Линейная функция как пишется

От точки пересечения прямой с осью Y нанесите вторую точку, используя вертикальное и горизонтальное расстояния.
График линейной функции можно построить по двум точкам. В нашем примере точка пересечения с осью Y имеет координаты (0,5); от этой точки передвиньтесь на 2 деления вверх, а затем на 1 деление вправо. Отметьте точку; она будет иметь координаты (1,7). Теперь можно провести прямую.

При помощи линейки проведите прямую через две точки.
Во избежание ошибок найдите третью точку, но в большинстве случаев график можно построить по двум точкам. Таким образом, вы построили график линейной функции.

Построение графика сложной функции

Найдите нули функции.
Нули функции – это значения переменной «х», при которых у = 0, то есть это точки пересечения графика с осью Х. Имейте в виду, что нули имеют не все функции, но это первый шаг процесса построения графика любой функции. Чтобы найти нули функции, приравняйте ее к нулю. Например:



Найдите и отметьте горизонтальные асимптоты.
Асимптота – это прямая, к которой график функции приближается, но никогда не пересекает ее (то есть в этой области функция не определена, например, при делении на 0). Асимптоту отметьте пунктирной линией. Если переменная «х» находится в знаменателе дроби (например, y = 1 4 − x 2 {displaystyle y={frac {1}{4-x^{2}}}}
), приравняйте знаменатель к нулю и найдите «х». В полученных значения переменной «х» функция не определена (в нашем примере проведите пунктирные линии через х = 2 и х = -2), потому что на 0 делить нельзя. Но асимптоты существуют не только в случаях, когда функция содержит дробное выражение. Поэтому рекомендуется пользоваться здравым смыслом:



1. Найдите координаты нескольких точек и нанесите их на координатную плоскость.
   Просто выберите несколько значений «х» и подставьте их в функцию, чтобы найти соответствующие значения «у». Затем нанесите точки на координатную плоскость. Чем сложнее функция, тем больше точек нужно найти и нанести. В большинстве случаев подставьте х = -1; х = 0; х = 1, но если функция сложная, найдите по три точки с каждой стороны от начала координат.

   • В случае функции y = 5 x 2 + 6 {displaystyle y=5x^{2}+6}
     подставьте следующие значения «х»: -1, 0, 1, -2, 2, -10, 10. Вы получите достаточное количество точек.
   • Выбирайте значения «х» с умом. В нашем примере несложно понять, что отрицательный знак не играет роли: значение «у» при х = 10 и при х = -10 будет одним и тем же.
3. Если вы не знаете, что делать, начните с подстановки в функцию различных значений «х», чтобы найти значения «у» (и, следовательно, координаты точек). Теоретически график функции можно построить при помощи только этого метода (если, конечно, подставить бесконечное разнообразие значений «х»).

Рассмотрим функцию y=k/y. Графиком этой функции является линия, называемая в математике гиперболой. Общий вид гиперболы, представлен на рисунке ниже. (На графике представлена функция y равно k разделить на x, у которой k равно единице.)

Видно, что график состоит из двух частей. Эти части называют ветвями гиперболы. Стоит отметить также, что каждая ветвь гиперболы подходит в одном из направлений все ближе и ближе к осям координат. Оси координат в таком случае называют асимптотами.

Вообще любые прямые линии, к которым бесконечно приближается график функции, но не достигает их, называются асимптотами. У гиперболы, как и у параболы, есть оси симметрии. Для гиперболы, представленной на рисунке выше, это прямая y=x.

Теперь разберемся с двумя общими случаями гипербол. Графиком функции y = k/x, при k ≠0, будет являться гипербола, ветви которой расположены либо в первом и третьем координатных углах, при k>0, либо во втором и четвертом координатных углах, при k

Основные свойства функции y = k/x, при k>0

График функции y = k/x, при k>0

5. y>0 при x>0; y6. Функция убывает как на промежутке (-∞;0), так и на промежутке (0;+∞).

10. Область значений функции два открытых промежутка (-∞;0) и (0;+∞).

Основные свойства функции y = k/x, при k

График функции y = k/x, при k

1. Точка (0;0) центр симметрии гиперболы.

2. Оси координат — асимптоты гиперболы.

4. Область определения функции все х, кроме х=0.

5. y>0 при x0.

6. Функция возрастает как на промежутке (-∞;0), так и на промежутке (0;+∞).

7. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.

8. У функции нет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

9. Функция непрерывна на промежутке (-∞;0) и на промежутке (0;+∞). Имеет разрыв в точке х=0.

Данный методический материал носит справочный характер и относится к широкому кругу тем. В статье приведен обзор графиков основных элементарных функций и рассмотрен важнейший вопрос – как правильно и БЫСТРО построить график
. В ходе изучения высшей математики без знания графиков основных элементарных функций придётся тяжело, поэтому очень важно вспомнить, как выглядят графики параболы, гиперболы, синуса, косинуса и т.д., запомнить некоторые значения функций. Также речь пойдет о некоторых свойствах основных функций .

Я не претендую на полноту и научную основательность материалов, упор будет сделан, прежде всего, на практике – тех вещах, с которыми приходится сталкиваться буквально на каждом шагу, в любой теме высшей математики
. Графики для чайников? Можно сказать и так.

По многочисленным просьбам читателей кликабельное оглавление
:

Кроме того, есть сверхкраткий конспект по теме
– освойте 16 видов графиков, изучив ШЕСТЬ страниц!

Серьёзно, шесть, удивился даже я сам. Данный конспект содержит улучшенную графику и доступен за символическую плaту , демо-версию можно посмотреть . Файл удобно распечатать, чтобы графики всегда были под рукой. Спасибо за поддержку проекта!

И сразу начинаем:

Как правильно построить координатные оси?

На практике контрольные работы почти всегда оформляются студентами в отдельных тетрадях, разлинованных в клетку. Зачем нужна клетчатая разметка? Ведь работу, в принципе, можно сделать и на листах А4. А клетка необходима как раз для качественного и точного оформления чертежей.

Любой чертеж графика функции начинается с координатных осей
.

Чертежи бывают двухмерными и трехмерными.

Сначала рассмотрим двухмерный случай декартовой прямоугольной системы координат
:

1) Чертим координатные оси. Ось называется осью абсцисс

, а ось – осью ординат

. Чертить их всегда стараемся аккуратно и не криво
. Стрелочки тоже не должны напоминать бороду Папы Карло.

2) Подписываем оси большими буквами «икс» и «игрек». Не забываем подписывать оси
.

3) Задаем масштаб по осям: рисуем ноль и две единички
. При выполнении чертежа самый удобный и часто встречающийся масштаб: 1 единица = 2 клеточки (чертеж слева) – по возможности придерживайтесь именно его. Однако время от времени случается так, что чертеж не вмещается на тетрадный лист – тогда масштаб уменьшаем: 1 единица = 1 клеточка (чертеж справа). Редко, но бывает, что масштаб чертежа приходится уменьшать (или увеличивать) еще больше

НЕ НУЖНО «строчить из пулемёта» …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ….
Ибо координатная плоскость – не памятник Декарту, а студент – не голубь. Ставим ноль
и две единицы по осям
. Иногда вместо
единиц удобно «засечь» другие значения, например, «двойку» на оси абсцисс и «тройку» на оси ординат – и эта система (0, 2 и 3) тоже однозначно задаст координатную сетку.

Предполагаемые размеры чертежа лучше оценить еще ДО построения чертежа
. Так, например, если в задании требуется начертить треугольник с вершинами , , , то совершенно понятно, что популярный масштаб 1 единица = 2 клеточки не подойдет. Почему? Посмотрим на точку – здесь придется отмерять пятнадцать сантиметров вниз, и, очевидно, что чертеж не вместится (или вместится еле-еле) на тетрадный лист. Поэтому сразу выбираем более мелкий масштаб 1 единица = 1 клеточка.

Кстати, о сантиметрах и тетрадных клетках. Правда ли, что в 30 тетрадных клетках содержится 15 сантиметров? Отмерьте в тетради для интереса 15 сантиметров линейкой. В СССР, возможно, это было правдой… Интересно отметить, что если отмерить эти самые сантиметры по горизонтали и вертикали, то результаты (в клетках) будут разными! Строго говоря, современные тетради не клетчатые, а прямоугольные. Возможно, это покажется ерундой, но, чертить, например, окружность циркулем при таких раскладах очень неудобно. Если честно, в такие моменты начинаешь задумываться о правоте товарища Сталина, который отправлял в лагеря за халтуру на производстве, не говоря уже об отечественном автомобилестроении, падающих самолетах или взрывающихся электростанциях.

К слову о качестве, или краткая рекомендация по канцтоварам. На сегодняшний день большинство тетрадей в продаже, плохих слов не говоря, полное гомно. По той причине, что они промокают, причём не только от гелевых, но и от шариковых ручек! На бумаге экономят. Для оформления контрольных работ рекомендую использовать тетради Архангельского ЦБК (18 листов, клетка) или «Пятёрочку», правда, она дороже. Ручку желательно выбрать гелевую, даже самый дешевый китайский гелевый стержень намного лучше, чем шариковая ручка, которая то мажет, то дерёт бумагу. Единственной «конкурентоспособной» шариковой ручкой на моей памяти является «Эрих Краузе». Она пишет чётко, красиво и стабильно – что с полным стержнем, что с практически пустым.

Дополнительно
: вИдение прямоугольной системы координат глазами аналитической геометрии освещается в статье Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов
, подробную информацию о координатных четвертях можно найти во втором параграфе урока Линейные неравенства
.

Трехмерный случай

Здесь почти всё так же.

1) Чертим координатные оси. Стандарт: ось аппликат

– направлена вверх, ось – направлена вправо, ось – влево вниз строго
под углом 45 градусов.

2) Подписываем оси.

3) Задаем масштаб по осям. Масштаб по оси – в два раза меньше, чем масштаб по другим осям
. Также обратите внимание, что на правом чертеже я использовал нестандартную «засечку» по оси (о такой возможности уже упомянуто выше)
. С моей точки зрения, так точнее, быстрее и эстетичнее – не нужно под микроскопом выискивать середину клетки и «лепить» единицу впритык к началу координат.

При выполнении трехмерного чертежа опять же – отдавайте приоритет масштабу
1 единица = 2 клетки (чертеж слева).

Для чего нужны все эти правила? Правила существуют для того, чтобы их нарушать. Чем я сейчас и займусь. Дело в том, что последующие чертежи статьи будут выполнены мной в Экселе, и, координатные оси будут выглядеть некорректно с точки зрения правильного оформления. Я бы мог начертить все графики от руки, но чертить их на самом деле жуть как неохота Эксель их начертит гораздо точнее.

Графики и основные свойства элементарных функций

Линейная функция задается уравнением . График линейной функций представляет собой прямую
. Для того, чтобы построить прямую достаточно знать две точки.

Пример 1

Построить график функции . Найдем две точки. В качестве одной из точек выгодно выбрать ноль.

Если , то

Берем еще какую-нибудь точку, например, 1.

Если , то

При оформлении заданий координаты точек обычно сводятся в таблицу:

А сами значения рассчитываются устно или на черновике, калькуляторе.

Две точки найдены, выполним чертеж:

При оформлении чертежа всегда подписываем графики
.

Не лишним будет вспомнить частные случаи линейной функции:

Обратите внимание, как я расположил подписи, подписи не должны допускать разночтений при изучении чертежа
. В данном случае крайне нежелательно было поставить подпись рядом с точкой пересечения прямых , или справа внизу между графиками.

1) Линейная функция вида () называется прямой пропорциональностью. Например, . График прямой пропорциональности всегда проходит через начало координат. Таким образом, построение прямой упрощается – достаточно найти всего одну точку.

2) Уравнение вида задает прямую, параллельную оси , в частности, сама ось задается уравнением . График функции строится сразу, без нахождения всяких точек. То есть, запись следует понимать так: «игрек всегда равен –4, при любом значении икс».

3) Уравнение вида задает прямую, параллельную оси , в частности, сама ось задается уравнением . График функции также строится сразу. Запись следует понимать так: «икс всегда, при любом значении игрек, равен 1».

Некоторые спросят, ну зачем вспоминать 6 класс?! Так-то оно, может и так, только за годы практики я встретил добрый десяток студентов, которых ставила в тупик задача построения графика вроде или .

Построение прямой – самое распространенное действие при выполнении чертежей.

Прямая линия детально рассматривается в курсе аналитической геометрии, и желающие могут обратиться к статье Уравнение прямой на плоскости
.

График квадратичной, кубической функции, график многочлена

Парабола. График квадратичной функции () представляет собой параболу. Рассмотрим знаменитый случай:

Вспоминаем некоторые свойства функции .

Итак, решение нашего уравнения: – именно в этой точке и находится вершина параболы. Почему это так, можно узнать из теоретической статьи о производной и урока об экстремумах функции . А пока рассчитываем соответствующее значение «игрек»:

Таким образом, вершина находится в точке

Теперь находим другие точки, при этом нагло пользуемся симметричностью параболы. Следует заметить, что функция – не является чётной
, но, тем не менее, симметричность параболы никто не отменял.

В каком порядке находить остальные точки, думаю, будет понятно из итоговой таблицы:

Данный алгоритм построения образно можно назвать «челноком» или принципом «туда-сюда» с Анфисой Чеховой.

Выполним чертеж:

Из рассмотренных графиков вспоминается еще один полезный признак:

Для квадратичной функции () справедливо следующее:

Если , то ветви параболы направлены вверх
.

Если , то ветви параболы направлены вниз
.

Углублённые знания о кривой можно получить на уроке Гипербола и парабола .

Кубическая парабола задается функцией . Вот знакомый со школы чертеж:

Перечислим основные свойства функции

График функции

Он представляет собой одну из ветвей параболы . Выполним чертеж:

Основные свойства функции :

В данном случае ось является вертикальной асимптотой

для графика гиперболы при .

Будет ГРУБОЙ ошибкой, если при оформлении чертежа по небрежности допустить пересечение графика с асимптотой
.

Также односторонние пределы , говорят нам о том, что гипербола не ограничена сверху
и не ограничена снизу
.

Исследуем функцию на бесконечности: , то есть, если мы начнем уходить по оси влево (или вправо) на бесконечность, то «игреки» стройным шагом будут бесконечно близко
приближаться к нулю, и, соответственно, ветви гиперболы бесконечно близко
приближаться к оси .

Таким образом, ось является горизонтальной асимптотой

для графика функции, если «икс» стремится к плюс или минус бесконечности.

Функция является нечётной
, а, значит, гипербола симметрична относительно начала координат. Данный факт очевиден из чертежа, кроме того, легко проверяется аналитически: .

График функции вида () представляет собой две ветви гиперболы
.

Если , то гипербола расположена в первой и третьей координатных четвертях
(см. рисунок выше).

Если , то гипербола расположена во второй и четвертой координатных четвертях
.

Указанную закономерность места жительства гиперболы нетрудно проанализировать с точки зрения геометрических преобразований графиков .

Пример 3

Построить правую ветвь гиперболы

Используем поточечный метод построения, при этом, значения выгодно подбирать так, чтобы делилось нацело:

Выполним чертеж:

Не составит труда построить и левую ветвь гиперболы, здесь как раз поможет нечетность функции. Грубо говоря, в таблице поточечного построения мысленно добавляем к каждому числу минус, ставим соответствующие точки и прочерчиваем вторую ветвь.

Детальную геометрическую информацию о рассмотренной линии можно найти в статье Гипербола и парабола .

График показательной функции

В данном параграфе я сразу рассмотрю экспоненциальную функцию , поскольку в задачах высшей математики в 95% случаев встречается именно экспонента.

Напоминаю, что – это иррациональное число: , это потребуется при построении графика, который, собственно, я без церемоний и построю. Трёх точек, пожалуй, хватит:

График функции пока оставим в покое, о нём позже.

Основные свойства функции :

Принципиально так же выглядят графики функций , и т. д.

Должен сказать, что второй случай встречается на практике реже, но он встречается, поэтому я счел нужным включить его в данную статью.

График логарифмической функции

Рассмотрим функцию с натуральным логарифмом .
Выполним поточечный чертеж:

Если позабылось, что такое логарифм, пожалуйста, обратитесь к школьным учебникам.

Основные свойства функции :

Область определения
:

Область значений: .

Функция не ограничена сверху: , пусть и медленно, но ветка логарифма уходит вверх на бесконечность.
Исследуем поведение функции вблизи нуля справа: . Таким образом, ось является вертикальной асимптотой

для графика функции при «икс» стремящемся к нулю справа.

Обязательно нужно знать и помнить типовое значение логарифма
: .

Принципиально так же выглядит график логарифма при основании : , , (десятичный логарифм по основанию 10) и т.д. При этом, чем больше основание, тем более пологим будет график.

Случай рассматривать не будем, что-то я не припомню, когда последний раз строил график с таким основанием. Да и логарифм вроде в задачах высшей математики ооочень редкий гость.

В заключение параграфа скажу еще об одном факте: Экспоненциальная функция и логарифмическая функция
– это две взаимно обратные функции
. Если присмотреться к графику логарифма, то можно увидеть, что это – та же самая экспонента, просто она расположена немного по-другому.

Графики тригонометрических функций

С чего начинаются тригонометрические мучения в школе? Правильно. С синуса

Построим график функции

Данная линия называется синусоидой
.

Напоминаю, что «пи» – это иррациональное число: , и в тригонометрии от него в глазах рябит.

Основные свойства функции :

Данная функция является периодической
с периодом . Что это значит? Посмотрим на отрезок . Слева и справа от него бесконечно повторяется точно такой же кусок графика.

Область определения
: , то есть для любого значения «икс» существует значение синуса.

Область значений: . Функция является ограниченной
: , то есть, все «игреки» сидят строго в отрезке .
Такого не бывает: или , точнее говоря, бывает, но указанные уравнения не имеют решения.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

В этой статье мы рассмотрим линейную функцию
, график линейной функции и его свойства. И, как обычно, решим несколько задач на эту тему.

Линейной функцией
называется функция вида

В уравнении функции число , которое мы умножаем на называется коэффициентом наклона.

Например, в уравнении функции ;

в уравнении функции ;

в уравнении функции ;

в уравнении функции .

Графиком линейной функции является прямая линия.

1
. Чтобы построить график функции
, нам нужны координаты двух точек, принадлежащих графику функции. Чтобы их найти, нужно взять два значения х, подставить их в уравнение функции, и по ним вычислить соответствующие значения y.

Например, чтобы построить график функции , удобно взять и , тогда ординаты эти точек будут равны и .

Получим точки А(0;2) и В(3;3). Соединим их и получим график функции :

2

. В уравнении функции коэффициент отвечает за наклон графика функции:

Title=»k>0″>

Коэффициент отвечает за сдвиг графика вдоль оси :

Title=»b>0″>

На рисунке ниже изображены графики функций ; ;

Заметим, что во всех этих функциях коэффициент больше нуля
вправо
. Причем, чем больше значение , тем круче идет прямая.

Во всех функциях — и мы видим, что все графики пересекают ось OY в точке (0;3)

Теперь рассмотрим графики функций ; ;

На этот раз во всех функциях коэффициент меньше нуля
, и все графики функций наклонены влево
.

Заметим, что чем больше |k|, тем круче идет прямая. Коэффициент b тот же, b=3, и графики также как в предыдущем случае пересекают ось OY в точке (0;3)

Рассмотрим графики функций ; ;

Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты равны. И мы получили три параллельные прямые.

Но коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:

График функции (b=3) пересекает ось OY в точке (0;3)

График функции (b=0) пересекает ось OY в точке (0;0) — начале координат.

График функции (b=-2) пересекает ось OY в точке (0;-2)

Итак, если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем сразу представить, как выглядит график функции .

Если k0
,
то график функции имеет вид:

Если k>0 и b>0
,
то график функции имеет вид:

Если k>0 и bто график функции имеет вид:

Если kто график функции имеет вид:

Если k=0
,
то функция превращается в функцию и ее график имеет вид:

Ординаты всех точек графика функции равны

Если b=0

, то график функции проходит через начало координат:

Это график прямой пропорциональности
.

3
. Отдельно отмечу график уравнения
. График этого уравнения представляет собой прямую линию, параллельую оси все точки которой имеют абсциссу .

Например, график уравнения выглядит так:

Внимание!

Уравнение не является функцией, так как различным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, что не соответствует .

4

.

Условие параллельности двух прямых:

График функции
параллелен графику функции
, если

5.

Условие перпендикулярности двух прямых:

График функции
перпендикулярен графику функции
, если или

6
. Точки пересечения графика функции с осями координат.

С осью ОY.
Абсцисса любой точки, принадлежащей оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Получим y=b. То есть точка пересечения с осью OY имеет координаты (0;b).

С осью ОХ:
Ордината любой точки, принадлежащей оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. Получим 0=kx+b. Отсюда . То есть точка пересечения с осью OX имеет координаты (;0):

Рассмотрим решение задач.

1
. Постройте график функции , если известно, что он проходит через точку А(-3;2) и параллелен прямой y=-4x.

В уравнении функции два неизвестных параметра: k и b. Поэтому в тексте задачи должны быть два условия, характеризующих график функции.

а) Из того, что график функции параллелен прямой y=-4x, следует, что k=-4. То есть уравнение функции имеет вид

б) Нам осталось найти b. Известно, что график функции проходит через точку А(-3;2). Если точка принадлежит графику функции, то при подстановке ее координат в уравнение функции, мы получим верное равенство:

отсюда b=-10

Таким образом, нам надо построить график функции

Точка А(-3;2) нам известна, возьмем точку B(0;-10)

Поставим эти точки в координатной плоскости и соединим их прямой:

2.

Написать уравнение прямой, проходящей через точки A(1;1); B(2;4).

Если прямая проходит через точки с заданными координатами, следовательно, координаты точек удовлетворяют уравнению прямой . То есть если мы координаты точек подставим в уравнение прямой, то получим верное равенство.

Подставим координаты каждой точки в уравнение и получим систему линейных уравнений.

Вычтем из второго уравнения системы первое, и получим . Подставим значение k в первое уравнение системы, и получим b=-2.

Итак, уравнение прямой .

3
. Постройте график уравнения

Чтобы найти, при каких значениях неизвестного произведение нескольких множителей равно нулю, нужно каждый множитель приравнять к нулю и учесть
каждого множителя.

Это уравнение не имеет ограничений на ОДЗ. Разложим на множители вторую скобку и приравняем каждый множитель к нулю. Получим совокупность уравнений:

Построим графики всех уравнений совокупности в одной коорднатной плоскости. Это и есть график уравнения :

4
. Постройте график функции , если он перпендикулярен прямой и проходит через точку М(-1;2)

Мы не будем строить график, только найдем уравнение прямой.

а) Так как график функции , если он перпендикулярен прямой , следовательно , отсюда . То есть уравнение функции имеет вид

б) Мы знаем, что график функции проходит через точку М(-1;2). Подставим ее координаты в уравнение функции. Получим:

Отсюда .

Следовательно, наша функция имеет вид: .

5
. Постройте график функции

Упростим выражение, стоящее в правой части уравнения функции.

Важно!

Прежде чем упрощать выражение, найдем его ОДЗ.

Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому title=»x1″>, title=»x-1″>.

Тогда наша функция принимает вид:

Title=»delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{y=x+2} {x1} {x-1}}}{ }»>

То есть нам надо построить график функции и выколоть на нем две точки: с абсциссами x=1 и x=-1:

Пишите нам

Присылайте свои замечания и предложения на на электронную почту. Мы всегда рады ответить на все ваши вопросы.

Политика конфиденциальности персональных данных

Муниципальное образовательное учреждение:

«Объячевская средняя общеобразовательная школа»

План – конспект спаренного урока по алгебре в 7 классе

Линейная функция

и ее график

Автор-составитель

Панева Дарья Алексеевна

Учитель математики и информатики

МОУ «Объячевская СОШ»

с. Объячево, Прилузский р-н.,

Республики Коми

2013г

Тема: Линейная функция и ее график.
Цели:
Образовательная:

• Формирование у учащихся понятия линейной функции и ее графика.

Воспитательные:

• Воспитание аккуратности и внимательности при выполнении заданий;
• Способствовать овладению необходимыми навыками самостоятельной учебной деятельности.

Развивающие:

• Развитие умений учащихся обобщать полученные знания, проводить анализ и сравнения, делать необходимые выводы;
• Развитие умений грамотно, четко и точно выражать свои мысли (формулировать ответ или вывод).

Задачи:

• Повторить понятия «функция», «функция прямой пропорциональности и ее график»;
• Дать понятие «линейная функция»;
• Познакомить с графиком линейной функции;
• Раскрыть применение математических знаний о графиках в различных профессиях;
• Показать возможность автоматизации работы с графиками функций.
• Закрепить полученные знания.

План:

1. Организационный момент (приветствие учеников, сообщение темы и цели урока).
2. Актуализация (примеры применения системы координат и графиков в жизни, сообщения учеников).
3. Повторение опорных знаний (функция, значение функции, аргумент, область определения функции, функция прямой пропорциональности, коэффициент к, график прямой пропорциональности).
4. Изучение нового материала.
5. Закрепление полученных знаний.
6. Постановка домашнего задания.
7. Рефлексия и подведение итогов.

Оборудование:

• Компьютер, экран, проектор, классная доска, линейка, мел;
• Презентация «Линейная функция и ее график», электронная книга MS Excel «Линейная функция».

1) Организационный момент.
Инженер и математик

Станет лишь тогда богат,

Если применить сумеет

Он систему координат. [2]

И. Кушнир,

Л. Финкельштейн

Здравствуйте ребята. Сегодня мы продолжим изучение функций. Цель нашего урока – знакомство с линейной функцией и ее графиком.

Откройте пожалуйста тетради, запишите число и тему урока «Линейная функция и ее график».
2) Актуализация.
Но прежде чем перейти к изучению новой темы, давайте рассмотрим возможные применения системы координат в жизни на примерах из художественной литературы.
***

Третий сигнал по радио:

«Немцы вокруг меня,

Бейте четыре, десять,

Не жалейте огня!»
Майор побледнел, услышав:

Четыре, десять, — как раз

То место, где его Ленька

Должен был быть сейчас… [2]

К. Симонов. Сын артиллериста
В данном отрывке показано применение системы координат на местности. На уроках географии вы наверняка сталкивались с мировой системой координат в ней используются широта и долгота.
Вот еще пример системы координат на местности.
***

Идите по лесу

Против столба тринадцатого

Прямехонько версту.

Придете на поляночку,

Стоят на той поляночке

Две старые сосны. [2]

Н. Некрасов. Кому на Руси жить хорошо

В этом случае в качестве координат используются столбы и версты. Система координат используется не только на местности, еще несколько примеров ее применения вам раскроют одноклассники. Они подготовили небольшие сообщения.
Доклады учащихся.
(1-е сообщение) Кардиограф — это специальный медицинский прибор, измеряющий биоэлектическую активность сердца. Используется для того, чтобы проводить электрокардиографические обследования. Применяется в кабинетах интенсивной терапии, функциональной диагностики, кардиологических отделениях, машинах скорой помощи. Также используется в частной практике. 

