Обратно пропорционально как пишется знак

Основные определения

Математическая зависимость — это соответствие между элементами двух множеств, при котором каждому элементу одного множества ставится в соответствие элемент из другого множества.

Виды зависимостей:

• Прямая зависимость. Чем больше одна величина, тем больше вторая. Чем меньше одна величина, тем меньше вторая величина.

• Обратная зависимость. Чем больше одна величина, тем меньше вторая. Чем меньше одна величина, тем больше вторая.

Пропорция в математике — это равенство между отношениями двух или нескольких пар чисел или величин. Пропорциональными называются две взаимно-зависимые величины, если отношение их значений остается неизменным.

Пропорциональность — это взаимосвязь между двумя величинами, при которой изменение одной из них влечет за собой изменение другой во столько же раз. Проще говоря — это зависимость одного числа от другого.

Есть две разновидности пропорциональностей:

• Прямая пропорциональность. Это зависимость, при которой увеличение одного числа ведет к увеличению другого во столько же раз. А уменьшение одного числа ведет к уменьшению другого во столько же раз.

• Обратная пропорциональность. Это зависимость, при которой уменьшение одного числа ведет к увеличению другого во столько же раз. А увеличение числа наоборот ведет к уменьшению другого во столько же раз.

Коэффициент пропорциональности — это неизменное отношение пропорциональных величин. Он показывает, сколько единиц одной величины приходится на единицу другой. Коэффициент пропорциональности обозначается латинской буквой k.

Прямо пропорциональные величины

Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз — другая увеличивается (или уменьшается) во столько же раз.

Прямая пропорциональность в виде схемы: «больше — больше» или «меньше — меньше».

a и d называются крайними членами, b и c — средними.

Свойство прямо пропорциональной зависимости:

Если две величины прямо пропорциональны, то отношения соответствующих значений этих величин равны.

Примеры прямо пропорциональной зависимости:

• при постоянной скорости пройденный маршрут прямо-пропорционально зависит от времени;

• периметр квадрата и его сторона — прямо-пропорциональные величины;

• стоимость конфет, купленных по одной цене, прямо-пропорционально зависит от их количества.

Если говорить метафорами, то прямую пропорциональную зависимость можно отличить от обратной по пословице: «Чем дальше в лес, тем больше дров». Что значит, чем дольше ты идешь по лесу, тем больше дров можно собрать.

Коэффициент прямой пропорциональности — это отношение любых соответствующих значений пропорциональных переменных y и x, равное одному и тому же числу.

Формула коэффициента прямой пропорциональности:

Пример 1.

В одно и то же путешествие поехали два автомобиля. Один двигался со скоростью 70 км/ч и за 2 часа проделал тот же путь, что другой за 7 часов. Найти скорость второго автомобиля.

Как решаем:

1. Вспомним формулу для определения пути через скорость и время:

2. Так как оба автомобиля проделали одинаковый путь, можно составить пропорцию из двух выражений:

3. Найдем скорость второго автомобиля:

Ответ: 20 км/ч.

Онлайн-курсы математики для детей помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Пример 2.

Блогер за 8 дней может написать 14 постов. Сколько помощников ему понадобится, чтобы написать 420 постов за 12 дней, если они пишут с такой же скоростью?

Как рассуждаем:

Количество человек (блогер и помощники) увеличивается с увеличением объема работы, если ее нужно сделать за то же количество времени.

1. Составим пропорцию:

   14 (постов) / 8 (дней) × х (блогеров) = 420 (постов) / 12 (дней)

2. Вспомним основное свойство пропорции, согласно которому:

   14x × 12 = 420 × 8

   х = (420 × / (14 × 12)

3. х = 20

Ответ: 20 человек напишут 420 постов за 12 дней.

Обратно пропорциональные величины

Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз — другая уменьшается (или увеличивается) во столько же раз.

Объясним, что значит обратно пропорционально в виде схемы: «больше — меньше» или «меньше — больше».

Свойство обратной пропорциональности величин:

Если две величины находятся в обратно пропорциональной зависимости, то отношение двух произвольно взятых значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.

Примеры обратно пропорциональной зависимости:

• время на маршрут и скорость, с которой путь был пройден — обратно пропорциональные величины;

• при одинаковой продуктивности количество школьников, решающих конкретную задачу, обратно пропорционально времени выполнения этой задачи;

• количество конфет, купленных на определенную сумму денег, обратно пропорционально их цене.

Коэффициент обратной пропорциональности — это произведение любых соответствующих значений обратно пропорциональных переменных y и x, равное одному и тому же числу.

Формула коэффициента обратной пропорциональности:

xy = k.

Потренируемся

Пример 1. 24 человека за 5 дней раскрутили канальчик в ютубе. За сколько дней выполнят ту же работу 30 человек, если будут работать с той же эффективностью?

Как рассуждаем:

1. В заполненном столбце стрелку ставим в направлении от большего числа к меньшему.

2. Чем больше людей, тем меньше времени нужно для выполнения определенной работы (раскрутки канала). Значит, это обратно пропорциональная зависимость.

3. Поэтому направим вторую стрелку в противоположную сторону. Обратная пропорция выглядит так:

Как решаем:

1. Пусть за х дней могут раскрутить канал 30 человек. Составляем пропорцию:

   30 : 24 = 5 : х

2. Чтобы найти неизвестный член пропорции, нужно произведение средних членов разделить на известный крайний член:

   х = 24 * 5 : 30

   х = 4

3. Значит, 30 человек раскрутят канал за 4 дня.

Ответ: за 4 дня.

Пример 2. Автомобиль проезжает от одного города до другого за 13 часов со скоростью 75 км/ч. Сколько времени ему понадобится, если он будет ехать со скоростью 52 км/ч?

Как рассуждаем:

Скорость и время связаны обратно пропорциональной зависимостью: чем больше скорость, тем меньше времени понадобится.

Обозначим:

v₁ = 75 км/ч

v₂ = 52 км/ч

t₁ = 13 ч

t₂ = х

Как решаем:

1. Составим пропорцию:

   Соотношения равны, но перевернуты относительно друг друга.

2. Подставим известные значения:

   18 ч 45 мин

Ответ: 18 часов 45 минут.

From Wikipedia, the free encyclopedia

In mathematics, two sequences of numbers, often experimental data, are proportional or directly proportional if their corresponding elements have a constant ratio, which is called the coefficient of proportionality or proportionality constant. Two sequences are inversely proportional if corresponding elements have a constant product, also called the coefficient of proportionality.

This definition is commonly extended to related varying quantities, which are often called variables. This meaning of variable is not the common meaning of the term in mathematics (see variable (mathematics)); these two different concepts share the same name for historical reasons.

Two functions and are proportional if their ratio is a constant function.

If several pairs of variables share the same direct proportionality constant, the equation expressing the equality of these ratios is called a proportion, e.g., a/b = x/y = ⋯ = k (for details see Ratio).
Proportionality is closely related to linearity.

Direct proportionality[edit]

Given an independent variable x and a dependent variable y, y is directly proportional to x^[1] if there is a non-zero constant k such that

The relation is often denoted using the symbols «∝» (not to be confused with the Greek letter alpha) or «~»:

or

For the proportionality constant can be expressed as the ratio

It is also called the constant of variation or constant of proportionality.

A direct proportionality can also be viewed as a linear equation in two variables with a y-intercept of 0 and a slope of k. This corresponds to linear growth.

Examples[edit]

• If an object travels at a constant speed, then the distance traveled is directly proportional to the time spent traveling, with the speed being the constant of proportionality.
• The circumference of a circle is directly proportional to its diameter, with the constant of proportionality equal to π.
• On a map of a sufficiently small geographical area, drawn to scale distances, the distance between any two points on the map is directly proportional to the beeline distance between the two locations represented by those points; the constant of proportionality is the scale of the map.
• The force, acting on a small object with small mass by a nearby large extended mass due to gravity, is directly proportional to the object’s mass; the constant of proportionality between the force and the mass is known as gravitational acceleration.
• The net force acting on an object is proportional to the acceleration of that object with respect to an inertial frame of reference. The constant of proportionality in this, Newton’s second law, is the classical mass of the object.

Inverse proportionality[edit]

The concept of inverse proportionality can be contrasted with direct proportionality. Consider two variables said to be «inversely proportional» to each other. If all other variables are held constant, the magnitude or absolute value of one inversely proportional variable decreases if the other variable increases, while their product (the constant of proportionality k) is always the same. As an example, the time taken for a journey is inversely proportional to the speed of travel.

Formally, two variables are inversely proportional (also called varying inversely, in inverse variation, in inverse proportion)^[2] if each of the variables is directly proportional to the multiplicative inverse (reciprocal) of the other, or equivalently if their product is a constant.^[3] It follows that the variable y is inversely proportional to the variable x if there exists a non-zero constant k such that

or equivalently, Hence the constant «k» is the product of x and y.

The graph of two variables varying inversely on the Cartesian coordinate plane is a rectangular hyperbola. The product of the x and y values of each point on the curve equals the constant of proportionality (k). Since neither x nor y can equal zero (because k is non-zero), the graph never crosses either axis.

Hyperbolic coordinates[edit]

The concepts of direct and inverse proportion lead to the location of points in the Cartesian plane by hyperbolic coordinates; the two coordinates correspond to the constant of direct proportionality that specifies a point as being on a particular ray and the constant of inverse proportionality that specifies a point as being on a particular hyperbola.

Computer encoding[edit]

The Unicode characters for proportionality are the following:

• U+221D ∝ PROPORTIONAL TO (∝, ∝, ∝, ∝, ∝)
• U+007E ~ TILDE
• U+2237 ∷ PROPORTION
• U+223C ∼ TILDE OPERATOR (∼, ∼, ∼, ∼)
• U+223A ∺ GEOMETRIC PROPORTION (∺)

See also[edit]

• Linear map
• Correlation
• Eudoxus of Cnidus
• Golden ratio
• Inverse-square law
• Proportional font
• Ratio
• Rule of three (mathematics)
• Sample size
• Similarity
• Basic proportionality theorem

Growth

• Linear growth
• Hyperbolic growth

Notes[edit]

References[edit]

• Ya. B. Zeldovich, I. M. Yaglom: Higher math for beginners, p. 34–35.
• Brian Burrell: Merriam-Webster’s Guide to Everyday Math: A Home and Business Reference. Merriam-Webster, 1998, ISBN 9780877796213, p. 85–101.
• Lanius, Cynthia S.; Williams Susan E.: PROPORTIONALITY: A Unifying Theme for the Middle Grades. Mathematics Teaching in the Middle School 8.8 (2003), p. 392–396.
• Seeley, Cathy; Schielack Jane F.: A Look at the Development of Ratios, Rates, and Proportionality. Mathematics Teaching in the Middle School, 13.3, 2007, p. 140–142.
• Van Dooren, Wim; De Bock Dirk; Evers Marleen; Verschaffel Lieven : Students’ Overuse of Proportionality on Missing-Value Problems: How Numbers May Change Solutions. Journal for Research in Mathematics Education, 40.2, 2009, p. 187–211.

From Wikipedia, the free encyclopedia

In mathematics, two sequences of numbers, often experimental data, are proportional or directly proportional if their corresponding elements have a constant ratio, which is called the coefficient of proportionality or proportionality constant. Two sequences are inversely proportional if corresponding elements have a constant product, also called the coefficient of proportionality.

This definition is commonly extended to related varying quantities, which are often called variables. This meaning of variable is not the common meaning of the term in mathematics (see variable (mathematics)); these two different concepts share the same name for historical reasons.

Two functions and are proportional if their ratio is a constant function.

If several pairs of variables share the same direct proportionality constant, the equation expressing the equality of these ratios is called a proportion, e.g., a/b = x/y = ⋯ = k (for details see Ratio).
Proportionality is closely related to linearity.

Direct proportionality[edit]

Given an independent variable x and a dependent variable y, y is directly proportional to x^[1] if there is a non-zero constant k such that

The relation is often denoted using the symbols «∝» (not to be confused with the Greek letter alpha) or «~»:

or

For the proportionality constant can be expressed as the ratio

It is also called the constant of variation or constant of proportionality.

A direct proportionality can also be viewed as a linear equation in two variables with a y-intercept of 0 and a slope of k. This corresponds to linear growth.

Examples[edit]

• If an object travels at a constant speed, then the distance traveled is directly proportional to the time spent traveling, with the speed being the constant of proportionality.
• The circumference of a circle is directly proportional to its diameter, with the constant of proportionality equal to π.
• On a map of a sufficiently small geographical area, drawn to scale distances, the distance between any two points on the map is directly proportional to the beeline distance between the two locations represented by those points; the constant of proportionality is the scale of the map.
• The force, acting on a small object with small mass by a nearby large extended mass due to gravity, is directly proportional to the object’s mass; the constant of proportionality between the force and the mass is known as gravitational acceleration.
• The net force acting on an object is proportional to the acceleration of that object with respect to an inertial frame of reference. The constant of proportionality in this, Newton’s second law, is the classical mass of the object.

Inverse proportionality[edit]

The concept of inverse proportionality can be contrasted with direct proportionality. Consider two variables said to be «inversely proportional» to each other. If all other variables are held constant, the magnitude or absolute value of one inversely proportional variable decreases if the other variable increases, while their product (the constant of proportionality k) is always the same. As an example, the time taken for a journey is inversely proportional to the speed of travel.

Formally, two variables are inversely proportional (also called varying inversely, in inverse variation, in inverse proportion)^[2] if each of the variables is directly proportional to the multiplicative inverse (reciprocal) of the other, or equivalently if their product is a constant.^[3] It follows that the variable y is inversely proportional to the variable x if there exists a non-zero constant k such that

or equivalently, Hence the constant «k» is the product of x and y.

The graph of two variables varying inversely on the Cartesian coordinate plane is a rectangular hyperbola. The product of the x and y values of each point on the curve equals the constant of proportionality (k). Since neither x nor y can equal zero (because k is non-zero), the graph never crosses either axis.

Hyperbolic coordinates[edit]

The concepts of direct and inverse proportion lead to the location of points in the Cartesian plane by hyperbolic coordinates; the two coordinates correspond to the constant of direct proportionality that specifies a point as being on a particular ray and the constant of inverse proportionality that specifies a point as being on a particular hyperbola.

Computer encoding[edit]

The Unicode characters for proportionality are the following:

• U+221D ∝ PROPORTIONAL TO (∝, ∝, ∝, ∝, ∝)
• U+007E ~ TILDE
• U+2237 ∷ PROPORTION
• U+223C ∼ TILDE OPERATOR (∼, ∼, ∼, ∼)
• U+223A ∺ GEOMETRIC PROPORTION (∺)

See also[edit]

• Linear map
• Correlation
• Eudoxus of Cnidus
• Golden ratio
• Inverse-square law
• Proportional font
• Ratio
• Rule of three (mathematics)
• Sample size
• Similarity
• Basic proportionality theorem

Growth

• Linear growth
• Hyperbolic growth

Notes[edit]

References[edit]

• Ya. B. Zeldovich, I. M. Yaglom: Higher math for beginners, p. 34–35.
• Brian Burrell: Merriam-Webster’s Guide to Everyday Math: A Home and Business Reference. Merriam-Webster, 1998, ISBN 9780877796213, p. 85–101.
• Lanius, Cynthia S.; Williams Susan E.: PROPORTIONALITY: A Unifying Theme for the Middle Grades. Mathematics Teaching in the Middle School 8.8 (2003), p. 392–396.
• Seeley, Cathy; Schielack Jane F.: A Look at the Development of Ratios, Rates, and Proportionality. Mathematics Teaching in the Middle School, 13.3, 2007, p. 140–142.
• Van Dooren, Wim; De Bock Dirk; Evers Marleen; Verschaffel Lieven : Students’ Overuse of Proportionality on Missing-Value Problems: How Numbers May Change Solutions. Journal for Research in Mathematics Education, 40.2, 2009, p. 187–211.

Прямая и обратная пропорциональность

• Прямая пропорциональность
• Формула прямой пропорциональности
• Обратная пропорциональность
• Формула обратной пропорциональности

Пропорциональность — это зависимость одной величины от другой, при которой изменение одной величины приводит к изменению другой во столько же раз.

Пропорциональность величин может быть прямой и обратной.

Прямая пропорциональность

Прямая пропорциональность — это зависимость двух величин, при которой одна величина зависит от второй величины так, что их отношение остаётся неизменным. Такие величины называются прямо пропорциональными или просто пропорциональными.

Рассмотрим пример прямой пропорциональности на формуле пути:

s = vt,

где  s  — это путь,  v  — скорость, а  t  — время.

При равномерном движении путь пропорционален времени движения. Если взять скорость  v  равной  5 км/ч,  то пройденный путь  s  будет зависеть только от времени движения  t:

Скорость v = 5 км/ч
Время t (ч)	1	2	4	8	16
Путь s (км)	5	10	20	40	80

Из примера видно, что во сколько раз увеличивается время движения  t,  во столько же раз увеличивается пройденное расстояние  s.  В примере мы увеличивали время каждый раз в 2 раза, так как скорость не менялась, то и расстояние увеличивалось тоже в два раза.

В данном случае скорость  (v = 5 км/ч)  является коэффициентом прямой пропорциональности, то есть отношением пути ко времени, которое остаётся неизменным:

следовательно,

5	=	10	=	20	=	40	=	80	= 5.
1	2	4	8	16

Если время движения остаётся неизменным, то при равномерном движении расстояние будет пропорционально скорости:

Время  t = 2 ч
Скорость  v (км/ч)	5	15	45	90
Расстояние  s (км)	10	30	90	180

В этом примере коэффициентом прямой пропорциональности, то есть, отношением пути к скорости, которое остаётся неизменным, является время  (t = 2 ч):

следовательно,

10	=	30	=	90	=	180	= 2.
5	15	45	90

Из данных примеров следует, что две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (или уменьшается) во столько же раз.

Формула прямой пропорциональности

Формула прямой пропорциональности:

y = kx,

где  y  и  x  — это переменные величины, а  k  — это постоянная величина, называемая коэффициентом прямой пропорциональности.

Коэффициент прямой пропорциональности — это отношение любых соответствующих значений пропорциональных переменных  y  и  x  равное одному и тому же числу.

Формула коэффициента прямой пропорциональности:

Обратная пропорциональность

Обратная пропорциональность — это зависимость двух величин, при которой увеличение одной величины приводит к пропорциональному уменьшению другой. Такие величины называются обратно пропорциональными.

Рассмотрим пример обратной пропорциональности на формуле пути:

s = vt,

где  s  — это путь,  v  — скорость, а  t  — время.

При прохождении одного и того же пути с разной скоростью движения время будет обратно пропорционально скорости. Если взять путь  s  равным  120 км,  то потраченное на преодоление этого пути время  t  будет зависеть только от скорости движения  v:

Путь  s = 120 км
Скорость  v (км/ч)	10	20	40	80
Время  t (ч)	12	6	3	1,5

Из примера видно, что во сколько раз увеличивается скорость движения  v,  во столько же раз уменьшается время  t.  В примере мы увеличивали скорость движения каждый раз в 2 раза, а так как расстояние, которое нужно преодолеть, не менялось, то количество времени на преодоление данного расстояния сокращалось тоже в два раза.

В данном случае путь (s = 120 км) является коэффициентом обратной пропорциональности, то есть произведением скорости на время:

s = vt,

следовательно,

10 · 12 = 20 · 6 = 40 · 3 = 80 · 1,5 = 120.

Из данного примера следует, что две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз.

Формула обратной пропорциональности

Формула обратной пропорциональности:

где  y  и  x  — это переменные величины, а  k  — это постоянная величина, называемая коэффициентом обратной пропорциональности.

Коэффициент обратной пропорциональности — это произведение любых соответствующих значений обратно пропорциональных переменных  y  и  x,  равное одному и тому же числу.

Формула коэффициента обратной пропорциональности:

xy = k.

В математика, говорят, что две различные величины находятся в связь из соразмерность, если они мультипликативно подключен к постоянный; то есть, когда либо их соотношение или их товар дает константу. Значение этой константы называется коэффициент пропорциональности или же константа пропорциональности.

• Если соотношение (y/Икс) двух переменных (Икс и y) равна константе (k = y/Икс), то переменная в числителе отношения (y) — произведение другой переменной и константы (y = k⋅Икс). В этом случае y как говорят прямо пропорциональный к Икс с константой пропорциональности k. Эквивалентно можно написать Икс = 1/k⋅y; то есть, Икс прямо пропорциональна y с константой пропорциональности 1/k (= Икс/y). Если срок пропорциональный связана с двумя переменными без дополнительных уточнений, обычно можно предположить прямую пропорциональность.
• Если товар двух переменных (Икс⋅y) равна константе (k = Икс⋅y), то говорят, что эти двое обратно пропорциональный друг другу с константой пропорциональности k. Эквивалентно, обе переменные прямо пропорциональны взаимный соответствующего другого с константой пропорциональности k (Икс = k⋅1/y и y = k⋅1/Икс).

Если несколько пар переменных имеют одну и ту же константу прямой пропорциональности, уравнение выражающее равенство этих соотношений, называется пропорция, например, а/б = Икс/y = … = k (подробнее см. Соотношение ).

Прямая пропорциональность

Учитывая два переменные Икс и y, y является прямо пропорциональный к Икс^[1] если есть ненулевая константа k такой, что

Unicode символы

U + 221D ∝ ПРОПОРЦИОНАЛЬНО (HTML∝ · & prop ;, & Proportional ;, & propto ;, & varpropto ;, & vprop;) U + 007E ~ ТИЛЬДА (HTML~) U + 223C ∼ ТИЛЬДА ОПЕРАТОР (HTML∼ · & sim ;, & Thicksim ;, & thksim ;, & Tilde;) U + 223A ∺ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОПОРЦИЯ (HTML∺ · & mDDot;) Смотрите также: Знак равенства

Отношение часто обозначается символами «∝» (не путать с греческой буквой альфа ) или «~»:

или же

За то константа пропорциональности можно выразить как отношение

Его еще называют постоянная вариации или же константа пропорциональности.

Прямая пропорциональность также может рассматриваться как линейное уравнение в двух переменных с y-перехват из 0 и склон из k. Это соответствует линейный рост.

Примеры

• Если объект движется с постоянной скорость, то расстояние пройдено прямо пропорционально время провел в путешествии со скоростью, являющейся константой пропорциональности.
• В длина окружности из круг прямо пропорциональна его диаметр, с коэффициентом пропорциональности, равным π.
• На карта достаточно небольшой географической территории, обращенной к шкала расстояния, расстояние между любыми двумя точками на карте прямо пропорционально прямому расстоянию между двумя местоположениями, представленными этими точками; константа пропорциональности — это масштаб карты.
• В сила, воздействуя на небольшой объект маленькими масса соседней большой протяженной массой из-за сила тяжести, прямо пропорциональна массе объекта; константа пропорциональности между силой и массой известна как гравитационное ускорение.
• Чистая сила, действующая на объект, пропорциональна ускорению этого объекта относительно инерциальной системы отсчета. Константа пропорциональности в этом, Второй закон Ньютона, — классическая масса объекта.

Обратная пропорциональность

Концепция чего-либо обратная пропорциональность можно противопоставить прямая пропорциональность. Рассмотрим две переменные, которые, как говорят, «обратно пропорциональны» друг другу. Если все остальные переменные остаются постоянными, величина или абсолютное значение одной обратно пропорциональной переменной уменьшается, если другая переменная увеличивается, в то время как их произведение (константа пропорциональности k) всегда одно и то же. Например, время, затрачиваемое на поездку, обратно пропорционально скорости движения.

Формально две переменные обратно пропорциональный (также называемый изменяется обратно пропорционально, в обратная вариация, в обратная пропорция, в обратная пропорция), если каждая из переменных прямо пропорциональна мультипликативный обратный (взаимно) по отношению к другому, или эквивалентно, если их товар является константой.^[2] Отсюда следует, что переменная y обратно пропорциональна переменной Икс если существует ненулевая константа k такой, что

или эквивалентно, Следовательно, константа «k» является произведением Икс и y.

График двух переменных, изменяющихся обратно пропорционально Декартова координата самолет прямоугольная гипербола. Продукт Икс и y значения каждой точки на кривой равны константе пропорциональности (k). Поскольку ни Икс ни y может равняться нулю (поскольку k не равно нулю), график никогда не пересекает ни одну из осей.

Гиперболические координаты

Концепции непосредственный и обратный пропорции приводят к расположению точек на декартовой плоскости на гиперболические координаты; две координаты соответствуют константе прямой пропорциональности, которая определяет точку как находящуюся на определенном луч и константа обратной пропорциональности, которая указывает, что точка находится на определенной гиперболе.

Смотрите также

• Линейная карта
• Корреляция
• Евдокс Книдский
• Золотое сечение
• Закон обратных квадратов
• Пропорциональный шрифт
• Соотношение
• Правило трех (математика)
• Размер образца
• Сходство
• Основная теорема пропорциональности
• ∷ то а должен б в качестве c должен d символ (U + 2237 ПРОПОРЦИЯ)

Рост

• Линейный рост
• Гиперболический рост

Примечания

Рекомендации

• Я. Б. Зельдович, Яглом И. М.: Высшая математика для начинающих, п. 34–35.
• Брайан Бурелл: Руководство Мерриам-Вебстера по повседневной математике: справочник по дому и бизнесу. Мерриам-Вебстер, 1998 г., ISBN  9780877796213, п. 85–101.
• Lanius, Cynthia S .; Уильямс Сьюзен Э .: ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ: объединяющая тема для средних классов. Преподавание математики в средней школе 8.8 (2003), стр. 392–396.
• Сили, Кэти; Шилак Джейн Ф .: Взгляд на развитие соотношений, ставок и пропорциональности. Преподавание математики в средней школе, 13.3, 2007 г., стр. 140–142.
• Ван Дурен, Вим; Де Бок Дирк; Эверс Марлен; Вершаффель Ливен: Чрезмерное использование учениками принципа пропорциональности при решении проблем с пропущенными значениями: как числа могут изменить решения. Журнал исследований в области математического образования, 40.2, 2009 г., стр. 187–211.

Одно из основных понятий курса математики в 6 классе – это прямая и обратная пропорциональность. Если некоторая величина (время, масса, цена) изменяется, и одновременно другая величина (расстояние, объем, затраты) тоже меняется, то величины находятся в зависимости между собой, то есть пропорциональны друг другу.

Взаимосвязь между величинами не всегда означает наличие пропорциональности. Так, высота дерева растет с его возрастом, но не во столько же раз. Составление пропорций помогает решить многие задачи как в математике, так и на практике.

Прямая пропорциональность

Если при изменении одного параметра другой изменяется таким же образом, то эти величины прямо пропорциональны друг другу. В этой пропорции увеличение расстояния вдвое означает увеличение времени также двукратно.

Например, при движении автомобиля с постоянной скоростью, время, затраченное на преодоление расстояния, будет прямо пропорционально этому расстоянию. То есть, если 50 км автомобиль проедет за 1 час, то 100 км с той же скоростью он преодолеет за 2 часа.

Функция прямой пропорциональности и ее график

Эта зависимость описывается следующей формулой:

y = k * x.

Здесь k и называется коэффициентом пропорциональности.

Графически функция изображается прямой, которая пройдет через начальную точку координат. Строят график следующим образом: находят одну точку, затем чертят прямую через эту точку и начало координат.

Пример построения

Нужно построить график у = 3х. Подставляем вместо х единицу, вычисляем y = 3, то есть находим координаты (1; 3). Отмечаем эту точку на координатной плоскости, проводим прямую линию через нее и точку (0; 0).

Вот так будет выглядеть график y = k * x при k > 0 (слева) и при k < 0 (справа).

Свойства функции прямой пропорциональности

Основные свойства следующие:

• область определения, значений составляют все действительные числа;

• является нечетной;

• возрастает при всех значениях x, если k > 0;

• если коэффициент со знаком «-», т. е. если k < 0, то убывает;

• если k > 0, то прямая располагается в 1 — 3 координатных четвертях и образует острый угол с осью Х, если k < 0, то прямая находится во 2 — 4 четвертях и образует тупой угол с осью Х.

Обратная пропорциональность

Рост одного параметра ведет к уменьшению другого в такое же количество раз, и наоборот, при уменьшении одной величины другая увеличивается во столько же. Это значит, что они обратно пропорциональны друг другу.

Пример: трое рабочих выполнят порученную им работу за 2 часа, а 6 человек такое же задание осилят за 1 час. То есть двукратное увеличение числа работников привело к уменьшению затраченного времени вдвое. Конечно, если прочие факторы неизменны (производительность труда, условия работы).

Функция обратной пропорциональности и ее график

Функция задается формулой:

где k – любое действительное число, кроме 0.

График данной зависимости — это гипербола, ее ветви находятся в 1 и 3 четвертях системы координат при k > 0, или во 2 и 4, если коэффициент меньше 0. Ветви гиперболы симметричны относительно точки (0; 0).

Строят график так: нужно задать значения х, затем вычислить значения у, результаты оформить в виде таблицы. Верхняя строка таблицы заполняется значениями х, нижняя — y.

Пример построения

Нужно построить график функции y = 8/x. 

Вот так выглядит таблица для данной функции:

Полученные точки отмечают на координатной плоскости, затем соединяют плавной линией. График будет выглядеть так:

Свойства функции обратной пропорциональности

Основные следующие:

• области определения, значений функции D(y) – это все действительные числа, кроме 0, т. е. D(y):= x ≠ 0;

• если коэффициент больше 0, функция является убывающей для всех x; если меньше 0, то y увеличивается для любых значений x;

• оси координат 0х и 0у — это асимптоты по отношению к ветвям гиперболы, которые приближаются к ним, но не достигают их.

К составлению математических пропорций во многих случаях сводится решение самых разнообразных задач. Например, покупая 1 булочку по определенной цене, подсчитывают затраты на 4 булочки – получается в 4 раза больше. 

Ускоряют шаг при ходьбе в 2 раза – достигнут цели вдвое быстрее. Вводят второго кассира в магазине – убывает очередь вдвое. Во всех этих случаях и им подобным применима теория о прямой и обратной пропорциональности.