Пустое множество как написать

Пустое множество ∅

Значение символа

Пустое множество. Математические операторы.

Символ «Пустое множество» был утвержден как часть Юникода версии 1.1 в 1993 г.

Версия	1.1
Блок	Математические операторы
Тип парной зеркальной скобки (bidi)	Нет
Композиционное исключение	Нет
Изменение регистра	2205
Простое изменение регистра	2205

Кодировка	hex	dec (bytes)	dec	binary
UTF-8	E2 88 85	226 136 133	14846085	11100010 10001000 10000101
UTF-16BE	22 05	34 5	8709	00100010 00000101
UTF-16LE	05 22	5 34	1314	00000101 00100010
UTF-32BE	00 00 22 05	0 0 34 5	8709	00000000 00000000 00100010 00000101
UTF-32LE	05 22 00 00	5 34 0 0	86114304	00000101 00100010 00000000 00000000

Наборы с этим символом

Пусто́е мно́жество (в математике) — множество, не содержащее ни одного элемента. Из аксиомы объёмности следует, что есть только одно множество, обладающее таким свойством. Пустое множество является своим (тривиальным) подмножеством, но не является своим элементом.

Пустое множество является конечным множеством и имеет наименьшую мощность среди всех множеств. Пустое множество — единственное множество, для которого класс множеств, равномощных ему, состоит из единственного элемента (самого́ пустого множества). Также, пустое множество — единственное множество, имеющее ровно 1 подмножество (само себя), и единственное множество, равномощное любому своему подмножеству.

Пустое множество тривиальным образом является разрешимым (а значит, перечислимым и арифметическим), транзитивным (англ.) и вполне упорядоченным множеством (для любого отношения порядка). Пустое множество является наименьшим порядковым числом и наименьшим кардинальным числом. В топологии, пустое множество является одновременно замкнутым и открытым множеством.

-цепочка, начинающаяся с произвольного множества, каждый последующий член которой является элементом предыдущего, всегда через конечное число шагов завершается пустым множеством (см. аксиому регулярности). Таким образом, пустое множество является «строительным кирпичиком», из которого строятся все остальные множества.

В некоторых формулировках теории множеств существование пустого множества постулируется (см. аксиому пустого множества), в других — доказывается.

Обозначения пустого множества

Обычно пустое множество обозначают одним из следующих символов: , и .

Реже пустое множество обозначают одним из следующих символов: и .

В Юникоде имеется специальный символ «пустое множество» (U+2205,∅).

Символы и введены в употребление группой Бурбаки (в частности, Андре Вейлем) в 1939 году.

Символ идентичен букве Ø в Датско-норвежском алфавите^[1].

Свойства пустого множества

• Ни одно множество не является элементом пустого множества. Иначе говоря, и, в частности, .
• Пустое множество является подмножеством любого множества. Иначе говоря, и, в частности, .
• Объединение пустого множества с любым множеством равно последнему [указанному множеству]. Иначе говоря, и, в частности, .
• Пересечение пустого множества с любым множеством равно пустому множеству. Иначе говоря, и, в частности, .
• Исключение пустого множества из любого множества равно последнему [указанному множеству]. Иначе говоря, и, в частности, .
• Исключение любого множества из пустого множества равно пустому множеству. Иначе говоря, и, в частности, .
• Симметрическая разность пустого множества с любым множеством равна последнему [указанному множеству]. Иначе говоря, и, в частности,
• Декартово произведение пустого множества на любое множество равно пустому множеству. Иначе говоря, и, в частности, .
• Пустое множество — транзитивно. Иначе говоря, , где .
• Пустое множество — ординал. Иначе говоря, , где .
• Мощность пустого множества равна нулю. Иначе говоря, .
• Мера пустого множества равна нулю. Иначе говоря,

См. также

• Аксиома пустого множества

• Аксиоматика теории множеств

Ссылки

1. ↑ Earliest Uses of Symbols of Set Theory and Logic  (англ.). — История появления символов теории множеств и логики. Архивировано из первоисточника 22 августа 2011. Проверено 28 сентября 2010.

