Произведение чисел как пишется

Что такое «произведение» в математике?

Если перемножить два числа а и в, то результатом будет произведение. Это то, что получится.

a x b = c. C это и есть произведение, полученное от сомножителей a, b.

Для простоты знак умножения между ними опускают и пишут просто:

ab = c

Это то же самое, что и в первом случае. c произведение от а и b.

«Произведением» в математике называют итоговый результат умножения.

Например, 3*2=6, числа 3 и 2 в данном примере называются «множителями» (число 3 — первый множитель, число 2 — второй множитель), а число 6 в данном примере называется «произведением».

В примере 6*3387=20332, числа 6 и 3387 являются «множителями», а число 20332 является «произведением».

Вы можете войти или зарегистрироваться, чтобы добавить ответ и получить бонус.

Что такое произведение чисел

Что такое произведение чисел? Сама-то понимаю, но нужно как-то более разумно ответить, научно, что ли)) Ответ нужен на зачет. Спасибо!

Произведением некоторых чисел называется результат умножения данных чисел. При этом компоненты умножения называются множителями
Например, 2•7•13=182. Здесь 2, 7 и 13 — множители, а 182 — произведение.
Рассмотрим простейший пример.

Пример.
Найдем произведение чисел 11, 13 и 19.

Решение.
11•13•19=2717.

Ответ. 11•13•19=2717.

Можно находить произведение не только натуральных чисел, но и целых, дробных, рациональных, иррациональных.
Произведение любых чисел имеет свойства:

1. Коммутативность — при перестановке множителей произведение не меняется.

Пример.
Найдем произведение чисел 20•13•5 удобным способом.

Решение.
Воспользуемся свойством коммутативности произведения чисел:
20•13•5=(20•5)•13=100•13=1300.

Ответ. 20•13•5=1300.

1. Ассоциативность — при нахождении произведения порядок выполнения умножения не важен.

Пример.
Найдем произведение чисел 11•2•19•5.

Решение.
Воспользуемся свойствами коммутативности и ассоциативности произведения:
11•2•19•5=(11•(2•5))•19=(11•10)•19=110•19=2090.

Произведение (математика)

Умноже́ние — одна из основных математических операций над двумя аргументами, которые называются множителями или сомножителями (иногда первый аргумент называют множимым, а второй множителем). Результат умножения называется их произведением [1] .

Позднее умножение было распространено на целые, рациональные, вещественные, комплексные и другие виды чисел путём систематического обобщения [⇨] .

В настоящее время умножение в математике определяется не только для чисел, оно имеет различный конкретный смысл и соответственно различные определения и свойства для различных математических объектов [2] .

Изучение общих свойств операции умножения входит в задачи общей алгебры, в частности теории групп и колец [2] .

Содержание

Формы записи и терминология

Умножение записывается с использованием знака умножения (∙, ×, ∗) между аргументами, такая форма записи называется инфиксной нотацией. В данном контексте знак умножения является бинарным оператором. Знак умножения не имеет специального названия, тогда как, например, знак сложения называется «плюс».

Самый старый из используемых символов — косой крестик (×). Впервые его использовал английский математик Уильям Отред в своём труде «Clavis Mathematicae» 1631 г. Немецкий математик Лейбниц предпочитал знак в виде приподнятой точки (∙). Этот символ он использовал в письме 1698 года. Йоханн Ран ввёл звёздочку (∗) в качестве знака умножения, она появилась в его книге «Teutsche Algebra» 1659 г.

В российских учебниках математики в основном используется знак в виде приподнятой точки (∙). Звёздочка (∗) используется, как правило, в текстах компьютерных программ.

Традиционно при записи произведения нескольких множителей числа записывают перед переменными, а переменные перед функциями. Так, выражение n ⋅ sin ⁡ x ⋅ 5 ⋅ m <displaystyle ncdot sin xcdot 5cdot m>будет записано как 5 n m sin ⁡ x <displaystyle 5nmsin x>.

Свойства

Далее описаны основные свойства операция умножения на числовых множествах N , Z , Q , R , C <displaystyle mathbb ,mathbb ,mathbb ,mathbb ,mathbb > .

• Умножение коммутативно, то есть от перемены мест множителей произведение не меняется. Свойство также известно как переместительный закон умножения[3] :

• Умножение ассоциативно, то есть при последовательном выполнении умножения трёх или более чисел последовательность выполнения операций не имеет значения. Свойство также известно как сочетательный закон умножения[3] :

• Умножение дистрибутивно, это свойство согласованности двух бинарных операций, определённых на одном и том же множестве. Свойство также известно как распределительный закон[3] :

• Относительно умножения в множестве A <displaystyle A>существует единственный нейтральный элемент — 1 (число «один»). Умножение любого числа на 1 (нейтральный элемент) даёт число, равное исходному:

• Умножение на 1 <displaystyle 1>идемпотентно, то есть повторное применение операции к объекту даёт тот же результат, что и одинарное:

• Умножение на 0 <displaystyle 0>(нулевой элемент) даёт 0 <displaystyle 0>(нуль):

На языке общей алгебры вышеперечисленные свойства сложения говорят о том, что Z − 0 , Q − 0 , R − 0 <displaystyle mathbb _<-0>,mathbb _<-0>,mathbb _<-0>> являются абелевыми группами относительно операции умножения.

В математических выражениях операция умножения имеет более высокий приоритет по отношению к операциям сложения и вычитания, то есть она выполняется перед ними, но менее высокий приоритет, чем операция возведения в степень.

На множестве вещественных чисел область значений функции умножения графически имеет вид поверхности проходящей через начало координат и изогнутой с двух сторон в виде параболы.

Выполнение умножения

При практическом решении задачи умножения двух чисел необходимо свести её к последовательности более простых операций: «простое умножение», сложение, сравнение и др. Для этого разработаны различные методы умножения, например для чисел, дробей, векторов и др. На множестве натуральных чисел в настоящее время используется алгоритм поразрядного умножения. При этом следует рассматривать умножение как процедуру (в отличие от операции).

Процедура достаточно сложная, состоит из относительно большого числа шагов и при умножении больших чисел может занять продолжительное время.

«Простое умножение» в данном контексте обозначает операцию умножения одноразрядных чисел, которая может быть легко сведена к сложению. Является гипероператором сложения:

Чтобы упростить и ускорить процесс умножения используют табличный метод «простого умножения», для этого заранее вычисляют все комбинации произведений чисел от 0 до 9 и берут готовый результат из этой таблицы [4] :

*	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	0	2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	0	3	6	9	12	15	18	21	24	27
4	0	4	8	12	16	20	24	28	32	36
5	0	5	10	15	20	25	30	35	40	45
6	0	6	12	18	24	30	36	42	48	54
7	0	7	14	21	28	35	42	49	56	63
8	0	8	16	24	32	40	48	56	64	72
9	0	9	18	27	36	45	54	63	72	81

Данная процедура применима к умножению натуральных и целых (с учётом знака) чисел. Для других чисел используются более сложные алгоритмы.

Умножение чисел

Натуральные числа

Для умножения натуральных чисел в позиционной системе обозначения чисел применяется поразрядный алгоритм умножения. Если даны два натуральных числа a <displaystyle a>и b <displaystyle b> такие, что:

t n − 1 ,   0 = m o d ( a n − 1 ⋅ b 0 + r n − 1 , P ) , r n = d i v ( a n − 1 ⋅ b 0 + r n − 1 , P )   ,     t 0 ⋅   P k ; <displaystyle t_

Арифметические действия над числами в любой позиционной системе счисления производятся по тем же правилам, что и в десятичной системе, так как все они основываются на правилах выполнения действий над соответствующими многочленами. При этом нужно пользоваться таблицей умножения, соответствующей данному основанию P <displaystyle P>системы счисления.

Пример умножения натуральных чисел в двоичной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления, для удобства числа записываются друг под другом соответственно разрядам, перенос пишется сверху:

Целые числа

Отличие от натуральных чисел состоит в том, что отрицательные числа на числовой прямой направлены в противоположную сторону, это несколько меняет процедуру умножения. Необходимо учитывать взаимное направление чисел, здесь возможны несколько случаев:

Рациональные числа

Множество рациональных чисел обозначается Q <displaystyle mathbb > (от англ.  quotient «частное») и может быть записано в таком виде:

Арифметическая операция «умножение» над рациональными числами относится к замкнутым операциям.

Вещественные числа

Арифметические операции над вещественными числами представимых бесконечными десятичными дробями определяются как непрерывное продолжение [7] соответствующих операций над рациональными числами.

Если даны два вещественных числа, представимые бесконечными десятичными дробями:

(a’leqslant alpha leqslant a»)land (b’leqslant beta leqslant b»)Rightarrow (a’cdot b’leqslant alpha times beta leqslant a»cdot b»)Rightarrow (a’cdot b’leqslant gamma leqslant a»cdot b»).>

данные числа до 4-го знака после запятой (для повышения точности вычислений);
• Получаем: π ≈ 3.1416 ,   e ≈ 2.7183 <displaystyle pi approx 3.1416, eapprox 2.7183>;
• Поразрядно умножаем: γ = π ⋅ e ≈ 3.1416 ⋅ 2.7183 ≈ 8.5398 <displaystyle gamma =pi cdot eapprox 3.1416cdot 2.7183approx 8.5398>;
• Округляем до 3-го знака после запятой: γ ≈ 8.540 <displaystyle gamma approx 8.540>.

График

Комплексные числа

Множество комплексных чисел с арифметическими операциями является полем и обычно обозначается символом  C <displaystyle mathbb > .

Произведением двух комплексных чисел в алгебраической форме записи, называется комплексное число, равное:

c + f i = ( a + d i ) ⋅ ( b + e i ) = ( a ⋅ b − d ⋅ e ) + ( a ⋅ e + b ⋅ d ) i ,

Для того, чтобы перемножить два комплексных числа в тригонометрической форме записи, нужно перемножить их модули, а аргументы сложить:

Экспоненциальная запись

Умножение произвольных чисел

Умножение физических величин

Единица измерения физической величины имеет определенное наименование (размерность), например, для длины — метр (м), для времени — секунда (с), для массы — грамм (г) и так далее. Результат измерения той или иной величины представляет собой не просто число, а число с размерностью [9] , например, 10 м, 145 с, 500 г. Размерность представляет собой самостоятельный объект, который равноправно участвует в операции умножения. При умножении физических величин умножаются как сами числовые значения, так и их размерности, порождая новое число с новой размерностью. Например, прямоугольник со сторонами 5 м и 3 м обладает площадью, получаемой умножением длин сторон:

5 м · 3 м = 5 · 3 м·м= 15 м·м, или 15 м².

Таким образом, умножение физических величин надо рассматривать как нахождение новой физической величины, отличающейся от величин, которые мы умножаем. Если физически возможно создание такого произведения, например, при нахождении работы, скорости или других величин, то эта величина образует множество, отличное от начальных. В этом случае композиции этих величин  присваивается новое обозначение (новый термин), например: плотность, ускорение, мощность и прочее [10] .

Например, если умножить скорость равномерно и прямолинейно движущегося тела, равную 5 м/с, на время, равное 3 с, то получится именованное число (физическая величина), которая называется «длина», или «расстояние» и измеряется в метрах:

5 м/с · 3 с = 15 (м/с) · с = 15 м.

Помимо размерных физических величин существуют безразмерные величины. Безразмерные величины либо просто определяют некоторое количество (измеряются «штуками», «разами» и тому подобное), либо являются отношениями физических величин одной и той же размерности, например, относительная плотность является отношением плотности тела к эталонной плотности (обычно, плотности воды). При умножении величины с размерностью на безразмерную величину результат сохраняет исходную размерность. Например, если взять 5-метровые рейки в количестве 3 штуки, то в результате умножения получим общую длину реек 15 метров:

Количество реек (безразмерная величина) здесь не зависит ни от способа их подсчёта, ни от единицы измерения их длины. Например, если измерить длину не в метрах, а в футах, то длина той же рейки составит 16,4 фута, а общая длина трёх реек:

16,4 фута · 3 = 49,2 фута.

Умножение последовательностей

Произведение элементов последовательности может быть компактно записано с помощью специального символа умножения, восходящего к заглавной букве Π (пи) греческого алфавита, как показано в примере:

где m и n есть целые числа или выражения, которые вычисляются в целочисленные значения.

Если значения индекса заданы некоторым множеством, то многократное произведение может быть записано с его помощью, например

См. также

Примечания

1. ↑ 12Математическая энциклопедия, 1985.
2. ↑ 12 Умножение // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.]  / гл. ред. А. М. Прохоров . — 3-е изд. — М.  : Советская энциклопедия, 1969—1978.
3. ↑ 123 Так это свойство обычно называется в школьных учебниках
4. ↑Истомина, 2005, с. 165.
5. ↑Выгодский, 2003, с. 116—117.
6. ↑Гусев, 1988, с. 20.
7. ↑ Поскольку на множестве вещественных чисел уже введено отношение линейного порядка, то мы можем определить топологию числовой прямой: в качестве открытых множеств возьмём всевозможные объединения интервалов вида < x : α < x < β ><displaystyle >
8. ↑Ильин, 1985, с. 46.
9. ↑Волинская Н. И. Интегрированный урок по физике и математике, Измерение физических величин и их единицы, СШ 7 г. Бреста  (неопр.)   (недоступная ссылка) . brestschool7.iatp.by. Дата обращения: 18 апреля 2016. Архивировано 7 августа 2016 года.
10. ↑Макаров Владимир Петрович. О «размерности» физических величин  (неопр.) . lithology.ru, Литология.РФ. Дата обращения: 18 апреля 2016.

Литература

• Барсуков А. Н. Алгебра. Учебник для 6-8 классов.   (рус.) . — Просвещение, 1966. — 296 с.
• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике   (рус.) . — М. : АСТ, 2003. — ISBN 5-17-009554-6.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика. Справочные материалы, книга для учащихся.   (рус.) . — Просвещение, 1988. — 416 с.
• Ильин В. А. и др. Математический анализ. Начальный курс.   (рус.) . — МГУ, 1985. — 662 с.
• Эндертон Г. Элементы теории множеств = Elements of Set Theory. — Gulf Professional Publishing, 1977. — 279 с. — ISBN 0-12-238440-7.
• Иванова О. А. Умножение чисел // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М. : Советская Энциклопедия, 1985. — Т. 5. — С. 495—496. — 1248 с.
• Истомина Н. Б. Методика обучения математике в начальной школе: Развивающее обучение.   (рус.) . — Ассоциация XXI век, 2005. — 272 с. — ISBN 5-89308-193-5.

Ссылки

Воспроизвести медиафайл

Что такое произведение?

Слово произведение имеет много толкований, это и музыкальное сочинение, и литературное, художественное и другие творения искусства. Произведением называют математическое действие, а так же процесс создания чего-либо, ассоциируя его со словом «производство». В этой статье мы рассмотрим, что такое произведение в самом широком смысле слова.

Произведения литературы

Начнем с понятия, которое наиболее часто употребляется в сочетании со словом «произведение». Это литературные произведения. Даже самые маленькие по объему литературные формы имеют статус произведений. Романы, повести, серии рассказов, пьесы являются произведениями литературы, как и юмористические двустишия, состоящие из пяти-семи слов. Все перечисленные формы называется произведениями литературного жанра, у которых есть автор. Это главное их отличие. Здесь следует заметить, что народные произведения назвать литературными очень сложно, потому что у них нет конкретного автора. Песни, легенды, былины, пословицы и поговорки относятся к фольклорным произведениям, которые написаны в течение многих веков народом.

Произведения живописи

Все, что нарисовано человеческой рукой на самых различных поверхностях и имеющее художественную ценность, и есть художественные произведения. Самая популярная поверхность, конечно, холст и приравниваемая к нему бумага. На холсте рисовали и рисуют художники разных эпох, стран, направлений творчества. Холст натягивается на раму, потом талантливой, или не очень, рукой наносится сюжет. Потом готовая картина обрамляется рамкой. Также художники расписывают и дерево, и посуду, любые предметы быта, включая стены домов. К сожалению, как и в любом творчестве, есть художники, создающие картины, которые нельзя назвать произведением искусства. Отсутствие таланта, вкуса, порождает кич, поэтому они не имеют ничего с произведениями художественной культуры и живописи.

Произведения музыки

Музыкальное произведение характеризует прекрасная гармония, созданная на основе всего семи нот. Музыкант сродни Богу, творит практически из ничего, а получается прекрасная музыка, живущая многие годы и даже века. Невозможно представить, что будущие поколения смогут забыть Моцарта. А кто бы вспомнил, кто такой Сальери, если бы не Пушкин с его бессмертным литературным произведением. Но музыку Сальери не вспомнит рядовой слушатель. Так в чем же отличия одного творения от другого? Если произведение – это то, что произведено, сделано, создано, то и у Сальери произведения. Только Моцарт создавал бессмертные музыкальные творения, его произведения гениальны. А сколько людей, мнящих себя музыкантами, тоже пытались творить и думали, что из-под их пера выходят произведения музыки! Теоретически это так. На самом деле это утверждение под большим вопросом.

Жанры произведений

У творческих произведений бывают самые разнообразные жанры. После самых популярных, о которых мы уже рассказали, после литературы, живописи и музыки, идут цирк, кино, мультипликация, пение, театр, даже скульптура и архитектура. Все жанры произведения имеют общие черты. Они призваны художественно преобразовывать действительность и доносить до зрителя самую главную свою мысль. Разные у произведений искусства только способы донесения этих мыслей – живопись, танец, стихи, пластика и многое другое. Означает ли это, что в произведениях искусства нет правды? Конечно, есть. Но правдивое изображение жизни не является произведением. Только наложенное на художественный вымысел и сюжет, произведение становится творческим объектом.

Математическое произведение

Еще одна трактовка слова «произведение» — математическая. Если в равенстве с одной стороны два или несколько множителя, то с другой стороны знака «равно» стоит произведение. Произведение чисел это сумма одного множителя, повторенная столько раз, сколько единиц во втором множителе. Это одно из четырех простейших математических действий. Произведение чисел обозначается точкой, крестиком или звездочкой, но этот знак часто пропускают и пишут, к примеру, так: 2а, 5в, ав. Все это означает произведение множителей, чисел или буквенных переменных.