Основная задача данного вида оборудования — усиление сердечных сигналов и очищение их от посторонних шумов. Современные устройства обладают целым рядом положительных характеристик, таких как: многофункциональность, высокая степень точности, компактность, надежность, удобство и простота использования. В медицинской практике без такого оборудования не обойтись. [6]

С помощью кардиографа записывается кардиограмма (от кардио… и… грамма), кривая, получаемая на бумаге или фотоплёнке при регистрации сердечной деятельности — кардиографии. Эти записи являются очень важными, т. к. отражают работу сердца.[8]

(2-е сообщение) Термограф (от термо… и… граф), прибор для непрерывной регистрации температуры воздуха, воды и др. Чувствительным элементом термографа может служить биметаллическая пластинка, термометр жидкостной или термометр сопротивления. В метеорологии наиболее распространён термограф, чувствительным элементом которого является изогнутая биметаллическая пластинка, деформирующаяся при изменении температуры. Перемещение её конца передаётся стрелке, которая чертит кривую на разграфленной ленте. 1 мм записи по вертикали соответствует около 1 °С. По времени полного оборота барабана термографы подразделяются на суточные и недельные. Работа термографа контролируется по ртутному термометру.

Этим прибором записывается термограмма (лента термографа с непрерывной записью температуры за сутки, неделю и т. п.). Применяется в метеорологии, медицине и на производствах. [9]

(3-е сообщение) Барограф (из др.-греч. βάρος «тяжесть, вес» и γράφω «пишу») — самопишущий прибор для непрерывной записи значений атмосферного давления. Применяется на метеорологических станциях, а также на самолётах и аэростатах для регистрации высоты (по изменению давления).

При изменении атмосферного крышка перемещается вверх или вниз. Это перемещение передаётся перу, которое чертит кривую на разграфленной ленте. 1 мм записи по вертикали соответствует около 1 мбар (1 мбар=100 н/м²). По времени полного оборота барабана барографы подразделяются на суточные и недельные. Работа барографа контролируется сравнением его с ртутным барометром.

Барограф с повышенной чувствительностью называется микробарографом, изменение давления в 0,1 мбар соответствует 1-3 мм вертикального перемещения пера. [3]
(4-е сообщение) Сейсмограф (от греч. seismos — колебание, землетрясение и grapho — пишу) — комплект приборов для записи колебаний грунта и сооружений, вызванных землетрясениями, взрывами, вибрацией или другими причинами. Состоит из сейсмометра, принимающего сейсмический сигнал, и устройств, формирующих и записывающих выходной сигнал.

Сейсмографы широко применяются для решения задач сейсмологии и сейсморазведки; в горном деле — для прогноза горных ударов и внезапных выбросов.[4]

3) Повторение опорных знаний.
Итак, мы видим, что графики очень разнообразны и используются в различных областях. А значит существует необходимость их изучения, ведь порой от их правильного составления и прочтения зависят человеческие жизни. Из множества существующих функций и их графиков на прошлых уроках мы познакомились с функцией прямой. Давайте вспомним то, что уже знаем.

• Что называют функцией?

— Функциональной зависимостью или функцией называется такая зависимость одной переменной от другой, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной. [1]
Зд. Посмотрите на экран, вашему вниманию представлены несколько рисунков. Ваша задача определить на каких из них даны функции.

• Как называют переменные в функции?

— Независимую переменную называют аргументом, а зависимую – функцией и ее значения называют значениями функции.
Зд. Внимание на экран. Даны функции. Необходимо вспомнить их названия и указать аргумент (независимую переменную) и функцию (зависимую переменную).

1. S=a² (формула площади квадрата, S – функция, а – аргумент);
2. S=5ϑ (формула пройденного пути, зависимость пройденного пути от скорости; S – функция, ϑ – аргумент);
3. S=а² (формула площади поверхности куба, S – функция, а – аргумент);
4. V=а³ (формула объема куба, V – функция, а – аргумент);
5. t=S/4 (формула зависимости времени от пройденного пути, t – функция, S – аргумент);
6. S=5b (формула площади прямоугольника, S – функция, b – аргумент).

• Что такое «область определения»?

Область определения формируется из всех значений независимой переменной. [1]
Зд. Назовите область определения предложенных функций.

1. S=5ϑ (т.к. ϑ – скорость, то областью определения будут все неотрицательные числа);
2. S=3а (а – длина стороны прямоугольника, значит может принимать любые значения больше ноля);

t, ч

t, ⁰c

24
(Дан график изменения температуры в течение суток, область определения от 0 до 24).

• Какая функция носит название прямой пропорциональности?

— Прямой пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой вида y=kx, где x – независимая переменная, k – не равное нулю число. [1]

• Что вы можете рассказать о ее графике?

— График прямой пропорциональности представляет собой прямую, проходящую через начало координат.

— Для его построения необходимо найти координаты всего одной точки, отличной от начала координат.

— Расположение графика в координатных четвертях зависит от числа k. Если k положительное число, то график расположен в первой и третьей четвертях, а если k отрицательное, то – во второй и четвертой. (Можно сопровождать демонстрацией изменения графика в программе MS Excel).

— если IkI увеличивать, то «горка» станет более крутой (график станет приближаться к оси Оу), а если IkI уменьшать – более пологой (график станет приближаться к оси Ох). (Можно сопровождать демонстрацией изменения графика в программе MS Excel).
4) Изучение нового материала.
Молодцы. Переходим к изучению новой функции. Эта функция носит название линейной.
Рассмотрим примеры функций.

• На шоссе расположены пункты А и В удаленные друг от друга на 20 км. Мотоциклист выехал из пункта В в направлении противоположном А, со скоростью 50 км/ч. За t ч мотоциклист проедет 50t км и будет находиться от А на расстоянии 50t + 20км. Если расстояние обозначить буквой s расстояние (в километрах) от мотоциклиста до пункта А, то зависимость этого расстояния от времени можно выразить формулой s = 50t + 20, где t ≽ 0. [1]

• Тетя Галя на день рождения сына купила торт за 80 р. и воздушные шары по 5 р. за штуку. Обозначим число купленных шаров буквой х, а стоимость всей покупки буквой у. Получим у = 5х + 80, где х > 0.

В этих случаях мы встретили функции, которые задаются формулой у = кх +в, где х – независимая переменная, к и в – числа. Такие функции называют линейными.
Запишите пожалуйста в тетради определение:
Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида у = кх +в, где х – независимая переменная, к и в – числа. [1]

Зд. Вам даны функции. Определите, являются ли они линейными и назовите числа к и в.