From Wikipedia, the free encyclopedia

In mathematics, the empty set is the unique set having no elements; its size or cardinality (count of elements in a set) is zero.^[1] Some axiomatic set theories ensure that the empty set exists by including an axiom of empty set, while in other theories, its existence can be deduced. Many possible properties of sets are vacuously true for the empty set.

Any set other than the empty set is called non-empty.

In some textbooks and popularizations, the empty set is referred to as the «null set».^[1] However, null set is a distinct notion within the context of measure theory, in which it describes a set of measure zero (which is not necessarily empty). The empty set may also be called the void set.

Notation[edit]

Common notations for the empty set include «{}», ««, and «∅». The latter two symbols were introduced by the Bourbaki group (specifically André Weil) in 1939, inspired by the letter Ø in the Danish and Norwegian alphabets.^[2] In the past, «0» was occasionally used as a symbol for the empty set, but this is now considered to be an improper use of notation.^[3]

The symbol ∅ is available at Unicode point U+2205.^[4] It can be coded in HTML as ∅ and as ∅. It can be coded in LaTeX as varnothing. The symbol is coded in LaTeX as emptyset.

When writing in languages such as Danish and Norwegian, where the empty set character may be confused with the alphabetic letter Ø (as when using the symbol in linguistics), the Unicode character U+29B0 REVERSED EMPTY SET ⦰ may be used instead.^[5]

Properties[edit]

In standard axiomatic set theory, by the principle of extensionality, two sets are equal if they have the same elements. As a result, there can be only one set with no elements, hence the usage of «the empty set» rather than «an empty set».

The empty set has the following properties:

For any set A:

For any property P:

Conversely, if for some property P and some set V, the following two statements hold:

• For every element of V the property P holds
• There is no element of V for which the property P holds

then

By the definition of subset, the empty set is a subset of any set A. That is, every element x of belongs to A. Indeed, if it were not true that every element of is in A, then there would be at least one element of that is not present in A. Since there are no elements of at all, there is no element of that is not in A. Any statement that begins «for every element of » is not making any substantive claim; it is a vacuous truth. This is often paraphrased as «everything is true of the elements of the empty set.»

In the usual set-theoretic definition of natural numbers, zero is modelled by the empty set.

Operations on the empty set[edit]

When speaking of the sum of the elements of a finite set, one is inevitably led to the convention that the sum of the elements of the empty set is zero. The reason for this is that zero is the identity element for addition. Similarly, the product of the elements of the empty set should be considered to be one (see empty product), since one is the identity element for multiplication.

A derangement is a permutation of a set without fixed points. The empty set can be considered a derangement of itself, because it has only one permutation (), and it is vacuously true that no element (of the empty set) can be found that retains its original position.

In other areas of mathematics[edit]

Extended real numbers[edit]

Since the empty set has no member when it is considered as a subset of any ordered set, every member of that set will be an upper bound and lower bound for the empty set. For example, when considered as a subset of the real numbers, with its usual ordering, represented by the real number line, every real number is both an upper and lower bound for the empty set.^[6] When considered as a subset of the extended reals formed by adding two «numbers» or «points» to the real numbers (namely negative infinity, denoted which is defined to be less than every other extended real number, and positive infinity, denoted which is defined to be greater than every other extended real number), we have that:

and

That is, the least upper bound (sup or supremum) of the empty set is negative infinity, while the greatest lower bound (inf or infimum) is positive infinity. By analogy with the above, in the domain of the extended reals, negative infinity is the identity element for the maximum and supremum operators, while positive infinity is the identity element for the minimum and infimum operators.

Topology[edit]

In any topological space X, the empty set is open by definition, as is X. Since the complement of an open set is closed and the empty set and X are complements of each other, the empty set is also closed, making it a clopen set. Moreover, the empty set is compact by the fact that every finite set is compact.

The closure of the empty set is empty. This is known as «preservation of nullary unions.»

Category theory[edit]

If is a set, then there exists precisely one function from to the empty function. As a result, the empty set is the unique initial object of the category of sets and functions.

