Ноль целых пятнадцать тысячных как пишется

Например: 101 – 3.14 – 0,5 – 1/4 – 1 2/3.

Число 0.015 прописью: ноль целых пятнадцать тысячных.

Является десятичной дробью с 3-мя знаками после запятой, разряд — тысячные.

Падеж	Вопрос	0.015
Именительный	есть что?	ноль целых пятнадцать тысячных
Родительный	нет чего?	ноля целых пятнадцати тысячных
Дательный	рад чему?	нолю целых пятнадцати тысячным
Винительный	вижу что?	ноль целых пятнадцать тысячных
Творительный	оплачу чем?	нолём целых пятнадцатью тысячными
Предложный	думаю о чём?	ноле целых пятнадцати тысячных

Округлить число 0.015 до целого числа.

Округление до целого, результат =

0Округлить число 0.015 до десятых.

Округление до 1(одного) знака после запятой, результат =

0Округлить число 0.015 до сотых.

Округление до 2(двух) знаков после запятой, результат =

0.02

Как пишется число 0.015 прописью

Число 0.015 правильно пишется так:

Ноль целых пятнадцать тысячных

Сумма цифр числа 0.015 (решение, ответ).

Сумма цифр числа 0.015 равна = 0+0+1+5 = 6

Сумма нечетных цифр числа 0.015 равна = 1+5 = 6.

Сумма простых цифр числа 0.015(не учитывая 1) равна = 5.

Число 0.015 в обратном порядке.

Число 0.015 в обратном порядке будет выглядеть так — 510.0

Округлить число 510.0.

Написать число прописью — что может быть проще? До тех пор, пока число не становится очень большим. Да и маленькие числа, особенно если их много, могут отнять массу времени при написании их прописью. Специально для подобных случаев мы создали этот калькулятор, который правильно напишет любое число словами. Вы можете ввести как целое, так и дробное число. Если же вам необходимо написать прописью сумму с рублями и копейками — попробуйте этот калькулятор.

Максимальное число, которое может обработать наш калькулятор содержит 75 чисел и называется кваттуорвигинтиллион.

Число прописью онлайн

Полученное число, записанное словами вы можете скопировать в буфер обмена для дальнейшего использования. Для этого нажмите кнопку слева от числа.

Сколько нулей в числах

Количество нулей	Краткая запись	Название
3	103	тясяча
6	106	миллион
9	109	миллиард (биллион)
12	1012	триллион
15	1015	квадриллион
18	1018	квинтиллион
21	1021	секстиллион
24	1024	септиллион
27	1027	октиллион
30	1030	нониллион
33	1033	дециллион
36	1036	ундециллион
39	1039	дуодециллион
42	1042	тредециллион
45	1045	кватуордециллион
48	1048	квиндециллион
51	1051	сексдециллион
54	1054	септендециллион
57	1057	октодециллион
60	1060	новемдециллион
63	1063	вигинтиллион
66	1066	унвигинтиллион
69	1069	дуовигинтиллион
72	1072	тревигинтиллион
75	1075	кватуорвигинтиллион
78	1078	квинвигинтиллион
81	1081	сексвигинтиллион
84	1084	септенвигинтиллион
87	1087	октовигинтиллион
90	1090	новемвигинтиллион
93	1093	тригинтиллион
96	1096	унтригинтиллион
99	1099	дуотригинтиллион
102	10102	третригинтиллион
105	10105	кватортригинтиллион
108	10108	квинтригинтиллион
111	10111	секстригинтиллион
114	10114	септентригинтиллион
117	10117	октотригинтиллион
120	10120	новемтригинтиллион
123	10123	квадрагинтиллион
126	10126	унквадрагинтиллион
129	10129	дуоквадрагинтиллион
132	10132	треквадрагинтиллион
135	10135	кваторквадрагинтиллион
138	10138	квинквадрагинтиллион
141	10141	сексквадрагинтиллион
144	10144	септенквадрагинтиллион
147	10147	октоквадрагинтиллион
150	10150	новемквадрагинтиллион
153	10153	квинквагинтиллион
156	10156	унквинкагинтиллион
159	10159	дуоквинкагинтиллион
162	10162	треквинкагинтиллион
165	10165	кваторквинкагинтиллион
168	10168	квинквинкагинтиллион
171	10171	сексквинкагинтиллион
174	10174	септенквинкагинтиллион
177	10177	октоквинкагинтиллион
180	10180	новемквинкагинтиллион
183	10183	сексагинтиллион
186	10186	унсексагинтиллион
189	10189	дуосексагинтиллион
192	10192	тресексагинтиллион
195	10195	кваторсексагинтиллион
198	10198	квинсексагинтиллион
201	10201	секссексагинтиллион
204	10204	септенсексагинтиллион
207	10207	октосексагинтиллион
210	10210	новемсексагинтиллион
213	10213	септагинтиллион
216	10216	унсептагинтиллион
219	10219	дуосептагинтиллион
222	10222	тресептагинтиллион
225	10225	кваторсептагинтиллион
228	10228	квинсептагинтиллион
231	10231	секссептагинтиллион
234	10234	септенсептагинтиллион
237	10237	октосептагинтиллион
240	10240	новемсептагинтиллион
243	10243	октогинтиллион
246	10246	уноктогинтиллион
249	10249	дуооктогинтиллион
252	10252	треоктогинтиллион
255	10255	кватороктогинтиллион
258	10258	квиноктогинтиллион
261	10261	сексоктогинтиллион
264	10264	септоктогинтиллион
267	10267	октооктогинтиллион
270	10270	новемоктогинтиллион
273	10273	нонагинтиллион
276	10276	уннонагинтиллион
279	10279	дуононагинтиллион
282	10282	тренонагинтиллион
285	10285	кваторнонагинтиллион
288	10288	квиннонагинтиллион
291	10291	секснонагинтиллион
294	10294	септеннонагинтиллион
297	10297	октононагинтиллион
300	10300	новемнонагинтиллион
303	10303	центиллион