1. у = 13х + 2 (к =13; в =2)
2. у = -0,2х + 4 (к = -0,2; в = 4)
3. у = 7 + 6х (к = 6; в = 7)
4. у = 15 – 9х (к = -9 ; в = 15)
5. у = 2х² + 1 (не линейная ф-я, т.к. х²)
6. у = 8х + 5 -2х (приведем подобные слагаемые и получим у = 6х + 5, к = 6, в = 5)
7. у = 98х (к = 98, в = 0, т.к. у = 98х + 0)

Обратите внимание на последнюю функцию, что вы заметили?
— это функция прямой пропорциональности.
Замечание: прямая пропорциональность является частным случаем линейной функции (у = кх + в, где в = 0).
Пришло время узнать, как выглядит график данной функции и почему она называется «линейной». Для этого найдем координаты некоторых точек и построим их в системе координат для функции у = 2х + 3.

х	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5
у	-5	-3	-1	1	3	5	7	9	11	13

Мы видим, что точки выстраиваются в одну линию, проведя прямую через них, мы получим график данной функции. (Построения выполняются на доске учителем и детьми в тетради) [10]

Как мы видим, графиком линейной функции является прямая. Значит для построения графика достаточно найти координаты двух точек.
Проведем сравнение графиков функций у = 2х, у = 2х+1, у=2х=3 и у=2х-2. Для этого построим их графики в одной системе координат.

Что вы заметили при построении?
— Графики словно «перемещаются» по оси Оу на в «шагов» от начала координат.
Замечание: График функции у=кх+в, где к≠0, есть прямая, параллельная прямой у=кх. [1]
Замечание: в точке пересечения с осью Оу, ордината равна числу в.
Выполните следующее задание. Дана система координат с несколькими графиками функций. Запишите в своей тетради значения коэффициента в для каждой функции.

(Выполняют задание)
Сверим ваши результаты с правильными ответами (сверяют). Поднимите руки те, у кого нет ни одной ошибки. Молодцы.
Как было сказано, при в=0 формула имеет вид у=кх, и график – прямая проходящая через начало координат. А при к=0 формула принимает вид у=в. В данном случае графиком будет прямая, параллельная оси Ох при в≠0 или сама ось Ох при в=0. [1]
Пояснение: у=в, т.к. к=0, то функцию можно записать в виде у=0х+в.

Например. У=0х+4.

Внимание на экран. Пронаблюдаем за графиками изменяя значения коэффициентов к и в. (Работа в excel)

• При изменении к меняется наклон графика.

Число к называют угловым коэффициентом прямой – графика функции у=кх+в. [1]

Если угловые коэффициенты прямых, являющихся графиками двух линейных функций, различны, то эти прямые пересекаются, а если угловые коэффициенты одинаковы, то прямые, то прямые параллельные.

• Если изменять значение в, график будет «скользить» по оси Оу относительно начала координат. Будет меняться точка пересечения с этой осью. (Было сказано ранее)

Зд. На экране даны графики и функции. Вам предстоит сопоставить каждому графику подходящую функцию. В тетради у вас должны появиться пары, в которых первое число – номер графика, второе – номер функции. Затем сверимся.

Заметим, что если область определения линейной функции состоит не из всех чисел, то ее график представляет собой соответствующую часть прямой. Например, полупрямая или отрезок. [1]
5) Закрепление полученных знаний.
Выполнение заданий по учебнику. № 314, 316, 317, 319(а, в, д), 322

6) Постановка домашнего задания.
Повторить записи в тетради. По учебнику: пункт 16с. 70 – 74 читать, № 319(закончить), 328.

7) Рефлексия и подведение итогов.
Давайте проверим на сколько внимательны вы на уроке.

1. С какой функцией мы сегодня познакомились?

— Линейная функция.

1. Какая функция называется линейной?

— Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида у = кх +в, где х – независимая переменная, к и в – числа.

1. Какие коэффициенты есть в данной функции и за что они отвечают?

— Коэффициент к – отвечает за угол наклона, в – отвечает за «смещение» по оси Ох.
Молодцы. Спасибо за урок.

Литература:

1. Алгебра. 7 класс/ [Ю.Н. Макарычев и др]; под ред. С.А. Теляковского. – 18-е из. — М.: «Просвещение», 2009
2. Математика в стихах. 5 – 11 классы/ авт. – сост. О.В. Панишева. – Волгоград: «Учитель», 2009
3. Википедия. Свободная энциклопедия: [Электронный ресурс]. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%C1%E0%F0%EE%E3%F0%E0%F4 (Дата обращения 20.10.2013)
4. Горная энциклопедия: [Электронный ресурс]. URL: https://mining-enc.ru/s/sejsmograf/ (Дата обращения 20.10.2013)
5. Метео энциклопедия: [Электронный ресурс]. URL: https://meteorologist.ru/termogramma.html (Дата обращения 20.10.2013)
6. Монитор. Научно – производственное предприятие. // Статьи: [Электронный ресурс]. URL: https://monitor-ltd.ru/advices/detail.php?ID=199 (Дата обращения 20.10.2013).
7. Поурочное планирование по алгебре. 7 класс: к учебнику Ю.Н. Макарычева и др. «Алгебра: 7 класс»/ Т.М. Ерина – 3-изд., стереотип. – М.: «Экзамен», 2011.
8. Яндекс словари: [Электронный ресурс]. URL: https://slovari.yandex.ru/%D0%BA%D0%B0%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B0%20%D0%AD%D0%A2%D0%9E/%D0%91%D0%A1%D0%AD/%D0%9A%D0%B0%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B0/ (Дата обращения 20.10.2013)
9. Яндекс словари: [Электронный ресурс]. URL: https://slovari.yandex.ru/%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BC%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%20%D1%8D%D1%82%D0%BE/%D0%91%D0%A1%D0%AD/%D0%A2%D0%B5%D1%80%D0%BC%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84/ (Дата обращения 20.10.2013)
10. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок»: [Электронный ресурс]. URL: https://festival.1september.ru/articles/617460/ (Дата обращения 9.10.2013)

Определение линейной функции

Введем определение линейной функции

Определение

Функция вида $y=kx+b$, где $k$ отлично от нуля называется линейной функцией.

График линейной функции — прямая. Число $k$ называется угловым коэффициентом прямой.

При $b=0$ линейная функция называется функцией прямой пропорциональности $y=kx$.

Рассмотрим рисунок 1.

Рис. 1. Геометрический смысл углового коэффициента прямой

Рассмотрим треугольник АВС. Видим, что$ВС=kx_0+b$. Найдем точку пересечения прямой $y=kx+b$ с осью $Ox$:

Значит $AC=x_0+frac{b}{k}$. Найдем отношение этих сторон:

[frac{BC}{AC}=frac{kx_0+b}{x_0+frac{b}{k}}=frac{k(kx_0+b)}{{kx}_0+b}=k]

С другой стороны $frac{BC}{AC}=tgangle A$.

Таким образом, можно сделать следующий вывод:

Вывод

Геометрический смысл коэффициента $k$. Угловой коэффициент прямой $k$ равен тангенсу угла наклона этой прямой к оси $Ox$.

