимать этот момент очень важно, потому что здесь допускается огромное количество ошибок при вычислениях со смешанными дробями (см. ниже).

Превращение смешанной дроби в неправильную

Например, при преобразовании (2)(frac{3}{5}) получим (frac{2·5 + 3}{5}=frac{13}{5}).

Почему вычисление производиться именно так? Все дело в плюсе, стоящем между целой и дробной частью (см. выше). На самом деле, полное преобразование выглядит вот так:

Но расписывать все так подробно слишком долго, да и незачем, проще сразу получать ответ, пользуясь формулой выше.

Превращение неправильной дроби в смешанную

Чтобы этого добиться, мы задаем себе вопрос – сколько раз знаменатель целиком «помещается» в числителе?
Например, пусть нам нужно представить как смешанную дробь (frac{13}{5}). Сколько раз пятерка «помещается» в тринадцати? Два раза. Третий раз уже «не влезет». Значит, целая часть будет равна двойке, а дробная – остатку, то есть (frac{3}{5}). Оформляем: (frac{13}{5})(=)(frac{10 + 3}{5})(=)(frac{10}{5})(+)(frac{3}{5})(=2+)(frac{3}{5})(=2)(frac{3}{5}). Вот еще примеры с верным преобразованием:

(frac{37}{11})(=)(frac{33 + 4}{11})(=)(frac{33}{11})(+)(frac{4}{11})(=3+)(frac{4}{11})(=3)(frac{4}{11})
(frac{26}{3})(=)(frac{24 + 2}{3})(=)(frac{24}{3})(+)(frac{2}{3})(=8+)(frac{2}{3})(=8)(frac{2}{3})

А вот пример неправильного выделения целой части:

(frac{7}{2})(=)(frac{4 + 3}{2})(=)(frac{4}{2})(+)(frac{3}{2})(=2+)(frac{3}{2})(=2)(frac{3}{2})

В чем ошибка? В том, что дробная часть должна быть правильной дробью. А здесь не так — значит целая часть выделена не полностью. Действительно, ведь двойка в семерке нацело помещается три раза, а не два. Поэтому верным будет вот такое выделение:

(frac{7}{2})(=)(frac{6 + 1}{2})(=)(frac{6}{2})(+)(frac{1}{2})(=3+)(frac{1}{2})(=3)(frac{1}{2})

Превращение смешанной дроби в десятичную

Например: (2)(frac{3}{5})(=2+)(frac{3}{5})(=2+0,6=2,6)
                      (7)(frac{11}{25})(=7+)(frac{11}{25})(=7+0,44=7,44)

Отсюда вывод:

Наиболее частые ошибки при работе со смешанной дробью

Главной причиной большинства ошибок является забывание описанного выше момента – между целой и дробной частью стоит «плюс», а не «умножить».

Пример: Вычислить (2)(frac{3}{5})(:)(frac{1}{5})
Ошибочное решение: (2)(frac{3}{5})(:)(frac{1}{5})(=2)(frac{3}{5})(·)(frac{5}{1})(=2)(frac{3 · 5}{5 · 1})(=2·3=6)
Правильное решение: (2)(frac{3}{5})(:)(frac{1}{5})(=(2+)(frac{3}{5})():)(frac{1}{5})(=)(frac{2·5+3}{5})(:)(frac{1}{5})(=)(frac{13}{5})(·)(frac{5}{1})(=)(frac{13 · 5}{5 · 1})(=13)

Пример: Вычислить (3)(frac{1}{5})(·1)(frac{1}{4})
Ошибочное решение: (3)(frac{1}{5})(·1)(frac{1}{4})(=3·)(frac{1}{5})(·1·)(frac{1}{4})(=)(frac{3}{5})(·)(frac{1}{4})(=)(frac{3 · 1}{5 · 4})(=)(frac{3}{20})
Правильное решение: (3)(frac{1}{5})(·1)(frac{1}{4})(=(3+)(frac{1}{5})()·(1+)(frac{1}{4})()=)(frac{3·5 + 1}{5})(·)(frac{1·4 + 1}{4})(=)(frac{16}{5})(·)(frac{5}{4})(=)(frac{16 · 5}{5 · 4})(=4)

Из того, что целая и дробная части соединены знаком плюс следует еще один вывод:

Например: (-7) (frac{5}{9})(=-(7+) (frac{5}{9})()=-7-) (frac{5}{9}).
Это важно помнить при вычитании смешанных дробей.

Пример. Вычислить (4)(frac{3}{5})(-2)(frac{1}{5}).
Решение: (4)(frac{3}{5})(-2)(frac{1}{5})(=(4+)(frac{3}{5})()-(2+)(frac{1}{5})()=4+)(frac{3}{5})(-2-)(frac{1}{5})(=4-2+)(frac{3}{5})(-)(frac{1}{5})(=2+)(frac{3-1}{5})(=2+)(frac{2}{5})(=2)(frac{2}{5}).

Вообще вычитание (сложение) смешанных дробей удобно проводить в два этапа: сначала отдельно вычесть (сложить) целые части, а затем – дробные.

Смотрите также:
Дроби (шпаргалка)