Написать число прописью Автор admin средний рейтинг 3.5/5 — 203 рейтинги пользователей

Калькулятор округления числа с решением

Калькулятор округления чисел, округлит числа, до целого (до единиц), десятых, сотых, тысячных, десятитысячных представленные: обыкновенной либо десятичной дробью и экспоненциальной записью и отобразит подробное решение. Вы можете выбрать тип округления, а так же указать количество чисел после запятой. Примеры записи числа, которое необходимо округлить: 5765, -1652, 1/3, -3/6, -5/-7, 34.012, 56,23, 2.3e+5, 5.8e-123 и т.д.

Правила округления целых чисел

Правила округления десятичных чисел

Вам могут также быть полезны следующие сервисы

Калькуляторы (Теория чисел)

Калькулятор выражений

Калькулятор упрощения выражений

Калькулятор со скобками

Калькулятор уравнений

Калькулятор суммы

Калькулятор пределов функций

Калькулятор разложения числа на простые множители

Калькулятор НОД и НОК

Калькулятор НОД и НОК по алгоритму Евклида

Калькулятор НОД и НОК для любого количества чисел

Калькулятор делителей числа

Представление многозначных чисел в виде суммы разрядных слагаемых

Калькулятор деления числа в данном отношении

Калькулятор процентов

Калькулятор перевода числа с Е в десятичное

Калькулятор экспоненциальной записи чисел

Калькулятор нахождения факториала числа

Калькулятор нахождения логарифма числа

Калькулятор квадратных уравнений

Калькулятор остатка от деления

Калькулятор корней с решением

Калькулятор нахождения периода десятичной дроби

Калькулятор больших чисел

Калькулятор округления числа

Калькулятор свойств корней и степеней

Калькулятор комплексных чисел

Калькулятор среднего арифметического

Калькулятор арифметической прогрессии

Калькулятор геометрической прогрессии

Калькулятор модуля числа

Калькулятор абсолютной погрешности приближения

Калькулятор абсолютной погрешности

Калькулятор относительной погрешности

Дроби

Калькулятор интервальных повторений

Учим дроби наглядно

Калькулятор сокращения дробей

Калькулятор преобразования неправильной дроби в смешанную

Калькулятор преобразования смешанной дроби в неправильную

Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления дробей

Калькулятор возведения дроби в степень

Калькулятор перевода десятичной дроби в обыкновенную

Калькулятор перевода обыкновенной дроби в десятичную

Калькулятор сравнения дробей

Калькулятор приведения дробей к общему знаменателю

Калькуляторы (тригонометрия)

Калькулятор синуса угла

Калькулятор косинуса угла

Калькулятор тангенса угла

Калькулятор котангенса угла

Калькулятор секанса угла

Калькулятор косеканса угла

Калькулятор арксинуса угла

Калькулятор арккосинуса угла

Калькулятор арктангенса угла

Калькулятор арккотангенса угла

Калькулятор арксеканса угла

Калькулятор арккосеканса угла

Калькулятор нахождения наименьшего угла

Калькулятор определения вида угла

Калькулятор смежных углов

Калькуляторы систем счисления

Калькулятор перевода чисел из арабских в римские и из римских в арабские

Калькулятор перевода чисел в различные системы счисления

Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления двоичных чисел

Системы счисления теория

N2 | Двоичная система счисления

N3 | Троичная система счисления

N4 | Четырехичная система счисления

N5 | Пятеричная система счисления

N6 | Шестеричная система счисления

N7 | Семеричная система счисления

N8 | Восьмеричная система счисления

N9 | Девятеричная система счисления

N11 | Одиннадцатиричная система счисления

N12 | Двенадцатеричная система счисления

N13 | Тринадцатеричная система счисления

N14 | Четырнадцатеричная система счисления

N15 | Пятнадцатеричная система счисления

N16 | Шестнадцатеричная система счисления

N17 | Семнадцатеричная система счисления

N18 | Восемнадцатеричная система счисления

N19 | Девятнадцатеричная система счисления

N20 | Двадцатеричная система счисления

N21 | Двадцатиодноричная система счисления

N22 | Двадцатидвухричная система счисления

N23 | Двадцатитрехричная система счисления

N24 | Двадцатичетырехричная система счисления

N25 | Двадцатипятеричная система счисления

N26 | Двадцатишестеричная система счисления

N27 | Двадцатисемеричная система счисления

N28 | Двадцативосьмеричная система счисления

N29 | Двадцатидевятиричная система счисления

N30 | Тридцатиричная система счисления

N31 | Тридцатиодноричная система счисления

N32 | Тридцатидвухричная система счисления

N33 | Тридцатитрехричная система счисления

N34 | Тридцатичетырехричная система счисления

N35 | Тридцатипятиричная система счисления

N36 | Тридцатишестиричная система счисления

Калькуляторы площади геометрических фигур

Площадь квадрата

Площадь прямоугольника

КАЛЬКУЛЯТОРЫ ЗАДАЧ ПО ГЕОМЕТРИИ

Калькуляторы (Комбинаторика)

Калькулятор нахождения числа перестановок из n элементов

Калькулятор нахождения числа сочетаний из n элементов

Калькулятор нахождения числа размещений из n элементов

Калькуляторы линейная алгебра и аналитическая геометрия

Калькулятор сложения и вычитания матриц

Калькулятор умножения матриц

Калькулятор транспонирование матрицы

Калькулятор нахождения определителя (детерминанта) матрицы

Калькулятор нахождения обратной матрицы

Длина отрезка. Онлайн калькулятор расстояния между точками

Онлайн калькулятор нахождения координат вектора по двум точкам

Калькулятор нахождения модуля (длины) вектора

Калькулятор сложения и вычитания векторов

Калькулятор скалярного произведения векторов через длину и косинус угла между векторами

Калькулятор скалярного произведения векторов через координаты

Калькулятор векторного произведения векторов через координаты

Калькулятор смешанного произведения векторов

Калькулятор умножения вектора на число

Калькулятор нахождения угла между векторами

Калькулятор проверки коллинеарности векторов

Калькулятор проверки компланарности векторов

Генератор Pdf с примерами

Тренажёры решения примеров

Тренажер по математике

Тренажёр таблицы умножения

Тренажер счета для дошкольников

Тренажер счета на внимательность для дошкольников

Тренажер решения примеров на сложение, вычитание, умножение, деление. Найди правильный ответ.

Тренажер решения примеров с разными действиями

Тренажёры решения столбиком

Тренажёр сложения столбиком

Тренажёр вычитания столбиком

Тренажёр умножения столбиком

Тренажёр деления столбиком с остатком

Калькуляторы решения столбиком

Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления столбиком

Калькулятор деления столбиком с остатком

Конвертеры величин

Конвертер единиц длины

Конвертер единиц скорости

Конвертер единиц ускорения

Цифры в текст

Калькуляторы (физика)

Механика

Калькулятор вычисления скорости, времени и расстояния

Калькулятор вычисления ускорения, скорости и перемещения

Калькулятор вычисления времени движения

Калькулятор времени

Второй закон Ньютона. Калькулятор вычисления силы, массы и ускорения.