The empty set can be turned into a topological space, called the empty space, in just one way: by defining the empty set to be open. This empty topological space is the unique initial object in the category of topological spaces with continuous maps. In fact, it is a strict initial object: only the empty set has a function to the empty set.

Set theory[edit]

In the von Neumann construction of the ordinals, 0 is defined as the empty set, and the successor of an ordinal is defined as . Thus, we have , , , and so on. The von Neumann construction, along with the axiom of infinity, which guarantees the existence of at least one infinite set, can be used to construct the set of natural numbers, , such that the Peano axioms of arithmetic are satisfied.

Questioned existence[edit]

Axiomatic set theory[edit]

In Zermelo set theory, the existence of the empty set is assured by the axiom of empty set, and its uniqueness follows from the axiom of extensionality. However, the axiom of empty set can be shown redundant in at least two ways:

• Standard first-order logic implies, merely from the logical axioms, that something exists, and in the language of set theory, that thing must be a set. Now the existence of the empty set follows easily from the axiom of separation.
• Even using free logic (which does not logically imply that something exists), there is already an axiom implying the existence of at least one set, namely the axiom of infinity.

Philosophical issues[edit]

While the empty set is a standard and widely accepted mathematical concept, it remains an ontological curiosity, whose meaning and usefulness are debated by philosophers and logicians.

The empty set is not the same thing as nothing; rather, it is a set with nothing inside it and a set is always something. This issue can be overcome by viewing a set as a bag—an empty bag undoubtedly still exists. Darling (2004) explains that the empty set is not nothing, but rather «the set of all triangles with four sides, the set of all numbers that are bigger than nine but smaller than eight, and the set of all opening moves in chess that involve a king.»^[7]

The popular syllogism

Nothing is better than eternal happiness; a ham sandwich is better than nothing; therefore, a ham sandwich is better than eternal happiness

is often used to demonstrate the philosophical relation between the concept of nothing and the empty set. Darling writes that the contrast can be seen by rewriting the statements «Nothing is better than eternal happiness» and «[A] ham sandwich is better than nothing» in a mathematical tone. According to Darling, the former is equivalent to «The set of all things that are better than eternal happiness is » and the latter to «The set {ham sandwich} is better than the set «. The first compares elements of sets, while the second compares the sets themselves.^[7]

Jonathan Lowe argues that while the empty set:

«was undoubtedly an important landmark in the history of mathematics, … we should not assume that its utility in calculation is dependent upon its actually denoting some object.»

it is also the case that:

«All that we are ever informed about the empty set is that it (1) is a set, (2) has no members, and (3) is unique amongst sets in having no members. However, there are very many things that ‘have no members’, in the set-theoretical sense—namely, all non-sets. It is perfectly clear why these things have no members, for they are not sets. What is unclear is how there can be, uniquely amongst sets, a set which has no members. We cannot conjure such an entity into existence by mere stipulation.»^[8]

George Boolos argued that much of what has been heretofore obtained by set theory can just as easily be obtained by plural quantification over individuals, without reifying sets as singular entities having other entities as members.^[9]

See also[edit]

• 0 – Number
• Inhabited set – Kind of set in constructive mathematics
• Nothing – Complete absence of anything; the opposite of everything
• Power set – Mathematical set containing all subsets of a given set

References[edit]

Further reading[edit]

• Halmos, Paul, Naive Set Theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (paperback edition).
• Jech, Thomas (2002), Set Theory, Springer Monographs in Mathematics (3rd millennium ed.), Springer, ISBN 3-540-44085-2
• Graham, Malcolm (1975), Modern Elementary Mathematics (2nd ed.), Harcourt Brace Jovanovich, ISBN 0155610392

External links[edit]

• Weisstein, Eric W. «Empty Set». MathWorld.

From Wikipedia, the free encyclopedia

In mathematics, the empty set is the unique set having no elements; its size or cardinality (count of elements in a set) is zero.^[1] Some axiomatic set theories ensure that the empty set exists by including an axiom of empty set, while in other theories, its existence can be deduced. Many possible properties of sets are vacuously true for the empty set.

Any set other than the empty set is called non-empty.

In some textbooks and popularizations, the empty set is referred to as the «null set».^[1] However, null set is a distinct notion within the context of measure theory, in which it describes a set of measure zero (which is not necessarily empty). The empty set may also be called the void set.

Notation[edit]

Common notations for the empty set include «{}», ««, and «∅». The latter two symbols were introduced by the Bourbaki group (specifically André Weil) in 1939, inspired by the letter Ø in the Danish and Norwegian alphabets.^[2] In the past, «0» was occasionally used as a symbol for the empty set, but this is now considered to be an improper use of notation.^[3]

The symbol ∅ is available at Unicode point U+2205.^[4] It can be coded in HTML as ∅ and as ∅. It can be coded in LaTeX as varnothing. The symbol is coded in LaTeX as emptyset.

When writing in languages such as Danish and Norwegian, where the empty set character may be confused with the alphabetic letter Ø (as when using the symbol in linguistics), the Unicode character U+29B0 REVERSED EMPTY SET ⦰ may be used instead.^[5]

Properties[edit]

In standard axiomatic set theory, by the principle of extensionality, two sets are equal if they have the same elements. As a result, there can be only one set with no elements, hence the usage of «the empty set» rather than «an empty set».

The empty set has the following properties:

For any set A:

For any property P:

Conversely, if for some property P and some set V, the following two statements hold:

• For every element of V the property P holds
• There is no element of V for which the property P holds

then

By the definition of subset, the empty set is a subset of any set A. That is, every element x of belongs to A. Indeed, if it were not true that every element of is in A, then there would be at least one element of that is not present in A. Since there are no elements of at all, there is no element of that is not in A. Any statement that begins «for every element of » is not making any substantive claim; it is a vacuous truth. This is often paraphrased as «everything is true of the elements of the empty set.»

In the usual set-theoretic definition of natural numbers, zero is modelled by the empty set.

Operations on the empty set[edit]

When speaking of the sum of the elements of a finite set, one is inevitably led to the convention that the sum of the elements of the empty set is zero. The reason for this is that zero is the identity element for addition. Similarly, the product of the elements of the empty set should be considered to be one (see empty product), since one is the identity element for multiplication.

A derangement is a permutation of a set without fixed points. The empty set can be considered a derangement of itself, because it has only one permutation (), and it is vacuously true that no element (of the empty set) can be found that retains its original position.

In other areas of mathematics[edit]

Extended real numbers[edit]

Since the empty set has no member when it is considered as a subset of any ordered set, every member of that set will be an upper bound and lower bound for the empty set. For example, when considered as a subset of the real numbers, with its usual ordering, represented by the real number line, every real number is both an upper and lower bound for the empty set.^[6] When considered as a subset of the extended reals formed by adding two «numbers» or «points» to the real numbers (namely negative infinity, denoted which is defined to be less than every other extended real number, and positive infinity, denoted which is defined to be greater than every other extended real number), we have that:

and

That is, the least upper bound (sup or supremum) of the empty set is negative infinity, while the greatest lower bound (inf or infimum) is positive infinity. By analogy with the above, in the domain of the extended reals, negative infinity is the identity element for the maximum and supremum operators, while positive infinity is the identity element for the minimum and infimum operators.

Topology[edit]

In any topological space X, the empty set is open by definition, as is X. Since the complement of an open set is closed and the empty set and X are complements of each other, the empty set is also closed, making it a clopen set. Moreover, the empty set is compact by the fact that every finite set is compact.

The closure of the empty set is empty. This is known as «preservation of nullary unions.»

Category theory[edit]

If is a set, then there exists precisely one function from to the empty function. As a result, the empty set is the unique initial object of the category of sets and functions.

The empty set can be turned into a topological space, called the empty space, in just one way: by defining the empty set to be open. This empty topological space is the unique initial object in the category of topological spaces with continuous maps. In fact, it is a strict initial object: only the empty set has a function to the empty set.