Исследование линейной функции $fleft(xright)=kx+b$ и её график

Вначале рассмотрим функцию $fleft(xright)=kx+b$, где $k > 0$.

1. $f»left(xright)={left(kx+bright)}»=k>0$. Следовательно, данная функция возрастает на всей области определения. Точек экстремума нет.
2. ${mathop{lim}_{xto -infty } kx }=-infty $, ${mathop{lim}_{xto +infty } kx }=+infty $
3. График (рис. 2).

Рис. 2. Графики функции $y=kx+b$, при $k > 0$.

Теперь рассмотрим функцию $fleft(xright)=kx$, где $k

1. Область определения — все числа.
2. Область значения — все числа.
3. $fleft(-xright)=-kx+b$. Функция не является ни четной, ни нечетной.
4. При $x=0,fleft(0right)=b$. При $y=0,0=kx+b, x=-frac{b}{k}$.

Точки пересечения с осями координат: $left(-frac{b}{k},0right)$ и $left(0, bright)$

1. $f»left(xright)={left(kxright)}»=k
2. $f^{«»}left(xright)=k»=0$. Следовательно, функция не имеет точек перегиба.
3. ${mathop{lim}_{xto -infty } kx }=+infty $, ${mathop{lim}_{xto +infty } kx }=-infty $
4. График (рис. 3).

>>Математика: Линейная функция и ее график

Линейная функция и ее график

Алгоритм построения графика уравнения ах + by + с = 0, который мы сформулировали в § 28, при всей его четкости и определенности математикам не очень нравится. Обычно они выдвигают претензии к первым двум шагам алгоритма. Зачем, говорят они, дважды решать уравнение относительно переменной у: сначала ах1 + Ьу + с = О, затем ахг + Ьу + с = О? Не лучше ли сразу выразить у из уравнения ах + by + с = 0, тогда легче будет проводить вычисления (и, главное, быстрее)? Давайте проверим. Рассмотрим сначала уравнение
3x — 2у + 6 = 0 (см. пример 2 из § 28).

Придавая х конкретные значения, легко вычислить соответствующие значения у. Например, при х = 0 получаем у = 3; при х = -2 имеем у = 0; при х = 2 имеем у = 6; при х = 4 получаем: у = 9.

Видите, как легко и быстро найдены точки (0; 3), (- 2; 0), (2; 6) и (4; 9), которые были выделены в примере 2 из § 28.

Точно так же уравнение Ьх — 2у = 0 (см. пример 4 из § 28) можно было преобразовать к виду 2у =16 -3x . далее у = 2,5x; нетрудно найти точки (0; 0) и (2; 5), удовлетворяющие этому уравнению.

Наконец, уравнение 3x + 2у — 16 = 0 из того же примера можно преобразовать к виду 2y = 16 -3x и далее нетрудно найти точки (0; 0) и (2; 5), которые ему удовлетворяют.

Рассмотрим теперь указанные преобразования в общем виде.

Таким образом, линейное уравнение (1) с двумя переменными х и у всегда можно преобразовать к виду
y = kx + m,(2) где k,m — числа (коэффициенты), причем .

Этот частный вид линейного уравнения будем называть линейной функцией.

С помощью равенства (2) легко, указав конкретное значение х, вычислить соответствующее значение у. Пусть, например,

у = 2х + 3. Тогда:
если х = 0, то у = 3;
если х = 1, то у = 5;
если х = -1, то у = 1;
если х = 3, то у = 9 и т. д.

Обычно эти результаты оформляют в виде таблицы
:

Значения у из второй строки таблицы называют значениями линейной функции у = 2х + 3, соответственно, в точках х = 0, х = 1, х = -1,х=-3.

В уравнении (1) переменные хну равноправны, а в уравнении (2) — нет: конкретные значения мы придаем одной из них — переменной х, тогда как значение переменной у зависит от выбранного значения переменной х. Поэтому обычно говорят, что х — независимая переменная (или аргумент), у — зависимая переменная.

Обратите внимание: линейная функция — это специальный вид линейного уравнения с двумя переменными. Графиком уравнения
у — kx + т, как всякого линейного уравнения с двумя переменными, является прямая — ее называют также графком линейной функции y = kx + тп. Таким образом, справедлива следующая теорема.

Пример 1.
Построить график линейной функции у = 2х + 3.

Решение. Составим таблицу:

Во второй ситуации независимая переменная х, обозначающая, как и в первой ситуации, число дней, может принимать только значения 1, 2, 3, …, 16. Действительно, если х = 16, то по формуле у = 500 — З0x находим: у = 500 — 30 16 = 20. Значит, уже на 17-й день вывезти со склада 30 т угля не удастся, поскольку на складе к этому дню останется всего 20 т и процесс вывоза угля придется прекратить. Следовательно, уточненная математическая модель второй ситуации выглядит так:

у = 500 — ЗОд:, где х = 1, 2, 3, …. 16.

В третьей ситуации независимая переменная
х теоретически может принять любое неотрицательное значение (напр., значение х = 0, значение х = 2, значение х = 3,5 и т. д.), но практически турист не может шагать с постоянной скоростью без сна и отдыха сколько угодно времени. Значит, нам нужно было сделать разумные ограничения на х, скажем, 0

Напомним, что геометрической моделью нестрогого двойного неравенства 0

Условимся вместо фразы «х принадлежит множеству X» писать (читают: «элемент х принадлежит множеству X», е — знак принадлежности). Как видите, наше знакомство с математическим языком постоянно продолжается.

Если линейную функцию у = kx + m надо рассматривать не при всех значениях х, а лишь для значений х из некоторого числового промежутка X, то пишут:

Пример 2. Построить график линейной функции:

Решение, а) Составим таблицу для линейной функции y = 2x + 1

Построим на координатной плоскости хОу точки (-3; 7) и (2; -3) и проведем через них прямую линию. Это — график уравнения у = -2x: + 1. Далее, выделим отрезок, соединяющий построенные точки (рис. 38). Этот отрезок и есть график линейной функции у = -2х+1, гдехе [-3, 2].

Обычно говорят так: мы построили график линейной функции у = — 2х + 1 на отрезке [- 3, 2].

б) Чем отличается этот пример от предыдущего? Линейная функция та же (у = -2х + 1), значит, и ее графиком служит та же прямая. Но — будьте внимательны! — на этот раз х е (-3, 2), т. е. значения х = -3 и х = 2 не рассматриваются, они не принадлежат интервалу (- 3, 2). Как мы отмечали концы интервала на координатной прямой? Светлыми кружочками (рис. 39), об этом мы говорили в § 26. Точно так же и точки (- 3; 7) и B; — 3) придется отметить на чертеже светлыми кружочками. Это будет напоминать нам о том, что берутся лишь те точки прямой у = — 2х + 1, которые лежат между точками, отмеченными кружочками (рис. 40). Впрочем, иногда в таких случаях используют не светлые кружочки, а стрелки (рис. 41). Это непринципиально, главное, понимать, о чем идет речь.