Закон всемирного тяготения. Калькулятор вычисления силы притяжения, массы и расстояния.

Импульс тела. Калькулятор вычисления импульса, массы и скорости

Импульс силы. Калькулятор вычисления импульса, силы и времени действия силы.

Вес тела. Калькулятор вычисления веса тела, массы и ускорения свободного падения

Оптика

Калькулятор отражения и преломления света

Электричество и магнетизм

Калькулятор Закона Ома

Калькулятор Закона Кулона

Калькулятор напряженности E электрического поля

Калькулятор нахождения точечного электрического заряда Q

Калькулятор нахождения силы F действующей на заряд q

Калькулятор вычисления расстояния r от заряда q

Калькулятор вычисления потенциальной энергии W заряда q

Калькулятор вычисления потенциала φ электростатического поля

Калькулятор вычисления электроемкости C проводника и сферы

Конденсаторы

Калькулятор вычисления электроемкости C плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькулятор вычисления напряженности E электрического поля плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькулятор вычисления напряжения U (разности потенциалов) плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькулятор вычисления расстояния d между пластинами в плоском конденсаторе

Калькулятор вычисления площади пластины (обкладки) S в плоском конденсаторе

Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора

Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора. Для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькулятор вычисления объемной плотности энергии w электрического поля для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькуляторы по астрономии

Вес тела на других планетах

Ускорение свободного падения на планетах Солнечной системы и их спутниках

Генераторы

Генератор примеров по математике

Генератор случайных чисел

Генератор паролей

Перевод дробей

Если вам необходимо перевести десятичную дробь в обыкновенную или наоборот воспользуйтесь нашим онлайн калькулятором:

Перевод обыкновенной дроби в десятичную

Перевод десятичной дроби в обыкновенную

Просто заполните необходимые поля и получите ответ и подробное решение.

Теория

Как перевести обыкновенную дробь в десятичную

Как перевести десятичную дробь в обыкновенную

См. также

Десятичная дробь в обязательном порядке содержит запятую. Та числовая часть дроби, которая располагается левее запятой, называется целой; правее — дробной:

5,28
5 — целая часть
28 — дробная часть

Дробная часть десятичной дроби состоит из десятичных знаков
(десятичных разрядов):

• десятые — 0,1 (одна десятая);
• сотые — 0,01 (одна сотая);
• тысячные — 0,001 (одна тысячная);
• десятитысячные — 0,0001 (одна десятитысячная);
• стотысячные — 0,00001 (одна стотысячная);
• миллионные — 0,000001 (одна миллионная);
• десятимиллионные — 0,0000001 (одна десятимиллионная);
• стомиллионные — 0,00000001 (одна стомиллионная);
• миллиардные — 0,000000001 (одна миллиардная) и т. д.

• прочитать число, составляющее целую часть дроби и добавить слово «целых
  «;
• прочитать число, составляющее дробную часть дроби и добавить название младшего разряда.

Например:

• 0,25 — ноль целых двадцать пять сотых;
• 9,1 — девять целых одна десятая;
• 18,013 — восемнадцать целых тринадцать тысячных;
• 100,2834 — сто целых две тысячи восемьсот тридцать четыре десятитысячных.

Запись десятичных дробей

Чтобы записать десятичную дробь, необходимо:

• записать целую часть дроби и поставить запятую (число, означающее целую часть дроби всегда заканчивается словом «целых
  «);
• записать дробную часть дроби таким образом, чтобы последняя цифра попала в нужный разряд (при отсутствии значащих цифр в определенных десятичных разрядах они заменяются нулями).

Например:

• двадцать целых девять десятых — 20,9 — в этом примере все просто;
• пять целых одна сотая — 5,01 — слово «сотая» означает, что после запятой должны стоять две цифры, но, поскольку в числе 1 нет разряда десятых, он заменяется нулем;
• ноль целых восемьсот восемь тысячных — 0,808;
• три целых пятнадцать десятых — такую десятичную дробь записать невозможно, потому, что в произношении дробной части допущена ошибка — число 15 содержит два разряда, а слово «десятых» подразумевает только один. Правильно будет три целых пятнадцать сотых (или тысячных, десятитысячных и т. д.).