Set theory[edit]

In the von Neumann construction of the ordinals, 0 is defined as the empty set, and the successor of an ordinal is defined as . Thus, we have , , , and so on. The von Neumann construction, along with the axiom of infinity, which guarantees the existence of at least one infinite set, can be used to construct the set of natural numbers, , such that the Peano axioms of arithmetic are satisfied.

Questioned existence[edit]

Axiomatic set theory[edit]

In Zermelo set theory, the existence of the empty set is assured by the axiom of empty set, and its uniqueness follows from the axiom of extensionality. However, the axiom of empty set can be shown redundant in at least two ways:

• Standard first-order logic implies, merely from the logical axioms, that something exists, and in the language of set theory, that thing must be a set. Now the existence of the empty set follows easily from the axiom of separation.
• Even using free logic (which does not logically imply that something exists), there is already an axiom implying the existence of at least one set, namely the axiom of infinity.

Philosophical issues[edit]

While the empty set is a standard and widely accepted mathematical concept, it remains an ontological curiosity, whose meaning and usefulness are debated by philosophers and logicians.

The empty set is not the same thing as nothing; rather, it is a set with nothing inside it and a set is always something. This issue can be overcome by viewing a set as a bag—an empty bag undoubtedly still exists. Darling (2004) explains that the empty set is not nothing, but rather «the set of all triangles with four sides, the set of all numbers that are bigger than nine but smaller than eight, and the set of all opening moves in chess that involve a king.»^[7]

The popular syllogism

Nothing is better than eternal happiness; a ham sandwich is better than nothing; therefore, a ham sandwich is better than eternal happiness

is often used to demonstrate the philosophical relation between the concept of nothing and the empty set. Darling writes that the contrast can be seen by rewriting the statements «Nothing is better than eternal happiness» and «[A] ham sandwich is better than nothing» in a mathematical tone. According to Darling, the former is equivalent to «The set of all things that are better than eternal happiness is » and the latter to «The set {ham sandwich} is better than the set «. The first compares elements of sets, while the second compares the sets themselves.^[7]

Jonathan Lowe argues that while the empty set:

«was undoubtedly an important landmark in the history of mathematics, … we should not assume that its utility in calculation is dependent upon its actually denoting some object.»

it is also the case that:

«All that we are ever informed about the empty set is that it (1) is a set, (2) has no members, and (3) is unique amongst sets in having no members. However, there are very many things that ‘have no members’, in the set-theoretical sense—namely, all non-sets. It is perfectly clear why these things have no members, for they are not sets. What is unclear is how there can be, uniquely amongst sets, a set which has no members. We cannot conjure such an entity into existence by mere stipulation.»^[8]

George Boolos argued that much of what has been heretofore obtained by set theory can just as easily be obtained by plural quantification over individuals, without reifying sets as singular entities having other entities as members.^[9]

See also[edit]

• 0 – Number
• Inhabited set – Kind of set in constructive mathematics
• Nothing – Complete absence of anything; the opposite of everything
• Power set – Mathematical set containing all subsets of a given set

References[edit]

Further reading[edit]

• Halmos, Paul, Naive Set Theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (paperback edition).
• Jech, Thomas (2002), Set Theory, Springer Monographs in Mathematics (3rd millennium ed.), Springer, ISBN 3-540-44085-2
• Graham, Malcolm (1975), Modern Elementary Mathematics (2nd ed.), Harcourt Brace Jovanovich, ISBN 0155610392

External links[edit]

• Weisstein, Eric W. «Empty Set». MathWorld.

Пустое множество с небольшим кружком над ним ⦲

Значение символа

Пустое множество с небольшим кружком над ним. Разные математические символы — B.

Символ «Пустое множество с небольшим кружком над ним» был утвержден как часть Юникода версии 3.2 в 2002 г.

Версия	3.2
Блок	Разные математические символы — B
Тип парной зеркальной скобки (bidi)	Нет
Композиционное исключение	Нет
Изменение регистра	29B2
Простое изменение регистра	29B2

Кодировка	hex	dec (bytes)	dec	binary
UTF-8	E2 A6 B2	226 166 178	14853810	11100010 10100110 10110010
UTF-16BE	29 B2	41 178	10674	00101001 10110010
UTF-16LE	B2 29	178 41	45609	10110010 00101001
UTF-32BE	00 00 29 B2	0 0 41 178	10674	00000000 00000000 00101001 10110010
UTF-32LE	B2 29 00 00	178 41 0 0	2989031424	10110010 00101001 00000000 00000000

{} набор набор элементов A = {3,7,9,14},
B = {9,14,28} | такой, что так что A = { x | x ∈ , x <0} A⋂B пересечение объекты, принадлежащие множеству A и множеству B A ⋂ B = {9,14} A⋃B союз объекты, принадлежащие множеству A или множеству B A ⋃ B = {3,7,9,14,28} A⊆B подмножество A является подмножеством B. множество A включено в набор B. {9,14,28} ⊆ {9,14,28} A⊂B правильное подмножество / строгое подмножество A является подмножеством B, но A не равно B. {9,14} ⊂ {9,14,28} A⊄B не подмножество множество A не является подмножеством множества B {9,66} ⊄ {9,14,28} A⊇B суперсет A является надмножеством B. множество A включает множество B {9,14,28} ⊇ {9,14,28} A⊃B правильный суперсет / строгий суперсет A является надмножеством B, но B не равно A. {9,14,28} ⊃ {9,14} A⊅B не суперсет множество A не является надмножеством множества B {9,14,28} ⊅ {9,66} 2 ^А набор мощности все подмножества A   набор мощности все подмножества A   А = В равенство оба набора имеют одинаковые элементы A = {3,9,14},
B = {3,9,14},
A = B А ^в дополнять все объекты, не принадлежащие множеству A   А ‘ дополнять все объекты, не принадлежащие множеству A   А Б относительное дополнение объекты, принадлежащие A, а не B A = {3,9,14},
B = {1,2,3},
A B = {9,14} AB относительное дополнение объекты, принадлежащие A, а не B A = {3,9,14},
B = {1,2,3},
A — B = {9,14} A∆B симметричная разница объекты, принадлежащие A или B, но не их пересечение A = {3,9,14},
B = {1,2,3},
A ∆ B = {1,2,9,14} A⊖B симметричная разница объекты, принадлежащие A или B, но не их пересечение A = {3,9,14},
B = {1,2,3},
A ⊖ B = {1,2,9,14} a ∈A элемент,
принадлежит установить членство A = {3,9,14}, 3 ∈ A x ∉A не элемент нет установленного членства A = {3,9,14}, 1 ∉ A ( а , б ) упорядоченная пара сборник из 2-х элементов   A × B декартово произведение множество всех упорядоченных пар из A и B   | A | мощность количество элементов множества A A = {3,9,14}, | A | = 3 #A мощность количество элементов множества A A = {3,9,14}, # A = 3 | вертикальная полоса такой, что А = {х | 3 <х <14} ℵ ₀ алеф-нуль бесконечная мощность множества натуральных чисел   ℵ ₁ алеф-он мощность множества счетных порядковых чисел   Ø пустой набор Ø = {} A = Ø универсальный набор набор всех возможных значений   ℕ ₀ набор натуральных / целых чисел (с нулем) ₀ = {0,1,2,3,4, …} 0 ∈ ₀ ℕ ₁ набор натуральных / целых чисел (без нуля) ₁ = {1,2,3,4,5, …} 6 ∈ ₁ ℤ набор целых чисел = {…- 3, -2, -1,0,1,2,3, …} -6 ∈ ℚ набор рациональных чисел = { x | x = a / b , a , b ∈ и b ≠ 0} 2/6 ∈ ℝ набор реальных чисел = { x | -∞ < х <∞} 6.343434 ∈ ℂ набор комплексных чисел = { z | z = a + bi , -∞ < a <∞, -∞ < b <∞} 6 + 2 i ∈

Пустое множество

Предположение о
том, что для любого элемента верно одно
и только одно из вышеприведенных
утверждений:

или

еще не означает, что само множество

содержит хотя бы один элемент. Поэтому
вводится понятие пустого
множества.

Множество, не
содержащее ни одного элемента, называется
пустым
и
обозначается
.