Пример 3.
Найти наибольшее и наименьшее значения линейной функции на отрезке .
Решение. Составим таблицу для линейной функции

Построим на координатной плоскости хОу точки (0; 4) и (6; 7) и проведем через них прямую — график линейной х функции (рис. 42).

Нам нужно рассмотреть эту линейную функцию не целиком, а на отрезке , т. е. для х е .

Соответствующий отрезок графика выделен на чертеже. Замечаем, что самая большая ордината у точек, принадлежащих выделенной части, равна 7 — это и есть наибольшее значение линейной функции на отрезке . Обычно используют такую запись: у наиб =7.

Отмечаем, что самая маленькая ордината у точек, принадлежащих выделенной на рисунке 42 части прямой, равна 4 — это и есть наименьшее значение линейной функции на отрезке .
Обычно используют такую запись: y наим. = 4.

Пример 4.
Найти у наиб и y наим. для линейной функции y = -1,5x + 3,5

а) на отрезке ; б) на интервале (1,5);
в) на полуинтервале .

Решение. Составим таблицу для линейной функции у = -l,5x + 3,5:

Построим на координатной плоскости хОу точки (1; 2) и (5; — 4) и проведем через них прямую (рис. 43-47). Выделим на построенной прямой часть, соответствующую значениям х из отрезка (рис. 43), из интервала A, 5) (рис. 44), из полуинтервала (рис. 47).

а) С помощью рисунка 43 нетрудно сделать вывод, что у наиб = 2 (этого значения линейная функция достигает при х = 1), а у наим. = — 4 (этого значения линейная функция достигает при х = 5).

б) Используя рисунок 44, делаем вывод: ни наибольшего, ни наименьшего значений на заданном интервале у данной линейной функции нет. Почему? Дело в том, что, в отличие от предыдущего случая, оба конца отрезка, в которых как раз и достигались наибольшее и наименьшее значения, из рассмотрения исключены.

в) С помощью рисунка 45 заключаем, что y наиб. = 2 (как и в первом случае), а наименьшего значения у линейной функции нет (как и во втором случае).

г) Используя рисунок 46, делаем вывод: у наиб = 3,5 (этого значения линейная функция достигает при х = 0), а у наим. не существует.

д) С помощью рисунка 47 делаем вывод: y наим = -1 (этого значения линейная функция достигает при х = 3), а у наиб., не существует.

Пример 5. Построить график линейной функции

у = 2х — 6. С помощью графика ответить на следующие вопросы:

а) при каком значении х будет у = 0?
б) при каких значениях х будет у > 0?
в) при каких значениях х будет у

Ре ш е ни е. Составим таблицу для линейной функции у = 2х- 6:

Через точки (0; — 6) и (3; 0) проведем прямую — график функции у = 2х — 6 (рис. 48).

а) у = 0 при х = 3. График пересекает ось х в точке х = 3, это и есть точка с ординатой у = 0.
б) у > 0 при х > 3. В самом деле если х > 3, то прямая расположена выше оси ж, значит, ординаты соответствующих точек прямой положительны.

в) у

Обратите внимание, что в этом примере мы с помощью графика решили:

а) уравнение 2х — 6 = 0 (получили х = 3);
б) неравенство 2х — 6 > 0 (получили х > 3);
в) неравенство 2x — 6

Замечание.

В русском языке часто один и тот же объект называют по-разному, например: «дом», «здание», «сооружение», «коттедж», «особняк», «барак», «хибара», «избушка». В математическом языке ситуация примерно та же. Скажем, равенство с двумя переменными у = кх + m, где к, m — конкретные числа, можно назвать линейной функцией, можно назвать линейным уравнением с двумя переменными х и у (или с двумя неизвестными х и у), можно назвать формулой, можно назвать соотношением, связывающим х и у, можно, наконец, назвать зависимостью между х и у. Это неважно, главное, понимать, что во всех случаях речь идет о математической модели у = кх + m

.

Рассмотрим график линейной функции, изображенный на рисунке 49, а. Если двигаться по этому графику слева направо, то ординаты точек графика все время увеличиваются, мы как бы «поднимаемся в горку». В таких случаях математики употребляют термин возрастание и говорят так: если k>0, то линейная функция у = kx + m возрастает.

Рассмотрим график линейной функции, изображенный на рисунке 49, б. Если двигаться по этому графику слева направо, то ординаты точек графика все время уменьшаются, мы как бы «спускаемся с горки». В таких случаях математики употребляют термин убывание и говорят так: если k

Линейная функция в жизни

А теперь давайте подведем итог этой темы. Мы с вами уже познакомились с таким понятие, как линейная функция, знаем ее свойства и научились строить графики. Так же, вы рассматривали частные случаи линейной функции и узнали от чего зависит взаимное расположение графиков линейных функций. Но, оказывается, в нашей повседневной жизни мы также постоянно пересекаемся с этой математической моделью.

Давайте мы с вами подумаем, какие реальные жизненные ситуации связаны с таким понятием, как линейные функции? А также, между какими величинами или жизненными ситуациями, возможно, устанавливать линейную зависимость?

Многие из вас, наверное, не совсем представляют, зачем им нужно изучать линейные функции, ведь это вряд ли пригодится в дальнейшей жизни. Но здесь вы глубоко ошибаетесь, потому что с функциями мы сталкиваемся постоянно и повсюду. Так как, даже обычная ежемесячная квартплата также является функцией, которая зависит от многих переменных. А к этим переменным относится метраж площади, количество жильцов, тарифов, использование электроэнергии и т.д.

Конечно же, самыми распространенными примерами функций линейной зависимости, с которыми мы с вами сталкивались – это уроки математики.

Мы с вами решали задачи, где находили расстояния, которые проезжали машины, поезда или проходили пешеходы при определенной скорости движения. Это и есть линейные функции времени движения. Но ведь эти примеры применимы не только в математике, они присутствуют в нашей повседневной жизни.

Калорийности молочных продуктов зависит жирности, а такая зависимость, как правило, является линейной функцией. Так, например, при увеличении сметане процента жирности, увеличивается и калорийность продукта.

Теперь давайте сделаем подсчеты и найдем значения k и b, решив систему уравнений:

Теперь давайте выведем формулу зависимости:

В итоге мы получили линейную зависимость.

Чтобы знать скорость распространения звука в зависимости от температуры, возможно, узнать, применив формулу: v = 331 +0,6t, где v — скорость (в м/с), t — температура. Если мы начертим график этой зависимости, то увидим, что он будет линейным, то есть представлять прямую линию.

И таких практических использований знаний в применении линейной функциональной зависимости можно перечислять долго. Начиная от платы за телефон, длины и роста волос и даже пословиц в литературе. И этот список можно продолжать до бесконечности.

Календарно-тематическое планирование по математике, видео
по математике онлайн , Математика в школе скачать

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.