Сравнение десятичных дробей

Сравнение десятичных дробей проводится аналогично сравнению натуральных чисел .

1. сначала сравниваются целые части дробей — больше будет та десятичная дробь у которой больше ее целая часть;
2. если целые части дробей равны, сравнивают поразрядно дробные части, слева направо, начиная от запятой: десятые, сотые, тысячные и т.д. Сравнение ведут до первого несовпадения — больше будет та десятичная дробь у которой будет больше неравная цифра в соответствующем разряде дробной части. Например: 1,28
   3 > 1,27
   9, т. к. в сотых разрядах у первой дроби стоит 8, а у второй 7.

Десятичная дробь отличается от обыкновенной дроби тем, что знаменатель у нее — это разрядная единица.

Например:

Десятичные дроби выделены из обыкновенных дробей в отдельный вид, что привело к собственным правилам сравнения, сложения, вычитания, умножения и деления этих дробей. В принципе, с десятичными дробями можно работать и по правилам обыкновенных дробей. Собственные правила преобразования десятичных дробей упрощают вычисления, а правила преобразования обыкновенных дробей в десятичные, и наоборот, служат связкой между этими видами дроби.

Запись и чтение десятичных дробей позволяет их записывать, сравнивать и производить действия над ними по правилам, очень похожим на правила действий с натуральными числами.

Впервые система десятичных дробей и действий над ними была изложена в XV в. самаркандским математиком и астрономом Джемшид ибн-Масудаль-Каши в книге «Ключ к искусству счета».

Целая часть десятичной дроби отделена от дробной части запятой, в некоторых странах (США) ставят точку. Если в десятичной дроби нет целой части, то перед запятой ставят число 0.

К дробной части десятичной дроби справа можно дописывать любое количество нулей, это величину дроби не изменяет. Дробная часть десятичной дроби читается по последнему значащему разряду.

Например:
0,3 — три десятых
0,75 — семьдесят пять сотых
0,000005 — пять миллионных.

Чтение целой части десятичной дроби такое же, как и натуральных чисел.

Например:
27,5 — двадцать семь…;
1,57 — одна…

После целой части десятичной дроби произносится слово «целых».

Например:
10.7 — десять целых семь десятых

0,67 — ноль целых шестьдесят семь сотых.

Десятичные знаки — это цифры дробной части. Дробная часть читается не по разрядам (в отличие от натуральных чисел), а целиком, поэтому дробная часть десятичной дроби определяется последним справа значащим разрядом. Разрядная система дробной части десятичной дроби несколько иная, чем у натуральных чисел.

• 1-й разряд после занятой — разряд десятых
• 2-й разряд после запятой — разряд сотых
• 3-й разряд после запятой — разряд тысячных
• 4-й разряд после запятой — разряд десятитысячных
• 5-й разряд после запятой — разряд стотысячных
• 6-й разряд после запятой — разряд миллионных
• 7-й разряд после запятой — разряд десятимиллионных
• 8-й разряд после запятой — разряд стомиллионных

В вычислениях чаще всего используются первые три разряда. Большая разрядность дробной части десятичных дробей используется только в специфических отраслях знаний, где вычисляются бесконечно малые величины.

Перевод десятичной дроби в смешанную дробь
состоит н следующем: число, стоящее до запятой записать целой частью смешанной дроби; число, стоящее после запятой — числителем ее дробной части, а в знаменателе дробной части записать единицу со столькими нулями, сколько цифр стоит после запятой.

3.4 Правильный порядок

В предыдущем разделе мы сравнивали числа по их положению на числовой прямой. Это хороший способ сравнивать величины чисел в десятичной записи. Этот способ работает всегда, но это трудоемко и неудобно делать всякий раз, когда нужно сравнить два числа. Существует другой хороший способ выяснить, какое из двух чисел больше.

Пример A.

Рассмотрим числа из предыдущего раздела и сравним 0,05 и 0,2.

Чтобы выяснить, какое число больше, сравним сначала их целые части. Оба числа в нашем примере имеют равное количество целых — 0. Сравним тогда их десятые части. Число 0,05 имеет 0 десятых, а число 0,2 имеет 2 десятых. То, что число 0,05 имеет 5 сотых, ни имеет значения, поскольку десятые доли определяют, что число 0,2 больше. Мы можем, таким образом, записать:

То, что число 0,612 имеет 2 тысячных, не играет роли, оно все равно меньше, чем 0,62.

Мы можем это проиллюстрировать на картинке:

	0,612
	0,62

Для того, чтобы определить, какое из двух чисел в десятичной записи больше, нужно сделать следующее:

1. Сравнить целые части. То число, у которого целая часть больше и будет больше.

2
. Если целые части равны, сравнить десятые части. То число, у которого десятых частей больше, и будет больше.

3
. Если десятые части равны, сравнить сотые части. То число, у которого сотых частей больше, и будет больше.

4
. Если сотые части равны, сравнить тысячные части. То число, у которого тысячных частей больше, и будет больше.

В этой статье мы рассмотрим тему «сравнение десятичных дробей
». Сначала обсудим общий принцип сравнения десятичных дробей. После этого разберемся, какие десятичные дроби являются равными, а какие – неравными. Дальше научимся определять, какая десятичная дробь больше, а какая меньше. Для этого изучим правила сравнения конечных, бесконечных периодических и бесконечных непериодических дробей. Всю теорию снабдим примерами с подробными решениями. В заключение остановимся на сравнении десятичных дробей с натуральными числами, обыкновенными дробями и смешанными числами.

Сразу скажем, что здесь мы будем говорить лишь о сравнении положительных десятичных дробей (смотрите положительные и отрицательные числа). Остальные случаи разобраны в статьях сравнение рациональных чисел и сравнение действительных чисел
.

Навигация по странице.

Общий принцип сравнения десятичных дробей

Исходя из этого принципа сравнения, выводятся правила сравнения десятичных дробей, позволяющие обойтись без перевода сравниваемых десятичных дробей в обыкновенные дроби. Эти правила, а также примеры их применения, мы разберем в следующих пунктах.

По схожему принципу сравниваются конечные десятичные дроби или бесконечные периодические десятичные дроби с натуральными числами , обыкновенными дробями и смешанными числами : сравниваемые числа заменяются соответствующими им обыкновенными дробями, после чего сравниваются обыкновенные дроби.

Что касается сравнения бесконечных непериодических десятичных дробей
, то оно обычно сводится к сравнению конечных десятичных дробей. Для этого рассматривается такое количество знаков сравниваемых бесконечных непериодических десятичных дробей, которое позволяет получить результат сравнения.

Равные и неравные десятичные дроби

Сначала введем определения равных и неравных конечных десятичных дробей
.

Определение.

Две конечные десятичные дроби называются равными
, если равны соответствующие им обыкновенные дроби, в противном случае эти десятичные дроби называются неравными
.

На основании этого определения легко обосновать следующее утверждение: если в конце данной десятичной дроби приписать или отбросить несколько цифр 0
, то получится равная ей десятичная дробь. Например, 0,3=0,30=0,300=…
, а 140,000=140,00=140,0=140
.

Действительно, дописывание или отбрасывание в конце десятичной дроби нуля справа соответствует умножению или делению на 10
числителя и знаменателя соответствующей обыкновенной дроби. А мы знаем основное свойство дроби , которое гласит, что умножение или деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же натуральное число дает дробь, равную исходной. Этим доказано, что дописывание или отбрасывание нулей справа в дробной части десятичной дроби дает дробь, равную исходной.

Например, десятичной дроби 0,5
отвечает обыкновенная дробь 5/10
, после дописывания нуля справа получается десятичная дробь 0,50
, которой отвечает обыкновенная дробь 50/100
, а . Таким образом, 0,5=0,50
. Обратно, если в десятичной дроби 0,50
отбросить справа 0
, то мы получим дробь 0,5
, так от обыкновенной дроби 50/100
мы придем к дроби 5/10
, но . Следовательно, 0,50=0,5
.

Переходим к определению равных и неравных бесконечных периодических десятичных дробей
.

Определение.

Две бесконечные периодические дроби равны
, если равны отвечающие им обыкновенные дроби; если же соответствующие им обыкновенные дроби не равны, то сравниваемые периодические дроби тоже не равны
.

Из данного определения следуют три вывода:

• Если записи периодических десятичных дробей полностью совпадают, то такие бесконечные периодические десятичные дроби равны. Например, периодические десятичные дроби 0,34(2987)
  и 0,34(2987)
  равны.
• Если периоды сравниваемых десятичных периодических дробей начинаются с одинаковой позиции, первая дробь имеет период 0
  , вторая – период 9
  , и значение разряда, предшествующего периоду 0
  на единицу больше, чем значение разряда, предшествующего периоду 9
  , то такие бесконечные периодические десятичные дроби равны. Например, периодические дроби 8,3(0)
  и 8,2(9)
  равны, также равны дроби 141,(0)
  и 140,(9)
  .
• Две любые другие периодические дроби не являются равными. Приведем примеры неравных бесконечных периодических десятичных дробей: 9,0(4)
  и 7,(21)
  , 0,(12)
  и 0,(121)
  , 10,(0)
  и 9,8(9)
  .

Осталось разобраться с равными и неравными бесконечными непериодическими десятичными дробями
. Как известно, такие десятичные дроби не могут быть переведены в обыкновенные дроби (такие десятичные дроби представляют иррациональные числа), поэтому сравнение бесконечных непериодических десятичных дробей нельзя свести к сравнению обыкновенных дробей.

Определение.

Две бесконечные непериодические десятичные дроби равны
, если их записи полностью совпадают.

Но есть один нюанс: невозможно увидеть «законченную» запись бесконечных непериодических десятичных дробей, следовательно, невозможно убедиться и в полном совпадении их записей. Как же быть?

При сравнении бесконечных непериодических десятичных дробей рассматривают лишь конечное число знаков сравниваемых дробей, которое позволяет сделать необходимые выводы. Таким образом, сравнение бесконечных непериодических десятичных дробей сводится к сравнению конечных десятичных дробей.

При таком подходе можно говорить о равенстве бесконечных непериодических десятичных дробей лишь с точностью до рассматриваемого разряда. Приведем примеры. Бесконечные непериодические десятичные дроби 5,45839…
и 5,45839…
равны с точностью до стотысячных, так как равны конечные десятичные дроби 5,45839
и 5,45839
; непериодические десятичные дроби 19,54…
и 19,54810375…
равны с точностью до сотых, так как равны дроби 19,54
и 19,54
.

Неравенство бесконечных непериодических десятичных дробей при таком подходе устанавливается вполне определенно. Например, бесконечные непериодические десятичные дроби 5,6789…
и 5,67732…
не равны, так как очевидны различия в их записях (не равны конечные десятичные дроби 5,6789
и 5,6773
). Бесконечные десятичные дроби 6,49354…
и 7,53789…
тоже не равны.

Правила сравнения десятичных дробей, примеры, решения

После установления факта неравенства двух десятичных дробей, часто нужно узнать, какая из этих дробей больше, а какая – меньше другой. Сейчас мы разберем правила сравнения десятичных дробей, позволяющие ответить на поставленный вопрос.

Во многих случаях бывает достаточно сравнить целые части сравниваемых десятичных дробей. Справедливо следующее правило сравнения десятичных дробей
: больше та десятичная дробь, целая часть которой больше, и меньше та десятичная дробь, целая часть которой меньше.

Это правило относится как к конечным десятичным дробям, так и к бесконечным. Рассмотрим решения примеров.

Пример.

Сравните десятичные дроби 9,43
и 7,983023…
.

Решение.

Очевидно, данные десятичные дроби не равны. Целая часть конечной десятичной дроби 9,43
равна 9
, а целая часть бесконечной непериодической дроби 7,983023…
равна 7
. Так как 9>7
(смотрите сравнение натуральных чисел), то 9,43>7,983023
.

Ответ:

9,43>7,983023
.

Пример.

Какая из десятичных дробей 49,43(14)
и 1 045,45029…
меньше?

Решение.

Целая часть периодической дроби 49,43(14)
меньше, чем целая часть бесконечной непериодической десятичной дроби 1 045,45029…
, следовательно, 49,43(14)<1 045,45029…
.

Ответ:

49,43(14)
.

Если целые части сравниваемых десятичных дробей равны, то для выяснения, какая из них больше, а какая — меньше, приходится сравнивать дробные части. Сравнение дробных частей десятичных дробей проводится поразрядно
— от разряда десятых к более младшим.

Для начала рассмотрим пример сравнения двух конечных десятичных дробей.

Пример.

Выполните сравнение конечных десятичных дробей 0,87
и 0,8521
.

Решение.

Целые части данных десятичных дробей равны (0=0
), поэтому переходим к сравнению дробных частей. Значения разряда десятых равны (8=8
), а значение разряда сотых дроби 0,87
больше, чем значение разряда сотых дроби 0,8521
(7>5
). Следовательно, 0,87>0,8521
.

Ответ:

0,87>0,8521
.

Иногда, чтобы выполнить сравнение конечных десятичных дробей с разным количеством десятичных знаков, к дроби с меньшим количеством десятичных знаков приходится дописывать некоторое количество нулей справа. Достаточно удобно уравнивать количество десятичных знаков до начала сравнения конечных десятичных дробей, дописав к одной из них некоторое количество нулей справа.

Пример.

Сравните конечные десятичные дроби 18,00405
и 18,0040532
.

Решение.

Очевидно, данные дроби неравны, так как их записи отличаются, но при этом они имеют равные целые части (18=18
).

Перед поразрядным сравнением дробных частей данных дробей уравняем количество десятичных знаков. Для этого припишем две цифры 0
в конце дроби 18,00405
, при этом получим равную ей десятичную дробь 18,0040500
.

Значения десятичных разрядов дробей 18,0040500
и 18,0040532
равны вплоть до стотысячных, а значение разряда миллионных дроби 18,0040500
меньше значения соответствующего разряда дроби 18,0040532
(0<3
), поэтому, 18,0040500<18,0040532
, следовательно, 18,00405<18,0040532
.

Ответ:

18,00405<18,0040532
.

При сравнении конечной десятичной дроби с бесконечной, конечная дробь заменяется равной ей бесконечной периодической дробью с периодом 0
, после чего проводится сравнение по разрядам.

Пример.

Сравните конечную десятичную дробь 5,27
с бесконечной непериодической десятичной дробью 5,270013…
.

Решение.

Целые части данных десятичных дробей равны. Значения разрядов десятых и сотых данных дробей равны, и чтобы выполнить дальнейшее сравнение, конечную десятичную дробь заменяем равной ей бесконечной периодической дробью с периодом 0
вида 5,270000…
. До пятого знака после запятой значения разрядов десятичных дробей 5,270000…
и 5,270013…
равны, а на пятом знаке имеем 0<1
. Таким образом, 5,270000…<5,270013…
, откуда следует, что 5,27<5,270013…
.

Ответ:

5,27<5,270013…
.

Сравнение бесконечных десятичных дробей также проводится поразрядно
, и заканчивается после того, как только значения какого-то разряда оказываются разными.

Пример.

Сравните бесконечные десятичные дроби 6,23(18)
и 6,25181815…
.

Решение.

Целые части данных дробей равны, также равны значения разряда десятых. А значение разряда сотых периодической дроби 6,23(18)
меньше разряда сотых бесконечной непериодической десятичной дроби 6,25181815…
, следовательно, 6,23(18)<6,25181815…
.

Ответ:

6,23(18)<6,25181815…
.

Пример.

Какая из бесконечных периодических десятичных дробей 3,(73)
и 3,(737)
больше?

Решение.

Понятно, что 3,(73)=3,73737373…
и 3,(737)=3,737737737…
. На четвертом знаке после запятой поразрядное сравнение заканчивается, так как там имеем 3<7
. Таким образом, 3,73737373…<3,737737737…
, то есть, десятичная дробь 3,(737)
больше, чем дробь 3,(73)
.

Ответ:

3,(737)
.

Сравнение десятичных дробей с натуральными числами, обыкновенными дробями и смешанными числами.

Получить результат сравнения десятичной дроби с натуральным числом позволяет сравнение целой части данной дроби с данным натуральным числом. При этом периодические дроби с периодами 0
или 9
нужно предварительно заменить равными им конечными десятичными дробями.

Справедливо следующее правило сравнения десятичной дроби и натурального числа
: если целая часть десятичной дроби меньше данного натурального числа, то и вся дробь меньше этого натурального числа; если целая часть дроби больше или равна данному натуральному числу, то дробь больше данного натурального числа.

Рассмотрим примеры применения этого правила сравнения.

Пример.

Сравните натуральное число 7
с десятичной дробью 8,8329…
.

Решение.

Так как данное натуральное число меньше, чем целая часть данной десятичной дроби, то это число меньше данной десятичной дроби.

Ответ:

7<8,8329…
.

Пример.

Сравните натуральное число 7
и десятичную дробь 7,1
.