Пример.
,
то есть
не существует
действительного числа, удовлетворяющего
уравнению
.

Включение множеств

Множество

называется подмножеством
множества
,
если любой элемент множества

является элементом множества
.

Этот факт записывается
следующим образом:

или

Знак

называется знаком
включения.

Примеры.

1)
Пустое множество

есть часть любого множества
.¹

2)
,
то есть множество натуральных чисел
есть часть множества целых неотрицательных
чисел, которое, в свою очередь, содержится
во множестве целых чисел и т.д.

3)
Любое слово, рассматриваемое как
множество букв, является подмножеством
алфавита соответствующего языка.

Примеры наиболее
часто употребляемых числовых множеств

1)
–
сегмент
или замкнутый отрезок;

2)
–
интервал
или открытый отрезок,
(обозначается
также);

3

полуинтервалы
или

полуоткрытые
отрезки;

)
–

4

бесконечные
интервалы и

полуинтервалы.

)

–

Этим числовым
множествам соответствуют отрезки на
числовой оси (с включенными в них или
исключенными из них концами).

Равенство множеств

Два множества
равны
или совпадают,
то есть
,
если они состоят из одних и тех же
элементов,
т.е. любой
элемент множества

является элементом множества

и, наоборот, любой элемент множества

входит во множество
.

Операции над множествами

I.
Объединением
(или суммой) множеств

и

называется множество
,
которое состоит из всех элементов,
которые принадлежат или множеству
,
или множеству
.

Тот факт, что
множество

является суммой множеств

и

записывается следующим образом

или

.

Пример.
,
то есть
множество целых неотрицательных чисел
может быть представлено в виде объединения
множества натуральных чисел и множества,
содержащего число «нуль».

Простейшие свойства
операции объединения:

1)
;

2)

– свойство коммутативности;

3)

– свойство ассоциативности;

4)
.

II.
Пересечением
(или произведением) множеств

и

называется множество
,
состоящее из всех элементов, которые
принадлежат и множеству,
и множеству
.

Тот факт, что
множество

является произведением множеств

и

записывается следующим образом

или

.

Примеры.

1)

,
так как множество рациональных чисел
целиком содержится во множестве
действительных чисел.

2)
,
если

(рис. А).

Рис. А.

Простейшие свойства
операции пересечения:

1)
;

2)

– свойство коммутативности;

3)

– свойство ассоциативности;

4)
;

5) Если
,
то
.

Замечание 1.
Операции объединения и пересечения
обладают свойствами взаимной
дистрибутивности:

1)

.

2)
.

Замечание 2.
Операции объединения и пересечения
множеств можно распространить на любое
конечное число множеств
:

или
.

III.
Разностью
множеств

и

называется множество
,
составленное из всех элементов множества
,
которые не принадлежат множеству
.

Тот факт, что
множество

является разностью множеств

и

обозначается следующим образом

.

Простейшие свойства
разности множеств:

1. ;

2)
.

IV.
Пусть задано некоторое множество
,
в котором содержатся все множества,
рассматриваемые в данной задаче. Такое
множество называется универсальным
множеством.

Дополнением
множества
:

называется
разность множеств

и
.

Дополнение множества

обозначается следующим образом

.

Независимо от
взаимного расположения множеств имеет
место принцип
двойственности:

V.
Пусть даны
два множества

и
.
Если каждому элементу

по некоторому закону ставится в
соответствие единственный элемент

и обратно, в силу того же закона, каждому
элементу

соответствует единственный элемент
,
то говорят, что
между множествами
и

установлено взаимно однозначное
соответствие.

Примеры.

1) Пусть множество

– полуокружность без крайних точек, а
множество

– прямая (рис. Б). Лучи, проведенные из
центра полуокружности, устанавливают
взаимно однозначное соответствие между
точками полуокружности и прямой.

Рис. Б.

2) Пусть

– множество положительных четных чисел.
Тогда между ним и множеством натуральных
чисел

существует взаимно однозначное
соответствие, устанавливаемое по
правилу:
,
где
,
.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #