Предподсчет как пишется

Деление по модулю (вычисление остатка от деления)

Деление по модулю — это алгоритм нахождения остатка от деления первого натурального числа на второе.

% — деление по модулю. Эта операция взятия вычета по модулю (вычисление остатка от деления).

Результатом этой операции является остаток от целочисленного деления, например, если мы делим 11 на 3, то целых частей у нас получается 3, (так как 3*3=9), в остатке будет 2, это число и будет результатом деления по модулю, пример для языка C++:

«Деление» по модулю

Часто в олимпиадных задачах требуется посчитать какие-то большие комбинаторные величины по простому модулю (чаще всего $10^9 + 7$). Это делают для того, чтобы участникам не приходилось использовать длинную арифметику, и они могли сосредоточиться на самой задаче.

Обычные арифметические операции по модулю выполняются не сильно сложнее — просто нужно брать модули и заботиться о переполнении. Например:

Но вот с делением возникают проблемы — мы не можем просто взять и поделить.

Например, $frac = 4$, но

#Через бинарное возведение в степень

Малая теорема Ферма говорит, что для любого простого числа $p$ и любого целого числа $a$,

$$ a^p equiv a pmod p $$ Теперь два раза «поделим» этот известный результат на $a$: $$ a^p equiv a implies a^ equiv 1 implies a^ equiv a^ $$

Получается, что $a^$ ведет себя как $a^$ относительно умножения по модулю, что нам и нужно.

Посчитать $a^$ можно за $O(log p)$ бинарным возведением в степень.

Этот подход простой и быстрый, однако следует помнить, что он работает только для простых модулей.

В случае составных модулей, по теореме Эйлера, число $a$ нужно возводить в степень $(phi(m)-1)$, для чего нужно искать факторизацию.

#Через расширенный алгоритм Евклида

Расширенный алгоритм Евклида можно использовать для решения в целых числах уравнений вида

$$ Ax + By = 1 $$ Подставим в качестве $A$ и $B$ соответственно $a$ и $m$: $$ ax + my = 1 $$ Одним из решений уравнения и будет $a^$, потому что если взять уравнение по модулю $m$, то получим $$ ax + my = 1 iff ax equiv 1 iff x equiv a^ pmod m $$

Преимущества этого метода над возведением в степень:

• Если обратное существует, то оно найдется даже если модуль не простой.
• Алгоритм проще выполнять руками.
• Алгоритм чуть быстрее, если его соптимизировать

Но лично автор почти всегда использует возведение в степень.

#Упрощенная реализация

Сначала приведем реализацию, а потом поймем, почему она работает:

Докажем по индукции, что функция действительно возвращает обратный элемент.

Базовый случай очевиден: $1 cdot 1 equiv 1$.

Во втором случае проверим правильность формулы:

• $(1 — f(m bmod a, a) cdot m)$ делится на $a$, так как $f(m bmod a, a) equiv m^ pmod a$.
• $frac$ делится на $m$, так что итоговое выражение сравнимо с $frac= a^$ по модулю $m$.

Почему ответ будет получаться в диапазоне от $0$ до $(m — 1)$, мы оставим читателю в качестве упражнения.

#Предподсчет обратных элементов

Чаще всего нам нужно искать обратный элемент в контексте комбинаторики.

Например, особенно часто нужно считать биномиальные коэффициенты, для чего в свою очередь нужно уметь обращать факториалы:

Простой способ — это предпосчитать обычные факториалы и каждый раз вызывать inv один или два раза:

Однако это добавит лишний логарифм в асимптотику в нередком случае, когда какая-то комбинаторная формула лежит внутри горячего цикла. Поэтому имеет смысл предподсчитать и частые обратные элементы.

#Обратные факториалы

Если у нас уже написан inv , то нам не жалко потратить лишние $O(log m)$ операций, посчитав $(a!)^$.

После этого обратный к $(a-1)!$ можно посчитать за $O(1)$ по формуле:

Все остальные обратные факториалы можно таким же образом итеративно подсчитать из предыдущего.

Также существует метод нахождения обратных для всех чисел от $1$ до $(p — 1)$, но так как обычно модули большие, он не часто применим.

#Почему $10^9+7$?

1. Это выражение довольно легко вбивать ( 1e9+7 ).
2. Простое число.
3. Достаточно большое.
4. int не переполняется при сложении.
5. long long не переполняется при умножении.

Кстати, $10^9 + 9$ обладает всеми теми же свойствами. Иногда используют и его.

Иногда можно встретить $998244353$. Оно обладает всеми свойствами кроме первого, но зато имеет применение в одном из вариантов быстрого преобразования Фурье. Его иногда добавляют даже в задачи, которые к нему не относятся, чтобы не раскрывать участникам тему.

Mod и остаток — не одно и то же

Приготовьтесь, вас ждёт крайне педантичная статья, которая вполне может спасти вас на собеседовании или сэкономить несколько часов при вылавливании бага в продакшне!

Я сейчас активно работаю над вторым сезоном «Руководства для самозванца» и пишу о шифре RSA для SSH, который, очевидно, является самым загружаемым фрагментом кода в истории IT.

Хочется полностью разобраться в этой истории. Кто придумал этот шифр, как он работает, почему работает и будет ли работать в будущем. Сейчас я раскопал одну чертовски интересную историю. Я не криптоманьяк и вижу, как других буквально засасывает в эту область. Но мне это тоже интересно, потому что повсюду есть маленькие норки, а меня как сороку привлекают блестящие штучки в глубоких норках. Я также очень хорош в метафорах.

В любом случае: на прошлой неделе я узнал что-то странное и хочу поделиться: оказывается, mod и остаток от деления — не одно и то же. Действительно забавно то, что некоторые читатели при этих словах выпрыгивают со своих кресел и орут: «А ведь именно это я всегда пытался сказать вам и всем остальным!»

Позовите ребят из секты «mod не остаток»! Это для вас.

Что такое mod?

Я должен был изучить это, как и в прошлый раз, когда всплыла такая тема. Это одна из тех вещей, которые ты знаешь, но не запоминаешь. Когда вы применяете mod, то делите одно число на другое и берёте остаток. Итак: 5 mod 2 будет 1, потому что 5/2=2 с остатком 1.

Термин mod означает операцию modulo, с модулем 2 в данном случае. Большинство языков программирования используют % для обозначения такой операции: 5 % 2 = 1 .

Вот где мы попадаем в странную серую область.

Математика циферблата

Помню, как учил это в школе, а потом забыл. Существует тип математики, называемый «модульной арифметикой», которая имеет дело с циклическими структурами. Самый простой способ представить это — циферблат с циклом 12. Для математика циферблат — это mod 12 . Если хотите понять, можно ли равномерно разделить 253 часа на дни, то можете применить операцию 253 mod 24 , результатом будет 13, поэтому ответ «нет»! Мы можем ответить «да» только если результат 0.

Другой вопрос, который вы можете задать: «Если я выеду в 6 вечера, сколько времени будет по приезду через 16 часов?». Это будет 6 + 16 mod 12 , то есть 10.

Криптографы любят mod , потому что при использовании с действительно большими числами можно создать нечто, известное как «односторонние функции». Это специальные функции, которые позволяют легко вычислить что-то в одном направлении, но не в обратном.

Если я скажу вам, что 9 является результатом возведения в квадрат, вы можете легко определить, что на входе было 3. Перед вами весь процесс от начала до конца. Если я скажу, что 9 является результатом mod 29 , то будет сложнее понять, что на входе.

Криптографам нравится эта идея, потому что они могут использовать деление с остатком с гигантскими простыми числами для генерации криптографических ключей. Это совсем другая история: если хотите прочитать об этом, то можете купить книгу или, ещё лучше, поддержать мои усилия написать её.

Впрочем, не будем отклоняться от темы.

Остатки и математика циферблата

Теперь переходим к сути: modulo и простой остаток одинаковы, когда числа положительны, но отличаются в случае отрицательных чисел.

Рассмотрим такую задачу:

Каково значение x ? Делим числа и получаем 7 как остаток от 12. Это верный ответ. Как насчет такого:

Используя обычную математику, мы можем умножить -12 на -1, что даёт 12, и у нас по-прежнему остаётся 7, поэтому наш ответ снова 7.

JavaScript с этим согласен:

C# тоже согласен:

Google согласен с первым утверждением, но не согласен со вторым:

Ruby согласен с Google:

Во имя Дейкстры, что здесь происходит?

Вращение часов назад

Чтобы ответить на вопрос, следует понять разницу между остатком и modulo. Программисты объединяют эти операции, но не должны этого делать, потому что они дают одинаковый результат только в случае, если делитель (в нашем случае 12) положителен. Вы можете легко отправить баги в продакшн, если делитель отрицательный.

Но почему существует разница? Рассмотрим положительный делитель 19 mod 12 на часах:

Конечный результат 7. Мы это знаем и мы можем доказать математически. Но что насчёт 19 mod -12 ? Здесь нужно использовать другие часы:

Модуль равен -12, и мы не можем игнорировать или изменить его, умножив на -1, поскольку модульная арифметика так не работает. Единственный способ правильно рассчитать результат — переставить метки на часах так, чтобы мы двигались от -12 или вращали часы против часовой стрелки, что даёт тот же результат.

Почему не начать метки с -1, двигаясь к -2, и т.д.? Потому что в таком случае мы будем двигаться назад и постоянно уменьшать результат, пока не достигнем -12, и в этот момент сделаем прыжок +12, а modulo так не работает.

Это известная вещь

Прежде чем назвать меня сумасшедшим и начать гуглить тему: это известный факт. На самом деле MDN (Mozilla Developer Network) даже дошла до того, чтобы назвать % операцией «остатка» (remainder), а не modulo:

Вот что Эрик Липперт, один из богов C#, говорит о modulo в C#:

А как на вашем языке?

Ну и что?

Могу понять, если вы дочитали досюда, а теперь чешете голову и задаётесь вопросом, стоит ли беспокоиться. Думаю, что стоит по двум причинам: